Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1"

Transkriptio

1 ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005)

2 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Laskutoimitusten suorittaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

3 Kaksisuuntainen varianssianalyysi: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten tavanomainen kahden riippumattoman otoksen t-testi yleistetään tilanteeseen, jossa ryhmiä on useampia kuin kaksi? Yksisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin yhden tekijän suhteen ja tavoitteena on testata ryhmistä poimittuihin toisistaan riippumattomiin yksinkertaisiin satunnaisotoksiin perustuen hypoteesia, jonka mukaan tarkasteltavan muuttujan ryhmäkohtaiset odotusarvot ovat yhtä suuria. Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän suhteen ja tavoitteena on testata ryhmistä poimittuihin toisistaan riippumattomiin yksinkertaisiin satunnaisotoksiin perustuen hypoteesia, jonka mukaan tarkasteltavan muuttujan ryhmäkohtaiset odotusarvot ovat yhtä suuria. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

4 Kaksisuuntainen varianssianalyysi >> Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Laskutoimitusten suorittaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

5 Varianssianalyysi: ohdanto Avainsanat Kahden riippumattoman otoksen t-testi m-suuntainen varianssianalyysi Odotusarvo Ryhmä Testi Varianssi Yksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

6 Varianssianalyysi: ohdanto Kahden otoksen t-testi Suhdeasteikollisille muuttujille tarkoitettuja testejä käsitelleessä kappaleessa tarkasteltiin kahden riippumattoman otoksen t-testiä. Testin testausasetelma on seuraava: (i) Perusjoukko koostuu kahdesta ryhmästä. (ii) Havainnot noudattavat kummassakin ryhmässä normaalijakaumaa. (iii) Kummastakin ryhmästä on poimittu toisistaan riippumattomat yksinkertaiset satunnaisotokset. (iv) Tehtävänä on testata ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

7 Varianssianalyysi: ohdanto Varianssianalyysin perusongelma Varianssianalyysi voidaan ymmärtää kahden riippumattoman otoksen t-testin yleistykseksi tilanteisiin, jossa perusjoukko koostuu useammasta kuin kahdesta ryhmästä: (i) Perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta ryhmästä. (ii) Havainnot noudattavat jokaisessa ryhmässä normaalijakaumaa. (iii) okaisesta ryhmästä poimitaan toisistaan riippumattomat yksinkertaiset satunnaisotokset. (iv) Tehtävänä on testata ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7

8 Varianssianalyysi: ohdanto Ryhmiin jako varianssianalyysissa Perusjoukon jako ryhmiin voidaan tehdä yhden tai useamman tekijän perusteella. os perusjoukon jako ryhmiin perustuu yhteen tekijään, puhutaan yksisuuntaisesta varianssianalyysista. os perusjoukon jako ryhmiin perustuu m tekijään, puhutaan m-suuntaisesta varianssianalyysista. Huomautus: Tässä luvussa käsitellään kaksisuuntaista varianssianalyysia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8

9 Varianssianalyysi: ohdanto Varianssianalyysin nimi Varianssianalyysin nimi on harhaanjohtava. Varianssianalyysissa testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta tilanteessa, jossa perusjoukko on jaettu kahteen tai useampaan ryhmään. Varianssianalyysin nimi johtuu siitä, että ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruuden testaaminen perustuu eri tavoilla määrättyjen varianssien yhtäsuuruuden testaamiseen F-testeillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9

10 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto >> Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Laskutoimitusten suorittaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 0

11 Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen Avainsanat F-testi Interaktio äännösneliösumma Kaksisuuntainen varianssianalyysi χ 2 -testi Kokonaiskeskiarvo Kokonaisneliösumma Kokonaisvaihtelu Marginaalikeskiarvo Neliösumma Odotusarvo Päävaikutus Reunakeskiarvo Ryhmien sisäinen vaihtelu Ryhmien välinen vaihtelu Ryhmä Ryhmäkeskiarvo Ryhmäneliösumma Taso Testi Vapausaste Varianssi Varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysitaulukko Yhdysvaikutus Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2005)

12 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma /6 Oletetaan, että tutkimuksen kohteena oleva perusjoukko voidaan jakaa ryhmiin kahden tekijän (tai muuttujan) A ja B suhteen. Oletetaan, että tekijällä A on I tasoa ja tekijällä B on tasoa, jolloin jaossa syntyy ryhmiä I kappaletta. Oletetaan, että ryhmistä on poimittu toisistaan riippumattomat yksinkertaiset satunnaisotokset, joiden koko on K. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

13 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 2/6 Olkoon y kij = k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j) k =, 2,, K i =, 2,, I, j =, 2,, Käytetystä otantamenetelmästä seuraa, että havainnot y kij voidaan olettaa riippumattomiksi (ja siten myös korreloimattomiksi) satunnaismuuttujiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

14 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 3/6 Oletetaan, että havainnot y kij ovat normaalijakautuneita: y kij N(µ ij, σ 2 ), k =, 2,, K i =, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

15 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 4/6 Havainnoista y kij tehdystä oletuksesta seuraa: (i) Kaikilla samaan ryhmään (i, j) kuuluvilla havainnoilla on sama odotusarvo: E(y kij ) = µ ij, k =, 2,, K i =, 2,, I, j =, 2,, (ii) Kaikilla havainnoilla on ryhmästä riippumatta sama varianssi: D 2 (y kij ) = σ 2, k =, 2,, K i =, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

16 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 5/6 Haluamme testata nollahypoteesia siitä, että ryhmäkohtaiset odotusarvot E(y kij ) = µ ij, k =, 2,, K i =, 2,, I, j =, 2,, ovat yhtä suuria. Asetetaan siis nollahypoteesi H 0 : µ ij = µ i =, 2,, I, j =, 2,, os nollahypoteesi ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruudesta pätee, ryhmät voidaan yhdistää kaikissa havaintojen keskimääräisiä arvoja koskevissa tarkasteluissa. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

17 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 6/6 Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa nollahypoteesi H 0 : µ ij = µ i =, 2,, I, j =, 2,, on tapana jakaa kolmeksi nollahypoteesiksi, jotka koskevat tekijöiden A ja B päävaikutuksia ja tekijöiden A ja B interaktiota eli yhdysvaikutusta. Tämä tekee ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta koskevan testausongelman monimutkaisemmaksi kuin yksisuuntaisessa varianssianalyysissa. Tämä johtuu siitä, että tekijöiden A ja B päävaikutuksia ei voida tarkastella erillisinä, jos tekijöillä A ja B on interaktiota eli yhdysvaikutusta. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7

18 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesit /2 Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa testattavia nollahypoteeseja on kolme kappaletta. Tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta koskeva nollahypoteesi on muotoa H AB : Ei yhdysvaikutusta os nollahypoteesi H AB jää voimaan, havaintojen ryhmittelyä tekijöiden A ja B suhteen voidaan tarkastella erillisinä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8

19 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesit 2/2 Tekijän A vaikutusta koskeva nollahypoteesi on muotoa H A : Ei A-vaikutusta Tekijän B vaikutusta koskeva nollahypoteesi on muotoa Huomautus: H B : Ei B-vaikutusta Nollahypoteesit H A ja H B ovat yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteeseja. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9

20 Kaksisuuntainen varianssianalyysi: Määritelmä Kaksisuuntainen varianssianalyysi tarkoittaa em. testausasetelman nollahypoteesien H AB : Ei yhdysvaikutusta H A H B testaamista. : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 20

21 Yhdysvaikutus: Havainnollistus /3 Tarkastellaan yksinkertaisten esimerkkien avulla ryhmittelevien tekijöiden A ja B interaktion eli yhdysvaikutuksen ilmenemistä ryhmäkohtaisia odotusarvoja kuvaavissa odotusarvodiagrammeissa. Oletetaan, että molemmilla ryhmittelevällä tekijöillä A ja B on kaksi tasoa: A : A i, i =, 2 B : B j, j =, 2 Olkoot vastaavat ryhmäodotusarvot µ ij, i=,2, j =,2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

22 Yhdysvaikutus: Havainnollistus 2/3 Ei yhdysvaikutusta: µ ij µ ij µ 2 µ 22 B 2 µ µ B 2 22 µ B 2 µ 2 µ µ 2 B A A2 A A2 Kun tekijän B tasoa muutetaan, ryhmäodotusarvo muuttuu yhtä paljon tekijän A tasosta riippumatta. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 22

23 Yhdysvaikutus: Havainnollistus 3/3 Yhdysvaikutusta saattaa esiintyä: µ ij µ 2 µ ij µ µ 2 2 B µ µ µ 22 2 B B 2 µ µ 22 B 2 A A2 A A2 Kun tekijän B tasoa muutetaan, ryhmäodotusarvo muuttuu eri tavalla riippuen tekijän A tasosta. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 23

24 Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja koesuunnittelu /2 Kaksisuuntaista varianssianalyysiä voidaan käyttää koetulosten analyysiin seuraavassa koeasetelmassa: (i) Oletetaan, että kokeen tavoitteena on verrata, miten käsittelyt ja A, A 2,, A I B, B 2,, B vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan muuttujan y keskimääräisiin arvoihin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 24

25 Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja koesuunnittelu 2/2 (ii) Valitaan käsittelykombinaation (A i, B j ) kohteeksi kaikkien kokeen kohteiksi valittujen yksilöiden joukosta satunnaisesti K yksilöä, i =, 2,, I, j =, 2,, ja IK = N. (iii) Mitataan vasteet y kij eli kiinnostuksen kohteena olevan muuttujan y arvot: y kij, k =, 2,, K I =, 2,, I, j =, 2,, Huomaa, että koeasetelma on täydellisesti satunnaistettu: Sattuma määrää täydellisesti millaisen käsittelyn kohteeksi kokeen kohteiksi valitut yksilöt joutuvat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 25

26 Ryhmäkeskiarvot Määritellään havaintoarvojen y kij ryhmäkeskiarvot eli ryhmäkohtaiset aritmeettiset keskiarvot tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j): K y ij = i ykij, i=,2,, I, j =,2,, K k = os kaikki nollahypoteesit H AB, H A ja H B pätevät, on odotettavissa, että ryhmäkeskiarvot eivät poikkea kovin paljon toisistaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 26

27 Kokonaiskeskiarvo os ryhmäkohtaiset otokset yhdistetään yhdeksi otokseksi, yhdistetyn otoksen havaintoarvojen yleis- eli kokonaiskeskiarvo on jossa y iii IK = N I K = IK i = j = k = on havaintojen kokonaislukumäärä. y kij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 27

28 Reunakeskiarvot Määritellään havaintoarvojen y kij marginaali-eli reunakeskiarvot kaavoilla: K y i = ii ykij, i=,2,, I K j= k= I K y j = ii ykij, j =,2,, IK i= i= Reunakeskiarvo y ii i on havaintojen y kij keskiarvo tekijän A määräämässä ryhmässä i, kun B-ryhmitystä ei oteta huomioon. y ii Reunakeskiarvo j on havaintojen y kij keskiarvo tekijän B määräämässä ryhmässä j, kun A-ryhmitystä ei oteta huomioon. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 28

29 Ryhmäkeskiarvot, kokonaiskeskiarvo ja reunakeskiarvot Kokonaiskeskiarvo on ryhmäkeskiarvojen keskiarvo: y iii I yiij I i = j = = Myös reunakeskiarvot voidaan määritellä ryhmäkeskiarvojen avulla: y i = ii yiij, i=,2,, I j= I y j = ii yiij, j =,2,, I i= TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 29

30 Poikkeamat keskiarvoista Kirjoitetaan identiteetti y y = ( y y ) + ( y y ) kij iii iii iii ii j iii + ( ykij yiij ) 2-suuntaisen varianssianalyysin testit nollahypoteeseille H AB, H A ja H B perustuvat poikkeamien ( y y ),( y y ), ( y y y + y ), ( ykij yiij ) neliösummille. + ( y y y + y ) iii iii ii j iii iij iii ii j iii iij iii ii j iii TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 30

31 Poikkeamat ja varianssianalyysin testit /3 2-suuntaisessa varianssianalyysissa testi nollahypoteesille H AB : Ei yhdysvaikutusta perustuu poikkeamien ( y y y + y ),( y y ) iij iii ii j iii kij iij neliösummille. os nollahypoteesi H AB pätee, on odotettavissa, että erotukset ( y y y + y ) iij iii ii j iii eivät ole itseisarvoiltaan kovin suuria. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

32 Poikkeamat ja varianssianalyysin testit 2/3 2-suuntaisessa varianssianalyysissa testi nollahypoteesille H A : Ei A-vaikutusta perustuu poikkeamien ( y y ),( y y ) ii i iii kij iij neliösummille. os nollahypoteesi H A pätee, on odotettavissa, että erotukset ( y y ) iii iii eivät ole itseisarvoiltaan kovin suuria. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 32

33 Poikkeamat ja varianssianalyysin testit 3/3 2-suuntaisessa varianssianalyysissa testi nollahypoteesille H A : Ei B-vaikutusta perustuu poikkeamien ( y y ),( y y ) ii j iii kij iij neliösummille. os nollahypoteesi H B pätee, on odotettavissa, että erotukset ( y y ) ii j iii eivät ole itseisarvoiltaan kovin suuria. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 33

34 Kokonaisneliösumma Määritellään havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava kokonaisneliösumma: os ryhmäkohtaiset otokset yhdistetään yhdeksi otokseksi, saadun yhdistetyn otoksen varianssi on jossa SST = ( y y ) s 2 y = IK = N I K i= j= k= SST IK on havaintojen kokonaislukumäärä. kij iii 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 34

35 Päävaikutusten neliösummat Määritellään tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma: I iii i= SSA = K ( y y ) Määritellään tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma: ii j j= iii SSB = IK ( y y ) iii 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 35

36 Yhdysvaikutuksen neliösumma ja jäännösneliösumma Määritellään tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma: I iij iii ii j iii i= j= SSAB = K ( y y y + y ) Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma: K I SSE = ( y y ) k= i= j= kij iij 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 36

37 äännösneliösumman tulkinta Havaintojen y kij ryhmävarianssit eli ryhmäkohtaiset varianssit saadaan lausekkeista s y y K 2 2 ij = ( kij iij ) K k = i=, 2,, I, j =, 2,, Siten ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumman SSE lauseke voidaan esittää myös muodossa SSE = ( K ) s I i= j= 2 ij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 37

38 Varianssianalyysihajotelma /2 Korottamalla identiteetti y y = ( y y ) + ( y y ) kij iii iii iii ii j iii + ( y y y + y ) iij iii ii j iii + ( ykij yiij ) potenssiin kaksi ja laskemalla yhteen saadaan varianssianalyysihajotelma ( ykij yiii) ( yiii yiii) ( yii j yiii) = + + ( y y y + y ) + ( y y ) iij iii ii j iii kij iij 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 38

39 Varianssianalyysihajotelma 2/2 Edellä esitettyjen neliösummien määritelmien perusteella varianssianalyysihajotelma ( y y ) = ( y y ) + ( y y ) voidaan esittää muodossa kij iii iii iii ii j iii SST = SSA + SSB + SSAB + SSE + ( y y y + y ) + ( y y ) iij iii ii j iii kij iij 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 39

40 Varianssianalyysihajotelman tulkinta Varianssianalyysihajotelmassa SST = SSA + SSB + SSAB + SSE kokonaisneliösumma SST = ( ykij y iii ) neljän osatekijän summaksi, jossa osatekijä SSAB = K ( y y y + y ) iij iii ii j iii kuvaa tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta, osatekijät 2 SSA = K ( y y ) ii i on hajotettu kuvaavat tekijöiden A ja B päävaikutuksia ja osatekijä kuvaa ryhmien sisäistä vaihtelua. iii SSB = IK ( y y ) ii j iii SSE = ( y y ) kij i ij 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005)

41 Testi yhdysvaikutukselle os tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma SSAB = K ( y y y + y ) on suuri verrattuna ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaavaan jäännösneliösummaan SSE = ( y y ) nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta on asetettava kyseenalaiseksi. kij iij iii ii j iii i ij 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

42 Testisuure yhdysvaikutukselle ja sen jakauma /2 Määritellään F-testisuure jossa F AB I ( K ) SSAB = ( I )( ) SSE SSAB = K ( y y y + y ) iij iii ii j iii on tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma ja SSE = ( y y ) kij i ij on ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma. 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 42

43 Testisuure yhdysvaikutukselle ja sen jakauma 2/2 os havainnot ovat normaalijakautuneita ja nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta pätee, testisuure F AB on jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan vapausastein (I )( ) ja I(K ): F F(( I )( ), I( K )) AB Testisuureen F AB normaaliarvo on suurille N = IK N I E( FAB ) = H AB N I 2 Suuret testisuureen F AB arvot johtavat nollahypoteesin H AB hylkäämiseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 43

44 Testi A-vaikutukselle os tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma SSA = K ( y y ) on suuri verrattuna ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaavaan jäännösneliösummaan nollahypoteesi ii i H A : Ei A-vaikutusta on asetettava kyseenalaiseksi. iii SSE = ( y y ) kij i ij 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 44

45 Testisuure A-vaikutukselle ja sen jakauma /2 Määritellään F-testisuure jossa F A I ( K ) = I SSA SSE SSA = K ( y y ) ii i on tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma ja on ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma. iii SSE = ( y y ) kij i ij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 45

46 Testisuure A-vaikutukselle ja sen jakauma 2/2 os havainnot ovat normaalijakautuneita ja nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta pätee, testisuure F A on jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan vapausastein (I ) ja I(K ): F F(( I ), I( K )) A Testisuureen F A normaaliarvo on suurille N = IK N I E( FA ) = H A N I 2 Suuret testisuureen F A arvot johtavat nollahypoteesin H A hylkäämiseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 46

47 Testi B-vaikutukselle os tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma SSB = KI ( y y ) on suuri verrattuna ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaavaan jäännösneliösummaan nollahypoteesi ii j H B : Ei B-vaikutusta on asetettava kyseenalaiseksi. iii SSE = ( y y ) kij i ij 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 47

48 Testisuure B-vaikutukselle ja sen jakauma /2 Määritellään testisuure jossa F B I ( K ) SSB = SSE SSB = KI ( y y ) ii j on tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma ja on jäännösneliösumma. iii SSE = ( y y ) kij i ij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 48

49 Testisuure B-vaikutukselle ja sen jakauma 2/2 os havainnot ovat normaalijakautuneita ja nollahypoteesi H B : Ei B-vaikutusta pätee, testisuure F B on jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan vapausastein ( ) ja I(K ): F F(( ), I( K )) B Testisuureen F B normaaliarvo on suurille N = IK N I E( FB ) = HB N I 2 Suuret testisuureen F B arvot johtavat nollahypoteesin H B hylkäämiseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 49

50 Ryhmien sisäisen vaihtelun neliösumman SSE ja kokonaisneliösumman SST jakaumat Voidaan osoittaa, että aina pätee SSE 2 χ ( I ( K )) 2 σ Voidaan osoittaa, että jos nollahypoteesit H AB : Ei yhdysvaikutusta H A H B : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta pätevät, niin SST 2 χ ( IK ) 2 σ TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 50

51 Neliösummien SSAB, SSA, SSB jakaumat Edelleen voidaan osoittaa, että jos nollahypoteesit H AB : Ei yhdysvaikutusta H A H B pätevät, niin : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta SSAB 2 χ (( I )( )) 2 σ SSA 2 χ ( I ) 2 σ SSB 2 χ ( ) 2 σ TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

52 Neliösummien SSAB, SSA, SSB, SSE riippumattomuus /2 Varianssianalyysihajotelman mukaan SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Edellä esitetyn mukaan suureet SST SSA SSB SSAB SSE,,,, σ σ σ σ σ ovat nollahypoteesien H AB, H A, H B pätiessä χ 2 -jakautuneita vapausastein, jotka toteuttavat yhtälön IK = (I ) + ( ) + (I )( ) + I(K ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 52

53 Neliösummien SSAB, SSA, SSB, SSE riippumattomuus 2/2 Siten suureet SSA SSB SSAB SSE,,, σ σ σ σ ovat Cochranin lauseen mukaan riippumattomia (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 53

54 Testisuureiden jakaumat Edellä esitetyn nojalla testisuureet F AB, F A, F B noudattavat nollahypoteesien H AB, H A, H B pätiessä Fisherin F-jakaumaa suoraan F-jakauman määritelmän mukaan: MSAB FAB = F(( I )( ), I( K )) MSE MSA FA = F(( I ), I( K )) MSE MSB FB = F(( ), I( K )) MSE TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 54

55 Testisuureiden tulkinnat /2 Testisuureet F AB, F A, F B voidaan tulkita varianssien vertailutestisuureiksi, joissa variansseja MSAB = SSAB, MSA = SSA, MSB = SSB ( I )( ) I verrataan ryhmien sisäiseen varianssiin MSE = SSE I ( K ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 55

56 Testisuureiden tulkinnat 2/2 Estimaattori MSE = SSE I ( K ) on aina harhaton havaintojen y kij varianssille σ 2, mutta estimaattorit MSAB = SSAB, MSA = SSA, MSB = SSB ( I )( ) I ovat harhattomia havaintojen y kij varianssille σ 2 vain, jos nollahypoteesit H AB, H A, H B pätevät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 56

57 Varianssiestimaattoreiden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus /3 Tarkastelemme seuraavassa lähemmin ehtoja, joiden pätiessä estimaattorit MSE MSAB = SSE I ( K ) = SSA MSA = I SSB MSB = SSAB ( I )( ) ovat harhattomia havaintojen y kij varianssille σ 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 57

58 Varianssiestimaattoreiden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus 2/3 Käytämme hyväksi sitä, että kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli voidaan esittää muodossa (ks. tarkemmin seuraavaa kappaletta): = µ + α + β + ( αβ) + ε jossa ja y kij i j ij kij k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, I I α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i j ij ij i= j= i= j= ε kij 2 N(0, σ ) k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 58

59 Varianssiestimaattoreiden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus 3/3 Voidaan osoittaa, että nollahypoteesit H AB : Ei yhdysvaikutusta H A H B : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta ovat ekvivalentteja seuraavien ehtojen kanssa: H AB :( αβ ) ij = 0, i=, 2,, I, j =, 2,, H A : α = α2 = $ = α I = 0 H B : β = β2 = $ = β = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 59

60 Varianssiestimaattorin MSE harhattomuus Voidaan osoittaa, että 2 E( MSE) = E( SSE) = σ I ( K ) Siten MSE on aina varianssin σ 2 harhaton estimaattori. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 60

61 Varianssiestimaattorin MSAB harhattomuus Voidaan osoittaa, että E( MSAB) = E( SSAB) ( I )( ) 2 = + σ K I i= j= ( αβ ) Siten MSAB on varianssin σ 2 harhaton estimaattori, jos nollahypoteesi H AB : ( αβ ) ij = 0, i=, 2,, I, j =, 2,, pätee. 2 ij ( I )( ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

62 Varianssiestimaattorin MSA harhattomuus Voidaan osoittaa, että E( MSA) = E( SSA) I Siten MSA on varianssin σ 2 harhaton estimaattori, jos nollahypoteesi pätee. K 2 i= σ = + H A : α = α = $ = α I = I I α 2 i 2 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 62

63 Varianssiestimaattorin MSB harhattomuus Voidaan osoittaa, että E( MSB) = E( SSB) 2 = + σ KI j= Siten MSB on varianssin σ 2 harhaton estimaattori, jos nollahypoteesi H B : β = β2 = $ = β = 0 pätee. β 2 j TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 63

64 Varianssianalyysitaulukko /2 Vaihtelun SS df MS F lähde A SSA I MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB MSB = SSB/df F B = MSB/MSE AB SSAB (I )( ) MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE äännös SSE I(K ) MSE = SSE/df Kokonaisvaihtelu SST IK TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 64

65 Varianssianalyysitaulukko 2/2 Varianssianalyysitaulukon neliösummat toteuttavat yhtälön SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Yhtälö on varianssianalyysihajotelma. Varianssianalyysitaulukon neliösummien vapausasteet toteuttavat yhtälön N = IK =(I ) + ( ) + (I )( ) + I(K ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 65

66 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen >> Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin parametrien estimointi Laskutoimitusten suorittaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 66

67 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli: Parametrointi I /3 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavalla tavalla: () = µ + ε y kij ij kij k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, jossa jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: 2 ε N(0, σ ) kij k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, Mallissa () y kij = y-muuttujan k. havaintoarvo ryhmässä (i, j) µ ij = y-muuttujan odotusarvo ryhmässä (i, j) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 67

68 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli: Parametrointi I 2/3 Ei-satunnaiset vakiot µ ij, i =, 2,, I, j =, 2,, ja jäännösvarianssi σ 2 ovat kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin () = µ + ε y kij ij kji k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, parametreja. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 68

69 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli: Parametrointi I 3/3 Mallia () koskevista oletuksista seuraa, että E( ) = µ ja y kij ij k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, D( ) 2 2 y kij = σ k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 69

70 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli: Parametrointi II /3 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli voidaan parametroida myös seuraavalla tavalla: (2) = µ + α + β + ( αβ) + ε jossa y kij i j ij kij k =, 2,, K, i =, 2,, I, j =, 2,, i j ij ij i= j= i= j= ja jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε I I kij α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 2 N(0, σ ) k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 70

71 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli: Parametrointi II 2/3 Ei-satunnaiset vakiot µ α i, i =, 2,, I β j, j =, 2,, (αβ) ij, i =, 2,, I, j =, 2,, ja jäännösvarianssi σ 2 ovat kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin (2) = µ + α + β + ( αβ) + ε y kij i j ij kij k =, 2,, K, i =, 2,, I, j =, 2,, parametreja. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7

72 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli: Parametrointi II 3/3 Mallia (2) koskevista oletuksista seuraa, että E( ) = µ + α + β + ( αβ) ja y kij i j ij k =, 2,, K, i =, 2,, I, j =, 2,, D( ) 2 2 y kij = σ k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 72

73 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Parametrointien I ja II vertailu /2 Mallissa () y kij = µ ij + ε kij k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, y-havainnot esitetään ryhmäkohtaisten odotusarvojen µ ij, i =, 2,, I, i =, 2,, avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 73

74 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Parametrointien I ja II vertailu 2/2 Mallissa (2) y kij = µ + α i + β j + ( αβ) ij + ε kij k =, 2,, K, i =, 2,, I, j =, 2,, y-havainnot esitetään seuraavien tekijöiden summana: Yleisodotusarvo µ Ryhmittelevän tekijän A tason i vaikutus (efekti) α i i =, 2,, I Ryhmittelevän tekijän B tason j vaikutus (efekti) β j j =, 2,, Yhdysvaikutus (αβ) ij i =, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 74

75 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Parametrointien I ja II ekvivalenssi /4 Mallit () ja (2) ovat ekvivalentteja mallit on vain parametroitu eri tavoilla. Määritellään µ i = i µ ij i= I µ j = i µ ij I i= I I µ = µ = µ = µ I I ij ii i j i= i= i= j= TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 75

76 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Parametrointien I ja II ekvivalenssi 2/4 Kirjoitetaan identiteetti y = µ + ( µ µ ) + ( µ µ ) kij ii i j ja merkitään i j + ( µ µ µ + µ ) + ( y µ ) α = µ µ ij ii i j kij ij ii β = µ µ i j ( αβ ) = µ µ µ + µ ij ij ii i j ε = y µ kij kij ij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 76

77 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Parametrointien I ja II ekvivalenssi 3/4 Tällöin I i= j= I α = 0 i β = 0 j ( αβ ) = ( αβ ) = 0 ij i= j= ij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 77

78 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Parametrointien I ja II ekvivalenssi 4/4 Siten y y y = µ + ε kij ij kij = µ + ( µ µ ) + ( µ µ ) kij ii i j + ( µ µ µ + µ ) + ( y µ ) ij ii i j kij ij = µ + α + β + ( αβ) + ε kij i j ij kij ovat kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin ekvivalentteja esitysmuotoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 78

79 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Nollahypoteesien ekvivalenssi Edellä esitetystä seuraa, että nollahypoteesit H AB H A H B : Ei yhdysvaikutusta : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta ovat ekvivalentteja seuraavien ehtojen kanssa: H AB : ( αβ ) ij = 0, i=, 2,, I, j =, 2,, H A : α = α2 = $ = α I = 0 H B : β = β2 = $ = β = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 79

80 Kaksi- ja useampisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi >> Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Laskutoimitusten suorittaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 80

81 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli voidaan parametroida seuraavalla tavalla: = µ + α + β + ( αβ) + ε jossa y kij i j ij kij k =, 2,, K, i =, 2,, I, j =, 2,, i j ij ij i= j= i= j= ja jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε I I kij α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 2 N(0, σ ) k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8

82 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin parametrien PNS-estimaattorit /2 Mallin y kij = µ + α i + β j + ( αβ) ij + ε kij jossa k =, 2,, K, i =, 2,, I, j =, 2,, I I α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i j ij ij i= j= i= j= parametrit voidaan estimoida pienimmän neliösumman menetelmällä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 82

83 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin parametrien PNS-estimaattorit 2/2 Parametrien PNS-estimaattoreiksi saadaan ˆ µ = y ˆ α = y y, i=,2,, I i ii i ˆ β = y y, j =,2,, j iii ii j iii iii ( ˆ αβˆ ) = y y y + y, i=,2,, I, j =,2,, ij iij iii ii j iii TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 83

84 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin parametrien PNS-estimaattorit: ohto /5 Estimoidaan mallin = µ + α + β + ( αβ) + ε jossa y kij i j ij kij k =, 2,, K, i =, 2,, I, j =, 2,, I I α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i j ij ij i= j= i= j= parametrit PNS-menetelmällä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 84

85 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin parametrien PNS-estimaattorit: ohto 2/5 Etsitään neliösumman minimi parametrien suhteen tavanomaiseen tapaan: (i) (ii) I K SS = ( y µ α β ( αβ) ) i= j= k= kij i j ij Derivoidaan neliösumma SS parametrien suhteen. Merkitään derivaatat nolliksi. (iii) Ratkaistaan saadut normaaliyhtälöt parametrien suhteen ottamalla huomioon side-ehdot I I α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i j ij ij i= j= i= j= 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 85

86 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin parametrien PNS-estimaattorit: ohto 3/5 Normaaliyhtälöt ovat seuraavaa muotoa: I I () µ : IK µ + K α + K β + K ( αβ) = y i= i j= j i= j= ij iii (2) α : Kµ + Kα + K β + K ( αβ) = y i i j= j j= ij ii i i=, 2,, I (3) β : IKµ + K α + IKβ + K ( αβ) = y j i= i j i= ij ii j j =, 2,, I (4) ( αβ ) : Kµ + Kα + Kβ + K( αβ ) = y i=, 2,, I, j =, 2,, ij i j ij iij I TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 86

87 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin parametrien PNS-estimaattorit: ohto 4/5 Huomaa, että parametrien lukumäärä normaaliyhtälöissä on + I + + I ja yhtälöiden lukumäärä on myös + I + + I Yhtälöt ovat kuitenkin yliparametroituja: (i) Yhtälöiden (2) summana saadaan yhtälö (). (ii) Yhtälöiden (3) summana saadaan yhtälö (). (iii) Yhtälöiden (4) summana saadaan kiinteälle i yhtälö (2). Yhtälöiden (4) summana saadaan kiinteälle j yhtälö (3). Siten yhtälösysteemin yhtälöiden välillä on + I + lineaarista riippuvuutta ja systeemillä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 87

88 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin parametrien PNS-estimaattorit: ohto 5/5 Yhtälösysteemi voidaan kuitenkin ratkaista ottamalla huomioon sideehdot I I α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i j ij ij i= j= i= j= Huomaa, että riippumattomien side-ehtojen lukumäärä on yhtälösysteemin ratkaisemiseksi tarvittava + I + Ratkaisuksi saadaan ottamalla yo. side-ehdot huomioon ˆ µ = y ˆ α = y y, i=,2,, I i ii i ˆ β = y y, j =,2,, j iii ii j iii iii ( ˆ αβˆ ) = y y y + y, i=,2,, I, j =,2,, ij iij iii ii j iii TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 88

89 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin sovitteet ja residuaalit Estimoidun mallin sovitteet saadaan yhtälöstä yˆ = ˆ µ + ˆ α + ˆ β + ( ˆ αβˆ) kij i j ij = y + ( y y ) + ( y y ) + ( y y y + y ) = y iii iii iii ii j iii iij iii ii j iii iij k =, 2,, K, i =, 2,, I, j =, 2,, Estimoidun mallin residuaalit saadaan yhtälöstä e = y yˆ = y y kij kij kij kij iij k =, 2,, K, i=, 2,, I, j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 89

90 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin malli ja sen parametrien estimointi >> Laskutoimitusten suorittaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 90

91 Laskutoimitusten suorittaminen Havainnot Olkoon y kij = k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j) k =, 2,, K i =, 2,, I j =, 2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9

92 Laskutoimitusten suorittaminen Ryhmäsummat, reunasummat ja kokonaissumma Määritellään seuraavat summat: T iij = K k = y kij K T = y = T ii i kij iij j= k= j= I K I T = y = T ii j kij iij i= k= i= I K I I T = y = T = T = T iii kij iij iii ii j i= j= k= i= j= i= j= i=,2,, I, j =,2,, TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 92

93 Laskutoimitusten suorittaminen Havaintoarvojen neliöiden summat Määritellään tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämän ryhmän (i, j) havaintoarvojen y kij neliöiden summa kaavalla K 2 kij = = k = y, i,2,, I, j,2,, ja kaikkien havaintoarvojen y kij neliöiden kokonaissumma kaavalla I K i= j= k= y 2 kij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 93

94 Laskutoimitusten suorittaminen Ryhmäkeskiarvojen, reunakeskiarvojen ja kokonaiskeskiarvon laskeminen Havaintoarvojen ryhmäkeskiarvot saadaan kaavoilla K y ij = i ykij = Ti ij, i=,2,, I, i=,2,, K k = K reunakeskiarvot saadaan kaavoilla K y i = ii ykij = Tii i, i=,2,, I K K j= k= I K y j = ii ykij = Tii j, j =,2,, IK I = k = IK ja kokonaiskeskiarvo saadaan kaavalla I K y = iii ykij = Tiii IK IK i= j= k= TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 94

95 Laskutoimitusten suorittaminen Ryhmävarianssien ja kokonaisvarianssin laskeminen Havaintoarvojen ryhmävarianssit saadaan kaavoilla 2 K 2 2 s ij = i yiij Ti ij, i=,2,, I, j =,2,, K j= K ja kokonaisvarianssi saadaan kaavalla 2 I K 2 2 s = iii ykij Tiii IK I= j= j= IK TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 95

96 Laskutoimitusten suorittaminen Kokonaisneliösumman sekä päävaikutusten neliösummien laskeminen Kokonaisneliösumma SST voidaan laskea kaavalla SST = y y = y T I K I K ( ) kij iii kij iii i= j= k= i= j= k= IK Tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma SSA saadaan kaavalla SSA K y y T T I I ( ii i iii) ii i iii i= K i= IK = = ja tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma SSB saadaan kaavalla SSB IK y y T T ( i ji iii) ii j iii j= IK j= IK = = TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 96

97 Laskutoimitusten suorittaminen Yhdysvaikutuksen neliösumman laskeminen Tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma SSAB kannattaa laskea kahdessa vaiheessa. Lasketaan ensin ryhmäkeskiarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma I I SS = K ( y ij y ) = i iii Ti ij Tiii K IK i= j= i= j= Tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma SSAB saadaan kaavalla I iij iii ii j iii i= j= SSAB = K ( y y y + y ) = SS SSA SSB 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 97

98 Laskutoimitusten suorittaminen äännösneliösumman laskeminen Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma SSE saadaan varianssianalyysihajotelman nojalla kaavalla SSE = SST SSA SSB SSAB tai kaavalla SSE = SST SS TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 98

99 Laskutoimitusten suorittaminen Laskutoimitusten järjestäminen taulukoksi /2 Havainnot kannattaa järjestää seuraavaksi taulukoksi: A A2 $ AI B y, y,, y y, y,, y $ y, y,, y B y, y,, y y, y,, y $ y, y,, y % % % % B y, y,, y y, y,, y $ y, y,, y 2 k 2 22 k2 I 2I ki k k22 I2 2I2 ki2 2 k 2 22 k2 I 2I ki Taulukosta lasketaan havaintoarvojen neliöiden kokonaissumma I K i= j= k= y 2 kij ja jokaisen solun (i, j) havaintoarvojen summa K T ij = i ykij, i=,2,, I, j =,2,, k = TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 99

100 Laskutoimitusten suorittaminen Laskutoimitusten järjestäminen taulukoksi 2/2 Muiden tarvittavien summien laskeminen järjestetään taulukoksi seuraavalla tavalla: A A2 $ AI Summa B Ti Ti2 $ TiI Tii B2 Ti 2 Ti22 $ TiI 2 Tii2 % % % % % B Ti Ti2 $ TiI Tii Summa T T $ T T jossa siis ii i2i ii i iii K T ij = i ykij, i=,2,, I, j =,2,, k = on solun (i, j) havaintoarvojen summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 00

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen

Lisätiedot

2 2 -faktorikokeen määritelmä

2 2 -faktorikokeen määritelmä TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa: Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1

Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72

Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.204 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 3. luento: Pari sanaa vielä hypoteesien formuloinneista Kai Virtanen Hypoteesien muodoista Luennolla nro. 2 muotoiltiin nollahypoteesi - H 0 : θ

Lisätiedot

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Yleistetyistä lineaarisista malleista

Yleistetyistä lineaarisista malleista Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Noudattakoon satunnaismuuttuja X normaalijakaumaa a) b) c) d) N(5, 15). Tällöin P (1.4 < X 12.7) on likimain

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

ARVIOINTIPERIAATTEET

ARVIOINTIPERIAATTEET PSYKOLOGIAN YHTEISVALINNAN VALINTAKOE 2012 ARVIOINTIPERIAATTEET Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos, Materiaalin luvaton kopiointi kielletty. TEHTÄVÄ 1. (max. 34.5 pistettä) 1 a.i)

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5 MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.

Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486. Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1 Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n

Lisätiedot