Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja"

Transkriptio

1 Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa yksikäsitteinen yksikköympyrän piste P x, y) niin, että matkapitkinympyrän kehää pisteestä A vastapäivään on t Sovitaan, että x cost ja y sint Jos x 0, sovitaan, että y x tant ja jos y 0, niin sovitaan, että x cott Jost<0, määritellään y samat asiat niin, että matkaa:sta P :hen kuljetaan myötäpäivään Valtaosa trigonometristen funktioiden perusominaisuuksista saadaan tarkastelemalla yksikköympyrää Etenkin funktioiden positiivisuus, kasvavuus ja jaksollisuus nähdään yksikköympyrästä Erityisesti esimerkiksi sentapaiset relaatiot kuin π ) sin 0 sin π 0, cos 0 1, cosπ) 1, sin cos01, π ) sin t cost, sin t + π ) cost, cos t + π ) sin t, sin t) sin t, cos t) cost, sinπ t) sint, cosπ t) cos t, cos t +sin t 1, sint + n π)) sin t, cost + n π)) cos t, n Z) jnenäkyvät välittömästi Kun otetaan huomioon kulman suuruuden määrittely radiaaneina ja kolmioiden yhdenmuotoisuus, saadaan suorakulmaisen kolmion kulmien trigonometrisille funktioille vakiintuneet määritelmät Joskus muistikulmiksi kutsuttujen kulmien trigonometristen funktioiden arvot, sellaiset kuin esimerkiksi sin 45 cos 45 1,sin30 cos 60 1 tai cos 30 sin60 1 3, nähdään välittömästi Pythagoraan lauseen avulla tasakylkisestä suorakulmaisesta kolmiosta ja tasasivuisesta kolmiosta Ne on tosiaan hyvä muistaa! Ellei muuta sanota, tarkasteltava kolmio on ABC ja BC a, CA b, AB c; ABC β, BCA γ, CAB α, R ympäri piirretyn ympyrän säde, r sisään piirretyn ympyrän säde Kolmion ala on T 1 ab sin γ ja kolmion piiri on p a + b + c Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on O ja sisään piirretyn ympyrän keskipiste on I a 1 Osoita, että sin α b sin β c R sinilause) sin γ Ratkaisu Oletetaan, ettäkulmacab on terävä Suora CO leikkaa ABC:n ympäri piirretyn ympyrän myös pisteessä A Kehäkulmalauseen nojalla CA B CAB α Kolmio A BC on suora, koska A C on ympyrän halkaisija Siis sin α a Jos CAB on R tylppä, niin ABA C on jännenelikulmio, CA B 180 α ja sin CA B sinα Koska kolmio A CB on suorakulmainen, sin CA B a R Osoita, että sinα + β) sinα cos β +cosα sin β ja cosα + β) cosα cos β sin α sin β

2 Ratkaisu Olkoon ensin 0 α< π,0 β < π Olkoon AOG α, BOA β, OA OB 1, CD OG, BF OG, CE BF ja BC OA Silloin BF sinα + β), OF cosα + β), CBF α Nyt BC sinβ, BE BC cos α cosα sin β, OC cosβ, EF CD OC sin α sinα cos β sinα+β) BF EF+BE sinα cos β+cos α sin β; vastaavalla tavalla johdetaan jälkimmäinen kaava laskemalla EC sinα sin β ja OD cosα cos β Sinin ja kosinin määritelmä yksikköympyrän avulla johtaa relaatioihin sin α cos α π ) ja cos α sin α π ) Näitä toistuvasti käyttäen saadaan yhteenlaskukaavat todistetuiksi kaikille α 0, β 0 3 Osoita, että a b + c bc cos α kosinilause) Ratkaisu A:sta piirretty korkeusjana muodostaa kaksi suorakulmaista kolmiota; niiden suoralla BC olevien kateettien pituudet ovat b cos γ ja c cos β Riippumatta siitä, onko jompikumpi kulmista β, γ tylppä vaiei,ona b cos γ + c cos β Sinilauseen perusteella b sin γ c sin β 0 Siis a a +0 b cos γ + c cos β) +b sin γ c sin β) b + c + bccos β cos γ sin β sin γ) b + c +bc cosβ + γ) Mutta cosβ + γ) cos180 α) cos α, javäite seuraa 4 Osoita, että cos π Ratkaisu Olkoon ABCDE säännöllinen viisikulmio ja AB 1 LeikatkootAD ja BE pisteessä F OlkoonEF x Ympyrän viidennestä vastaavinakehäkulmina kulmat EAD, BEA, BAC ja CAD ovat kaikki π Kolmio FEA on siis tasakylkinen Mutta 5 kulmat BAD ja AF B ovat molemmat π toinen kulmien BAC ja CAD summana, 5 toinen kolmion FEA kulman vieruskulmana) Siis kolmio BFA on tasakylkinen, joten BF 1 Yhdenmuotoisista kolmioista ABE ja FEA saadaan nyt x :11:1+x) Tästä ratkaistaan x 1 5 1) Kolmiosta FEA saadaan kosinilauseen perusteella x 1+x x cos π 5 Siis cos π Osoita, että T pp a)p b)p c) Heronin kaava) Perimätiedon mukaan kaavaa ei saisi käyttää ylioppilaskirjoitusten matematiikan kokeessa, ellei todista sitä oikeaksi) Ratkaisu Koska p a b + c a jne, voidaan käyttää toistuvasti kaavaa x+y)x y)

3 3 x y ja kosinilausetta Saadaan 16pp a)p b)p c) b + c + a)b + c a)a +b c))a b c)) b + c) a )a b c) )bc +b + c a ))bc b + c a )) 4b c b + c a ) 4b c bc cos α) 4b c sin α 16T, eli väite 6 Osoita: kaikista kolmioista, joilla on sama piiri, tasasivuisella kolmiolla on suurin pintaala Ratkaisu Aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välisen epäyhtälön perusteella T /3 p 1/3 p a)p b)b c)) 1/3 p 1/3 1 3 p a)+p b)+p c)) 1 3 p4/3 Epäyhtälössä valitsee yhtäsuuruus, jos ja vain jos p a p b p c eli a b c [Todistetaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö kolmen luvun positiivisen luvun x, y ja z tapauksessa On osoitettava, että x + y + z) 3 7xyz ja että x + y + z) 3 7xyz vain, jos x y z Todistettava epäyhtälö onx 3 + y 3 + z 3 +3x y +3xy +3y z +3yz +3z x +3zx + 6xyz 7xyz Kun otetaan huomioon epäyhtälö 3xy z) + yz x) + zx y) ) 0, missä yhtäsuuruus on voimassa vain, jos x y z, todistettava epäyhtälö jää muotoon x 3 + y 3 + z 3 3xyz 0 Mutta tämän epäyhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa muotoon x + y + z)x + y + z xy yz zx) 0 ks esim Algebran alkeita valmennuksen sivuilla) Vasemman puolen toinen sulkulauseke on 1 x y) +y z) +z x) ); se on 0ja0vain,kunx y z] 7 Osoita, että T pr abc p a)p b)p c) ja että r 4R p Ratkaisu Jaetaan kolmio kolmeksi kolmioksi BCI, CAI ja ABI Kunkin korkeus on r ja kannat a, b ja c Siis T 1 ar + 1 br + 1 cr pr Väitetty r:n lauseke saadaan Heronin kaavasta Toisaalta sinilauseen perusteella T 1 ab sin γ 1 ab c R Kolmion sivuympyrä on ympyrä, joka sivuaa yhtä kolmion sivua ja kahden muun sivun jatkeita Merkitään sivuympyröiden säteitä kirjaimin r a, r b ja r c 8 Osoita, että r a pp b)p c), r b p a pp c)p a), r c p b pp a)p b) p c

4 4 Ratkaisu Katso kuvaa) Koska pisteestä sivuamispisteisiin piirretyt tangenttien osat ovat yhtä pitkät, on a DB + FC b + c AD, joten AD 1 b + c a) p a ja AG AH + AG AC + CK + AB + BK p Siis AG p Yhdenmuotoisista kolmioista AGJ ja ADI saadaan r a p p a r p p a p a)p b)p c) p pp b)p c) p a r b ja r c saadaan kiertovaihtelulla 9 Osoita, että T r a p a) r b p b) r c p c) rr a r b r c Ratkaisu Ensimmäiset yhtälöt seuraavat yhtälöistä T pr ja r a p r vast b ja p a c) Viimeinen alan lauseke saadaan, kun yhtälöt T pr ja tehtävässä annetut kolme ensimmäistä yhtälöä kerrotaan keskenään ja otetaan huomioon Heronin kaava 10 Osoita, että 1 r a + 1 r b + 1 r c 1 r Ratkaisu Numeroiden 9 ja 7 perusteella 1 r a + 1 r b + 1 r c p a)+p b)+p c) T p pr 1 r 11 Osoita, että sinα β) sinα cos β cos α sin β ja cosα β) cosα cos β +sinα sin β Ratkaisu Merkitään yhteenlaskukaavoissa α + β x Silloin sin x sinα cosx α)+cosα sinx α) cos x cosα cosx α) sin α sinx α) Kun eliminoidaan cosx α), saadaan cos α +sin α)sinx α) sinx cos α cos x sin α eli sinx α) sinx cos α cos x sin α Vastaavalla tavalla saadaan kosinin vähennyslaskukaava, kun eliminoidaan sinx α)

5 5 1 Osoita, että tanα ± β) tan α ± tan β 1 tan α tan β Ratkaisu tanα ± β) sinα ± β) cosα ± β) sin α cos β ± sin β cos α cos α cos β sin α sin β Väite seuraa, kun osoittaja ja nimittäjä jaetaan tulolla cos α cos β On tietenkin otettava huomioon, että eräillä α:n ja β:n arvoilla väitteenä oleva kaava ei ole mielekäs) 13 Osoita, että sinα) sinα cos α, cosα) cos α 1 ja cos3α) 4cos 3 α 3cosα Ratkaisu Ensimmäinen kaava on sinin yhteenlaskukaava, kun β α Vastaavasti kosinin yhteenlaskukaava on tässä tapauksessa cosα) cos α sin α cos α 1 cos α) cos α 1 Edelleen cos3α) cosα + α) cosα)cosα sinα)sinα cos α 1) cos α sin α cos α cos 3 α cos α 1 cos α)cosα 4cos 3 α 3cosα 14 Osoita, että sinx) tanx 1+tan x, cosx) 1 tan x 1+tan x ja tanx) tanx 1 tan x Ratkaisu Koska niin ja 1+tan x cos x +sin x cos x sinx) sinx cos x tanx cos x cosx) cos x 1 tanx) sinx) cosx) 1 cos x, tanx 1+tan x 1+tan x 11 tan x 1+tan x tanx 1 tan x 15 Osoita, että sin x 1+cosx tanx 1 cos x sin x Ratkaisu Seuraa heti edellisestä

6 6 16 Osoita, että sin x +siny sin x + y cos x y Ratkaisu Olkoon x t + u ja y t u Silloin t x + y ja u x y Toisaalta sin x +siny sint + u)+sint u) sint cos u +cost sin u)+sint cos u cos t sin u) sint cos u sin x + y 17 Osoita, että cos x y sin x + y + z)+sinx y + z)+sinx + y z) sinx + y + z) 4sinx sin y sin z Ratkaisu Ryhmitellään todistettavan yhtälön vasen puoli uudelleen ja käyytetään sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoja: sinx + y) z) sinx + y)+z)) + sinz +x y)) + sinz x y)) cosx + y)sinz +sinz cosx y) 4sinx sin y sin z 18 Osoita, että sin a +sinb +sinc 4sina + b)sinb + c)sinc + a)+sina + b + c)) Ratkaisu Merkitään a + b x, b + c y ja c + a z Silloin x + y + z a + b + c) x + y + z c, x y + z a ja x + y z b Todistettava yhtälö muuttuu samaksi kuin edellisen numeron yhtälö 19 Osoita, että kolmiossa on sin α +sinβ +sinγ 4cos 1 α cos 1 β cos 1 γ Ratkaisu Numeron 16 tulos, se että α + β + γ 180 ja kaksinkertaisen kulman sinin kaava antavat sin α + β Lisäksi sin α + β sin α +sinβ +sinγ sin α + β cos α β +sin α + β cos α + β cos α β sin α + β sin α + β cos α cos β sin 90 γ ) cos γ,jatodistusonvalmis +sinα + β) cos α + β +cos α β )

7 7 0 Osoita, että kolmiossa on r 4R sin α sin β sin γ 1 ratkaisu Pätee T pr ab sin γ eli a + b + c)r ab sin γ Muunnetaan a, b ja c sinilauseen avulla Saadaan Rsin α +sinβ +sinγ)r 4R sin α sin β sin γ eli, kun käytetään kaksinkertaisen kulman sinin kaavaa, r R α sinα sin β sin γ 16 sin sin α +sinβ +sinγ sin β sin γ cos α cos β cos γ sin α +sinβ +sinγ Väite seuraa nyt edellisen numeron tuloksesta ratkaisu Numeron 8 kuvan mukaisesti Siis joten 1 cos α tan α 1+tan α r p a p b)p c) pp a) pp a)+p b)p c) pp a) a + b + c) a + b + c)+a b + c)a + b c) 4pp a) b + c) a + a b c) 4pp a) bc pp a), sin α tanα cos α p b)p c) bc Kun muodostetaan kiertovaihtelulla toiset kaksi puolen kulman siniä jakerrotaanlausekkeet, saadaan sin α sin β sin γ p a)p b)p c) abc p a)p b)p c) 4prR r 4rR r 4R, ja todistus on valmis

8 1 Osoita, että kolmiossa on tan α tan β tan γ tanα +tanβ +tanγ Ratkaisu Koska sin α sin β sin γ tan α tan β tan γ cos α cos β cos γ ja sin α cos β cos γ +cosα sin β cos γ +cosα cos β sin γ tan α +tanβ +tanγ, cos α cos β cos γ niin todistettavaksi jää yhtälö sinα sin β sin γ sinα cos β cos γ +cosα sin β cos γ + cos α cos β sin γ eli sinα + β)cosγ sinγ cosα + β)) eli sinα + β + γ) 0 Mutta viimeinen yhtälö ontosi,koskaα + β + γ π Osoita, että kolmiossa on cos α +cos β +cos γ 1 cosα cos β cos γ 8 Ratkaisu Koska γ π α + β), niin cos γ cosα + β) Siis cos α +cos β +cos γ cos α +cos β +cos α + β) cos α +cos β +cosα cos β sin α sin β) cos α +cos β +cos α cos β cosα cos β sin α sin β +sin α sin β cos α +cos β +cos α cos β cosα cos β sin α sin β +1 cos α)1 cos β) 1+cos α cos β cosα cos β sin α sin β 1+cosα cos β cosα + β) 1 cosα cos β cos γ 3 Osoita, että sin x sin y 1 cosx y) cosx + y)) ja cos x cos y 1 cosx y) + cosx + y)) Ratkaisu Seuraa suoraan kosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavoista 4 Määritä lausekkeen sin α +sinβ sin γ cos α suurin arvo α, β ja γ kolmion kulmat) Ratkaisu Oletetaan, että α π ja aluksi kiinteä Koska sin β sin γ 1 cosβ γ) cosβ + γ)) ja β + γ π α on kiinteä, lauseke on suurin, kun β γ Nyt α π β, joten sin α sinβ) jacosα sinβ) Siis sin α +sinβ sin γ cos α sin β) sin β cosβ) sin β4 cos β cos β +1) sin β cos β +1) sin β3 sin β) sin β 3 ) Koska β voidaan valita niin, että sin β 3, lausekkeen suurin 4 arvo tässä tapauksessa on 9 8 Jos α>π,cosα on negatiivinen, mutta sin β ja sin γ ovat positiivisia Lausekkeen arvo on siis pienempi kuin sin α ja siis pienempi kuin 1

9 9 5 Osoita, että kolmiossa on ja jos b c, β + γ a cos b + c cos β γ β + γ a sin b c sin β γ Mollweiden kaavat) Ratkaisu Käytetään hyväksi yksinkertaista algebrallista tosiasiaa, jonka mukaan Kun tätä sovelletaan sinilauseeseen, saadaan x y z t x y x + z y + t a sin α b + c sin β +sinγ eli a b + c sin α sin β +sinγ β + γ sinβ + γ) sin cos β + γ sin β +sinγ sin β + γ cos β γ cos β + γ cos β γ Jälkimmäinen Mollweiden kaava saadaan samoin sinilauseesta seuraavasta relaatiosta a sin α b c sin β sin γ 6 Kaksi reaalilukujonoa on määritelty seuraavasti: x 1 y 1 3 x n+1 x n + 1+x n, y n+1 y n 1+ 1+y n kaikilla n 1 Osoita, että <x n y n < 3, kunn>1 Ratkaisu Merkitään x n tant n ja y n tanu n Silloin t 1 u 1 π 3 ja tan u n+1 y n+1 tan u n 1+ 1 cos u n sin u n cos u n +1 tanu n

10 10 Siis u n+1 u n ja u n π Toisaalta 3 n 1 tan t n+1 x n+1 tant n + 1 cos t n sin t n +1 cos t n tan 1 π 4 t n π ) cot 4 t ) n tan π ) cos t n +1 π ) sin t n tn + π ) 4 Siis t n+1 t n + π Geometrisen sarjan summan kaavaa hyväksi käyttäen ja sieventäen 4 saadaan π t n 3 + π 1 1 ) π n 1 n 1 π 3 n Mutta nyt x n y n tant n tan u n π cos 3 sin π cos π n 3 n 1 sin π 3 cos π 3 n cos n 3 n 1 π 3 1 n Kun n>1, kosinin argumentti edellä onvälillä0, π 3 6 ); tällöin kosini itse on välillä, 1) Koska z z z 1 on vähenevä, kun z>1, niin x ny n :narvotovatvälillä, 3) Nähdään myös, että lim n x n y n 7 Muunna lauseke a sin x + b cos x muotoon A sinx + α) Ratkaisu Voidaan olettaa, että a + b 0 Valitaan A a + b Silloin a ) b + A A ) 1 ) a Koska siis A, b on yksikköympyrän piste, on olemassa α siten, että a A cos α ja A b A sin α Siis a sin x + b cos x Asin x cos α +cosx sin α) A sinx + α) 8 Määritä funktion f :[0, π] R, fx) 8cosx +15sinx 17 suurin ja pienin arvo Ylioppilastehtävä vuonna 198, vilkasta keskustelua Suomi4-keskustelupalstalla 009) Ratkaisu fx) 17sinx + α) 17 Koska 1 sinx + α) 1ja molemmat rajat saadaan jollakin x [0, π], f:n suurin arvo on 0 ja pienin 34

11 9 Olkoon P 1 x) x ja P j x) P 1 P j 1 x)) kaikilla j>1 Osoita, että kaikilla n yhtälön P n x) x kaikki juuret ovat reaalisia ja eri suuria IMO 1976) Ratkaisu Polynomin P j aste on kaksi kertaa polynomin P j 1 aste Koska P 1 on toista astetta, P j :n aste on j Huomataan, että P cos t) 4cos t cos t 1) cost) Induktiolla saadaan helposti, että P j cos t) cos j t) Yhtälö P n cos t) cost on siis sama kuin cos n t)cost Yhtälön toteuttavat t:n arvot n t t +kπ, n t t +kπ, eli esimerkiksi välin [0, π) luvut t kπ n 1, k 0, 1,, n 1 1, t kπ n +1, k 1,,, n 1 Lukuja on n kappaletta Jos ne ovat kaikki eri suuria, niin kukin tuottaa yhtälölle P n cos t) cost eri juuren, sillä kosinifunktio on monotoninen välillä [0,π) Mutta jos 0 p n 1 1ja1 q n 1 ja p n 1 q n +1, niin n q p) q + p n 1, mikä on mahdotonta Olemme löytäneet yhtälölle P n x) x sen asteluvun osoittaman määrän eri suuria reaalisia juuria, joten olemme löytäneet ne kaikki 30 Ratkaise trigonometriaa käyttäen yhtälö x + px + q 0,kunp > 4q Ratkaisu Olkoon q>0 Yhtälö onyhtäpitäväyhtälön ) x + p x +10 q q q eli yhtälön x q q p ) x 1+ q kanssa Jos valitaan t niin, että sint) p ja x niin, että x q tan t, niin yhtälö toteutuu Jos q<0, niin yhtälöonyhtäpitäväyhtälön x q ) + p q q x q eli q p x q ) x 1 q q kanssa Valitaan t niin, että tant ja x niin, että x q tan t Yhtälö toteutuu p

12 1 31 Ratkaise trigonometriaa käyttäen yhtälö x 3 + ax + bx + c 0 Ratkaisu Merkitään y x + a Yhtälö saa muodon 3 y 3 ay + a 3 y a3 7 + ay a 3 y + a3 9 + by ab 3 + c 0 eli merkintöjä lyhentäen y 3 + py q Olkoon nyt y r cos t Yhtälö tuleemuotoon 8r 3 cos 3 t +pr cos t q eli 4cos 3 t + p r cos t q r 3 Olkoon r p 3 Silloin yhtälö saa muodon 4 cos3 t 3cost cos3t) q Tästä voidaan jos parametrit ovat sopivia) ratkaista t, jonkajälkeen saadaan y ja x [Osoittautuu, r3 että menetelmä toimii silloin, kun kolmannen asten yhtälön kaikki juuret ovat reaalisia Tällöin ns Cardanon kaavoja käytettettäessä on koukattava kompleksilukujen kautta] 3 Ratkaise yhtälö x 3 +x 5x 60 Ratkaisu Muuttujanvaihto x y 3 johtaa yhtälöön y y 56 Tästä saadaan 7 q r t:lle saadaan olennaisesti kolme eri likiarvoa t 0, ja 19 t 0, ± π ; Vastaavat y:n arvot ovat,666,,333 ja 0,333 3 Siten alkuperäisellä yhtälöllä on kolme juurta x,x 3 jax 1 33 Määritä pinta-alaltaan suurin sellaisista nelikulmioista, joiden sivut ovat a, b, c ja d Ratkaisu Olkoon tarkasteltava nelikulmio ABCD niin, että AB a, BC b, CD c ja DA d Olkoon vielä ABC φ ja CDA ψ sekä nelikulmion ala S Silloin S ab sin φ + cd sin ψ ja AC a + b ab cos φ c + d dc cos ψ Siis ab sin φ + cd sin ψ S ab cos φ cd cos ψ a + b c d Korotetaan yhtälöt puolittain neliöön ja lasketaan yhteen; saadaan a b + c d +abcdsin φ sin ψ cos φ cos ψ) 4S + a + b c d ) 4 Nyt S on suurin mahdollinen, kun sin φ sin ψ cos φ cos ψ cosφ + ψ) on suurin mahdollinen Tämä tapahtuu silloin, kun φ + ψ π Mutta nelikulmio, jonka vastakkaiset kulmat ovat vieruskulmia, on jännenelikulmio eli nelikulmio, jonka ympäri voidaan piirtää ympyrä

13 34 Jännenelikulmion sivut ovat a, b, c ja d Määritä sen ala Ratkaisu Edellisen numeron mukaan kun siis sin φ sin ψ cos φ cos ψ 1) alalle S saadaan, kun käytetään toistuvasti relaatiota x + y x + y)x y), 16S 4ab + cd) a + b c d ) ab + cd) a b + c + d )ab + cd)+a + b c d ) a b) +c+d) )a+b) c d) ) a+b+c+d)a b+c+d)a+b c+d)a+b+c d) Jos otetaan käyttöön merkintä p a + b + c + d, huomataan, että a + b + c + d p a jne Saadaan Brahmaguptan kaava jännenelikulmion pinta-alalle S p a)p b)p c)p d) 35 Todista, ettäjännenelikulmion lävistäjientuloonsamakuinsenvastakkaistensivu- parien tulojen summa Ptolemaioksen lause) Ratkaisu Käytetään edellisten numerojen merkintöjä Olkoon AC x ja BD y Koska ψ π φ, x a +b ab cos φ ja myöskin x c +d +cd cos φ Eliminoidaan näistä yhtälöistä cosφ Saadaan ab + cd)x a + b )cd +c + d )ab adac + bd)+ bcbd + ca) eli x ad + bc)ac + bd) ab + cd Kun tehdään kiertovaihtelu a b, b c, c d, d a, saadaan 13 y ba + cd)bd + ca) bc + da Mutta kun edelliset kaksi yhtälöä kerrotaan keskenään, saadaan x y ac+bd)bd+ca) ac + bd),eliväite

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät

Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät Matematiikan olympiavalmennus 2015 syyskuun tehtävät Ratkaisuja 1. Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan sisäpuolisesti pisteessä T. Ulomman ympyrän sekantti AB on sisemmän ympyrän tangentti pisteessä P. Osoita,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot