Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Kaksisuuntainen varianssianalyysi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Kaksisuuntainen varianssianalyysi"

Transkriptio

1 T (c lkka Melln (005 akssuuntanen varanssanals Varanssanals: ohdanto akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont ohdatus tlastoteteeseen akssuuntanen varanssanals T (c lkka Melln (005 akssuuntanen varanssanals: Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa ksmstä: Mten tavanomanen kahden rppumattoman otoksen t-test lestetään tlanteeseen, ossa rhmä on useampa kun kaks? Ykssuuntasessa varanssanalsssa perusoukko on aettu rhmn hden tekän suhteen a tavotteena on testata rhmstä pomttuhn tosstaan rppumattomn ksnkertasn satunnasotoksn perustuen hpoteesa, onka mukaan tarkasteltavan muuttuan rhmäkohtaset odotusarvot ovat htä suura. aks- ta useampsuuntasessa varanssanalsssa perusoukko on aettu rhmn kahden ta useamman tekän suhteen a tavotteena on testata rhmstä pomttuhn tosstaan rppumattomn ksnkertasn satunnasotoksn perustuen hpoteesa, onka mukaan tarkasteltavan muuttuan rhmäkohtaset odotusarvot ovat htä suura. akssuuntanen varanssanals >> Varanssanals: ohdanto akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont T (c lkka Melln (005 3 T (c lkka Melln (005 4 Varanssanals: ohdanto Varanssanals: ohdanto ahden otoksen t-test Avansanat ahden rppumattoman otoksen t-test m-suuntanen varanssanals Odotusarvo Rhmä Test Varanss Ykssuuntanen varanssanals Suhdeastekollslle muuttulle tarkotettua testeä kästelleessä kappaleessa tarkasteltn kahden rppumattoman otoksen t-testä. Testn testausasetelma on seuraava: ( Perusoukko koostuu kahdesta rhmästä. ( Havannot noudattavat kummassakn rhmässä normaalakaumaa. ( ummastakn rhmästä on pomttu tosstaan rppumattomat ksnkertaset satunnasotokset. (v Tehtävänä on testata rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruutta. T (c lkka Melln (005 5 T (c lkka Melln (005 6

2 T (c lkka Melln (005 7 Varanssanals: ohdanto Varanssanalsn perusongelma Varanssanals: ohdanto Rhmn ako varanssanalsssa Varanssanals vodaan mmärtää kahden rppumattoman otoksen t-testn lestkseks tlantesn, ossa perusoukko koostuu useammasta kun kahdesta rhmästä: ( Perusoukko koostuu kahdesta ta useammasta rhmästä. ( Havannot noudattavat okasessa rhmässä normaalakaumaa. ( okasesta rhmästä pomtaan tosstaan rppumattomat ksnkertaset satunnasotokset. (v Tehtävänä on testata rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruutta. Perusoukon ako rhmn vodaan tehdä hden ta useamman tekän perusteella. os perusoukon ako rhmn perustuu hteen tekään, puhutaan kssuuntasesta varanssanalssta. os perusoukon ako rhmn perustuu m tekään, puhutaan m-suuntasesta varanssanalssta. Huomautus: Tässä luvussa kästellään kakssuuntasta varanssanalsa. T (c lkka Melln (005 8 Varanssanals: ohdanto Varanssanalsn nm akssuuntanen varanssanals Varanssanalsn nm on harhaanohtava. Varanssanalsssa testataan rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruutta tlanteessa, ossa perusoukko on aettu kahteen ta useampaan rhmään. Varanssanalsn nm ohtuu stä, että rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruuden testaamnen perustuu er tavolla määrätten varanssen htäsuuruuden testaamseen F-testellä. Varanssanals: ohdanto >> akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont T (c lkka Melln (005 9 T (c lkka Melln (005 0 akssuuntanen varanssanals a sen suorttamnen akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma /6 Avansanat F-test nterakto äännösnelösumma akssuuntanen varanssanals χ -test okonaskeskarvo okonasnelösumma okonasvahtelu Margnaalkeskarvo Nelösumma Odotusarvo Päävakutus Reunakeskarvo Rhmen ssänen vahtelu Rhmen välnen vahtelu Rhmä Rhmäkeskarvo Rhmänelösumma Taso Test Vapausaste Varanss Varanssanalshaotelma Varanssanalstaulukko Yhdsvakutus Ylenen lneaarnen mall Oletetaan, että tutkmuksen kohteena oleva perusoukko vodaan akaa rhmn kahden tekän (ta muuttuan A a B suhteen. Oletetaan, että tekällä A on tasoa a tekällä B on tasoa, ollon aossa snt rhmä kappaletta. Oletetaan, että rhmstä on pomttu tosstaan rppumattomat ksnkertaset satunnasotokset, oden koko on. T (c lkka Melln (005 T (c lkka Melln (005

3 T (c lkka Melln (005 3 akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma /6 Olkoon k = k. havanto tekän A tason a tekän B tason määräämässä rhmässä (, k =,,, =,,,, =,,, ätetstä otantamenetelmästä seuraa, että havannot k vodaan olettaa rppumattomks (a sten mös korrelomattomks satunnasmuuttuks. akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma 3/6 Oletetaan, että havannot k ovat normaalakautuneta: k N(µ, σ, k =,,, =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 4 akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma 4/6 Havannosta k tehdstä oletuksesta seuraa: ( aklla samaan rhmään (, kuuluvlla havannolla on sama odotusarvo: E( k = µ, k =,,, =,,,, =,,, ( aklla havannolla on rhmästä rppumatta sama varanss: D ( k = σ, k =,,, =,,,, =,,, akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma 5/6 Haluamme testata nollahpoteesa stä, että rhmäkohtaset odotusarvot E( k = µ, k =,,, =,,,, =,,, ovat htä suura. Asetetaan ss nollahpotees H 0 : µ = µ =,,,, =,,, os nollahpotees rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruudesta pätee, rhmät vodaan hdstää kakssa havantoen keskmääräsä arvoa koskevssa tarkastelussa. T (c lkka Melln (005 5 T (c lkka Melln (005 6 akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma 6/6 akssuuntasessa varanssanalsssa nollahpotees H 0 : µ = µ =,,,, =,,, on tapana akaa kolmeks nollahpoteesks, otka koskevat teköden A a B päävakutuksa a teköden A a B nteraktota el hdsvakutusta. Tämä tekee rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruutta koskevan testausongelman monmutkasemmaks kun kssuuntasessa varanssanalsssa. Tämä ohtuu stä, että teköden A a B päävakutuksa e voda tarkastella erllsnä, os teköllä A a B on nteraktota el hdsvakutusta. T (c lkka Melln (005 7 akssuuntasen varanssanalsn nollahpoteest / akssuuntasessa varanssanalsssa testattava nollahpoteesea on kolme kappaletta. Teköden A a B hdsvakutusta koskeva nollahpotees on muotoa H AB : E hdsvakutusta os nollahpotees H AB ää vomaan, havantoen rhmttelä teköden A a B suhteen vodaan tarkastella erllsnä. T (c lkka Melln (005 8

4 T (c lkka Melln (005 9 akssuuntasen varanssanalsn nollahpoteest / Tekän A vakutusta koskeva nollahpotees on muotoa H A : E A-vakutusta Tekän B vakutusta koskeva nollahpotees on muotoa H B : E B-vakutusta Huomautus: Nollahpoteest H A a H B ovat kssuuntasen varanssanalsn nollahpoteesea. akssuuntanen varanssanals: Määrtelmä akssuuntanen varanssanals tarkottaa em. testausasetelman nollahpoteesen H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta testaamsta. T (c lkka Melln (005 0 Yhdsvakutus: Havannollstus /3 Tarkastellaan ksnkertasten esmerkken avulla rhmtteleven teköden A a B nterakton el hdsvakutuksen lmenemstä rhmäkohtasa odotusarvoa kuvaavssa odotusarvodagrammessa. Oletetaan, että molemmlla rhmttelevällä teköllä A a B on kaks tasoa: A : A, =, B : B, =, Olkoot vastaavat rhmäodotusarvot µ, =,, =, Yhdsvakutus: Havannollstus /3 E hdsvakutusta: µ µ µ µ B µ B A A A A un tekän B tasoa muutetaan, rhmäodotusarvo muuttuu htä palon tekän A tasosta rppumatta. µ µ µ µ B µ B T (c lkka Melln (005 T (c lkka Melln (005 Yhdsvakutus: Havannollstus 3/3 Yhdsvakutusta saattaa esntä: µ µ µ µ B B µ A A A A un tekän B tasoa muutetaan, rhmäodotusarvo muuttuu er tavalla rppuen tekän A tasosta. µ µ B µ µ µ B akssuuntanen varanssanals a koesuunnttelu / akssuuntasta varanssanalsä vodaan kättää koetulosten analsn seuraavassa koeasetelmassa: ( Oletetaan, että kokeen tavotteena on verrata, mten kästtelt A, A,, A a B, B,, B vakuttavat knnostuksen kohteena olevan muuttuan keskmääräsn arvohn. T (c lkka Melln (005 3 T (c lkka Melln (005 4

5 T (c lkka Melln (005 5 akssuuntanen varanssanals a koesuunnttelu / ( Valtaan kästtelkombnaaton (A, B kohteeks kakken kokeen kohteks valttuen kslöden oukosta satunnasest kslöä, =,,,, =,,, a = N. ( Mtataan vasteet k el knnostuksen kohteena olevan muuttuan arvot: k, k =,,, =,,,, =,,, Huomaa, että koeasetelma on tädellsest satunnastettu: Sattuma määrää tädellsest mllasen kästteln kohteeks kokeen kohteks valtut kslöt outuvat. Rhmäkeskarvot Määrtellään havantoarvoen k rhmäkeskarvot el rhmäkohtaset artmeettset keskarvot tekän A tason a tekän B tason määräämässä rhmässä (, : =, =,,,, =,,, k k = os kakk nollahpoteest H AB, H A a H B pätevät, on odotettavssa, että rhmäkeskarvot evät pokkea kovn palon tosstaan. T (c lkka Melln (005 6 okonaskeskarvo Reunakeskarvot os rhmäkohtaset otokset hdstetään hdeks otokseks, hdstetn otoksen havantoarvoen les- el kokonaskeskarvo on k = = k = = ossa = N on havantoen kokonaslukumäärä. T (c lkka Melln (005 7 Määrtellään havantoarvoen k margnaal- el reunakeskarvot kaavolla: = k, =,,, = k= = k, =,,, = = Reunakeskarvo on havantoen k keskarvo tekän A määräämässä rhmässä, kun B-rhmtstä e oteta huomoon. Reunakeskarvo on havantoen k keskarvo tekän B määräämässä rhmässä, kun A-rhmtstä e oteta huomoon. T (c lkka Melln (005 8 Rhmäkeskarvot, kokonaskeskarvo a reunakeskarvot okonaskeskarvo on rhmäkeskarvoen keskarvo: = = = Mös reunakeskarvot vodaan määrtellä rhmäkeskarvoen avulla: =, =,,, = =, =,,, = Pokkeamat keskarvosta rotetaan dentteett k = ( + ( + ( + + ( k -suuntasen varanssanalsn testt nollahpoteeselle H AB, H A a H B perustuvat pokkeamen (,(, ( +, ( k nelösummlle. T (c lkka Melln (005 9 T (c lkka Melln (005 30

6 T (c lkka Melln (005 3 Pokkeamat a varanssanalsn testt /3 Pokkeamat a varanssanalsn testt /3 -suuntasessa varanssanalsssa test nollahpoteeslle H AB : E hdsvakutusta perustuu pokkeamen ( +,( k nelösummlle. os nollahpotees H AB pätee, on odotettavssa, että erotukset ( + evät ole tsesarvoltaan kovn suura. -suuntasessa varanssanalsssa test nollahpoteeslle H A : E A-vakutusta perustuu pokkeamen (,( k nelösummlle. os nollahpotees H A pätee, on odotettavssa, että erotukset ( evät ole tsesarvoltaan kovn suura. T (c lkka Melln (005 3 Pokkeamat a varanssanalsn testt 3/3 okonasnelösumma -suuntasessa varanssanalsssa test nollahpoteeslle H A : E B-vakutusta perustuu pokkeamen (,( k nelösummlle. os nollahpotees H B pätee, on odotettavssa, että erotukset ( evät ole tsesarvoltaan kovn suura. Määrtellään havantoarvoen kokonasvahtelua kuvaava kokonasnelösumma: SST = ( = = k= os rhmäkohtaset otokset hdstetään hdeks otokseks, saadun hdstetn otoksen varanss on s = SST ossa = N on havantoen kokonaslukumäärä. k T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln ( Päävakutusten nelösummat Määrtellään tekän A päävakutusta kuvaava nelösumma: SSA = ( = Määrtellään tekän B päävakutusta kuvaava nelösumma: SSB = ( = Yhdsvakutuksen nelösumma a äännösnelösumma Määrtellään teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma: SSAB = ( + = = Määrtellään rhmen ssästä vahtelua kuvaava (äännös- nelösumma: SSE = ( k= = = k T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 36

7 T (c lkka Melln ( äännösnelösumman tulknta Varanssanalshaotelma / Havantoen k rhmävaransst el rhmäkohtaset varansst saadaan lausekkesta s = ( k k = =,,,, =,,, Sten rhmen ssästä vahtelua kuvaava nelösumman SSE lauseke vodaan esttää mös muodossa SSE = ( s = = orottamalla dentteett k = ( + ( + ( + + ( k potenssn kaks a laskemalla hteen saadaan varanssanalshaotelma ( =( +( +( + +( k k T (c lkka Melln ( Varanssanalshaotelma / Varanssanalshaotelman tulknta Edellä estetten nelösummen määrtelmen perusteella varanssanalshaotelma ( =( +( +( + +( k vodaan esttää muodossa SST = SSA + SSB + SSAB + SSE T (c lkka Melln ( k Varanssanalshaotelmassa SST = SSA + SSB + SSAB + SSE kokonasnelösumma SST = ( k on haotettu nelän osatekän summaks, ossa osatekä SSAB = ( + kuvaa teköden A a B hdsvakutusta, osatekät SSA = ( SSB = ( kuvaavat teköden A a B päävakutuksa a osatekä SSE = ( k kuvaa rhmen ssästä vahtelua. T (c lkka Melln ( Test hdsvakutukselle Testsuure hdsvakutukselle a sen akauma / os teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma SSAB = ( + on suur verrattuna rhmen ssästä vahtelua kuvaavaan äännösnelösummaan SSE =( k nollahpotees H AB : E hdsvakutusta on asetettava kseenalaseks. Määrtellään F-testsuure ( SSAB FAB = ( ( SSE ossa SSAB = ( + on teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma a SSE = ( k on rhmen ssästä vahtelua kuvaava nelösumma. T (c lkka Melln (005 4 T (c lkka Melln (005 4

8 T (c lkka Melln ( Testsuure hdsvakutukselle a sen akauma / Test A-vakutukselle os havannot ovat normaalakautuneta a nollahpotees H AB : E hdsvakutusta pätee, testsuure F AB on akautunut Fshern F-akauman mukaan vapausasten ( ( a ( : FAB F(( (, ( Testsuureen F AB normaalarvo on suurlle N = N E( FAB = H AB N Suuret testsuureen F AB arvot ohtavat nollahpoteesn H AB hlkäämseen. os tekän A päävakutusta kuvaava nelösumma SSA = ( on suur verrattuna rhmen ssästä vahtelua kuvaavaan äännösnelösummaan SSE = ( nollahpotees H A : E A-vakutusta on asetettava kseenalaseks. k T (c lkka Melln ( Testsuure A-vakutukselle a sen akauma / Testsuure A-vakutukselle a sen akauma / Määrtellään F-testsuure ( SSA FA = SSE ossa SSA = ( on tekän A päävakutusta kuvaava nelösumma a on rhmen ssästä vahtelua kuvaava äännösnelösumma. SSE =( k os havannot ovat normaalakautuneta a nollahpotees H A : E A-vakutusta pätee, testsuure F A on akautunut Fshern F-akauman mukaan vapausasten ( a ( : FA F((, ( Testsuureen F A normaalarvo on suurlle N = N E( FA = H A N Suuret testsuureen F A arvot ohtavat nollahpoteesn H A hlkäämseen. T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln ( Test B-vakutukselle Testsuure B-vakutukselle a sen akauma / os tekän B päävakutusta kuvaava nelösumma SSB = ( on suur verrattuna rhmen ssästä vahtelua kuvaavaan äännösnelösummaan nollahpotees H B : E B-vakutusta on asetettava kseenalaseks. SSE =( k Määrtellään testsuure ( SSB FB = SSE ossa SSB = ( on tekän B päävakutusta kuvaava nelösumma a on äännösnelösumma. SSE = ( k T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 48

9 T (c lkka Melln ( Testsuure B-vakutukselle a sen akauma / os havannot ovat normaalakautuneta a nollahpotees H B : E B-vakutusta pätee, testsuure F B on akautunut Fshern F-akauman mukaan vapausasten ( a ( : FB F((, ( Testsuureen F B normaalarvo on suurlle N = N E( FB = HB N Suuret testsuureen F B arvot ohtavat nollahpoteesn H B hlkäämseen. Rhmen ssäsen vahtelun nelösumman SSE a kokonasnelösumman SST akaumat Vodaan osottaa, että ana pätee SSE χ ( ( σ Vodaan osottaa, että os nollahpoteest H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta pätevät, nn SST χ ( σ T (c lkka Melln ( Nelösummen SSAB, SSA, SSB akaumat Edelleen vodaan osottaa, että os nollahpoteest H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta pätevät, nn SSAB χ (( ( σ SSA χ ( σ SSB χ ( σ T (c lkka Melln (005 5 Nelösummen SSAB, SSA, SSB, SSE rppumattomuus / Varanssanalshaotelman mukaan SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Edellä estetn mukaan suureet SST SSA SSB SSAB SSE,,,, σ σ σ σ σ ovat nollahpoteesen H AB, H A, H B pätessä χ -akautuneta vapausasten, otka toteuttavat htälön = ( + ( + ( ( + ( T (c lkka Melln (005 5 Nelösummen SSAB, SSA, SSB, SSE rppumattomuus / Sten suureet SSA SSB SSAB SSE,,, σ σ σ σ ovat Cochrann lauseen mukaan rppumattoma (ks. lukua Ykssuuntanen varanssanals. Testsuureden akaumat Edellä estetn noalla testsuureet F AB, F A, F B noudattavat nollahpoteesen H AB, H A, H B pätessä Fshern F-akaumaa suoraan F-akauman määrtelmän mukaan: MSAB FAB = F(( (, ( MSE MSA FA = F((, ( MSE MSB FB = F((, ( MSE T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 54

10 T (c lkka Melln ( Testsuureden tulknnat / Testsuureden tulknnat / Testsuureet F AB, F A, F B vodaan tulkta varanssen vertalutestsuureks, ossa varanssea MSAB = SSAB, MSA = SSA, MSB = SSB ( ( verrataan rhmen ssäseen varanssn MSE = SSE ( Estmaattor MSE = SSE ( on ana harhaton havantoen k varansslle σ, mutta estmaattort MSAB = SSAB, MSA = SSA, MSB = SSB ( ( ovat harhattoma havantoen k varansslle σ van, os nollahpoteest H AB, H A, H B pätevät. T (c lkka Melln ( Varanssestmaattoreden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus /3 Tarkastelemme seuraavassa lähemmn ehtoa, oden pätessä estmaattort MSE = SSE ( SSAB MSAB = ( ( SSA MSA = SSB MSB = ovat harhattoma havantoen k varansslle σ T (c lkka Melln ( Varanssestmaattoreden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus /3 ätämme hväks stä, että kakssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall vodaan esttää muodossa (ks. tarkemmn seuraavaa kappaletta: k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa a α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = N(0, σ εk k =,,,, =,,,, =,,, T (c lkka Melln ( Varanssestmaattoreden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus 3/3 Vodaan osottaa, että nollahpoteest H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta ovat ekvvalenttea seuraaven ehtoen kanssa: H AB : ( αβ = 0, =,,,, =,,, H A : α = α = = α = 0 H B : β = β = = β = 0 Varanssestmaattorn MSE harhattomuus Vodaan osottaa, että E( MSE = E( SSE = σ ( Sten MSE on ana varanssn σ harhaton estmaattor. T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 60

11 T (c lkka Melln (005 6 Varanssestmaattorn MSAB harhattomuus Varanssestmaattorn MSA harhattomuus Vodaan osottaa, että E( MSAB = E( SSAB ( ( = + σ = = ( αβ Sten MSAB on varanssn σ harhaton estmaattor, os nollahpotees H AB : ( αβ = 0, =,,,, =,,, pätee. ( ( Vodaan osottaa, että E( MSA = E( SSA α = = σ + Sten MSA on varanssn σ harhaton estmaattor, os nollahpotees H A : α = α = = α = 0 pätee. T (c lkka Melln (005 6 Varanssestmaattorn MSB harhattomuus Varanssanalstaulukko / Vodaan osottaa, että E( MSB = E( SSB β = = σ + Sten MSB on varanssn σ harhaton estmaattor, os nollahpotees H B : β = β = = β = 0 pätee. Vahtelun lähde A B AB äännös okonasvahtelu SS SSA SSB SSAB SSE SST df ( ( ( MS MSA = SSA/df MSB = SSB/df MSAB = SSAB/df MSE = SSE/df F F A = MSA/MSE F B = MSB/MSE F AB = MSAB/MSE T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln ( Varanssanalstaulukko / akssuuntanen varanssanals Varanssanalstaulukon nelösummat toteuttavat htälön SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Yhtälö on varanssanalshaotelma. Varanssanalstaulukon nelösummen vapausasteet toteuttavat htälön N = =( + ( + ( ( + ( Varanssanals: ohdanto >> akssuuntasen varanssanalsn malln parametren estmont T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 66

12 T (c lkka Melln ( akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront /3 akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall vodaan parametroda seuraavalla tavalla: ( k = µ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa äännöstermt ε k ovat rppumattoma a normaalakautuneta: εk N(0, σ k =,,,, =,,,, =,,, Mallssa ( k = -muuttuan k. havantoarvo rhmässä (, µ = -muuttuan odotusarvo rhmässä (, akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront /3 E-satunnaset vakot µ, =,,,, =,,, a äännösvaranss σ ovat kakssuuntasen varanssanalsn tlastollsen malln ( k = µ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, parametrea. T (c lkka Melln ( akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront 3/3 Malla ( koskevsta oletukssta seuraa, että E( k = µ k =,,,, =,,,, =,,, a D( k = σ k =,,,, =,,,, =,,, akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront /3 akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall vodaan parametroda mös seuraavalla tavalla: ( k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = a äännöstermt ε k ovat rppumattoma a normaalakautuneta: εk N(0, σ k =,,,, =,,,, =,,, T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln ( akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront /3 E-satunnaset vakot µ α, =,,, β, =,,, (αβ, =,,,, =,,, a äännösvaranss σ ovat kakssuuntasen varanssanalsn tlastollsen malln ( k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, parametrea. akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront 3/3 Malla ( koskevsta oletukssta seuraa, että E( k = µ + α + β + ( αβ k =,,,, =,,,, =,,, a D( k = σ k =,,,, =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 7 T (c lkka Melln (005 7

13 T (c lkka Melln ( Parametronten a vertalu / Parametronten a vertalu / Mallssa ( k = µ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, -havannot estetään rhmäkohtasten odotusarvoen µ, =,,,, =,,, avulla. Mallssa ( k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, -havannot estetään seuraaven teköden summana: Ylesodotusarvo µ Rhmttelevän tekän A tason vakutus (efekt α =,,, Rhmttelevän tekän B tason vakutus (efekt β =,,, Yhdsvakutus (αβ =,,,, =,,, T (c lkka Melln ( Parametronten a ekvvalenss /4 Parametronten a ekvvalenss /4 Mallt ( a ( ovat ekvvalenttea mallt on van parametrotu er tavolla. Määrtellään µ = µ = µ = µ = µ = µ = µ = µ = = = = rotetaan dentteett = µ + ( µ µ + ( µ µ k a merktään α = µ µ + ( µ µ µ + µ + ( µ k β = µ µ ( αβ = µ µ µ + µ ε = µ k k T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln ( Parametronten a ekvvalenss 3/4 Parametronten a ekvvalenss 4/4 Tällön = α = 0 = β = 0 ( αβ = ( αβ = 0 = = Sten = µ + ε k k = µ + ( µ µ + ( µ µ + ( µ µ µ + µ + ( k µ = µ + α + β + ( αβ + ε k k k ovat kakssuuntasen varanssanalsn tlastollsen malln ekvvalenttea estsmuotoa. T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 78

14 T (c lkka Melln ( Nollahpoteesen ekvvalenss aks- a useampsuuntanen varanssanals Edellä estetstä seuraa, että nollahpoteest H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta ovat ekvvalenttea seuraaven ehtoen kanssa: H AB : ( αβ = 0, =,,,, =,,, H A : α = α = = α = 0 H B : β = β = = β = 0 Varanssanals: ohdanto >> akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont T (c lkka Melln ( akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn mall akssuuntasen varanssanalsn mall vodaan parametroda seuraavalla tavalla: k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = a äännöstermt ε k ovat rppumattoma a normaalakautuneta: εk N(0, σ k =,,,, =,,,, =,,, akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort / Malln k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = parametrt vodaan estmoda penmmän nelösumman menetelmällä. T (c lkka Melln (005 8 T (c lkka Melln (005 8 akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort / Parametren PNS-estmaattoreks saadaan ˆ µ = ˆ α =, =,,, ˆ β =, =,,, ( ˆ αβˆ = +, =,,,, =,,, akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto /5 Estmodaan malln k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = parametrt PNS-menetelmällä. T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 84

15 T (c lkka Melln ( akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto /5 Etstään nelösumman SS = ( µ α β ( αβ k = = = k mnm parametren suhteen tavanomaseen tapaan: ( Dervodaan nelösumma SS parametren suhteen. ( Merktään dervaatat nollks. ( Ratkastaan saadut normaalhtälöt parametren suhteen ottamalla huomoon sde-ehdot α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto 3/5 Normaalhtälöt ovat seuraavaa muotoa: = = = = ( µ : µ + α + β + ( αβ = ( α : µ + α + β + ( αβ = =,,, (3 β : µ + α + β + ( αβ =,,, = (4 ( αβ : µ + α + β + ( αβ = =,,,, =,,, = = = = T (c lkka Melln ( akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto 4/5 Huomaa, että parametren lukumäärä normaalhtälössä on a htälöden lukumäärä on mös Yhtälöt ovat kutenkn lparametrotua: ( Yhtälöden ( summana saadaan htälö (. ( Yhtälöden (3 summana saadaan htälö (. ( Yhtälöden (4 summana saadaan knteälle htälö (. Yhtälöden (4 summana saadaan knteälle htälö (3. Sten htälössteemn htälöden välllä on + + lneaarsta rppuvuutta a ssteemllä e ole kskästtestä ratkasua. akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto 5/5 Yhtälössteem vodaan kutenkn ratkasta ottamalla huomoon sdeehdot α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = Huomaa, että rppumattomen sde-ehtoen lukumäärä on htälössteemn ratkasemseks tarvttava + + Ratkasuks saadaan ottamalla o. sde-ehdot huomoon ˆ µ = ˆ α =, =,,, ˆ β =, =,,, ( ˆ αβˆ = +, =,,,, =,,, T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln ( akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln sovtteet a resduaalt Estmodun malln sovtteet saadaan htälöstä ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k = µ + α + β + ( αβ = + ( + ( + ( + = k =,,,, =,,,, =,,, Estmodun malln resduaalt saadaan htälöstä e ˆ k = k k = k k =,,,, =,,,, =,,, akssuuntanen varanssanals Varanssanals: ohdanto akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont >> T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 90

16 T (c lkka Melln (005 9 Havannot Rhmäsummat, reunasummat a kokonassumma Olkoon k = k. havanto tekän A tason a tekän B tason määräämässä rhmässä (, k =,,, =,,, =,,, Määrtellään seuraavat summat: T = k k = T = = T k = k= = T = = T k = k= = T = = T = T = T k = = k= = = = = =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 9 Havantoarvoen nelöden summat Määrtellään tekän A tason a tekän B tason määräämän rhmän (, havantoarvoen k nelöden summa kaavalla k, =,,,, =,,, k = a kakken havantoarvoen k nelöden kokonassumma kaavalla k = = k= Rhmäkeskarvoen, reunakeskarvoen a kokonaskeskarvon laskemnen Havantoarvoen rhmäkeskarvot saadaan kaavolla = k,,,,,,,, = k T = = = reunakeskarvot saadaan kaavolla = k = T, =,,, = k= = k = T, =,,, = k = a kokonaskeskarvo saadaan kaavalla = T k = = = k= T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln ( Rhmävaranssen a kokonasvaranssn laskemnen Havantoarvoen rhmävaransst saadaan kaavolla s,,,,,,,, T = = = = a kokonasvaranss saadaan kaavalla s T = k = = = okonasnelösumman sekä päävakutusten nelösummen laskemnen okonasnelösumma SST vodaan laskea kaavalla SST = ( k = k T = = k= = = k= Tekän A päävakutusta kuvaava nelösumma SSA saadaan kaavalla SSA = ( T T = = = a tekän B päävakutusta kuvaava nelösumma SSB saadaan kaavalla SSB = ( T T = = = T (c lkka Melln ( T (c lkka Melln (005 96

17 T (c lkka Melln ( Yhdsvakutuksen nelösumman laskemnen äännösnelösumman laskemnen Teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma SSAB kannattaa laskea kahdessa vaheessa. Lasketaan ensn rhmäkeskarvoen kokonasvahtelua kuvaava nelösumma SS = ( T T = = = = = Teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma SSAB saadaan kaavalla SSAB = ( + = = = SS SSA SSB Rhmen ssästä vahtelua kuvaava äännösnelösumma SSE saadaan varanssanalshaotelman noalla kaavalla SSE = SST SSA SSB SSAB ta kaavalla SSE = SST SS T (c lkka Melln ( Laskutomtusten ärestämnen taulukoks / Laskutomtusten ärestämnen taulukoks / Havannot kannattaa ärestää seuraavaks taulukoks: A A A B,,,,,,,,, B,,,,,,,,, B,,,,,,,,, k k k k k k k k k Taulukosta lasketaan havantoarvoen nelöden kokonassumma k = = k= a okasen solun (, havantoarvoen summa T = k, =,,,, =,,, k = T (c lkka Melln ( Muden tarvttaven summen laskemnen ärestetään taulukoks seuraavalla tavalla: A A A Summa B T T T T B T T T T B T T T T Summa T T T T ossa ss T = k, =,,,, =,,, k = on solun (, havantoarvoen summa. T (c lkka Melln (005 00

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tlastollsen analyysn perusteet, evät 007. luento: Johdatus varanssanalyysn S ysteemanalyysn Laboratoro Ka Vrtanen Kertaus: ahden rppumattoman otosen t-test () () Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat: Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,

Lisätiedot

on tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:

on tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset: Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä

Lisätiedot

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa: Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,

Lisätiedot

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat: Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,

Lisätiedot

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?

Lisätiedot

Testaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.

Testaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen. Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser

Lisätiedot

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

3.5 Generoivat funktiot ja momentit 3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2 HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit (2)

6. Stokastiset prosessit (2) Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen

Lisätiedot

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst

Lisätiedot

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän

Lisätiedot

5. Datan käsittely lyhyt katsaus

5. Datan käsittely lyhyt katsaus 5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 4..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 5 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla

Lisätiedot

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut) J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72

Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla

Lisätiedot

Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio

Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi- a useampisuutaie variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Sisälls

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1

Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest

Lisätiedot

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI

1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Estmaatt, Estmaattor, Estmot, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvarass,

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Yrityksen teoria ja sopimukset

Yrityksen teoria ja sopimukset Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu

Lisätiedot

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät

Lisätiedot

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio? Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?

Lisätiedot

Kollektiivinen korvausvastuu

Kollektiivinen korvausvastuu Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...

Lisätiedot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat

Lisätiedot

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,

Lisätiedot

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö: Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat: MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot