Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Transkriptio

1 TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae Johdatus tlastoteteesee Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae: Mtä ope? /3 Tlastollse testause perusuodossa testataa todeäösyysaaue paraetrea oseva ollahypoteesea. Tällö test ylee hypotees ttää havatoe aaua. Kysyys: Vodaao ylese hypotees aauaoletusta testata tlastollsest? Vastaus: Kyllä! Jaauaoletusa oseva tlastollsa testeä utsutaa tavallsest yhteesopvuustestes. Yhteesopvuustestellä pyrtää selvttäää ovato havaot sopusoussa tehdy aauaoletuse assa. Yleseä yhteesopvuustestä äytetää χ -testä. Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae: Mtä ope? /3 Lähestä suua χ -yhteesopvuustestlle ovat χ -testt hoogeesuudelle a rppuattouudelle. χ -testssä hoogeesuudelle testausasetela o seuraava: () Perusouo vodaa aaa ahtee ta useapaa ryhää. () Testattavaa hypoteesa o se, että tarasteltava uuttua oudattaa oasessa ryhässä saaa aauaa. χ -testssä rppuattouudelle testausasetela o seuraava: () Perusouo alot vodaa luotella rst ahde teä suhtee. () Testattavaa hypoteesa o se, että teät ovat rppuattoa. χ -testt hoogeesuudelle a rppuattouudelle ovat erlassta lähtöohdstaa huolatta lähestä suua tosllee esers h lttyvät lasutotuset ovat täys saat. TKK () Ila Mell (004) 3 TKK () Ila Mell (004) 4 Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae: Mtä ope? 3/3 Kosa oraalaaualla o esee asea tlastoteteessä, havatoe oraalsuudelle o ehtetty useta erlasa testeä. Tässä tarastellaa ahta oraalsuustestä: () Bowa a Sheto test perustuu havatoe voude a hupuuude ttoh. () Wl a Shapro test perustuu s. rat plot -uvoo. Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae: Estedot Estedot: s. seuraava luua: Tlastollste aestoe erääe a ttaae Tlastollste aestoe uvaae Otos a otosaauat Estot Estoteetelät Välestot Tlastollset testt Satuasuuttuat a todeäösyysaauat Jaaue tuusluvut Dsreetteä aaua Jatuva aaua Noraalaauasta ohdettua aaua TKK () Ila Mell (004) 5 TKK () Ila Mell (004) 6

2 TKK () Ila Mell (004) 7 Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae: Lsätedot Testeä suhdeasteollslle uuttulle ästellää luvussa Testt suhdeasteollslle uuttulle Testeä ärestysasteollslle uuttulle ästellää luvussa Testt ärestysasteollslle uuttulle Testeä laatueroasteollslle uuttulle ästellää luvussa Testt laatueroasteollslle uuttulle Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae >> TKK () Ila Mell (004) 8 χ -yhteesopvuustest / Avasaat E-paraetrset testt Jaausta rppuattoat testt χ -test hoogeesuudelle χ -test rppuattouudelle χ -test yhteesopvuudelle Tavaoase t-test ylesessä hypoteesssa oletetaa, että havaot uodostavat ysertase satuasotose oraalaauasta. Ste t-test ylesee hypotees ssältyy havatoe oraalsuutta oseva aauaoletus. Noraalsuusoletusesta pdetää t-testä tehtäessä, utta oletusta havatoe oraalsuudesta vodaa a o tavallsest yös syytä testata ersee. Huoautus: Jos havaot evät uodosta ysertasta satuasotosta oraalaauasta, tavaoae t-testsuure e ole aautuut Studet t-aaua uaa. TKK () Ila Mell (004) 9 TKK () Ila Mell (004) 0 χ -yhteesopvuustest / χ -hoogeesuustest Jaauaoletusa oseva tlastollsa testeä utsutaa use yhteesopvuustestes. Ntys ohtuu stä, että yhteesopvuustestessä tuttaa sopvato havaot a tehty aauaoletus tossa el ovato havaot sopusoussa tehdy aauaoletuse assa. Yleseä yhteesopvuustestä tlastoteteessä äytetää χ -testä. Kosa oraalaaualla o esee asea tlastoteteessä, havatoe oraalsuude testaasee o ute ehtetty, eoaa tähä tarotusee tarotettua testeä; s. appaletta. Oletetaa, että tlastollse tutuse ohteea oleva perusouo vodaa aaa ahtee ta useapaa ryhää. Tehtävää o selvttää oudattaao tutuse ohteea olevaa perusouo alode oasuutta uvaava uuttua assa ryhssä saaa aauaa. Jos uuttua oudattaa assa ryhssä saaa aauaa, havatoaesto o tutuse ohteea oleva perusouo oasuude suhtee hoogeee. Yleseä hoogeesuustestä tlastoteteessä äytetää χ -testä. TKK () Ila Mell (004) TKK () Ila Mell (004)

3 TKK () Ila Mell (004) 3 χ -rppuattouustest Oletetaa, että tlastollse tutuse ohteea oleva perusouo alot vodaa luotella rst ahde fator el teä A a B suhtee. Tehtävää o selvttää ovato teät A a B rppuattoa. Jos teät A a B ovat rppuattoa, teötä A a B vodaa tarastella erllsä. Yleseä rppuattouustestä tlastoteteessä äytetää χ -testä. Huoautus: Test vodaa ylestää oseaa useaa u ahde teä rppuattouutta. χ -teste aausta rppuattouus a e-paraetrsuus χ -testt yhteesopvuudelle, hoogeesuudelle a rppuattouudelle ovat aausta rppuattoa, e-paraetrsa testeä: () Teste yleset hypoteest evät tä havatoe aauaa. () Testessä e testata todeäösyysaaua paraetrea oseva hypoteesea. TKK () Ila Mell (004) 4 Testt Kosa oraalaaualla o esee asea tlastoteteessä, havatoe oraalsuude tutsta varte o ehtetty useta erlasa eetelä. Havatoe oraalsuutta vodaa testata ylesellä χ -yhteesopvuustestllä ta ertysest oraalsuusoletuse testaasta varte ostruodulla testellä. Bowa a Sheto test oraalsuudelle perustuu havatoe voude a hupuuude ttoh. Wl a Shapro test oraalsuudelle perustuu s. rat plot -uvoo, ota vodaa äyttää havatoe oraalsuude graafsee tutsee. Tässä estysessä tarastellaa seuraava seä dsreetelle että atuvlle uuttulle tarotettua testeä: χ -yhteesopvuustest χ -hoogeesuustest χ -rppuattouustest Bowa a Sheto test oraalsuudelle Wl a Shapro test oraalsuudelle TKK () Ila Mell (004) 5 TKK () Ila Mell (004) 6 Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae >> Avasaat E-paraetrset testt Jaausta rppuattoat testt χ -yhteesopvuustest TKK () Ila Mell (004) 7 TKK () Ila Mell (004) 8

4 TKK () Ila Mell (004) 9 χ -yhteesopvuustest: Testausasetela / Tarastellaa tutustlaetta, ossa perusouo S alota uvataa fatorlla el teällä A. Teä A saa olla laatuero-, ärestys-, välata-ta suhdeasteolle uuttua. Tehdää oletus, että teä A oudattaa perusouossa S ota äärättyä todeäösyysaauaa. χ -yhteesopvuustest: Testausasetela / Potaa perusouosta S ysertae satuasotos. Haluae testata tehtyä aauaoletusta: () Vodaao havatoe aauaa uvata oletuse äärtteleällä todeäösyysaaualla? () Voo otos olla oletuse äärtteleä todeäösyysaaua geeroa el tuottaa? Yhteesopvuustestessä tuttaa ovato otos a tehty aauaoletus yhteesopva. TKK () Ila Mell (004) 0 χ -yhteesopvuustest: Test suortus χ -yhteesopvuustestssä havatoe a havatoe aauasta tehdy oletuse yhteesopvuutta tataa seuraavalla tavalla: () Valtaa havaolle sopva luotus. () Määrätää havatoe luoafrevesst. (3) Määrätää tehdy aauaoletuse uaset odotetut luoafrevesst. (4) Verrataa havattua a odotettua luoafrevesseä tossa χ -testsuureella. χ -yhteesopvuustest: Hypoteest Ylee hypotees H : Havaot X, X,, X o saatu poalla ysertae satuasotos perusouosta S. Nollahypotees H 0 : Havaot X, X,, X oudattavat todeäösyysaauaa f(x ; θ), oa paraetrt evät uteaa välttäättä ole tuettua. Vahtoehtoe hypotees H : Havaot X, X,, X evät oudata ollahypotees H 0 äärtteleää todeäösyysaauaa. TKK () Ila Mell (004) TKK () Ila Mell (004) χ -yhteesopvuustest: Havatut luoafrevesst Luotellaa havaot X, X,, X tosesa possulev luo, ode luuäärä oloo. Oloo O, =,,, de havatoe frevess el luuäärä ota uuluvat luoaa. Frevess O o luoaa uuluve havatoe havattu frevess. χ -yhteesopvuustest: Havattue luoafrevesse äärääe / Oletetaa, että havaot X, X,, X ovat dsreet satuasuuttua X havattua arvoa a, että satuasuuttua X ahdollset arvot ovat y, y,, y Luotellaa havato X luoaa, os X = y, =,,,, =,,, Luoaa uuluve havatoe X havattu frevess O o de havatoe luuäärä, ota saavat arvo y. TKK () Ila Mell (004) 3 TKK () Ila Mell (004) 4

5 TKK () Ila Mell (004) 5 χ -yhteesopvuustest: Havattue luoafrevesse äärääe / Oletetaa, että havaot X, X,, X ovat atuva satuasuuttua X havattua arvoa a, että X (a, b) Jaetaa väl (a, b) pstellä a= a0 < a < a < < a < a < b psteveras osaväleh (a, a ], =,,, Luotellaa havato X luoaa, os X (a, a ], =,,,, =,,, Luoaa uuluve havatoe X havattu frevess O o de havatoe luuäärä, ota uuluvat väl. χ -yhteesopvuustest: Havattue luoafrevesse tauluo Havatut luoafrevesst O vodaa esttää frevesstauluoa seuraavassa uodossa: Luoa Sua Havattu frevess O O O Frevessä O utsutaa tavallsest havatus solufrevesss frevesstauluo solussa. Havatut solufrevesst O toteuttavat yhtälö O = = TKK () Ila Mell (004) 6 χ -yhteesopvuustest: Odotetut luoafrevesst / Oletetaa, että havaot X, X,, X ovat satuasuuttua X havattua arvoa a, että havaot o luoteltu tosesa possulev luo, ode luuäärä o. Oletetaa, että ollahypotees H 0 täys äärää satuasuuttua X aaua. Oloo P todeäösyys slle, että satuasuuttua X saa arvo luoasta, u ollahypotees H 0 pätee. Tällö luoaa uuluve havatoe odotettu frevess E o E = P, =,,, TKK () Ila Mell (004) 7 χ -yhteesopvuustest: Odotetut luoafrevesst / Oletetaa, että ollahypotees H 0 äärää satuasuuttua X aaua tyyp, utta aaua paraetrt ovat tuteattoa. Kosa aaua paraetrea e tueta, aauasta e voda äärätä todeäösyysä, elle aaua paraetrea es estoda havaosta. Oloo P tällö estotu todeäösyys slle, että satuasuuttua X saa arvo luoasta, u ollahypotees H 0 pätee. Tällö luoaa uuluve havatoe odotettu frevess E o E = P, =,,, TKK () Ila Mell (004) 8 χ -yhteesopvuustest: Luoatodeäösyydet / Oletetaa, että X o dsreett satuasuuttua, oa ahdollset arvot ovat y, y,, y. Tällö P = Pr(X = y ), =,,, ossa todeäösyys Pr(X = y ) äärätää olettae, että ollahypotees H 0 pätee. Todeäösyydet Pr(X = y ) vodaa äärätä satuasuuttua X ertyäfuto ta pstetodeäösyysfuto avulla. χ -yhteesopvuustest: Luoatodeäösyydet / Oletetaa, että X o atuva satuasuuttua, oa saa arvoa välltä (a, b) a, että väl (a, b) o aettu pstellä a= a0 < a < a < < a < a < b psteveras osaväleh. Tällö P = Pr ( a < X a), =,,, ossa todeäösyys Pr( a < X a) äärätää olettae, että ollahypotees H 0 pätee. Todeäösyydet Pr( a < X a) vodaa äärätä satuasuuttua X ertyäfuto ta theysfuto avulla. TKK () Ila Mell (004) 9 TKK () Ila Mell (004) 30

6 TKK () Ila Mell (004) 3 χ -yhteesopvuustest: Odotettue luoafrevesse tauluo Odotetut frevesst E vodaa esttää frevesstauluoa seuraavassa uodossa: Luoa Sua Odotettu frevess E E E Frevessä E utsutaa tavallsest odotetus solufrevesss frevesstauluo solussa. Odotetut solufrevesst E toteuttavat yhtälö E = = χ -yhteesopvuustest: Test dea Test ollahypoteeslle H 0 perustuu havattue frevesse O a odotettue frevesse E vertaluu. Jos havattue frevesse O a odotettue frevesse E aauat ustuttavat tosaa, havaot ovat sopusoussa ollahypotees H 0 assa. TKK () Ila Mell (004) 3 χ -yhteesopvuustest: Testsuure uoto Määrtellää χ -testsuure ( O E) χ = = E ossa O = havattu frevess luoassa E = odotettu frevess luoassa = luoe luuäärä Testsuure χ ttaa havattue a odotettue frevesse aaue yhteesopvuutta ta etäsyyttä a ss stä utsutaa use χ -etäsyydes. χ -yhteesopvuustest: Testsuure uoto χ -testsuure vodaa rottaa yös uotoo ( pˆ P) χ = P ossa pˆ = = O / = havattu suhteelle frevess luoassa P = todeäösyys, että havato uuluu luoaa, u ollahypotees H 0 pätee = luoe luuäärä TKK () Ila Mell (004) 33 TKK () Ila Mell (004) 34 χ -yhteesopvuustest: Testsuuree asyptootte aaua Jos ollahypotees H 0 pätee, testsuure χ oudattaa suurssa otosssa approsatvsest χ -aauaa vapausaste f = p: χ ( ) a χ f ossa = luoe luuäärä p = odotettue frevesse E äärääses estotue paraetre luuäärä χ -yhteesopvuustest: Jaaua-approsaato hyvyys Testsuure χ oudattaa suurssa otosssa approsatvsest χ -aauaa, os ollahypotees H 0 pätee: χ a χ ( f), f = p Approsaato o tavallsest rttävä hyvä, os odotetut frevesst E toteuttavat ehdot E > 5, =,,, Ehdot saadaa toteutuaa valtsealla havaolle sopva luotus. TKK () Ila Mell (004) 35 TKK () Ila Mell (004) 36

7 TKK () Ila Mell (004) 37 χ -yhteesopvuustest: Testsuuree oraalarvo a test Testsuuree χ oraalarvo el odotusarvo ollahypotees H 0 pätessä o E( χ ) = f ossa f = p Noraalarvoaa ertseväst suureat χ -testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H 0 e päde. Noraalarvoaa ertseväst peeät χ -testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H 0 pätee la hyv: Havaot saattavat olla vääreettyä. χ -yhteesopvuustest: Koettea χ -yhteesopvuustest o aausta rppuato, eparaetre test: () Test ylee hypotees e tä havatoe aauaa, ote se soveltuu alle todeäösyysaaulle. () Testssä e testata todeäösyysaaua paraetrea osevaa hypoteesa, vaa oletusta havatoe aauasta. TKK () Ila Mell (004) 38 χ -yhteesopvuustest: Eser /3 Luvussa Tlastollste aestoe uvaae Välestot Tlastollset testt o ästelty seuraavaa eserä : Koe teee ruuvea, ode tavoteptuus o 0. Ruuve ptuus saa vahdella satuasest o verra, uha valstettue ruuve esääräe ptuus o ahdollsa lähellä tavotearvoaa. χ -yhteesopvuustest: Eser /3 Ruuve laaduvalvoassa de esäärästä ptuutta tuttaa ste, että oasesta ruuverästä potaa ysertae satuasotos a otosee pottue ruuve ptuudet tataa. Olee aase soveltaeet ä erättyy eseraestoo seuraava tlastollsa eetelä: () Luvussa Tlastollste aestoe uvaae äytett, te ruuve ptuude aauaa otosessa vodaa uvata luotellulla frevessaaualla a stä vastaavalla hstogralla. () Luvussa Välestot äytett, te oee teee ruuve esptuudelle vodaa ostruoda luottausväl otostetoe perusteella. () Luvussa Tlastollset testt äytett, te vodaa testata ovato otosessa saadut tedot ruuve esptuudesta sopusoussa ruuve tavoteptuude assa. TKK () Ila Mell (004) 39 TKK () Ila Mell (004) 40 χ -yhteesopvuustest: Eser 3/3 χ -yhteesopvuustest: Eser 4/3 Seä ruuve esptuude luottausväl (s. luua Välestot) että test ruuve esptuude tavotearvolle (s. luua Tlastollset testt) perustuvat oletusee, oa uaa ruuve ptuus vahtelee oraalaaua uaa. Tätä aauaoletusta vodaa testata χ -yhteesopvuustestllä seuraavassa estettävällä tavalla. Ylee hypotees H : Ruuvt o pottu ysertasella satuasotaalla oee teee ruuve ouosta. Nollahypotees H 0 : Koee teee ruuve ptuudet oudattavat oraalaauaa. Vahtoehtoe hypotees H : Koee teee ruuve ptuudet evät oudata oraalaauaa. Koee valstae ruuve ouosta pott ss ysertae satuasotos, oa oo = 30 a otosee pottue ruuve ptuudet tatt. Ruuve ptuuse arteette esarvo otosessa ol X = 0.09 a otoseshaota ol s = Tauluo oealla esttää ptuuse luoteltua frevessaauaa. Luoavält Luoafrevesst (9.85,9.90] (9.90,9.95] (9.95,0.00] 6 (0.00,0.05] 3 (0.05,0.0] 5 (0.0,0.5] 4 (0.5,0.0] 5 (0.0,0.5] 3 (0.5,0.30] TKK () Ila Mell (004) 4 TKK () Ila Mell (004) 4

8 TKK () Ila Mell (004) 43 χ -yhteesopvuustest: Eser 5/3 Frevess Ruuve ptuuse luoteltu frevessaaua Ptuus () χ -yhteesopvuustest: Eser 6/3 χ -yhteesopvuustest vaatat lasutotuset vodaa ärestää seuraava tauluo uotoo (tauluo o tehty Mrosoft Exel - ohelalla): Kuva oealla esttää otosee pottue ruuve ptuuse luoteltua frevessaauaa vastaavaa hstograa. Voso tällae ptuuse aaua sytyä oraalaautueesta perusouosta potusta ysertasesta satuasotosesta? Tähä ysyysee ataa vastause χ -yhteesopvuustest. () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) Luoa Luoa Havattu Stadardotu Kertyäfutofuto arvoe luoa- Kertyä- Odotettu Kh -arvo yläraa luoafrevess arvo erotus luoa yläraa frevess a O z F (z ) F (z ) F (z ) E χ Sua TKK () Ila Mell (004) 44 χ -yhteesopvuustest: Eser 7/3 Kalvo 6/3 tauluo saraeet: () Luoa: =,,, = 9 () Luoa yläraa: a (3) Havattu luoafrevess luoassa : O O = = 30 = (4) Luoa yläraa a stadardotua: a X a 0.09 z = = s ossa X = 0.09 o ruuve ptuuse arteette esarvo otosessa a s = o otoseshaota. χ -yhteesopvuustest: Eser 8/3 Kalvo 6/3 tauluo saraeet (atuu): (5) Stadardodu oraalaaua N(0,) ertyäfuto F( ) arvo psteessä z : F(z ) (6) Kertyäfuto arvoe erotus F(z ) F(z ) = Pr(z < z z ) = P o todeäösyys, että havato uuluu luoaa, os ollahypotees H 0 ruuve ptuude oraalaautuesuudesta pätee. P = = osa valtu luotuse ulopuolelle ääeet oraalaaua hätäaluede todeäösyysassat o yhdstetty reualuo. (7) Odotettu luoafrevess luoassa : E = P E = = 30 = TKK () Ila Mell (004) 45 TKK () Ila Mell (004) 46 χ -yhteesopvuustest: Eser 9/3 χ -yhteesopvuustest: Eser 0/3 Kalvo 6/3 tauluo saraeet (atuu): (8) Luoa χ -arvo: ( O E) χ = E ossa O = havattu frevess luoassa E = odotettu frevess luoassa χ -yhteesopvuustest testsuuree arvo saadaa saraee (8) luue saraesuaa: ( O E) χ = χ = = 4.0 E = = χ -yhteesopvuustest vertaa havattua frevesseä O a ollahypotees uaa odotettua frevesseä E tossa. Geoetrsest vertalu ertsee havattua luoafrevesseä vastaave suoraatede pta-aloe O vertaasta odotettua frevesseä E vastaave suoraatede pta-aloh; s. uvaa oealla. Frevess Ruuve ptuuse luoteltu frevessaaua Ptuus () Havatut frevesst Odotetut frevesst TKK () Ila Mell (004) 47 TKK () Ila Mell (004) 48

9 TKK () Ila Mell (004) 49 χ -yhteesopvuustest: Eser /3 Nollahypotees H 0 : Ruuve ptuudet oudattavat oraalaauaa pätessä testsuure χ oudattaa χ -aauaa vapausaste p: χ χ ( p) ossa = luoe luuäärä p = odotettue frevesse E äärääses estotue paraetre luuäärä Eserssä p = 9 = 6 χ -yhteesopvuustest: Eser /3 Valtaa ertsevyystasos α = 0.05 Mertsevyystasoa α = 0.05 vastaava rtte raa o χ 0.05 =.59 osa χ -aaua tauluode uaa Pr( χ.59) = 0.05 ossa χ χ (6) Mertsevyystasoa α = 0.05 vastaava hyläysalue o ste uotoa (.59, + ) TKK () Ila Mell (004) 50 χ -yhteesopvuustest: Eser 3/3 Kosa χ -yhteesopvuustest testsuuree arvo χ = 4.0 <.59 ollahypotees ää voaa ertsevyystasolla α = 0.05: Havaot ovat sopusoussa oraalsuusoletuse assa. Huoautusa: Mrosoft Exel -ohela uaa χ -yhteesopvuustest testsuuree arvoa 4.0 vastaava p-arvo o Ste oraalsuusoletuse hylääsee e ole yösää test p-arvo uaa tää perusteta. Taraa ottae luoa ols ptäyt yhdstää, että ehdot E > 5, =,,, olsvat toteutueet. Tällä e uteaa ptäs tässä olla vautusta test tulosee. Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae >> TKK () Ila Mell (004) 5 TKK () Ila Mell (004) 5 Avasaat E-paraetrset testt Jaausta rppuattoat testt χ -test hoogeesuudelle TKK () Ila Mell (004) 53 χ -hoogeesuustest: Testausasetela /3 Tarastellaa tutustlaetta, ossa perusouo S alota uvataa fatorlla el teällä A. Teä A saa olla laatuero-, ärestys-, välata-ta suhdeasteolle uuttua. Oletetaa, että perusouo S vodaa aaa ahtee ta useapaa ryhää. Potaa ryhstä tosstaa rppuattoat ysertaset satuasotoset. Tarastellaa teä A vahtelua otosssa. Tehdää oletus, että teä A oudattaa oasessa ryhässä saaa, utta tare äärtteleätötä todeäösyysaauaa. TKK () Ila Mell (004) 54

10 TKK () Ila Mell (004) 55 χ -hoogeesuustest: Testausasetela /3 Haluae testata tehtyä aauaoletusta: () Vodaao er otossta (ryhstä) saatue havatoarvoe aaua uvata saalla todeäösyysaaualla? () Vovato otoset olla saa todeäösyysaaua geeroa el tuottaa? χ -hoogeesuustest: Testausasetela 3/3 Jos tehty aauaoletus pätee a teä A oudattaa ryhät saaa aauaa, perusouo o hoogeee a otoset vodaa yhdstää yhdes otoses. Jos tehty oletus e päde a ryhät oudattavat er aaua, perusouo o heterogeee a otosa o syytä tarastella erllsä. Tällaste aauaoletuse testaasee tarotettua testeä utsutaa hoogeesuustestes. Huoautus: Mossa tutusasetelssa tovotaa, että hoogeesuusoletus tulee testssä hylätys. TKK () Ila Mell (004) 56 χ -hoogeesuustest: Test suortus χ -hoogeesuustestssä havatoe a de aauasta tehdy oletuse yhteesopvuutta tataa seuraavalla tavalla: () Valtaa havaolle yhtee luotus, ota äytetää ss oaselle otoselle. () Määrätää havatoe luoafrevesst oasesta otosesta. (3) Määrätää tehdy hoogeesuusoletuse uaset odotetut luoafrevesst. (4) Verrataa havattua a odotettua frevesseä tossa χ -testsuureella. χ -hoogeesuustest: Hypoteest Ylee hypotees H : Perusouo o aettu r ryhää, osta o pottu tosstaa rppuattoat ysertaset satuasotoset. Nollahypotees H 0 : Otoset =,,, r o pottu saasta todeäösyysaauasta. Vahtoehtoe hypotees H : Otoset =,,, r o pottu er todeäösyysaausta. TKK () Ila Mell (004) 57 TKK () Ila Mell (004) 58 χ -hoogeesuustest: Havatut frevesst Oletetaa, että tutuse ohteea oleva perusouo S alot o aettu r ryhää. Potaa ryhstä tosstaa rppuattoat ysertaset satuasotoset a oloo otosoo ryhässä =,,, r. Luotellaa oase otose havaot saaa luotusta äyttäe tosesa possulev luo, ode luuäärä oloo. Määrätää ryhä luoaa uuluve havatoe havattu frevess el luuäärä O, u =,,, r a =,,,. χ -hoogeesuustest: Havattue frevesse tauluo /3 Muodostetaa havatusta frevessestä O (r )-frevesstauluo [O ] : Ryhät Luoat Sua O O O O O O r O r O r O r r Sua C C C TKK () Ila Mell (004) 59 TKK () Ila Mell (004) 60

11 TKK () Ila Mell (004) 6 χ -hoogeesuustest: Havattue frevesse tauluo /3 Oloo [O ] havattue frevesse O uodostaa (r )-frevesstauluo. r = ryhe luuäärä = luoe luuäärä O = havattu frevess ryhä luoassa, =,,, r, =,,, = otosoo ryhässä C = havattu frevess yhdstety havatoaesto luoassa = havatoe ooasluuäärä Frevessä O utsutaa tavallsest havatus solufrevesss frevesstauluo solussa (, ). χ -hoogeesuustest: Havattue frevesse tauluo 3/3 Havattue frevesse O frevesstauluossa pätee: () Rvsuat yhtyvät ryhäohtas otosooh: O =, =,,, r = () Saraesuat yhtyvät yhdstety havatoaesto luoafrevesseh: r O = C, =,,, = () Havatoe ooasluuäärä: r r O = = C = = = = = TKK () Ila Mell (004) 6 χ -hoogeesuustest: Nollahypotees tulta Jos ollahypotees H 0 pätee, havatoe ptäs aautua (satuasvahtelua luuu ottaatta) oasessa ryhässä =,,, r saalla tavalla luo =,,,. Jos ollahypotees H 0 pätee, havatoe aautue luo =,,, e saa rppua stä, h ryhää =,,, r havaot uuluvat. Jos ollahypotees H 0 pätee, todeäösyys, että havato uuluu luoaa =,,, e saa rppua stä, h ryhää =,,, r havato uuluu. χ -hoogeesuustest: Odotetut frevesst /4 Oloo x o tarastelu ohteea oleva perusouo S alo. Määrtellää seuraavat todeäösyydet: p = Pr( x uuluu ryhää a luoaa ) p = Pr( x uuluu luoaa x uuluu ryhää ) p = Pr( x uuluu ryhää ) p = Pr( x uuluu luoaa ) Todeäösyyslasea ylese tulosääö uaa p p p = TKK () Ila Mell (004) 63 TKK () Ila Mell (004) 64 χ -hoogeesuustest: Odotetut frevesst /4 Jos ollahypotees H 0 pätee, todeäösyys, että perusouo S alo x uuluu luoaa e saa rppua stä, h ryhää alo x uuluu. Ste ollahypotees H 0 vodaa lasta uodossa H 0 : p = p, =,,, r, =,,, ta uodossa H 0 : p = p p, =,,, r, =,,, χ -hoogeesuustest: Odotetut frevesst 3/4 Todeäösyydet p, p, p vodaa estoda havatusta frevessestä O,, C aavolla O C pˆ ˆ ˆ = p = p = Jos ollahypotees H 0 pätee, solutodeäösyydet p vodaa estoda aavolla C P = = pˆ pˆ, =,,, r, =,,, TKK () Ila Mell (004) 65 TKK () Ila Mell (004) 66

12 TKK () Ila Mell (004) 67 χ -hoogeesuustest: Odotetut frevesst 4/4 Määrätää ollahypotees H 0 pätessä odotetut solufrevesst E yhtälöllä C C E = P = =, =,,, r, =,,, Tällö odotetut suhteellset frevesst E / aautuvat oasessa ryhässä saalla tavalla luo =,,, : E C =, =,,,, =,,, r χ -hoogeesuustest: Odotettue frevesse tauluo /3 Muodostetaa odotetusta frevessestä E (r )-frevesstauluo [E ] : Ryhät Luoat Sua E E E E E E r E r E r E r r Sua C C C TKK () Ila Mell (004) 68 χ -hoogeesuustest: Odotettue frevesse tauluo /3 Oloo [E ] odotettue frevesse E uodostaa (r )-frevesstauluo. r = ryhe luuäärä = luoe luuäärä E = odotettu frevess ryhä luoassa, =,,, r, =,,, = otosoo ryhässä C = havattu frevess yhdstety havatoaesto luoassa = havatoe ooasluuäärä Frevessä E utsutaa tavallsest odotetus solufrevesss frevesstauluo solussa (, ). χ -hoogeesuustest: Odotettue frevesse tauluo 3/3 Odotettue frevesse E frevesstauluossa pätee: () Rvsuat yhtyvät ryhäohtas otosooh: E =, =,,, r = () Saraesuat yhtyvät yhdstety havatoaesto luoafrevesseh: r E = C, =,,, = () Havatoe ooasluuäärä: r r E = = C = = = = = TKK () Ila Mell (004) 69 TKK () Ila Mell (004) 70 χ -hoogeesuustest: Testsuure uoto Määrtellää χ -testsuure r ( O E ) χ = = = E ossa O = havattu frevess solussa (, ) E = odotettu frevess solussa (, ) r = ryhe luuäärä = luoe luuäärä Testsuure χ ttaa havattue a odotettue frevesse aaue yhteesopvuutta ta etäsyyttä a ss stä utsutaa use χ -etäsyydes. χ -hoogeesuustest: Testsuure uoto χ -testsuure vodaa rottaa yös uotoo r ( pˆ ) P χ = = = P ossa O pˆ = E C P = = = pˆ pˆ C pˆ = pˆ = =,,, r, =,,, TKK () Ila Mell (004) 7 TKK () Ila Mell (004) 7

13 TKK () Ila Mell (004) 73 χ -hoogeesuustest: Testsuuree asyptootte aaua Jos ollahypotees H 0 pätee, testsuure χ oudattaa suurssa otosssa approsatvsest χ -aauaa vapausaste f = (r )( ): χ ( ) a χ f ossa r = ryhe luuäärä = luoe luuäärä χ -hoogeesuustest: Jaaua-approsaato hyvyys Testsuure χ oudattaa suurssa otosssa approsatvsest χ -aauaa, os ollahypotees H 0 pätee: χ a χ ( f), f = ( r )( ) Approsaato o tavallsest rttävä hyvä, os odotetut frevesst E a esääräset odotetut frevesst C /r toteuttavat ehdot E >, =,,, r, =,,, C / r > 5, =,,, Ehdot saadaa toteutuaa valtsealla havaolle sopva luotus. TKK () Ila Mell (004) 74 χ -hoogeesuustest: Testsuuree oraalarvo a test Testsuuree χ oraalarvo el odotusarvo ollahypotees H 0 pätessä, o E( χ ) = f ossa f = (r )( ) Noraalarvoaa ertseväst suureat χ -testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H 0 e päde. Noraalarvoaa ertseväst peeät χ -testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H 0 pätee la hyv: Havaot saattavat olla vääreettyä. χ -hoogeesuustest: Koettea χ -hoogeesuustest o aausta rppuato, eparaetre test: () Test ylee hypotees e tä havatoe aauaa. () Testssä e testata todeäösyysaaua paraetrea osevaa hypoteesa, vaa oletusta havatoe aauasta. TKK () Ila Mell (004) 75 TKK () Ila Mell (004) 76 χ -hoogeesuustest a χ -rppuattouustest Hoogeesuustest vs rppuattouustest / χ -hoogeesuustest a seuraavas estettävä χ - rppuattouustest ustuttavat tosaa. Frevesstauluosta e vo sellaseaa ähdä uasta testausasetelasta o yse. χ -hoogeesuustest a χ -rppuattouustest tehdää tesest täsällee saalla tavalla: Odotetut frevesst äärätää saalla aavalla. Testsuureet lasetaa saalla aavalla. Testsuureet oudattavat ollahypotees pätessä approsatvsest saaa aauaa. Teste testausasetelat ovat ute täys erlaset. Hoogeesuustest testausasetela: () Perusouo oostuu rryhästäa testssä tarastellaa perusouo alode aautusta luo er ryhssä yhde a saa oasuude suhtee. () Havatoaesto uodostuu tosstaa rppuattosta ryhäohtassta satuasotossta. () Seä ryhäohtaset otosoot että havatoe ooasluuäärä ovat tetä el e-satuasa (valttua) luua, u taas sattua äärää te havaot aautuvat luo ryhe ssällä. TKK () Ila Mell (004) 77 TKK () Ila Mell (004) 78

14 TKK () Ila Mell (004) 79 Hoogeesuustest vs rppuattouustest / Rppuattouustest testausasetela: () Testssä tarastellaa ahde teä A a B assosaatota el rppuvuutta, u havaot luotellaa teöde A a B suhtee rst. () Havatoaesto uodostuu yhdestä satuasotosesta. () Va havatoe ooasluuäärä o teä el e-satuae (valttu) luu, u taas sattua äärää te havaot aautuvat luo teöde A a B rstluotuse suhtee. Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae >> TKK () Ila Mell (004) 80 Avasaat E-paraetrset testt Jaausta rppuattoat testt χ -test rppuattouudelle laatueroasteollslla uuttulla Tarastellaa ahde laatueroasteollse uuttua rppuattouude testaasta. Estettävä test o χ -test rppuattouudelle. χ -test rppuattouudelle sop yös ärestys-, välata-ta suhdeasteollslle uuttulle. χ -test rppuattouudelle o aausta rppuato, e-paraetre test. TKK () Ila Mell (004) 8 TKK () Ila Mell (004) 8 χ -rppuattouustest: Testausasetela / Tarastellaa tutustlaetta, ossa perusouo S alota uvataa ahdella fatorlla el teällä A a B. Teät A a B saavat olla laatuero-, ärestys-, välatata suhdeasteollsa uuttua. Potaa perusouosta S ysertae satuasotos. Tarastellaa teöde A a B vahtelua otosessa. Tehdää oletus, että teät A a B ovat rppuattoa. Haluae testata tehtyä rppuattouusoletusta: Ovato havaot sopusoussa tehdy rppuattouusoletuse assa? χ -rppuattouustest: Testausasetela / Jos tehty oletus pätee a teät A a B ovat rppuattoa, teötä A a B vodaa tarastella erllsä. Jos tehty oletus e päde a teät evät ole rppuattoa, teät A a B ovat assosotueta. Rppuattouusoletuse testaasee tarotettua testeä utsutaa rppuattouustestes. Huoautus: Mossa tutusasetelssa tovotaa, että rppuattouusoletus tulee testssä hylätys. TKK () Ila Mell (004) 83 TKK () Ila Mell (004) 84

15 TKK () Ila Mell (004) 85 χ -rppuattouustest: Test suortus χ -rppuattouustestssä havatoe a tehdy rppuattouusoletuse yhteesopvuutta tataa seuraavalla tavalla: () Valtaa havaolle sopvat luotuset teöde A a B suhtee. () Luotellaa havaot teöde A a B suhtee rst a äärätää havatut luoafrevesst. (3) Määrätää tehdy rppuattouusoletuse uaset odotetut luoafrevesst. (4) Verrataa havattua a odotettua frevesseä tossa χ -testsuureella. χ -rppuattouustest: Hypoteest Ylee hypotees H : Perusouosta o pottu ysertae satuasotos a havatoysöt vodaa luotella rst ahde teä A a B suhtee. Nollahypotees H 0 : Teät A a B ovat rppuattoa. Vahtoehtoe hypotees H : Teät A a B evät ole rppuattoa. TKK () Ila Mell (004) 86 χ -rppuattouustest: Havatut frevesst / Potaa tutuse ohteea olevasta perusouosta S ysertae satuasotos, oa oo o. Luotellaa havatoysöt teä A suhtee tosesa possulev luo, ode luuäärä o r. Luotellaa havatoysöt teä B suhtee tosesa possulev luo, ode luuäärä o. Luotellaa havatoysöt teöde A a B suhtee rst tosesa possulev luo, ode luuäärä o r. χ -rppuattouustest: Havatut frevesst / Määrätää teä A luoaa uuluve havatoe havattu frevess el luuäärä R, u =,,, r. Määrätää teä B luoaa uuluve havatoe havattu frevess el luuäärä C, u =,,,. Määrätää teä A luoaa ateä B luoaa uuluve havatoe havattu frevess el luuäärä O, u =,,, r a =,,,. TKK () Ila Mell (004) 87 TKK () Ila Mell (004) 88 χ -rppuattouustest: Havattue frevesse tauluo /3 Muodostetaa havatusta frevessestä O (r )-frevesstauluo [O ] : A-luoat B-luoat Sua O O O R O O O R r O r O r O r R r Sua C C C χ -rppuattouustest: Havattue frevesse tauluo /3 Oloo [O ] havattue frevesse O uodostaa (r )-frevesstauluo. r = A-luoe luuäärä = B-luoe luuäärä O = havattu frevess luoassa, oa äärää A-luoa ab-luoa, =,,, r, =,,, R = havattu frevess A-luoassa C = havattu frevess B-luoassa = havatoe ooasluuäärä Frevessä O utsutaa tavallsest havatus solufrevesss frevesstauluo solussa (, ). TKK () Ila Mell (004) 89 TKK () Ila Mell (004) 90

16 TKK () Ila Mell (004) 9 χ -rppuattouustest: Havattue frevesse tauluo 3/3 Havattue frevesse O frevesstauluossa pätee: () Rvsuat yhtyvät havattuh frevesseh A-luotusessa: O = R, =,,, r = () Saraesuat yhtyvät havattuh frevesseh B-luotusessa: r O = C, =,,, = () Havatoe ooasluuäärä: r r O = R = C = = = = = χ -rppuattouustest: Nollahypotees tulta Jos ollahypotees H 0 pätee, havatoe aautue A- luo e saa rppua stä, h B-luoaa havaot uuluvat. Jos ollahypotees H 0 pätee, todeäösyys, että havato uuluu A-luoaa =,,, r e saa rppua stä, h B-luoaa =,,, se uuluu. Jos ollahypotees H 0 pätee, havatoe aautue B- luo e saa rppua stä, h A-luoaa havaot uuluvat. Jos ollahypotees H 0 pätee, todeäösyys, että havato uuluu B-luoaa =,,, e saa rppua stä, h A-luoaa =,,, r se uuluu. TKK () Ila Mell (004) 9 χ -rppuattouustest: Odotetut frevesst /5 Oloo x o tarastelu ohteea oleva perusouo S alo. Määrtellää seuraavat todeäösyydet: p = Pr( x uuluu A-luoaa a B-luoaa ) p = Pr( x uuluu A-luoaa ) p = Pr( x uuluu B-luoaa ) χ -rppuattouustest: Odotetut frevesst /5 Jos ollahypotees H 0 pätee, tapahtuat {x S x uuluu A-luoaa } {x S x uuluu B-luoaa } ovat rppuattoa alle =,,, r, =,,,. Ste ollahypotees H 0 teöde A a B rppuattouudesta vodaa lasta uodossa H : p = p p, =,,, r, =,,, 0 TKK () Ila Mell (004) 93 TKK () Ila Mell (004) 94 χ -rppuattouustest: Odotetut frevesst 3/5 Todeäösyydet p, p, p vodaa estoda havatusta frevessestä O aavolla O R C pˆ ˆ ˆ = p = p = χ -rppuattouustest: Odotetut frevesst 4/5 Määrätää ollahypotees H 0 pätessä odotetut solufrevesst E yhtälöllä RC E = P =, =,,, r, =,,, Jos ollahypotees H 0 pätee, solutodeäösyydet p vodaa estoda aavolla R C P = = pˆ pˆ, =,,, r, =,,, TKK () Ila Mell (004) 95 TKK () Ila Mell (004) 96

17 TKK () Ila Mell (004) 97 χ -rppuattouustest: Odotetut frevesst 5/5 Odotettue solufrevesse äärtelästä seuraa, että odotetut suhteellset frevesst E /R aautuvat oasessa A-luoassa saalla tavalla B-luo =,,, : E C =, =,,,, =,,, r R Odotettue solufrevesse äärtelästä seuraa, että odotetut suhteellset frevesst E /C aautuvat oasessa B-luoassa saalla tavalla A-luo =,,, : E R =, =,,, r, =,,, C χ -rppuattouustest: Odotettue frevesse tauluo /3 Muodostetaa odotetusta frevessestä E (r )-frevesstauluo [E ] : A-luoat B-luoat Sua E E E R E E E R r E r E r E r R r Sua C C C TKK () Ila Mell (004) 98 χ -rppuattouustest: Odotettue frevesse tauluo /3 Oloo [E ] odotettue frevesse E uodostaa (r )-frevesstauluo. r = A-luoe luuäärä = B-luoe luuäärä E = odotettu frevess luoassa, oa äärää A-luoa ab-luoa, =,,, r, =,,, R = havattu frevess A-luoassa C = havattu frevess B-luoassa = havatoe ooasluuäärä Frevessä E utsutaa tavallsest odotetus solufrevesss frevesstauluo solussa (, ). χ -rppuattouustest: Odotettue frevesse tauluo 3/3 Odotettue frevesse E frevesstauluossa pätee: () Rvsuat yhtyvät havattuh frevesseh A-luotusessa: E = R, =,,, r = () Saraesuat yhtyvät havattuh frevesseh B-luotusessa: r E = C, =,,, = () Havatoe ooasluuäärä: r r E = R = C = = = = = TKK () Ila Mell (004) 99 TKK () Ila Mell (004) 00 χ -rppuattouustest: Testsuure uoto Määrtellää χ -testsuure r ( O E ) χ = = = E ossa O = havattu frevess solussa (, ) E = odotettu frevess solussa (, ) r = A-luoe luuäärä = B-luoe luuäärä Testsuure χ ttaa havattue a odotettue frevesse aaue yhteesopvuutta ta etäsyyttä a ss stä utsutaa use χ -etäsyydes. χ -rppuattouustest: Testsuure uoto χ -testsuure vodaa rottaa yös uotoo r ( pˆ ) P χ = = = P ossa O pˆ = E R C P = = = pˆ pˆ R C pˆ = pˆ = =,,, r, =,,, TKK () Ila Mell (004) 0 TKK () Ila Mell (004) 0

18 TKK () Ila Mell (004) 03 χ -rppuattouustest: Testsuuree asyptootte aaua Jos ollahypotees H 0 pätee, testsuure χ oudattaa suurssa otosssa approsatvsest χ -aauaa vapausaste f = (r )( ): χ ( ) a χ f ossa r = A-luoe luuäärä = B-luoe luuäärä χ -rppuattouustest: Jaaua-approsaato hyvyys Testsuure χ oudattaa suurssa otosssa approsatvsest χ -aauaa, os ollahypotees H 0 pätee: χ a χ ( f), f = ( r )( ) Approsaato o tavallsest rttävä hyvä, os odotetut frevesst E a esääräset odotetut frevesst R / a C /r toteuttavat ehdot E >, =,,, r, =,,, R / > 5, =,,, r C / r > 5, =,,, Ehdot saadaa toteutuaa valtsealla havaolle sopva luotus. TKK () Ila Mell (004) 04 χ -rppuattouustest: Testsuuree oraalarvo a test Testsuuree χ oraalarvo el odotusarvo ollahypotees H 0 pätessä o E( χ ) = f ossa f = (r )( ) Noraalarvoaa ertseväst suureat χ -testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H 0 e päde. Noraalarvoaa ertseväst peeät χ -testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H 0 pätee la hyv: Havaot saattavat olla vääreettyä. χ -rppuattouustest: Koettea χ -rppuattouustest o aausta rppuato, eparaetre test: () Test ylee hypotees e tä havatoe aauaa. () Testssä e testata todeäösyysaaua paraetrea osevaa hypoteesa, vaa oletusta havatoe aauasta. TKK () Ila Mell (004) 05 TKK () Ila Mell (004) 06 χ -rppuattouustest a χ -hoogeesuustest Rppuattouustest vs hoogeesuustest / χ -rppuattouustest a edellä estetty χ - hoogeesuustest ustuttavat tosaa. Frevesstauluosta e vo sellaseaa ähdä uasta testausasetelasta o yse. χ -rppuattouustest a χ -hoogeesuustest tehdää tesest täsällee saalla tavalla: Odotetut frevesst äärätää saalla aavalla. Testsuureet lasetaa saalla aavalla. Testsuureet oudattavat ollahypotees pätessä approsatvsest saaa aauaa. Teste testausasetelat ovat ute täys erlaset. Rppuattouustest testausasetela: () Testssä tarastellaa ahde teä A a B assosaatota el rppuvuutta, u havaot luotellaa teöde A a B suhtee rst. () Havatoaesto uodostuu yhdestä satuasotosesta. () Va havatoe ooasluuäärä o teä el e-satuae (valttu) luu, u taas sattua äärää te havaot aautuvat luo teöde A a B rstluotuse suhtee. TKK () Ila Mell (004) 07 TKK () Ila Mell (004) 08

19 TKK () Ila Mell (004) 09 Rppuattouustest vs hoogeesuustest / Hoogeesuustest testausasetela: () Perusouo oostuu rryhästäa testssä tarastellaa perusouo alode aautusta luo er ryhssä yhde a saa oasuude suhtee. () Havatoaesto uodostuu tosstaa rppuattosta ryhäohtassta satuasotossta. () Seä ryhäohtaset otosoot että havatoe ooasluuäärä ovat tetä el e-satuasa (valttua) luua, u taas sattua äärää te havaot aautuvat luo ryhe ssällä. Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae >> TKK () Ila Mell (004) 0 Noraalsuusoletuse tute Avasaat Bowa a Sheto test Hupuuus Noraalsuude tute graafsest Rat Plot -uvo Vous Wl a Shapro test Noraalaaualla o esee asea tlastoteteessä. Esers tavaoase t-test ylesessä hypoteesssa oletetaa, että havaot oudattavat oraalaauaa. Ss tlastoteteessä o ehtetty useta erlasa eetelä havatoe oraalsuude tutsee. Noraalsuutta vodaa testata χ -yhteesopvuustestllä, oa o ylee yhteesopvuustest. Seuraavassa tarastellaa seuraava, ertysest oraalsuude testaasee tarotettua testeä: Bowa a Sheto test Rat Plot -uvo seä Wl a Shapro test TKK () Ila Mell (004) TKK () Ila Mell (004) Bowa a Sheto test: Testausasetela Oloot γ a γ tavaoaset esusoetteh perustuvat tuusluvut todeäösyysaaue voudelle a hupuuudelle. Noraalaaualle γ = γ = 0 Bowa a Sheto testssä havatoe oraalsuude testaae perustuu testsuureesee, oa o vastaave otossuurede futo. Testsuure saa suura arvoa, os havatoe vous a/ta hupuuus poeavat palo oraalaautuee satuasuuttua voudesta a/ta hupuuudesta. Bowa a Sheto test: Satuasuuttua oett Satuasuuttua X. orgooett o α E( = X ), =,,3, Satuasuuttua X. esusoett o µ = E ( X α), =,,3, Ertysest α = E( X ) = µ X o satuasuuttua X odotusarvo a µ = E ( X µ X) = σ X o satuasuuttua X varass. TKK () Ila Mell (004) 3 TKK () Ila Mell (004) 4

20 TKK () Ila Mell (004) 5 Bowa a Sheto test: Satuasuuttua vous a hupuuus Tuusluua µ 3 γ = 3 µ äytetää todeäösyysaaua voude ttaa. Tuusluua µ 4 γ = 3 µ äytetää todeäösyysaaua hupuuude ttaa. Noraalaaualle γ = γ = 0 Bowa a Sheto test: Havatoe oett / Oloot X, X,, X välata- ta suhdeasteollse satuasuuttua X havattua arvoa. Havatoe X, X,, X. orgooett o a = X, =,, = Havatoe X, X,, X. esusoett o = ( X a ), =,, = TKK () Ila Mell (004) 6 Bowa a Sheto test: Havatoe oett / Ertysest a = X o havatoe X, X,, X arteette esarvo a = ( X ˆ X) = σ X = o havatoe X, X,, X otosvarass. Bowa a Sheto test: Havatoe vous a hupuuus Tuusluua 3 = 3 äytetää havatoarvoe aaua voude ttaa. Tuusluu 4 = 3 äytetää havatoarvoe aaua hupuuude ttaa. TKK () Ila Mell (004) 7 TKK () Ila Mell (004) 8 Bowa a Sheto test: Hypoteest Ylee hypotees H : Havaot X, X,, X o pottu ysertasella satuasotaalla perusouosta S. Nollahypotees H 0 : Havaot X, X,, X oudattavat oraalaauaa. Vahtoehtoe hypotees H : Havaot X, X,, X evät oudata oraalaauaa. Bowa a Sheto test: Testsuure a se aaua Määrtellää χ -testsuure χ = Jos ollahypotees H 0 pätee, testsuure χ oudattaa suurssa otosssa approsatvsest χ -aauaa vapausaste f = : χ χ () a TKK () Ila Mell (004) 9 TKK () Ila Mell (004) 0

21 TKK () Ila Mell (004) Bowa a Sheto test: Testsuure a se aaua Testsuuree χ oraalarvo el odotusarvo ollahypotees H 0 pätessä o E(χ ) = Noraalarvoaa ertseväst suureat χ -testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H 0 e päde. Noraalarvoaa ertseväst peeät χ -testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H 0 pätee la hyv: Havaot saattavat olla vääreettyä. Noraalsuusoletuse tute graafsest Tetooegrafa ahdollstaa havatoaesto oraalsuude tutse graafs eo. Noraalsuude tutsee tarotetut graafset eetelät perustuvat tavallsest uvoh, ossa oraalaautueet havaot asettuvat (satuasvahtelua luuu ottaatta) suoralle vvalle a havatoe epäoraalsuus äyy uvossa poeaa tästä suorasta. Kuvota o useta erlasa; tässä tarastellaa s. Rat Plot -uvota. TKK () Ila Mell (004) Rat Plot -uvo: Kuvo dea / Oloot Z, Z,, Z havaot X, X,, X suuruusärestysessä peästä suurpaa. Oloo E(Y ). havao Y odotusarvo, ossa Y o suuruusärestysessä. havato stadardodusta oraalaauasta N(0,) potusta satuasotosesta, =,,,. Prretää pstedagra (E(Y ), Z ), =,,, Rat Plot -uvo: Kuvo dea / Jos havaot X, X,, X ovat oraalaautuee satuasuuttua X havattua arvoa, psteet (E(Y ), Z ), =,,, asettuvat (satuasvahtelua luuu ottaatta) suoralle vvalle. Poeaat suorasta vttaavat epäoraalsuutee. Kuvosta vodaa tustaa: Havatoarvoe aaua vous Havatoarvoe aaua hupuuus Poeavat havaot (egl. outlers) TKK () Ila Mell (004) 3 TKK () Ila Mell (004) 4 Wl a Shapro test: Test dea Wl a Shapro testsuure o Rat Plot -uvo pstestä (E(Y ), Z ), =,,, lasetu otosorrelaatoertoe elö. Peet testsuuree arvot vttaavat she, että oraalsuusoletus e päde. Suuret testsuuree arvot ovat sopusoussa oraalsuusoletuse assa. Testsuuree aaua o epästadard, utta esers STATISTIX-ohelsto HELP tauluo rttsä arvoa pelle havatoe luuäärlle. Wl a Shapro test: Eser /5 Kappaleessa tarastelt seuraavaa eserä: () Koe teee ruuvea, ode tavoteptuus o 0. () Ruuve ptuus vahtelee satuasest o verra. () Ruuve ptuuse oletetaa ute oudattava oraalaauaa. TKK () Ila Mell (004) 5 TKK () Ila Mell (004) 6

22 TKK () Ila Mell (004) 7 Wl a Shapro test: Eser /5 Wl a Shapro test: Eser 3/5 Koee valstae ruuve ouosta pott ysertae satuasotos, oa oo = 30 a otosee pottue ruuve ptuudet tatt. Ruuve ptuuse arteette esarvo otosessa ol X = 0.09 a otoseshaota ol s = Tauluo oealla esttää ptuuse luoteltua frevessaauaa. Luoavält Luoafrevesst (9.85,9.90] (9.90,9.95] (9.95,0.00] 6 (0.00,0.05] 3 (0.05,0.0] 5 (0.0,0.5] 4 (0.5,0.0] 5 (0.0,0.5] 3 (0.5,0.30] Kuva oealla esttää otosee pottue ruuve ptuuse luoteltua frevessaauaa vastaavaa hstograa. Kappaleessa todett, että havaot ovat sopusoussa oraalsuusoletuse assa ylese χ - yhteesopvuustest perusteella. Tarastellaa oraalsuusoletusta velä Shapro a Wl test valossa. Frevess Ruuve ptuuse luoteltu frevessaaua Ptuus () TKK () Ila Mell (004) 8 Wl a Shapro test: Eser 4/5 Wl a Shapro test: Eser 5/5 Oealla o otosee pottue ruuve ptuussta prretty Rat Plot -uvo. Havatoa vastaave pstede poeaat suorasta vvasta ovat vähäsä, että oraalsuusoletusta e ole tää syytä asettaa yseealases Rat Plot -uvo perusteella. Ordered Data Wl-Shapro /R at Plot ofpituus R ats Wl-Shapro (p=0.7674)30 ases Rat Plot -uvoo lttyvä Wl a Shapro testsuuree arvo o eseraesto tapausessa a testsuuree arvoa vastaava p-arvo o Ste oraalsuusoletusta e ole syytä asettaa yseealases yösää Wl a Shapro test perusteella. Ordered Data Wl-Shapro /R at Plot ofpituus R ats Wl-Shapro (p=0.7674)30 ases TKK () Ila Mell (004) 9 TKK () Ila Mell (004) 30