Yksisuuntainen varianssianalyysi. Yksisuuntainen varianssianalyysi. Yksisuuntainen varianssianalyysi. Yksisuuntainen varianssianalyysi: Mitä opimme?
|
|
- Annikki Pääkkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c Ila Mell (005 Yssuutae varassaals Johdatus tlastoteteesee Yssuutae varassaals Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 Yssuutae varassaals: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa smstä: Mte tavaomae ahde rppumattoma otose t-test lestetää tlateesee, rhmä o useampa u as? Yssuutasessa varassaalsssa perusjouo o jaettu rhm hde tejä suhtee ja tavotteea o testata rhmstä pomttuh tosstaa rppumattom sertas satuasotos perustue hpoteesa, joa muaa tarasteltava muuttuja rhmäohtaset odotusarvot ovat htä suura. Kas- ta useampsuutasessa varassaalsssa perusjouo o jaettu rhm ahde ta useamma tejä suhtee ja tavotteea o testata rhmstä pomttuh tosstaa rppumattom sertas satuasotos perustue hpoteesa, joa muaa tarasteltava muuttuja rhmäohtaset odotusarvot ovat htä suura. Yssuutae varassaals >> Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 4 Varassaals: Johdato Varassaals: Johdato Kahde otose t-test Avasaat Kahde rppumattoma otose t-test m-suutae varassaals Odotusarvo Rhmä Test Varass Yssuutae varassaals Suhdeasteollslle muuttujlle tarotettuja testejä ästelleessä appaleessa tarastelt ahde rppumattoma otose t-testä. Test testausasetelma o seuraava: ( Perusjouo oostuu ahdesta rhmästä. ( Havaot oudattavat ummassa rhmässä ormaaljaaumaa. ( Kummasta rhmästä o pomttu tosstaa rppumattomat sertaset satuasotoset. (v Tehtävää o testata rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruutta. TKK (c Ila Mell (005 5 TKK (c Ila Mell (005 6
2 TKK (c Ila Mell (005 7 Varassaals: Johdato Varassaals perusogelma Varassaals: Johdato Rhm jao varassaalsssa Varassaals vodaa mmärtää ahde rppumattoma otose t-test lestses tlates, perusjouo oostuu useammasta u ahdesta rhmästä: ( Perusjouo oostuu ahdesta ta useammasta rhmästä. ( Havaot oudattavat joasessa rhmässä ormaaljaaumaa. ( Joasesta rhmästä pomtaa tosstaa rppumattomat sertaset satuasotoset. (v Tehtävää o testata rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruutta. Perusjouo jao rhm vodaa tehdä hde ta useamma tejä perusteella. Jos perusjouo jao rhm perustuu htee tejää, puhutaa ssuutasesta varassaalssta. Jos perusjouo jao rhm perustuu m tejää, puhutaa m-suutasesta varassaalssta. Huomautus: Tässä luvussa ästellää ssuutasta varassaalsa. TKK (c Ila Mell (005 8 Varassaals: Johdato Varassaals m Yssuutae varassaals Varassaals m o harhaajohtava. Varassaalsssa testataa rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruutta tlateessa, perusjouo o jaettu ahtee ta useampaa rhmää. Varassaals m johtuu stä, että rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruude testaame perustuu er tavolla määrättje varasse htäsuuruude testaamsee F-testellä. Varassaals: Johdato >> Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 9 TKK (c Ila Mell (005 0 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma /5 Avasaat Bartlett test Boferro meetelmä F-test Jääöselösumma χ -test Kooasesarvo Kooaselösumma Kooasvahtelu Luottamusväl Nelösumma Odotusarvo Odotusarvoje parvertalu Odotusarvoje smultaae vertalu Rhme ssäe vahtelu Rhme väle vahtelu Rhmä Rhmäesarvo Rhmäelösumma Taso Test Vapausaste Varass Varassaalshajotelma Varassaalstauluo Yssuutae varassaals Ylee leaare mall Oletetaa, että tutmuse ohteea oleva perusjouo vodaa jaaa ahtee ta useampaa rhmää jo tejä (ta muuttuja A suhtee. Oletetaa, että tejällä A o tasoa, jollo jaossa st rhmä appaletta. Oletetaa, että joasesta rhmästä =,,, o pomttu tosstaa rppumattomat sertaset satuasotoset, jode oot ovat,,,. Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, TKK (c Ila Mell (005 TKK (c Ila Mell (005
3 TKK (c Ila Mell (005 3 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma /5 Kätetstä otatameetelmästä seuraa, että havaot j, j =,,,, =,,, vodaa olettaa rppumattoms (ja ste mös orrelomattoms satuasmuuttujs. Oletetaa, että havaot j ovat ormaaljaautueta: j N(µ, σ, j =,,,, =,,, Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma 3/5 Havaosta j tehdstä oletusesta seuraa: ( Kalla samaa rhmää uuluvlla havaolla o sama odotusarvo: E( j = µ, j =,,,, =,,, ( Kalla havaolla o rhmästä rppumatta sama varass: D ( j = σ, j =,,,, =,,, TKK (c Ila Mell (005 4 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma 4/5 Haluamme testata ollahpoteesa stä, että rhmäohtaset odotusarvot E( j = µ, j =,,,, =,,, ovat htä suura. Asetetaa ss ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals perusasetelma 5/5 Jos ollahpotees H 0 rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruudesta pätee, rhmät vodaa hdstää assa havatoje esmääräsä arvoja osevssa tarastelussa. Jos ollahpotees H 0 hlätää testattaessa, tedetää, että muuttuja rhmäohtaset odotusarvot eroavat tosstaa aa ahdessa rhmässä. Jos ollahpotees H 0 o hlätt, rhmäohtasa odotusarvoja vodaa verrata paretta ta smultaasest tossa; s. appaletta Odotusarvoje vertaame. TKK (c Ila Mell (005 5 TKK (c Ila Mell (005 6 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutae varassaals: Määrtelmä Yssuutae varassaals tarottaa ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ testaamsta. Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutae varassaals ja oesuuttelu / Yssuutasta varassaalsä vodaa ättää oetuloste aals seuraavassa oeasetelmassa: ( Oletetaa, että oee tavotteea o verrata, mte ästtelt A, A,, A vauttavat ostuse ohteea oleva muuttuja esmääräs arvoh. TKK (c Ila Mell (005 7 TKK (c Ila Mell (005 8
4 TKK (c Ila Mell (005 9 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutae varassaals ja oesuuttelu / ( Valtaa ästtel A ohtees ae oee ohtes valttuje slöde jouosta satuasest slöä, =,,, ja = N. ( Mtataa vasteet el ostuse ohteea oleva muuttuja arvot j, j =,,,, =,,,. Huomaa, että oeasetelma o tädellsest satuastettu: Sattuma määrää tädellsest mllase ästtel ohtees oee ohtes valtut slöt joutuvat. Yssuutae varassaals ja se suorttame Havaot Havaot j, j =,,,, =,,, vodaa rhmtellä seuraavalla tavalla: Rhmä :,,, Rhmä :,,, Rhmä :,,, TKK (c Ila Mell (005 0 Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhmäesarvot Määrtellää havatoarvoje j rhmäesarvot el rhmäohtaset artmeettset esarvot: Rhmä : = j Rhmä : = j Rhmä : = j Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhmäesarvot ja varassaals ollahpotees Jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, o odotettavssa, että rhmäesarvot =, =,,, j j = evät poea ov paljo tosstaa. TKK (c Ila Mell (005 TKK (c Ila Mell (005 Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooasesarvo Yssuutae varassaals ja se suorttame Poeamat esarvosta Jos rhmäohtaset otoset hdstetää hdes otoses, hdstet otose havatoarvoje les- el ooasesarvo o = j = N = N = N = o havatoje ooasluumäärä ja =, =,,, j j = o rhmä havatoarvoje artmeette esarvo. Krjotetaa detteett j = ( + ( j j = havatoarvo j poeama ooasesarvosta = rhmäesarvo poeama ooasesarvosta j = havatoarvo j poeama rhmäesarvosta TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 4
5 TKK (c Ila Mell (005 5 Yssuutae varassaals ja se suorttame Poeamat esarvosta ja ssuutase varassaals test Yssuutasessa varassaalsssa test ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = = µ = µ perustuu poeame (,( j elösummlle. Jos ollahpotees H 0 pätee, o odotettavssa, että rhmäesarvot evät poea ov paljo ooasesarvosta, jollo poeamat evät ole tsesarvoltaa ov suura. Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma Määrtellää havatoarvoje ooasavahtelua uvaava ooaselösumma: SST = ( = j Jos rhmäohtaset otoset hdstetää hdes otoses, saadu hdstet otose varass o s = SST N = ( j N = TKK (c Ila Mell (005 6 Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma ja rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma Määrtellää rhme välstä (sstemaattsta vahtelua uvaava (rhmä- elösumma: SSG = ( = = = ( Määrtellää rhme ssästä vahtelua uvaava (jääös- elösumma: SSE = ( = j Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma tulta Havatoarvoje j rhmävarasst el rhmäohtaset varasst saadaa lauseesta s = ( j, =,,, Ste rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE lausee vodaa esttää mös muodossa SSE = ( s = TKK (c Ila Mell (005 7 TKK (c Ila Mell (005 8 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalshajotelma Korottamalla detteett j = ( + ( j potess as ja lasemalla htee saadaa varassaalshajotelma ( = ( + ( j j = = = joa vodaa edellä estettje mertöje avulla rjottaa lhest muotoo SST = SSG + SSE TKK (c Ila Mell (005 9 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalshajotelma: Todstus / Korottamalla detteett = ( + ( j j potess as ja lasemalla htee saadaa Varassaalshajotelma ( = ( + ( j j j j j = = = = = = tulee ss todstetus, jos ätämme, että = ( ( = 0 j TKK (c Ila Mell (005 30
6 TKK (c Ila Mell (005 3 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalshajotelma: Todstus / Suoraa lasemalla saadaa ( ( = ( ( j j j j = = = = = ( j = = ( j j = = ( 0 = mä o haluttu tulos. = 0 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalshajotelma tulta Varassaalshajotelmassa SST = SSG + SSE ooaselösumma SST = ( = o hajotettu ahde osatejä summas, SSG = ( = ( uvaa rhme välstä (sstemaattsta vahtelua ja SSE = ( uvaa rhme ssästä vahtelua. j = = = j TKK (c Ila Mell (005 3 Yssuutae varassaals ja se suorttame Test odotusarvoje htäsuuruudelle Yssuutae varassaals ja se suorttame Testsuure Jos rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG = ( = o suur verrattua rhme ssästä vahtelua uvaavaa elösummaa SSE = ( = ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ o stä asettaa seealases. j Määrtellää F-testsuure N SSG F = SSE N = = = ( ( j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Testsuuree jaauma Jos havaot ovat ormaaljaautueta ja ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, testsuure F o jaautuut Fsher F-jaauma muaa vapausaste ( ja (N : F F (, N Testsuuree F ormaalarvo o N E( F = H 0 N Ste suuret testsuuree F arvot johtavat ollahpotees H 0 hläämsee. Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma jaauma ja vapausasteet Oletetaa, että ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Tällö SST = ( j χ ( N σ σ = j = vapausastede luumäärä o N ja N = TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 36
7 TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /3 Oletetaa, että havaot j ovat rppumattoma ja j N(µ, σ, j =,,,, =,,, Tällö satuasmuuttujat j µ N(0,, j =,,,, =,,, σ ovat rppumattoma ja suoraa χ -jaauma määrtelmä muaa j µ χ ( N = σ vapausastede luumäärä o N = Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /3 Korvataa lauseeessa j µ χ ( N = σ tutemato parametr µ estmaattorllaa N = j = = Vodaa osottaa, että tällö j SST = χ ( N = σ σ j TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Kooaselösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu 3/3 Meetämme ss hde vapausastee orvatessamme parametr µ estmaattorllaa. Tämä seltt seuraavalla tavalla: ( Havatoarvot j (N pl vovat varoda vapaast, jote llä o N vapausastetta. ( Erotuset j µ (N pl vovat varoda vapaast, jote llä o N vapausastetta. ( Erotuset j (N pl evät vo varoda täs vapaast, osa tä stoo s leaare sde-ehto: (v = ( = 0 j Kohda ( s leaare sde-ehto saa χ -jaauma vapausastede luumäärä väheemää hdellä. Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet Oletetaa, että ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Tällö SSG = ( χ ( σ σ = vapausastede luumäärä o TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /3 Oletetaa, että havaot j ovat rppumattoma ja j N(µ, σ, j =,,,, =,,, Tällö satuasmuuttujat σ = j N,,,,, µ = j = ovat rppumattoma, josta seuraa, että mös satuasmuuttujat µ N(0,, =,,, σ / ovat rppumattoma ja suoraa χ -jaauma määrtelmä muaa µ χ ( = σ / vapausastede luumäärä o. Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /3 Korvataa lauseeessa µ χ ( = σ / tutemato parametr µ estmaattorllaa N = j = = j ss N = Vodaa osottaa, että tällö SSG = ( ( = χ = σ / σ = σ TKK (c Ila Mell (005 4 TKK (c Ila Mell (005 4
8 TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme välse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu 3/3 Meetämme ss hde vapausastee orvatessamme parametr µ estmaattorllaa. Tämä seltt seuraavalla tavalla: ( Kesarvot ( pl vovat varoda vapaast, jote llä o vapausastetta. ( Erotuset ( µ ( pl vovat varoda vapaast, jote llä o vapausastetta. ( Erotuset ( ( pl evät vo varoda täs vapaast, osa tä stoo s leaare sde-ehto: (v = ( = 0 Kohda ( s leaare sde-ehto saa χ -jaauma vapausastede luumäärä väheemää hdellä. Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet Vodaa osottaa, että rppumatta stä päteeö ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ va e, SSE = ( j χ ( N σ σ = j = vapausastede luumäärä o N ja N = TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /4 Oletetaa, että havaot j ovat rppumattoma ja j N(µ, σ, j =,,,, =,,, Tällö satuasmuuttujat j µ N(0,, j =,,,, =,,, σ ovat rppumattoma ja suoraa χ -jaauma määrtelmä muaa j µ χ (,,,, j σ = = vapausastede luumäärät ovat, =,,, Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu /4 Korvataa lauseessa j µ χ (,,,, σ = tutemattomat parametrt µ estmaattorellaa =, =,,, j = j Vodaa osottaa, että tällö j χ (, =,,, σ TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu 3/4 Meetämme ss hde vapausastee orvatessamme parametr µ estmaattorllaa. Tämä seltt seuraavalla tavalla: ( Havatoarvot j ( pl vovat varoda vapaast, jote llä o vapausastetta. ( Erotuset j µ ( pl vovat varoda vapaast, jote llä o vapausastetta. ( Erotuset j ( pl evät vo varoda täs vapaast, osa tä stoo s leaare sde-ehto: (v ( = 0, =,,, j Kohda ( s leaare sde-ehto saa χ -jaauma vapausastede luumäärä väheemää hdellä. Yssuutae varassaals ja se suorttame Rhme ssäse vahtelu elösumma jaauma ja vapausasteet: Perustelu 4/4 Kosa satuasmuuttujat j χ (,,,, σ = ovat rppumattoma, j SSE = χ ( N = σ σ N = ( = = = ja ss N = TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 48
9 TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Cochra lause /3 Yssuutae varassaals ja se suorttame Cochra lause /3 Cochra lause o täreä matemaattse tlastotetee teoreema, joa avulla vodaa todstaa moet lese leaarse mall ja varassaals testsuureta osevat jaaumatuloset. Oletetaa, että satuasmuuttujat z, =,,, ν ovat rppumattoma ja oudattavat stadardotua ormaaljaaumaa N(0, : z, z,, zν z N(0,, =,,, ν χ -jaauma määrtelmä muaa ν Q= z χ ( ν = Oletetaa, että ν = Q= z = Q + Q + + Q s ν ja Q o elömuoto, joa aste o r(q = ν, =,,, s s TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Cochra lause 3/3 Tällö elömuodot Q, Q,, Q s ovat rppumattoma χ -jaautueta satuasmuuttuja, jode vapaustede luumäärä ovat ν, ν,, ν s, jos ja va jos ν = ν + ν + + ν s Yssuutae varassaals ja se suorttame Cochra lause: Seuraus Cochra lauseesta seuraa ertsest: Oletetaa, että Q= Q+ Q + + Q χ ( ν Q χ ( ν, =,,, s Tällö ν = ν + ν + + ν s o välttämätö ja rttävä ehto slle, että satuasmuuttujat Q, Q,, Q s ovat rppumattoma. TKK (c Ila Mell (005 5 TKK (c Ila Mell (005 5 Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals F-testsuuree jaauma: Perustelu /3 Tarastellaa ssuutase varassaals F- testsuuretta N SSG F = SSE SSG = rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSE = rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma Varassaalshajotelma muaa SST = SSG + SSE SST = rhme ooasvahtelua uvaava elösumma TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals F-testsuuree jaauma: Perustelu /3 Edellä o todettu, että ollahpotees H 0 pätessä SST χ ( N σ SSG χ ( σ SSE χ ( N σ Cochra lausee muaa elösummat SSG ja SSE ovat rppumattoma, osa varassaalshajotelma elösumma vastaavat vapausasteet toteuttavat htälö N = ( + (N TKK (c Ila Mell (005 54
10 TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals F-testsuuree jaauma: Perustelu 3/3 Ste suoraa F-jaauma määrtelmä muaa SSG N SSG ( σ F = = F (, N SSE SSE ( N σ jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Yssuutae varassaals ja se suorttame Testsuuree tulta / Testsuure N SSG F = SSE vodaa tulta varasse vertalutestsuurees, havatoje j varass σ estmaattora MSG = SSG = ( = verrataa estmaattor MSE = SSE = ( j N N = j = TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Testsuuree tulta / Estmaattor MSE = SSE = ( j N N = j = o aa harhato havatoje j varasslle σ, mutta estmaattor MSG = SSG = ( = o harhato havatoje j varasslle σ va, jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus /5 Oletetaa todstuse sertastamses, että = = = = jollo N = Estmaattor MSE = SSE = ( j N N o harhato varasslle σ = j =, jos E( MSE = E( SSE N = σ Todstamme ss, että E(SSE = (N σ Huomautus: Emme oleta, että ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus /5 Yssuutase varassaals tlastolle mall vodaa esttää seuraavassa muodossa (s. taremm seuraavaa appaletta: = µ j, j =,,,, =,,, j satuasmuuttujat ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: j ε j N(0, σ, =,,,, =,,, Todetaa es, että = j = µ, =,,, ε = ε j, =,,, Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus 3/5 Satuasmuuttujat ε = ε j, =,,, ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: σ ε N 0,, =,,, Lsäs = ε ε, j =,,,, =,,, j j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 60
11 TKK (c Ila Mell (005 6 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus 4/5 Edellä estet muaa SSE = ( = ( ε ε j j j j = = = = ( ε j ε jε ε j = = ε j ε ε j = = = = ε j ε = = ε j ε j = = = + = + = = Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSE harhattomuus: Todstus 5/5 Ste E( SSE = E ( j = E ε j ε = = = E( ε j E( ε = σ = σ = = ( σ σ = = ( σ = ( σ = ( N σ mä o haluttu tulos. TKK (c Ila Mell (005 6 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus /7 Oletetaa tarastelu sertastamses, että = = = = jollo N = Estmaattor MSG = SSG = ( o harhato varasslle σ =, jos E( MSG = E( SSG =σ Todstamme, että estmaattor MSG o harhato varasslle σ, jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus /7 Yssuutase varassaals tlastolle mall vodaa esttää seuraavassa muodossa (s. taremm seuraavaa appaletta: j = µ + τ j, j =,,,, =,,, τ = 0 = ja satuasmuuttujat ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε j N(0, σ, j =,,,, =,,, TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 3/7 Todetaa es, että = j = µ + τ, =,,, ε = ε j, =,,, ja = j = ( µ + τ = µ + τ = α N = N = N = ε = j N ε = N ε j = = = Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 4/7 Satuasmuuttujat ε = ε j, =,,, ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: σ ε N 0,,,,, = Mös satuasmuuttuja ε = ε j N = o ormaaljaautuut: σ ε N 0,, =,,, N Lsäs = ε ε + τ, =,,, TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 66
12 TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 5/7 Edellä oleva muaa SSG = ( = ( ε ε + τ = = [ ( ε ε τ] = + = ( ε ε ( ε ε τ τ = = = ( ε εε ε ( ε ε τ τ = = = ε ε ε ( ε ε τ τ = = = ε Nε ( ε ε τ + τ = = = = + + = = = + Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 6/7 Ste E( SSG = E ( = = Eε Nε + ( ε ε τ + τ = = = = E( ε NE( ε + τ E( ε ε + τ = = = σ σ τ 0 τ N = = σ τ = = N + + = ( + TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassestmaattor MSG harhattomuus: Todstus 7/7 Yssuutae varassaals ja se suorttame Varassaalstauluo / Ste olemme todstaeet, että SSG E( MSG = E τ = = σ + Kosa ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ o evvalett ollahpotees H 0 : τ = τ = = τ = 0 assa (s. taremm seuraavaa appaletta, ollahpotees H 0 pätessä MSG o varass σ harhato estmaattor: E(MSG = σ Vahtelu lähde Rhme väle vahtelu Rhme ssäe vahtelu Kooasvahtelu SS SSG SSE SST df N N MS MSG = SSG MSE = SSE N F N SSG F = SSE TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaalsja se suorttame Varassaalstauluo / Yssuutae varassaals Varassaalstauluo elösummat toteuttavat htälö SST = SSG + SSE Yhtälö o varassaalshajotelma. Varassaalstauluo elösumme vapausasteet toteuttavat htälö N = ( + (N Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame >> Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 7 TKK (c Ila Mell (005 7
13 TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals tlastolle mall: Parametrot I / Yssuutase varassaals tlastolle mall vodaa parametroda seuraavalla tavalla: ( j = µ j, j =,,,, =,,, jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε j N(0, σ, j =,,,, =,,, Mallssa ( j = -muuttuja j. havatoarvo rhmässä µ = -muuttuja odotusarvo rhmässä Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals tlastolle mall: Parametrot I / E-satuaset vaot µ, =,,, ja jääösvarass σ ovat ssuutase varassaals tlastollse mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, parametreja. Malla ( osevsta oletussta seuraa, että E( j = µ, j =,,,, =,,, ja D ( = σ, j =,,,, =,,, j TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals tlastolle mall: Parametrot II / Yssuutase varassaals tlastolle mall vodaa parametroda mös seuraavalla tavalla: ( j = µ + τ j, j =,,,, =,,, τ = 0 = ja jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε N(0, σ, j =,,,, =,,, j Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals tlastolle mall: Parametrot II / E-satuaset vaot µ, τ, =,,, ja jääösvarass σ ovat ssuutase varassaals tlastollse mall ( j = µ + τ j, j =,,,, =,,, parametreja. Malla ( osevsta oletussta seuraa, että E( j = µ + τ, j =,,,, =,,, ja D ( = σ, j =,,,, =,,, j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Parametrote I ja II vertalu Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Parametrote I ja II evvaless / Mallssa ( j = µ j, j =,,,, =,,, -havaot estetää rhmäohtaste odotusarvoje µ, =,,, Mallssa ( j = µ + τ j, j =,,,, =,,, -havaot estetää seuraave tejöde summaa: Ylesodotusarvo µ Rhmttelevä tejä A taso vautus (efet τ =,,, Mallt ( ja ( ovat evvaletteja mallt o va parametrotu er tavolla. Määrtellää µ = µ, N = N = Krjotetaa detteett j = µ + ( µ µ + ( j µ, j =,,,, =,,, ja mertää ja τ = µ µ, =,,, µ = ε, j =,,,, =,,, j j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 78
14 TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Parametrote I ja II evvaless / Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Nollahpoteese evvaless Ste = µ = µ + ( µ µ + ( µ = µ + τ j j j j j j µ = µ, N = = N =, =,,,, 0 = = τ µ µ τ ovat ssuutase varassaals tlastollse mall evvaletteja estsmuotoja. Mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, ollahpoteesa H 0 : µ = µ = = µ = µ vastaa mallssa ( j = µ + τ j, j =,,,, =,,, ollahpotees H 0 : τ = τ = = τ = 0 TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot >> Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt Yssuutase varassaals mall vodaa parametroda seuraavalla tavalla: ( j = µ j, j =,,,, =,,, j = -muuttuja j. havatoarvo rhmässä µ = -muuttuja odotusarvo rhmässä ε j = jääösterm Oletetaa, että jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε N(0, σ, j =,,,, =,,, j TKK (c Ila Mell (005 8 TKK (c Ila Mell (005 8 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall leseä leaarsea malla Yssuutase varassaals mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, o evvalett regressomall ( j = µ I j+ µ I j + + µ I j j j =,,,, =,,, assa. Mall ( selttäjät I, =,,, ovat daattormuuttuja, jota lmasevat uuluuo havato j rhmää va e:, jos havato j uuluu rhmää I j = 0, jos havato j e uulu rhmää Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall parametre PNS-estmaattort Mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, parametre µ, =,,, pemmä elösumma estmaattores ˆ µ, =,,, saadaa rhmäohtaset artmeettset esarvot ˆ µ = j = TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 84
15 TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall parametre PNS-estmaattort: Johto / Estmodaa mall ( = µ j, j =,,,, =,,, j parametrt µ, =,,, PNS-meetelmällä. Etstää elösumma = j = j = = SS( µ, µ,, µ ε ( µ mm parametre suhtee tavaomasee tapaa: ( Dervodaa elösumma SS ( µ, µ,, µ parametre µ, =,,, suhtee. ( Mertää dervaatat olls. ( Ratastaa saadut ormaalhtälöt parametre µ, =,,, suhtee. Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall parametre PNS-estmaattort: Johto / Normaalhtälös saadaa: SS( µ, µ,, µ = ( j µ µ µ = = ( j µ = j µ Normaalhtälöde ratasus saadaa rhmäesarvot ˆ µ = j = = 0, =,,, TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall sovtteet ja resduaalt Estmodu mall sovtteet saadaa htälöstä ˆ ˆ j = µ =, j =,,,, =,,, ˆ µ =, =,,, o parametr µ pemmä elösumma estmaattor. Estmodu mall resduaalt saadaa htälöstä e = ˆ =, j =,,,, =,,, j j j j Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall ja ollahpotees odotusarvoje htäsuuruudesta Ottamalla ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ huomoo, muutuu mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, malls (3 j = µ j, j =,,,, =,,, Mall (3 o saatu mallsta ( asettamalla mall ( parametrelle µ, µ,, µ ( leaarsta sde-ehtoa: µ µ = 0, =, 3,, TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Sdotu mall (3 parametr PNS-estmaattor Mall (3 j = µ j, j =,,,, =,,, parametr µ pemmä elösuma estmaattors saadaa lesesarvo j N = j = = Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Sdotu mall (3 parametr PNS-estmaattor: Johto / Estmodaa mall (3 = µ j, j =,,,, =,,, j parametr µ PNS-meetelmällä. Etstää elösumma SS( µ = ε = ( µ j j j = = = = mm tavaomasee tapaa: ( Dervodaa elösumma S(µ parametr µ suhtee. ( Mertää dervaatta ollas. ( Ratastaa saatu ormaalhtälö parametr µ suhtee. j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 90
16 TKK (c Ila Mell (005 9 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Sdotu mall (3 parametr PNS-estmaattor: Johto / Normaalhtälös saadaa: SS( µ = ( j µ µ µ Normaalhtälö ratasus saadaa lesesarvo ˆ µ = j = N = = = ( µ = j = j Nµ = = 0, =,,,, N = Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Parametreja oseve sde-ehtoje testaame /3 Mallsta ( j = µ j, j =,,,, =,,, saadaa jääöselösummas rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE = ( = j Mallsta (3 j = µ j, j =,,,, =,,, jääöselösummas saadaa ooaselösumma SST = ( j = TKK (c Ila Mell (005 9 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Parametreja oseve sde-ehtoje testaame /3 Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Parametreja oseve sde-ehtoje testaame 3/3 Luvu Ertssmsä lese leaarse mall soveltamsessa appaleessa Rajotettu pemmä elösumma meetelmä estet teora muaa leaarste sde-ehtoje µ µ = 0, =, 3,, testaame vodaa perustaa F-testsuureesee N SST SSE F = SSE joa ottamalla huomoo varassaalshajotelma SST = SSG + SSE vodaa rjottaa muotoo N SST SSE N SSG F = = SSE SSE Jos sde-ehdot µ µ = 0, =, 3,, pätevät, N SSG F = F (, N SSE Tässä estett F-test ja edellä ssuutase varassaals ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = = µ = µ estett F-test ovat täs samat. TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutae varassaals Yssuutase varassaals mall matrsests Yssuutase varassaals mall Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot >> Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt Yssuutase varassaals mall vodaa parametroda seuraavalla tavalla: ( j = µ j, j =,,,, =,,, j = -muuttuja j. havatoarvo rhmässä µ = -muuttuja odotusarvo rhmässä ε j = jääösterm Oletetaa, että jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε N(0, σ, j =,,,, =,,, j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 96
17 TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall matrsests Yssuutase varassaals mall leseä leaarsea malla Yssuutase varassaals mall ( j = µ j, j =,,,, =,,, o evvalett regressomall ( j = µ I j+ µ I j + + µ I j j j =,,,, =,,, assa. Mall ( selttäjät I, =,,, ovat daattormuuttuja, jota lmasevat uuluuo havato j rhmää va e:, jos havato j uuluu rhmää I j = 0, jos havato j e uulu rhmää Yssuutase varassaals mall matrsests Regressomall ( matrsests / Regressomall ( vodaa rjottaa matrse muotoo µ ε ε ε ε ε ε µ = µ 3 + µ TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall matrsests Regressomall ( matrsests / Yssuutase varassaals mall matrsests Mall ( regressoertome PNS-estmot /3 Edellse alvo matrshtälö vodaa rjottaa lhest muotoo = Xµ = havatoje j muodostama N-vetor; N = X = o olle ja öste muodostama täsastee N -matrs, joa joasella rvllä o täsmällee s öe µ = rhmäodotusarvoje µ muodostama -vetor ε = jääösterme ε j muodostama N-vetor Mall = Xµ regressoertome vetor µ pemmä elösumma estmaattor o µ = ( XX X TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall matrsests Mall ( regressoertome PNS-estmot /3 Yssuutase varassaals mall matrsests Mall ( regressoertome PNS-estmot 3/3 Nt = dag(,,, = XX Σ j Σ j X = Σ j3 Σ j Ste regressoertome vetor µ pemmä elösumma estmaattors ˆµ saadaa rhmäesarvoje, =,,, muodostama vetor: Σ j Σ j Σ 3 j3 3 µ ˆ = ( XX X = = Σ j TKK (c Ila Mell (005 0 TKK (c Ila Mell (005 0
18 TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall matrsests Yssuutause varassaals ollahpotees Yssuutase varassaals mall matrsests Regressomall (3 matrsests / Ottamalla ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ huomoo, saadaa mallsta ( j = µ j, j =,,,, =,,, mall (3 j = µ j, j =,,,, =,,, Mall (3 o saatu mallsta ( asettamalla mall ( parametrelle µ, µ,, µ ( leaarsta sde-ehtoa: µ µ = 0, =, 3,, Mall (3 vodaa rjottaa matrse muotoo δ δ δ µ = + δ δ δ TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall matrsests Regressomall (3 matrsests / Yssuutase varassaals mall matrsests Mall (3 regressoertome PNS-estmot / Edellse alvo matrshtälö vodaa rjottaa lhest muotoo = µ = havatoje j muodostama N-vetor; N = = o öste muodostama N-vetor µ = regressoerro δ = jääösterme δ j muodostama N-vetor Mall = µ regressoertome µ pemmä elösumma estmaattor o ˆ µ = ( TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Yssuutase varassaals mall matrsests Mall (3 regressoertome PNS-estmot / Yssuutae varassaals Nt = N =ΣΣ j Ste regressoertome µ pemmä elösumma estmaattors ˆµ saadaa havatoarvoje lesesarvo : ˆ µ = ( = ΣΣ j = N Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests >> Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 08
19 TKK (c Ila Mell ( Lasutomtuste suorttame Rhmäsummat ja ooassumma Lasutomtuste suorttame Havatoarvoje elöde summat Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Määrtellää rhmä =,,, havatoarvoje j summa aavalla T =, =,,, j ja ae havatoarvoje j ooassumma aavalla T = = T j = = Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Määrtellää rhmä =,,, havatoarvoje j elöde summa aavalla, =,,, j ja ae havatoarvoje j elöde ooassumma aavalla j = TKK (c Ila Mell (005 0 Lasutomtuste suorttame Rhmäesarvoje ja ooasesarvo laseme Havatoarvoje rhmäesarvot saadaa aavolla = T, =,,, ja ooasesarvo saadaa aavalla = T N N = o havatoje ooasluumäärä. Lasutomtuste suorttame Rhmävarasse ja ooasvarass laseme Havatoarvoje rhmävarasst saadaa aavolla s = j T, =,,, ja ooasvarass saadaa aavalla s T = j N = N N = o havatoje ooasluumäärä. TKK (c Ila Mell (005 TKK (c Ila Mell (005 Lasutomtuste suorttame Kooaselösumma seä rhme ssäse ja välse vahtelu elösumme laseme Kooaselösumma SST vodaa lasea aavalla SST = ( j = j T = = N Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG vodaa lasea aavalla SSG = ( = ( = T T = = = N Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE saadaa varassaalshajotelma ojalla aavalla SSE = SST SSG Lasutomtuste suorttame Varassaals testsuuree laseme F-testsuure ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ testaamses saadaa rhme välstä vahtelua uvaavasta elösummasta SSG ja rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE aavalla N SSG F = SSE TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 4
20 TKK (c Ila Mell (005 5 Lasutomtuste suorttame Lasutomtuste järjestäme tauluos Yssuutae varassaals Lasutomtuset vodaa järjestää esmers seuraava tauluo muotoo: Rhmä Rhmä Rhmä Summa N = = T = j j T = j j T j j T T = = = = = = T T T j j = = = j j j j Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame >> Bartlett test Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 6 Bartlett test Test ollahpotees Bartlett test Testsuure / Yssuutasessa varassaalsssa oletetaa, että havatoje j rhmäohtaset varasst ovat htä suura. Oloot havaot j ormaalsa: j N( µ, σ, j =,,,, =,,, Oletetaa lsäs, että havaot j ovat rppumattoma ja ste mös orrelomattoma. Määrtellää ollahpotees H : σ = σ = = σ = σ 0 TKK (c Ila Mell (005 7 Määrtellää havatoje j rhmäohtaset varasst s aavolla s = ( j, =,,, =, =,,, j j = o havatoje j rhmäohtae esarvo. Muodostetaa otosvarassesta s hdstett varass sp = ( s N = TKK (c Ila Mell (005 8 Bartlett test Testsuure / Bartlett test Testsuuree jaauma Määrtellää Bartlett testsuure Q B = h (logartmt luoollsa ( log( P ( log( = Q= N s s ja h = + 3( = N Jos ollahpotees H 0: σ = σ = = σ = σ pätee, Bartlett testsuure B o jaautuut suurssa otosssa approsmatvsest (el asmptoottsest χ - jaauma muaa vapausaste ( : B a χ ( Testsuuree B ormaalarvo o approsmatvsest ( : E( B = a Suuret testsuuree B arvot johtavat ollahpotees H 0 hläämsee. TKK (c Ila Mell (005 9 TKK (c Ila Mell (005 0
21 TKK (c Ila Mell (005 Bartlett test Testsuuree laseme Yssuutae varassaals Rhmävarasst s vodaa lasea aavolla s = ( j = j T, =,,, Otosvarassesta lasettu hdstett varass s P o sama u rhme ssäsee vahteluu lttvä varassestmaattor: s = P ( s SSE MSE N = N = = Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test >> Odotusarvopare vertalu Kotrastt TKK (c Ila Mell (005 Odotusarvopare vertalu Odotusarvoje vertaluogelma Jos ssuutase varassaals ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ hlätää tedetää, että aa as odotusarvosta µ, =,,, eroaa tlastollsest mertseväst tosstaa. Jos ollahpotees H 0 hlätää, varassaalsa vodaa jataa rhmttelllä, selvtetää mssä rhmssä odotusarvoje erot ovat tlastollsest mertsevä. Vertalu vodaa tehdä ättämällä luottamusvälejä ta testejä. Odotusarvopare vertalu Luottamusväle ättö odotusarvoje parvertalussa /4 Oletetaa, että haluamme verrata odotusarvoja µ ja µ l. Odotusarvoje vertalu vodaa tehdä ste, että ostruodaa odotusarvoje µ ja µ l erotuselle µ µ l luottamusväl luottamustasolla ( α ja tuttaa uuluuo olla ostruotuu väl va e. TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 4 Odotusarvopare vertalu Luottamusväle ättö odotusarvoje parvertalussa /4 Valtaa luottamustasoa ( α vastaavat luottamusertomet t α/ ja +t α/ ste, että Pr( tα / t + tα / = α t t( N Odotusarvopare vertalu Luottamusväle ättö odotusarvoje parvertalussa 3/4 Kätetää odotusarvoje µ ja µ l erotuse luottamusvälä luottamustasolla ( α välä ( l ± tα sp + Kaavassa s = P ( s SSE MSE N = = N = o s. hdstett varass, s = ( j o rhmä havatoarvoje varass. l TKK (c Ila Mell (005 5 TKK (c Ila Mell (005 6
22 TKK (c Ila Mell (005 7 Odotusarvopare vertalu Luottamusväle ättö odotusarvoje parvertalussa 4/4 Huomautusa: ( Tässä ätettävä luottamusväl aava eroaa tavaomasesta aavasta ste, että hdstet varass s p aavassa o hdstett otosvarasst asta rhmstä eä va rhmstä ja l. ( Kostruodut luottamusvält evät ole smultaasa, vaa osevat va rhme ja l odotusarvoja. (Tehtäve parvertaluje luumäärä o ( = Odotusarvopare vertalu Testause ättö odotusarvoje parvertalussa /4 Oletetaa, että haluamme verrata odotusarvoja µ ja µ l. Odotusarvoje vertalu vodaa tehdä ste, että testataa ollahpoteesa H 0 : µ = µ l vahtoehtosta hpoteesa H : µ µ l vastaa ättäe mertsevstasoa luua α. TKK (c Ila Mell (005 8 Odotusarvopare vertalu Testause ättö odotusarvoje parvertalussa /4 Kätetää testsuureea t-testsuuretta l t = sp + l Kaavassa s = P ( s SSE MSE N = = N = o s. hdstett varass, s = ( j o rhmä havatoarvoje varass. Odotusarvopare vertalu Testause ättö odotusarvoje parvertalussa 3/4 Jos ollahpotees H 0 : µ µ l = 0 pätee, t t( N Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahpotees hläämsee. TKK (c Ila Mell (005 9 TKK (c Ila Mell ( Odotusarvopare vertalu Testause ättö odotusarvoje parvertalussa 4/4 Huomautusa: ( Tässä ätettävä testsuuree aava eroaa tavaomasesta aavasta ste, että hdstet varass s p aavassa o hdstett otosvarasst asta rhmstä eä va rhmstä ja l. ( Kostruodut testt evät ole smultaasa, vaa osevat va rhme ja l odotusarvoja. (Tehtäve parvertaluje luumäärä o ( = Odotusarvopare vertalu Luottamusvältea ja testause evvaless Edellä estett luottamusvälejä ättävä meettel, luottamustasos o valttu luu α ja edellä estett testausmeettel, mertsevstasos o valttu luu α ovat evvaletteja. TKK (c Ila Mell (005 3 TKK (c Ila Mell (005 3
23 TKK (c Ila Mell ( Odotusarvopare vertalu Smultaaset luottamusvält ja testt Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö Smultaaste luottamusväle ta teste ostruomsee o useta erlasa meetelmä. Smultaaset luottamusvält ta testt ovat aa approsmatvsa. Boferro meetelmässä ätetää parvertaluje luottamusvälejä ta testejä, mutta luu α orvataa luvulla α/m m o tehtäve parvertaluje luumäärä: ( m = = Oloot A, A,, A m tapahtuma. Tällö pätee Boferro epähtälö Pr( A A Am c c c Pr( A + Pr( A + + Pr( Am TKK (c Ila Mell ( Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö: Todstus / Todstetaa Boferro epähtälö Pr( A A A Pr( c Pr( c Pr( c m A + A + + Am tapausessa m = Ylee tapaus vodaa todstaa samalla tavalla u tapaus m = ättäe dutota. Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö: Todstus / Oloot ss A ja A as otosavaruude S tapahtumaa. Tällö lesestä hteelasusääöstä seuraa, että ( Pr( A c A c = Pr( A c + Pr( A c Pr( A c A c Pr( A c + Pr( A c De Morga la muaa c c c A A = ( A A Ste omplemetttapahtuma todeäösde sääöstä ja aavasta ( seuraa, että c c c Pr( A A = Pr(( A A c c = Pr( A A c c Pr( A + Pr( A TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt /6 Boferro meetelmä odotusarvoje vertalussa perustuu Boferro epähtälöö. Oletetaa, että tehtävää o suorttaa m tlastollsta testä. Tarastellaa todeäösttä α, että vähtää s teste ollahpoteesesta hlätää vrheellsest. Määrtellää tapahtuma A = Nollahpoteesa e hlätä vrheellsest testssä =,,, m Tällö c A = Nollahpotees hlätää vrheellsest testssä =,,, m Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt /6 Jos assa odotusarvoje vertalutestessä ätetää samaa mertsevstasoa α, Pr( A = α, =,,, m ja c Pr( A = α, =,,, m ss A = Nollahpoteesa e hlätä vrheellsest testssä =,,, m TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 38
24 TKK (c Ila Mell ( Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt 3/6 Jos testt =,,, m ovat rppumattoma, todeäöss, että ollahpoteesa e hlätä vrheellsest hdessäää testssä o Pr( A A Am = Pr( APr( A Pr( Am Jos joasessa testssä ätetää mertsevstasoa samaa luua α, tällö Pr( A A A ( m m = α ja ste α = Pr( Vähtää s vrheelle hläs = ( α m Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt 4/6 Jos testt =,,, m rppuvat tosstaa, htälö α = Pr( Vähtää s vrheelle hläs = ( α m pätee va approsmatvsest. TKK (c Ila Mell ( Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt 5/6 Boferro epähtälö muaa Pr( E htää vrheellstä hlästä = Pr( A A Am c c c Pr( A + Pr( A + + Pr( Am Jos joasessa testssä ätetää mertsevstasoa samaa luua α, saamme epähtälö Pr( E htää vrheellstä hlästä mα Odotusarvopare vertalu Boferro epähtälö ja smultaaset testt 6/6 Ste vähtää hde vrheellse hläse todeäösdelle α o saatu arvo α = Pr( Vähtää s vrheelle hläs = Pr( E htää vrheellstä hlästä mα Ste valta α = β/m taaa se, että α β TKK (c Ila Mell (005 4 TKK (c Ila Mell (005 4 Yssuutae varassaals Kotrastt Kotraste määrtelmä Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals mall ja se parametre estmot Yssuutase varassaals mall matrsests Lasutomtuste suorttame Bartlett test Odotusarvopare vertalu >> Kotrastt Oloo ( j = µ j, j =,,,, =,,, ssuutase varassaals mall, jääöstermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta: ε j N(0, σ, j =,,,, =,,, Parametre µ, µ,, µ leaarombaato Γ=c µ = o otrast, jos c = 0 = TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 44
25 TKK (c Ila Mell ( Kotrastt Kotrasteja osevat hpoteest Kotrastt Kotraste estmot Asetetaa otrastlle Γ ollahpotees H : Γ= c µ = 0 0 ja vahtoehtoe hpotees = H: Γ= c µ 0 = Tarastellaa seuraavassa ollahpoteesa H 0 testaamsta. Oloo otrast Γ=c µ C = c = = estmaattor, =, =,,, j j = o rhmä havatoarvoje artmeette esarvo. TKK (c Ila Mell ( Kotrastt Estmaattorede omasuudet Kotrastt F-test otrastelle /4 Kotrast Γ estmaattor C = c o ormaaljaautuut: C N( µ C, σ C ja = µ = E( C = cµ =Γ C = C = D( C = σ = σ c Oloo C Q = D( C C = c = ja c D( C = σ = Jos ollahpotees H 0 : Γ = 0 pätee, Q χ ( TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Kotrastt F-test otrastelle /4 Kotrastt F-test otrastelle 3/4 Oloo SSE Q = σ SSE = ( = ( s j = = Vodaa osottaa, että (s. appaletta Yssuutae varassaals Q χ ( N N = Määrtellää F-testsuure Q/ Q F = = ( N Q/( N Q Kosa elösummat Q ja Q ovat rppumattoma, testsuure F F(, N jos ollahpotees H 0 : Γ = 0 pätee. Suuret F-testsuuree arvot vttaavat she, että ollahpotees H 0 o stä asettaa seealases. TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 50
26 TKK (c Ila Mell (005 5 Kotrastt F-test otrastelle 4/4 Kotrastt t-test otrastelle Testsuure F vodaa rjottaa muotoo c = F = c MSE = SSE MSE = N = ( j = ( s N N = = Edellä estett F-test ja test, ätetää t-testsuuretta c = t = c MSE = ovat evvaletteja. Jos ollahpotees H 0 : Γ = 0 pätee, t t(n Itsesarvoltaa suuret t-testsuuree arvot vttaavat she, että olla-hpotees H 0 o stä asettaa seealases. TKK (c Ila Mell (005 5 Kotrastt Kotraste luottamusvält Kotrastt Ortogoaalset otrastt Kotrast Γ=c µ = luottamusväl luottamustasolla ( α o muotoa c c ± tα / MSE = = luottamuserro t α/ o määrätt, että Pr( t α/ t +t α/ = α ja t t(n Kotrastt Γ=c µ ja = =d µ = ovat ortogoaalsa, jos cd = 0 = TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Kotrastt Ortogoaalset otrastt ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma /4 Tosstaa rppumattome ortogoaalsa otraste luumäärä o = Rhme luumäärä Ortogoaalset otrastt deompoovat rhme välstä vahtelua uvaava elösumma ( ompoett, josta joase aste =. Ste ortogoaals otrasteh lttvät testt ovat rppumattoma. Kotrastt Ortogoaalset otrastt ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma /4 Oloot Γ = c µ, l =,,, l l = ( ortogoaalsta otrasta odotusarvolle µ, µ,, µ Oloo l = cl = c SS =, l =,,, l TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (005 56
27 TKK (c Ila Mell ( Kotrastt Ortogoaalset otrastt ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma 3/4 Tällö pätee ( = SSG = = SS + SS + + SS Kappaleessa Yssuutae varassaals todett, että SSG χ ( σ Edellä estet muaa satuasmuuttujat SS SS SS,,, σ σ σ oudattavat χ -jaaumaa hdellä vapausasteella: SS χ (, l =,,, l Kotrastt Ortogoaalset otrastt ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma 4/4 Cochra lauseesta seuraa, että satuasmuuttujat SS SS SS,,, σ σ σ ovat rppumattoma. Kosa F-testsuureet otrastelle Γ, Γ,, Γ vodaa esttää muodossa SSl Fl =, l =,,. MSE äemme, että testt ortogoaalslle otrastelle ovat rppumattoma. TKK (c Ila Mell (005 58
Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto
TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde
LisätiedotTestaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tlastollsen analyysn perusteet, evät 007. luento: Johdatus varanssanalyysn S ysteemanalyysn Laboratoro Ka Vrtanen Kertaus: ahden rppumattoman otosen t-test () () Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
Lisätiedoton tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,
LisätiedotJakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usea vapausastee vaeeato oasvärähtely osa MONINKERAISE OMINAISAAJUUDE Sesso MS oreeratu oasuodo { lasetaeetelässä oletett, että o ysertae oasulataauus. arastellaa velä tapausta,
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi- a useampisuutaie variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Sisälls
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Lisätiedot1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot TKK @ Ilkka Mell (006)
Lisätiedot1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4
MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotRatkaisu: Kaikki tehtävän laskutoimitukset on tehty Microsoft Excel -ohjelmalla; ks. taulukkoa tehtävän lopussa.
Mat-.09 Sovellettu todeäköyylaku. harjotuket Mat-.09 Sovellettu todeäköyylaku. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Regreoaalyy Etmot, Jääöelöumma, Jääöterm, Jääövara, Kekhajota, Kokoaelöumma, Korrelaato,
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Kaksisuuntainen varianssianalyysi
T (c lkka Melln (005 akssuuntanen varanssanals Varanssanals: ohdanto akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont ohdatus tlastoteteeseen akssuuntanen varanssanals T (c lkka Melln (005 akssuuntanen
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
Lisätiedot1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI
Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Estmaatt, Estmaattor, Estmot, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvarass,
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
Lisätiedot7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä
Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae Johdatus tlastoteteesee Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotKonvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotGeneroidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)
Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees,
Lisätiedot11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö
7 Vektorfunkton dervaatta Ketjusääntö Täydennämme ja kertaamme seuraavassa dfferentaallaskennan teoraa kursslta Laaja matematkka Palautetaan meln dervaatan määrtelmä reaalfunktolle: Funkton f : R R dervaatta
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaals Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaals 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaals 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare mall
LisätiedotMuuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotReaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin
MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotKoesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
LisätiedotBernoullijakauma. Binomijakauma
Beroulljaauma Beroull oe o ahde mahdollse ulostulo oe, jossa taahtumsta äytetää mtysä ostume ja eäostume. Esmerejä: rahahetto (ruua ta laava), lase sytymä (tyttö ta oa), helö verryhmä ( ta c ), oselja
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotMoniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot
Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.
LisätiedotKUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET
KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotFlow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi
Flow shop önvaheeju jousava lnja läpvrauspaja Flow shopssa önvaheden järjess on sama alla uoella Kosa vahea vo edelää jono vova ö olla vaheleva ja ö vova ohaa osensa äl ö evä oha osaan puhuaan permuaaoaaaulusa
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotPuutteiden lukumäärän estimointi toisen asteen polynomin avulla
JOENSUUN YLIOPISTO TIETOJENKÄSITTELYTIETEEN LAITOS Raorttsarja A Puuttede lukumäärä estmot tose astee olom avulla Matt Nem Reort A-3-5 ACM D.. ISSN 789-736 ISBN 95-458-46-9 /4 Puuttede lukumäärä estmot
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotLähdemateriaalina käytetty Pertti Louneston kirjaa Clifford Algebras and spinors [1]
Lähdmatraala kättt Prtt Lousto kraa Clfford Algbras ad spors [] Krtausta Clfford algbra määrtllää algbraks kvadraattsll vktoravaruudll (sm. skalaartulolla. Clfford algbra oka alko vodaa sttää algbra katavktord
LisätiedotMonimuuttujamenetelmät: Multinormaalijakauma. Ilkka Mellin. 1. Multinormaalijakauma ja sen ominaisuudet
Momuuttumeetelmät Multormaalkauma Momuuttumeetelmät: Multormaalkauma Ilkka Mell. Multormaalkauma se omasuudet.. Multormaalkauma.. Multormaalkauma omasuudet.3. Multormaalkauma ehdollset kaumat.4. -ulottee
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotHierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1
Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotRak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007
Rak-54.116 Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan
LisätiedotHypoteesin testaus Alkeet
Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä
LisätiedotTodennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
Lisätiedot= + + 1 ( 1) + + = Paraabelit leikkaavat pisteessä ( 2, 3). ( 8) ( 8) 4 1 1
Pitkä matmatiikka YO-ko 4.9.4. a) b) ( )( 3) 6 3 + 6 6 + y + + ( ) y + + 3 + + ( ) TNS y ( ) + 3 tai Paraablit likkaavat pistssä (, 3). c) Mrkitää lukua : llä ( ). + 4 + 8 + 8 8 + ( 8) ( 8) 4 ± 8 ± 6 8
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotIlkka Mellin (2006) 1/1
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
Lisätiedot