1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.

Transkriptio

1 1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion f jatkuvuus välillä I: a < x < b. Funktio f on siis jatkuva avoimen välin a < x < b jokaisella sisäpisteessä, oikealta jatkuva pisteessä a ja sekä vasemmalta jatkuva pisteessä b. Seuraavassa esitellään joitakin lauseita, joiden algebrallinen todistaminen vaatii koulukurssin ylittäviä tietoja. Tämä todistamatta jättäminen on tietenkin teoriarakennelman kehittelyn kannalta valitettavaa, mutta tilanteita voidaan katsella geometriseen havaintoon vedoten, ja jättää uskon asiaksi vakuus siitä, että lauseet voidaan todistaa. Niissä tehtävissä, joita tämän ja myöhempienkin kurssien yhteydessä kohdataan, on oleellisena osana funktion jatkuvuuden perustelu sikäli, kun tehtävän ratkaisu nyt suljetulla välillä jatkuvan funktion ominaisuuksiin perustuu. Lähihistorian kokemukset viittaavat vahvasti siihen, että muutoin virheettömästä suorituksesta ei saa täyttä kuutta pistettä, jos jatkuvuuden perustelu tai edes maininta jatkuvuudesta puuttuu. Jatkuvalle funktiolle on ominaista, että se saavuttaa jokaisen arvon minkä tahansa kahden saavuttamansa arvon välillä. Jos sairaan kuume on illalla klo 22 ollut 7.8 ja aamulla klo 6 kuumeeksi mitataan 9.4, niin yöllä on varmasti ollut ajanhetki, jolloin kuumetta on ollut esimerkiksi 8.5. Toki kuume on voinut vaihdella ilta- ja aamulämpötilan ulkopuolisissakin arvoissa LAUSE 9 Oletus: Funktio f on jatkuva välillä I: a < x < b, f(a) = A ja f(b) = B, missä A B. Väite: Onpa C mikä tahansa luku, joka on A:n ja B:n välissä, avoimella välillä a < x < b on ainakin yksi piste x o siten, että f( x o ) = C. Tod.: Algebrallinen todistus on vaikea. Geometrinen perustelu kuvaajan avulla seuraavalla sivulla.

2 B A C B C A a x o b a b Vasen kuva, jatkuvuus toteutuu Funktio saa arvon C Oikeanpuoleinen kuva, f epäjatkuva Funktio ei saavuta arvoa C, vaikka voisi sen periaatteessa saavuttaakin. Sovellutuksissa nojaudutaan monesti seuraavaan: SEURAUSLAUSE 9.1 Oletus: Funktio f on jatkuva välillä I: a < x < b, missä f(a) ja f(b) ovat eri merkkiset. Väite: Avoimella välillä a < x < b on ainakin yksi piste x o siten, että f( x o ) = 0. Tod.: Koska päätepistearvot ovat eri merkkiset, niin nolla on niiden välissä. Lauseen 7.9 nojalla avoimella välillä a < x < b on ainakin yksi sellainen piste, jossa funktio saavuttaa arvon nolla.

3 Esim. 1 Osoita, että yhtälöllä 4x + 2x + 1 = 0 on ainakin yksi reaalinen ratkaisu välillä ] 1,0[. Määritä sen likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella. Huomaa ensiksikin se, että yhtälöä ei käsketä ratkaisemaan, vaan vaaditaan todistamaan, että ainakin yksi ratkaisu on olemassa. Nyt on yhtäpitävää sanoa, että jollakin välillä yhtälöllä P(x) = 0 on juuri funktiolla y = P(x) on nollakohta. Tarkastellaan funktiota P(x) = 4x + 2x + 1, joka polynomifunktiona on jatkuva kaikkialla reaalilukujen joukossa R. P(0) = 1 > 0 P( 1) = 4( 1) + 2( 1) + 1 = 5 Koska P(0) P( 1) < 0, eli päätepistearvot ovat eri merkkiset, niin juuri on välillä ] 1,0[. Lasketaan funktion arvo välin puolessa, ja toistetaan menettely niin monesti, että päästään pyöristämään kaksidesimaaliseen likiarvoon. P( ½) = 4( ½) + 2( ½) + 1 = ½ ½,0. P( 0.25) = 4( 0.25) + 2( 0.25) + 1 = > 0. ½, P( 0.75) = 4( 0.75) + 2( 0.75) + 1 = > 0. ½, P( 0.85) = 4( 0.85) + 2( 0.85) + 1 = > 0. ½, P( 0.4) = 4( 0.4) + 2( 0.4) + 1 = , P( 0.95) = 4( 0.95) + 2( 0.95) + 1 = , P( 0.9) = 4( 0.9) + 2( 0.9) + 1 = Juuri on välillä ] 0.90, 0.85[, joten sen kaksidesimaalinen likiarvo on 0.9. Juuren tarkkaa arvoa ei kyetä sanomaan!

4 LAUSE 10 Oletus: Funktio f on jatkuva välillä I: a < x < b. Väite: Funktio f saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Toisin sanoen väliltä a < x < b löytyvät sellaiset pisteet x 1 ja x 2, että f( x 1 ) < f(x) < f( x 2 ) onpa x mikä tahansa välille I kuuluva piste. Tod.: Algebrallinen todistus on vaikea. Geometrinen perustelu kuvaajan avulla ohessa. a x 2 x 1 b a b Vasen kuva, jatkuvuus toteutuu Funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa. Oikeanpuoleinen kuva, f epäjatkuva, funktiolla ei ole pienintä arvoa, vaikka. on suurin arvo. Pieninkin arvo voisi olla. a b a b Funktio on jatkuva, on suurin arvo, mutta ei Väli suljettu, mutta funktio epäjatkuva. pienintä. Väli ei ole suljettu vaan avoin Ei suurinta, eikä pienintä arvoa.

5 Suljetulla välillä jatkuvan funktion ominaisuuksiin liittyy myös eräänlaisena seurauksena ominaisuus, jonka mukaan funktio on rajoitettu tällä välillä. Tämä tarkoittaa sitä, että funktio ei voi saada itseisarvoltaan äärettömän suuria arvoja, kuten tapahtuu edellissivun alimman, oikeanpuoleisen kuvaajan mukaan. On toki mahdollista, jopa tavallista, että avoimellakin välillä jatkuva funktio on rajoitettu, mutta sen ei tarvitse olla. Suljetulla välillä jatkuvaa funktiota koskevista lauseista viimemainittu, lause 10 on tärkein. Siihen nojaudutaan sovellutuksissa monesti ja luultavasti kaikissa myöhemmissä kursseissa. Tässä yhteydessä ei vielä puhuta mitään, missä kohdassa väliä I nämä arvot saavutetaan, mutta asiaan tullaan melko pian. Edellä käsitellyiltä kohdin matematiikan pitkä oppimäärä muistuttaa paljon lyhyttä sikäli, että tuloksia, vieläpä erittäin perustavaa laatua olevia, vain todistamatta annetaan, mutta niihin kuitenkin hyvin sitovasti vedotaan. Käyttöön tulevien lauseiden todistukset ovat kuitenkin siksi vaikeita, että ne esitetään vasta yliopistomatematiikassa, eikä sielläkään vielä perusopinnoissa (approbatur-tasolla). Näitä lauseita käytettäessä ja niihin vedottaessa on ehdottoman tärkeä asia muistaa mainita funktion jatkuvuus. Saattaa olla, että pelkkä mainitseminen ei edes riitä, vaan jatkuvuus on myös perusteltava, joskus jopa osoitettava.