Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
|
|
- Maria Kahma
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi- a useampisuutaie variassiaalsi Ila Melli 44
2 Variassiaalsi Ila Melli 44
3 Variassiaalsi Sisälls 0. YSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 446 AHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOSEN T-TESTI 446 VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 446 VARIANSSIANALYYSIN NIMI YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 446 YSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA OESUUNNITTELU YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 448 HAVAINNOT JA NIIDEN ESIARVOT 448 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 449 TESTI ODOTUSARVOJEN SAMUUDELLE 45 OONAISNELIÖSUMMAN SST JAAUMA JA VAPAUSASTEET 45 RYHMIEN VÄLISEN VAIHTELUN NELIÖSUMMAN SSG JAAUMA JA VAPAUSASTEET 453 RYHMIEN SISÄISEN VAIHTELUN NELIÖSUMMA SSE JA VAPAUSASTEET 454 COCHRANIN LAUSE 456 YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN F-TESTISUUREEN JAAUMA 457 YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN F-TESTISUUREEN TULINTA 458 VARIANSSIESTIMAATTORIN MSE HARHATTOMUUS 458 VARIANSSIESTIMAATTORIN MSG HARHATTOMUUS 460 VARIANSSIANALYYSITAULUO YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA SEN PARAMETROINTI 464 PARAMETROINTI 464 PARAMETROINTI 464 PARAMETROINTIEN JA EVIVALENSSI 465 YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA YLEINEN LINEAARINEN MALLI YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 467 YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI 467 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI 468 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI YHTÄ SUURTEN ODOTUSARVOJEN TAPAUSESSA 469 TESTI ODOTUSARVOJEN SAMUUDELLE 470 SOVITTEET JA RESIDUAALIT YSISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN MATRIISIESITYS 47 MATRIIISIESITYS 47 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI LASUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN BARTLETTIN TESTI 477 TESTAUSASETELMA 477 TESTISUURE JA SEN JAAUMA ODOTUSARVOPARIEN VERTAILU 478 LUOTTAMUSVÄLIT JA ODOTUSARVOJEN PARIVERTAILU 479 TESTIT JA ODOTUSARVOJEN PARIVERTAILU 480 LUOTTAMUSVÄLIEN JA TESTIEN EVIVALENSSI 48 SIMULTAANISET LUOTTAMUSVÄLIT JA TESTIT 48 BONFERRONIN EPÄYHTÄLÖ 48 BONFERRONIN EPÄYHTÄLÖ JA SIMULTAANISET TESTIT ONTRASTIT 483 ONTRASTI 483 ONTRASTIEN ESTIMOINTI 484 ONTRASTEJA OSEVAT TESTIT 484 Ila Melli 443
4 Variassiaalsi ONTRASTIEN LUOTTAMUSVÄLIT 487 ORTOGONAALISTEN ONTRASTIEN TESTAAMINEN 487. ASISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 49 AHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOSEN T-TESTI 49 VARIANSSIANALYYSIN PERUSONGELMA 49.. ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 49 INTERATIO: HAVAINNOLLISTUS 493 ASISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA OESUUNNITTELU ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 494 HAVAINTOJEN ESIARVOT 494 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 495 ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN TESTIT 497 NELIÖSUMMIEN JAAUMAT 499 VARIANSSIESTIMAATTOREIDEN HARHATTOMUUS 50 VARIANSSIANALYYSITAULUO ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI JA SEN PARAMETROINTI 503 PARAMETROINTI 503 PARAMETROINTI 504 PARAMETROINTIEN JA EVIVALENSSI ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLIN PARAMETRIEN ESTIMOINTI 506 ASISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN MALLI 506 PIENIMMÄN NELIÖSUMMAN ESTIMOINTI 507 SOVITTEET JA RESIDUAALIT LASUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN 509. OLMI- JA USEAMPISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI 5.. VARIANSSIANALYYSI: JOHDANTO 53 AHDEN RIIPPUMATTOMAN OTOSEN T-TESTI 53 VARIANSSIANALYYSIN PERUSONGELMA 53.. OLMISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA SEN MALLI 53 OLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN PERUSASETELMA 53 OLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN TILASTOLLINEN MALLI 55 OLMISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI JA OESUUNNITTELU OLMISUUNTAISEN VARIANSSIANALYYSIN SUORITTAMINEN 56 HAVAINTOJEN ESIARVOT 56 VARIANSSIANALYYSIHAJOTELMA 57 TESTISUUREET JA NIIDEN JAAUMAT 59 VARIANSSIANALYYSITAULUO 5.4. LASUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN 5 Ila Melli 444
5 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.. Variassiaalsi: Johdato 0. Ysisuutaie variassiaalsi a se suorittamie 0.3. Ysisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti 0.4. Ysisuutaise variassiaalsi malli parametrie estimoiti 0.5. Ysisuutaise variassiaalsi malli matriisiesits 0.6. Lasutoimituste suorittamie 0.7. Bartletti testi 0.8. Odotusarvoparie vertailu 0.9. otrastit Ysisuutaie variassiaalsi o tilastollie meetelmä, ossa perusouo aetaa rhmii hde rhmittelevä teiä suhtee a tavoitteea o testata hpoteesia, oa muaa iiostuse ohteea oleva muuttua rhmäohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. asi- tai useampisuutaisessa variassiaalsissa perusouo aetaa rhmii ahde tai useamma rhmittelevä teiä suhtee a tällöii tavoitteea o testata hpoteesia, oa muaa iiostuse ohteea oleva muuttua rhmäohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. Tässä luvussa tarastellaa sisuutaista variassiaalsia. Tarastelu ohteea ovat mm. sisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti, parametrie estimoiti, odotusarvoe htäsuuruude testaamie a lasutoimituste suorittamie. Avaisaat: Aritmeettie esiarvo, Bartletti testi, Boferroi epähtälö, Boferroi meetelmä, Cochrai lause, Estimoiti, F-testi, Fatori, Harha, Harhattomuus, Idiaattorimuuttua, Jääösvaihtelu, Jääösvariassi, χ -testi, ooaisesiarvo, ooaisvaihtelu, otrasti, Luottamuserroi, Luottamustaso, Luottamusväli, Malli, Matriisi, Meritsevstaso, Muuttua, Normaaliaauma, Neliösumma, Odotusarvo, Odotusarvoe parivertailu, Odotusarvoe simultaaie vertailu, Otos, Otostuusluu, Parametri, Parametroiti, Pieimmä eliösumma estimaattori, Pieimmä eliösumma meetelmä, Residuaali, Riippumattomuus, Rhmie sisäie vaihtelu, Rhmie välie vaihtelu, Rhmittel, Rhmä, Rhmäesiarvo, Satuaisuus, Side-ehto, Sovite, t-testi, Taso, Teiä, Testi, Vapausaste, Variassi, Variassiaalsihaotelma, Variassiaalsitauluo, Ysisuutaie variassiaalsi, Yleie lieaarie malli, Yleisesiarvo Ila Melli 445
6 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.. Variassiaalsi: Johdato ahde riippumattoma otose t-testi Moistee Tilastotiede luvu Testeä suhdeasteiollisille muuttuille tarastellaa ahde riippumattoma otose t-testiä. Testi testausasetelma o seuraava: (i) Perusouo oostuu ahdesta rhmästä. (ii) Havaiot oudattavat ummassai rhmässä ormaaliaaumaa. (iii) ummastai rhmästä o poimittu toisistaa riippumattomat satuaisotoset. (iv) Tehtävää o testata rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruutta. Variassiaalsi perusasetelma Variassiaalsi o ahde riippumattoma otose t-testi leists tilateisii, ossa perusouo oostuu ahdesta tai useammasta rhmästä: (i) Perusouo oostuu ahdesta tai useammasta rhmästä. (ii) Havaiot oudattavat oaisessa rhmässä ormaaliaaumaa. (iii) Joaisesta rhmästä poimitaa toisistaa riippumattomat satuaisotoset. (iv) Tehtävää o testata rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruutta. Perusouo ao rhmii voidaa tehdä hde tai useamma fatori eli teiä (muuttua) arvoe perusteella. Jos perusouo ao rhmii perustuu htee teiää, puhutaa sisuutaisesta variassiaalsista. Jos perusouo ao rhmii perustuu m teiää, puhutaa m-suutaisesta variassiaalsista. Huomautus: Tässä luvussa äsitellää sisuutaista variassiaalsia; asi- a olmisuutaista variassiaalsia äsitellää seuraavissa luvuissa. Variassiaalsi imi O hvä huomata heti äi alussa, että variassiaalsi imi saattaa ohtaa harhaa. Variassiaalsissa testause ohteea ei ole variassie htäsuuruus, vaa odotusarvoe htäsuuruus. Variassiaalsi imi ohtuu siitä, että odotusarvoe htäsuuruude testaamie perustuu eri periaatteilla määrätte variassie vertailuu; s. äsittelä alla. 0.. Ysisuutaise variassiaalsi perusasetelma Oletetaa, että tutimuse ohteea oleva perusouo voidaa aaa ahtee tai useampaa rhmää oi fatori eli teiä (muuttua) A arvoe suhtee a oletetaa, että teiällä A o tasoa, olloi aossa st rhmää. Oletetaa edellee, että rhmistä o poimittu toisistaa riippumattomat satuaisotoset, oide oot ovat,,, olloi havaitoe ooaisluumäärä o N = + + L + Ila Melli 446
7 0. Ysisuutaie variassiaalsi Oloo i = i. havaito rhmässä, i =,,,, =,,, ätetstä otatameetelmästä seuraa, että havaiot i voidaa olettaa riippumattomisi (a site mös orreloimattomisi) satuaismuuttuisi. Oletetaa, että oaisella havaiolla i o rhmässä sama odotusarvo: E( i ) = μ, i =,,,, =,,, a aiilla havaioilla i o (rhmäaosta riippumatta) sama variassi: Var( i ) = σ, i =,,,, =,,, Oletetaa lisäsi, että aii havaiot i ovat ormaaliaautueita: i N(μ, σ ), i =,,,, =,,, Haluamme testata ollahpoteesia, että rhmäohtaiset odotusarvot E( i ) = μ ovat htä suuria: H 0 : μ = μ = = μ = μ Jos ollahpoteesi H 0 rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruudesta pätee, rhmät voidaa hdistää aiissa havaitoe esimääräisiä arvoa osevissa tarasteluissa. Se siaa, os ollahpoteesi H 0 hlätää, tiedetää, että muuttua rhmäohtaiset odotusarvot eroavat toisistaa aiai ahdessa rhmässä. Jos ollahpoteesi H 0 o hlätt, rhmäohtaisia odotusarvoa voidaa verrata pareittai tai simultaaisesti toisiisa; s. appaletta Odotusarvoe vertaamie. Ysisuutaie variassiaalsi taroittaa siis ollahpoteesi testaamista. H 0 : μ = μ = = μ = μ Ysisuutaie variassiaalsi a oesuuittelu Ysisuutaista variassiaalsiä voidaa soveltaa oetuloste aalsii seuraavassa oeasetelmassa: (i) Oletetaa, että oee tavoitteea o verrata, mite äsittelt (ii) A, A,, A vaiuttavat iiostuse ohteea oleva vastemuuttua esimääräisii arvoihi. Valitaa äsittel A ohteisi aiie oee ohteisi valittue silöide ouosta satuaisesti silöä, =,,,, olloi havaitoe ooaisluumäärä o N = + + L + (iii) Mitataa vasteet eli iiostuse ohteea oleva muuttua arvot i, i =,,,, =,,,. Huomaa, että oeasetelma o tädellisesti satuaistettu: Sattuma määrää tädellisesti millaise äsittel ohteesi oee ohteisi valitut N silöä outuvat. Ila Melli 447
8 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.3. Ysisuutaise variassiaalsi suorittamie Havaiot a iide esiarvot Havaitoarvot i, i =,,,, =,,, voidaa rhmitellä seuraavalla tavalla: Rhmä : Rhmä :,,,,,, Rhmä :,,, Määritellää havaitoarvoe rhmäesiarvot aavoilla Rhmä : Rhmä : = i i = = i i = Rhmä : = i = i O odotettavissa, että rhmäesiarvot i eivät poiea palo toisistaa, os ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee. Jos rhmäohtaiset otoset hdistetää hdesi otosesi, hdistet otose havaitoarvoe leis- eli ooaisesiarvo saadaa aavalla ossa = = N i = i= N = N = + + L + o havaitoe ooaisluumäärä hdistetssä otosessa a = i, =,,, i = Ila Melli 448
9 0. Ysisuutaie variassiaalsi Variassiaalsihaotelma iroitetaa idetiteetti = ( ) + ( ) i i ossa i = havaitoarvo i poieama ooaisesiarvosta = rhmäesiarvo poieama ooaisesiarvosta i = havaitoarvo i poieama rhmäesiarvosta Ysisuutaise variassiaalsi testi ollahpoteesille H 0 : μ = μ = = μ = μ perustuu poieamie a i eliösummille. Jos ollahpoteesi H 0 pätee, o odotettavissa, että rhmäesiarvot eivät poiea ovi palo ooaisesiarvosta, olloi poieamat eivät ole itseisarvoiltaa ovi suuria. Määritellää havaitoarvoe ooaisvaihtelua uvaava ooaiseliösumma SST: SST = ( ) = i= i Jos rhmäohtaiset otoset hdistetää hdesi otosesi, saadu hdistet otose variassi o ossa = = ( i ) N N = i= s SST N = + + L + o havaitoe ooaisluumäärä hdistetssä otosessa. Määritellää rhmie välistä (sstemaattista) vaihtelua uvaava (rhmä-) eliösumma SSG: ( ) ( ) = i= = SSG = = Määritellää rhmie sisäistä vaihtelua uvaava (ääös-) eliösumma SSE: SSE = ( ) = i= i Havaitoarvoe i rhmävariassit eli rhmäohtaiset variassit i i= s = ( ), =,,, s saadaa lauseeista Ila Melli 449
10 0. Ysisuutaie variassiaalsi Site rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma SSE lausee voidaa esittää mös muodossa SSE = ( ) s = orottamalla idetiteetti = ( ) + ( ) i i potessii asi a lasemalla htee saadaa variassiaalsihaotelma ( i ) = ( ) + ( i ) = i= = i= = i= oa voidaa edellä esitette meritöe avulla iroittaa lhesti muotoo SST = SSG + SSE Perustelu: orottamalla idetiteetti = ( ) + ( ) i i potessii asi a lasemalla htee saadaa esi ( i ) = ( ) + ( i ) + ( )( i ) = i= = i= = i= = i= Variassiaalsihaotelma ( i ) = ( ) + ( i ) = i= = i= = i= tulee siis todistetusi, os ätämme, että = i= ( )( ) = 0 i Suoraa lasemalla saamme ( )( ) = ( ) ( ) i i = i= = i= = ( ) i = i= = ( ) i i = i= i= = ( ) 0= 0 = ute halusimme. Ila Melli 450
11 0. Ysisuutaie variassiaalsi Variassiaalsihaotelmassa SST = SSG + SSE havaitoe ooaisvaihtelua uvaava eliösumma SST = ( ) = i= o haotettu ahde osateiä summasi, ossa eliösumma i ( ) ( ) = i= = SSG = = uvaa rhmie välistä (sstemaattista) vaihtelua a eliösumma SSE = ( ) = i= uvaa rhmie sisäistä vaihtelua. Testi odotusarvoe samuudelle Jos rhmie välistä vaihtelua uvaava eliösumma i ( ) ( ) = i= = SSG = = o suuri verrattua rhmie sisäistä vaihtelua uvaavaa eliösummaa SSE = ( ) = i= ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ o stä asettaa seealaisesi. Määritellää F-testisuure ossa N SSG N F = = SSE N = + + L + i = = i= ( ) ( ) o havaitoe ooaisluumäärä hdistetssä otosessa. Jos havaiot ovat ormaaliaautueita a ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee, testisuure F oudattaa F-aaumaa vapausastei ( ) a (N ): F F(, N ) i Ila Melli 45
12 0. Ysisuutaie variassiaalsi Testisuuree F ormaaliarvo o E( F) = H 0 N N Huomautus: Nollahpoteesi H 0 pätiessä E(F) suurille N. Suuret testisuuree F arvot ohtavat ollahpoteesi H 0 hläämisee. Perustelemme testisuuree F aaumaa oseva tulose alla useassa osassa tarastelemalla erisee ooaiseliösumma, rhmäeliösumma a ääöseliösumma aaumia seä soveltamalla osii s. Cochrai lausetta. ooaiseliösumma SST aauma a vapausasteet Oletetaa, että ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee. Tällöi satuaismuuttua ossa SST / σ oudattaa χ -aaumaa vapausastei (N ): = ( ) ( ) i χ N i SST σ σ = = N = + + L + o havaitoe ooaisluumäärä hdistetssä otosessa. Perustelu: Oletetaa, että havaiot i ovat riippumattomia a i N(μ, σ ), i =,,,, =,,, Tällöi satuaismuuttuat i μ N(0,), =,,,, =,,, σ ovat riippumattomia, ote suoraa χ -aauma määritelmä muaa i μ = i= σ χ ( N) ossa vapausasteide luumäärä o N = + + L + orvataa lauseeessa i μ = i= σ χ ( N) tutemato parametri μ estimaattorillaa Ila Melli 45
13 0. Ysisuutaie variassiaalsi ossa siis N = i = = N = + + L + i Voidaa osoittaa, että tällöi i SST = χ N = i= σ σ ( ) Meetämme siis hde vapausastee orvatessamme parametri μ estimaattorillaa. Tämä selitt seuraavalla tavalla: (i) Havaitoarvot i (N pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o N vapausastetta. (ii) Erotuset i μ (N pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o N vapausastetta. (iii) Erotuset i (N pl) eivät voi varioida vapaasti, osa iitä sitoo si lieaarie side-ehto: = i= ( ) = 0 i (iv) ohda (iii) si lieaarie side-ehto saa χ -aauma vapausasteide luumäärä väheemää hdellä. Rhmie välise vaihtelu eliösumma SSG aauma a vapausasteet Oletetaa, että ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee. Tällöi satuaismuuttua σ σ = SSG / σ oudattaa χ -aaumaa vapausastei ( ) : SSG = χ ( ) ( ) Perustelu: Oletetaa, että havaiot i ovat riippumattomia a i N(μ, σ ), i =,,,, =,,, Tällöi satuaismuuttuat σ = i N μ,, =,,, i= ovat riippumattomia, olloi mös satuaismuuttuat μ N(0,), =,,, σ / Ila Melli 453
14 0. Ysisuutaie variassiaalsi ovat riippumattomia a suoraa χ -aauma määritelmä muaa μ χ ( ) = σ / orvataa tässä lauseeessa tutemato parametri μ estimaattorillaa ossa siis N = i = = N = + + L + i Voidaa osoittaa, että tällöi SSG χ = σ / σ = σ = ( ) = ( ) Meetämme siis hde vapausastee orvatessamme parametri μ estimaattorillaa. Tämä selitt seuraavalla tavalla: (i) esiarvot ( pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o vapausastetta. (ii) Erotuset ( μ) ( pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o vapausastetta. (iii) Erotuset ( ) ( pl) eivät voi varioida vapaasti, osa iitä sitoo si lieaarie side-ehto: = ( ) = 0 (iv) ohda (iii) si lieaarie side-ehto saa χ -aauma vapausasteide luumäärä väheemää hdellä. Rhmie sisäise vaihtelu eliösumma SSE a vapausasteet Voidaa osoittaa, että riippumatta siitä päteeö ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ vai ei, ii satuaismuuttua ossa SSE / σ oudattaa χ -aaumaa vapausastei (N ): = ( ) ( ) i χ N i SSE σ σ = = N = + + L + o havaitoe ooaisluumäärä hdistetssä otosessa. Ila Melli 454
15 0. Ysisuutaie variassiaalsi Perustelu: Oletetaa, että havaiot i ovat riippumattomia a i N(μ, σ ), i =,,,, =,,, Tällöi satuaismuuttuat i μ N(0,), i =,,,, =,,, σ ovat riippumattomia a suoraa χ -aauma määritelmä muaa i μ χ ( ), =,,, i= σ orvataa tässä lauseeessa tutemattomat parametrit μ i estimaattoreillaa = i, =,,, i = Voidaa osoittaa, että tällöi i χ ( ), =,,, i= σ Meetämme siis hde vapausastee orvatessamme parametri μ estimaattorillaa Tämä selitt seuraavalla tavalla: (i) Havaitoarvot i ( pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o vapausastetta. (ii) Erotuset i μ ( pl) voivat varioida vapaasti, ote iillä o vapausastetta. (iii) Erotuset i ( pl) eivät voi varioida vapaasti, osa iitä sitoo si lieaarie side-ehto: ( i ) = 0, =,,, i= (iv) ohda (iii) si lieaarie side-ehto saa χ -aauma vapausasteide luumäärä väheemää hdellä. osa satuaismuuttuat i i= σ ovat riippumattomia, ii χ ( ), =,,,. ossa i SSE = χ N = i= σ σ ( ) Ila Melli 455
16 0. Ysisuutaie variassiaalsi N = ( ) = = N = = Cochrai lause Cochrai lause o täreä matemaattise tilastotietee teoreema, oa avulla voidaa todistaa moet leise lieaarise malli a variassiaalsi testisuureita osevat aaumatuloset. Oletetaa, että satuaismuuttuat z i, i =,,, ν ovat riippumattomia a oudattavat stadardoitua ormaaliaaumaa N(0,): z, z,, zν z N(0,), i =,,, ν χ -aauma määritelmä muaa i Oletetaa, että ν Q= z χ ( ν ) i= i ν i L i= Q= z = Q + Q + + Q ossa s ν a Q i o eliömuoto, oa aste o r(q i ) = ν i, i =,,, s Cochrai lausee muaa eliömuodot s Q, Q,, Q s ovat riippumattomia χ -aautueita satuaismuuttuia, oide vapausteide luumäärä ovat ν, ν,, ν s, os a vai os ν = ν + ν + + ν s Cochrai lauseesta seuraa eritisesti: Oletetaa, että ossa Q= Q + Q + + Q χ ν L s ( ) Q χ ( ν ), i =,,, s i i Tällöi ν = ν + ν + + ν s o välttämätö a riittävä ehto sille, että satuaismuuttuat Q, Q,, Q s ovat riippumattomia. Ila Melli 456
17 0. Ysisuutaie variassiaalsi Ysisuutaise variassiaalsi F-testisuuree aauma Ysisuutaise variassiaalsi testi ollahpoteesille H 0 : μ = μ = = μ = μ o muotoa N SSG F = SSE ossa SSG = rhmie välistä vaihtelua uvaava eliösumma SSE = rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma a N = + + L + o havaitoe ooaisluumäärä hdistetssä otosessa. Nollahpoteesi H 0 pätiessä F F(, N ) Perustelu: Tarastellaa sisuutaise variassiaalsi F-testisuuretta N SSG F = SSE ossa SSG = rhmie välistä vaihtelua uvaava eliösumma SSE = rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma a N = + + L + o havaitoe ooaisluumäärä hdistetssä otosessa. Variassiaalsihaotelma muaa SSG + SSE = SST ossa SST = rhmie ooaisvaihtelua uvaava eliösumma Edellä o todettu, että ollahpoteesi H 0 pätiessä SST χ ( N ) σ SSG χ ( ) σ SSE χ ( N ) σ Ila Melli 457
18 0. Ysisuutaie variassiaalsi Cochrai lausee muaa eliösummat SSG a SSE ovat riippumattomia, osa variassiaalsihaotelma eliösummia vastaavat vapausasteet toteuttavat htälö N = ( ) + (N ) Site suoraa F-aauma määritelmä muaa SSG N SSG ( ) σ F = = F(, N ) SSE SSE ( N ) σ os ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee. Ysisuutaise variassiaalsi F-testisuuree tulita Testisuure N SSG F = SSE voidaa tulita variassie vertailutestisuureesi, ossa havaitoe i variassi σ estimaattoria verrataa estimaattorii MSG = SSG = ( ) = MSE = SSE = ( i ) N N = i = Estimaattori MSE = SSE N o aia harhato havaitoe i variassille σ, mutta estimaattori MSG = SSG o harhato havaitoe i variassille σ vai, os ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee. Variassiestimaattori MSE harhattomuus Estimaattori MSE = SSE N Ila Melli 458
19 0. Ysisuutaie variassiaalsi o harhato havaitoe i variassille σ : E( MSE) = σ Perustelu: Oletetaa perustelu siertaistamisesi, että = = = = olloi N = Estimaattori MSE = SSE = ( i ) N N = i = o harhato variassille σ, os E( MSE) = E( SSE) N =σ Todistamme sisi, että E(SSE) = (N )σ Huomautus: Todistusessa ei oleteta, että ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee. Ysisuutaise variassiaalsi tilastollie malli voidaa esittää seuraavassa muodossa (s. taremmi seuraavaa appaletta): = μ + ε, i =,,,, =,,, i i ossa satuaismuuttuat ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita: ε σ = = i N(0, ), i,,,,,,, Todetaa esi, että = i = μ + ε, =,,, i= ossa ε = εi, =,,, i= Satuaismuuttuat ε ovat riippumattomia a ormaaliaautueita: Lisäsi σ ε N 0,, =,,, = ε ε, i =,,,, =,,, i i Ila Melli 459
20 0. Ysisuutaie variassiaalsi Edellä esitet muaa ( i ) ( εi ε ) = i= = i= SSE = = ( εi εiε ε ) = i= = + εi ε ε = i= = = = + εi ε = i= = = = εi ε = i= Site E( SSE) = E ( i ) = i= = E εi ε = i= = E( εi ) E( ε ) = i= = = i= = σ σ = ( ) = ( ) σ = ( ) σ = ( N ) σ miä o haluttu tulos. σ σ Variassiestimaattori MSG harhattomuus Jos ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee, ii estimaattori MSG = SSG o harhato havaitoe i variassille σ : E( MSG) = σ Ila Melli 460
21 0. Ysisuutaie variassiaalsi Perustelu: Oletetaa perustelu siertaistamisesi, että = = = = olloi N = Estimaattori MSG = SSG = ( ) = o harhato variassille σ, os E( MSG) = E( SSG) =σ Todistamme, että estimaattori MSG o harhato variassille σ, os ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ pätee. Ysisuutaise variassiaalsi tilastollie malli voidaa esittää seuraavassa muodossa (s. taremmi seuraavaa appaletta): ossa = μ + τ + ε, i =,,,, i =,,, i i = τ = 0 a satuaismuuttuat ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita: ε σ = = i N(0, ), i,,,,,,, Todetaa esi, että = i = μ+ τ + ε, =,,, i= ossa ε = εi, =,,, i= Lisäsi = i = ( μ + τ + ε ) = μ + τ + ε = α + ε N N N ossa = i= = = ε = ε = ε N i = i= N = Ila Melli 46
22 0. Ysisuutaie variassiaalsi Satuaismuuttuat ε = εi, =,,, i= ovat riippumattomia a ormaaliaautueita: σ ε N 0,, =,,, Mös satuaismuuttua ε εi N = i= = o ormaaliaautuut: σ ε N 0, N Lisäsi Edellä oleva muaa = ε ε + τ, =,,, ( ) ( ε ε τ ) = = SSG = = + = ( ε ε) + τ = ( ε ε) ( ε ε) τi τ = = = = + + ( ε ε ε ε ) ( ε ε) τi τ = = = = ε ε ε ( ε ε) τ τ = = = = = ε Nε + ( ε ε) τ + τ = Site E( SSG) = E ( ) = = = = E + ( ) + ε Nε ε ε τ τ = = = E( ε ) NE( ε ) τ E( ε ε) τ = = = = + + Ila Melli 46
23 0. Ysisuutaie variassiaalsi σ σ = N + τ 0+ N = ( ) σ + Site olemme todistaeet, että τ = = = τ τ SSG = E( MSG) = E = σ + osa ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ o evivaletti ollahpoteesi H 0 : τ = τ = = τ = 0 assa (s. taremmi seuraavaa appaletta), ii ollahpoteesi H 0 pätiessä MSG o variassi σ harhato estimaattori: E(MSG) = σ Variassiaalsitauluo Variassiaalsi tuloset esitetää tavallisesti variassiaalsitauluo muodossa: Variassiaalsitauluo eliösummat toteuttavat htälö SST = SSG + SSE Yhtälö o variassiaalsihaotelma. Variassiaalsitauluo eliösummie vapausasteet df (= degrees of freedom) toteuttavat htälö N = ( ) + (N ) Vaihtelu lähde Neliösumma SS Vapausasteet df Variassiestimaattori MS F-testisuure Rhmie välie vaihtelu Rhmie sisäie vaihtelu SSG SSE N MSG = SSG MSE = SSE N F MSG = MSE N SSG = SSE ooaisvaihtelu SST N Ila Melli 463
24 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.4. Ysisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti Ysisuutaise variassiaalsi tilastollie malli voidaa parametroida ahdella erilaisella tavalla. Parametroiit ovat uitei evivalettea. Parametroiti Ysisuutaise variassiaalsi tilastollie malli voidaa parametroida seuraavalla tavalla: () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i ossa ääös- eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = -muuttua i. havaitoarvo rhmässä μ = -muuttua odotusarvo rhmässä =,,, Ei-satuaiset vaiot μ a ääösvariassi σ ovat sisuutaise variassiaalsi tilastollise malli () parametrit. Mallia () osevista oletusista seuraa, että E( ) = μ, i =,,,, =,,, i a D ( i ) = σ, =,,,, =,,, i Parametroiti Ysisuutaise variassiaalsi malli voidaa parametroida mös seuraavalla tavalla: ossa () = α + τ + ε, i =,,,, =,,, i i a (3) = i τ = 0 ε σ i = = N(0, ),,,,,,,, Ei-satuaiset vaiot μ a τ seä ääösvariassi σ ovat sisuutaise variassiaalsi tilastollise malli () parametrit. Mallia () osevista oletusista seuraa, että E( ) = μ + τ, i =,,,, =,,, i a σ i D ( i ) =, =,,,, =,,, Ila Melli 464
25 0. Ysisuutaie variassiaalsi Parametroitie a evivalessi Mallissa () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i -havaiot esitetää seuraavie teiöide summaa: μ = rhmäohtaie odotusarvo, =,,, ε i = ääöstermi, i =,,,, =,,, Mallissa () = α + τ + ε, i =,,,, =,,, ossa (3) i i = τ = 0 -havaiot esitetää seuraavie teiöide summaa: μ = leisodotusarvo τ = rhmittelevä teiä A taso A vaiutus, =,,, ε i = ääöstermi, i =,,,, =,,, aava () a aavoe () a (3) määrittelemät mallit ovat evivalettea mallit o vai parametroitu eri tavoilla. Perustelu: Määritellää ossa μ N = μ = N = + + L + iroitetaa idetiteetti = μ+ ( μ μ) + ( μ ), i =,,,, =,,, i i a meritää τ = μ μ, =,,, a μ = ε, i =,,,, =,,, i i Ila Melli 465
26 0. Ysisuutaie variassiaalsi Site = μ + ε i i = μ+ ( μ μ) + ( μ ) i i = μ+ τ + ε i i i =,,,, =,,, ossa μ = μ, N = + + L+ = N τ = μ μ, =,,,, τ = 0 = ovat sisuutaise variassiaalsi tilastollise malli evivalettea esitsmuotoa. Malli () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i ollahpoteesia H 0 : μ = μ = = μ = μ vastaa aavoe a () = α + τ + ε, i =,,,, =,,, i i (3) = τ = 0 määrittelemässä mallissa ollahpoteesi H 0 : τ = τ = = τ = 0 Malli () iiittää huomio suoraa rhmäohtaisii odotusarvoihi μ, u taas aavoe () a (3) määrittelemässä mallissa rhmäohtaiset odotusarvot μ o esitett leisodotusarvo μ a rhmittelevä teiä tasoo liittvä vaiutuse (efeti) τ summaa. Ysisuutaise variassiaalsi malli a leie lieaarie malli Ysisuutaise variassiaalsi malli o erioistapaus leisestä lieaarisesta mallista; lisätietoa: s. luua Yleie lieaarie malli. Oloo i = i. havaito rhmässä, i =,,,, =,,, Ila Melli 466
27 0. Ysisuutaie variassiaalsi Määritellää rhmäidiaattorit I i, os havaito i uuluu rhmää = 0, os havaito i ei uulu rhmää i =,,,, =,,, Tällöi sisuutaise variassiaalsi malli () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i voidaa esittää muodossa (4) = μi + μi + L+ μ I + ε, i =,,,, =,,, i i i i i Malli (4) o lieaarie regressiomalli, ossa selitettävää muuttuaa o, selittäviä muuttuia ovat rhmäidiaattorit I, =,,, a regressioertoimia ovat rhmäohtaiset odotusarvot μ, μ,, μ Malli (4) o leise lieaarise malli erioistapaus, ossa selitettävä muuttua o vatitatiivie, mutta selittäät I valitatiivisia (ategorisia) muuttuia. Huomaa, että regressiomallissa (4) ei saa olla vaiotermiä, osa se lisäämie mallii loisi selittävie muuttua arvoe välille esati lieaarise riippuvuude: Ii + Ii + L+ Ii =, i =,,, sillä aiille i täsmällee si rhmäidiaattoreista I, =,,, saa arvo = a aii muut saavat arvo = Ysisuutaise variassiaalsi malli parametrie estimoiti Ysisuutaise variassiaalsi malli Oloo () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös- eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = -muuttua i. havaitoarvo rhmässä μ = -muuttua odotusarvo rhmässä Jos ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ otetaa huomioo, malli () saa muodo Ila Melli 467
28 0. Ysisuutaie variassiaalsi () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i Pieimmä eliösumma estimoiti Tarastellaa malli () parametrie μ, =,,, pieimmä eliösumma estimoitia. Malli () parametrie μ, μ,, μ pieimmä eliösumma estimaattoreisi ˆ μ ˆ ˆ, μ,, μ saadaa havaitoarvoe rhmäesiarvot : i i= ˆ μ = =, =,,, Perustelu: Estimoidaa malli () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i parametrit μ, =,,, PNS-meetelmällä. Etsitää eliösumma = i = i = i= = i= SS( μ, μ,, μ ) ε ( μ ) miimi parametrie suhtee tavaomaisee tapaa: (i) Derivoidaa eliösumma SS( μ, μ,, μ ) parametrie μ, =,,, suhtee. (ii) Meritää derivaatat ollisi. (iii) Rataistaa saadut ormaalihtälöt parametrie μ, =,,, suhtee. Normaalihtälöisi saadaa: SS( μ, μ,, μ ) = ( μ ) μ i μ = i= = ( μ ) i= = i μ i= = 0, =,,, Normaalihtälöide rataisuisi saadaa rhmäesiarvot i ˆ μ = =, =,,, i i= Estimoidu malli sovitteet saadaa aavoilla ˆ = ˆ μ =, i =,,,, =,,, i a residuaalit aavoilla Ila Melli 468
29 0. Ysisuutaie variassiaalsi e = ˆ =, i =,,,, =,,, i i i Jääöseliösummasi saadaa rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma ( i ) i = i= = i= SSE = = e Pieimmä eliösumma estimoiti htä suurte odotusarvoe tapausessa Malli () parametri μ pieimmä eliösumma estimaattorisi ˆμ saadaa havaitoarvoe i leis- eli ooaisesiarvo : ossa a ˆ μ = = = N N = + + L + i = = N = = i, =,,, i = Perustelu: Estimoidaa malli () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i parametri μ PNS-meetelmällä. Etsitää eliösumma i i = i= = = SS( μ) = ε = ( μ) miimi tavaomaisee tapaa: (i) Derivoidaa eliösumma S(μ) parametri μ suhtee. (ii) Meritää derivaatta ollasi. (iii) Rataistaa saatu ormaalihtälö parametri μ suhtee. Normaalihtälösi saadaa: ossa SS( μ) = ( i μ) μ μ = i= = ( μ) = i= = i Nμ = i= = 0 i Ila Melli 469
30 0. Ysisuutaie variassiaalsi N = + + L + Normaalihtälö rataisusi saadaa leisesiarvo ˆ μ = i = N = i= Estimoidu malli sovitteet saadaa aavoilla ˆ = ˆ μ =, i =,,,, =,,, i a residuaalit aavoilla e = ˆ =, i =,,,, =,,, i i i i Jääöseliösummasi saadaa havaitoarvoe i ooaisvaihtelua uvaava ooaiseliösumma SST = ( ) = i= i Testi odotusarvoe samuudelle Jos ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ otetaa huomioo, että regressiomalli () ertoimille tulee asetetusi ( ) lieaarista raoitusta eli side-ehtoa: (3) μ μ = 0, =, 3,, Yleise lieaarise malli teoria muaa (s. luvu Eritissmsiä leise lieaarise malli soveltamisessa appaletta Raoitettu pieimmä eliösumma meetelmä) side-ehtoe (3) testaamie voidaa perustaa F-testisuureesee N SST SSE F = SSE ossa SST = ( ) = i= i o havaitoarvoe i ooaisvaihtelua uvaava ooaiseliösumma a SSE = ( ) = i= i o rhmie sisäistä vaihtelua uvaava ääöseliösumma. Ottamalla huomioo variassiaalsihaotelma SST = SSG + SSE testisuure F voidaa iroittaa mös muotoo Ila Melli 470
31 0. Ysisuutaie variassiaalsi ossa N SSG F = SSE ( ) ( ) = i= = SSG = SST SSE = = o rhmie välistä (sstemaattista) vaihtelua uvaava rhmäeliösumma. Jos side-ehdot (3) pätevät, testisuure F oudattaa F-aaumaa vapausastei ( ) a (N ): F F(, N ) Suuret testisuuree F arvot viittaavat siihe, että ollahpoteesi H 0 o stä hlätä. Sovitteet a residuaalit ute edellä o todettii, estimoidu sisuutaise variassiaalsi malli sovitteet saadaa aavoilla ˆ = ˆ μ =, i =,,,, =,,, i a estimoidu malli residuaalit saadaa aavoilla e = ˆ =, i =,,,, =,,, i i i Malli residuaalit o aia stä alistaa samalaisii diagostisii taristusii ui miä tahasa regressiomalli residuaalit. Residuaalie avulla voidaa selvittää oo havaitoe ouossa poieavia havaitoa seä pätevätö malli ääöstermeistä tehdt homosedastisuus-, orreloimattomuus- a ormaalisuusoletuset; s. sitisohtia luvusta Regressiodiagostiia Ysisuutaise variassiaalsi malli matriisiesits Oloo () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös- eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = -muuttua i. havaitoarvo rhmässä μ = -muuttua odotusarvo rhmässä Määritellää rhmäidiaattorit, os havaito i uuluu rhmää Ii = 0, os havaito i ei uulu rhmää i =,,,, =,,, Ila Melli 47
32 0. Ysisuutaie variassiaalsi Tällöi sisuutaise variassiaalsi malli () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i voidaa esittää muodossa () = μi + μi + L+ μ I + ε, i =,,,, =,,, i i i i i Matriiisiesits Yhtälöt () voidaa iroittaa matriisei seuraavassa muodossa: 00L0 M M M M M 00 0 L 00L0 M M M M M μ 00L0 μ μ = 3 + M M M M L M M M M M M M μ M M M M L M 000L M M M M 000 M L ε M ε ε M ε M M M ε M ε Esitetää tämä matriisihtälö muodossa = Xμ + ε ossa = havaitoarvoe i muodostama N-vetori, N = + + L + X = ollie a öste muodostama täsiasteie N -matriisi μ = regressioertoimie (= rhmäodotusarvoe) muodostama -vetori ε = ääöstermie ε o muodostama N-vetori Huomaa, että matriisi X oaisella rivillä o täsmällee si öe a muut aliot o. rivillä ovat ollia. Pieimmä eliösumma estimoiti Regressioertoimie vetori μ PNS-estimaattori o μˆ = ( XX ) X Ila Melli 47
33 0. Ysisuutaie variassiaalsi Matriisi X erioise raetee taia ähdää helposti, että matriisi X X o diagoaalimatriisi: Lisäsi 0 0 L L 0 = diag(,,, ) = L 0 XX Σ Σ X = Σ M Σ i i i3 osa X X o diagoaalimatriisi, ii i M M M O M L 0 0 L L 0 = = 0 0 L 0 3 M M M O M L ( XX) diag(/,/,,/ ) Site regressioertoimie vetori μ PNS-estimaattorisi ˆμ saadaa rhmäesiarvoe muodostama vetori: = i, =,,, i = Σ i Σ = = = Σ M Σ i i μˆ ( XX ) X 3 i3 3 M Edellä todettii, että os ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ otetaa huomioo, ii malli Ila Melli 473
34 0. Ysisuutaie variassiaalsi () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i saa muodo (3) = μ + ε, i =,,,, =,,, i i Yhtälöt (3) voidaa iroittaa matriisei seuraavaa muotoo: ε M M M ε ε M M M ε = μ + M M M M M M M M M ε M M M ε Esitetää tämä matriisihtälö muodossa = μ + δ ossa = havaitoarvoe i muodostama N-vetori, N = + + L + = öste muodostama N-vetori μ = regressioerroi δ = ääöstermie δ i muodostama N-vetori Regressioertoime μ PNS-estimaattori o Helposti ähdää, että a Site ˆ μ = ( ) = N =ΣΣ i ( ) = N a regressioertoime μ PNS-estimaattorisi ˆμ saadaa havaitoarvoe leisesiarvo : Ila Melli 474
35 0. Ysisuutaie variassiaalsi ˆ μ = ( ) = ΣΣ i = N 0.7. Lasutoimituste suorittamie Oloo () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös- eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = -muuttua i. havaitoarvo rhmässä μ = -muuttua odotusarvo rhmässä Määritellää rhmä =,,, havaitoarvoe i summa aavalla T = i, =,,, i= a aiie havaitoarvoe i ooaissumma aavalla Oloo lisäsi i = i= = T = = T N = + + L + havaitoe ooaisluumäärä. Havaitoarvoe rhmäesiarvot saadaa aavoilla = T, =,,, a havaitoarvoe leisesiarvo saadaa aavalla = T N Edellee ooaiseliösumma SST voidaa iroittaa muotoo ( i ) i = i= = i= N SST = = T a rhmie välistä vaihtelua uvaava eliösumma SSG voidaa iroittaa muotoo ( ) ( ) = i= = = N SSG = = = T T Ila Melli 475
36 0. Ysisuutaie variassiaalsi Variassiaalsihaotelmasta seuraa, että rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma SSE saadaa aavalla SSE = SST SSG F-testisuure ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ testaamisesi o muotoa N SSG F = SSE Bartletti testissä (s. alla) tarvittavat rhmäohtaiset variassit saadaa aavoilla s = ( i ) = i T,,,, i= = i= Site sisuutaise variassiaalsi perustehtävie suorittamisesi riittää lasea seuraavat summat a eliösummat: T = i, =,,, i= T = = T i = i= = i = i=,,,, = i= Lasutoimituset voidaa ärestää esimerisi seuraava tauluo muotoo: i Rhmä Rhmä L Rhmä Summa L N = = L M M M L = i = i= i i L = = i= i = = T T T T T T T L T i i L i i i i = = = = i= i Ila Melli 476
37 0. Ysisuutaie variassiaalsi 0.8. Bartletti testi Bartletti testi o tilastollie testi, olla voidaa testata sisuutaise variassiaalsi oletusta havaitoe rhmäohtaiste variassie htäsuuruudesta. Testausasetelma Oloo () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli. Mallissa () Oloo lisäsi i = -muuttua i. havaitoarvo rhmässä μ = -muuttua odotusarvo rhmässä N = + + L +. havaitoe ooaisluumäärä. Tehdää oletus, että ääös- eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, Oletuse muaa rhmäohtaiset variassit σ i D ( i ) =, =,,,, =,,, voivat erota toisistaa. Ysisuutaise variassiaalsi F-testi ollahpoteesille H 0 : μ = μ = = μ = μ oaa oletusee, oa muaa aiilla havaioilla i o (rhmästä riippumatta) sama variassi: Asetetaa sisi ollahpoteesi Testisuure a se aauma σ i D ( i ) =, =,,,, =,,, H : σ = σ = L = σ = σ 0 Määritellää havaitoarvoe i rhmäohtaiset otosvariassit s aavalla ossa i i= s = ( ), =,,, = i, =,,, i = Ila Melli 477
38 0. Ysisuutaie variassiaalsi o rhmä i havaitoarvoe aritmeettie esiarvo a rhmäohtaisista otosvariasseista hdistett variassi s P aavalla Bartletti testisuure o Q B = h ossa s = s = SSE = MSE N N P ( ) = ( )log( P ) ( )log( ) = Q= N s s a h = + 3( ) = N Jos ollahpoteesi H 0 : σ = σ = L = σ = σ pätee, Bartletti testisuure B oudattaa suurissa otosissa approsimatiivisesti χ -aaumaa vapausastei ( ): B a χ ( ) Testisuuree B ormaaliarvo o suurissa otosissa approsimatiivisesti ( ), osa ossa E( χ ) = χ χ ( ) Site suuret testisuuree χ arvot viittaavat siihe, että ollahpoteesi H 0 o stä hlätä Odotusarvoparie vertailu Oloo () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös- eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, s Mallissa () Oloo lisäsi i = -muuttua i. havaitoarvo rhmässä μ = -muuttua odotusarvo rhmässä N = + + L + Ila Melli 478
39 0. Ysisuutaie variassiaalsi havaitoe ooaisluumäärä. Jos sisuutaise variassiaalsi ollahpoteesi H 0 : μ = μ = = μ = μ hlätää tiedetää, että aiai asi odotusarvoista μ, =,,, eroaa tilastollisesti meritsevästi toisistaa. Jos ollahpoteesi H 0 hlätää, variassiaalsia voidaa ataa rhmittelllä, ossa selvitetää missä rhmissä odotusarvoe erot ovat tilastollisesti meritseviä. Vertailu voidaa tehdä ättämällä luottamusväleä tai testeä. Luottamusvälit a odotusarvoe parivertailu Oletetaa, että haluamme verrata odotusarvoa μ a μ l. Odotusarvoe vertailu voidaa tehdä site, että ostruoidaa odotusarvoe μ a μ l erotuselle μ μ l luottamusväli a tutitaa uuluuo olla ostruoituu välii vai ei. ätetää erotuse μ μ l luottamusväliä väliä ossa ( l) ± tα sp + P ( ) = o s. hdistett variassi, ossa s = s = SSE = MSE N N i i= s = ( ), =,,, l o havaitoarvoe i variassi rhmässä i a luottamustasoa ( α) vastaavat luottamusertoimet t α/ a +t α/ o valittu site, että Pr( t t + t ) = α/ α/ α ossa satuaismuuttua t oudattaa t-aaumaa vapausastei (N ): t t( N ) Huomautusia: Tässä esitett luottamusväli aava eroaa tavaomaisesta ahde riippumattoma ormaaliaautuee otose tapausessa o. aaumie odotusarvoe erotuse luottamusväli aavasta site, että hdistet variassi s P aavassa o hdistett otosvariassit aiista rhmistä eiä vai rhmistä a l. ostruoidut luottamusvälit eivät ole simultaaisia, vaa osevat vai rhmie a l odotusarvoa. Ila Melli 479
40 0. Ysisuutaie variassiaalsi Tehtävie parivertailue luumäärä o ( ) = Testit a odotusarvoe parivertailu Oletetaa, että haluamme verrata odotusarvoa μ a μ l. Odotusarvoe vertailu voidaa tehdä site, että testataa ollahpoteesia H 0 : μ μ l = 0 vaihtoehtoista hpoteesia H : μ μ l 0 vastaa. ätetää testisuureea t-testisuuretta l t = sp + aavassa P ( ) = o s. hdistett variassi, ossa l s = s = SSE = MSE N N i i= s = ( ), =,,, o havaitoarvoe variassi rhmässä i. Jos ollahpoteesi H 0 : μ μ l = 0 pätee, ii testisuure t oudattaa t-aaumaa vapausastei (N ): t t( N ) Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot ohtavat ollahpoteesi hläämisee. Huomautusia: Tässä ätettävä testisuuree aava eroaa tavaomaisesta ahde riippumattoma otose t-testi aavasta site, että hdistet variassi s P aavassa o hdistett otosvariassit aiista rhmistä eiä vai rhmistä a l. ostruoidut testit eivät ole simultaaisia, vaa osevat vai rhmie a l odotusarvoa. Ila Melli 480
41 0. Ysisuutaie variassiaalsi Tehtävie parivertailue luumäärä o ( ) = Luottamusvälie a testie evivalessi Edellä esitett luottamusväleä ättävä meettel, ossa luottamustasosi valitaa luu α a edellä esitett testausmeettel, ossa meritsevstasosi valitaa luu α ovat evivalettea. Simultaaiset luottamusvälit a testit Simultaaiste luottamusvälie tai testie ostruoimisee o useita erilaisia meetelmiä. Simultaaiset luottamusvälit tai testit ovat tavallisesti uitei vai approsimatiivisia. Boferroi meetelmässä ätetää parivertailue luottamusväleä tai testeä, mutta luu α orvataa luvulla α/m ossa m o tehtävie parivertailue luumäärä: ( ) m = = Boferroi epähtälö Oloot A, A,, A m tapahtumia. Tällöi pätee Boferroi epähtälö c c c Pr( A A L Am) Pr( A) + Pr( A) + L + Pr( Am) Perustelu: Todistetaa Boferroi epähtälö tapausessa m =. Yleie tapaus voidaa todistaa samaa tapaa ui tapaus m = ättäe idutiota. Oloot siis A a A asi otosavaruude S tapahtumaa. Tällöi leisestä hteelasusääöstä seuraa, että Pr( A A ) = Pr( A ) + Pr( A ) Pr( A A ) Pr( A ) + Pr( A ) () c c c c c c c c De Morgai lai muaa A A = ( A A ) c c c Ila Melli 48
42 0. Ysisuutaie variassiaalsi Site omplemettitapahtuma todeäöisde sääöstä a aavasta () seuraa, että Pr( A A ) = Pr(( A A ) ) = Pr( A A ) [Pr( A ) + Pr( A )] c c c c c c c Boferroi epähtälö a simultaaiset testit Boferroi meetelmä odotusarvoe vertailussa perustuu Boferroi epähtälöö. Oletetaa, että tehtävää o suorittaa m tilastollista testiä. Tarastellaa todeäöisttä α, että vähitää si testie ollahpoteeseista hlätää virheellisesti. Määritellää tapahtuma A i = Nollahpoteesia ei hlätä virheellisesti testissä i, i =,,, m Tällöi c A i = Nollahpoteesi hlätää virheellisesti testissä i, i =,,, m Jos aiissa odotusarvoe vertailutesteissä ätetää samaa meritsevstasoa α, ii Pr( A) = α, i =,,, m a i c Pr( A ) = α, i =,,, m i Jos testit i =,,, m ovat riippumattomia, ii todeäöiss, että ollahpoteesia ei hlätä virheellisesti hdessäää testissä o Pr( A A L A ) = Pr( A) Pr( A ) L Pr( A ) m Jos oaisessa testissä ätetää meritsevstasoa samaa luua α, ii tällöi Pr( A A L A ) = ( α) m m a site α = Pr( Vähitää si virheellie hläs ) = ( α) m Jos testit i =,,, m riippuvat toisistaa, ii tämä htälö pätee vai approsimatiivisesti. Boferroi epähtälö muaa Pr( Ei htää virheellistä hlästä ) = Pr( A A L Am ) c c c [Pr( A ) + Pr( A ) + L+ Pr( A )] Jos oaisessa testissä ätetää meritsevstasoa samaa luua α, ii saamme epähtälö Pr( Ei htää virheellistä hlästä ) mα Site vähitää hde virheellise hläse todeäöisdelle α o saatu arvio α = Pr( Vähitää si virheellie hläs ) = Pr( Ei htää virheellistä hlästä ) mα m m Ila Melli 48
43 0. Ysisuutaie variassiaalsi Site valita taaa se, että α = β/m α β 0.0. otrastit Oloo () = μ + ε, i =,,,, =,,, i i sisuutaise variassiaalsi tilastollie malli, ossa ääös- eli virhetermit ε i ovat riippumattomia a ormaaliaautueita satuaismuuttuia: Mallissa () Oloo lisäsi ε σ i = = i N(0, ),,,,,,,, i = -muuttua i. havaitoarvo rhmässä μ = -muuttua odotusarvo rhmässä N = + + L + havaitoe ooaisluumäärä. otrasti Parametrie μ, μ,, μ lieaariombiaatio o otrasti, os Γ= c μ = otrastit = c = 0 a Γ= c μ = Δ= d μ = ovat ortogoaalisia, os = cd = 0 Ila Melli 483
44 0. Ysisuutaie variassiaalsi Jos = = = = ii otrastit Γ a Δ ovat ortogoaalisia, os = cd = 0 otrastie estimoiti Oloo otrasti C = c = estimaattori, ossa Γ= c μ = = i, =,,, = o havaitoarvoe aritmeettie esiarvo rhmässä a, =,,, o rhmä oo. Ysisuutaise variassiaalsi mallista tehdistä oletusista seuraa, että estimaatori C oudattaa ormaaliaaumaa: ossa C μ σ N( C, C) a μ = E( C) = c μ =Γ σ C = C = D( C) = σ = c otrastea osevat testit Asetetaa ollahpoteesi H : Γ= c μ = 0 0 = a sille asisuutaie vaihtoehtoie hpoteesi H: Γ= c μ 0 = Ila Melli 484
45 0. Ysisuutaie variassiaalsi Määritellää F-testisuure ossa c = F = c MSE = = = i, =,,, o havaitoarvoe aritmeettie esiarvo rhmässä,, =,,, o rhmä oo a ( i ) ( ) = i= = SSE MSE = = = s N N N rhmie sisäistä vaihtelua uvaava eliösumma, ossa N = havaitoe ooaisluumäärä a i i= s = ( ), =,,, o havaitoarvoe variassi rhmässä. Jos ollahpoteesi H : Γ= c μ = 0 0 = pätee, ii testisuure F oudattaa F-aaumaa vapaustei a (N ): F F(, N ) Suuret testisuuree F arvot ohtavat ollahpoteesi H 0 hläämisee. Perustelu: Oloo C Q = D( C) ossa a C = c = Ila Melli 485
46 0. Ysisuutaie variassiaalsi Jos ollahpoteesi c D( C) = σ = pätee, ii Oloo ossa H : Γ= c μ = 0 Q Q 0 = χ () SSE = σ ( i ) ( ) = i= = SSE = = s Voidaa osoittaa, että (s. appaletta Ysisuutaie variassiaalsi a se suorittamie) ossa Q N χ ( ) N = + + L + Määritellää F-testisuure Q / Q F = = ( N ) Q /( N ) Q osa eliösummat Q a Q ovat riippumattomia, F F(, N ) Todetaa lopusi, että testisuure F voidaa iroittaa muotoo ossa c = F = c MSE = ( i ) ( ) = i= = SSE MSE = = = s N N N Ila Melli 486
47 0. Ysisuutaie variassiaalsi Ottamalla edellä esitetstä F-testisuureesta eliöuuri, saadaa t-testisuure t = = MSE c = c Jos ollahpoteesi H : Γ= c μ = 0 0 = pätee, ii testisuure t oudattaa t-aaumaa vapausastei (N ): t t(n ) Itseisarvoltaa suuret testisuuree t arvot ohtavat ollahpoteesi H 0 hläämisee. Edellä esitett F-testi a t-testi ovat evivalettea. otrastie luottamusvälit otrasti Γ= ciμi i= luottamusväli luottamustasolla ( α) o muotoa c ± c tα / MSE = = ossa luottamusertoimet t α/ a +t α/ o määrätt ii, että Pr( t α/ t + t α/ ) = α a t t(n ) Ortogoaaliste otrastie testaamie otrastit a Γ= c μ = Δ= d μ = ovat ortogoaalisia, os = cd = 0 Ila Melli 487
48 0. Ysisuutaie variassiaalsi Toisistaa riippumattomie ortogoaalisia otrastie luumäärä o ossa = Rhmie luumäärä Ortogoaaliset otrastit deompooivat rhmie välistä (sstemaatista) vaihtelua uvaava eliösumma SSG = ( ) = ( ) ompoettii, oista oaise aste =. Site ortogoaalisii otrasteihi liittvät testit ovat riippumattomia. Perustelu: Oloot Γ = c μ, l =,,, l l = ( ) ortogoaalista otrastia odotusarvoille Oloo μ, μ,, μ Tällöi pätee = l c l = SSl =, l =,,, c = SSG = ( ) = SS + SS + L + SS appaleessa Ysisuutaie variassiaalsi a se suorittamie todettii, että SSG χ σ ( ) Edellä esitet muaa satuaismuuttuat SS SS SS,,, σ σ σ oudattavat χ -aaumaa hdellä vapausasteella: SS χ (), l =,,, l Ila Melli 488
49 0. Ysisuutaie variassiaalsi Site Cochrai lauseesta (s. appaletta Ysisuutaie variassiaalsi a se suorittamie) seuraa, että satuaismuuttuat SS SS SS,,, σ σ σ ovat riippumattomia. osa F-testisuureet otrasteille Γ, Γ,, Γ voidaa esittää muodossa SSl Fl =, l =,,. MSE äemme, että testit ortogoaalisille otrasteille ovat riippumattomia. Ila Melli 489
50 . asisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi.. Variassiaalsi: Johdato.. asisuutaie variassiaalsi a se suorittamie.3. asisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti.4. asisuutaise variassiaalsi malli parametrie estimoiti.5 Lasutoimituste suorittamie Ysisuutaie variassiaalsi o tilastollie meetelmä, ossa perusouo aetaa rhmii hde rhmittelevä teiä suhtee a tavoitteea o testata hpoteesia, oa muaa iiostuse ohteea oleva muuttua rhmäohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. asi- tai useampisuutaisessa variassiaalsissa perusouo aetaa rhmii ahde tai useamma rhmittelevä teiä suhtee a tällöii tavoitteea o testata hpoteesia, oa muaa iiostuse ohteea oleva muuttua rhmäohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. Tässä luvussa tarastellaa asisuutaista variassiaalsia. Tarastelu ohteea ovat mm. asisuutaise variassiaalsi malli a se parametroiti, parametrie estimoiti, odotusarvoe htäsuuruude testaamie a lasutoimituste suorittamie. Avaisaat: Aritmeettie esiarvo, Cochrai lause, Estimoiti, F-testi, Fatori, Harha, Harhattomuus, Idiaattorimuuttua, Iteratio, Jääösvaihtelu, Jääösvariassi, asisuutaie variassiaalsi, ooaisesiarvo, ooaisvaihtelu, Meritsevstaso, Muuttua, Normaaliaauma, Neliösumma, Otos, Otostuusluu, Parametri, Parametroiti, Pieimmä eliösumma estimaattori, Pieimmä eliösumma meetelmä, Päävaiutus, Residuaali, Reuaesiarvo, Riippumattomuus, Rhmie sisäie vaihtelu, Rhmie välie vaihtelu, Rhmittel, Rhmä, Rhmäesiarvo, Satuaisuus, Side-ehto, Sovite, t-testi, Taso, Teiä, Testi, Vapausaste, Variassi, Variassiaalsihaotelma, Variassiaalsitauluo, Yhdsvaiutus, Ysisuutaie variassiaalsi, Yleie lieaarie malli, Yleisesiarvo Ila Melli 490
51 . asisuutaie variassiaalsi.. Variassiaalsi: Johdato ahde riippumattoma otose t-testi Suhdeasteiollisille muuttuille taroitettua testeä äsitelleessä appaleessa tarastellaa ahde riippumattoma otose t-testiä. Testi testausasetelma o seuraava: (i) Perusouo oostuu ahdesta rhmästä. (ii) Havaiot oudattavat ummassai rhmässä ormaaliaaumaa. (iii) ummastai rhmästä o poimittu toisistaa riippumattomat satuaisotoset. (iv) Tehtävää o testata rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruutta. Variassiaalsi perusogelma Variassiaalsi voidaa mmärtää ahde riippumattoma otose t-testi leistsesi tilateisii, ossa perusouo oostuu ahdesta tai useammasta rhmästä: (i) Perusouo oostuu ahdesta tai useammasta rhmästä. (ii) Havaiot oudattavat oaisessa rhmässä ormaaliaaumaa. (iii) Joaisesta rhmästä poimitaa toisistaa riippumattomat satuaisotoset. (iv) Tehtävää o testata rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruutta. Perusouo ao rhmii voidaa tehdä hde tai useamma fatori eli teiä (muuttua) arvoe perusteella. Jos perusouo ao rhmii perustuu htee teiää, puhutaa sisuutaisesta variassiaalsista. Jos perusouo ao rhmii perustuu m teiää, puhutaa m-suutaisesta variassiaalsista. Huomautus: Tässä luvussa äsitellää asisuutaista variassiaalsia; sisuutaista variassiaalsia o äsitelt edellisessä luvussa a olmisuutaista variassiaalsia äsitellää seuraavassa luvussa. Variassiaalsi imi ohtaa helposti harhaa. Variassiaalsissa ei testata variassie vaa odotusarvoe htäsuuruutta tilateessa. Nimi ohtuu siitä, että odotusarvoe htäsuuruude testaamie perustuu eri tavoilla määrätte variassie htäsuuruude testaamisee... asisuutaise variassiaalsi perusasetelma Oletetaa, että tutimuse ohteea oleva perusouo voidaa aaa rhmii ahde fatori eli teiä (muuttua) A a B arvoe suhtee a oletetaa, että teiällä A o J tasoa a teiällä B o tasoa, olloi aossa st rhmiä J appaletta. Oletetaa edellee, että rhmistä o poimittu toisistaa riippumattomat satuaisotoset, oide aiie oo o I. osa rhmäoot o oletettu htä suurisi, saomme, että asetelma o tasapaiotettu. Oloo i = i. havaito teiä A taso A a teiä B taso B määräämässä rhmässä (, ), i =,,, I, =,,, J, =,,, ätetstä otatameetelmästä seuraa, että havaiot i voidaa olettaa riippumattomisi (a site mös orreloimattomisi) satuaismuuttuisi. Ila Melli 49
52 . asisuutaie variassiaalsi Oletetaa, että aiilla samaa rhmää (,) uuluvilla havaioilla o sama odotusarvo: E( i ) = μ, i =,,, I, =,,, J, =,,, a aiilla havaioilla o rhmästä riippumatta sama variassi: D ( i ) = σ, i =,,, I, =,,, J, =,,, Oletetaa lisäsi, että havaiot i ovat ormaaliaautueita: i N(μ, σ ), i =,,, I, =,,, J, =,,, Haluamme testata ollahpoteesia siitä, että rhmäohtaiset odotusarvot E( i ) = μ ovat htä suuria: H 0 : μ = μ, =,,, J, =,,, Jos ollahpoteesi rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruudesta pätee, rhmät voidaa hdistää aiissa havaitoe esimääräisiä arvoa osevissa tarasteluissa. asisuutaisessa variassiaalsissa ollahpoteesi H 0 : μ = μ, =,,, J, =,,, o tapaa aaa olmesi ollahpoteesisi, ota osevat teiä A päävaiutusta, teiä B päävaiutusta seä teiöide A a B iteratiota eli hdsvaiutusta. Teiöide A a B päävaiutusia ei voida tarastella erillisiä, os teiöillä A a B o hdsvaiutusta. Site rhmäohtaiste odotusarvoe htäsuuruutta oseva testausogelma o asisuutaisessa variassiaalsissa palo moimutaisempi ui sisuutaisessa variassiaalsissa. asisuutaisessa variassiaalsissa testattavia ollahpoteesea o siis olme appaletta: (i) Teiöide A a B hdsvaiutusta oseva ollahpoteesi o muotoa H AB : Ei hdsvaiutusta Jos ollahpoteesi H AB ää voimaa, teiöide A a B päävaiutusia voidaa tarastella erillisiä. (ii) Teiä A päävaiutusta oseva ollahpoteesi o muotoa H A : Ei A-vaiutusta (iii) Teiä B päävaiutusta oseva ollahpoteesi o muotoa H B : Ei B-vaiutusta Huomautus: Nollahpoteesit H A a H B ovat sisuutaise variassiaalsi ollahpoteesea. asisuutaie variassiaalsi taroittaa em. testausasetelma ollahpoteesie H AB : Ei hdsvaiutusta H A : Ei A-vaiutusta H B : Ei B-vaiutusta testaamista. Ila Melli 49
53 . asisuutaie variassiaalsi Iteratio: Havaiollistus Tarastellaa siertaiste esimeriuvioide avulla rhmittelevie teiöide A a B iteratio eli hdsvaiutuse ilmeemistä rhmäohtaisia odotusarvoa uvaavissa odotusarvodiagrammeissa. Oletetaa, että molemmilla rhmittelevällä teiöillä A a B o asi tasoa: A : A, =, B : B, =, Oloot vastaavat rhmäodotusarvot μ, =,, =, uvio : Ei hdsvaiutusta. Tapaus : Tapaus : μ i μ i μ μ B μ μ B μ μ B μ B μ A A A A Yhdsvaiutusta ei ole, osa os teiä B tasoa muutetaa tasolta tasolle, ii rhmäodotusarvoissa tapahtuva muutos ei riipu teiä A tasosta: μ μ = μ μ uvio : Yhdsvaiutusta o. Tapaus : Tapaus : μ i μ μ i μ μ B μ μ B B μ μ μ B A A A A Ila Melli 493
Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
LisätiedotYleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?
TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Usea selittää lieaarie regressiomalli Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, evät 007 8. lueto: Usea selittää lieaarie regressiomalli Selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu halutaa selittää selittävie
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli: Lisätiedot. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
TKK (c) Ilkka Melli (4) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen
LisätiedotUseampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi
(c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
Lisätiedot2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista
Moimuuttujameetelmät: Ilkka Melli. Yleise lieaarise malli määrittelemie.. ja malli oletukset.. Yleise lieaarise malli matriisiesitys. Yleise lieaarise malli parametrie estimoiti.. Parametrie estimoiti..
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotVarianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto
TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde
LisätiedotTehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
Lisätiedot8.3. Yleinen lineaarinen malli ja yleistetty pienimmän neliösumman menetelmä
Mat-1.361 Tilastollie päättely Tilastollie päättely 8. Yleie lieaarie malli 8.1. Yleie lieaarie malli ja se parametrie estimoiti Estimoiti, Estimaattori hyvyys, Gaussi ja Markovi lause, Harhattomuus, Homoskedastisuus,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotTestaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Johdatus regressioanalyysiin. Johdatus regressioanalyysiin: Mitä opimme? 2/3
TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Johdatus regressioaalsii Johdatus tilastotieteesee Johdatus regressioaalsii Regressioaalsi lähtökohdat a tavoitteet Determiistiset mallit a regressioaalsi Regressiofuktiot a
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tlastollsen analyysn perusteet, evät 007. luento: Johdatus varanssanalyysn S ysteemanalyysn Laboratoro Ka Vrtanen Kertaus: ahden rppumattoman otosen t-test () () Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 7 9. lueto: Regressiomalli validoiti Kai Virtae Regressiomalli validoiista Estimoitu hieo regressiomalli: Kuvaako malli tutkittavaa ilmiötä oikei? Kuika hyvi
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotRegressiomallin valinta. Regressiomallin valinta. Regressiomallin valinta: Esitiedot. Regressiomallin valinta: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiomalli valita Eälieaariste riiuvuuksie liearisoiti Johdatus tilastotieteesee Regressiomalli valita TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiomalli valita: Mitä oimme? Tässä luvussa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
LisätiedotRegressiodiagnostiikka. Regressiodiagnostiikka. Regressiodiagnostiikka: Mitä opimme? 2/2. Regressiodiagnostiikka: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiodiagostiikka Jodatus tilastotieteesee Regressiodiagostiikka Yleie lieaarie malli a regressiodiagostiikka Poikkeavat avaiot Regressiokertoimie vakioisuus Multikollieaarisuus
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotSisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.
Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie
LisätiedotOrtogonaalisuus ja projektiot
MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
Lisätiedot