S PIIRIANALYYSI 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "S PIIRIANALYYSI 1"

Transkriptio

1 A! Aalto-yliopisto Sähkötekniikan korkeakoulu S PIIRIANALYYSI 1 Luentomoniste 2012 Martti Valtonen u i malli u i R i 7

2 2 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

3 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 3 Sisältö (viittaukset kalvonumerointiin) RAD-LAITOKSEN PERUSOPETUS 1 S Piirianalyysi 1 (5 op) Kirjallisuus Suorittaminen JOHDANTO 4 Etuliitteet APLAC 5 Perussuureet Tasa- ja vaihtovirtamerkinnät Gravitaatiokenttä Sähkökenttä Merkinnät Jännite kahden pisteen välillä Virta ideaalijohtimessa Risteävät johtimet, jotka koskettavat toisiaan Risteävät johtimet, jotka eivät kosketa toisiaan PIIRIELEMENTIT 12 Kaksinapainen piirielementti Avoin piiri Oikosulku Hetkellinen teho ja pätöteho Passiivinen piirielementti Aktiivinen piirielementti Ohmin laki Vastus Vastuksen kuluttama pätöteho Passiiviset peruskomponentit Aktiiviset peruskomponentit Lineaarisuus Esimerkki Keskitetyt komponentit PIIRIEN PERUSLAIT 22 Esimerkki piiristä Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki TASAVIRTAPIIRIT 26 Esimerkki: Rinnankytketyt elementit Tehon kulutus Esimerkki Esimerkki Esimerkki

4 4 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esimerkki PIIRIMUUNNOKSET 31 Ekvivalenttiset piirielementit Rinnakkaiset virtalähteet Esimerkki Sarjaankytketyt jännitelähteet Virtalähde sarjassa piirielementin kanssa Esimerkki Esimerkki Jännitelähde rinnan piirielementin kanssa Esimerkki Resistanssien sarjaankytkentä Esimerkki Esimerkki Resistanssien rinnankytkentä Esimerkki Esimerkki Esimerkki Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi Esimerkki Sääntö jännitteen jaolle Sääntö virran jaolle Tähti-kolmiomuunnos Kolmio-tähtimuunnos Esimerkki YHDEN RIIPPUMATTOMAN LÄHTEEN PIIRIT 61 Tikapuuverkko Esimerkki Kerrostamismenetelmä Esimerkki Esimerkki THÉVENININ JA NORTONIN MENETELMÄT 67 Théveninin lähde Esimerkki Théveninin menetelmä Esimerkki Nortonin lähde Théveninin ja Nortonin lähteen ekvivalenssi Nortonin menetelmä Esimerkki PIIRIN SYSTEMAATTINEN RATKAISEMINEN 85 Riippumattomat virtayhtälöt Riippumattomat jänniteyhtälöt

5 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 5 SILMUKKAMENETELMÄ 89 Kiertävät silmukkavirrat Esimerkki Esimerkki Ohmin laki matriisimuodossa Esimerkki Silmukkamenetelmän säännöt Matriisit m x n-matriisi Neliömatriisi Lävistäjäalkiot Symmetrinen matriisi Yksikkömatriisi Matriisien kertolasku Käänteismatriisi Matriisiyhtälön ratkaisu Determinantti ja alideterminantti Matriisin determinantti Alideterminantti x 2-matriisin determinantti Determinanttikehitelmä Cramerin sääntö Esimerkki Yhteenveto silmukkamenetelmästä Esimerkki SOLMUMENETELMÄ 103 Referenssisolmu Esimerkki Ohmin laki matriisimuodossa Esimerkki Solmumenetelmän säännöt Esimerkki Yhteenveto solmumenetelmästä Esimerkki SILMUKKA- JA SOLMUMENETELMIEN VERTAILU 114 Lähteiden jakaminen OHJATUT LÄHTEET 117 Siirtoresistanssi Siirtokonduktanssi Jännitevahvistus Virtavahvistus Esimerkki Yksinkertainen transistorimalli Esimerkki: Transistori vahvistimena

6 6 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen VAIHTOVIRTAPIIRIT 125 Jaksollinen vaihtovirta Vaihtovirtasignaalit Tehollisarvo Vaihtovirran resistanssissa R kuluttama pätöteho P Sinimuotoinen vaihtovirta Passiiviset peruskomponentit Esimerkki Kompleksiluvut Kompleksiaritmetiikka Kertominen luvulla j Esimerkki Jakaminen luvulla j eli kertominen luvulla -j Esimerkki Pyörivä huippuarvon osoitin Analyysi osoittimilla (= kompleksiluvuilla) Esimerkki Kiinteä tehollisarvon osoitin Esimerkki Esimerkki Passiiviset peruskomponentit Esimerkki Osoitindiagrammi Esimerkki Impedanssi ja admittanssi Passiiviset peruskomponentit taajuusalueessa Yleistetty Ohmin laki Esimerkki TAAJUUSALUEANALYYSI 151 Impedanssien sarjaankytkentä Admittanssien rinnankytkentä Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi Sääntö jännitteen jaolle Sääntö virran jaolle Tähti-kolmio- ja kolmio-tähtimuunnos Théveninin lähde Nortonin lähde Silmukkamenetelmä Esimerkki Solmumenetelmä Esimerkki Ohjatut lähteet Siirtoimpedanssi Siirtoadmittanssi Jännitevahvistus

7 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 7 Virtavahvistus Esimerkki VAIHTOVIRTATEHO 167 Hetkellinen teho Pätöteho Esimerkki Kompleksinen teho Esimerkki Esimerkki Esimerkki Esimerkki Energiavarastojen hitaus PERUSSUODATTIMET 180 Ylipäästösuodatin: Sarja-RC-piiri Sarja-RC-piirin taajuusvaste Alipäästösuodatin: Sarja-RL-piiri Sarja-RL-piirin taajuusvaste Alipäästösuodatin: Rinnakkais-RC-piiri Ylipäästösuodatin: Rinnakkais-RL-piiri Esimerkki: Suurtaajuisen häiriösignaalin vaimentaminen RESONANSSIPIIRIT 189 Sarjaresonanssi Rinnakkaisresonanssi Sarja-RLC-resonaattori Osoitindiagrammi Loistehot Kaistanpäästösuodatin: Sarja-RLC-piiri Sarja-RLC-piirin taajuusvaste db:n kaistanleveys Geometrisesti symmetrinen kaistanpäästösuodatin Hyvyysluku Rinnakkais-RLC-resonaattori Jännitteet ja virrat resonanssitaajuudella Esimerkki Esimerkki Kaistanestosuodatin: Sarjaankytketty rinnakkais-lc-piiri Sarjaankytketyn rinnakkais-lc-piirin taajuusvaste Käytännöllinen rinnakkais-lc-resonaattori Äänentoiston jakosuodattimet Jakosuodattimien taajuusvasteet LÄHTEEN SOVITTAMINEN 211 Antennin sovittaminen Loistehokompensointi

8 8 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen OPERAATIOVAHVISTIN 215 DIP/DIL-kotelo Operaatiovahvistimen sijaiskytkentä Esimerkki Takaisinkytkentä ja avoin silmukka Ideaalinen operaatiovahvistin Virtuaalinen oikosulku Virtuaalinen maa Invertoiva vahvistin Esimerkki Summaava vahvistin Ei-invertoiva vahvistin Esimerkki Jännitteenseuraaja Integraattori Derivaattori Ideaalinen operaatiovahvistin solmumenetelmässä Esimerkki Esimerkki Esimerkki: Virtalähde operaatiovahvistimen ja jännitelähteen avulla Esimerkki: Induktanssi operaatiovahvistimen ja kapasitanssin avulla KESKINÄISINDUKTANSSI 239 Muuntaja Ideaalimuuntaja Muuntaja taajuusalueessa Esimerkki Muuntajan kuormitus Muuntajan yleinen sijaiskytkentä Muuntajan T-sijaiskytkentä Keskinäisinduktanssin vaikutus silmukkayhtälöihin Esimerkki Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi Esimerkki SYMMETRISET 3-VAIHEJÄRJESTELMÄT vaihejärjestelmän jännitelähde Tähteen kytketty symmetrinen järjestelmä Pääjännitteet Tähti-kolmiomuunnos lähteille Kolmioon kytketty järjestelmä Tähti-kolmiomuunnos impedansseille vaiheinen sijaiskytkentä Esimerkki vaihejärjestelmän teho Kompleksinen teho

9 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 9 Esimerkki Pätötehon mittaaminen Pätötehomittari vaihejärjestelmän tehon mittaaminen

10 10 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

11 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 11 S Piirianalyysi 1 Viikko 1: Sähköisten piirien perussuureet ja -lait Piirianalyysin tarkoituksena on opettaa ymmärtämään, miten sähköisistä komponenteista, kuten vastuksista, kondensaattoreista, keloista, muuntajista, koaksiaalikaapeleista, diodeista, transistoreista ja operaatiovahvistimista koottujen laitteiden toiminta ja käyttäytyminen voidaan ennustaa riittävän tarkasti onnistuneen teollisen tuotteen aikaansaamiseksi. Tavoitteeseen pääsemiseksi tarvitaan 1) mallit, jotka kuvaavat hyvin komponenttien ominaisuuksia, ja 2) menetelmät, joiden avulla malleista koottuja kytkentöjä voidaan analysoida. Tällä viikolla esitetään sähkötekniikan perussuureet: kaikkien sähköisten ilmiöiden taustalla oleva varaus, varausten liikkeestä johtuva virta, varauksen synnyttämän sähkökentän aiheuttama potentiaali, potentiaaliero eli jännite sekä energia, hetkellinen teho ja pätöteho. Ensimmäisinä malleina käsitellään resistanssit sekä ideaaliset riippumattomat jänniteja virtalähteet. Resistansseihin liittyvä Ohmin laki esitellään ja tutustutaan kaksinapaisiin piirielementteihin ja niistä muodostettujen piirikytkentöjen solmupisteisiin ja haaroihin. Kirchhoffin jännite- ja virtalakien esittelyn jälkeen analysoidaan ensimmäiset tasavirtapiirit.

12 12 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

13 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 13 RAD-LAITOKSEN PERUSOPETUS Piiriteoria Kenttäteoria Pakolliset opintojaksot S Piirianalyysi 1 5 op 1. vsk syksy (EST ja osin BIO) S Piirianalyysi 2 5 op 1. vsk kevät (EST ja osin BIO) 1 S Staattinen kenttäteoria 5 op 2. vsk syksy (EST) S Dynaaminen kenttäteoria 5 op 2. vsk kevät (EST) S Piirianalyysi 1 (5 op) radio.aalto.fi noppa.aalto.fi anu.lehtovuori@aalto.fi Luennot ti S4, Martti Valtonen, C123 Harjoitukset 2t/vko, Anu Lehtovuori, C122 Ilmoittautuminen Oodilla viimeistään 17.9.!!! Luentokalvot ja laskuharjoitukset ratkaisuineen Nopassa Oppikirja: M. Valtonen ja A. Lehtovuori: PIIRIANALYYSI, Osa 1: Tasa- ja vaihtovirtapiirien analyysi, Unigrafia, 2011, 296 sivua. English textbooks: J.A. Edminister and M. Nahvi: ELECTRIC CIRCUITS, Third Edition, Schaum s Outline Series, 1997, chapters 1-5, 9-12, and 14 as well as appendices A and B. J.W. Nilsson and S.A. Riedel: ELECTRIC CIRCUITS, 6th/7th/8th Edition, Prentice-Hall, 1999/2005/2007, chapters 1-6, 9-11, and 14. 2

14 14 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Suorittaminen 3 Välikokeilla (2 kpl) tai tentillä (4 kpl/vuosi) Välikokeissa 5 tehtävää (max. 5 * 5 p.) 1 tehtävä laskuharjoituksista Hyvitys palautettavista kotitehtävistä max. 5p. Hyvitys labramittauksesta max. 1p. Tentissä 5 tehtävää (max. 5 * 10 p.) Pistemäärä Arvosana Etuliitteet 4 E exa P peta T tera G 10 9 giga M 10 6 mega k 10 3 kilo m 10 3 milli µ 10 6 mikro n 10 9 nano p piko f femto a atto

15 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 15 APLAC Piirianalyysi- ja suunnitteluohjelmisto: mm. NOKIAn matkapuhelimien integroitujen RF-piirien suunnittelutyökalu RF = Radio Frequency Ohjelman käytön osaaminen ei kuulu vaatimuksiin S Piirisimulointi (4-5 op) 5 Perussuureet Varaus Q, q(t) (yksikkö coulombi) [ Q ] = C Virta I, i(t) (ampeeri) [ I ] = A Varaus aikayksikköä kohti i = dq dt C s = A Potentiaali V, v(t) (voltti) [ V ] = V Potentiaalienergia varausyksikköä kohti v = dw dq Jännite U, u(t) Potentiaaliero u = dw dq J C = V [ U ] = V Teho P, p(t) (watti) [ P ] = W 6 Työ aikayksikköä kohti p = dw dt = dw dq dq dt = ui J s = W

16 16 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Tasa- ja vaihtovirtamerkinnät 3 APLAC User: Martti Valtonen 1,5 DC U 7 0 AC u = u(t) 1,5 PULSSI u = u(t) 3 0 0,25 0,5 0,75 1 t /ns Gravitaatiokenttä 8 Korkeus h 2 h 1 massa m Gravitaatiokenttä Potentiaalienergia mgh m : h 2 h 1 W = mg(h 2 h 1 )

17 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 17 Sähkökenttä Potentiaali V 2 V 1 Varaus Q Sähkökenttä Potentiaalienergia QV Q : V 2 V 1 W = Q(V 2 V 1 ) Potentiaaliero = jännite U = V 2 V 1 9 Merkinnät Jännite kahden pisteen välillä u (ylempi potentiaali, u > 0) (alempi potentiaali, u > 0) 10 Virta ideaalijohtimessa i (elektronien suunta )

18 18 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Merkinnät Risteävät johtimet, jotka koskettavat toisiaan 11 Risteävät johtimet, jotka eivät kosketa toisiaan Standardi Myös käytetty Kaksinapainen piirielementti i u Elementtiin liittyy jännite ja virta 12 Avoin piiri i = 0 u i u = 0 Ideaalieristeen malli Oikosulku Ideaalijohteen malli

19 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 19 Hetkellinen teho ja pätöteho i=i(t) u=u(t) Hetkellinen teho p = p(t) = ui Energian kulutus [0... T ] T W = p(t) dt 0 13 Pätöteho T P = 1 p(t) dt = W T T 0 edustaa todellista tehon kulutusta Passiivinen piirielementti i u t : w = t ui dt 0 Aktiivinen piirielementti 14 i u t : w = t ui dt < 0 Energialähde

20 20 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Ohmin laki i u Johdekappale 15 i 7 R u = Ri i = Gu Resistanssi G Konduktanssi G = 1 R A V V A = Ω = ohm = = mho = S = siemens Vastus 16 i u i 7 malli i u R Komponentti: vastus Ominaisuus: resistanssi

21 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 21 Vastuksen kuluttama pätöteho i R u P = 1 T T 0 ui dt = 1 T T 0 Ri 2 dt = 1 T T 0 u 2 R Passiivinen peruskomponentti dt 0, R > 0 17 Tasavirralla P = UI = RI 2 = U 2 R Passiiviset peruskomponentit Resistanssi (Vastus) i R u Kapasitanssi (Kondensaattori) i C u Induktanssi (Kela, Käämi) u = Ri U = RI i = C du dt I = 0 18 i L u u = L di dt U = 0

22 22 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Aktiiviset peruskomponentit Ideaalinen jännitelähde 19 E U = E Ideaalinen virtalähde J I = J Lineaarisuus i u = f(i) u 20 f(i 1 + i 2 ) = f(i 1 ) + f(i 2 ) f(ki 1 ) = kf(i 1 ) Passiiviset peruskomponentit ovat lineaarisia, mikäli niiden ominaisuudet eivät riipu jännitteestä eivätkä virrasta. Esim. i R u = Ri (R = vakio) u

23 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 23 Keskitetyt komponentit varauksenkuljettajat liikkuvat äärettömän nopeasti i i u 21 Passiiviset peruskomponentit ovat keskitettyjä Keskitetty malli on hyvä, mikäli komponentit ovat pieniä aallonpituuteen verrattuna. PIIRIEN PERUSLAIT Piiri muodostuu haaroista, jotka sisältävät piirielementtejä, ja näitä yhdistävistä solmupisteistä i piiriv 1 A v 2 elementti u A = v 1 v 2 22 solmupiste haara Haaroissa kulkee virta (i A ) ja solmupisteillä on potentiaali (v 1, v 2 ) Jännite = potentiaaliero solmupisteiden välillä (u A )

24 24 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esimerkki piiristä Elementtien liitoskohdat ovat solmupisteitä ja todellisten solmupisteiden välillä on aina elementti ( oikosulku) Kirchhoffin virtalaki i 1 i 3 i 2 24 i 4 i 1 + i 2 = i 3 + i 4 Jos sovitaan tulevat virrat positiivisiksi i k = 0 k

25 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 25 Kirchhoffin jännitelaki u 1 u 4 u 2 u 3 25 u 1 + u 2 = u 3 + u 4 Kierrettäessä suljettua silmukkaa sovitaan kiertosuunnan mukaiset jännitteet positiivisiksi u k = 0 k Esim. TASAVIRTAPIIRIT Rinnankytketyt elementit E =40 V I I 1 I 2 U R 1 = Ω R 2 =100 Ω Mitä J vaikuttaa jännitteeseen U? Mitä J vaikuttaa virtoihin I 1 ja I 2? Onko I 2 > I 1? U = 40 V J =10 A 26 I 1 = U R 1 = A = 3,6 A I 2 = U R 2 = A = 0,4 A I = I 1 + I 2 J = 6 A

26 26 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 27 Esim. E =40 V 6 A U P R1 = I 2 1 R 1 = U 2 P R2 = I 2 2 R 2 = U 2 Tehon kulutus 3,6 A 0,4 A R 1 = Ω R 2 =100 Ω R 1 = W = 144 W R 2 = W = 16 W P E = ( 40 V) ( 6 A) = 240 W kuluttaa tehoa P J = ( 40 V) 10 A = 400 W antaa tehoa J =10 A Tarkistus: P R1 + P R2 + P E + P J = 0 28 Esim. J 1 =40 A U I 1 I 2 R 1 = Ω R 2 =100 Ω I 1 + I 2 = J 1 + J 2 = ( ) A = 50 A I 1 = U I 2 = U R 1 R 2 Sijoitetaan I 1 ja I 2 ensimmäiseen yhtälöön U + U = 50 A U = 500 V R 1 R 2 I 1 = A = 45 A I 2 = A = 5 A J 2 =10 A

27 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 27 Esim. Sarjaankytketyt elementit J =40 A U U 1 R 1 =20 Ω U 2 R 2 =10 Ω I E =10 V I = 40 A U 1 = R 1 I = 800 V P R1 = R 1 I 2 = 32 kw U 2 = R 2 I = 400 V P R2 = R 2 I 2 = 16 kw U = U 1 + U 2 + E = 1210 V P J = ( 1210 V) 40 A = 48,4 kw P E = 10 V 40 A = 0,4 kw 29 Tarkistus: P R1 + P R2 + P E + P J = 0 Esim. U 1 U 2 I E 1 =40 V R 1 =20 Ω R 2 =10 Ω E 2 =10 V U 1 + U 2 = E 1 E 2 = (40 10) V = 30 V U 1 = R 1 I U 2 = R 2 I 30 Sijoitetaan U 1 ja U 2 ensimmäiseen yhtälöön R 1 I + R 2 I = 30 V I = 1 A U 1 = 20 V U 2 = 10 V

28 28 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

29 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 29 S Piirianalyysi 1 Viikko 2: Piirimuunnokset Kun tunnetaan piirien peruslait ja piirielementtien yhtälöt, jokainen kytkentä voidaan analysoida kirjoittamalla riittävä määrä yhtälöitä ja ratkaisemalla syntynyt yhtälöryhmä esimerkiksi eliminoimalla muuttuja kerrallaan. Tämän viikon tarkoituksena on oppia havainnollisempi tapa analysoida piirejä siten, että jokainen lähteistä ja resistansseista koottu kytkentä yksinkertaistetaan asteittain yhden lähteen ja yhden resistanssin piiriksi, joka on helppo ratkaista. Yksinkertaistaminen tapahtuu piirimuunnosten avulla. Tällä viikolla esitetään kuinka rinnankytketyt (elementeillä sama jännite) virtalähteet muunnetaan yhdeksi virtalähteeksi ja sarjaankytketyt (elementeillä sama virta) jännitelähteet yhdeksi jännitelähteeksi. Vastaavasti sekä sarjaan- että rinnankytketyt resistanssit muunnetaan yhdeksi resistanssiksi. Jännitelähde (E) ja sen kanssa sarjassa oleva resistanssi (R) osoitetaan ekvivalenttiseksi virtalähteen (J = E/R) kanssa, jonka rinnalla on samansuuruinen resistanssi (R). Koska kaikkia piirejä ei voida yksinkertaistaa yhden lähteen ja yhden resistanssin piiriksi käyttämällä pelkästään rinnan- ja sarjaankytkentämuunnoksia, esitetään lopuksi monimutkaisempi kolminapaisille piirielementeille sopiva tähti-kolmio- ja kolmio-tähtimuunnos.

30 30 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

31 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 31 Ekvivalenttiset piirielementit I I U = f 1 (I) U = f 2 (I) Piirielementit ovat ekvivalenttiset, mikäli niiden jännite-virtayhtälöt ovat samat: f 1 f 2. Rinnakkaiset virtalähteet 31 J 1 J 2 J 3 I U J I U J = J 1 + J 2 J 3 Ulkoapäin navoista katsottuna ekvivalenttiset elementit käyttäytyvät sähköisesti samalla tavalla. I = J 1 + J 2 J 3 U mielivaltainen (ulkoisen piirin määräämä) Esim A 1 A 10 V 10 Ω 1 A 1 A 1 V 1 Ω U riippuu ulkoisesta kuormasta!

32 32 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Sarjaankytketyt jännitelähteet E 1 I I 33 E 2 U E U E 3 U = E 1 + E 2 E 3 I E = E 1 + E 2 E 3 mielivaltainen (ulkoisen piirin määräämä) Virtalähde sarjassa piirielementin kanssa 34 J I = J mielivaltainen U I = J Virtalähteen kanssa sarjassa oleva piirielementti ei vaikuta muun piirin virtaan I eikä jännitteeseen U.

33 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 33 Esim. Virta I = J riippumatta muista elementtiarvoista. Jännite U muuttuu, mikäli R 4, R 5 tai R 6 muuttuu. Jos J =1 A ja R 4 =R 5 =R 6 =1 Ω, niin I = 1 A ja U =2/3 V. R 3 I = J kaksinapainen elementti R 1 R 2 E 2 J 3 U R 4 35 J R 5 R 6 Esim. Virta J jakautuu kahta reittiä pitkin, joten I 1 + I 2 = J. R 3 I 1 kolminapainen elementti R 1 R 2 J 3 36 E 2 R 4 J I 2 R 5 R 6

34 34 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Jännitelähde rinnan piirielementin kanssa I 37 E mielivaltainen U = E Jännitelähteen kanssa rinnakkain oleva piirielementti ei vaikuta muun piirin jännitteeseen U eikä virtaan I. Esim. Jännite U = E riippumatta muista elementtiarvoista. Virta I muuttuu, mikäli R 4 muuttuu. Jos E = 1 V ja R 4 =2 Ω, niin U = 1 V ja I =1/2 A. I J 2 38 E E 1 U = E R 4 R 3 R 1

35 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 35 Resistanssien sarjaankytkentä R 1 R 2 I R I U U R = R 1 + R 2 39 vasen: U = R 1 I + R 2 I = (R 1 + R 2 )I oikea: U = RI R = R 1 + R 2 Esim. A A 4 Ω 7 Ω 40 3 Ω B B

36 36 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. A 41 ei ole sarjaankytkentä 4 Ω 3 Ω B Resistanssien rinnankytkentä 42 G 1 I G 2 U G I U G = G 1 + G 2 R = R 1R 2 R 1 + R 2, R 1 = 1 G 1, R 2 = 1 G 2

37 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 37 Esim. A A 43 3 Ω 7 Ω 2,1 Ω B B Esim. eivät ole rinnankytkentöjä 3 Ω 7 Ω 44

38 38 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. Ensin yksinkertaistetaan, sitten ratkaistaan. 2 Ω I =? (2+3) Ω I V 3 Ω U =? (5 + (20/9)) Ω = (65/9) Ω I 10 V 4 Ω 5 Ω 10 V Jännite U menetetään! I = U Ω 10 V (65/9) Ω = A 1,38 A U = I 20 9 Ω = V 3,08 V Jännitelähteen muuttaminen virtalähteeksi 46 R E I U J = E R J ˆR = R vasen: U = RI + E ˆR I U I = 1 R U + E R oikea: I = 1ˆR U + J Edellyttää, että jännitelähde on sarjassa resistanssin (R 0) kanssa.

39 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 39 Virtalähteen muuttaminen jännitelähteeksi J R I U E = RJ ˆR = R vasen: I = U R + J ˆR E I U U = R I + RJ 47 oikea: U = ˆR I + E Edellyttää, että virtalähde on rinnan resistanssin (R 0) kanssa. Esim. Yksinkertaistetaan yhden tuntemattoman suureen (I) piiriksi 7 V 4 Ω 3 Ω 2 Ω 7 V (4 + 6) Ω Ω 48 I 5 Ω 6 Ω U =? 10 A I 5 Ω 10 A

40 40 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen (10 + 6/5) Ω (11,2 + 5) Ω 5 Ω 7 V (50 + 7) V 49 I 10 5 V I I = 57 16,2 A 3,52 A U = 6 Ω I 21,1 V Sääntö jännitteen jaolle 50 I = R 1 R 2 I U 2 U U R 2 U 2 = R 2 I = U R 1 + R 2 R 1 + R 2 U 2 = R 2 R 1 + R 2 U nimittäjässä summa osoittajassa sama vastus

41 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 41 Sääntö virran jaolle R 1 I U I 2 R 2 U = R 2 I 2 = R 1 (I I 2 ) (R 1 + R 2 )I 2 = R 1 I 51 I 2 = R 1 R 1 + R 2 I nimittäjässä summa osoittajassa eri vastus Tähti-kolmio- ja kolmio-tähtimuunnos? 52 ei sarjaan- eikä rinnankytkentöjä tarvitaan yleisempi muunnos

42 42 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Tähti-kolmiomuunnos 1 G 1 G G G 3 G 13 G 23 3 Tähtikytkentä 3 3 Kolmiokytkentä 3 Muunnoksessa 3 tuntematonta Palautetaan kaksinapaiseksi elementiksi oikosulkemalla solmupisteet pareittain G 1 G 2 G G G 2 + G 3 1 G 12 1 G 13 G 23 G 13 + G

43 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 43 Kiertovaihtelun avulla ottamalla huomioon, että G ij = G ji : G 13 + G 12 = 1/( ) G 1 G 2 + G 3 G 12 + G 23 = 1/( ) G 2 G 3 + G 1 G 23 + G 13 = 1/( 1 G G 1 + G 2 ) 55 3 yhtälöä, 3 tuntematonta G 12, G 13, G 23 Tähti-kolmiomuunnos 1 G 1 G G G 3 3 G 13 G G ij = G i G j G 1 + G 2 + G 3, i, j {1, 2, 3} (G ij = G ji ) TKK = Tähti-Kolmiomuunnos Konduktanssi

44 44 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Kolmio-tähtimuunnos 1 R R 1 R R 13 R 23 R R i = R ij R ik R 12 + R 13 + R 23, i, j, k {1, 2, 3} (R ij = R ji ) Esim. Kolmio-tähtimuunnos R 23 R 13 R 12 R 3 R 2 R ,5 Ω 0,4 Ω 0,5 Ω 0,4 Ω R 12 = 3 Ω R 13 = 2 Ω R 23 = 5 Ω R 1 = Ω = 0,6 Ω R 2 = Ω = 1,5 Ω R 3 = Ω = 1,0 Ω

45 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 45 1,0 Ω 1 Ω 1,67 Ω 59 (1,5 + 0,5) Ω (0,6 + 0,4) Ω (2/3) Ω (tarkoituksella tyhjä) 60

46 46 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

47 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 47 S Piirianalyysi 1 Viikko 3: Kerrostamismenetelmä sekä Théveninin ja Nortonin menetelmät Tällä viikolla opetellaan analysoimaan yhdestä lähteestä ja resistansseista koottuja piirejä ja käytämme edellisellä viikolla opittua tekniikkaa muuntaa jokainen piiri yhden lähteen ja yhden resistanssin piiriksi. Mikäli piirissä on alunperin useita jännite- ja/tai virtalähteitä, palautetaan piiri yksilähteiseksi merkitsemällä vuorotellen kaikki lähteet nolliksi yhtä lukuunottamatta. Piirissä tuntematon jännite tai virta voidaan tämän jälkeen laskea kerrostamalla (summaamalla) yksittäisten lähteiden vaikutukset. Tekniikka on nimeltään kerrostamismenetelmä. Nollaksi merkitty jännitelähde tarkoittaa oikosulkua ja nollaksi merkitty virtalähde avointa piiriä. Huomaa, että menetelmä soveltuu ainoastaan jännitteen tai virran laskemiseen. Mikäli piiristä halutaan laskea tehoja, kerrostetaan ensin jännitteet ja/tai virrat, ja lasketaan tehot niiden avulla. Toinen erittäin keskeinen tapa palauttaa mielivaltaisen monimutkainen piiri yhden lähteen piiriksi, on esittää kytkentä Théveninin lähteenä, joka koostuu ideaalisesta jännitelähteestä (E T ) ja sen kanssa sarjassa olevasta resistanssista (R T ). Théveninin lähteen arvot löydetään laskemalla alkuperäiselle kytkennälle tyhjäkäyntijännite (= E T ) ja lähteen navoista näkyvä resistanssi (= R T ). Mikäli piirin jonkin haaran virta halutaan laskea haarassa olevan resistanssin funktiona, saadaan tulos nopeasti poistamalla haara, muodostamalla jäljelle jääneelle kytkennälle Théveninin lähde ja liittämällä lopuksi poistettu haara takaisin. Tekniikkaa kutsutaan Théveninin menetelmäksi. Koska jännitelähde (E) ja sen kanssa sarjassa oleva resistanssi (R) voidaan muuntaa ekvivalenttiseksi virtalähteeksi (J = E/R), jonka rinnalla on samansuuruinen resistanssi (R), voidaan Théveninin lähteen (E T, R T ) sijasta muodostaa Nortonin lähde (J N, R N ). Tämä koostuu ideaalisesta virtalähteestä (J N = E T /R T ) ja sen kanssa rinnankytketystä vastuksesta (R N = R T ). Nortonin lähde voidaan etsiä laskemalla alkuperäiselle kytkennälle oikosulkuvirta (= J N ) ja lähteen navoista näkyvä resistanssi (= R N ). Nortonin menetelmä on Théveninin menetelmää vastaava tekniikka, missä käytetään hyväksi Nortonin lähdettä.

48 48 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

49 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 49 Yhden riippumattoman lähteen piirit lineaarisuus: E U = f(i) ku = f(ki) I N 0 I = ke 61 ei riippumattomia lähteitä Piirin virrat ja jännitteet suoraan verrannollisia lähdejännitteeseen (tai lähdevirtaan) Esim. Tikapuuverkko 1 V 2 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω I =? Ê 5,25 A 16 V 10,5 V 2 Ω 2 Ω 2,75 A 2,5 A 5,5 V 2,5 V 1 Ω 2 Ω 1,5 A 3 V 1 V 1 Ω 2 Ω arvaus! Î = 1 A 2 V 62 Mikäli Î = 1 A, niin Ê = 16 V I = 1 16 A

50 50 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Kerrostamismenetelmä lineaarisuus: U = f(i 1 + I 2 ) U = f(i 1 ) + f(i 2 ) Jos lineaarisessa piirissä on useita riippumattomia lähteitä, voidaan jokaisen vaikutus laskea erikseen. 63 Esim. 1 Ω 2 Ω E 1 = 10 V P =? 2 Ω E 2 = 5 V I 2 =? Lasketaan ensin lähteen E 1 vaikutus, jolloin E 2 = 0 (oikosulku) ja sen jälkeen lähteen E 2 vaikutus merkitsemällä E 1 = 0. I a 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω I b E 1 =10 V P 1 2 Ω P 2 2 Ω E 2 =5 V 64 I a = I b = I 21 A = 5 A I 22 I 21 = 1 2 I a = 5 2 A, P 1 =2 Ω I 2 21 = 25 2 W A = 15 8 A I 22 = 1 3 I b = 5 8 A, P 2 =2 Ω I 2 22 = W I 2 = I 21 + I 22 = 25 8 A = 3,125 A P = 2 Ω I ,5 W Teho ei ole lineaarinen suure, joten P P 1 + P 2 13,3 W

51 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 51 Esim. J 1 =10 A U 2 =? 1 Ω 1 Ω 2 Ω J 2 =5 A 65 Lasketaan ensin lähteen J 1 vaikutus, jolloin J 2 = 0 (avoin piiri) ja sen jälkeen lähteen J 2 vaikutus merkitsemällä J 1 = 0. U 21 U 22 J 1 =10 A I a 1 Ω 1 Ω 2 Ω I b 1 Ω 1 Ω 2 Ω J 2 =5 A I a = A = 2,5 A U 21 = 2,5 V 66 I b = A = 2,5 A U 22 = 2,5 V U 2 = U 21 + U 22 = 0 V

52 52 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Théveninin lähde Jokainen kaksinapainen piirielementti (ideaalista virtalähdettä lukuunottamatta) voidaan esittää Théveninin lähteen avulla: 67 N A E T R T A B B E T R T on piirin tyhjäkäyntijännite on navoista AB näkyvä resistanssi, kun piirin N kaikki riippumattomat lähteet on merkitty nolliksi Théveninin lähdejännitteen määrääminen Jätetään piiri N kuormittamatta: 68 N I = 0 U o E T R T I = 0 U o = E T E T = U o = tyhjäkäyntijännite

53 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 53 Théveninin lähderesistanssin määrääminen Sammutetaan piirin N kaikki riippumattomat lähteet: N 0 A R T A R AB R AB = R T 69 B B R T = R AB = navoista AB näkyvä resistanssi, kun riippumattomat lähteet = 0 Esim. N 1 A 2 V 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω A 70 B Lasketaan aluksi tyhjäkäyntijännite muuttamalla jännitelähde virtalähteeksi ja sen jälkeen virtalähteet jännitelähteiksi:

54 54 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 1 A 1 A 71 2 V 2 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω U o A B A 1 Ω 1 A 1 Ω 1 Ω U o A B A 1 Ω 1 Ω 1 A 1 Ω 1 Ω 1 A 1 Ω U o 2 Ω 2 V 1 Ω U o E T = U o = V = 2 3 V B B Lasketaan navoista AB näkyvä resistanssi merkitsemällä lähteet nolliksi: 1 A A 2 V 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω A 72 B B A A A 1 Ω 2 Ω 2 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω B B B

55 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 55 N 2 V 2 Ω 1 A 1 Ω 2 Ω 1 Ω A E T = 2 3 V R T = 2 3 Ω A 73 B B Théveninin lähteen määrääminen E T ja R T voidaan myös määrätä tyhjäkäyntijännitteen U o ja oikosulkuvirran I s avulla: E T = U o, R T = U o I s N I = 0 N U o I s 74 R T I = 0 R T E T U o = E T E T I s = E T R T

56 56 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Théveninin menetelmä Muutetaan osa (osia) piiristä Théveninin lähteeksi (lähteiksi) ja suoritetaan analyysi. 75 Esim. N 25 V 5 Ω 10 Ω 10 Ω 1 A I =f(r L )? R L Lasketaan tyhjäkäyntijännite kerrostamalla: 5 Ω 25 V 10 Ω 10 Ω 1 A U o 5 Ω 25 V 10 Ω Î =0 10 Ω U o1 76 U o1 = V ( U o2 = ) Ω 1 A E T = U o = U o1 + U o2 = 30 V 5 Ω 10 Ω 10 Ω 1 A U o2

57 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 57 Lasketaan resistanssi sammuttamalla riippumattomat lähteet: 5 Ω 10 Ω 10 Ω R = R T = ( ) Ω Analysoitava piiri: V 40 3 Ω I R L I = 30 V 40 3 Ω + R L Virta resistanssin funktiona 2,5 APLAC User: Martti Valtonen I /A 2 1, ,5 0 1,0m 10,0m 0,1 1,0 10,0 100,0 1,0k R L /Ω

58 58 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Nortonin lähde Jokainen kaksinapainen piirielementti (ideaalista jännitelähdettä lukuunottamatta) voidaan esittää Nortonin lähteen avulla: 79 N A J N R N A B B J N R N on piirin oikosulkuvirta on navoista AB näkyvä resistanssi, kun piirin N kaikki riippumattomat lähteet on merkitty nolliksi Nortonin lähdevirran määrääminen Oikosuljetaan piiri N: N I s A J N R N I s A 80 B B J N = I s = oikosulkuvirta Nortonin lähderesistanssin määrääminen R N = R AB = R T

59 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 59 Théveninin ja Nortonin lähteen ekvivalenssi E T R T E T = R N J N R T = R N J N R N 81 Koska J N = I s ja E T = U o, niin R N = R T = U o I s. Nortonin menetelmä Muutetaan osa (osia) piiristä Nortonin lähteeksi (lähteiksi) ja suoritetaan analyysi. Esim. N 2 Ω 10 V V 3 Ω 5 Ω 1 V 4 Ω U =?

60 60 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Oikosulkuvirta: 12 V I 2 U 2 2 Ω 3 Ω I 1 U 1 10 V 5 Ω 1 V 83 Is U 1 = (10 + 1) V = 11 V I 1 = 11 3 A U 2 = (12 11) V = 1 V I 2 = 1 2 A J N = I s = I 1 I 2 = 19 6 A Lasketaan resistanssi sammuttamalla riippumattomat lähteet: 2 Ω 3 Ω R N = Ω 84 Analysoitava piiri: (19/6) A U = ,92 V (6/5) Ω 4 Ω U

61 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 61 S Piirianalyysi 1 Viikko 4: Silmukkamenetelmä Mikäli piirit ovat hyvin suuria, ei niiden yksinkertaistaminen toistuvilla muunnoksilla ole enää järkevää. Seuraavilla viikoilla esitetään kaksi systemaattista analyysimenetelmää, jotka toimivat myös useimpien kaupallisten piirisimulaattorien runkona. Aluksi selvitetään piirissä olevien riippumattomien jännite- ja virtayhtälöiden lukumäärä ja etsitään sellaiset muuttujat, joiden avulla ratkaistavia yhtälöitä syntyy mahdollisimman vähän. Tällä viikolla käsitellään silmukkamenetelmä, jossa muuttujina ovat silmukkavirrat. Yhtälöt kirjoitetaan matriisimuodossa ja tuloksena saadaan yleistetty (moniulotteinen) Ohmin laki muodossa R I = E, missä R on resistanssimatriisi, I tuntemattomien silmukkavirtojen vektori ja E riippumattomista jännitelähteistä muodostuva vektori. Silmukkavirtojen valitsemisen jälkeen matriisiyhtälö R I = E voidaan kirjoittaa kytkentää tarkastelemalla yksinkertaisten sääntöjen avulla. Matriisiyhtälö R I = E ratkaistaan tällä kurssilla käyttämällä Cramerin sääntöä, jonka mukaan tuntemattomat suureet lasketaan determinanttien avulla.

62 62 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

63 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 63 Piirin systemaattinen ratkaiseminen I F I B 2 I D 1 3 I A I C I E 4 Solmupisteiden lukumäärä n = 4, haarojen lukumäärä b = 6 Kirchhoffin virtayhtälöt 1) I A = I B + I F 2 2) I B = I C + I D 4) I A = I C + I E 3) I F = I E I D 85 n 1 riippumatonta virtayhtälöä U F U B U D U A U C U E 86 Muodostetaan suljettuja riippumattomia silmukoita (b n+1) kpl siten, että kaikki haarat kuuluvat johonkin silmukkaan. Jos piiri on piirrettävissä tasoon, voidaan kuhunkin ikkunaan sijoittaa yksi silmukka. b n + 1 riippumatonta jänniteyhtälöä

64 64 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Riippumattomat jänniteyhtälöt Tämä on väärin: Tämä on oikein: Muuttujia alunperin (kunkin haaran virta ja jännite): 2b Jokaiselle piirielementille tunnetaan U = f(i): b Virtayhtälöitä: n 1 Jänniteyhtälöitä tarvitaan: b n + 1 U F 88 U A 3 U B U D 1 U C 2 U E Kirchhoffin jänniteyhtälöt 1) U A + U B + U C = 0 2) U C + U D + U E = 0 3) U B + U F U D = 0 Lisäsilmukat antaisivat edellisistä lineaarisesti riippuvan yhtälön

65 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 65 Silmukkamenetelmä I F I B I 3 I D I 1 I 2 I A I C I E Valitaan silmukat ja muuttujiksi kiertävät silmukkavirrat 89 b n + 1 yhtälöä riittää koko piirin ratkaisemiseen Kaikkien haarojen virrat voidaan lausua em. virtojen avulla: I A = I 1 I B = I 1 I 3 I C = I 1 I 2 I D = I 2 I 3 I E = I 2 I F = I 3 Elementtiyhtälöistä: U = f(i) Täydellinen ratkaisu Esim. R F I F I 3 R B R D E D I B I A I C I D I E R A I 1 R C I 2 R E E A E C 90 E A R A I A + R B I B + R C I C + E C = 0 E C R C I C + R D I D + E D + R E I E = 0 R F I F E D R D I D R B I B = 0 { IA = I 1 I B = I 1 I 3 I C = I 1 I 2 I D = I 2 I 3 I E = I 2 I F = I 3 E A + R A I 1 + R B (I 1 I 3 ) + R C (I 1 I 2 ) + E C = 0 E C R C (I 1 I 2 ) + R D (I 2 I 3 ) + E D + R E I 2 = 0 R F I 3 E D R D (I 2 I 3 ) R B (I 1 I 3 ) = 0

66 66 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. I A R F I F I 3 R B R D E D I B I C I D I E R A I 1 R C I 2 R E 91 E A E C (R A + R B + R C )I 1 R C I 2 R B I 3 = E A E C R C I 1 +(R C + R D + R E )I 2 R D I 3 = E C E D R B I 1 R D I 2 +(R B + R D + R F )I 3 = E D R 11 I 1 + R 12 I 2 + R 13 I 3 = E 1 R 21 I 1 + R 22 I 2 + R 23 I 3 = E 2 R 31 I 1 + R 32 I 2 + R 33 I 3 = E 3 Silmukkamenetelmä R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 I 1 I 2 = E 1 E 2 R 31 R 32 R 33 I 3 E 3 92 R I =E R Resistanssimatriisi (yllä 3x3) I Silmukkavirtavektori E Lähdejännitevektori Yleistetty Ohmin laki

67 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 67 Esim. I A R F I F I 3 R B R D E D I B I C I D I E R A I 1 R C I 2 R E E A E C 93 R A + R B + R C R C R B R C R C + R D + R E R D R B R D R B + R D + R F I 1 I 2 I 3 = E A E C E C E D E D Silmukkamenetelmä R I =E R ii = Silmukan i resistanssien summa R ij = Silmukoiden i ja j yhteisten resistanssien summa. Resistanssit otetaan negatiivisina, jos virrat kiertävät niissä eri suuntiin. E i = Silmukkaan i kuuluvien lähdejännitteiden summa, kun silmukan suuntaiset ( +) lähteet otetaan positiivisina. Silmukoita b n + 1 kpl 94

68 68 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Matriisit m x n-matriisi sarakkeet (n) alkio[1, 5] rivit R = [R ij ] (m) 95 Neliömatriisi m = n Lävistäjäalkiot R ii Symmetrinen matriisi R ij = R ji Yksikkömatriisi 1 : R ii = 1, R ij = 0, i j Matriisien kertolasku A (m x n), B (n x p), C (m x p) C = AB : C kl = n A ki B il i=1 Käänteismatriisi R 1 : R 1 R = 1 Matriisiyhtälön ratkaisu R I =E I =R 1 E 96 Determinantti ja alideterminantti Matriisin determinantti R 11 R 12 R 13 R 14 = R = R 21 R 22 R 23 R 24 R 31 R 32 R 33 R 34 R 41 R 42 R 43 R 44 R 11 R 12 R 14 Alideterminantti 23 = R 31 R 32 R 34 R 41 R 42 R 44 2 x 2-matriisin R 11 R 12 determinantti R 21 R 22 = R 11R 22 R 12 R 21 Determinanttikehitelmä = i=4,j=1 ( 1) i+j R ij ij = R R R R i=1,j=1

69 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 69 Cramerin sääntö R I =E I 1 = R 11 R 21 R 12 R 22 R 13 R 23 R 31 R 32 R 33 R 11 I 1 R 12 R 13 R 21 I 1 R 22 R 23 R 31 I 1 R 32 R 33 R 11 I 1 + R 12 I 2 + R 13 I 3 R 12 R 13 R 21 I 1 + R 22 I 2 + R 23 I 3 R 22 R 23 R 31 I 1 + R 32 I 2 + R 33 I 3 R 32 R 33 = I 1 I 2 I 3 = = E 1 E 2 E 3 E 1 R 12 R 13 E 2 R 22 R 23 E 3 R 32 R I 1 = E 1 R 12 R 13 E 2 R 22 R 23 E 3 R 32 R 33 Esim. R 2 R 6 I 3 R 4 R 1 = 3 Ω R 3 = 2 Ω R 2 = 5 Ω R 4 = 5 Ω R 1 I 1 R 3 I 2 R 5 R 5 = 3 Ω E 1 = 1 V R 6 = 10 Ω E 1 98 Vastusten yhteensä kuluttama pätöteho? (= lähteen antama teho = E 1 I 1 ) R 1 + R 2 + R 3 R 3 R 2 R 3 R 3 + R 4 + R 5 R 4 R 2 R 4 R 2 + R 4 + R 6 I 1 I 2 I 3 = E 1 0 0

70 70 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen I 1 I 2 I 3 = = ( 2 21 ) =1320 (Ω 3 ) 11 = = 175 (Ω 2 ) 21 = = 65 (Ω 2 ) 31 = = 60 (Ω 2 ) I 1 = A = A = A P = 1 V 175 A 133 mw 1320 Silmukkamenetelmä 100 muutetaan virtalähteet jännitelähteiksi poistetaan ylimääräiset rinnankytkennät valitaan silmukat (b n + 1) kirjoitetaan matriisiyhtälö R I = E ratkaistaan I (soveltuvin osin)

71 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 71 Esim. R 2 R 5 J 1 R 1 R 3 R 4 R 6 E 5 R 1 = 100 Ω R 3 = 10 Ω R 5 = 50 Ω J 1 = 0,05 A E 6 = 1 V R 2 = 100 Ω R 4 = 10 Ω R 6 = 1 Ω E 5 = 2 V E R 7 R 5 E 7 I 1 R 8 E 6 I 2 E 5 E 7 = R 1 J 1 = 5 V R 7 = R 1 + R 2 = 200 Ω R 8 = R 3R 4 R 3 + R 4 + R 6 = 6 Ω I 1 = I 2 I 1 I = 4 1 = = = I 1 = A = 218 A 19,0 ma I 2 = A = 182 A 15,8 ma

72 72 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

73 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 73 S Piirianalyysi 1 Viikko 5: Solmumenetelmä; ohjatut lähteet Tällä viikolla esitetään toinen systemaattinen piirianalyysimenetelmä, solmumenetelmä, johon perustuu esimerkiksi APLAC-piirisimulaattorin toiminta. Solmumenetelmässä piirin solmupisteistä yksi valitaan referenssisolmuksi ja muuttujiksi valitaan jännitteet muista solmupisteistä referenssisolmuun. Referenssisolmuksi valitaan yleensä maasolmu. Yhtälöt kirjoitetaan matriisimuodossa ja tuloksena saadaan yleistetty (moniulotteinen) Ohmin laki muodossa G U = J, missä G on konduktanssimatriisi, U tuntemattomien solmujännitteiden vektori ja J riippumattomista virtalähteistä muodostuva vektori. Matriisiyhtälö G U = J voidaan kirjoittaa kytkentää tarkastelemalla yksinkertaisten sääntöjen avulla. Transistorin toimintaa ei voida mallintaa käyttäen pelkästään riippumattomia lähteitä ja passiivisia komponentteja. Siksi perusmallien valikoimaa laajennetaan ohjatuilla lähteillä, joiden avulla on mahdollista kuvata monia ilmiöitä, kuten esimerkiksi vahvistusta. Ohjattu lähde voi olla joko jännite- tai virtalähde, ja myös ohjaava suure voi olla jännite tai virta. Ohjattuja lähteitä on siis neljää tyyppiä: CCVS, virtaohjattu jännitelähde (Current-Controlled Voltage Source), VCVS, jänniteohjattu jännitelähde (Voltage-Controlled Voltage Source), CCCS, virtaohjattu virtalähde (Current-Controlled Current Source) ja VCCS, jänniteohjattu virtalähde (Voltage-Controlled Current Source). Ohjattujen lähteiden ominaisuuksia ovat siirtoresistanssi R (CCVS), jännitevahvistus α (VCVS), virtavahvistus β (CCCS) ja siirtokonduktanssi G (VCCS). Toisin kuin riippumattomilla lähteillä ohjattujen lähteiden arvot riippuvat piirin jostakin jännitteestä tai virrasta. Esimerkkinä ohjattujen lähteiden käytöstä tutustutaan yksinkertaiseen transistorimalliin ja näytetään esimerkin avulla miten transistori voi toimia vahvistimena.

74 74 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

75 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 75 Solmumenetelmä U F 1 U B U D U A U 1 U C U 2 U E U 3 0 Solmumenetelmä Valitaan referenssisolmu (0) (yleensä maasolmu tai ) ja muuttujiksi muiden solmupisteiden jännitteet (n 1 kpl) tähän solmuun nähden n 1 yhtälöä riittää koko piirin ratkaisemiseen Kaikkien haarojen jännitteet voidaan lausua em. solmujännitteiden avulla: 104 U A = U 1 U B = U 1 U 2 U C = U 2 U D = U 2 U 3 U E = U 3 U F = U 1 U 3 Elementtiyhtälöistä: I = f(u) Täydellinen ratkaisu

76 76 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. J A G J D F 1 G B 2 3 G D U 1 G A U 2 G C G E U G A U 1 + G B (U 1 U 2 ) + G F (U 1 U 3 ) = J A G B (U 2 U 1 ) + G C U 2 + G D (U 2 U 3 ) = J D G D (U 3 U 2 ) + G E U 3 + G F (U 3 U 1 ) = J D (G A + G B + G F )U 1 G B U 2 G F U 3 = J A G B U 1 (G B + G C + G D )U 2 G D U 3 = J D G F U 1 G D U 2 (G D + G E + G F )U 3 = J D Solmumenetelmä G 11 G 12 G 13 G 21 G 22 G 23 U 1 U 2 = J 1 J 2 G 31 G 32 G 33 U 3 J G U =J G Konduktanssimatriisi (yllä 3x3) U Solmujännitevektori J Lähdevirtavektori Yleistetty Ohmin laki

77 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 77 Esim. J A G J D F 1 G B 2 3 G D U 1 G A U 2 G C G E U 3 G A + G B + G F G B G F G B G B + G C + G D G D G F G D G D + G E + G F U 1 U 2 U 3 = J A J D J D 107 Solmumenetelmä G U =J G ii = Solmupisteeseen i liittyvien konduktanssien summa G ij = Solmupisteitä i ja j yhdistävien konduktanssien summa negatiivisena J i = Solmupisteeseen i liittyvien lähdevirtojen summa, kun tulevat virrat otetaan positiivisina 108

78 78 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Esim. 1 R 1 R 1 = 5 Ω R 3 = 10 Ω R 2 = 2 Ω 109 J 1 U 2 2 J 2 R 2 R 3 U 1 J 1 = 10 A G i = 1 R i J 2 = 2 A G 1 + G 3 G 1 G 1 G 1 + G 2 U 1 U 2 = J 1 J U U 1 U 2 U 2 = 10 = = 3 7 ( 2) ( 2) = U 1 = V = V 38,8 V U 2 = V = V 8,24 V

79 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 79 Solmumenetelmä muutetaan jännitelähteet virtalähteiksi poistetaan ylimääräiset sarjaankytkennät valitaan referenssisolmu ja numeroidaan solmut kirjoitetaan matriisiyhtälö G U = J ratkaistaan U (soveltuvin osin) 111 Esim. R 1 R 3 R 4 E 1 R 2 R 5 R 7 R 6 J 6 J 7 E 1 = 5 V R 1 = 100 Ω R 2 = 100 Ω R 3 = 9 Ω R 4 = 1 Ω R 5 = 10 Ω J 6 = 1 A R 6 = 1 Ω J 7 = 2 A R 7 = 50 Ω J 1 R 1 R 8 R 2 2 R 5 R 7 J 7 J 1 = E 1 = 0,05 A R 1 R 8 = R 3 + R 4 = 10 Ω R 6 J 6

80 80 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 1 J 1 R 1 R 8 R 2 2 R 5 R 7 J 7 G i = 1 R i R 6 J G 1 + G 2 + G 8 + G 5 + G 7 G 8 G 5 G 8 G 5 G 8 + G 5 + G U 1 U 2 U 1 = J 1 + J 7 = 2,05 1 U 2 J 6 U 1 10,8 V U 2 2,62 V Silmukka- ja solmumenetelmien vertailu Valitaan se menetelmä, jolla työmäärä minimoituu. silmukkamenetelmässä b n + 1 yhtälöä (b = haarojen lkm) solmumenetelmässä n 1 yhtälöä (n = solmujen lkm) 114 b = 8, n = 4 b = 12, n = 8 b n + 1 = 5, n 1 = 3 b n + 1 = 5, n 1 = 7

81 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 81 Lähteiden jakaminen Mikäli lähdemuunnosta ei voida käyttää, jaetaan lähteet. 115 E E E Vasempaan soveltuu vain silmukkamenetelmä (3 yhtälöä) Oikeaan soveltuu myös solmumenetelmä (2 yhtälöä) Lähteiden jakaminen Mikäli lähdemuunnosta ei voida käyttää, jaetaan lähteet. J J J 116 Vasempaan soveltuu vain solmumenetelmä (3 yhtälöä) Oikeaan soveltuu myös silmukkamenetelmä (2 yhtälöä)

82 82 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Ohjatut lähteet 117 E = RI CCVS N I sopiva silmukkamenetelmässä E = αu VCVS N U J = βi CCCS N I J = GU VCCS N U sopiva solmumenetelmässä Ohjatut lähteet 118 R = siirtoresistanssi (Current-Controlled Voltage Source) G = siirtokonduktanssi (Voltage-ControlledCurrent Source) α = jännitevahvistus (Voltage-Controlled Voltage Source) β = virtavahvistus (Current-Controlled Current Source) Ohjattujen lähteiden arvot - toisin kuin riippumattomilla lähteillä - ovat funktioita piirin jännitteistä ja/tai virroista. Edellä määritellyt lähteet ovat lineaarisia, mikäli R, G, α ja β ovat vakioita. Ohjatut lähteet aiheuttavat epäsymmetrian matriiseissa R ja G.

83 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 83 Esim. R 3 E 1 R 1 I 1 R 2 I 2 I R 4 RI R 1 + R 2 R 2 R 2 R 2 + R 3 + R 4 U =? I 1 I 2 R 1 + R 2 R 2 R 2 R R 2 + R 3 + R 4 + R epäsymmetrinen E 1 = 1 V R 2 = 10 Ω R 1 = 1 Ω R 3 = 10 Ω R = 100 Ω R 4 = 1 Ω E 1 = R(I 1 I 2 ) I 1 I 2 = E I 1 I 2 = 1 0 = ( 110) ( 10) = I 1 = A = A I 2 = A = A U = 1 Ω I Ω (I 1 I 2 ) = V 4,29 V 120

84 84 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Yksinkertainen transistorimalli 121 B C E B R i I E B = kanta (base) βi R 0 C = kollektori (collector) E = emitteri (emitter) C E Esim. R i = 1 kω, R 0 = 10 kω, β = 100 Esim. Transistori vahvistimena 122 E g R g P in R L R g = 1 kω R L = 10 kω P L P in =? 1 Pin 2 I E g 1 kω 1 kω 100I 10 kω 10 kω R g

85 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen U 1 J g = U U1 1k U 1 = J g 0, U J g 0,1 0 U 2 = = J g 1012 J 2 g P L = U 2 2 = R L (J g = E g R g ) 123 P in = ( Jg 2 ) P L P in = (tarkoituksella tyhjä) 124

86 86 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen

87 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen 87 S Piirianalyysi 1 Viikko 6: Vaihtovirta-analyysin perusteet Vaihtovirta-analyysissä jännitteet ja virrat ovat sinimuotoisia. Kaikki piirit, joissa signaalit (signaali = jännite tai virta) ovat jaksollisia, voidaan analysoida vaihtovirta-analyysin avulla, koska ajan mukana muuttuvat jaksolliset signaalit voidaan esittää sinimuotoisten signaalien summana. Vaihtovirta-analyysistä käytetään myös nimitystä AC-analyysi tai taajuusalueanalyysi. Tällä viikolla tutustutaan käsitteisiin jakson pituus T, taajuus f = 1/T, kulmataajuus ω = 2πf ja tehollisarvo. Tehollisarvon ansiosta pätötehon lauseke resistanssissa näyttää samalta tasa- ja vaihtovirroilla. Vaihtovirta-analyysissä sinimuotoinen signaali esitetään tehollisarvon ja nollavaihekulman avulla. Peruselementeistä käsitellään resistanssin lisäksi kapasitanssi ja induktanssi. Sinimuotoinen jännite on resistanssissa samanvaiheinen kuin virta. Kapasitanssissa jännite on neljännesjakson virtaa jäljessä ja induktanssissa neljännesjakson virtaa edellä. Jos lineaariseen piiriin liitetään sinimuotoinen vaihtovirtalähde, niin piirin kaikki jännitteet ja virrat ovat sinimuotoisia ajan funktioita, joiden taajuus on sama kuin lähteellä. Sen sijaan amplitudit (tehollisarvot) ja nollavaihekulmat vaihtelevat. Koska signaalilla on kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudi ja vaihe, käytetään vaihtovirta-analyysissä kompleksiaritmetiikkaa, missä jokainen jännite ja virta esitetään yhdellä kompleksiluvulla (kiinteällä tehollisarvon osoittimella), jonka itseisarvo ilmaisee signaalin amplitudin ja vaihekulma signaalin nollavaihekulman. Vaihtovirta-analyysi tuo uuden käsitteen impedanssin Z = R+jX, jonka reaaliosa R on resistanssi ja imaginääriosa X reaktanssi, sekä impedanssin käänteissuureen admittanssin Y = G + jb, jonka reaaliosa G on konduktanssi ja imaginääriosa B suskeptanssi. Yleistetty Ohmin laki esitetään muodossa U = Z I tai I = Y U, missä kaikki suureet ovat kompleksilukuja. Impedanssin ja admittanssin ansiosta vaihtovirta-analyysi on tasavirtaanalyysin kaltaista vain sillä erotuksella, että reaaliaritmetiikan sijasta käytetään kompleksiaritmetiikkaa. Kaikki tähän mennessä opitut menetelmät pätevät suoraan myös vaihtovirtapiireille, kun resistanssit korvataan impedansseilla ja konduktanssit admittansseilla.

DEE Sähkötekniikan perusteet

DEE Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Tasasähköpiirien systemaattinen ratkaisu: kerrostamismenetelmä, silmukkavirtamenetelmä, solmupistemenetelmä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet silmukkavirtamenetelmä

Lisätiedot

Luento 4 / 12. SMG-1100 Piirianalyysi I Risto Mikkonen

Luento 4 / 12. SMG-1100 Piirianalyysi I Risto Mikkonen SMG-00 Piirianalyysi I Luento 4 / Kerrostamismenetelmä Lineaarisuus = Additiivisuus u u y y u + Homogeenisuus u y y Jos verkossa on useita energialähteitä, voidaan jokaisen lähteen vaikutus laskea erikseen

Lisätiedot

Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä 1 Verkon systemaattinen ratkaisu Solmupisteiden lukumäärä n (node) Haarojen lukumäärä b (branch) 2 Verkon systemaattinen ratkaisu Muodostetaan

Lisätiedot

Luento 6. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Luento 6. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Luento 6 1 DEE-11000 Piirianalyysi Ensimmäinen välikoe keskiviikkona 19.11. klo 13-16 salissa S1. Aihepiiri: Tasasähköpiirin analyysi (monisteen luvut 1-6) 2 Solmupistemenetelmä

Lisätiedot

ELEC-C3230 Elektroniikka 1. Luento 1: Piirianalyysin kertaus (Lineaariset vahvistinmallit)

ELEC-C3230 Elektroniikka 1. Luento 1: Piirianalyysin kertaus (Lineaariset vahvistinmallit) 1 ELEC-C3230 Elektroniikka 1 Luento 1: Piirianalyysin kertaus (Lineaariset vahvistinmallit) 1 luennon pääaiheet Motivointi Piirianalyysin kertaus Vahvistinmallinnus (liuku 2. luentoon) 2 https://www.statista.com/outlook/251/100/consumer-electronics/worldwide

Lisätiedot

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)

Lisätiedot

Théveninin teoreema. Vesa Linja-aho. 3.10.2014 (versio 1.0) R 1 + R 2

Théveninin teoreema. Vesa Linja-aho. 3.10.2014 (versio 1.0) R 1 + R 2 Théveninin teoreema Vesa Linja-aho 3.0.204 (versio.0) Johdanto Portti eli napapari tarkoittaa kahta piirissä olevaa napaa eli sellaista solmua, johon voidaan kytkeä joku toinen piiri. simerkiksi auton

Lisätiedot

S Piirianalyysi 1 2. välikoe

S Piirianalyysi 1 2. välikoe S-55.20 Piirianalyysi 2. välikoe 4.2.200 aske tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin selvästi nimi, opiskelijanumero, kurssin nimi ja koodi. Tehtävät lasketaan

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Teho vaihtosähköpiireissä ja symmetriset kolmivaihejärjestelmät Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Kompleksinen teho S ja näennästeho S Loisteho

Lisätiedot

Kirchhoffin jännitelain perusteella. U ac = U ab +U bc U ac = U ad +U dc. U ac = R 1 I 12 +R 2 I 12 U ac = R 3 I 34 +R 4 I 34, ja I 34 = U ac

Kirchhoffin jännitelain perusteella. U ac = U ab +U bc U ac = U ad +U dc. U ac = R 1 I 12 +R 2 I 12 U ac = R 3 I 34 +R 4 I 34, ja I 34 = U ac 1.1 a U ac b U bd c voimessa siltakytkennässä tunnetaan resistanssit,, ja sekä jännite U ac. Laske jännite U bd kun 30 Ω 40 Ω 40 Ω 30 Ω U ac 5V. d U ab U ac U bc Kirchhoffin jännitelain perusteella I 12

Lisätiedot

Luento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Luento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Luento 2 1 Luento 1 - Recap Opintojakson rakenne ja tavoitteet Sähkötekniikan historiaa Sähköiset perussuureet Passiiviset piirikomponentit 2 Luento 2 - sisältö Passiiviset piirikomponentit

Lisätiedot

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIIANALYYSI I Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Kirja: luku 3 Luentomoniste: luvut 4.2, 4.3 ja 4.4

Lisätiedot

14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä.

14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä. Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä,

Lisätiedot

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ) SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

( ) ( ) ( ) ( ) SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset SMG-11 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset. Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W saadaan lausekkeesta t1 t1,

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

SATE.1040 Piirianalyysi IB syksy /8 Laskuharjoitus 1: Ohjatut lähteet

SATE.1040 Piirianalyysi IB syksy /8 Laskuharjoitus 1: Ohjatut lähteet STE. iirianalyysi syksy 6 /8 Tehtävä. Laske jännite alla olevassa kuvassa esitetyssä piirissä. Ω, Ω, Ω,, E V, E V E E Kuva. iirikaavio tehtävään. atkaisu silmukkamenetelmällä: E E Kuva. Tehtävän piirikaavio

Lisätiedot

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Fy3: Sähkö 1. Tasavirta Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Sähkövirta I Sähkövirran suunta on valittu jännitelähteen plusnavasta miinusnapaan (elektronit

Lisätiedot

TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) Syksy 2011 / Luokka AS11

TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) Syksy 2011 / Luokka AS11 TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) Syksy 2011 / Luokka AS11 Vesa Linja-aho Metropolia 7. syyskuuta 2011 Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 7. syyskuuta 2011 1 / 123 Sisällysluettelo

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän perusteet. Pekka Rantala 29.8.2015

Kolmivaihejärjestelmän perusteet. Pekka Rantala 29.8.2015 Kolmivaihejärjestelmän perusteet Pekka Rantala 29.8.2015 Sisältö Jännite- ja virtalähde Kolme toimintatilaa Theveninin teoreema Symmetrinen 3-vaihejärjestelmä Virrat ja jännitteet Tähti- ja kolmiokytkentä

Lisätiedot

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /9 Laskuharjoitus 4: Kerrostamis- ja silmukkamenetelmä

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /9 Laskuharjoitus 4: Kerrostamis- ja silmukkamenetelmä ST1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät 018 1 /9 Tehtävä 1. Määritä alla esitetyssä piirissä kuormassa (vastuksessa) R L lämmöksi kuluva teho käyttäen hyväksi kerrostamismenetelmää. 0 kω, R 5 kω, R 0 kω, 0 kω,

Lisätiedot

SATE1040 Piirianalyysi IB kevät /6 Laskuharjoitus 5: Symmetrinen 3-vaihejärjestelmä

SATE1040 Piirianalyysi IB kevät /6 Laskuharjoitus 5: Symmetrinen 3-vaihejärjestelmä 1040 Piirianalyysi B kevät 2016 1 /6 ehtävä 1. lla olevassa kuvassa esitetyssä symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä on kaksi konetta, joiden lähdejännitteet ovat vaihejännitteinä v1 ja v2. Järjestelmä

Lisätiedot

2.2 Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W tot saadaan lausekkeesta ( )

2.2 Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W tot saadaan lausekkeesta ( ) DEE- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjoitus (3) Tehtävien ratkaisuehdotukset. Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W saadaan lausekkeesta t t () ()()

Lisätiedot

Sinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla

Sinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla LIITE I Vaihtosähkön perusteet Vaihtojännitteeksi kutsutaan jännitettä, jonka suunta vaihtelee. Vaihtojännite on valittuun suuntaan nähden vuorotellen positiivinen ja negatiivinen. Samalla tavalla määritellään

Lisätiedot

Sähkötekiikka muistiinpanot

Sähkötekiikka muistiinpanot Sähkötekiikka muistiinpanot Tuomas Nylund 6.9.2007 1 6.9.2007 1.1 Sähkövirta Symboleja ja vastaavaa: I = sähkövirta (tasavirta) Tasavirta = Virran arvo on vakio koko tarkasteltavan ajan [ I ] = A = Ampeeri

Lisätiedot

1. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait

1. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka, Otatieto 2003. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait Sähkötekniikka ja elektroniikka, sivut 5-62. Versio 3..2004. Kurssin Sähkötekniikka laskuharjoitus-,

Lisätiedot

VAIHTOVIRTAPIIRI. 1 Työn tavoitteet

VAIHTOVIRTAPIIRI. 1 Työn tavoitteet Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt AHTOTAP Työn tavoitteet aihtovirran ja jännitteen suunta vaihtelee ajan funktiona. Esimerkiksi Suomessa käytettävä verkkovirta

Lisätiedot

DEE Sähkötekniikan perusteet

DEE Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Theveninin ja Nortonin ekvivalentit, kuorman maksimiteho Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Theveninin ekvivalentti Nortonin ekvivalentti kuorman

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kirchhoffin lait, rinnan- ja sarjakytkentä, lähdemuunnokset Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Kirchhoffin virtalaki rinnankytkentä sarjakytkentä

Lisätiedot

Luento 1. 1 SMG-1100 Piirianalyysi I

Luento 1. 1 SMG-1100 Piirianalyysi I SMG-1100 Piirianalyysi I Luento 1 1 SMG-1100 Piirianalyysi I I + II periodi Luennot Harjoitukset ti 8 10 S4 ma 10 12 TB 110 pe 9 10 S4 ti 12 14 TC 161 Risto Mikkonen, SC 312 ti 12 14 SC 163 ke 14 16 SC

Lisätiedot

Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet 1 Vaihtovirta vs tasavirta Sähkömagneettinen induktio tuottaa kaikissa pyörivissä generaattoreissa vaihtojännitettä. Vaihtosähköä on

Lisätiedot

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa

Lisätiedot

SÄHKÖTEKNIIKKA. NTUTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015

SÄHKÖTEKNIIKKA. NTUTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015 SÄHKÖTEKNIIKKA NTTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Käydään läpi vastusten keskinäisten kytkentöjen erilaiset

Lisätiedot

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkö SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Sinimuotoiset suureet Tehollisarvo Sinimuotoinen vaihtosähkö & passiiviset piirikomponentit Käydään läpi, mistä sinimuotoiset jännite ja virta ovat peräisin. Näytetään,

Lisätiedot

Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/

Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/ 4.1 Kirchhoffin lait Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/ Katso Kimmo Koivunoron video: Kirchhoffin 2. laki http://www.youtube.com/watch?v=2ik5os2enos

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan

Lisätiedot

SÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:

SÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä: FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNKKA JA KTONKKA Tentti 5.5.008: tehtävät,3,4,6,9. välikoe: tehtävät,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Saat vastata vain neljään tehtävään/koe; ne sinun pitää itse valita! Kimmo Silvonen.

Lisätiedot

Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus

Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus Antti Karjalainen, PRK 30.10.2014 Komponenttien esittelytaktiikka Toiminta, (Teoria), Käyttö jännite, virta, teho, taajuus, impedanssi ja näiden yksiköt:

Lisätiedot

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset SMG- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjitus (3) Tehtävien ratkaisuehdtukset 6 Tarkitus n laskea V ja eveninin ekvivalentin avulla Tämä tarkittaa sitä, että mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti vastuksen

Lisätiedot

R = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1

R = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1 Fysiikan mittausmenetelmät I syksy 206 Laskuharjoitus 4. Merkitään kaapelin resistanssin ja kuormaksi kytketyn piirin sisäänmenoimpedanssia summana R 000.2 Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen

Lisätiedot

Passiiviset piirikomponentit. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Passiiviset piirikomponentit. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Passiiviset piirikomponentit 1 DEE-11000 Piirianalyysi Risto Mikkonen Passiiviset piirikomponentit - vastus Resistanssi on sähkövastuksen ominaisuus. Vastuksen yli vaikuttava jännite

Lisätiedot

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,

Lisätiedot

SÄHKÖTEKNIIKKA. NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015

SÄHKÖTEKNIIKKA. NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015 SÄHKÖTEKNIIKKA NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään

Lisätiedot

Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.

Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t. DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden

Lisätiedot

Luento 1 / SMG-1100 Piirianalyysi I Risto Mikkonen

Luento 1 / SMG-1100 Piirianalyysi I Risto Mikkonen SMG-1100 Piirianalyysi I Luento 1 / 12 1 SMG-1100 Piirianalyysi I Viikot 22-24 (27.5. 14.6.) Luennot Harjoitukset ma, ti, ke, to 16-19 S2 pe 11-14 S2 ti 28.5. ja ke 29.5. SC 105B pe 14.6. SC 105B, SH 311

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkön teho kompleksinen teho S pätöteho P loisteho Q näennäisteho S Käydään läpi sinimuotoisiin sähkösuureisiin liittyviä tehotermejä. Määritellään kompleksinen teho, jonka

Lisätiedot

Sähkötekniikka ja elektroniikka

Sähkötekniikka ja elektroniikka Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Vaihtovirta ja osoitinlaskenta Luento Sinimuotoinen virta ja jännite Tehollisarvo, huippuarvo, vaihekulma Ajan vai taajuuden funktiona? Viime viikon kytkentäilmiöt

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.1100 SÄHKÖTKNIIKKA A KTONIIKKA Tentti 0.1.006: tehtävät 1,3,4,6,8 1. välikoe: tehtävät 1,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,10 Saat vastata vain neljään tehtävään/koe; ne sinun pitää itse valita! Kimmo

Lisätiedot

Sähkötekniikka. NBIELS12 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Sähkötekniikka. NBIELS12 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Sähkötekniikka NBIELS12 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella vaihtovirtaa!

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Passiiviset piirikomponentit Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet vastus käämi kondensaattori puolijohdekomponentit Tarkoitus on esitellä piiriteorian

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen

Lisätiedot

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen.

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. X.X.2015 Tehtävä 1 Bipolaaritransistoria käytetään alla olevan kuvan mukaisessa kytkennässä, jossa V CC = 40 V ja kuormavastus

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 1 / versio 8. syyskuuta 2015 Johdanto (ti) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Aallot ja osoittimet

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-00: PIIIANAYYSI I Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Kirja: luku. (vastus), luku 6. (käämi), luku 6. (kondensaattori) uentomoniste: luvut 3., 3. ja 3.3 VASTUS ja ESISTANSSI (Ohm,

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Elektroniikka. Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist

Elektroniikka. Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist Elektroniikka Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist Kurssin sisältö Sähköopin perusteet Elektroniikan perusteet Sähköturvallisuus ja lainsäädäntö Elektroniikka musiikkiteknologiassa Suoritustapa

Lisätiedot

Kuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi

Kuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi 31 VAIHTOVIRTAPIIRI 311 Lineaarisen vaihtovirtapiirin impedanssi ja vaihe-ero Tarkastellaan kuvan 1 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa on resistanssi R, kapasitanssi C ja induktanssi L sarjassa Jännitelähde

Lisätiedot

521302A PIIRITEORIA 1. Laskuharjoitukset - syksy 2014

521302A PIIRITEORIA 1. Laskuharjoitukset - syksy 2014 52302A PIIRITEORIA Laskuharjoitukset - syksy 204 Sisältö Kurssitietoa... 3 LTspice-vinkkejä... 7 Harjoitus... 9 LTspice-vinkkejä... 24 Harjoitus 2... 25 LTspice-vinkkejä... 35 Harjoitus 3... 37 Harjoitus

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S55.103 SÄHKÖTKNKK 21.12.2000 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät 1,3,4,8,9 1. välikoe: tehtävät 1,2,3,4,5 2. välikoe: tehtävät,7,8,9,10 Oletko jo ehtinyt vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.

Lisätiedot

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNKKA A KTONKKA Kimmo Silvonen Tentti 20.5.200: tehtävät,3,5,6,8.. välikoe: tehtävät,2,3,4,5. 2. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain neljään tehtävään/koe. Sallitut: Kako, (gr.)

Lisätiedot

C 2. + U in C 1. (3 pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0 (4 pistettä). Komponenttiarvot ovat

C 2. + U in C 1. (3 pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0 (4 pistettä). Komponenttiarvot ovat S-87.2 Tentti 6..2007 ratkaisut Vastaa kaikkiin neljään tehtävään! C 2 I J 2 C C U C Tehtävä atkaise virta I ( pistettä), siirtofunktio F(s) = Uout ( pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet SMG-00: PIIRIANALYYSI I Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet alipäästösuodin ylipäästösuodin kaistanpäästösuodin kaistanestosuodin jännitevahvistus rajataajuus kaistanleveys resonanssi Suotimet:

Lisätiedot

IMPEDANSSIMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet

IMPEDANSSIMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet 1 IMPEDANSSIMITTAUKSIA 1 Työn tavoitteet Tässä työssä tutustut vaihtojännitteiden ja virtojen sekä vaihtovirtapiirissä olevien komponenttien impedanssien suuruuksien eli vaihtovirtavastusten mittaamiseen.

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 1 Kirchoffin ensimmäinen laki: Missä tahansa virtapiirin liitoskohdassa pisteeseen saapuvien sähkövirtojen summa on yhtä suuri kuin siitä poistuvien sähkövirtojen

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S-55.103 SÄHKÖTKNKKA 7.5.004 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät 1,3,5,7,9 1. välikoe: tehtävät 1,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,10 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn? Voit täyttää lomakkeen nyt.

Lisätiedot

Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus

Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus Elektroniikan perusteet, Radioamatööritutkintokoulutus Antti Karjalainen, PRK 14.11.2013 Komponenttien esittelytaktiikka Toiminta, (Teoria), Käyttö jännite, virta, teho, taajuus, impedanssi ja näiden yksiköt:

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Kuva 1. Vastus (R), kondensaattori (C) ja käämi (L). Sinimuotoinen vaihtojännite

Kuva 1. Vastus (R), kondensaattori (C) ja käämi (L). Sinimuotoinen vaihtojännite TYÖ 54. VAIHE-EO JA ESONANSSI Tehtävä Välineet Taustatietoja Tehtävänä on mitata ja tutkia jännitteiden vaihe-eroa vaihtovirtapiirissä, jossa on kaksi vastusta, vastus ja käämi sekä vastus ja kondensaattori.

Lisätiedot

Sähköiset perussuureet. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Sähköiset perussuureet. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Sähköiset perussuureet 1 DEE-11000 Piirianalyysi kevät 2016 ; III + IV periodi Luennot, III periodi Ma 10 12 S1 Ti 14 15 S4 Luennot, IV periodi Ma 10 12 S1 Harjoitukset, III + IV

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Kondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan

Kondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan VAIHTOVIRTAPIIRI 1 Johdanto Vaihtovirtapiirien käsittely perustuu kolmen peruskomponentin, vastuksen (resistanssi R), kelan (induktanssi L) ja kondensaattorin (kapasitanssi C) toimintaan. Tarkastellaan

Lisätiedot

Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua. Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014

Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua. Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014 Mittaustuloksen esittäminen Virhetarkastelua Mittalaitetekniikka NYMTES 13 Jussi Hurri syksy 2014 SI järjestelmä Kansainvälinen mittayksikköjärjestelmä Perussuureet ja perusyksiköt Suure Tunnus Yksikkö

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Luento 1. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Luento 1. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Luento 1 1 DEE-11000 Piirianalyysi Kesäkurssi, viikot 22-24 (26.5. 13.6.) Luennot Harjoitukset ma, ti, ke to klo 16-19 SE 211 pe klo 11-14 SE 211 (helatorstaina 29.5. ei luentoa),

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S55.0 SÄHKÖTEKNKKA 9.5.000 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,,5,8,9. välikoe: tehtävät,,,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.. aske virta.

Lisätiedot

Sähkötekniikka ja elektroniikka

Sähkötekniikka ja elektroniikka Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Piiriteoria Circuit Theory. Työkalut Tools Luento Oppikirja: Sähkötekniikka ja piiriteoria. Tämän viikon teoria on yleispätevää eikä rajoitu DC-analyysiin!

Lisätiedot

FYS206/5 Vaihtovirtakomponentit

FYS206/5 Vaihtovirtakomponentit FYS206/5 Vaihtovirtakomponentit Tässä työssä pyritään syventämään vaihtovirtakomponentteihin liittyviä käsitteitä. Tunnetusti esimerkiksi käsitteet impedanssi, reaktanssi ja vaihesiirto ovat aina hyvin

Lisätiedot

Kondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan. cos sin.

Kondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan. cos sin. VAIHTOVIRTAPIIRI 1 Johdanto Vaihtovirtapiirien käsittely perustuu kolmen peruskomponentin, vastuksen (resistanssi R), kelan (induktanssi L) ja kondensaattorin (kapasitanssi C) toimintaan. Tarkastellaan

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-0: SÄHKÖTEKNIIKAN PEUSTEET Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot