Kirchhoffin jännitelain perusteella. U ac = U ab +U bc U ac = U ad +U dc. U ac = R 1 I 12 +R 2 I 12 U ac = R 3 I 34 +R 4 I 34, ja I 34 = U ac

Transkriptio

1 1.1 a U ac b U bd c voimessa siltakytkennässä tunnetaan resistanssit,, ja sekä jännite U ac. Laske jännite U bd kun 30 Ω 40 Ω 40 Ω 30 Ω U ac 5V. d U ab U ac U bc Kirchhoffin jännitelain perusteella I 12 a I 34 b U ad U dc d c U ac U ab +U bc U ac U ad +U dc. Ohmin lain U I perusteella saadaan U ac I 12 + I 12 U ac I 34 + I 34, josta saadaan ratkaistua haaroissa kulkevat virrat I 12 U ac + ja I 34 U ac +. delleen Ohmin laista saadaan vastusten yli oleviksi jännitteiksi U ab I 12 U ac V U bc I 12 U ac V U ad I 34 U ac V U dc I 34 + U ac 15 7 V Jännitteen U bd lauseke voidaan Kirchhoffin jännitelain mukaisesti muodostaa joko pitkin reittiä b a d U ab b U bc U bd U ba +U ad U ab +U ad I 12 a U bd U ad U dc c 5 7 V 0,714V, tai se voidaan muodostaa pitkin reittiä b c d I 34 d U bd U bc +U cd U bc U dc 5 7 V 0,714V. 1

2 1.2 atkaise oheisesta piiristä virta I ja jännite U. I J U 1 Ω 2 Ω J 1 3V. U 2 I I 1 J U Jännitelähteen läpi kulkeva virta I saadaan selville Kirchhoffin virtalain avulla: I I 1 +J +J 4 Virtalähteen yli oleva jännite U saadaan selville Kirchhoffin jännitelain avulla: U U 2 J 1V 2

3 1.3 Laske virrat I 1, I 2 ja I 4. I 4 5 I 1 1 Ω J Ω 4 1 V 9 Ω 5 2 V. 4 J 3 I 2 I 4 5 U I 1 Ideaalisen jännitelähteen yli oleva jännite on aina täsmälleen lähteen arvon suuruinen, mutta ideaalisen jännitelähteen läpi kulkeva virta voi olla mitä tahansa (riippuu muusta piiristä). 4 J 3 I 2 U U Ideaalisen virtalähteen läpi kulkeva virta on aina täsmälleen lähteen arvon suuruinen, mutta ideaalisen virtalähteen yli oleva jännite voi olla mitä tahansa(riippuu muusta piiristä). Ideaalinen jännitelähde 4 on kytketty solmuihin ja, ja näin ollen määrää jännitteen U. U 4 Toisaalta vastus on myös kytketty solmuihin ja, joten Ohmin lain nojalla U I 1. Saadaan I 1 U 4 1. Jännitelähde 5 määrää solmujen ja välisen jännitteen (U 5 ), joten jännite U resistanssin kautta reittiä pitkin on U U +U 5 + I 2 atkaisemalla I 2 saadaan: I 2 U Soveltamalla Kirchhoffin virtalakia solmulle saadaan josta I 1 +I 2 +J 3 I 4 0, 1. I 4 I 1 +I 2 +J J 3 1, koska ideaalisen virtalähteen kanssa sarjassa olevan vastus ei vaikuta virran suuruuteen. 3

4 1.4 s kkua, jonka lähdejännite on a ja sisäresistanssi s, varataan lähdejännitteestä resistanssin kautta kuvan mukaisesti. Määrää resistanssi siten, että akun lähdeosaan virtaava teho on P a. a a 12 V P a 40 W. s 0,1 Ω 20 V U I s U s a a Olkoon suljetun silmukan virta I, joka kulkee molempien vastusten ja jännitelähteen läpi. Soveltamalla Kirchhoffin jännitelakia annetulle piirille saadaan Sijoitetaan yhtälöön Ohmin laki U I: U +U s + a 0. I + s I + a 0, josta ratkaistaan Lähdeosaan virtaava teho on Tästä saadaan ratkaistuksi I a + s. P a a I a a + s. a a P a s 2,3Ω 4

5 2.1 J 2 Laske virta I. J 1 1 J Ω 2 Ω 5 1 Ω 3V. I J 1 5 Muutetaan virtalähteet jännitelähteiksi lähdemuunnosten avulla. J 2 J 2 2 I I J J 1 Jatketaan muokkausta yhdistämällä ensin piirielementtejä piirin vasemmassa puoliskossa: 12 J 1 +J 2 7V ja 2 + 5Ω. Muutetaan sitten kaikki jännitelähteet virtalähteiksi. 2 I I Yhdistetään rinnankytketyt vastukset 2, ja 5 vastukseksi kok, ja yhdistetään virtalähteet virtalähteeksi J kok. J kok kok I J kok G kok G 12 +G 4 +G kok Ω Ω Kysytty virta I saadaan virranjakosäännöllä: I kok kok + J kok 0,947. 5

6 2.2 J 2 Laske vastuksen yli oleva jännite U Ω 500 Ω 1,5 kω 1 kω 1 5 V J m J m. J 1 1 U 4 Voidaan keskittyä tarkastelemaan pelkästään piirin oikeaa puoliskoa, koska jännitelähde 1 määrää solmujen ja välisen jännitteen. Tehdään lähdemuunnos. J 2 J 2 J 1 1 J 1 1 Piirin vasen puoli voidaan siis unohtaa kokonaan: J 2 I 1 U 4 Käytetään Kirchhoffin jännitelakia: Virta I voidaan ratkaista ja jännitteeksi U 4 saadaan nyt 1 J 2 + I + I I 1 + J 2 +, U 4 I ( 1 + J 2 ) + 92V. Viimeinen lauseke saataisiin myös suoraan yhdistämällä jännitelähteet ja soveltamalla jännitteenjakosääntöä: U 4 + ( 1 + J 2 ) 6

7 2.3 6 Laske pisteiden ja välinen kokonaisresistanssi a) Tähti-kolmiomuunnoksen avulla 5 1Ω, 6 2Ω. 5 b) Kolmio-tähtimuunnoksen avulla 5 2Ω, 6 1Ω. a) Tähti-kolmiomuunnoksessa käytetään konduktansseja. loitetaan laskemalla resistansseja vastaavat konduktanssit. G 1 G 2 G S G 3 G 4 G S 5 6 D Tähdet ja eivät kelpaa muunnettaviksi, koska tähtikolmiomuunnoksessa keskimmäinen solmupiste katoaa. Kolmioksi voidaan muuntaa siis joko tähti tai tähti D. Valitaan esim. tähti. G 4 G 6 D G 64 D G 5 G 45 G 56 G 45 Saadaan kokonaiskytkentä: G 4 G 5 G 4 +G 5 +G S G 56 G 3 G 5 G 6 G 4 +G 5 +G S G 64 G 6 G 4 G 4 +G 5 +G S G 1 G 45 G 64 D G 56 G 2 G 1 G 45 G G (G 3 +G 64 )(G 2 +G 56 ) (G 3 +G 64 )+(G 2 +G 56 ) 5 12 S Huom: Sarjaankytkettyjen konduktanssien kaava on samaa muotoa kuin rinnankytkettyjen resistanssien kaava. G G ag b G a +G b Kokonaiskonduktanssi ja -resistanssi: G G 1 +G 45 +G 5 3 S 1 G 3 5 Ω 0,6 Ω 7

8 b) 5 6 D Kolmio kelpaa muunnettavaksi, mutta silloin piiri ei redusoidu tarpeeksi ts. tarvittaisiin vielä yksi muunnos lisää. Minkä tahansa muun kolmion muuntaminen redusoi piiriä tarpeeksi, valitaan esimerkiksi kolmio D. 6 D X D D 5 Saadaan kokonaiskytkentä: Ω D Ω Ω D D X ( + D )( + ) ( + D )+( + ) Kokonaisresistanssi: Ω 8

9 2.4 I G G G G I Kuusi yhtä suurta konduktanssia G on kytketty lävistäjäneliöksi ja sen kautta kulkee virta I kuvan mukaisesti. Huomaa, että kuvan keskellä olevassa johdinristeyksessä ei ole liitosta. Laske piirissä lämmöksi muuttuva teho, kun G G G 3S I 7. G 1 G 2 Lasketaan aluksi solmujen ja välinen kokonaiskonduktanssi G I G 5 G 6 I tähti-kolmiomuunnoksen avulla kolmio-tähtimuunnoksen avulla G 3 G 4 symmetrian perusteella D Tähti-kolmiomuunnos Tähdet ja eivät kelpaa muunnettaviksi, koska tällöin solmu tai katoaisi muunnetusta piiristä. Kolmioksi voidaan siis muuntaa joko tähti tai tähti D. Valitaan esim. tähti : G 1 G 2 D G 12 G 5 G 15 G 25 D G 12 G 1 G 2 G 1 +G 2 +G 5 G 15 G 25 G D G G G+G+G 1 3 G Saadaan kytkentä: G 12 G G G 15 G 3 G 4 G G 4 3 G D 4 3 G D 2 3 G 2G 9

10 Kolmio-tähtimuunnos Mikä tahansa piirin kolmioista voidaan tässä tehtävässä muuntaa tähdeksi. (Miksi?) Valitaan esim. kolmio D: G 2 G 5 G 25 G 24 G 4 G 45 D Saadaan sijaiskytkentä: G 3G D G 1 G G G 6 G G G 24 G 3 G 45 G 6 D 3 2 G G 24 G G 6 G 6 2G 10

11 Symmetrian perusteella: Voidaan päätellä, että piirin symmetrisyyden vuoksi virta I jakautuu siten, että kaikissa neljässä konduktanssissa G, G, G D ja G D kulkee yhtä suuri virta. Kirchhoffin virtalain perusteella haara D on virraton, ts. se voidaan katkaista. Jos haara D on virraton, on sen yli vaikuttava jännite U D 0, ts. haara D voidaan myös oikosulkea. Mikäli molemmat em. kytkentätilanteet johtavat samaan kokonaiskonduktanssin lausekkeeseen, on tehty päättely oikea. Haara D katkaistu: G 1 G G G 6 G G 3 G G D 2G Haara D oikosuljettu: G 1 G 2 2G 2G G 3 G 4 D G 6 G 6 G 2G G Kunontodettu, ettäsolmujenjavälinenkokonaiskonduktanssig 2G,voidaanlaskeapiirissälämmöksi muuttuva teho: I U 2G P UI I I2 I 2G 2G ,17W 11

12 3.1 I 1 I 2 I 3 rat sekä näiden avulla eri lähteiden antamat tehot P 1, P 2 ja P 3. Laske kerrostamismenetelmällä piirin jännitteet ja vir- 2 Ω 4 Ω 6 Ω 1 200V J J U 1 J 2 U 2 J 3 U 3 Kerrostamismenetelmässä lineaarinen piiri ratkaistaan laskemalla jokaisen lähteen vaikutus erikseen. Tarkasteltaessa yhden lähteen vaikutusta, ovat muut lähteet sammutettuina. Sammutetun jännitelähteen jännite U 0 V, joten jännitelähteen sammuttaminen vastaa sen korvaamista oikosululla. Sammutetun virtalähteen virta I 0, joten virtalähteen sammuttaminen vastaa lähteen korvaamista avoimella piirillä. I 11 I 21 I 31 Lasketaan 1 :n vaikutus. Piirion avoin,joten virtojaei kulje, eikä siten vastuksissa synny jännitehäviöitä. 1 U 11 U 21 U 31 I 11 I 21 I 31 0 U 11 U 21 U 31 1 I 12 I 22 I 32 ja :ssa ei synny jännitehäviötä. Toisin sanoen U 32 on sama kuin :n yli oleva jännite. J 2 :n vaikutus: Koska avoimessapiirissä ei kulje virtaa I 32 0 U 12 J 2 U 22 U 32 I 12 I 22 J 2 I 32 0 U 12 0 U 22 ( + ) J 2 U 32 J 2 I 13 I 23 I 33 J 3 :n vaikutus: U 13 U 23 J 3 U 33 I 13 I 33 J 3 I 23 0 U 13 0 U 23 J 3 U 33 ( + ) J 3 Piirin kokonaisjännitteet ja -virrat saadaan laskemalla yhteen kunkin lähteen vaikutuksesta syntyneet osajännitteet ja -virrat. 12

13 I 1 I 11 +I 12 +I 13 (J 2 +J 3 ) 150 I 2 I 21 +I 22 +I 23 J I 3 I 31 +I 32 +I 33 J 3 50 U 1 U 11 +U 12 +U V U 2 U 21 +U 22 +U ( + )J 2 + J 3 900V U 3 U 31 +U 32 +U J 2 +( + )J 3 800V Teho P ei ole lineaarinen suure, joten sitä ei voida laskea osittain, vaan se lasketaan kokonaisjännitteistä ja -virroista! Jos lähteen tai vastuksen virran ja jännitteen suunta on sama, kuluttaa elementti tehoa ja jos taas erisuuntaiset, se tuottaa tehoa. Lähteiden luovuttamia tehoja ovat P 1 U 1 I 1 1 (J 2 +J 3 ) 30kW P 2 U 2 I 2 [ 1 +( + )J 2 + J 3 ]J 2 90kW P 3 U 3 I 3 [ 1 + J 2 +( + )J 3 ]J 3 40kW. Huomataankin, että jännitelähde 1 ei luovuta tehoa, vaan se kuluttaa tehoa. Tarkistuksen vuoksi lasketaan vastusten kuluttamat tehot: P 1 I1 2 (J 2 +J 3 ) 2 45kW P 2 I2 2 J2 2 40kW P 3 I3 2 J3 2 15kW Tarkistetaan lopuksi tehotasapaino. Tehojen summan tulisi olla nolla. Lähteiden luovuttamien tehojen summan tulisi olla sama kuin vastuksissa kuluvien tehojen summa. P 1 +P 2 +P 3 P 1 +P 2 +P 3 ( )kW ( )kW 100kW 100kW 13

14 3.2 U 0 k I a a Oheisessa piirissä on ennen kytkimien sulkemista vain yksi silmukka. Laske solmuista ja näkyvän Théveninin lähteen lähdejännite T ja sisäinen resistanssi T. Laske sitten virta I a, joka saadaan, jos kytkimet suljetaan, kun a) a 0 Ω, b) a 8 Ω, c) a 12 Ω. 3 5 Ω 3 Ω 4 Ω 3 16V. 8 Ω k Théveninin menetelmässä yksinkertaistetaan piiriä korvaamalla kiinteä piirin osa sarjaan kytketyillä jännitelähteellä ja vastuksella. T T 3 Théveninin lähde voidaan muodostaa joko tyhjäkäyntijännitteen U 0 ja oikosulkuvirran I k avulla: T U 0, T U 0 I k, U 0 I k käyttäen lähdemuunnoksia J / J J tai tyhjäkäyntijännitteestä U 0 ja passiivisen piirin resistanssista p : T U 0, T p. (piiri ei tällöin saa sisältää ohjattuja lähteitä) U 0 lähteet sammutettu p Seuraavassa muodostetaan Théveninin lähde kolmella vaihtoehtoisella tavalla ja lopuksi ratkaistaan kysytty virta yksinkertaistetusta piiristä. 14

15 Théveninin lähteen muodostaminen tyhjäkäyntijännitteen ja oikosulkuvirran avulla I 12 3 U 0 3 I 3 I k Koska I 4 0, U 0 U 1 +U (jännitteenjakokaava), I k + I (virranjakokaava) (1+2) ( + + ) +( + ) + 3, ( + ) +( + + ) T U , T U 0 I k ( + ) +( + + ) + + ( + ) Théveninin lähteen muodostaminen käyttäen lähdemuunnoksia ( + ) + + ( + )

16 Théveninin lähteen muodostaminen tyhjäkäyntijännitteen ja passiivisen piirin resistanssin avulla T lasketaan kuten edellä tyhjäkäyntijännitteestä. Koska piiri ei sisällä ohjattuja lähteitä, voidaan T laskea vastaavasta passiivisesta piiristä. Sammutetaan lähteet ja lasketaan T T T U , T + ( + ) + +. Yksinkertaistettu piiri Théveninin muunnoksen jälkeen: T T k I a T a V T + ( + ) Ω k Virraksi I a, kun kytkin suljetaan, saadaan a) 8V I a 8 Ω+0 Ω 1 b) 8V I a 8 Ω+8 Ω 0,5 c) 8V I a 8 Ω+12 Ω 0,4 I a T T + a. 16

17 3.3 Laske Nortonin menetelmällä virta I 3. I 3 1kΩ 2kΩ J 9m 1 12V 4 18V. 1 J 4 Poistetaan kuormaresistanssi ja ratkaistaan sisäinen resistanssi sammuttamalla lähteet. N kω 1 2 kω 2 atkaistaan oikosulkuvirta: 1 J J N 4 J N 1 +J + 4 (12+9+9) m 30m Korvataan piiri Nortonin lähteellä ja lasketaan I 3. J N N I 3 I3 N N + J N 6m 17

18 3.4 I 1 I 3 5 I 5 Olettaen, että jännite tikapuupiirin loppupäässä on U 6 1V, laske sitä vastaava jännite U 0 piirin alkupäässä ja laske myös tätä olettamusta vastaava piirissä lämmöksi muuttuva teho P. 2kΩ 5kΩ 4kΩ 6kΩ 5 2kΩ 6 1kΩ. 0 U 0 U 2 U 4 6 U 6 Kuinka suuri olisi jännite U 6, jos alkupään lähdejännite 0 10V? Mikä olisi tällöin lämmöksi muuttuva teho? I 1 I 3 5 I 5 U 0 U 2 U 4 6 U 6 Lähdetään systemaattisesti etenemään piirin loppupäästä kohti piirin alkupäätä ratkaisemalla vuorotellen piirin virrat ja jännitteet Ohmin lain avulla. U 6 1V I 5 U 6 6 1m U 4 ( ) I 5 3V I 3 U 4 +I 5 1,5m U 2 I 3 +U 4 9V I 1 U 2 +I 3 3,3m U 0 I 1 +U 2 15,6V Piirissä lämmöksi muuttuva teho on sama kuin lähteen piiriin syöttämä teho P U 0 I 1 51,48mW. Koska piiri on lineaarinen (ei sisällä lähteitä, resistanssit ovat vakioita), muuttuvat kaikki piirin virrat ja jännitteet samassa suhteessa. Kun U 0 muuttuu suhteessa µ U 0 U 0 0 U 0 0,641, muuttuvat kaikki muutkin jännitteet 0,641 kertaisiksi. Piirin loppupään jännite on U 6 µ U 6 0,641V. Teho P ei ole lineaarinen suure, joten muuttunut teho tulee laskea muuttuneista jännitteistä ja virroista! P U 0 I 1 µu 0 µi 1 µ 2 U 0 I 1 µ 2 P 21,15mW. 18

19 4.1 I 1 I 3 I 4 Kirjoita oheiselle piirille matriisiyhtälö silmukkavirtojen I a ja I b avulla. atkaise yhtälöstä piirin virtojen I 1, I 3 ja I 4 lausekkeet. Tutki sitten, miten lausekkeen merkit muuttuvat, jos virran I b suunta vaihdetaan. 1 I a I b Silmukkayhtälöt: 1 I 1 I 3 I 4 [ ][ ] I a I b Ia I b [ ] Saadaan: I 1 I a I 4 I b Kun I b :n suunta vaihdetaan, saadaan: ( 1 3 )( ) ( 4 3 ) ( + + )( ) 3 ( 4 3 )( + + ) ( 1 3 ) ( + + )( ) 3 I 3 I a I b ( 3 1 )( + 5 )+( 3 4 )( + ) ( + + )( ) 3 1 I 1 I a I 3 3 I b I 4 4 [ ][ ] I a I b Kun ratkaistaan I a ja I b todetaan: I a I a I b I b I 4 I 3 I a +I b I a I b [ ] I 3 :n lauseke ei siis riipu silmukkavirtojen valinnasta! 19

20 4.2 Laske jännite U solmumenetelmällä. 1 Ω 1 2 Ω 1 Ω 1 Ω J 1 1 J 2 2. J 1 J 2 U atkaistaan solmumenetelmällä. 4 J 1 J 2 U Sijoitetaan lukuarvot atkaistaan jännite U U : G 1 +G 2 +G 3 G 2 G 3 G 2 G 2 +G 4 G 4 G 3 G 4 G 3 +G U U U U U U 0 J 1 J 2 0 J 1 J 2 U U V 2V. 20

21 4.3 5 Laskevirta I 6 ja jännite U 6 silmukkamenetelmän avulla. I V, J 2 1, Ω. 6 U 6 J 2 1 Muunnetaan aluksi virtalähde jännitelähteeksi, koska silmukkamenetelmässä on vain jännitelähteitä. 5 I c I 6 I a 6 I b 1 J 2 Valitaan silmukkavirrat niin, että resistanssissa 6 kulkee vain yksi silmukkavirta. Tällä valinnalla riittää ratkaista vain yksi tuntematon virta. atkaistaan I 6 I a : I 6 I a ( + ) ( + ) J ( + ) 0 ( + ) I a I b I c ( + ) ( + ) J 2 0 missä delleen: 1 11 ( 1 J 2 ) ( ) 11 ( + ) 21 31, 11 ( )( ) ( + ) 2 8 Ω 2 21 ( + )( ) ( + ) 4 Ω 2 31 ( + )( + )+ ( ) 0. I ,75 U 6 I 6 6 2,75V 21

22 4.4 U 3 LaskesolmumenetelmälläjänniteU 1.Laskevielälopuksi virta I 3 ja jännite U 3. G 3 I 3 J 1 0,2 G 1 3mS G 2 6mS J 2 0,3 G 3 14mS 1V. J 1 G 1 U 1 U 2 G 2 J 2 Valitaan piirin alin solmu referenssisolmuksi, jolloin U 1 ja U 2 ovat solmujännitteet, ja tehdään lähdemuunnos piirin jännitelähteelle. Saadaan: G 3 I 3 G 3 [ G1 +G 3 G 3 G 3 G 2 +G 3 ][ U1 U 2 ] [ ] J1 + G 3 J 2 G 3 J 1 G 1 U 1 G 2 U 2 J 2 atkaistaan U 1 : U 1 J 1 + G 3 G 3 J 2 G 3 G 2 +G 3 G 1 +G 3 G 3 G 3 G 2 +G 3 (G 2 +G 3 )(J 1 + G 3 )+G 3 (J 2 G 3 ) G 1 G 2 +G 2 G 3 +G 3 G 1 57,5V Huom! Lähdemuunnoksessa kadotettiin alkuperäinen haara, jonka virtaa ja jännitettä kysyttiin. Muunnellun piirin G 3 :n yli oleva jännite I ole alkuperäisen piirin U 3!!! Katsotaansiis nyt alkuperäistä piiriä, josta virtalain perusteella: I 3 J 1 G 1 U 1 27,4m U 3 I 3 G 3 1,96V 22

23 5.1 gu 1 G 4 G 5 Laske jännite U 3 oheisessa piirissä. G 1 1S G 2 2S G 3 3S G 4 4S G 5 5S g 6/V J 1 3. J 1 G 1 U 1 G 2 G 3 U 3 Valitaan solmujännitteet esim. kuvan mukaisesti, jolloin saadaan: gu 1 G 4 G 5 J 1 G 1 U 1 G 2 U 2 G 3 U 3 G 1 +G 4 G 4 0 G 4 G 2 +G 4 +G 5 G 5 0 G 5 G 3 +G 5 U 1 U 2 U 3 J 1 gu 1 gu 1 Tässä vaiheessa konduktanssimatriisi on symmetrinen. Siirretään ohjatusta lähteestä aiheutuvat termit vasemmalle puolelle, minkä jälkeen konduktanssimatriisi on epäsymmetrinen. G 1 +G 4 G 4 0 G 4 g G 2 +G 4 +G 5 G 5 U 1 U 2 J 1 0 g G 5 G 3 +G 5 U 3 0 atkaistaan U 3 : missä U 3 G 1 +G 4 G 4 J 1 G 4 g G 2 +G 4 +G 5 0 g G 5 0 G 1 +G 4 G 4 0 G 4 g G 2 +G 4 +G 5 G 5 g G 5 G 3 +G 5 J G 5 23+(G 3 +G 5 ) 33, Saadaan: 13 (G 4 +g)g 5 (G 2 +G 4 +G 5 )g 16S 2 23 (G 1 +G 4 )G 5 +gg 4 1S 2 33 (G 1 +G 4 )(G 2 +G 4 +G 5 ) G 4 (G 4 +g) 15S 2. U V 0,417V 23

24 5.2 Laske jännite U 2 oheisessa piirissä. 1 2V 2 1V α 3 1 Ω 2 Ω 3 Ω. U αu 2 TP 1 silmukkamenetelmä: Valitaan silmukkavirrat esim. kuvan mukaisesti, jolloin saadaan: 1 U 2 I b [ ][ ] [ I a αu Ia + I b ] α I a 2 Tässä vaiheessa resistanssimatriisi on symmetrinen. Siirretään ohjatusta lähteestä aiheutuvat termit vasemmalle puolelle, minkä jälkeen resistanssimatriisi on epäsymmetrinen. [ ][ ] [ ] 1 + Ia 1 2 +α + I b 1 atkaistaan silmukkavirta I a : I a + +α + delleen saadaan jännite U 2 : 1 ( + ) 2 + +(1 α). U 2 I a 1 ( + ) 2 + +(1 α) 4 5 V 0,8V. 24

25 TP 2 - solmumenetelmä: lkuperäinen piiri: U αu 2 Tehdään ensin lähdemuunnokset. J 1 J 2 J 3 J 1 G 1 1 J 2 G 2 2 J 3 G 3 αu 2 Kysytty jännite U 2 on nyt hävinnyt muunnetusta piiristä. Se voidaan kuitenkin ratkaista, koska alkuperäisen piirin perusteella tiedetään, että solmun jännite on U Kirjoitetaan solmuyhtälöt: sijoittamalla U U ja kertomalla auki saadaan [G 1 +G 2 +G 3 ]U G 1 1 +G 2 2 +G 3 αu 2 (G 1 +G 2 +G 3 )U 2 +G 1 2 +G 3 2 G 1 1 +G 3 αu 2 eli U 2 (G 1 +G 3 ) 2 G 1 1 αg 3 (G 1 +G 2 +G 3 ) 4 5 V. 25

26 5.3 I 1 ri 1 U 2 Laske virta I 1 oheisessa piirissä. 1 1 V 2 2 V α 4 1 Ω 2 Ω r 3 Ω. 1 2 αu 2 U 2 1 I 1 I a ri 1 αu 2 I b 2 Ohjattujen lähteiden tarvitsemat suureet silmukkavirtojen avulla lausuttuna: I 1 I a U 2 I b Silmukkayhtälöt: [ ][ ] [ ] [ ] 1 0 Ia 1 +ri 1 αu 2 1 +ri a α I b 0 I b 2 +ri 1 αu 2 2 +ri a α I b Siirretään ohjattujen lähteiden termit yhtälön vasemmalle puolelle: [ ][ ] 1 r α Ia r (1+α) I b [ 1 2 ] ramerin säännöllä saadaan ratkaistua kysytty virta: 1 α 2 (1+α) I 1 I a r α (1+α) 1 α 2 (1+α)( r)+αr r (1+α) 26

27 5.4 J G 1 G 2 gu 2 U 1 U 2 gu 1 G 3 U Laske konduktanssin G 3 arvo, kun jännite U 1 V. G 1 4S G 2 2S J 3 g 5S. a b c G 2 J G 1 gu 2 U 1 U 2 gu 1 G 3 U Kirjoitetaan solmuyhtälöt. Siirretään g:t konduktanssimatriisiin. G 1 +G 2 G 2 0 G 2 G G 3 G 1 +G 2 G 2 0 G 2 G 2 g 0 g G 3 U a U b U c U a U b U c J gu c gu b J 0 0 Sijoitetaan lukuarvot atkaistaan U c. Koska U c 1 V, niin ja näin ollen atkaisu on G 3 U c U a U b U c ( 2 5) G 3 ( ) G 3 150, 8G G 3 15S. 27

28 6.1 I U Laske vastuksen ja kondensaattorin sarjaankytkennän impedanssi Z, kun taajuus saa kolme arvoa a) f 397,9 khz b) f 795,7 khz c) f 1592kHz. Laske vastaavat admittanssit Y. 2 Ω 0,1µF. Kytkennän impedanssi (ω 2πf): dmittanssi: Z + 1 jω j 1 ω Y 1 Z Lukuarvot: a) b) c) Z (2 j4,0) Ω 4,47/ 63,43 Ω Y 1 Z 1 4,47/ 63,43 Ω 0,224/63,43 S (0,10+j0,20) S Z (2 j2) Ω Y (0,25+j0,25) S Z (2 j1) Ω Y (0,40+j0,20) S 28

29 6.2 j(t) L u L (t) u (t) u(t) Laske jännitteet U L, U ja U osoittimina ja muunna ajan funktioiksi. Miksi induktanssi L ei vaikuta jännitteeseen U, eikä resistanssi jännitteeseen U L? Miksi jännitteen U L vaihekulma ei ole 90, vaikka kelan impedanssi on puhtaasti imaginaarinen? j(t) ĵ sin(ω t+φ). ω rad s 10 Ω L 1mH φ 30 π 6rad ĵ 1. loitetaan muuntamalla j(t) osoittimeksi: J ĵ 2 /φ 1 2 /30 Lasketaan kysytyt jännitteet osoittimina: Muunnetaan osoittimet takaisin ajan funktioiksi: U J 10 2 /30 V U L jωlj 10 2 /120 V U U L +U 10/75 V u (t) 10sin(ω t π)v 10sin(ω t+ π 6 )V u L (t) 10sin(ω t π 180 π)v 10sin(ω t+ 3 )V u(t) 10 2sin(ω t π)v 10 2sin(ω t+ 5 π 12 )V Piirissä oleva virtalähde on ideaalinen, mistä seuraa että sen syöttämä virta ei riipu kuormaimpedanssista. Koska piirissä on ainoastaan yksi silmukka, on kaiken virran kuljettava vastuksen ja kelan kautta. Sarjaankytkennän takia kummankin virta on sama J (tai j(t)) ja siis toisesta komponentista riippumaton. Impedanssin vaihekulma on yhtä suuri kuin jännitteen ja virran vaiheiden erotus. Induktanssin tapauksessa se tarkoittaa, että jännite on 90 virtaa edellä. Koska virran vaihe on 30, jännitteen vaiheen on oltava 120. Osoitindiagrammi: U U L U J 29

30 6.3 esistanssin 20Ω ja induktanssin L 1 100mH sarjaankytkennän rinnalle on kytketty resistanssin ja kapasitanssin 2 sarjaankytkentä. Taajuudella f 50 Hz ovat haarojen virtojen itseisarvot yhtä suuret ja niiden vaihe-ero on 90. Laske ja 2. L 1 2 I 2 jω 2 U I 2 U jωl 1 I 1 L 1 2 I 2 I 1 I 1 Käytetään apuna osoitinlaskentaa. Koska virtojen itseisarvot ovat yhtä suuret, ja vaihe-ero on 90, voidaan virroille kirjoittaa yhtälö: I 2 ±ji 1 Kaksi kompleksilukuahan voidaan kertoa keskenään kertomalla itseisarvot ja laskemalla kulmat yhteen. Imaginaariyksikön itseisarvo on yksi ja kulma on vaadittu 90. Kertominen j:llä kääntää siis vaihetta 90. ±-merkki tarvitaan koska ei tiedetä kumpi virta on vaiheessa edellä. Koska haarat on kytketty rinnan, niiden jännitteiden on oltava samat. Kirjoitetaan jännitteelle yhtälö: U I 1 ( +jωl 1 ) I 2 ( ) ±ji 1 ( j ) jω 2 ω 2 +jωl 1 ±j ± 1 ω 2 Merkitään reaaliosat keskenään yhtä suuriksi, samoin imaginaariosat: ± 1 ω 2 ωl 1 ± Miinusmerkit hylätään, koska arvojen on oltava positiivisia ωl 1 31,42Ω 2 1 ω 159,2µF. 30

31 6.4 e(t) u (t) Kuvan mukaisessa piirissä tunnetaan kondensaattorin jännite u (t). Laske lähdejännite e(t). u (t) û sin(ωt+φ) û 10 V ω 500 rad/s φ π 6 10 Ω 1 mf. e(t) u (t) Siirrytään osoittimiin: Jännitteenjakosääntö: Tästä ratkaistaan kysytty : U U 10 2 / 30 1 jω + 1 jω 1 1+jω (1+jω)U (1+j5) 10 2 / 30 36,056/48,69 Siirrytään takaisin aika-alueeseen: e(t) 50,99sin(ωt+48,69 )V 31

32 7.1 e(t) L Laske generaattorin antama pätö- ja loisteho sekä komponenttien yli olevat jännitteet hetkellä t 0. e(t) êsin(ωt+ϕ)v ê 10 V f 50Hz ϕ 45 1 Ω L 1mH 1 mf. I L Siirrytään osoittimiin: e(t) e(t) êsin(ωt+ϕ) ê 2 /ϕ 10 2 /45 Piirin kokonaisimpedanssi (ω 2πf): Virraksi saadaan: Z +jωl+ 1 jω +j(ωl 1 ω ) 3,038/ 70,78 Ω ϕ z j(ωl 1 I Z 2,327/115,78 Z ω ) Generaattorin antama kompleksinen teho on josta saadaan suoraan pätö- ja loisteho: Komponenttien jännitteet ovat siis Siirrytään hetkellisarvoihin: Sijoitetaan t 0: S I 16,45/ 70,8 V (5,417 j15,54)v, P e{s} 5,417W Q Im{S} 15,54Vr U I 2,327/115,78 V U L jωli 0,731/ 154,22 V U 1 jω I 7,408/25,78 V. u (t) 2 2,327sin(ωt+ 115,78 π 180 )V 3,291sin(ωt+ 115,78 π 180 )V u L (t) 2 0,731sin(ωt+ 154,22 π 180 )V 1,034sin(ωt+ 154,22 π 180 )V u (t) 2 7,408sin(ωt+ 25,78 π 180 )V 10,48sin(ωt+ 25,78 π 180 )V u (0) 2,964V u L (0) 0,450V u (0) 4,556V Kaikilla t:n arvoilla jännitelain on oltava voimassa. Tarkistetaan vielä, että jännitteiden summa on sama kun lähdejännitteen arvo hetkellä t 0: u (0)+u L (0)+u (0) 7,07V 10sin(45 )V 32

33 Kuvan piirissä on resistanssin ottama teho P 30 4 W, kun jännitteen 1 taajuus on f 0Hz. Millä taajuudella f c resistanssi ottaa vain P 3 2 W, kun jännitteen tehollisarvo ei muutu? 5kΩ 10kΩ 2 1 µf. TP 1: I Muodostetaan :n ottaman tehon lauseke ω:n funktiona. loitetaan laskemalla jännitelähteen syöttämä virta: :n virta saadaan virranjakosäännöllä: I + 1 jω jω 2 I 3 1 jω jω 2 I 1 jω jω jω jω jω 2 P 3 (ω) e{u 3 (ω) I 3(ω)} e{ I 3 (ω) I 3(ω)} I ( + ) 2 +(ω 2 ) 2 Tässä 1 2 :a ei tunneta. Tunnetaan kuitenkin :ssa kulmataajuuksilla ω 0 0 ja ω c kuluvien tehojen suhde. Näin ollen ω c :n ratkaisu saadaan helpoiten muodostamalla lauseke tälle tehojen suhteelle, jolloin 1 2 :a ei tarvitse erikseen laskea. P 30 ( + ) 2 +(ω c 2 ) P ( + ) 2 +(ω 0 2 ) 2 ( + ) 2 +(ω c 2 ) 2 ( + ) 2 ω c 2 +( + ) P30 P 3 1 ω c P ( + ) 30 P s f c ω c 47,75 Hz 2π TP 2: Tarkastele piiriä ensin nollataajuudella, jolloin kapasitanssi korvautuu avoimella piirillä. Laske 1 :n arvo annetun tehon P 30 avulla. ( 1 300V) Muodosta :n ottaman tehon lauseke taajuuden funktiona (kuten tavalla 1 laskettaessa) ja ratkaise lausekkeesta kysytty taajuus f c. 33

34 7.3 L Laske kondensaattorivirta I oheisessa piirissä I 20V 20 Ω L 2 mh 0,5 µf 40 Ω f 5 khz. TP 1: Lasketaan ensin kondensaattorin ja vastuksen rinnankytkennän impedanssi: Z 1 Lähteen näkemä kokonaisimpedanssi: Lasketaan lähteen syöttämä virta: jω + 1 jω 1+jω 33,87/ 32,14 Ω Z 2 Z 1 +jωl+ 66,16/42,63 Ω I Z 2 Kondensaattorin virta saadaan virranjakosäännöllä: I 1 jω + 20/φV 66,16/42,63 Ω 0,3023/φ 42,63 I jω 1+jω I 0,161/φ+15,2 I 0,161 TP 2: Valitaan silmukkavirrat esim. seuraavasti: L I I I Kirjoitetaan silmukkayhtälöt matriisimuodossa ja ratkaistaan kysytty virta. [ ] [ ] [ jωl+1 + I + 1 jω I 0 I I jω (jωl+ + )( + 1 jω ) 2 2 (jωl+ + )(jω +1) jω2 2 jω ω 2 L + + +jω(l+ ) 0,161/φ+15,2 I 0,161 ] 34

35 7.4 L U Kuinka suuri on suodattimen jälkeen esiintyvä häiriöjännite U, kun 1000Ω,L 0,225H, 0,113µF sekä 1V jos a) f 0Hz b) f 1kHz c) f 5kHz. Lasketaan lähteen syöttämä virta: I jωl+ jω + 1 jω jωl+ 1+jω Jännite U saadaan kertomalla virta vastuksen ja kondensaattorin rinnankytkennän impedanssilla: U 1 jω + 1 jω U I (1+jω)jωL+ 1+jω I [(1 ω 2 L)] 2 +(ωl) 2 1+jω (1 ω 2 L)+jωL jωl+ 1+jω Lukuarvot: a) f 0 U 1V b) f 1kHz U 0,707V c) f 5kHz U 39,83mV 35

36 8.1 Z Kuorma on kytketty generaattoriin pitkillä johtimilla, joiden resistanssi on. Kuinka suuri tehohäviö johtimissa tapahtuu? Kuorman loisteho kompensoidaan kuorman rinnalle kytketyllä kondensaattorilla. Mikä on kondensaattorin kapasitanssi ja kuinka suuri on johtimien tehohäviö kompensoinnin jälkeen? 230/0 V 1 Ω Z 40/45 Ω f 50 Hz. atkaistaan ensin johtimissa kulkeva virta ja siitä johtimissa kuluva tehohäviö: I Z I 2+Z 5,55/ 43,04 P 2 I 2 61,6 W Mitoitetaan kondensaattori niin, että kuorman ja kondensaattorin kokonaisimpedanssi on puhtaasti reaalinen. Kuormaa on helpointa käsitellä admittanssina, koska rinnankytkennässä admittanssit summautuvat. I Y jω Y jω +Y, Y 1 Z 1 40 / 45 S ( ) 2 2 Y G+j 80 j S 80 { Im Y } ω + 0 ω ω 56,3 µf Nyt kondensaattorin admittanssi ja kuorman admittanssin imaginaariosa ovat kumonneet toisensa ja jäljellä on ainoastaan kuorma-admittanssin reaaliosa. Y e{y} G Z 1 e{y} 56,57 Ω Lasketaan uutta tilannetta vastaava virta ja hukkateho. I 2+Z 3,93 P 2 I 2 30,8 W 36

37 8.2 L g g g L L Generaattori halutaan liittää kuormaan L siten, että kuormaan saatava teho on mahdollisimman suuri. Generaattorin ja kuorman väliin liitetään kuvan mukainen sovituspiiri. Valitse L ja siten, että edellä esitetty ehto toteutuu. Laske kuormaan saatava teho ja vertaa tätä ilman sovituspiiriä saatavaan tehoon. g 30/0 V L 100 Ω f 1kHz g 10 Ω L g 1 mh. Kuormassa ilman sovituspiiriä kuluva teho: g L g g P L,ilman L I L 2 L g g + L +jωl g L L g 2 ( g + L ) 2 +(ωl g ) 2 7,41W 2 Tarkastellaan nyt tilannetta sovituspiirin kanssa. Koska sovituspiiri ei kuluta pätötehoa, lähteen luovuttama maksimiteho on samalla kuormassa kuluva maksimiteho. Saadaan: P g,max P L,max g 2 Sovituspiirin induktanssin ja kapasitanssin määrääminen: 4 g 22,5W TP 1 P g,max saavutetaan kun Z g Z L. Sovituspiiri sisältyy Z L :ään. Saadaan: Kun merkitään Z g Z L, saadaan: Z g g +jωl g Z g g jωl g Z L jωl+ 1 jω L 1 jω + jωl+ L L g jω(l g +L)+ 1+jω L L 1+jω L g +jω L g L [ 1 ω 2 (L g +L) ] +jω(l g +L) Merkitään reaaliosat keskenään yhtäsuuriksi, samoin imaginääriosat, jolloin saadaan yhtälöt: g L [ 1 ω 2 (L g +L) ] L g L g +L Kun jälkimmäinen yhtälö sijoitetaan edelliseen, saadaan: g L [ 1 ω 2 2 L g ] atkaistaan tästä yhtälöstä : 1 L 1 4,77µF ω L g 37

38 L ratkaistaan yhtälöstä L g L g +L, jolloin saadaan: L g ω L g 1 L g 3,77mH TP 2 Lasketaan kuormavastuksen L ja kondensaattorin rinnankytkennän impedanssi Z L. Z L L jω L + 1 jω L jω L +1 Tutkitaan aluksi impedanssin reaaliosaa. Lausekkeen nimittäjä on ensin lavennettava reaaliseksi. Z L L jω L (ω L ) 2 +1 { } e Z L L (ω L ) 2 +1 Sarjainduktanssin L lisääminen vaikuttaa ainoastaan impedanssin imaginaariosaan ja reaaliosa jää muuttumattomaksi. innakkaiskapasitanssi sen sijaan vaikuttaa sekä reaaliosaan, että imaginaariosaan. innakkaiskapasitanssilla säädetään siis ensin reaaliosa oikean suuruiseksi. Imaginaariosa voidaan sovittaa lisäämällä reaktiivinen sarjakomponentti, tässä tapauksessa kela. Generaattorin ja kuorman impedanssien reaaliosien on oltava yhtä suuret: atkaistaan kapasitanssi : { } g e Z L L (ω L ) 2 +1 L g (ω L ) 2 4,77 µf g Lasketaan nyt lukuarvo impedanssin Z L imaginaariosalle. { } Im Z L ω2 L (ω L ) Ω Z L Z L +jωl Kuorma- ja generaattori-impedanssien imaginaariosien on oltava yhtä suuret, mutta vastakkaismerkkiset. { } ωl g Im Z L +ωl { } Im Z L ωl g L 3,77 mh ω 38

39 8.3 Millä taajuuksilla oheinen piiri on resonanssissa? a L b 10 µf 100 Ω L 10 mh. Muodostetaan piirin impedanssin lauseke: Z ab jωl+ 1 jω 1 jω + jωl+ 1+jω jωl(1+jω)+ 1+jω josta edelleen laventamalla nimittäjän kompleksikonjugaatilla Z ab (jωl ω2 L +)(1 jω) 1+(ω) 2 Sarjaresonanssi: Im{Z ab } ωl+ω3 L 2 ω 1+(ω) 2 0 Piirin admittanssin lauseke saadaan impedanssin lausekkeesta: Y ab Z 1 ab 1+jω ω 2 L +jωl (1+jω)( ω2 L jωl) ( ω 2 L) 2 +(ωl) 2 ω2 L jωl+jω +ω 2 L jω 3 L 2 ( ω 2 L) 2 +(ωl) 2. jωl ω2 L +, 1+jω jωl ω2 L ++ω 2 L +jω 3 L 2 jω 1+(ω) 2. innakkaisresonanssi: Im{Y ab } ω2 ωl ω 3 L 2 ( ω 2 L) 2 +(ωl) 2 0. esonanssiehdoksi saadaan sekä sarja- että rinnakkaisresonanssissa: ω ωl+ω 3 L 2. Tästä saadaan: ω( L ω 2 L 2 ) 0 Tämä toteutuu, kun Lisäksi yhtälö toteutuu, kun ω 0 0 f 0 0 (triviaaliratkaisu) ω 2 L 2 L ω 2 L L rad/s f 477 Hz. 39

40 8.4 g L L Laske komponenttien L 1 ja 2 arvot siten, että kuormaan L ei mene tehoa kulmataajuudella ω 1 40 Mrad/s, ja suodatinpiiri (L ) vastaa oikosulkua kulmataajuudella ω 2 20 Mrad/s pF. innankytketyt L 1 ja 1 muodostavat kaistanestosuodattimen, jonka tulee vastata avointa piiriä (Z ) kulmataajuudella ω 1 40 Mrad/s. Z L (ω 1 ) jω 1L 1 jω 1 1 jω 1 L jω 1 1 jω 1 L 1 1 ω 2 1 L 1 1 Saadaan ehto 1 ω 2 1 L eli L 1 1 ω ,125 µh Koko sovituspiirin pitää vastata oikosulkua kulmataajuudella ω 2 20 Mrad/s. Lasketaan siis rinnankytkennän impedanssi kulmataajuudella ω 2 20 Mrad/s: Z L (ω 2 ) Kapasitanssin 2 pitää kumota tämä impedanssi eli jω 2 L 1 1 ω 2 2 L 1 1 j83,33ω 1 j jω 2L 1 jω 2 2 ω ω2 2L j83, josta saadaan [ (ω1 ) 2 2 1] 1 ω pf ω 2 83,33 simerkin suodatinpiiri suodattaa (häiriö)signaalin pois kulmataajuudelta ω 1, mutta ei vaikuta ollenkaan laitteen toimintaan kulmataajuudella ω 2. Suodatin on toteutettu käyttämällä rinnakkaisresonanssiin perustuvaa kaistanestosuodatinta. Vastaavan suodatinpiirin voisi suunnitella myös käyttämällä seuraavia kytkentöjä. g g 1 L 2 Z L Sarjaresonanssiin (L 1 ja 1 ) perustuva kaistanestosuodatin. Mitoittamalla kela L 2 oikein saadaan piiri näyttämään oikosululta, kun ω ω 2. L 1 g g L Sarjaresonanssiin (L 1 ja 1 ) perustuva kaistanpäästösuodatin. Tässä L 1 :n ja 1 :n arvo mitoitetaan siten, että ne näyttävät oikosululta kulmataajuudella ω 2. :n arvo määräytyy siitä, että kytkennän pitää näyttää L avoimelta piiriltä, kun ω ω 1. 40

41 g L 2 g L ja 1 ) perustuva kais- innakkaisresonanssiin (L 1 tanpäästösuodatin 1 L 1 41

42 9.1 Laske jännite U 3 sekä ideaaliseksi oletetun operaatiovahvistimen ulostulovirta I o 2/0 V 2nF ω rad/s 10 kω 20kΩ 80 kω 50 kω. I O U 3 loitetaan tekemällä jännitelähteelle lähdemuunnos. I o U 3 I o U 3 G 2 Solmuyhtälö : G 2 +G G 1 +G 4 +jω G 4 jω 0 G 4 jω G 4 +jω U U U G 2 0 I o U U Voidaan laskea 1. ja 2. pystyrivi yhteen. Jäljelle jää kaksi tuntematonta (U, U ) ja kolme yhtälöä. Yksi yhtälöistä on ylimääräinen, ja koska I o on tuntematon jätetään 3. yhtälö käyttämättä. Saadaan : [ atkaistaan U 3 U : U 3 U Lukuarvot: G 2 +G 3 0 G 1 +G 4 +jω G 4 jω G 2 +G 3 G 2 G 1 +G 4 +jω 0 G 2 +G 3 0 G 1 +G 4 +jω G 4 jω ][ U ] U [ G2 0 G 2(G 1 +G 4 +jω) (G 2 +G 3 )( G 4 jω) G 2(G 1 +G 4 +jω) (G 2 +G 3 )(G 4 +jω) ( + +jω ) ( + )(1+jω ) U 3 ( + +jω ) ( + )(1+jω ) 4,525/ 45 V I o lasketaan aiemmin käyttämättä jätetystä 3. yhtälöstä: I o ( G 4 jω)u +(G 4 +jω)u (G 4 +jω)(u U ) ] 42

43 atkaistaan U joko suoraan piiristä jännitteenjaolla ( U ) tai matriisiyhtälöstä: G G 4 jω G U U 2 ( G 4 jω) G 2 +G 3 0 (G 2 +G 3 )( G 4 jω) G 1 +G 4 +jω G 4 jω delleen: G 2 G 2 +G 3 U U ( G 1 +G 4 +jω G 4 +jω 1) G 2 G 2 +G 3 G 1 G 2 (G 4 +jω)(g 2 +G 3 ) I o (G 4 +jω) (U U ) G 1G 2 G 2 +G 3 ( + ) 160/0 µ 43

44 9.2 Laske kuvan ylipäästösuodattimen jännitevahvistus U 0(jω) sekä sen itseisarvo. Operaatiovahvistin oletetaan ideaaliseksi. 1F 2 Ω 1 2 Ω. U 0 loitetaan tekemällä jännitelähteelle lähdemuunnos. I o U O jω I o U O Solmuyhtälö: G 2 +j2ω jω G 2 jω G 1 +jω 0 G 2 0 G 2 U U U jω 0 I o U U Voidaan laskea 2. ja 3. pystyrivi yhteen. Jäljelle jää kaksi tuntematonta (U, U ) ja kolme yhtälöä. Yksi yhtälöistä on ylimääräinen, ja koska I o on tuntematon jätetään 3. yhtälö käyttämättä. Saadaan : [ G2 +j2ω G 2 jω jω G 1 +jω atkaistaan U O U U : G 2 +j2ω jω jω 0 U O U G 2 +j2ω G 2 jω jω G 1 +jω Jännitevahvistus: Sijoitetaan lukuarvot: ][ U ] U [ jω 0 (jω) 2 (G 2 +j2ω)(g 1 +jω) jω(g 2 +jω) U O (jω) 2 (G 2 +j2ω)(g 1 +jω) jω(g 2 +jω) (jω) 2 (jω) 2 +jω 2G 1 +G 1 G 2 U O ω 2 1 ω 2 +j 2 ω U O ω 2 (1 ω 2 ) 2 +( 2 ω) 2 ] ω 2 ω

45 9.3 Z O1 Muodosta navoista - näkyvän impedanssin lauseke kulmataajuuden ollessa ω. Operaatiovahvistimet oletetaan ideaalisiksi. Impedanssin saat kun laitat napoihin virtalähteen J ja lasket napojen välisen jännitteen. Muista Ohmin laki U Z J. O2 TP 1: Kytketään napoihin - virtalähde J ja muodostetaan sitten napojen - välisen jännitteen lauseke. Impedanssi saadaan, kun jännite jaetaan virralla J. J O1 I O1 D O2 I O2 Solmuyhtälöt : jω 0 0 jω 0 G 1 G G 1 G 1 +G 2 G 2 jω 0 G 2 G 2 +jω U U U D U U U lasketaan 1. ja 2. pystyrivi yhteen. U D 0 poistetaan 3. pystyrivi. Kaksi tuntematonta voidaan valita 4:stä yhtälöstä 2, jotka ratkaistaan. I O1, I O2 tuntemattomia jätetään 2. ja 4. yhtälö käyttämättä. Saadaan : atkaistaan U : J jω 0 G 2 U jω jω G 1 G 2 Pisteiden ja välinen impedanssi: [ ][ ] [ ] jω jω U J G 1 G 2 U 0 J( G 2 ) jω( G 2 ) jωg 1 J I O1 0 I O2 G 2 jω(g 1 +G 2 ) J Z U J G 2 jω(g 1 +G 2 ) 1 ( jω 1+ G ) 1 G 2 1 ( jω 1+ ) 45

46 TP 2: I 3 I 2 I O1 I 1 D O2 U 0 U U Operaatiovahvistimet ideaalisia sisääntulonapojen välinen jännite 0 V: U U U D 0 I 1 U U D U Operaatiovahvistimet ideaalisia sisääntulonapoihin ei mene virtaa: I I 3 (U U ) jω I 2 I 1 U U U D I 2 U 2 Z U I ( ) U +U 2 jω U 1 ( ) 1+ 2 jω ( 1+ ) 2 jω 46

47 9.4 U in Kuvan mukaisessa kytkennässä operaatiovahvistin oletetaan ideaaliseksi. Mitoita kapasitanssi siten, että Uout U in α. α 10 2kΩ. f 20kHz 100 Ω U out I 1 I 2 U in U out Koska operaatiovahvistimen positiivinen ottonapa on maadoitettu, myös negatiivisen navan jännite U 0. Tästä saadaan virroille I 1 ja I 2 lausekkeet: Koska ottonapojen virrat ovat nollia, saadaan: I 1 U in ja I 2 U out 1 jω+1 I 1 +I 2 0 U out U in (jω +1) U out jω+1 U in U out U in jω +1 U out U in 2 (ω2 ) 2 +1 α 1+(ω ) 2 ( ) α ω ( ) α 3 2π F 6,892nF 47

48 10.1 M Laske jännitelähteen syöttämä pätöteho ja loisteho. Mikä on vastuksessa kuluva pätöteho? L 1 L 2 10 Ω 100 Ω L mh L mh M 300 mh 50 µf 230/0 V f 50 Hz. Korvataan aluksi muuntaja sijaiskytkennällään: jωl 1 jωl 2 I 1 I 2 jωmi 2 jωmi 1 jω Z 1 jω + 1+jω 53,703/ 57,52 Ω Valitaan silmukkavirrat kuvan mukaisesti siten, että virrat menevät keloihin sisään niiden pisteellisistä päistä. (Silmukkavirtojen suunnat voitaisiin valita toisinkin.) Kela L 1 korvataansijaiskytkennässäsitä vastaavallaimpedanssilla Z L1 ja impedanssin kanssa sarjassaolevallaohjatullajännitelähteelläjωmi 2,jokaottaaohjauksensakelanL 2 virrasta.m onkeskinäisinduktanssi, joka kuvaa kytkeytymistä muuntajan käämien välillä. Ohjatun jännitelähteen jωmi 2 +-napa osoittaa samaan suuntaan kuin kelan L 1 pisteellinen pää, koska ohjaava virta I 2 tulee kelaan L 2 pisteellisestä päästä. Kela L 2 korvataan vastaavasti kuin kela L 1. Kuten edellä, ohjatun jännitelähteen jωmi 1 +-napa osoittaa samaan suuntaan kuin kelan L 2 pisteellinen pää, koska ohjaava virta I 1 tulee kelaan L 1 pisteellisestä päästä. Kirjoitetaan silmukkayhtälöt, kun rinnankytketyt vastus ja kondensaattori on yhdistetty impedanssiksi Z: [ ][ ] [ ] 1 +jωl 1 0 I1 jωmi2 0 Z +jωl 2 I 2 jωmi 1 Siirretään ohjattujen lähteiden kertoimet matriisin puolelle: [ ][ ] [ 1 +jωl 1 jωm I1 jωm Z +jωl 2 I 2 0 atkaistaan I 1 : I 1 Lasketaan kompleksinen teho: Vastuksessa kuluva pätöteho: (Z +jωl 2 ) ( +jωl 1 )(Z +jωl 2 )+ω 2 M 2 6,522/ 34.0 S UI I 1 (1243+j839,6)V P e{s} 1243W Q Im{S} 839,6Vr P e{u 1 I 1 } e{i 1 I 1 } I ,3W ] 48

49 10.2 I 1 L 1 L 2 I 2 atkaise virta I 2 silmukkamenetelmällä. M 13 M 23 L /0 V 2 40/90 V 10 Ω 2 Ω 5 Ω ωl 1 2 Ω ωl 3 2 Ω ωl 2 4 Ω ωm 13 1 Ω ωm 23 1 Ω. 1 2 Korvataan aluksi muuntaja sijaiskytkennällä: jx 13 (I a +I b ) jx 1 jx 2 jx 23 (I a +I b ) I 1 I 2 jx 3 I 3 jx 13 I a I a I b jx 23 I b 1 2 Valitaan silmukkavirrat kuvan mukaisesti siten, että I a I 1 ja I b I 2, jolloin I 3 I a +I b. Jokainen käämi korvataan sijaiskytkennässä sitä vastaavalla impedanssilla ja jokainen keskinäisinduktanssi kahdella virtaohjatulla jännitelähteellä. Virta I a aiheuttaa keskinäisreaktanssin X 13 kautta käämiin X 3 lähdejännitteen jωm 13 I a. Koska ohjaava virta I a menee käämiin X 1 sisään pisteettömästä päästä, lähteen +-napa osoittaa samaan suuntaan kuin käämin X 3 pisteetön pää. Vastaavasti virta I 3 I a + I b aiheuttaa keskinäisreaktanssin X 13 kautta käämiin X 1 lähdejännitteen jx 13 I 3. Koska ohjaava virta I 3 menee käämiin X 3 sisään pisteellisestä päästä, vastaavan lähteen +-napa osoittaa samaan suuntaan kuin käämin X 1 pisteellinen pää. Keskinäisreaktanssi X 23 korvataan samalla tavalla ohjatuilla lähteillä. Kirjoitetaan silmukkayhtälöt: [ 1 + +jx 1 +jx 3 +jx 3 +jx 3 + +jx 2 +jx 3 ][ Ia I b ] [ ] 1 +jx 13 (I a +I b )+jx 13 I a jx 23 I b 2 jx 23 (I a +I b )+jx 13 I a jx 23 I b Siirretään ohjattujen lähteiden kertoimet matriisin puolelle: [ ][ ] 1 + +jx 1 +jx 3 2jX 13 +jx 3 jx 13 +jx 23 Ia +jx 3 jx 13 +jx jx 2 +jx 3 +2jX 23 I b [ 1 2 ] 49

50 atkaistaan virta I 2 I b : + +jx 1 +jx 3 2jX jx 3 jx 13 +jx 23 2 I b + +jx 1 +jx 3 2jX 13 +jx 3 jx 13 +jx 23 +jx 3 jx 13 +jx jx 2 +jx 3 +2jX j j2 j40 15+j2 5+j2 5+j2 7+j8 4,48/43,45 I 2 50

51 10.3 L 1 Induktanssien L 1 ja L 2 välinen kytkentäkerroin on k. Laske pisteiden ja välinen jännite U. I M L mh L mh 100 Ω 200nF I 3/0 f 800 Hz k 0,3. L 2 TP 1: Korvataan aluksi muuntaja sijaiskytkennällään: I Z Z M I 2 I 1 Z L1 Z Z 1 jω Z M jωm jωk L 1 L 2 Z L1 jωl 1 Z Z M I 1 I 2 Z L2 Z L2 jωl 2 Merkitään virta I jakautuneeksi virroiksi I 1 ja I 2. Tällöin haaran 2 virta voidaan ilmaista I 2 I I 1. Jännite U on sama kummankin haaran yli: haara 1: U Z I 1 +Z M I 2 +Z L1 I 1 Z I 1 +Z M I Z M I 1 +Z L1 I 1 (Z Z M +Z L1 )I 1 +Z M I haara 2: U Z I 2 +Z M I 1 +Z L2 I 2 Z I Z I 1 +Z M I 1 +Z L2 I Z L2 I 1 ( Z +Z M Z L2 )I 1 +(Z +Z L2 )I atkaistaan virta I 1 : (Z Z M +Z L1 )I 1 +Z M I ( Z +Z M Z L2 )I 1 +(Z +Z L2 )I Z +Z L2 Z M I 1 I 4,59/ 130,9 o Z Z M +Z L1 +Z Z M +Z L2 ja sijoitetaan haaran 1 jännitteen U lausekkeeseen: [ (Z Z M +Z L1 )(Z +Z L2 Z M ) U +Z M Z +Z L1 +Z 2Z M +Z L2 ( ) ( jωk 1 L1 L 2 +jωl 1 jω +jωl 2 jωk ) L 1 L 2 910/ 39,4 V ] I +jωl jω 2jωk L 1 L 2 +jωl 2 +jωk L1 L 2 I 51

52 TP 2: Muuntajan kelojen päiden välillä on oikosulku, joten voidaan käyttää myös yksinkertaisempaa sijaiskytkentää, jolloin piiriin ei tule ohjattuja lähteitä. L 1 M I M L 2 M Lasketaan piirin impedanssi. Kyseessä on kahden sarjaankytkennän rinnankytkentä, joiden kanssa sarjassa on vielä yksi kela. Z [+jω(l 1 1 M)][ jω +jω(l 2 M)] +jω(l 1 M)+ 1 jω +jω(l 2 M) +jωm 303,5/ 39,4 Ω Jännite on siis U ZI 910/ 39,4 V 52

53 10.4 U Määrää jännite U. M 2 Ω ωl 2 Ω ωm 1 Ω J 2/0 3/0 V. J L L U J I U 1 jωl jωl J U 2 jωmi jωmj U 3 Jännite U saadaan jännitelain avulla: U U 1 +U 2 +U 3 Vastuksen ja muuntajan vasemmanpuoleisen käämin virta on ideaalisen virtalähteen J lähdevirta. Tästä saadaan jännitteet U 1 ja U 2. U 1 J U 2 jωlj +jωmi Kirjoitetaan oikean puolen silmukalle jänniteyhtälö ja ratkaistaan tuntematon virta I: Sijoitetaan I jännitteen U 2 lausekkeeseen. jωli +jωmj 0 I M L J U 2 jωlj jω M2 L U 3 on ideaalisen jännitelähteen jännite. U 3 ( U J +jωl jωm M L J jω(l M2 L )J ) 1+j3V 3,16/72 V 53

54 11.1 v1 L1 L 2 v2 Symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä on kaksi konetta, joiden lähdejännitteet ovat vaihejännitteinä v1 ja v2. Järjestelmä on aluksi oikosulussa. Laske oikosulkuvirta I k ja sitten Nortonin menetelmällä jännite U 0, joka saadaan, kun oikosulku avataan. ωl 1 2 Ω v1 230/30 V 1 Ω ωl 2 3 Ω v2 230/0 V. U 0 I k Yksivaiheinen sijaiskytkentä: v1 jωl1 jωl 2 v2 I k Oikosulkuvirta: I k v1 v ,83/ 64,48 jωl 1 +jωl 2 Kytkimen navoista näkyvä kokonaisadmittanssi passiivisesta verkosta: Kytkimen yli vaikuttava jännite, kun kytkin on avattu: Y N ,806/ 82,87 S jωl 1 +jωl 2 J N Y N U 0 U 0 J N Y N I k Y N 231,73/18,40 V dellälaskettuu 0 on-vaiheenjännite. KysyttyT-vaiheenjänniteontämänkanssaitseisarvoltaansama,mutta eri vaiheessa. U 0 231,73/(120+18,40) V 231,73/( ,40) V 231,73/138,40 V 54

55 11.2 v L U S Laske symmetrisen kolmivaihepiirin jännite U S. v 230V 60 Ω 20 µf L 10 mh f 50 Hz. Muutetaan ensin kytkennän kolmiot tähdiksi: v L /3 N N 3 N Yhden vaiheen sijaiskytkentä: L v 3 /3 U esistanssin ja kapasitanssin rinnankytkennän impedanssi: Z Lasketaan jännite jännitteenjakosäännöllä: N /3 jω3 1 jω3 +/3 /3 1+jω 18,714/ 20,7 Ω U Z jωl+z v 241,139/ 9,5 V U S U U S U U / /20,5 V 55

56 11.3 v1 L1 L 2 v2 Symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä on tähteen kytketyt kuormavastukset ja kolmioon kytketyt kuormakondensaattorit. Laske vastusten yhdessä ottama pätöteho P ja kondensaattorien yhdessä ottama loisteho Q. ωl 1 40 Ω v1 220/30 V 80 Ω ωl 2 60 Ω v2 220/0 V ω 10mS. Muunnetaan ensin kolmioon kytketyt kondensaattorit tähteen kytketyiksi, jolloin niiden arvot muuttuvat: Ĉ 3 Kun kaikki komponentit ovat symmetrisesti tähteen kytkettyjä, voidaan tehdä yksivaiheinen sijaiskytkentä: v1 L1 L 2 v2 Ĉ Lähdemuunnokset: v1 jωl 1 L 1 Ĉ L 2 v2 jωl 2 Vastuksen ja kondensaattorin ylitse on sama jännite U v : U v v1 jωl 1 + v2 jωl 2 Vastusten ottama kokonaisteho: { P 3P v 3 e{u v I} U } v 3 e U v { Uv 2 } 3 e 10,085kW Kondensaattorien ottama kokonaisloisteho: Q 3Q v 3 Im{U v I} 3 Im {U v (jωĉu v) } { 3 Im jωĉ U v 2} 24,204kVr 1 jωl jωĉ + 518,58/ 28,91 V 1 jωl 2 56

57 11.4 U S P 1 I I S Symmetrisesti kuormitettuun kolmivaihejohtoon on kytketty kaksi wattimittaria kuvan esittämällä tavalla. Vaihejännite on U 200V ja tähteen kytketyn kuorman jokainen impedanssi on Z 200/30 Ω. Mitä tehoja P 1 ja P 2 mittarit näyttävät? U TS P 2 I T Valitaan U :n kulmaksi 0 U U /0, U T U /120 ja U S U /240 Lasketaan pääjännitteet U S ja U TS. Lasketaan seuraavaksi virrat I ja I T. Z I U S U U S 346,4/30 V U TS U T U S 346,4/90 V I S I T Z Z I U Z 1/ 30 I T U T Z 1/90 Lasketaan mittarien näyttämät pätötehot: P 1 e{u S I } 173W P 2 e{u TS I T} 346W 57