Yksinkertaisin järjestelmä
|
|
- Urho Ahonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Digitaalinen Signaalinkäsittely T05 Luento Jarkko.Vuori@evtek.fi Yksinkertaisin järjestelmä Differenssiyhtälö [ n] x[ n] y Lohkokaavio X() Y() Siirtofunktio H ( ) Nolla-napa kuvio Ei nollia eikä napoja, koska järjestelmä ei muuta signaalia millään tavoin T05/JV
2 Yksinkertaisimman järjestelmän variaatio Differenssiyhtälö [ n + k] x[ n k] y + Lohkokaavio Siirtofunktio x[n-] - X() X() x[n+k] k X() H ( ) k k y[n-] - Y() Y() y[n+k] k Y() Nolla-napa kuvio Siirtofunktiosta Napanollapareja (k kpl) 0 Origissa oleva napa tai nolla ei muuta signaalia, mutta aikaansaa T05/JV 3 origossa oleva napa tai nolla aikasiirtymän edistää aikaa yhden näytteen verran Differenssiyhtälö Hiukan monimutkaisempi järjestelmä [ n] x[ n ] y Lohkokaavio X() - Y() Siirtofunktio H ( ) Nolla-napa kuvio Siirtofunktiosta Napa 0 Jos sekä x[] että y[] signaaleja viivästetään k näytteen verran, napanollapareja tulee k kpl lisää T05/JV 4
3 Differenssiyhtälö Ensimmäisen asteen IIRjärjestelmä [ n] x[ n] + y[ n ] y Lohkokaavio X() Y() - ½ Siirtofunktio H ( ) Nolla-napa kuvio Siirtofunktiosta Napa / Nolla 0 tästä näkee helposti differenssiyhtälön tästä taas näkee nollat ja navat T05/JV 5 Ensimmäisen asteen FIRjärjestelmä Differenssiyhtälö [ n] x[ n] + x[ n ] y Lohkokaavio X() - Y() Siirtofunktio H ( ) + + Nolla-napa kuvio Siirtofunktiosta Navat 0 Nollat tästä näkee helposti differenssiyhtälön tästä taas näkee nollat ja navat T05/JV origossa olevalla navalla 6 ei vaikutusta koska etäisyys yksikköympyrälle on sama riippumatta kulmasta 3
4 Taajuus- ja amplitudivaste Taajuusvaste siirtofunktio yksikköympyrän kehällä H jω jω ( e ) H ( e ) θ ( ω) 43 amplitudiv aste { vaihevaste ¾π ¼π Diskreettiaikainen järjestelmä on stabiili jos navat ovat yksikköympyrän sisällä Amplitudivaste voidaan hahmottaa nolla-napa kuviosta Nollien ja napojen kulmat reaaliakselin suhteen ovat suoraan digitaalitaajuus jolla ko. nolla tai napa vaikuttaa Yksikköympyrällä oleva nolla aiheuttaa siirtofunktioon todellisen nollan Yksikköympyrän lähellä oleva napa aikaansaa maksimin siirtofunktioon Navat määräävät siirtofunktion luonteen H(e jω ) ¼π ¾π π T05/JV 7 Signaalinkäsittelyn käytännön toteutuksesta Signaalinkäsittelyn perusoperaatio on konvoluutiosumma (FIR- ja IIR-järjestelmien perusrakennekomponentti) k [ n] x[ n] h[ n] x[ n] h[ n k] y * Konvoluutiosumma voidaan laskea liukuluvuilla (floating point numbers) jolloin lukualueiden ja desimaalilukujen (itse signaali ja kertoimet) esittämisessä ei tule ongelmia Liukuluvut ovat kuitenkin yleensä hitaampia laskea kuin kokonaisluvut Käytännössä suorituskykyisissä signaalinkäsittelyjärjestelmissä käytetään kokonaislukulaskentaa (fixed point numbers) kertolaskun ja summan suorittamiseksi Käytetyn lukujärjestelmän täytyy olla sellainen että se kykenee esittämään desimaalilukuja, mutta itse laskenta voidaan toteuttaa kokonaislukuoperaatioilla T05/JV 8 4
5 Signaalinkäsittelyn lukujärjestelmät Vaaditun kaltaisia desimaali lukuja voidaan esittää osamurtolukujen (fractional fixed point numbers) avulla (i voi olla myös negatiivinen) i bi, i N, b i { 0,} , , ,5 i Binääripisteen paikka voidaan vapaasti valita Ainoastaan ohjelmoija/toteuttaja tietää missä binääripiste sijaitsee Rautaa se ei sinänsä kiinnosta, kaikki bitit käsitellään samoin Kiinteän osamurtoluvun suhteellinen tarkkuus on vakio Siksi liukuluvuissa on paikkaansa tarpeen mukaan siirtävä binääripiste (ns. liukuvan pisteen luku) Suurilla numeroilla on vähemmän absoluuttista tarkkuutta kuin pienillä Huom! Usein liukulukuja esitetään muodossa x.xxxxxxe+nn jossa binääripisteen paikka näyttää pysyvän paikallaan. Vaikka piste tulostettavassa luvussa onkin aina samassa paikassa (ensimmäisen numeron jälkeen), sen sijainti kokonais- ja desimaaliosan suhteen muuttuukin (liukuu) jatkuvasti Osamurtolukujen summaamiseen voidaan käyttää normaaleja kokonaislukusummaimia Osamurtolukujen summaamiseen voidaan käyttää normaaleja kokonaislukujenkin summaamiseen käytettäviä keinoja (i i +j) T05/JV 9 Signaalinkäsittelyn lukujärjestelmät Osamurtoluku yleensä on etumerkillinen Kahden komplementtiesitys toimii myös osamurtolukujen yhteydessä Yleensä lukualueena on - x< Tällöin binääripiste on heti eniten merkitsevän bittiposition oikealla puolella N 0 + bn i 0 i N + i b, b { 0,} Koska kokonaisosa on aina vain yhden bitin mittainen, lukujen pituus ilmaistaan murto-osan pituudella Merkintä Q5 tarkoittaa että käytössä on 5 bittiä murto-osalle (ja yksi bitti etumerkille, yhteensä 6 bittiä) Osamurtoluvussa luvun pituus ei määrää lukualuetta (se on aina sama, - x<), vaan pituus määrää luvun tarkkuuden Etumerkillisiä osamurtolukuja voidaan laskea normaaleilla summaus/vähennysoperaatioilla i , , ,5.0-0,5 T05/JV 0 5
6 Q5 lukujärjestelmä Suurin positiivinen arvo 0 ( 5 -) -5 0, Suurin negatiivinen arvo Kvantisointiaskel , On huomattava että rationaalisia desimaalilukuja, kuten esim. 3/5 0,6 ei voida välttämättä esittää tarkasti rationaalisella binääriluvulla 0,6 Q5 esitysmuoto on siten , T05/JV Signaalinkäsittelyn lukujärjestelmät Osamurtoluvun dynaaminen alue (suurimman ja pienimmän arvon välinen suhde) määritellään seuraavasti D fixed point bittien määrä 0log ( )db 0 Nyrkkisääntönä 6 db/bitti Huomaa että Qn esitysmuodon dynamiikka on 6n db, mutta se tarvitsee kuitenkin kokonaisuudessaan n+ bittiä tiedon tallentamiseen Q7 dynamiikka 4 db Q5 dynamiikka 90 db Q3 dynamiikka 86 db vrt. ihmisen kuuloaistin dynamiikka n. 00 db, klassisen orkesterimusiikin dynamiikka n. 70 db T05/JV 6
7 Kertolasku C-kielessä Osamurtolukujen etumerkillinen kertolasku voidaan myös toteuttaa normaalilla kokonaislukujen kertolaskuyksiköllä Kerrottaessa kaksi osamurtolukua keskenään, tuloksena syntyy luku jossa binääripisteen oikealla puolella on tekijöiden osamurtobittien summan verran osamurtobittejä Esim. kerrottaessa kaksi Q5 lukua (6-bit) keskenään, tulokseksi syntyy Q30 luku jossa on kaksi kokonaislukubittiä (30+3 bit) Siksi kertolaskun jälkeen tulos täytyy normalisoida (ts. saattaa jälleen Q5 esitysmuotoon) Tämä voidaan tehdä joko Siirtämällä lukua yksi askel vasemmalle Tällöin luku on kuitenkin Q3 esitysmuodossa, jos tämä kerrotaan edelleen, syntyy Q6 luku, jne. Tai siirtämällä 3-bittistä kertolaskun tulosta 5 askelta oikealle ja katkaisemalla tulos 6- bittiseksi Tällöin kuitenkin katkaisusta aiheutuu pyöristysvirheitä! Oheisessa esimerkissä Q5 luku ensin muunnetaan 3-bittiseksi ja lasketaan 3- bittinen kertolasku (koska 6-bittisen kertolaskun tulos C-kielessä olisi 6- bittinen). Tämä tulos normalisoidaan siirtämällä tulosta 5 bittiä oikealle ja katkaisemalla tulos 6-bittiseksi // target platform: MSP430 #define MPY(a, b) ((int3_t)(a) * (b) >> 5) // Q5 multiplication /* st order IIR filter in Q5 arithmetic * highpass filter with corner frq 0.03 (DC remover) */ static int6_t iirst(int6_t x) { static int6_t x, y; int6_t y; // Q5 format } /* we use direct form I realiation because its unsensitivity to internal overflows */ y x; // B0.0 y - x; // B -.0 y - MPY(-3077, y); // A /* then update delay lines */ x x; y y; return (y); y[ n] x[ n] x[ n ] + 0, y[ n ] H ( ) 0, , T05/JV 3 Keskiarvon (DC-komponentin) poisto Kun etäisyys nollasta kasvaa, vaste on suurempi täällä navan takana nollan vaikutus on pienin suurin vaste.5 H() 0.5 y[ n] x[ n] x[ n ] + 0, y[ n ] H ( ) 0, tässä nolla lähellä olevan navan takia vaste nousee jyrkästi T05/JV 4 7
8 Kertolasku signaaliprosessorissa Osamurtolukujen kertolaskun takia kertolaskuyksikössä on signaaliprosessoreissa yleensä shifteri Kertolaskukäsky siten on oikeasti muotoa MPY a,b Shift Z Yleensä kertolaskuun liittyvä shiftaus on implisiittinen (sitä ei erikseen tarvitse kertoa käskyssä) Motorola DSP56000 signaaliprosessorin ALU T05/JV 5 Kertolasku signaalivuokaaviossa Kertolaskun käytännön toteuttaminen aiheuttaa laskentaan virheitä Koska lopputulos joudutaan lähes aina katkaisemaan Kertolasku voidaankin mallintaa kohinalähteen avulla e[n] a (a) q Kertolasku tuottaa käytetystä laskutarkkuudesta riippuen kohinaa Siksi kertolaskujen tarkkuuteen ja sijaintiin täytyy käytännön toteutuksissa kohdistaa huomiota DSP:n rakenneosat eivät ole täydellisiä, mutta niiden epäideaalisuudet ovat huomattavasti paremmin hallittavissa kuin analogisten komponenttien epäideaalisuudet Tarkemmin näitä asioita (mm. äärellisen laskutarkkuuden vaikutukset) käsitellään signaaliprosessorit kurssilla T05/JV 6 8
9 Järjestelmien modifiointi Aina ei kannata suunnitella tyhjästä uutta järjestelmää, vaan olemassaolevien järjestelmien modifiointi riittää Modifiointi on yleensä nopeampaa kuin tyhjästä luonti vrt. komponenttiohjelmointi jossa parametrisoidaan olemassaolevia komponentteja sekä luodaan niiden välisiä kytkentöjä T05/JV 7 Sarjaan kytketyt järjestelmät Sarjaan kytketyt järjestelmät (kaskadissa) H () H () H () H () T05/JV 8 9
10 Sarjaan kytketyt järjestelmät Kertolaskut vaihdannaisia Järjestys voidaan vaihtaa Laskentatarkkuus/ylivuoto riippuvat järjestyksestä Ylivuodolle herkät lohkot ensimmäiseksi» Summat kasvavat aina loppupäässä suuremmiksi Laskentatarkkuudesta voidaan tinkiä viimeisissä lohkoissa» Koska ensimmäisissä lohkoissa syntyvä kohina vahvistuu seuraavissa lohkoissa Käytetään purkamaan korkeamman kertaluvun järjestelmät. ja. asteen järjestelmiksi Kompleksikonjugaattiparit reaaliset kertoimet siirtofunktioihin Yksikköympyrää lähimpänä olevat navat pariin lähimpien nollien kanssa Vähentää huippuvahvistusta (peak gain) ja siten ylivuodon mahdollisuutta 3 T05/JV 9 Rinnakkain kytketyt järjestelmät Rinnakkain kytketyt järjestelmät H () H () H ()+H () T05/JV 0 0
11 Rinnakkain kytketyt järjestelmät Käytetään IIR-järjestelmien purkamiseksi rinnakkaisiksi. ja. asteen järjestelmiksi Osamurtokehitelmän avulla voidaan yksi rationaalinen siirtofunktio (jonka osoittaja on pienempää astetta kuin nimittäjä) purkaa aina termien summaksi Tässä muodossa siirtofunktio esittää rinnakkaisten järjestelmien summaa Osamurtokehitelmä muuttaa monimutkaisen siirtofunktion yksinkertaisten tekijöiden summaksi Järjestelmän kohina on yleensä pienempi rinnakkaisten järjestelmien tapauksessa Ei kohinan vahvistusilmiötä H ( ) H ( )( ) ( ) ( ) A ( ) ( )( ) + B( ) + C( ) ( )( ) A( 3 + ) + B( ) + C( ) ( )( ) ( A + B + C) + ( 3A B C) + A ( )( ) osoittajan täytyy ollasama kuin alkuperäisen H() : n,eli A + B + C 0 3A + B + C 0 A A, B, C 4 H ( ) + A + 4 ( ) ( ) B + C T05/JV Aikamuunnos Aikamuunnos: viiveen moninkertaistaminen k α Ajan kertominen taajuuden jakaminen h k [ n k] H ( ) Kaksinkertaistetaan ensimmäisen asteen IIRjärjestelmän viive H ( ) H ( ) [ n] αy[ n ] x[ n] y α α α α a - -α α Viiveen kaksinkertaistaminen tuo toiset navat ja nollat imaginaariakselin peilikuvan kautta T05/JV
12 Aikamuunnos Napojen ja nollien kulma reaaliakselin suhteen puolittuu Napojen ja nollien lukumäärä kaksinkertaistuu Differenssiyhtälössä aikaviiveet kaksinkertaistuvat Suotimen kertoimet kuitenkin säilyvät samoina T05/JV 3 Aikamuunnos Amplitudivasteen kannalta H(e jω ) Alipäästösuodin F N F S H(e jω ) Kaistanestosuodin F N/ F N T05/JV 4
13 Aikamuunnos Entä jos vain näytteenottotaajuus pudotetaan puoleen? Nolla-napakuvio säilyy samana Järjestelmän asteluku säilyy samana Kaikki rajataajuudet putoavat puoleen fs f s / H(e jω ) H(e jω ) Alipäästösuodin F N Alipäästösuodin F S F N/ F S/ T05/JV 5 Aikamuunnos Aikamuunnos: reaaliakselin suunnan vaihto H(e jω ) Alipäästösuodin H(e jω ) Ylipäästösuodin T05/JV 6 3
14 Aikamuunnos Esim. vaihdetaan parittomien viiveiden etumerkit vastakkaisiksi H() x[n-] H() - x[n-] T05/JV 7 Suodinpankit Joissain yhteyksissä tarvitaan useamman samanaikaisen signaalinkäsittelylohkon käyttöä Spektrianalyysi Signaalin pakkaaminen Useampien rinnakkaisten (samanaikaisesti toimivien) suodattimien ryhmää kutsutaan suodinpankiksi (filter bank) Suodinpankissa alkuperäinen signaali jaetaan N toisistaan riippumattomaan kaistaan jotka vastaavat pientä osaa alkuperäisestä signaalin kaistasta Mihin käytetään Kuvakompressio, OFDM-modulaatio T05/JV 8 4
15 Aika-akselin modifiointi suodinpankissa Yhteiset kertoimet kaikille suotimille Yhdistetyt viivelinjat ja laskutoimitukset H(e jω ) H(e jω ) H(e jω ) H(e jω ) k T05/JV 9 Aika-akselin modifiointi suodinpankissa H (e jω ) H (e jω ) H(e jω ) H(e jω ) Käytetään suodinpankeissa, koska - yhteiset kertoimet kaikille suotimille - yhdistetyt viivelinjat ja laskutoimitukset 3 4 T05/JV 30 5
Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006
Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 5.5.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotAlipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi
Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö-
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 30.1.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 6.3.006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja
LisätiedotLiukulukulaskenta. Pekka Hotokka
Liukulukulaskenta Pekka Hotokka pejuhoto@cc.jyu.fi 10.11.2004 Tiivistelmä Liukulukuja tarvitaan, kun joudutaan esittämään reaalilukuja tietokoneella. Niiden esittämistavasta johtuen syntyy laskennassa
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti..005 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja sen
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 18.3.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotY Yhtälöparista ratkaistiin vuorotellen siirtofunktiot laittamalla muut tulot nollaan. = K K K M. s 2 3s 2 KK P
Säädön kotitehtävä vk3 t. 1 a) { Y =G K P E H E=R K N N G M Y Yhtälöparista ratkaistiin vuorotellen siirtofunktiot laittamalla muut tulot nollaan. G R s = Y R = GK P s 1 = KK 1 GK P K N G P M s 2 3s 2
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN- Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe.5.4 Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla -3 on. Sivuilla 4-5 on. Sivulla
LisätiedotANSI/IEEE Std
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 1 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen ANSI/IEEE Std 754-2008 0 1 0 1 1 0 0 0 B = Σ B i 2 i Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 2 (26) Johdanto
LisätiedotLukujärjestelmät. Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen Fe
Digitaalitekniikan matematiikka Luku 9 Sivu 3 (26) Lukujärjestelmät ja lukujen esittäminen.9.2 Fe Lukujärjestelmät Kymmen- eli desimaalijärjestelmä: kantaluku perinteisesti käytetty ja tuttu numerot,,
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 24.4.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotSGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen
SGN-5 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe.. Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla - on. Sivuilla 4-6 on. Vastaa
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN-11 Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe 3.5.16 Heikki Huttunen Laskimen käyttö sallittu. Muiden materiaalien käyttö ei sallittu. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla 1-3 on. Sivuilla 4-5
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet
SMG-00: PIIRIANALYYSI I Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet alipäästösuodin ylipäästösuodin kaistanpäästösuodin kaistanestosuodin jännitevahvistus rajataajuus kaistanleveys resonanssi Suotimet:
LisätiedotELEC-C5340 - Sovellettu digitaalinen signaalinkäsittely. Äänisignaalien näytteenotto ja kvantisointi Dither Oskillaattorit Digitaalinen suodatus
L1: Audio Prof. Vesa Välimäki ELEC-C5340 - Sovellettu digitaalinen signaalinkäsittely Luennon sisältö Äänisignaalien näytteenotto ja kvantisointi Dither Oskillaattorit Digitaalinen suodatus Lyhyt FIR-suodin
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Tietokoneen rakenne Luento 6 Tietokonearitmetiikka Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö ALU = Aritmetic
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2
1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 Miten spektri lasketaan moduloiduille ja näytteistetyille tietoliikennesignaaleille? KONVOLUUTIO JA KERTOLASKU 2 Kantataajuussignaali (baseband) = sanomasignaali ilman
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Luento 6 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö Tietokonearitmetiikka Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU = Aritmetic Logic Unit
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
LisätiedotMitä FIR suodin on oikeastaan. Pekka Ritamäki. Esittely. Esimerkki
Mitä FIR suodin on oikeastaan Pekka Ritamäki Esittely...1 Esimerkki...1 Mikä FIR suodin on?...3 Mitkä ovat FIR suotimen huonot ominaisuudet verrattuna IIR suotimiin?...5 Millä termeillä FIR suodinta kuvataan?...5
LisätiedotLuento 8. Suodattimien käyttötarkoitus
Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden
LisätiedotSäätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi
Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen 0.4 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio
Lisätiedot3. kierros. 2. Lähipäivä
3. kierros. Lähipäivä Viikon aihe (viikko /) Takaisinkytketyt vahvistimet Takaisinkytkentä, suljettu säätöluuppi Nyquistin kriteeri, stabiilisuus Taajuusanalyysi, Boden ja Nyquistin diagrammit Systeemin
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu
Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,
Lisätiedot12. Stabiilisuus. Olkoon takaisinkytketyn vahvistimen vahvistus A F (s) :
1. Stabiilisuus Olkoon takaisinkytketyn vahvistimen vahvistus A F (s) : AOL ( s) AF ( s) (13 10) 1+ T ( s) A OL :n ja T:n määrittäminen kuvattiin oppikirjan 1-7 kappaleessa. Näiden taajuus käyttäytyminen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotBL40A1711 Johdanto digitaalielektroniikkaan: Johdanto ja lukujärjestelmät
BL40A1711 Johdanto digitaalielektroniikkaan: Johdanto ja lukujärjestelmät Laboratory of Control Engineering and Digital Systems Focus of research and education Energy efficient systems Renewable energy
LisätiedotSISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA
SISÄLLYS - DIGITAALITEKNIIKKA Digitaalitekniikan perusteita...2 Bitti (bit)...2 Tavu (bytes)...2 Sana (word)...2 Yksiköt...2 Binääri järjestelmän laskutapa...2 Esimerkki: Digikuvan siirron kestoaika...2
LisätiedotIIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
LisätiedotDynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed.) DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002.
Dynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed. DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002. Sisältö:! Johdanto!! Ajallinen käyttäytyminen! oteutus!
Lisätiedot8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta
8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä
LisätiedotT Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-63 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus 2 välikoe / tentti Ke 4528 klo 6-9 Sali A (A-x) ja B (x-ö)m 2 vk on oikeus tehdä vain kerran joko 75 tai 45 Tee välikokeessa tehtävät, 2 ja 7 (palaute)
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotT SKJ - TERMEJÄ
T-61140 SKJ - termit Sivu 1 / 7 T-61140 SKJ - TERMEJÄ Nimi Opnro Email Signaalinkäsittelyyn liittyviä termejä ja selityksiä Kevät 2005 Täytä lomaketta kevään aikana ja kerää mahdollisesti puuttuvia termejä
LisätiedotHarjoitustyö 1. Signaaliprosessorit Sivu 1 / 11 Vähämartti Pasi & Pihlainen Tommi. Kaistanestosuodin, estä 2 khz. Amplitudi. 2 khz.
Signaaliprosessorit Sivu 1 / 11 Harjoitustyö 1 Kaistanestosuodin, estä 2 khz Amplitudi f 2 khz MATLAB koodi: clear; close all; w=[0 1900 1950 2050 2100 4000]/4000; m=[1 1 0 0 1 1]; h=remez(800,w,m); [H,w]=freqz(h,1);
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotTiedon esitysmuodot. Luento 6 (verkkoluento 6) Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto
Luento 6 (verkkoluento 6) Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut, liukuluvut Merkit, merkkijonot Äänet, kuvat, muu tieto Ohjelman esitysmuoto Rakenteellinen tieto 1 Tiedon tyypit Kommunikointi
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Lisätiedotn! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.
IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotC = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out
Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe C = Aseta Aseta i i = n i > i i i Ei i < i i i Ei i i = Ei i i = i i -- On On On C in > < = CI CO C out -- = + (-) (-) = + = C + Digitaalitekniikan matematiikka
LisätiedotKirjoitetaan FIR-suotimen differenssiyhtälö (= suodatuksen määrittelevä kaava):
TL536, DSK-algoritmit (S4) Harjoitus. Olkoo x(t) = cos(πt)+cos(8πt). a) Poimi sigaalista x äytepisteitä taajuudella f s = 8 Hz. Suodata äi saamasi äytejoo x[] FIR-suotimella, joka suodikertoimet ovat a
LisätiedotHarjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.
Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Tietokoneen rakenne Luento 6 Tietokonearitmetiikka (Computer Arithmetic) Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU: Aritmeettis-Looginen
LisätiedotMuuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset
Muuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset valintakriteerit resoluutio ja nopeus Yleisimmät A/D-muunnintyypit:
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (3)
Tietokoneen toiminta, Kesä 22 4.8.22 Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 11 Ti 14.2.2017 Timo Männikkö Luento 11 Algoritminen ongelmanratkaisu Osittaminen Lomituslajittelu Lomituslajittelun vaativuus Rekursioyhtälöt Pikalajittelu Algoritmit 1 Kevät 2017
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?)
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotTietokonearitmetiikka
Luento 6 ALU: Aritmeettis-Looginen Yksikkö Tietokonearitmetiikka (Computer Arithmetic) Stallings: Ch 9 Kokonaislukuesitys Kokonaislukuaritmetiikka Liukulukuesitys Liukulukuaritmetiikka Luento 6-1 ALU =
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät, Systeemitekniikka Feb 2019
LisätiedotLaskentaa kirjaimilla
MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien
LisätiedotRatkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / systeemitekniikka Jan 019
Lisätiedot20 Kollektorivirta kun V 1 = 15V 10. 21 Transistorin virtavahvistus 10. 22 Transistorin ominaiskayrasto 10. 23 Toimintasuora ja -piste 10
Sisältö 1 Johda kytkennälle Theveninin ekvivalentti 2 2 Simuloinnin ja laskennan vertailu 4 3 V CE ja V BE simulointituloksista 4 4 DC Sweep kuva 4 5 R 2 arvon etsintä 5 6 Simuloitu V C arvo 5 7 Toimintapiste
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotSignaalien datamuunnokset
Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 06/02/2004 Luento 4a: Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan
LisätiedotSignaalien generointi
Signaalinkäsittelyssä joudutaan usein generoimaan erilaisia signaaleja keinotekoisesti. Tyypillisimpiä generoitavia aaltomuotoja ovat eritaajuiset sinimuotoiset signaalit (modulointi) sekä normaalijakautunut
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
LisätiedotMerkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon esitys laitteistossa (2) Tietoa siirretään muistiväylää pitkin sanoina
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot
Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) 1 Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa kuva, ääni, merkit, Laitteiston
LisätiedotLuento 6 Tiedon esitysmuodot. Tiedon esitys laitteistossa (3)
Tietokoneen toiminta 3.4.24 Luento 6 Tiedon esitysmuodot Lukujärjestelmät Kokonaisluvut Liukuluvut Merkit, merkkijonot Totuusarvot Kuvat, äänet, hajut(?) Tiedon tyypit (3) Kommunikointi ihmisen kanssa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotMediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin
Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotTämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.
MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen
Lisätiedot