Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?

Transkriptio

1 TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde aksoomat: Mtä opmme? 1/2 Todeäkösyydelle vodaa esttää seuraavat kolme ava määrtelmää: () Emprse todeäkösyyde määrtelmä. () Klassse todeäkösyyde määrtelmä. () Todeäkösyys o tapahtuma sattumse mahdollsuude mtta. Ykskää määrtelmstä ()-() e kutekaa täytä hyvä matemaattse määrtelmä tuusmerkkejä. Sks tässä luvussa tarkastellaa todeäkösyyde aksomaattsta määrttelemstä. Kolmogorov aksoome mukaa todeäkösyys o postve, täydellsest addtve ja ormeerattu mtta. Todeäkösyyde aksoomat: Mtä opmme? 2/2 Todeäkösyyde aksomaatte kästtely o jaettu tässä luvussa kahtee osaa: () Todeäkösyys ja äärellset otosavaruudet. () Todeäkösyys ja äärettömät otosavaruudet. Usemmat todeäkösyyslaskea peruslaskusääöstä vodaa todstaa äärellste otosavaruukse muodostamassa kehkossa. Tässä luvussa äytetää myös mllä tavalla todeäkösyyde avt määrtelmät sekä ehdollse todeäkösyyde käste vodaa sopvast tulkttua ssällyttää Kolmogorov aksoome muodostamaa kehkkoo. TKK () Ilkka Mell (2004) 3 TKK () Ilkka Mell (2004) 4 Todeäkösyyde aksoomat: Estedot Estedot: ks. seuraava lukuja: Todeäkösyyslaskea peruskästteet Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt Todeäkösyyde aksoomat >> Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys TKK () Ilkka Mell (2004) 5 TKK () Ilkka Mell (2004) 6

2 TKK () Ilkka Mell (2004) 7 Todeäkösyyde avt määrtelmät Avasaat Empre todeäkösyys Frekvess Klasse todeäkösyys Kolmogorov aksoomat Mtta Satuaskoe Suhteelle rekvess Suotusa tulosvahtoehto Tapahtuma Tlastolle stablteett Tulosvahtoehto Luvussa Todeäkösyyslaskea peruskästteet todeäkösyydelle o estetty kolme ava määrtelmää: () Tapahtuma empre todeäkösyys o tapahtuma (tlastollsest stabl) suhteelle rekvess. () Tapahtuma klasse todeäkösyys o tapahtumalle suotuse tulosvahtoehtoje suhteelle rekvess. () Todeäkösyys o tapahtuma sattumse mahdollsuude mtta. TKK () Ilkka Mell (2004) 8 Todeäkösyyde avt määrtelmät: Kommetteja Kute äemme, ykskää todeäkösyyde avesta määrtelmstä ()-() e täytä hyvä matemaattse määrtelmä tuusmerkkejä. Empre todeäkösyys Tostetaa jotak satuaskoetta kertaa. Oletetaa, että tapahtuma A sattuu koetostoje akaa kertaa. Jos tapahtuma A suhteelle rekvess lähestyy jotak kteätä lukua p koetostoje lukumäärä kasvaessa rajatta, o p tapahtuma A empre todeäkösyys. TKK () Ilkka Mell (2004) 9 TKK () Ilkka Mell (2004) 10 Empre todeäkösyys: Esmerkk 1/3 Eräässä kyselytutkmuksessa selvtett mte suomalaset suhtautuvat Suome mahdollsee NATO-jäseyytee. Tutkmus perustu satuasotoksee, joho pomtt arpomalla 1800 suomalasta. Otoksessa 1080 heklöä lmott vastustavasa NATO-jäseyyttä. TKK () Ilkka Mell (2004) 11 Empre todeäkösyys: Esmerkk 2/3 Tutkmusta vodaa kuvata satuaslmöä seuraavalla tavalla: Satuaskoe: Yhde suomalase pomme arpomalla otoksee Koetostoje lukumäärä (otoskoko): = 1800 Tapahtuma A: Otoksee pomttu suomalae vastustaa Suome NATOjäseyyttä. Tapahtuma A rekvess koetostoje joukossa: = 1080 Tapahtuma A suhteelle rekvess: = 1800 = TKK () Ilkka Mell (2004) 12

3 TKK () Ilkka Mell (2004) 13 Empre todeäkösyys: Esmerkk 3/3 Jos otokse pomassa käytetää arvotaa, vodaa olettaa, että tapahtuma A suhteelle rekvess sälyy stabla, jos otoskokoa kasvatetaa ta otataa tostetaa. Jos oletus tapahtuma A suhteellse rekvess stabludesta pätee, havattua suhteellsta rekvessä 0.6 o järkevää kutsua todeäkösyydeks, että satuasest valttu suomalae vastustaa Suome NATO-jäseyyttä. Ste tapahtuma A empre todeäkösyys o (A) = 0.6 otoksesta saatuje tetoje perusteella. Empre todeäkösyys: Kommetteja Emprse todeäkösyyde määrtelmä edellyttää stä, että tapahtuma suhteelle rekvess käyttäytyy koetostoje lukumäärä kasvaessa tlastollsest stablst. Emprstä todeäkösyyttä e voda lttää sellas satuaslmöh, josta e ole havatoja. Tapahtuma emprstä todeäkösyyttä e voda määrätä kokeellsest, koska äärettömä moe koetosto tekeme e ole käytäössä mahdollsta. Mkää e takaa, että emprse todeäkösyyde määrtelmässä estyvä raja-arvo o olemassa. TKK () Ilkka Mell (2004) 14 Klasse todeäkösyys Tarkastellaa satuaskoetta, joho lttyy yhtä todeäköstä tulosvahtoehtoa. Tarkastellaa ko. satuaskokeessa tapahtumaa A, joho lttyy k yhtä todeäköstä tulosvahtoehtoa, jota saotaa tapahtumalle A suotusks. Tapahtuma A klasse todeäkösyys o tapahtumalle suotuse tulosvahtoehtoje suhteelle rekvess k TKK () Ilkka Mell (2004) 15 Klasse todeäkösyys: Esmerkk Hetetää kahta vrheetötä oppaa. Mkä o tapahtuma A = Slmälukuje summaks saadaa 11 ta 12 todeäkösyys? Kahde vrheettömä opa hetossa mahdollset tulosvahtoehdot muodostuvat 6 6 = 36 lukuparsta (, j), = 1, 2, 3, 4, 5, 6, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 jode kakke todeäkösyys o 1/36. Tapahtumalle A suotusa tulosvahtoehtoja o 3 kpl: (5,6), (6,5), (6,6) Ste tapahtuma A klasse todeäkösyys o k 3 1 ( A) = = = TKK () Ilkka Mell (2004) 16 Klasse todeäkösyys: Kommetteja Klassse todeäkösyyde määrtelmä soveltuu va sellaste satuaslmöde tapahtumlle, jossa tulosvahtoehdot ovat yhtä todeäkösä el symmetrsä. Klassse todeäkösyyde määrtelmää e voda soveltaa sellas satuaskokes, jolla o äärettömä mota tulosvahtoehtoa. Todeäkösyys mttaa Todeäkösyyttä vodaa kutsua mtaks, joka mttaa satuaslmö tapahtumavahtoehtoje sattumse mahdollsuuksa. Ve-dagramme käyttö todeäkösyyslaskea peruslaskutomtuste havaollstamsessa perustuu juur she, että todeäkösyydellä o mttaa samatapaset omasuudet ku pta-alamtalla. TKK () Ilkka Mell (2004) 17 TKK () Ilkka Mell (2004) 18

4 TKK () Ilkka Mell (2004) 19 Todeäkösyys mttaa: Kommetteja Todeäkösyyde kutsume mtaks ssältää jotak hyv oleasta todeäkösyyde luoteesta. Todeäkösyydellä o samatapaset omasuudet ku esmerkks pta-ala- ta tlavuusmtalla pats, että tapahtuma todeäkösyydellä o ylärajaa varma tapahtuma todeäkösyys 1. Todeäkösyyde kutsume sattumse mahdollsuude mtaks o kutek kehämäärtelmä: Sattumse mahdollsuus tarkottaa suullee samaa ku todeäkösyys. Todeäkösyyde aksomaatte määrttely 1/2 Ykskää todeäkösyyde avesta määrtelmstä e täytä hyvä matemaattse määrtelmä tuusmerkkejä. Matemaattsest kelvollse ylese määrtelmä todeäkösyydelle estt veäläe matemaatkko A. N. Kolmogorov 1930-luvu alussa. Kolmogorov aksoome mukaa todeäkösyyslasketa o matemaattse mttateora osa. Todeäkösyyde avt määrtelmät vodaa sjottaa sopvast muotoltua Kolmogorov aksoomajärjestelmää todeäkösyyde kästtee tulktoa ta kuvauksa. TKK () Ilkka Mell (2004) 20 Todeäkösyyde aksomaatte määrttely 2/2 Todeäkösyyde aksoomat Seuraavssa kappalessa tarkastellaa todeäkösyyde aksomaattsta määrttelyä. Tarkastelu o jaettu kahtee osaa: () Todeäkösyyde määrttely äärellsssä otosavaruuksssa. () Todeäkösyyde määrttely äärettömssä otosavaruuksssa. Samalla tarkastellaa todeäkösyyslaskea laskusäätöje todstamsta aksoomsta lähte. >> Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys TKK () Ilkka Mell (2004) 21 TKK () Ilkka Mell (2004) 22 Todeäkösyyde aksoomat äärellsssä otosavaruuksssa Boole algebra: Määrtelmä 1/2 Avasaat Addtvsuus Alkestapahtuma Boole algebra Erotus Joukkoperhe Komplemetttapahtuma Lekkaus Mtta Otosavaruus Perusjoukko Tapahtuma Tapahtuma-algebra Todeäkösyyde aksoomat Todeäkösyys Todeäkösyyskettä Todeäkösyyslaskea laskusäätöje todstame Komplemetttapahtuma todeäkösyys Mahdottoma tapahtuma todeäkösyys Osajouko todeäkösyys Ylee yhteelaskusäätö Yhdste Äärelle otosavaruus Olkoo S joukko. Olkoo F jok jouko S osajoukkoje muodostama joukkoperhe. Jos ss joukko A o joukkoperhee F alko, A o jouko S osajoukko: A F A S TKK () Ilkka Mell (2004) 23 TKK () Ilkka Mell (2004) 24

5 TKK () Ilkka Mell (2004) 25 Boole algebra: Määrtelmä 2/2 Joukkoperhe F o Boole algebra, jos () Tyhjä joukko o joukkoperhee Falko: F () Jos joukko A o joukkoperhee F alko, se komplemett A o joukkoperhee F alko: A F A F () Jos joukot A ja B ovat joukkoperhee F alkota, de yhdste A B o joukkoperhee F alko: A F, B F A B F Boole algebrat ja joukko-op operaatot 1/2 Olkoo F joukossa S määrtelty Boole algebra. Olkoot A F ja B F Suoraa Boole algebra aksoome mukaa tyhjä joukko, komplemettjoukot A ja B sekä yhdste A B kuuluvat joukkoperheesee F:, A, B, A B F Lsäks vodaa osottaa, että perusjoukko S, lekkaus A B sekä erotukset A\B ja B\A kuuluvat joukkoperheesee F: S, A B, A\ B, B\ A F TKK () Ilkka Mell (2004) 26 Boole algebrat ja joukko-op operaatot 2/2 Joukko-op operaatot Boole algebrat ovat ss suljettuja tavaomaste joukkoop operaatode suhtee. Tällä tarkotetaa stä, että tavaomaset joukko-op operaatot evät ve Boole algebra ulkopuolelle: Jos Boole algebra F joukkoh sovelletaa korketaa äärelle määrä tavaomasa joukko-op operaatota komplemett, yhdste, lekkaus ja erotus, tuloksea saatavat joukot kuuluvat edellee Boole algebraa F. Olkoo F joukossa S määrtelty Boole algebra. Todstetaa seuraavat joukko-op tulokset: () Joukko S F () Jos A F, B F, A B F () Jos A F, B F, A \ B F TKK () Ilkka Mell (2004) 27 TKK () Ilkka Mell (2004) 28 Joukko-op operaatot: Perusjoukko 1/2 Olkoo F joukossa S määrtelty Boole algebra. Tällö perusjoukko S kuuluu joukkoperheesee F : S F Joukko-op operaatot: Perusjoukko 2/2 Väte seuraa, stä että S = Todstetaa ss, että F Aksooma () mukaa F Aksooma () mukaa = S F TKK () Ilkka Mell (2004) 29 TKK () Ilkka Mell (2004) 30

6 TKK () Ilkka Mell (2004) 31 Joukko-op operaatot: Lekkausjoukko 1/2 Olkoo F joukossa S määrtelty Boole algebra. Olkoot A F, B F Tällö joukkoje A ja B lekkaukselle pätee: A B F Joukko-op operaatot: Lekkausjoukko 2/2 Väte seuraa stä, että DeMorga la mukaa A B = ( A B ) Todstetaa ss, että A F, B F ( A B ) F Aksooma () mukaa A F, B F A F, B F Aksooma () mukaa A F, B F A B F Vhdo aksooma () mukaa A B F ( A B ) F TKK () Ilkka Mell (2004) 32 Joukko-op operaatot: Erotusjoukko 1/2 Olkoo F joukossa S määrtelty Boole algebra. Olkoot A F, B F Tällö joukkoje A ja B erotukselle pätee: A \ B F Joukko-op operaatot: Erotusjoukko 2/2 Väte seuraa stä, että A\ B = A B Todstetaa ss, että A F, B F A B F Aksooma () mukaa B F B F Lekkausjoukkoa koskeva tulokse mukaa A F, B F A B F TKK () Ilkka Mell (2004) 33 TKK () Ilkka Mell (2004) 34 Boole algebra: Esmerkk Olkoo S melvaltae joukko. Olkoo A S melvaltae jouko S osajoukko. Tällö joukkoperhe F = {, A, A, S} muodostaa Boole algebra joukossa S, koska () F () B F B F () B F, C F B C F Tässä B ja C vovat olla mtkä tahasa kaks joukosta, A, A, S. Boole algebra tapahtuma-algebraa 1/2 Olkoo F otosavaruudessa S määrtelty Boole algebra. Kutsutaa Boole algebraa F kuuluva otosavaruude S osajoukkoja tapahtumks. Jos ss A F, A S ja A o tapahtuma. Kutsutaa Boole algebraa F kuuluve otosavaruude S osajoukkoje alkota alkestapahtumks. Jos ss s A F jollek A F, s o alkestapahtuma. TKK () Ilkka Mell (2004) 35 TKK () Ilkka Mell (2004) 36

7 TKK () Ilkka Mell (2004) 37 Boole algebra tapahtuma-algebraa 2/2 Äärellset otosavaruudet Olkoo F otosavaruudessa S määrtelty Boole algebra. Olkoot otosavaruude S osajoukot A ja B tapahtuma el A F ja B F Tällö ss myös A, B, A B, A B, A\B, B\A ovat tapahtuma. Ste otosavaruude tapahtumsta vodaa johtaa uusa tapahtuma soveltamalla h tavaomasa joukko-op operaatota. Olkoo S äärelle otosavaruus, jossa o alkota. Olkoo F= { A A S} otosavaruude S kakke osajoukkoje perhe, jote joukkoperheessä F o ( F) = 2 alkota. Otosavaruude S kakke osajoukkoje perhe F muodostaa trvaal Boole algebra joukossa S. TKK () Ilkka Mell (2004) 38 Todeäkösyyde aksoomat 1/2 Todeäkösyyde aksoomat 2/2 Olkoo S äärelle otosavaruus ja F jok se osajoukkoje muodostama Boole algebra. Olkoo joukkoukto, joka lttää jokasee Boole algebraa F kuuluvaa otosavaruude S osajoukkoo A reaalluvu (A). Jos ss A F, ( A). Joukkoukto o todeäkösyys, jos () ( S) = 1 () 0 ( A) 1kaklle A F () A F, B F, A B= ( A B) = ( A) + ( B) TKK () Ilkka Mell (2004) 39 TKK () Ilkka Mell (2004) 40 Todeäkösyyde aksoomat: Kommetteja 1/2 Äärellse otosavaruude todeäkösyyde aksoome ()-() mukaa todeäkösyys o postve, äärellsest addtve ja ormeerattu mtta. Aksoomat () ja (), ormeeraus ja postvsuus: A S 0 (A) (S) = 1 Aksooma (), äärelle addtvsuus: A B = (A B) = (A) + (B) Aksooma () o tosesa possulkeve tapahtume yhteelaskusäätö. Todeäkösyyde aksoomat: Kommetteja 2/2 Aksoome ()-() oleasea ssältöä o ss se, että todeäkösyys o mtta matematka tarkottamassa melessä. Todeäkösyyslasketaa vodaa ptää matemaattse mttateora osaa. Aksoome ()-() mukaa todeäkösyysmtalla o samat omasuudet ku pta-alamtalla pats, että todeäkösyysmtta o ormeerattu, että se yläraja o 1. TKK () Ilkka Mell (2004) 41 TKK () Ilkka Mell (2004) 42

8 TKK () Ilkka Mell (2004) 43 Tapahtume todeäkösyydet äärellsessä otosavaruudessa Äärellse otosavaruude tapahtumsta vodaa muodostaa uusa tapahtuma soveltamalla Boole algebra aksooma ja stä johdettuja joukko-op laskusäätöjä. Uuse tapahtume todeäkösyydet saadaa soveltamalla äärellse otosavaruude todeäkösyyde aksooma ja stä johdettuja todeäkösyyslaskea laskusäätöjä. Äärellset todeäkösyysketät Kolmkko ( S, F,) muodostaa äärellse todeäkösyysketä, jos seuraavat ehdot pätevät: () Otosavaruus S o äärelle. () Joukkoperhe F o jok jouko S osajoukkoje muodostama Boole algebra. () Joukkoukto o Boole algebraa F kuuluvlle otosavaruude S osajoukolle määrtelty äärellse otosavaruude todeäkösyysmtta. TKK () Ilkka Mell (2004) 44 Todeäkösyyslaskea laskusäätöje todstame Todstetaa seuraavat todeäkösyyslaskea laskusääöt todeäkösyyde aksoomsta lähte: () Mahdottoma tapahtuma todeäkösyys. () Komplemetttapahtuma todeäkösyys. () Osajouko todeäkösyys. (v) Ylee yhteelaskusäätö. Mahdottoma tapahtuma todeäkösyys Olkoo S äärelle otosavaruus. Olkoo mahdoto tapahtuma. Tällö ( ) = 0 TKK () Ilkka Mell (2004) 45 TKK () Ilkka Mell (2004) 46 Mahdottoma tapahtuma todeäkösyys: Perustelu Komplemetttapahtuma todeäkösyys Olkoo F otosavaruude S osajoukolle määrtelty Boole algebra. Olkoo mahdoto tapahtuma. Tällö F Joukot ja S muodostavat otosavaruude S ostukse: S = S S = Todeäkösyyde aksoome () ja () mukaa 1 = ( S) = ( S) = ( ) + ( S) = ( ) + 1 josta välttämättä seuraa ( ) = 0 Olkoo A äärellse otosavaruude S tapahtuma. Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma A todeäkösyydelle pätee: ( A ) = 1 ( A) A A S TKK () Ilkka Mell (2004) 47 TKK () Ilkka Mell (2004) 48

9 TKK () Ilkka Mell (2004) 49 Komplemetttapahtuma todeäkösyys: Perustelu 1/2 Komplemetttapahtuma todeäkösyys: Perustelu 2/2 Olkoo F otosavaruude S osajoukolle määrtelty Boole algebra. Väte: A F ( A ) = 1 ( A) Boole algebra aksooma () mukaa A F A F Joukot A ja A muodostavat otosavaruude S ostukse: A A = S A A = A A S Todeäkösyyde aksoome () ja () mukaa 1= ( S) = ( A A ) = ( A) + ( A ) josta väte seuraa. A A S TKK () Ilkka Mell (2004) 50 Osajouko todeäkösyys Olkoot A ja B äärellse otosavaruude S tapahtuma. Olkoo B A. Tällö pätee: (B) (A) Osajouko todeäkösyys: Perustelu 1/2 Olkoo F otosavaruude S osajoukolle määrtelty Boole algebra. Väte: A F, B F, B A ( B) ( A) Lekkaus- ta erotusjoukkoa koskeva tulokse mukaa A F, B F A\ B= A B F TKK () Ilkka Mell (2004) 51 TKK () Ilkka Mell (2004) 52 Osajouko todeäkösyys: Perustelu 2/2 Koska B A, joukot B ja A\B muodostavat jouko A ostukse: B (A\B) = A B (A\B) = Aksoome () ja () mukaa ( A) = ( B) + ( A\ B) ( B) mkä ol väte. Ylee yhteelaskusäätö Olkoot A ja B äärellse otosavaruude S tapahtuma. Tällö pätee ylee yhteelaskusäätö: (A B) = (A) + (B) (A B) TKK () Ilkka Mell (2004) 53 TKK () Ilkka Mell (2004) 54

10 TKK () Ilkka Mell (2004) 55 Ylee yhteelaskusäätö: Perustelu 1/3 Olkoo F otosavaruude S osajoukolle määrtelty Boole algebra. Väte: A F, B F ( A B) = ( A) + ( B) ( A B) Boole algebra aksooma () sekä lekkaus- ja erotusjoukkoja koskeve tulokse mukaa A F, B F A B F, A B F A\ B F, B\ A F Ylee yhteelaskusäätö: Perustelu 2/3 Joukot A ja B\A muodostavat jouko A B ostukse: (1) A B = A (B\A) A (B\A) = Joukot A B ja B\A muodostavat jouko B ostukse: (2) B = (A B) (B\A ) (A B) (B\A) = TKK () Ilkka Mell (2004) 56 Ylee yhteelaskusäätö: Perustelu 3/3 Ostuksesta (1) ja aksoomasta () seuraa: (3) (A B) = (A) + (B\A) Ostuksesta (2) ja aksoomasta () seuraa: (4) (B) = (A B) + (B\A) Ratkasemalla (B\A) yhtälöstä (4) ja sjottamalla ratkasu yhtälöö (3) saadaa väte: (A B) = (A) + (B) (A B) Todeäkösyyde aksoomat >> Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys TKK () Ilkka Mell (2004) 57 TKK () Ilkka Mell (2004) 58 Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Avasaat Alkestapahtuma Ehdolle todeäkösyys Empre todeäkösyys Frekvess Klasse todeäkösyys Koetosto Suhteelle rekvess Suotusa tulosvahtoehto Symmetrset alkestapahtumat Tapahtuma Todeäkösyyde aksoomat Todeäkösyyde rekvesstulkta Tulosvahtoehto Suhteelle rekvess ja klasse todeäkösyys Suhteelle rekvess ja klasse todeäkösyys todeäkösyyksä Osotamme, että suhteelle rekvess ja klasse todeäkösyys sopvast määrteltyä toteuttavat äärellse otosavaruude todeäkösyyde aksoomat. Ste suhteellsta rekvessä ja klasssta todeäkösyyttä vodaa ptää todeäkösyyde tulktoa. TKK () Ilkka Mell (2004) 59 TKK () Ilkka Mell (2004) 60

11 TKK () Ilkka Mell (2004) 61 Suhteelle rekvess Suhteelle rekvess: Määrtelmä Olkoo S johok satuaskokeesee lttyvä äärelle otosavaruus. Olkoo A S tapahtuma otosavaruudessa S. Tostetaa satuaskoetta kertaa. Olkoo A tapahtuma A rekvess koetostoje joukossa. Tällö A o tapahtuma A suhteelle rekvess. Suhteelle rekvess Suhteelle rekvess o todeäkösyys Käytetää tapahtuma A suhteellselle rekvesslle A / merktää: A ( A) = Suhteelle rekvess (A) toteuttaa todeäkösyyde aksoomat ()-(), jote suhteelle rekvess o todeäkösyys. TKK () Ilkka Mell (2004) 62 Suhteelle rekvess Suhteelle rekvess o todeäkösyys: Perustelu 1/2 Todstetaa, että suhteelle rekvess ( ) toteuttaa todeäkösyyde aksoomat. Tostetaa satuaskoetta kertaa. Aksooma (): Koska otosavaruus S o varma tapahtuma el S sattuu jokasessa koetostossa, S = Ste (S) = / = 1 Aksooma (): Kaklle tapahtumlle A S pätee 0 A. Ste 0 (A) = A / 1 Suhteelle rekvess Suhteelle rekvess o todeäkösyys: Perustelu 2/2 Aksooma (): Jos tapahtumat A ja B ovat tosesa possulkeva el, jos A B =, A B = A + B Tällö A B A + B ( A B) = = A B = + = ( A) + ( B) TKK () Ilkka Mell (2004) 63 TKK () Ilkka Mell (2004) 64 Suhteelle rekvess Empre todeäkösyys Suhteelle rekvess Todeäkösyyde rekvesstulkta Jos tapahtuma A suhteelle rekvess A ( A) = lähestyy tostokokede lukumäärä rajatta kasvaessa jotak kteätä lukua p, saotaa lukua p tapahtuma A emprseks todeäkösyydeks. Jos ss p o tapahtuma A empre todeäkösyys, A ( A) = p, ku + Oletetaa, että tapahtuma A todeäkösyys o p. Tostetaa stä satuaskoetta, joho tapahtuma A lttyy, kertaa. Todeäkösyyde rekvesstulka mukaa tapahtuma A suhteelle rekvess A ( A) = vahtelee satuasest koetostosta tosee, mutta saa keskmäär tapahtuma todeäkösyyttä p lähellä oleva arvoja. TKK () Ilkka Mell (2004) 65 TKK () Ilkka Mell (2004) 66

12 TKK () Ilkka Mell (2004) 67 Klasse todeäkösyys Klasse todeäkösyys: Määrtelmä 1/2 Olkoo S = {s 1, s 2,, s } johok satuaskokeesee lttyvä äärelle otosavaruus, jossa o = (S) alkestapahtumaa. Oletetaa, että otosavaruude S alkestapahtumat ovat symmetrsä el yhtä todeäkösä. Tällö 1 ( s ) =, = 1,2,, Olkoo A = { s,,, s } tapahtuma, jossa o 1 s 2 k S k = (A) alkestapahtumaa, jota saotaa tapahtumalle A suotusks. Klasse todeäkösyys Klasse todeäkösyys: Määrtelmä 2/2 Määrtellää tapahtuma A klasse todeäkösyys (A) kaavalla k ( A) = jossa ss k = (A) = (S) Klasse todeäkösyys (A) toteuttaa todeäkösyyde aksoomat ()-(), jote klasse todeäkösyys o todeäkösyys. TKK () Ilkka Mell (2004) 68 Klasse todeäkösyys Klassse todeäkösyyde määrtelmä: Perustelu Olkoo A= { s,,, } {,,, s } 1 s 2 S = s1 s2 s k Tällö A= { s } { s } { s } 1 2 k ja lsäks alkestapahtumat s j, j = 1,2,, k ovat paretta tosesa possulkeva. Koska alkestapahtumat s 1, s 2,, s o oletettu symmetrsks, todeäkösyyde aksoomasta () seuraa: 1 1 k ( A) = ( s ) + ( s ) ( ) ( ) s 2 = + + = = k A k kpl Klasse todeäkösyys Klasse todeäkösyys o todeäkösyys: Perustelu 1/2 Todstetaa, että klasse todeäkösyys ( ) toteuttaa todeäkösyyde aksoomat. Aksooma (): Koska (S) =, (S) = / = 1 Aksooma (): Kaklle tapahtumlle A S pätee 0 (A) = k = (S) Ste 0 (A) = k/ 1 TKK () Ilkka Mell (2004) 69 TKK () Ilkka Mell (2004) 70 Klasse todeäkösyys Klasse todeäkösyys o todeäkösyys: Perustelu 2/2 Aksooma (): Jos tapahtumat A ja B ovat tosesa possulkeva el, jos A B =, k A B = k A + k B Tällö ka B ka + kb ( A B) = = ka kb = + = ( A) + ( B) Ehdolle todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys todeäkösyyteä Seuraavassa osotetaa, että ehdolle todeäkösyys toteuttaa äärellse otosavaruude todeäkösyyde aksoomat. Ste ehdollsta todeäkösyyttä vodaa ptää todeäkösyyde kästtee laajeuksea. TKK () Ilkka Mell (2004) 71 TKK () Ilkka Mell (2004) 72

13 TKK () Ilkka Mell (2004) 73 Ehdolle todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys: Määrtelmä Olkoo S johok satuaskokeesee lttyvä äärelle otosavaruus. Olkoot A S ja C S tapahtuma ja (C) 0. Määrtellää tapahtuma A ehdolle todeäkösyys (A C) kaavalla ( A C) ( AC) = ( C) Ehdolle todeäkösyys (A C) toteuttaa todeäkösyyde aksoomat ()-(), jote ehdolle todeäkösyys o todeäkösyys. Ehdolle todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys o todeäkösyys: Perustelu 1/3 Todstetaa, että ehdolle todeäkösyys ( ) toteuttaa todeäkösyyde aksoomat. Aksooma (): Kaklle tapahtumlle C S pätee S C = C. Ste ( S C) ( C) ( SC) = = = 1 ( C) ( C) Aksooma (): Kaklle tapahtumlle A S ja C S pätee A C C, jote 0 (A C) (C). Ste ( A C) ( C) 0 ( AC) = = 1 ( C) ( C) TKK () Ilkka Mell (2004) 74 Ehdolle todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys o todeäkösyys: Perustelu 2/3 Aksooma (): Kaklle joukolle A, B ja C pätee dstrbuutolak (A B) C = (A C) (B C) Jos tapahtumat A ja B ovat tosesa possulkeva el, jos A B =, kaklle C S pätee (A C) (B C) = Ehdolle todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys o todeäkösyys: Perustelu 3/3 Tällö (( A B) C) ( A B C) = ( C) (( A C) ( B C) ) = ( C) ( A C) ( B C) = + ( C) ( C) = ( AC) + ( BC) TKK () Ilkka Mell (2004) 75 TKK () Ilkka Mell (2004) 76 Todeäkösyyde aksoomat Todeäkösyyde aksoomat äärettömssä otosavaruuksssa Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys >> Avasaat Alkestapahtuma Boole algebra Epämtallsuus Jatkuvuusaksooma Joukkoperhe Kolmogorov aksoomat Komplemetttapahtuma Lekkaus Mtallsuus Mtta Otosavaruus σ-algebra Tapahtuma Tapahtuma-algebra Todeäkösyyskettä Täydelle addtvsuus Yhdste Ääretö otosavaruus TKK () Ilkka Mell (2004) 77 TKK () Ilkka Mell (2004) 78

14 TKK () Ilkka Mell (2004) 79 Äärettömät otosavaruudet σ-algebra määrtelmä 1/2 Äärellslle otosavaruukslle estetyt aksoomat evät sellaseaa kelpaa äärettömlle otosavaruukslle: Tämä johtuu seuraavsta sekosta: () Äärettömä otosavaruude tapauksessa kakk otosavaruude osajoukot evät välttämättä kelpaa tapahtumks. () Äärellse otosavaruude aksooma () o äärettömä otosavaruude tapauksessa korvattava aksoomalla, joka sall äärettömä moe paretta tosesa possulkeva tapahtuma tarkastelu. Olkoo S joukko. Olkoo F jok jouko S osajoukkoje muodostama joukkoperhe. Jos ss joukko A o joukkoperhee F alko, A o jouko S osajoukko: A F A S TKK () Ilkka Mell (2004) 80 σ-algebra määrtelmä 2/2 σ-algebrat ja joukko-op operaatot 1/2 Joukkoperhe F o σ-algebra, jos () Tyhjä joukko o joukkoperhee F alko: F () Jos joukko A o joukkoperhee F alko, se komplemett A o joukkoperhee F alko: A F A F () Jos joukot A 1, A 2, A 3, ovat joukkoperhee F alkota, de yhdste A o joukkoperhee F alko: A1, A2, A3, F A F = 1 TKK () Ilkka Mell (2004) 81 Olkoo F joukossa S määrtelty σ-algebra. Olkoot A F, = 1,2,3, Suoraa σ-algebra aksoome mukaa joukkoje A komplemett ja de yhdste A ovat joukkoperhee F alkota: A F, = 1,2,3, ja A F = 1 Lsäks vodaa osottaa, että joukkoje A lekkaus A o joukkoperhee F alko: A F = 1 TKK () Ilkka Mell (2004) 82 σ-algebrat ja joukko-op operaatot 2/2 σ-algebrat ja Boole algebrat σ-algebrat ovat ss suljettuja umerotuva moe tavaomase joukko-op operaato suhtee. Tällä tarkotetaa stä, että umerotuva määrä tavaomasa joukko-op operaatota e ve σ-algebra ulkopuolelle: Jos σ-algebra F joukkoh sovelletaa korketaa umerotuva määrä tavaomasa joukko-op operaatota komplemett, yhdste, lekkaus ja erotus, tuloksea saatavat joukot kuuluvat edellee σ-algebraa F. Jos jouko S osajoukkoje perhe F toteuttaa σ-algebra aksoomat, se toteuttaa myös Boole algebra aksoomat. Jokae Boole algebra aksoomsta johdettu joukkoop säätö pätee myös σ-algebrolle. TKK () Ilkka Mell (2004) 83 TKK () Ilkka Mell (2004) 84

15 TKK () Ilkka Mell (2004) 85 Kolmogorov aksoomat todeäkösyydelle 1/2 Kolmogorov aksoomat todeäkösyydelle 2/2 Olkoo S otosavaruus ja F jok jouko S osajoukkoje perhe, joka muodostaa σ-algebra. Olkoo joukkoukto, joka lttää jokasee σ-algebraa F kuuluvaa otosavaruude S osajoukkoo A reaalluvu (A). Jos ss A F, ( A). Joukkoukto o todeäkösyys, jos () ( S) = 1 () 0 ( A) 1kaklle A F () A1, A2, A3, F ja A Aj =, j ( A) = ( A) = 1 = 1 TKK () Ilkka Mell (2004) 86 Kolmogorov aksoomat: Kommetteja 1/2 Kolmogorov aksoome ()-() mukaa todeäkösyys o postve, täydellsest addtve ja ormeerattu mtta. Aksoomat () ja (), ormeeraus ja postvsuus: A F 0 (A) (S) = 1 Aksooma (), täydelle addtvsuus: Jos A F, = 1, 2, 3, ja A A j =, j, ( A ) = (A ) Aksooma () o paretta tosesa possulkeve tapahtume yhteelaskusäätö. Kolmogorov aksoomat: Kommetteja 2/2 Aksoome ()-() oleasea ssältöä o ss se, että todeäkösyys o mtta matematka tarkottamassa melessä. Todeäkösyyslasketaa vodaa ptää matemaattse mttateora osaa. Aksoome ()-() mukaa todeäkösyysmtalla o samat omasuudet ku pta-alamtalla pats, että todeäkösyysmtta o ormeerattu, että se yläraja o 1. TKK () Ilkka Mell (2004) 87 TKK () Ilkka Mell (2004) 88 Kolmogorov aksoomat ja äärellse otosavaruude aksoomat Jos joukkoukto toteuttaa todeäkösyyde aksoomat äärettömlle otosavaruukslle, se toteuttaa todeäkösyyde aksoomat myös äärellslle otosavaruukslle. Jokae äärellse otosavaruude todeäkösyyde aksoomsta johdettu todeäkösyyde laskusäätö pätee myös äärettömlle otosavaruukslle. Mtallsuus 1/2 Jos S o äärelle otosavaruus, kaklle otosavaruude S osajoukolle A S vodaa määrtellä todeäkösyys. Ste äärellse otosavaruude S tapauksessa kakk otosavaruude osajoukot A S kelpaavat tapahtumks. Jos S o ääretö otosavaruus, kaklle otosavaruude S osajoukolle A S e voda välttämättä määrtellä todeäkösyyttä. Ste äärettömä otosavaruude S tapauksessa kakk otosavaruude osajoukot A S evät välttämättä kelpaa tapahtumks. TKK () Ilkka Mell (2004) 89 TKK () Ilkka Mell (2004) 90

16 TKK () Ilkka Mell (2004) 91 Mtallsuus 2/2 Mtallsuus ja reaallukuje joukko 1/2 Sellasa otosavaruude S osajoukkoja A S, jolle vodaa määrtellä todeäkösyys saotaa mtallsks. Sellasa otosavaruude S osajoukkoja A S, jolle e voda määrtellä todeäkösyyttä saotaa epämtallsks. Vodaa osottaa, että otosavaruude S mtallste osajoukkoje perhe muodostaa σ-algebra. Jos otosavaruutea S o reaallukuje joukko, mm. kakk reaalaksel vält sekä avomet ja suljetut joukot ovat mtallsa ja kelpaavat tapahtumks. Vodaa osottaa, että reaallukuje joukolla o todeäkösyysmta suhtee epämtallsa osajoukkoja, jotka evät kelpaa tapahtumks. TKK () Ilkka Mell (2004) 92 Mtallsuus ja reaallukuje joukko 2/2 Kakk reaallukuje jouko todeäkösyysmta suhtee mtallset osajoukot saadaa tyyppä (,b] = { x < x b} olevsta puolavomsta välestä soveltamalla h korketaa umerotuva määrä komplemett-, yhdsteja lekkausoperaatota. Muotoa (, b] olevat reaalaksel vält vrttävät reaallukuje jouko mtallste osajoukkoje muodostama σ-algebra. Tähä tuloksee perustuu kertymäukto keskee asema matemaattsessa tlastoteteessä; ks. lukua Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat. TKK () Ilkka Mell (2004) 93 Tapahtume todeäkösyydet äärettömässä otosavaruudessa Otosavaruude mtallssta osajoukosta el tapahtumsta vodaa muodostaa uusa mtallsa osajoukkoja el tapahtuma soveltamalla σ-algebra aksooma ja stä johdettuja joukko-op säätöjä. Uuse tapahtume todeäkösyydet saadaa soveltamalla Kolmogorov aksooma ja stä johdettuja todeäkösyyslaskea laskusäätöjä. TKK () Ilkka Mell (2004) 94 Todeäkösyysketät Lause 1 Kolmkko ( S, F,) muodostaa todeäkösyysketä, jos seuraavat ehdot pätevät: () S o joukko. () Joukkoperhe F muodostaa σ-algebra joukossa S. () Joukkoukto o σ-algebraa F kuuluvlle jouko S osajoukolle määrtelty todeäkösyysmtta, joka toteuttaa Kolmogorov aksoomat. Olkoo ( S, F,) todeäkösyyskettä ja A1, A2, A3, F. Tällö pätee: () Jos A A A, A = lm ( A) + = 1 () Jos A A A, A = lm + = 1 ( A ) TKK () Ilkka Mell (2004) 95 TKK () Ilkka Mell (2004) 96

17 TKK () Ilkka Mell (2004) 97 Lause 1: Todstus kohdalle () 1/4 Lause 1: Todstus kohdalle () 2/4 Määrtellää B0 = A0 = B1 = A1 B2 = A2 \ A1 B = A \ A ja ylesest B = A \ A = A A, = 1,2,3, 1 1 Joukot B, = 0, 1, 2, 3, ovat paretta tosesa possulkeva, koska oletukse mukaa A 1 A, = 1, 2, 3,... B A 1 A Oletuksesta A 1 A, = 1, 2, 3, seuraa: ( B) = ( A \ A 1) = ( A) ( A 1) = 1, 2, 3, Lsäks o selvää, että Ste A = = 1 = 1 B ( A 1 ) = ( B = = 1 ) B A 1 A TKK () Ilkka Mell (2004) 98 Lause 1: Todstus kohdalle () 3/4 Koska joukot B, = 0, 1, 2, 3, ovat paretta tosesa possulkeva, Kolmogorov aksoomasta () seuraa: ( B ) ( ) ( ) 1 = B B = = + lm = 1 = 1 Sjottamalla tähä ( B ) = ( A) ( A ), = 1,2,3, saadaa lm ( B ) = lm ( A1) ( A2) ( A1) = 1 + ( A3) ( A2) + ( A 1) ( A 2) + ( A) ( A 1 ) = lm ( A ) + 1 Lause 1: Todstus kohdalle () 4/4 Yhdstämällä edellä johdetut tulokset saadaa lopulta: ( A ) ( ) ( ) 1 = B 1 = A lm = = + TKK () Ilkka Mell (2004) 99 TKK () Ilkka Mell (2004) 100 Lause 1: Todstus kohdalle () 1/3 Määrtellää C0 = S C1 = A1 C2 = A2 C3 = A3 ja ylesest C = A, = 1,2,3, Oletuksesta A 1 A, = 1, 2, 3, seuraa:, C = A A = C = 1,2,3, 1 1 Lause 1: Todstus kohdalle () 2/3 Sovelletaa joukkoh C, = 1, 2, 3, Lausee 1 kohtaa (): ( C ) lm ( ) 1 = C = + Koska C = A, = 1,2,3,, ( C ) ( = A ) = 1 ( A), = 1,2,3, DeMorga la mukaa ( ) ( ) C = A = A = 1 = 1 = 1 Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa ( C 1 ) 1 ( C = = = 1 ) TKK () Ilkka Mell (2004) 101 TKK () Ilkka Mell (2004) 102

18 TKK () Ilkka Mell (2004) 103 Lause 1: Todstus kohdalle () 3/3 Yhdstämällä edellä johdetut tulokset saadaa lopulta: ( A 1 ) = ( C = = 1 ) = 1 ( C = 1 ) ( C ) ( A ) ( A ) = 1 lm + = 1 lm 1 + = lm + Lause 2 Olkoo ( S, F,) todeäkösyyskettä ja A1, A2, A3, F. Jos A A A, ( A ) lm = 0 + TKK () Ilkka Mell (2004) 104 Lause 2: Todstus Jos A A A, Ste A = = 1 Lausee 1 kohda () mukaa ( A ) ( ) = 1 = = 0 ( A ) lm ( ) 1 = A = + Yhdstämällä ämä tulokset saadaa: lm ( A ) = 0 + Lause 2 ja Kolmogorov aksoomat Vodaa osottaa, että Kolmogorov aksooma () A1, A2, A3, F ja A Aj =, j ( A) = ( A) o yhtäptävä aksoome () A1 A2 = ( A1 A2) = ( A1) + ( A2) (v) A A A lm A = ( ) kassa. Aksoomaa (v) kutsutaa use todeäkösyyde jatkuvuusaksoomaks. TKK () Ilkka Mell (2004) 105 TKK () Ilkka Mell (2004) 106