Kuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi

Transkriptio

1 31 VAIHTOVIRTAPIIRI 311 Lineaarisen vaihtovirtapiirin impedanssi ja vaihe-ero Tarkastellaan kuvan 1 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa on resistanssi R, kapasitanssi C ja induktanssi L sarjassa Jännitelähde on äänitaajuusgeneraattori G, josta saadaan sinimuotoinen vaihtojännite U=U 0 sinωt, jonka taajuutta f=ω YRLGDDQVäätää äänitaajuusalueella 0-20 khz Kuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi Kirchoffin lain mukaan on U ˆ 0 sin ωt = RI + L di dt + Q C, (1) jossa esiintyvä varaus Q muunnetaan virraksi derivoimalla: U ˆ 0 ω cosωt = R di dt + L d2 I dt 2 + I C (2) Kaavoissa (1) ja (2) U^0 tarkoittaa vaihtojännitteen huippuarvoa Yhtälö (2) on toisen kertaluvun lineaarinen ja epähomogeeninen differentiaaliyhtälö Sen ratkaisu stationäärisessä eli ajasta riippumattomassa tilassa määräytyy pakkovoimasta ωcosωt, jolloin ratkaisu on U^0 yhtälön (2) yksityisratkaisu U I = ˆ 0 sin ωt φ Z ( ), (3) missä Z on piirin impedanssi eli vaihtovirtavastus ja φ on virran ja jännitteen välinen vaiheero Kuvan 1 piiriä kutsutaan lineaariseksi, koska sinimuotoinen jännite saa aikaan jännitteeseen suoraan verrannollisen virran Kaavan (3) perusteella virran ja jännitteen huippuarvoille on voimassa Ohmin laki U ˆ 0 = Z ˆ I 0 (4) Haetaan seuraavaksi impedanssin lauseke Tarkastellaan ensin piiriä, jossa on pelkkä induktanssi Tällöin virta on I^0sinωt, ja jännite on

2 U = L di dt = Lˆ I 0 ω cosωt = Lˆ I ωsin ωt + π 0 2 (5) Impedanssi on nyt Z L =ωl ja vaihe-ero φ L -RVSLLULVVä olisi pelkkä kapasitanssi, saadaan vastaavasti yhtälön I=CdU/dt perusteella impedanssiksi Z C =(ωc) -1 ja vaihe-eroksi φ C Kuvan 1 piirin impedanssin löytämiseksi on laskettava impedanssin resistiivinen, induktiivinen ja kapasitiivinen komponentti yhteen siten, että vaihe-erot otetaan huomioon Helpoimmin tämä tapahtuu käsittelemällä virtoja ja jännitteitä osoittimina, kompleksitason vektoreina Muistamalla, että e iφ =cosφ+isinφ, voidaan virta kirjoittaa muotoon I = ˆ I 0 sinωt = Im[ ˆ I 0 e iωt ], (6) ja jännite muotoon U = Z ˆ I 0 sin ωt + φ ( ) = Im Z ˆ [ I 0 e iφ e iωt ] (7) Tekijä e iωt kuvaa origoon kiinnitetyn kompleksitason osoittimen pyörimistä origon ympäri taajuudella ω, ja virta ja jännite saadaan osoittimen projektiosta imaginaariakselille Koska tekijä e iωt on sekä virralle että jännitteelle yhteinen, se ei vaikuta virran ja jännitteen väliseen vaiheeroon Jos taajuustermi jätetään pois virran ja jännitteen lausekkeista, jäljellejäävät kompleksitason kiinteät osoittimet I=I^0 ja U= Z eiφ I Ohmin laissa vaihetekijä e iφ sisällytetään impedanssiin, josta tulee kompleksinen: U = ZI, Z = Z e iφ (8) Koska φ L LQGXNWDQVVLQLPSHGDQVVLRQLωL, ja koska φ C NRQGHQVDDWWRULQLPSHGDQVVL on (iωc) -1 Pelkän resistanssin tapauksessa virran ja jännitteen välillä ei ole vaihe-eroa, joten vastuksen impedanssi on reaalinen, Z R =R Piirtämällä impedanssit vektoreina kompleksitasoon saadaan koko piirin impedanssi ko vektoreiden resultanttina (kuva 2): Z = R 2 + ωl 1 ωc 2 (9) Kuva 2: Kuvan 1 mukaisen vaihtovirtapiirin impedanssin määrääminen piirissä olevien komponenttien impedanssien avulla

3 Jännitteen ja virran vaihe-ero on ωl 1 tan φ = ωc R (10) Vaihe-ero φ riippuu siis taajuudesta Taajuutta, jolla vaihe-ero φ=0, kutsutaan resonanssitaajuudeksi Kaavan (10) perusteella resonanssitaajuudeksi saadaan ω = 1 LC (11) Laboratoriotyössä mitataan lineaarisen vaihtovirtapiirin resonanssitaajuuksia ja määritetään tämän avulla tuntemattomien induktanssien arvoja 312 Kahden käämin keskinäisinduktanssi ja kytkentäkerroin Tutkitaan kuvan 3 mukaista kahdesta käämistä koostuvaa systeemiä Johdetaan isoon käämiin virta I 2, jolloin magneettivuon tiheys käämin keskialueella on (ks luku 332) B µ 0 n 2 I 2 l 2, (12) missä n 2 on käämin 2 kierrosluku ja l 2 sen pituus Virran ja vuontiheyden muuttuessa pieneen käämiin 1 indusoituu Faraday-Henryn lain mukaan sähkömotorinen voima eli lähdejännite E 1 Olettaen, että B on vakio käämin 1 alueella, saadaan E 1 = d dt A 1 B u N d da = n 1 dt BA db ( 1) = n 1 A 1 dt, (13) missä n 1 on käämin 1 kierrosluku ja A 1 sen poikkipinta-ala Sijoittamalla tähän magneettivuon tiheys kaavasta (12) saadaan E 1 = µ 0 n 1 n 2 A 1 l 2 di 2 dt (14) Kuva 3: Kahden sisäkkäisen käämin muodostama systeemi, jolla tutkitaan isommassa käämissä kulkevan virran aiheuttamaa jännitettä pienemmässä käämissä

4 Keskinäisinduktanssi M 12 määritellään yleisesti käämissä 1 kulkevan virran ja käämiin 2 indusoituneen jännitteen avulla E 1 = M 12 di 2 dt, (15) jolloin edellä esitetyssä erikoistapauksessa M 12 = µ 0 n 1 n 2 A 1 l 2 (16) Keskinäisinduktanssi on symmetrinen käämien suhteen, eli jos sama virta I ajetaan kumpaan tahansa käämiin, niin toiseen käämiin indusoituu sama jännite Keskinäisinduktanssi voi olla positiivinen tai negatiivinen Suurimmillaan keskinäisinduktanssi on silloin, kun mahdollisimman suuri osa virrallisen käämin magneettivuosta kulkee jännitekäämin läpi, jolloin sen arvo on käämien 1 ja 2 induktanssien keskiverto 0 M L 1 L 2 (17) Laboratoriotyössä tutkitaan vaihtovirtapiiriä, jossa käämit 1 ja 2 on kytketty sarjaan Jos virran kiertosuunta on sama kummassakin käämissä, indusoituva jännite on U + = iω( L 1 + L 2 + 2M)I iωl + I (18) Vastaavasti, jos virran kiertosuunnat ovat vastakkaiset, indusoituva jännite on U = iω( L 1 + L 2 2M)I iωl I (19) Keskinäisinduktanssiksi saadaan kaavoista (18) ja (19) M = 1 ( 4 L + L ) (20) Maksimiarvoonsa normitettua keskinäisinduktanssia kutsutaan kytkentäkertoimeksi: k = M L 1 L 2 (21) Jos k<<1, käämien kytkentä on löyhä Jos k N\ WNHQWl RQWLXNND l \ Wl QQ QHVLPHUNNLNHV kinäisinduktanssin soveltamisesta on muuntaja, jossa tehohäviöiden minimoimiseksi pyritään mahdollisimman tiukkaan kytkentään Tämä toteutetaan kietomalla sekä ensiö- että toisiokäämit yhteisen rautasydämen ympärille, jolloin rautasydän paitsi voimistaa magneettikenttää myös ohjaa kenttäviivat kulkemaan kummankin käämin sisältä

5 313 Mittaukset 3131 Resonanssin ja vaihe-eron tutkiminen Vaihtovirtapiirin vaihe-eron tutkimiseksi piiriin kytketään kaksisädeoskilloskooppi kuvan 4 osoittamalla tavalla (Kaksisädeoskilloskooppi pystyy piirtämään ruudulle samanaikaisesti kahta eri jännitettä ajan funktiona) Kuva 4: Virran ja jännitteen välisen vaihe-eron tutkiminen oskilloskoopilla Oskilloskoopin toinen kanava kytketään jännitelähteen napojen välille (jännite U 1 ), ja toinen kanava vastuksen päiden välille (jännite U 2 ), koska vastuksen yli oleva jännite on samassa vaiheessa koko piirissä kulkevan virran kanssa Jännitteet ovat tällöin U 1 = U 1,0 sinωt, U 2 = U 2,0 sin( ωt φ) (22) Vaihe-eroa virran ja jännitteen avulla voidaan nyt tutkia oskilloskoopin avulla kahdella tavalla Suoraviivainen tapa, jota tässä työssä käytetään, on piirtää oskilloskoopin ruudulle jännitteet U 1 ja U 2 ajan funktiona yhtaikaa Vaihe-ero virran ja jännitteen välillä havaitaan tällöin kahden sinimuotoisen käyrän keskinäisenä vaakasuuntaisena siirtymänä ruudulla, ja se lasketaan siirtymästä saatavan aikaeron ja vaihtovirran taajuuden avulla Vaihesiirron etumerkki on myös pääteltävä Mitattua käyrää φ=φ(f) verrataan kaavan (10) avulla piirrettyyn käyrään, kun tanφ:n lausekkeeseen sijoitetaan resonanssin avulla mitattu induktanssi sekä tunnetut kapasitanssin ja piirin kokonaisvastuksen arvot Piirin kokonaisvastukseen on ulkoisen vastuksen R lisäksi laskettava mukaan käämin sisäinen vastus r, sillä käämi on oleellisesti hyvin pitkä ja ohut metallilanka, jolloin metallin äärellinen sähkönjohtavuus tulee merkittäväksi Toinen tapa vaihe-eron tutkimiseksi on käyttää vain yhtä oskilloskoopin sädettä, jolloin jännitettä U 1 käytetään säteen x-poikkeutuksena ja jännitettä U 2 y-poikkeutuksena Yhtälö (22) on tällöin ruudulle saatavan käyrän parametrimuotoinen esitys, missä parametrina on aika Analyyttisen geometrian mukaan yhtälö (22) kuvaa origokeskistä ellipsiä, ja vaihe-ero määrää ellipsin eksentrisyyden Resonanssissa vaihe-ero on nolla, ja ellipsi supistuu tällöin suoraksi viivaksi Vaihe-ero taajuuden funktiona voidaan periaatteesa määrittää tutkimalla ellipsin muotoa, mutta tämä edellyttää ellipsin mittojen tarkkaa lukemista oskilloskoopin ruudulta, ja käytännössä tämä on varsin työlästä

6 3132 Keskinäisinduktanssin ja kytkentäkertoimen määrittäminen Työssä mitataan edellisessä luvussa esitetyllä tavalla resonanssitaajuudet kahdelle käämille Mittaukset tehdään ensin kummallekin käämille (L 1 ja L 2 ) erikseen Sen jälkeen mittaukset toistetaan sarjaan kytketyille käämeille, kun virran kiertosuunnat ovat samat (L + ) ja vastakkaiset (L - ) Mittaukset toistetaan usealla kapasintanssin arvolla, ja tuloksista lasketaan keskinäisinduktanssi M ja kytkentäkerroin k kaavoilla (20) ja (21)