Raja arvokäsitteen laajennuksia

Transkriptio

1 Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta. Esimerkki: x x 2 x 2 y = x 2 x 2

2 Epäoleellinen raja arvo: Jos kohtaa x 0 lähestyttäessä funktion arvot kasvavat tai vähenevät rajatta, sanotaan funktiolla olevan kohdassa x 0 epäoleellinen raja arvo tai. Esimerkki: x (x ) 2 Suora sijoitus tuottaisi muodon /0. = x + (x ) 2 x (x ) 2 = y = (x ) 2 Vastaus: x (x ) 2 = 2

3 Esimerkki: x 0 x x 0+ x = y = x x 0 x = Vastaus: Edes epäoleellista raja arvoa ei ole olemassa, sillä toispuoliset epäoleelliset raja arvot eivät ole samat. 3

4 Käsitteiden nimien kanssa on syytä olla tarkkana: raja arvo ja epäoleellinen raja arvo ovat eri asioita. Älä sano, että raja arvo on ääretön. Sano, että epäoleellinen raja arvo on ääretön. 4

5 Funktion jatkuvuus Määritelmä: Funktio f on jatkuva määrittelyjoukkonsa kohdassa x = x 0, jos f(x) = f(x 0 ). Muuten se on epäjatkuva. x x 0 y = f(x) Kuvassa f on kohdassa x = 3 jatkuva ja kohdassa x = 7 epäjatkuva. Funktio on jatkuva avoimella välillä ]a, b[, jos se on jatkuva jokaisessa välin pisteessä. y = f(x) Kuvassa f on jatkuva esimerkiksi välillä ]7, 9[ mutta ei välillä ]6, 9[. 5

6 Määritelmä jatkuu Funktio f on vasemmalta jatkuva kohdassa x = x 0, jos Vastaavasti määritellään oikealtajatkuvuus. f(x) = f(x 0 ). x x 0 y = f(x) Kuvan f on kohdassa x = 7 jatkuva vasemmalta mutta ei oikealta. Funktio on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on jatkuva vastaavalla avoimella välillä ]a, b[ ja lisäksi oikealta jatkuva kohdassa x = a ja vasemmalta jatkuva kohdassa x = b. y = f(x) Kuvan f on jatkuva esimerkiksi välillä [2, 6] mutta ei välillä [7, 9]. 6

7 Esimerkki: y = f(x) jatkuva kohdassa x = 2? vasemmalta? oikealta? jatkuva kohdassa x = 7? vasemmalta? oikealta? Mitä voidaan sanoa jatkuvuudesta kohdassa x = 5? 7

8 Tehtävä: Tutki, onko f(x) = x 2 + ln x jatkuva kohdassa x = 8. 8

9 Esimerkki: Onko f(x) = /x jatkuva funktio? y = x Funktio f on jatkuva. Kuvaajasta voi saada käsityksen, että f olisi epäjatkuva, kun x = 0. Jatkuvuus ja epäjatkuvuus ovat kuitenkin määrittelyjoukkoon liittyviä käsitteitä, eikä funktio f ole määritelty kohdassa x = 0. 9

10 Määritelmä: Alkeisfunktioiksi kutsutaan rationaali (ml. polynomit!), juuri, eksponentti ja logaritmifunktioita sekä trigonometrisia funktioita ja näiden käänteisfunktioita sekä näistä muodostettuja summia, erotuksia, tuloja, osamääriä ja yhdistettyjä funktioita. Huomautus: Melkein kaikki lukiomatematiikassa käsiteltävät funktiot ovat siis alkeisfunktioita. Poikkeuksia: paloittain määritellyt funktiot, itseisarvoja sisältävät funktiot. Lause: (a) Kaikki alkeisfunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan. (b) Itseisarvojen lisääminen funktion määrittelylausekkeeseen ei vaikuta funktion jatkuvuuteen. (Todistus sivuutetaan.) 0

11 Tehtävä: Onko funktio jatkuva koko reaalilukujen joukossa? Kun x 5, niin f on rationaalifunktiona jatkuva. Kohdan x = 5 tarkastelu: f(x) = x 5 f(x) = 25 x 2, kun x < 5, x 5 9, kun x 5, f(x) = x 5+ Koska f(x) f(x), niin f(x) ei ole olemassa. Siksi f ei ole x 5 x 5+ x 5 jatkuvakaan. Siis f ei ole jatkuva koko määrittelyjoukossaan.

12 y = f(x) 2

13 Paloittain määritellyn funktion f jatkuvuuden tutkiminen kohdassa x = a: Laske f(x) x a ja f(x). x a + Jos nämä ovat samat, niin f(x) on olemassa. x a Laske f(a). Jos nämä ovat samat, niin f on jatkuva kohdassa x = a. 3