JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö

Transkriptio

1 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän perusmuoto kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

2 Lineaarinen optimointitehtävä min kun c j x j a ij x j b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m 18

3 Epäyhtälörajoite = konveksi puoliavaruus Yhtälörajoite = konveksi hypertaso Konveksien joukkojen leikkaus on konveksi = Sallittu alue on konveksi monitahokas 19

4 Optimiratkaisut toteuttavat kaikki rajoitteet Objektifunktio on n c j x j = z, missä z on objektifunktion arvo = yksi yhtälörajoite lisää = Optimiratkaisujen joukko on konveksi 20

5 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Tehtävä: Lineaarisen optimointitehtävän muunnoksia Maksimointi minimointi ja päinvastoin Muuttuja ei-positiivinen muuttuja einegatiivinen Muuttuja rajoittamaton muuttuja einegatiivinen Epäyhtälörajoitteen suunnan muuttaminen Yhtälörajoite epäyhtälörajoite Epäyhtälörajoite yhtälörajoite kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

6 Optimointitehtävien muunnoksia max = min c j x j = min ( c j )x j c j x j kun c j := c j min = max vastaavasti 21

7 x j 0 = x j 0 = x j 0 kun x j := x j x j R (rajoittamaton) = x + j, x j 0 kun x+ j x j := x j 22

8 = a ij x j b i = ( a ij )x j ( b i ) a ij x j b i kun a ij := a ij, b i := b i = vastaavasti 23

9 a ij x j = b i = a ij x j b i a ij x j b i =... 24

10 a ij x j b i = a ij x j + y i = b i y i 0 (puutemuuttuja) = n+1 a ij x j = b i kun x n+1 := y i, a i,n+1 := 1, ja c n+1 := 0, a j,n+1 := 0 j i 25

11 a ij x j b i = a ij x j z i = b i z i 0 (ylijäämämuuttuja) = n+1 a ij x j = b i kun x n+1 := z i, a i,n+1 := 1, ja c n+1 := 0, a j,n+1 := 0 j i 26

12 a ij x j b i = M a ij x j b i kun M suuri luku a ij x j b i = b i a ij x j M kun M suuri luku a ij x j = b i = b i a ij x j b i 27

13 x j = 0 tai 1, c j < 0 = x j = 0 tai 1, c j > 0 kun x j := 1 x j, c j := c j (lisäksi objektifunktioon tulee vakiotermi c j ) 28

14 Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto Perusmuoto: Jokaisessa yhtälössä on yksi muuttuja, jonka kerroin kyseisessä yhtälössä on 1 ja kaikissa muissa yhtälöissä 0 Perusmuuttuja: Edellä mainitut muuttujat (yhteensä m eri muuttujaa) Perusratkaisu: Ei-perusmuuttujat nollia, perusmuuttujat ratkaistaan Jos optimointitehtävässä lisäksi rajoite x j 0, j = 1,..., n, niin: Sallittu perusratkaisu: Perusratkaisu, jonka kaikki komponentit ei-negatiivisia 29

15 Esimerkki Perusmuoto: x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 x 1 + x 2 + x 4 = 4 Perusmuuttujat: x 3, x 4 Perusratkaisu: x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 6 x 4 = 4 (sallittu) 30

16 x 1 = 2 + x 3 2x 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (2,2,0,0) x 2 = 2 x 3 + x 4 (sallittu) x 1 = 4 x 2 x 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (4,0,2,0) x 3 = 2 x 2 + x 4 (sallittu) x 1 = 6 2x 2 x 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (6,0,0, 2) x 4 = 2 + x 2 + x 3 (ei sallittu) 31

17 x 2 = 4 x 1 x 4 x 3 = 2 + x 1 + 2x 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (0,4, 2,0) (ei sallittu) x 2 = x x 3 x 4 = x x 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (0,3,0,1) (sallittu) x 3 = 6 x 1 2x 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (0,0,6,4) x 4 = 4 x 1 x 2 (sallittu) 32

18 Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisu = a ij x j = b i k=1 a jk x k = b j i = 1,..., m j = 1,..., m = k B a jk x k + k/ B a jk x k = b j j = 1,..., m missä B = { perusmuuttujien indeksit } = { perussarakkeet } 33

19 k B a jk x k + k/ B a jk x k = b j j = 1,..., m = Perusmuoto: x j = b j k/ B ā jk x k j B = Perusratkaisu: x j = b j j B x j = 0 j / B Perusratkaisu on sallittu, jos b j 0 kaikilla j B 34

20 Monitahokkaan kärkipisteet Piste x C on konveksin monitahokkaan C R n kärkipiste, jos ei ole olemassa pisteitä u C ja v C siten, että x = (u + v)/2 ja u v 35

21 Sallittu alue C: a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Perusmuoto: x j = b j k/ B ā jk x k j B Sallittu perusratkaisu: x j = b j 0 x j = 0 j B j / B 36

22 Oletetaan, että x = (x 1,..., x n ) ei ole sallitun alueen C kärkipiste = on olemassa u,v C siten, että x = (u + v)/2 ja u v = u j = v j = 0 kun j / B, sillä x j = (u j + v j )/2 = 0 ja u j, v j 0 = u j = v j = b j kun j B, sillä u ja v toteuttavat perusmuodon = u = v = ristiriita = Sallittu perusratkaisu on sallitun alueen kärkipiste 37

23 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Esimerkki Sallittu alue Tehtävä: Muodosta vastaava lineaarinen yhtälöryhmä ja etsi sallitut perusratkaisut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

24 Esimerkki Sallittu alue: x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 x 1 + 2x 2 6 x 1 + x 2 + x 4 = 4 x 1 + x 2 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1, x 2 0 Sallitut perusratkaisut R 4 :ssa: Projektiot R 2 :een: (2,2,0,0) (2,2) (4,0,2,0) (4,0) (0,3,0,1) (0,3) (0,0,6,4) (0,0) 38

25 Lineaarisen optimointitehtävän perusmuoto Muunnetaan tehtävä muotoon: min kun c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Muunnetaan yhtälörajoitteet perusmuotoon: x j = b j ā jk x k k/ B j B 39

26 Eliminoidaan perusmuuttujat objektifunktiosta: c j x j = c j x j + j B j / B c j x j = j B c j ( b j k/ B ā jk x k ) + j / B c j x j = j B c j b j j B k/ B c j ā jk x k + k/ B c k x k = j B c j b j + k/ B (c k j B c j ā jk )x k = j B c j b j + k/ B c k x k 40

27 Tehtävä perusmuodossa: min j B c j b j + j / B c j x j kun x j = b j k/ B ā jk x k j B x j 0 j = 1,..., n 41

28 b j 0 kaikilla j B = vastaava perusratkaisu on sallittu ja objektifunktion arvo siinä on c j b j + c j x j = c j b j = vakio j B j / B j B c j 0 kaikilla j / B = objektifunktion arvo ei voi enää pienetä, sillä x j ei voi olla negatiivinen = Jos c j 0 kaikilla j / B ja b j 0 kaikilla j B, niin perusratkaisu on optimointitehtävän ratkaisu Huom: Optimointitehtävällä voi olla useita ratkaisuja 42