Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Transkriptio

1 ja jatkuvuus, L5

2 1 Wikipedia: ( )

3 2 Funktion f () = a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään, että t ovat sitä lähempänä 4:ää mitä lähempänä on 2:ta f () l Asia ilmaistaan merkinnällä 2 4 lim 2 2 = 4 Lue:, kun lähestyy a 2, lausekkeesta ( 2 4)/( 2) on 4.

4 3 Toinen paljon käytetty merkintätapa on f () 4, 2, tai f () 2 4. Lue: f () lähestyy 4:ää, kun lähestyy 2:ta

5 4 Määritelmä: Funktion f () raja- kohdassa a on b (eli lim a f () = b), jos jokaista e > 0 kohti on olemassa vastaava d > 0 siten, Että f () ( a < d) ( f () b < e). b + e b b e a d a a + d

6 Esimerkkejä raja-n laskemisesta lim 3 3 ( + 3) ( 3) ( + 3) = lim = lim = ( 3) lim lim ( 3) = lim 3 1 ( 3) = lim = 9 = = 3

7 , harjoitus 6 Laske seuraavat raja-t ( 2 + (1) lim ( (2) lim ) = ) = y Lisäpohdinta-aihe: Miltä esimerkin funktioiden f () = ( 2 + )/( 2 + 5) ja g() = ( 2 + 1)/( 2 + 5) kuvaajat näyttäisivät, jos kuvaajista piirrettäisiin isompi alue (esim 10 < 10)?

8 , harjoitus, jatkuu 7 Lisäpohdinnan tulos y f () = g() = g() f ()

9 , olemassaola 8 a ei aina ole olemassa. Esimerkiksi funktiolla { f () = 1 f () = 2, kun 2 f (2) = 5 ei ole raja-a kohdassa = 2. y

10 , olemassaola 9 Edellisen esimerkin perustelu. Perutelemme väitteen: Ei ole niin, että: on olemassa b siten, että kaikilla e > 0 on olemassa d > 0 niin, että ( 2 < d) ( f () b < e). perustelemalla vahvemman väitteen: Valitaan b, e > 0 ja d > 0 miten tahansa, niin aina löytyy sellainen :n, että 2 < d mutta f () b > e. Olkoon M = b + e. Valitaan = min(2 + d 2, M ). Silloin 2 d < < 2 + d ja f () b = 1 b 2M b = 2 b + 2e b > e 2

11 10 Määritelmä 1: Funktio f () on jatkuva kohdassa = 0, jos funktion kohdassa = 0, eli f ( 0 ), on hyvin määritelty (eli laskettavissa) funktion raja- kohdassa = 0, eli lim 0 f (), on olemassa ja raja- ovat samat, eli f ( 0 ) = lim 0 f (). Määritelmä 2: Funktio f () on jatkuva välillä (a,b), jos se on jatkuva jokaisessa välin (a,b) kohdassa (pisteessä).

12 11 Havainnollinen kuvailu: Funktio f () on jatkuva, jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. y y jatkuva epäjatkuva y y epäjatkuva epäjatkuva

13 12 Jatkuvia funktioita: Polynomifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan. Eksponenttifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan. Logaritmifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan. Epäjatkuvia funktioita: f : 1 on epäjatkuva 0:ssa. Rationaalifunktio g : P() Q() nollakohdissa (Q() = 0). Paloittain määritelty funktio on epäjatkuva nimittäjän { f (), kun a h : g(), kun > a on epäjatkuva kohdassa = a, jos lim a f () lim a+ g().

14 13 Tämän kurssin osalta jatkuvuudesta riittää edellä annettu havainnollinen kuvailu: Funktio on jatkuva, jos siinä ei ole epäjatkuvuuskohtaa, jossa kuvaaja katkeaa. Myöhemmin, jos opinnoissasi tai työtehtävissäsi esimerkiksi optimoit tai käytät dynaamista mallinnusta, niin joudut paneutumaan jatkuvuuteen paljon tarkemmin. Nyt on hyvä saada konkreettinen, helppo ja luonnollinen esikäsitys asiasta. -käsite tulee toistumaan kurssin materiaalissa melko usein. Kiinnitä siihen huomioita. Jos -sanan jälkeiset adjektiivit ovat aina tärkeitä!

15 14 Lause: Jos funktio on keltainen ja kuohkea, niin se on pirtsakka. Lauseesta ei seuraa, että pirtsakka funktio olisi keltainen. Lause ei sano mitään sinisen funktion pirtsakkuudesta. Sekin voi olla pirtsakka. Lause ei sano että kaikki keltaiset funktiot ovat pirtsakoita. Funktiolta vaaditaan myös kuohkeus. Kaikki Jos -sanan jälkeiset adjektiivit ovat tärkeitä! Jatkossa adjektiivin keltainen paikalla on usein adjektiivi jatkuva.

16 15 Lause: Suljetulla välillä määritelty jatkuva funktio saa suurimman nsa jossakin määrittelyvälin pisteessä. Sama hieman toisin: Olkoon f : [a,b] R jatkuva. Silloin on olemassa luku [a,b] siten, että f ( ) f ( 0 ), 0 [a,b]. Vielä hieman toisin: Olkoon f : [a,b] R jatkuva. Silloin on olemassa luku [a,b] siten, että f ( ) on suurin luvuista {f (c) c [a,b]}

17 16 Emme todista lausetta täsmällisesti. Riittävä geometrinen ymmärrys syntyy seuraavasti: Edellinen lause sisälsi kaksi jos -sanan jälkeistä ehtoa (1) Funktio f on määritelty suljetulla välillä [a,b], (2) Funktio f on jatkuva välillä [a,b]. Ehdoista seuraa, että funktion on hyvin määritelty välin päätepisteissä. Piirretään koordinaatistoon ensin pisteet (a,f (a)) ja (b,f (b)). Sitten piirrämme kuvaajan näiden pisteiden väliin yhdellä jatkuvalla vedolla nostamatta kynää paperista. Kokemuksen mukaan on olemassa raja y = M, jonka yläpuolella kynä ei käy. Asetetaan viivotin vaakasuoraan korkeudelle M + 1. Vedetään viivotinta alaspäin, kunnes se koskettaa kuvaajaa. Kosketuskohdasta näemme funktion suurimman n f ( ) ja myös sen kohdan, jossa suurin saadaan.

18 17 Edellisen lauseen kumpikin ehto on tarpeen. esimerkki 1: Funktio f :]0,1[, 0,5 + 0,5 on jatkuva, mutta määrittelyväli on avoin. Tässä tapauksessa funktio ei saa suurinta a välillä ]0,1[. y f () = 0,5 + 0,5 0 1

19 18 esimerkki 2: Funktion { 0,1 + 2 kun 0 < 0,5 f : [0,1], 0,1 + 0,5 kun 0,5 1 määrittelyväli on suljettu, mutta funktio on epäjatkuva. Tässä tapauksessa funktio ei saa suurinta a välillä [0,1]. y { 0,1 + 2 kun 0 < 0,5 f () = 0,1 + 0,5 kun 0,