Integraalista ja joukon mitan käsitteestä. MariaArkko
|
|
- Juuso Hiltunen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Integraalista ja joukon mitan käsitteestä MariaArkko MatematiikanProGradu-tutkielma Jyväskylänyliopisto Matematiikanjatilastotieteenlaitos Kevät2012
2 1 JOHDANTO Työntarkoituksenaolitarkastellaintegraalilaskennankehittymistälähtienliikkeelle antiikistaedetenlopultariemanninjalebesguentöihin.historiaosuuttaonpääasiassakoottutieteidenkuningattaren[2]jasuomelanluentomonisteen[6]tietojenpohjalta,yksittäisiähavaintojaontehtymyösmuistalähdeteoksista.historiallisenkehityksentarkastelussalähdetäänliikkeelletyhjennysmenetelmänideastajapäädytään viipalointiperiaatteenkauttanykyisinkäytössäoleviinmerkintätapoihinjamääritelmiin. Määritelmien lisäksi tarjotaan myös tuloksia ja esimerkkejä funktioiden integroituvuudentutkimiseen.jordan-joukkojentarkastelunjälkeenfubininlauseja muuttujanvaihtotarjoavatkeinojaitseintegraalienhelpompaanlaskemiseen. RiemanninintegraalialaajennetaanvieläLebesguenulkomitanjamitallisuudenkauttayleiseenmittaanpäätyenlopultaLebesguenintegraalinmääritelmään.Ehdotuksenalukio-opetukseenmukaanonotettumyösintegraalienlaskemiseenkehittyneiden erilaistennumeeristenmenetelmientarkasteluaesimerkkienavulla.
3 2 Sisältö 1. Integraalinhistoriaa 1.1. Antiikki Fermat 6 2. Viipalointiperiaate 2.1. Tasoalueenpinta-ala Kappaleentilavuus Cavalieri Dierentiaali-jaintegraalilaskennankehittäminen Newtoninmääritelmä Cauchynmääritelmä Riemanninintegraaliylikompaktinvälin Nollamittainenjoukko Riemanninintegraaliylirajoitetunjoukon Fubininlause Jordan-joukkojasentilavuus MuuttujanvaihtoRiemanninintegraalissa Dieomorsmijamuuttujanvaihtolause Napa-japallokoordinaatit Lebesguenmittajaintegraali LebesguenmitanyhteysJordan-pituuteenyksiulotteisessaavaruudessa Lebesguenintegraali Ehdotus lukio-opetukseen: integraalien arvioiminen numeerisilla menetelmillä Keskipistemenetelmä Puolisuunnikasmenetelmä Simpsoninsääntö 36 Viitteet 39
4 3 1. Integraalinhistoriaa 1.1. Antiikki. Integraalinhistoriantarkasteluvoidaanaloittaatarkastelemalla kreikkalaistenintegraalilaskennanvastineenekshaustio-elityhjennysmenetelmänperiaatteita.menetelmännimiitsessäänesiintyykirjallisuudessavastavuonna1647gregoriuksenteoksessa'opusgeometricum'.myöslatinankielensanaexhauriantviittaa tyhjentämiseen. MenetelmänkehittelijäEudoksosKnidoslainen( eKr.)lähtiliikkeelleaksioomasta,jonkamukaanjoskahdellasuureellaonsuhde,niintoisellaonmonikerta, jokaontoistasuurempi.epäsuorallatodistuksellaaksioomastavoidaantodistaa ekshaustiomenetelmänperustanaolevaväite: Josannetustasuureestavähennetäänpuoletjasiitäedelleen vähennetääntaaspuoletjakuntätäprosessijatketaan, päädytäänlopultasuureeseenjokaonpienempikuinmikä tahansaannettusamankaltainensuure. VäitetunnetaanmyösnimelläArkhimedeenlemma,vaikkaitseArkhimedesmuotoilikinsenhiemaneritavalla.Nykymerkinnöillämeilläonsiisannettusuure M ja ennaltamäärätty>0:suhteestartiedetään,että0<r12:tällöinonolemassa kokonaislukunsiten,että Mrn< kaikillepositiivisillekokonaisluvuillen>n: Kreikkalaiset käyttivät periaatetta kuvioiden aloja ja tilavuuksia käsittelevien tulostentodistamiseen.arkhimedeelta( ekr.)löytyyesimerkiksitodistuskartion tilavuudelle vastaavan sylinterin tilavuuden kolmasosana. Arkhimedes käytti menetelmää sekä sisältä että ulkoapäin approksimointiin, hän siis sai pinta-aloille jonkinlaisenhaarukanmillävälilläpinta-alaon. Ympyränpinta-alaavoitiinarvioidapiirtämälläympyränsisä-jaulkopuolellemonikulmioita, joiden kulmien määrä kasvaa. Tällöin ympyrän ja monikulmioiden pintaalojenerotuspieneneejamonikulmionpinta-alanavullasaadaanarviomyösympyrän pinta-alalle.yleisestiottaenantiikinmatemaatikotolivatlähelläraja-arvonkäsitettä,vaikkakukaaneisitämääritellytkään.esimerkinomaisestiesitetääneukleideen
5 4 Elementassaesitettyepäsuoratyhjennysmenetelmänkäyttöäesittelevätulos,jonka voiolettaaolevanjuurieudoksoksenkäsialaa. 1.1.Lause.Ympyröidenalatsuhtautuvattoisiinsakuinhalkaisijoidenneliöt. Todistus.OlkoonmeilläsiiskaksiympyrääcjaC;joidenhalkaisijatovatdjaDja pinta-alatovatajaa,kuva1. Kuva1 Väitevoidaannytkirjoittaamuodossa aa = D2: d2 Epäsuorastiriittäänytsiistodistaa,ettäväitteet aa> D2 d2 ja A a < D2 d2 eivätoletosia. Jossiisoletetaan,että A a > D2; d2 silloinonolemassaa0<asiten,että a A= 0 D2: d2
6 5 Olkoona a0=>0annettu.lisäksiympyröidensisäänonpiirrettysäännölliset n-kulmiot,joidenpinta-alatvastaavastiovatpnjapn.josnytn-kulmioidensivujen määräkaksinkertaistuu,ympyränjamonikulmionvälinenpinta-alapieneneeainakin puolella,kuva2. Kuva2 Annettaessasivujenmääränkasvaa,ekshaustio-ominaisuudenperusteellapäädytään lopultatilanteeseen,jossaa pn<:koskaa a0=saadaannämäkaksitietoa yhdistämällätulos,ettäolisipn>a0: Monikulmoidenpinta-aloillevoidaanlaskeakaavat pn=d2 n 4 sin n cos n ja Pn=D2 n 4 sin n cos n : Pinta-alojensuhteellesaadaansiis Pn= pn D2: d2 Yhdistämälläsaatutulosaiemmantiedon a0 A= D2; d2 kanssa,saadaan a0 A=pn Pn: Todistetuntiedonpn>a0kanssapäädytäänepäyhtälöönpn>A:Saatutulosväittäisi,ettäympyränsisäänpiirretynsäännöllisenn-kulmionpinta-alaolisisuurempi kuinitseympyränala,mikäonselvästikinristiriita.toinenalunepäyhtälöistävoidaan
7 6 todistaavastaavallapäättelyllävirheelliseksi Fermat luvullaongelmaksinousikäyränallejäävänpinta-alanlaskeminen.EsimerkiksiPierreFermat( )lähestyiongelmaanykyisinkintutulla menetelmälläarvioidapinta-alaasuorakulmioilla.arvioitaessaesimerkiksikäyrän y=xnjax akselinväliinjäävääpinta-alaavälillä[0;a]välijaetaanpisteillä ae;ae2;ae3:::,kune<1.suorakulmiotmuodostuvatkunjokaisensyntyvän osavälinpäätepistemäärääsuorakulmionkorkeuden,kuva3. Kuva3 Nytsuorakulmioidenpinta-alojensummaksisaadaan AE=an(a ae)+anen(ae ae2)+ane2n(ae2 ae3)+::: Summavoidaansieventäämuotoon AE=an+1(1 1 En+1 E) = 1+E+E2+:::+En: an+1
8 7 Nytkunsuorakulmiotkapenevat,siis E! 1,niintällöin AE! Ajasummaksi saadaantuttu A= n+1: an+1 Fermatosasitehdävastaavanpäättelynnegatiivisillepotensseille,eikuitenkaankun n= 1.Fermatmyöshuomasikäänteisyydendierentioinninjaintegroinninvälillä muttaeisitämitenkäänerikoisemminkorostanut,eikaipitänytsitätärkeänä luvulletultaessaolikäytössäkaksirinnakkaistaapukeinoaintegrointiongelmien ratkaisemiseksi:innitesimaalitjaindivisiibelit.kielenkäyttönäistätermeistäolisekavaamuttayleisempimielipideoli,ettäinnitesimaalitovatkappaleenkanssasamaa ulottuvuutta,kuntaasindivisiibelitovatalempaaulottuvuutta.käytännönlaskemista termiensekavuuseihidastanut,käsitteidentasollaongelmiakuitenkinpohdittiin.in- nitesimaalienkohdallamietittiinmitenelementtejä,joillaonpaksuutta,saataisiin äärelliseentilavuuteenmahtumaanääretönmäärä.vastaavastiindivisiibelienkohdallamietittiinmitenkappaleista,joillaeiolepaksuutta,saadaankoottuapaksukappale. 2. Viipalointiperiaate Tyhjennysmenetelmänjälkeenintegraalinlaskemiseksisyntyiideahalutunpintaalantaitilavuudenlaskemiseksiviipaloimallaaluepienempiinosiin.Seuraavaksitarkastellaantasoalueenpinta-alanjakappaleentilavuudenlaskemisenhistoriallistakehitystäviipalointiperiaatteella.TämätarkastelujohtaamyöhemminFubininlauseeseen Tasoalueenpinta-ala. Aloitetaanviipalointiperiaatteentarkastelutasoalueen pinta-alasta.tarkastellaantasoaluetta,jotarajaayläpuoleltajatkuvanfunktion g:[a;b]!rjaalapuoleltajatkuvanfunktionf:[a;b]!rkuvaaja.jaetaanalue x-akseliavastaankohtisuoriinsuorakulmioihin,joidenleveyttämerkitäändx, kuva4.
9 8 Kuva4 Muuttujanxkohdallaviipaleenkorkeudeksisaadaanh(x)=g(x) f(x):näinollen suorakulmionpinta-alamuuttujanxkohdallaonh(x)dx:kokoalueenpinta-alasaadaan laskemallayhteenäärettömänmontatällaistasuorakulmiotaelilaskemallaintegraali A= Z b a h(x)dx: 2.2. Kappaleentilavuus. Vastaavaideatoimiimyöskappaleentilavuudenlaskemiseksi.Merkitäännytmuuttujanxkohdallakappaleenx akseliavastaankohtisuoran poikkileikkauksenpinta-alaaa(x);kuva5. Kuva5
10 9 Poikkileikkauskuvioksimuodostuunytlieriö,jonkapohjanpinta-alaonA(x)ja korkeusondx:kappaleentilavuusonlieriöidentilavuuksiensumma,jokavastaa integraalia V = Z b a A(x)dx: Riippuen nyt siitä kuinka helposti esimerkiksi juuri poikkileikkauksen pinta-ala saadaanlaskettua,saadaanperiaatettahyödynnettyäkäytännönongelmissa.kartion tilavuudellesaadaanlaskukaavasuhteellisenpienellävaivalla Esimerkki (Kartion tilavuus). Määritetään tilavuus kartiolle, jonka pohjan pinta-alaonajakorkeush.asetetaankartiositen,ettäsenpohjaonkohtisuorassa x akseliavastaanjasenhuippuontasossa,jokaleikkaax akseliakohtisuorastinollassa,kuva6. Kuva6 Kartiontilavuussaadaannytviipalointiperiaatteenmukaisestiintegraalista Zh 0 A(x)dx; missä A(x) on kartion x akselia vastaan kohtisuoran poikkileikkauksen pinta-ala muuttujanarvonxarvolla.muodostetaannytannettujentietojenavullajonkinlainen lausekepinta-alallea(x);jokavoidaansittensijoittaaitsessäänintegraaliin.
11 10 Poikkileikkauskuvioonpohjanapienemmässäkartiossa,jonkakorkeuson x:pieni kartioonyhdenmuotoinenkokokartionkanssasuhteessa x:h:kartioidenpohjien pinta-alojensuhdeonnytsuhteenneliö.tiedonavullavoidaanmuodostaaverranto A(x) A = h x2; jostasaadaanratkaistualausekepoikkileikkauksenpinta-alalle A(x)= h A2x2: Nytkartiontilavuussaadaanintegroituasaatuatulostahyödyntämällä Zh 0 A(x)dx= h A2 Z hx2dx=ah 0 3 : 2.3. Cavalieri. Ideaakappaleenviipaloinnistavoidaankäyttäähyväksiesimerkiksikunhalutaanselvittääkappaleentilavuusjonkintunnetunkappaleentilavuuden avulla.tätäideaakehittelibonaventuracavalieri( ),jokatutkitilavuuttaviipalointimenetelmällä.cavalierikäyttisamojamenetelmiä,joitajoarkhimedes käyttiantiikissa.jatkossasamojamenetelmiäkäyttivätvarsinaisetdierentiaali-ja integraalilaskennankehittäjätnewtonjaleibniz. SeuraavaCavalierinperiaatteenmuotoiluonperäisinvuodelta1634: Josyhdensuuntaistensuorienväliinpiirretäänkaksitasokuviotajajos mikätahansasanottujensuoriensuuntainensuoraleikkaaniistä yhtäpitkätviivat,niinkuviotovatyhtäsuuria;jajosyhdensuuntaistentasojenväliinkonstruoidaankaksikappalettajajosmikä tahansasanottujentasojensuuntainentasoleikkaaniistäyhtä suuretkuviotniinkappaleetovatyhtäsuuria. Cavalierinperiaatteenideanaonsiis,ettäjoskappaleidenleikkauskuvioidenpinta-alat vastaavattoisiaanniintällöinkappaleillaonoltavamyössamatilavuus Esimerkki (Pallontilavuuskartiontilavuudenavulla). HyödynnetäänCavalierinmenetelmääpallontilavuudenmäärittämissä,käyttäenhyödyksitunnettuakartiontilavuudenkaavaa. Määritelläänensinhalututkappaleet,jonkajälkeenvoidaantutkiapoikkileikkausten
12 11 pinta-aloja.merkitäänympyrälieriönkorkeuttajapohjansädettäkirjaimellar:poistetaan nyt lieriöstä kärjellään seisova ympyräkartio. Asetetaan näin muodostunut kappalepuolipallonkanssasamaantasoonjaleikataankappaleitapohjankanssa yhdensuuntaisellatasolla,kuva7. Kuva7 pinnanpinta-alaon(r2 Tasonetäisyyttäkappaleidenpohjastamerkitäänkirjaimellax:Nytpuolipallonleikkaus- kappaleenleikkauspinnanpinta-alaonmyöskin(r2 x2):vastaavastivoidaanlaskea,ettälieriöstäsyntyneen x2):näinollen Cavalierinperiaatteenmukaisestipuolipallontilavuusvastaalieriökappaleentilavuutta.Kuntiedetään,ettäkartionpoistaminenlieriöstäviekolmasosansentilavuudesta, jäljelläjäävänosantilavuusonkaksikolmasosaakokolieriöstäsiis 23 r3:kaksinkertaistamallapuolipallollesaatutulossaadaanpallontilavuudelletuttukaava 43r3: 2.3. Esimerkki. Määritelläänviipalointiperiaatteellatilavuuspyörähdyskappaleen puolikkaalle,jonkasivuleikkauskuvioonkäyräny=pxmuotoinen,kuva8. Nytx akseliavastaankohtisuorapoikkileikkausonpuoliympyränmuotoinen.tämän poikkileikkauksenpinta-alamuuttujanxkohdallaona(x)=12 x:kappaleentilavuudeksi,kunx2[0;a];saadaan V = Z a 0 A(x)dx= 2 Za 0 xdx=a2 4 :
13 12 Kuva8 3. Differentiaali-jaintegraalilaskennankehittäminen Varsinaiseninnitesimaalilaskennanelidierentiaali-jaintegraalilaskennankatsotaansyntyneenNewtonin( )jaLeibnizin( )toisistaanriippumattomantyöntuloksena.VaikkaNewtoneiensimmäisenäderivoinuttaiintegroinut,eikä nähnytnäidentoimenpiteidenyhteyttä,voidaanhänensanoavakiinnuttaneennämä teoriatyleiseksialgoritmiksi,jotavoitiinsoveltaamoniintunnettuihinfunktioihin. Leibniztaasenymmärsiitsetuloksiakehitellessäänhyvienmerkintöjentärkeydenja merkinnät R integraalillejadxinnitesimaalisellemuutokselleovatkinlähtöisinjuuri häneltä. Integraalin määritelmän kehittyminen pohjautuu kiinteästi teorioita tutkineisiin matemaatikoihinjaluontevaaonkinaloittaatarkastelunewtoninmääritelmästä,jossaonvieläpaljonepämääräisyyttä.lopultaraja-arvonkehittämisenmyötäpäädytään RiemanninmääritelmiinjaniistävieläedelleenLebesguenintegraaliin,edetenniin, ettäyhäsuurempaajoukkoafunktioitavoidaanintegroida Newtoninmääritelmä. Newtonilleintegraaliolivainderivaatankäänteisoperaatio.NykyajanmerkinnöinNewtoninintegraalillesaadaanseuraavamääritelmä Määritelmä (Newton). Välillä [a;b] määritelty reaaliarvoinen funktio f on Newton-integroituva,josvälillä[a;b]funktiollefonolemassaantiderivaatta, merkitäänf;jollef0=f:tällöinvoidaankirjoittaa (3.1) Zb a f(x)dx=f(b) F(a):
14 13 Newtoninintegraaliatäytyypitääkeskeneräisenä,koskaintegoituvuusjaintegraalin arvoriippuvatjostakinsellaisesta,jonkaolemassaolonmäärittämiseentailaskemiseen tarvittavaatapaaeioleannettu.ainoastaan,joställäinenfunktiofsatutaanlöytämään, niin integraali voidaan laskea. Muuten ei tiedetä onko integraalia edes olemassa. JatkossaesiteltävätCauchynjaRiemanninintegraalitvaativatmyösjotainfunktion jatkuvuudelta,newtoninmääritelmässäjatkuvuudestaeipuhuta Cauchynmääritelmä. Kunnollinenmääritelmäintegraalillesaadaankinvasta BernhardRiemannilta( )1800-luvunpuolivälissä. AugustinCauchy( )olimuotoillutvastaavanmääritelmänaiemminpelkästään jatkuvillefunktioille.teoriankehittymisenmahdollisticauchyntyöraja-arvojenparissa.seuraavassaesitelläännykyajanmerkinnöincauchynmääritelmäintegraalille,periaatteessasamallatavallakuinhänolisisenitseluennoillaanesittänyt. 3.2.Määritelmä(Cauchy).Olkoonfjatkuvavälillä[a;b]jaolkoonP välinjako a=x0<x1<:::<xn 1<xn=b: Muodostetaansumma S(f;P)= n X i=1 f(x i 1)(xi xi 1): OlkoonjjPjj=max1in(xi xi 1)jamääritellään (3.2) Zb a f(x)dx= jjpjj!0s(f;p): lim Cauchytodisti,ettätällainenraja-arvoonolemassa.JatkuvillefunktioillemuodostettuCauchynintegraalivastaaNewtoninintegraalia,kuitenkinjoissakinrajoittamattomissatilanteissaNewtoninmääritelmätoimiiCauchynmääritelmääparemmin. 4. Riemanninintegraaliylikompaktinvälin BernhardRiemann( )kehittiomaltaosaltaanintegraalinmääritelmää eteenpäin.
15 Määritelmä (Välinjako).ReaaliakselinkompaktillevälilleI=[a;b]voidaan määrittääjako P=fx0;x1;:::;xng; missäa=x0<x1<:::<xn=b:jakop jakaavälin[a;b]osaväleihin,joitaon nkappaletta. VälinjaonvoivastaavastimääritellämyösjoukolleIRn: VälinI=I1 ::: InRnjakoP onkarteesinentulo P=P1 ::: Pn; missäpionkomponenttiväliniijakomiosaväliin,i=1;::;n: Nytvoidaanmääritellämitätarkoitetaanporrasfunktiollarajoitetullefunktiolle Määritelmä (Porrasfunktio).Rajoitettufunktioh:I!Ronporrasfunktio josonolemassavälinirnjakop siten,ettäfunktiohonvakiojokaisenosavälin sisuksessa. Ennenkuinmäärittelemmeylä-jaalaporrasfunktioidenavullaRiemanninintegraalinmääritelläänensinmitätarkoitetaanalkeisintegraalilla. 4.3.Määritelmä(Alkeisintegraali).Olkoonh:I!RvälinIRnporrasfunktio japväliinliittyväjako.näinollenjokaisenosavälinijsisälläfunktiosaavakioarvon cj2r:porrasfunktionalkeisintegraaliksiylivälinimääritelläännyt S(h)=S(h;I)= X j cj(ij); missä(ij)onosavälinijgeometrinentilavuus. Huomautus.VälinIRngeometrinentilavuuson (I)=n(I)=(b1 a1) ::: (bn an); missäbj ajonvälinijpituus. Porrasfunktioidenavullasaadaanintegraalillemääriteltyäylä-jaala-integraali.Jos nämäintegraalitovatyhtäsuuretsaadaanrajoitetunfunktionintegraalimääritettyä.
16 4.4.Määritelmä(Riemanninintegraaliporrasfunktioidenavulla).Rajoitettu funktiof:i!ronriemann-integroituvaylivälini,mikälisenalaintegraali ala Z If=supfS(h;I):h:I!Rporrasfunktio;hfg jayläintegraali ylä Z If=inffS(g;I):g:I!Rporrasfunktio;gfg ovatyhtäsuuret,jolloinfunktionriemanninintegraaliylivälinion (4.1) ZIf=ala Z If=ylä Z If: 4.5.Esimerkki.Ylä-jaalaporrasfunktioidenavullasaadaanlaskettuaintegraali esimerkiksifunktiollef:[0;1]!r;f(x)=x2,vaikkakinmääritelmänkäyttöjakoineenontyölästä. Määritetäänfunktionf :[0;1]!R;f(x)=x2;integraaliylä-jaalaporrasfunktioidenavulla.Valitaanvälin[0;1]jaoksi P=f0;2 n;2 2 n;:::;(2n 1) 2 n;1g: Valitaannytosaväliltä[(m 1) 2 n;m 2 n]vasemmanpuoleisenpäätepisteenmukaan alaporrasfunktionh1arvojaoikeanpuoleisenpäätepisteenmukaanyläporrasfunktion h2arvo.tälläosavälilläon h1(x)= m 2n12 ja h2(x)= 2 mn 2: Tarkastellaanseuraavaksiporrasfunktioidenalkeisintegraaleja. Yläporrasfunktiollesaadaan S(h2)= k=1 2nX 2 kn 2 2 n= k=1 2nX k 2 2 3n =2 3n 2n(2n+1)(2 2n+1) = n+2 n+1+2 2n!1 3 ; kunn!1: Vastaavastisaadaanalaporrasfunktioille S(h1)= n 2 n+1+2 2n!1 3 ; kunn!1: 15
17 16 Nytkoska S(h1)!1 3 ja S(h2)!1 3 ; kunn!1; funktiofonmääritelmänmukaanintegroituvaja Z[0;1]f=1 3 : 4.6.Esimerkki.Ylä-jaalaporrasfunktioidenavullavoidaantutkiafunktionintegroituvuutta.Tarkastellaankinfunktionf:[0;1]!R; f(x)= 8 1; kunx2q >< 0; muulloin >: integroituvuutta. Nytjokaisellefunktionalaporrasfunktiolleonh10jayläporrasfunktiolleh21: TällöinonS(h1)0jaS(h2)1,janäinollenfeioleRiemann-integroituva. JatkossafunktionintegroituvuuttavoidaantarkastellaesimerkiksiRiemanninehdon avulla,jonkaideanaontarkastellaylä-jaalaporrasfunktioidenalkeisintegraalienerotusta.jostämäerotussaadaanmielivaltaisenpieneksi,niinfunktioonintegroituva. 4.7.Lause(Riemanninehto).Rajoitettufunktiof:I!RonRiemann-integroituva täsmälleensilloinkunjokaiselleannetulle>0löytyyporrasfunktioth1:i!rja h2:i!r;jotkatäyttävätehdoth1fh2ja (4.2) S(h2) S(h1)<: Todistus.Integroituvallefonporrasfunktioth1fjah2f,joille ZIf S(h1)< 2 ja S(h2) Z If< 2 ; jasitenehto(4.2)täyttyy.kääntäen,olkoon>0;jah1fh2siten,että(4.2) onvoimassa.silloin 0ylä Z If ala Z IfS(h2) S(h1)<; jotenfonintegroituva.
18 Esimerkki. Tarkastellaan aikaisemman esimerkin 4.5 ylä- ja alaporrasfunktioidenalkeisintegraalienerotusta.saadaan S(h2) S(h1)=1 6 2 n+1+2 n+2 ; jolloin,kunn!1,saadaan S(h2) S(h1)!0: Näinollenfunktiof:[0;1]!R;f(x)=x2;onintegroituva Nollamittainenjoukko. Tunnettaessatulos,ettäjatkuvafunktioonintegroituva,ks.[5,s.13],voidaanintegroituvuudentarkastelussakeskittyämiettimäänkuinka paljonfunktiollasaaollaepäjatkuvuuspisteitä.lebesguenehtoriemann-integroituvuudellekertoofunktionolevanriemann-integroituvakunepäjatkuvuuspisteidenjoukko onnollamittainen.määritelläänkinensinnollamittainenjoukko. 4.9.Määritelmä(Nollamittaisuus).JoukkoARnonnollamittainen,josjokaiselle >0löytyynumeroituvajoukkoperhe(Ik)k2NkompaktejavälejäIkRnsiten,että A k2nik [ ja X k2nn(ik)<: Nytsaadaanjohdettuatulosfunktionintegroituvuudelle Lause(Lebesguenehto).KompaktinvälinIRnrajoitettufunktiof:I!R onriemann-integroituvatäsmälleensilloinkunsenepäjatkuvuuspisteidenjoukko Ef=fx2I:feiolejatkuvapisteessäxg onnollamittainen. Todistus.Ks.[1,s ] Esimerkki.Tarkastellaanfunktionf:[0;1]!R; f(x)= 8 1; kunx2q >< 0; muulloin >: integroituvuuttalebesguenehdolla. NytepäjatkuvuuspisteidenjoukkoE=[0;1]eiolenollamittainen,eikäfunktiokaan sitenoleintegroituva.
19 Esimerkki. Olkoonjoukko A = fak = (ak1;ak2) 2 Q Q : k 2 Ngvälin I=[0;1] [0;1]rationaalipisteet.Tarkastellaannytfunktionf:I!R; f(x)= 8 2 k; kunx=akjollakink2n >< 0; kunx2ina >: integroituvuuttalebesguenehdolla. NytEf=A;jokaonnumeroituvanajoukkonanollamittainen.Jokainenx2InAon nimittäinjatkuvuuspiste: Jos>0onannettu,niin2 k<kunk>k:kunvalitaan 0<minfkx akk:k=1;:::;kg; niinkaikilley2b(x;)\ion f(y) f(x)<2 k: FunktioonsiisLebesguenehdonnojallaintegroituva. 5. Riemanninintegraaliylirajoitetunjoukon Riemanninintegraalirajoitetullejoukollesaadaanmääriteltyäpalauttamallatilanne integroinniksivälinyli.mietittäessämilloinfunktioonriemann-integroituvarajoitetunjoukonsuhteenlähestytäänasiaafunktionnollajatkonavulla. 5.1.Määritelmä (Funktionnollajatko).Funktionf :A!Rnollajatkojoukkoon BAonfunktiof0:B!R,jolle f0(x)= 8 f(x) kun x2a >< 0 kun x2bna: >: FunktionnollajatkonavullasaadaanmääritelmäfunktionRiemann-integroituvuudelle. 5.2.Määritelmä(Riemann-integroituvuus).OlkoonARnrajoitettujoukko. Rajoitettufunktiof:A!RonRiemann-integroituva,jossennollajatkof0:I!R kompaktiinväliiniaonintegroituva,jatällöin ZAf= Z If0:
20 Esimerkki. Tiedetään,ettäkompaktinvälin I Rn f:i!rgraagfonnollamittainen,ks.[5,s.17].josnytrajoitetunjoukonarn integroituvanfunktion funktiof:a!ronintegroituva,niinsennollajatkof0:i!rkompaktiinväliin IAonintegroituva.SitennollajatkongraaGf0onnollamittainen,jolloinsitäon myösgfgf0: 6. Fubininlause Tyhjennysmenetelmänjaviipalointimenetelmänperiaatteidenmukainenmenetelmä saada integraali paremmin laskettavaan muotoon saadaan Fubinin lauseesta. Useampiulotteisissatilanteissaintegrointisaadaanmuutettuaesimerkiksiuseammiksiyksiulotteiseksiintegroinneiksi.Vastaavaaideaahansoveltavatmyösesimerkiksi viipalointimenetelmä,jokamuuttaaesimerkiksikolmiulotteisentilanteenperäkkäisiksiintegroinneiksiyksi-jakaksiulotteisissatilanteissa.cavalierinperiaatteenmukaisestisaadaanesitettyäjoukonarn+1y-leikkauskiinteälley2rseuraavasti Ay=fx2Rn:(x;y)2Ag: NytvoidaanmuotoillaFubininlause. 6.1.Lause(Fubininlause).Oletetaan,ettäfunktiof:A!Ronintegroituva rajoitetussajoukossaarn+1:josjokaiselley2pn+1(a),missäpn+1onvastaava projektiokuvaus,funktionfy-leikkaus fy:ay!r:x7!f(x;y) onintegroituva,niinfunktio F:pn+1(A)!R:y7! Z Ayfy= Z Ayf(x;y)dx onintegroituva,jaonvoimassafubininyhtälö (6.1) ZAf= Z Af(x;y)d(x;y)= Z pn+1(a)f= ZAyf(x;y)dx Z pn+1(a)! dy: Todistus.Ks.[5,s.45].
21 Esimerkki.OlkoonI=[0;] [0;1] [0;2].Lasketaanfunktion f:i!r:f(x)=x1x23cos(x1x2) integraali Fubinin lausetta hyödyntäen. Funktion xi-leikkaukset, i = 1;2;3; ovat jatkuvinakuvauksinaintegroituvia,jotenfubininlausettavoidaansoveltaaperäkkäisiä kertoja.saadaan ZIf(x)dx= Z 2 0 x23 Z Z1 0 0 x1cos(x1x2)dx2dx1 dx3 = x3 Z sin(x1x2)dx1 =8 3 3 Z 0 sinx1dx1 =8 3 3( cos+cos0)=16 3 3: 6.3.Esimerkki.Olkoon D=f(x;y)2R2: 1x0; 0y1+xg: Lasketaanfunktionf:D!R:f(x;y)=1 y+xintegraalifubininlausettahyödyntäen.nytfunktionx jay leikkauksetovatjatkuvinakuvauksinaintegroituvia jafubininlausettavoidaannäinollenkäyttää.saadaan ZD(1 y+x)d(x;y)= Z 0 Z1+x 1 0 (1 y+x)dydx = Z 0.1+x 1 0 (y 2 1y2+xy)dx = Z 0(1 1 2 x2+x+1 2 )dx = x3+x2+x=1 6 : 7. Jordan-joukkojasentilavuus Laajennetaan nyt tarkastelua yleisempiin Jordan-joukkoihin. Määritellään ensin Jordaninsisä-jaulkotilavuudenkäsitteet,joidenavullasaadaansittentulosJordanmitallisuudelle.
22 Määritelmä.OlkoonSIkompaktillevälilleIRn:JokaisellevälinIjaolle määritelläänj(p;s)summaksiniidenosavälientilavuuksista,jotkasisältävätvain joukon S sisäpisteitäja J(P;S)summaksiosavälientilavuuksista,jotkasisältävät pisteitäjoukostas[@s:lukuja c(s)=supfj(p;s);ponvälinijakog c(s)=inffj(p;s);ponvälinijakog kutsutaanjoukonsn-ulotteiseksijordaninsisä-jaulkotilavuudeksi.joukonssanotaanolevanjordan-mitallinenjosc(s)=c(s):tällöintätäarvoakutsutaanjoukon Jordan-tilavuudeksijasitämerkitäänc(S): Huomautus.Ainaonvoimassa 0 c(s) c(s):edelleen,jos S onäärellinen joukko,niintällöinc(s)=c(s)=0:itseasiassajoukolle,jollaeiolesisäpisteitäon c(s)=0koskaj(p;s)=0: 7.2.Esimerkki.Rationaalilukujenjoukollemillätahansavälillä[a;b]Jordaninsisä- tilavuusonnolla,aivankutenvastaavalleirrationaalilukujenjoukolle.kuitenkinmolem- millejoukoillejordaninulkotilavuusonb a:itseasiassamolemmillejoukoille J(P;S) b akaikillajaoilla P;silläjokainenvälisisältääsekärationaali-että irrationaalilukuja.kumpikaanjoukoistaeiolesiisjordan-mitallinen. 7.3.Esimerkki.Ennenvarsinaistaintegraalinkeksimistäympyränpinta-alaapystyttiin arvioimaan piirtämällä sen sisä-ja ulkopuolelle monikulmioita ja seuraamalla mitämonikulmoidenpinta-alalletapahtuukunkulmienmääräkasvaa.tyhjennysmenetelmällesaadaannäinollenyhteysintegraaleihinjordaninsisä-jaulkotilavuudenkautta.muodostetaannytr säteisenympyränysisä-jaulkopuolellesäännölliset monikulmiot,joidenpinta-alaavoimmetarkastellajordaninsisä-jaulkotilavuutena. Syntyvätjoukoteivätoleaivanmääritelmän7.1mukaisiamuttaideapysyysamana. Sillä,jospinta-alojenerotuslähestyynollaakulmienmääränkasvaessa,onympyrä Jordan-mitallinenjoukko.Jaetaansiisympyräkulman=k;k2N;k4;mukaisestiosiin,kuva9.
23 22 Kuva9 Näinsaadaanmuodostettuamonikulmio,jossaonk= 2Nkulmaa.Sisäpuolelle muodostuvankulmionpinta-alasaadaanlaskettuakolmioista,jonkakorkeuson cos rjakanta2 sin r:saadaan J(P;Y)= cos sin r2: Vastaavastiympyränulkopuolellevoidaanmuodostaamonikulmiokolmioista,joiden korkeusonrjakanta2tan r:monikulmionpinta-alaksisaadaan J(P;Y)= tan r2: Näidenkahdenmonikulmionalojenerotukseksisaadaan r2 sin cos 1 cos : Nytkulmanpienentyessä sin!1 ja cos 1 cos!0: ErotuslähestyysiisnollaajaympyräontätenJordan-mitallinen. Jordan-tilavuusitsessäänonyhteydessäRiemanninintegraaliinkarakteristisenfunktionkautta.
24 7.4.Määritelmä(Karakteristinenfunktio).Funktio S:Rn!R:f(x)= 8 1 kunx2s >< 0 kunx2rnns; >: onjoukonsrnkarakteristinenfunktio. Jordaninsisä-jaulkotilavuusvoidaannytlausuaintegraaleina c(s)=ala Z IS(x)dx ja c(s)=ylä Z IS(x)dx; kunsikompaktillevälilleirnjasonjoukonskarakteristinenfunktio.seuraavanavoidaanantaajatkossahyödyllinentulossenmääräämiseksimilloinjoukko onjordan-mitallinen. 7.5.Lause.OlkoonSrajoitettujoukkoavaruudessaRnjamerkitäänjoukon reunaa@s:saamme c(@s)=c(s) c(s): TällöinjoukkoSonJordan-mitallinenjosjavainjosc(@S)=0;jaedelleenyhtäpitävästi täsmälleensilloinkun@sonnollamittainen. Todistus.Ks.[1,s.397],[5,5.Ÿ]. JatkossaJordan-joukontilavuusvoidaanlaskeasuoraankarakteristisenfunktion kautta.tilavuussaadaanintegroimallakarakterististafunktiotavälinisuhteen c(a)= Z IA= Z A1; milletahansakompaktillevälilleia: 7.6.Esimerkki. Osoitetaan,ettäjoukossa[0;1[ Rkäyrieny=paxjay=ax2; a>0;rajaamanalueenpinta-alaeiriipuvakiostaa: Ratkaistaanensinkäyrienleikkauspisteiksi x=0jax=a 1=3:Nytkoskakäyrien rajaamantasoalueenareunakoostuukahdestanollamittaisengraanosasta, ks.[5,s.17],onjoukonreunanollamittainenjajoukkoonjordan-joukko. 23
25 24 AlueenApinta-alaksisaadaannytFubininlauseella ZA1= Z a Zpax 0 1dydx 1 3 ax2 = Z pax 0 ax2dx =. a pax3 2 3 ax3=1 3 : Kutenhuomataanalueenpinta-alaeiriipuvakiostaa: 8. MuuttujanvaihtoRiemanninintegraalissa Useinintegroidessasyntyytilanteita,joissamuuttujanvaihdostaonapua.Ideana onsiismuuttaaintegroitavafunktioparemminintegroitavaanmuotoon,jolloinpitää kuitenkinottaahuomioonmyösintegrointialueenmuodonjakoonmuutos.muuttujanvaihdollevoidaanjohtaavarsinainenmuuttujanvaihtolause,jossaoletetaan,että itsemuuttujanvaihtokuvausondieomorsmijajoukotjoidensuhteenintegrointia suoritetaanovatjordan-joukkoja.tarpeenmuuttujanvaihdollejaintegrointialueen muutokselleluofubininlause,jonkahyödyntäminentehtävissäonriippuvainennimenomaanintegrointialueesta Dieomorsmijamuuttujanvaihtolause. MääritelläänensinmitätarkoitetaanJacobindeterminantilla.Tämänjälkeenvoidaanesitellätulosdieomorsmille. a Määritelmä (Jacobin determinantti). Avoimessa joukossa A Rn dierentioituvankuvaukseng:(g1;:::;gn):a!rnjacobindeterminanttipisteessäx2a on (8.1) Jg(x)=det[@igk(x)]i;k; toisinsanoensenderivaatandf(x):rn!rnmatriisindeterminantti. Muuttujanvaihdonkannaltahyödyllinentulossaadaandieomorsmille. 8.2.Lause(Dieomorsmi).OlkoonWRnavoinjoukkojaT:W!Rnjatkuvasti dierentioituvainjektio.josjt(x)6=0kaikillex2w;niint(w)rnonavoinja T:W!T(W)ondieomorsmi(ts.myösT 1onjatkuvastidierentioituva).
26 Todistus.Ks.[5,s.52] Lause(Muuttujanvaihtolause).Oletetaan,että 1)T:W!RnonjatkuvastidierentioituvakuvausavoimessajoukossaWRn; 2)RW onrajoitettujordan-joukkojolle RW;ja 3)jollekinsuljetullenollamittaisellejoukolleN R0:=(intR)nNrajoitettunakuvausT:R0!T(R0)ondieomorsmi. Ravoimeenjoukkoon SilloinT(R)onJordan-joukko,jarajoitetulleintegroituvallefunktiollef:T(R)!R onvoimassamuuttujanvaihtoyhtälö (8.2) ZT(R)f = Z R(fT)jJTj: Todistus.Ks.[7,s ]. MitanmielessävoidaantarkastellaJacobindeterminantinosuuttamuuttujanvaihdossa,seonkuitenkinjuurisekorjaustermi,jokaottaahuomioonintegrointialueen koonmuutoksenmuuttujanvaihtoakäytettäessä.keskeisiädieomorsiamuuttujanvaihtokuvauksiaovatmuunnoksetnapa-japallokoordinaatteihin Napa-japallokoordinaatit Napakoordinaattikuvaus. Napakoordinaattikuvaus g:r2!r2; g(r;)=(rcos;rsin); onjatkuvastidierentioituva,jotenjoukollew=]0;1[ ]0;2[on g:w!r2nf(x;0)2r2:x0g; g(r;)=(rcos;rsin); ondieomorsmi.napakoordinaattikuvauksellejacobindeterminantinitseisarvoon jjgj=r:
27 Esimerkki.Lasketaanalueen D=f(x;y)2R2;x2+y2a2;a>0g ylifunktionf :D!R:(x;y)7!(x2+y2)sintegraali,kuns0:Integroidessa käytetäännapakoordinaattimuunnostag,jolled=g(u)joukolleu=[0;a] [0;2]: Koskag:intU!g(intU)ondieomorsmi(ks.8.2.1),niinsaadaan ZDf= Z U(r2)s rd(r;)= Z 2 Za 0 0 r2s+1drd= s+1a2s+2: Tämäantaaesimerkiksitapauksissas=1;12;32vastaavasti a4 2 ; 2 3 a3 ja 2 5 a5: Pallokoordinaattikuvaus. Pallokoordinaattikuvaukselle g:]0;1[ ]0;2[ ] 2 ; 2 [!R3; g(r;;)=(rcoscos;rsincos;rsin); voidaanmyöslaskeajacobindeterminantti Jg=det 2 coscos rsincos rcossin sincos rcoscos rsinsin 5=r2cos: sin 0 rcos 7 PallokoordinaattikuvausonjoukossaU=]0;1[ ]0;2[ ] 2;2[jatkuvastidierentioituvainjektio,joten g:u!r3nf(x;0;z)2r3:x0g; g(r;;)=(rcoscos;rsincos;rsin); ondieomorsmi Esimerkki. Perinteinenkaavakolmiulotteisenpallontilavuudellasaadaanintegroimallapallokoordinaattimuunnoksenavulla.OlkoonsiisD=B(0;R)R3pallo,jonkasädeonRjakeskipisteorigo.Integrointirajoiksipallokoordinaattimuunnoksessasaadaan 0rR; 02; ja 2 2 :
28 27 KoskaintRonpallokoordinaattimuunnoksendieomorsuusalueella(ks.8.2.2),niin muuttujanvaihtolauseenavullapallontilavuudeksisaadaan ZD1d(x;y;z)= Z r2cosdrdd Z 2 2cosd Z R 0 r2dr =2 2 R3=4R3 3 3 : 8.6.Esimerkki.OlkoonB= B(0;1)suljettuyksikköpallo.Lasketaanintegraali 1 Z B p 2+x 2+y2+z2d(x;y;z): Käytetäänpallokoordinaattimuunnostag,jolloinuusiintegrointisuoritetaanjoukon R=f(r;;)2R3;0r1;02; 2 2 g ZR Z 2 2 suhteen.jacobindeterminantinarvoonsiisr2cos.koskaintronjälleenpallokoordinaattimuunnoksendieomorsuusalueella(ks.8.2.2),niinmuuttujanvaihtolauseen avullasaadaan 1 Z B p 2+x 2+y2+z2d(x;y;z)= Z 2 Z1 Z r2cosp2+r2drdd 1 2 =2 Z 2 2cosd 0 r p2+r2 rdr =2 sin r p2+r2 Z 1 0 p 2+r2dr =2 2 2 p3 1r p2+r logjr+p2+r2j =4 p3 p 2 3 log(1+p3)+0+logp2 p3 =4 2 log(1+p3)+logp2 : Z 1
29 Esimerkki.OlkoonjoukkoAR3alue,jotarajoittavatpallotx2+y2+z2=a2 jax2+y2+z2=b2;joille0<b<a:lasketaanpallokoordinaattikuvauksenavulla integraali 1 Z A 2dxdydz: Integrointisuoritetaannytjoukon (x2+y2+z2)3 R=f(r;;)2R3;bra;02; 2 2 g suhteen. KoskaintRonpallokoordinaattimuunnoksendieomorsuusalueella(ks.8.2.2),niin muuttujanvaihtolauseenavullasaadaan 1 Z A 2dxdydz= Z a Z2 r2cos b 0 r3 drdd (x2+y2+z2)3 = Z 2 0 d Z a1 b r dr Z 2 2cosd =2 ln a b a 2=4ln b 9. Lebesguenmittajaintegraali : SeuraavanatavoitteenaolisimääritelläjonkinlainenmittaavaruudessaRnsiten, ettäsevastaisiluonnollistageometristamittaajalisäksisentulisiollasiirtojenjakiertojensuhteeninvariantti.lisäksivaaditaan,ettäerillistenjoukkojenyhdisteenmitta onjoukkojenmittojensumma.mitanpystyisimyösunelmatilanteessamääräämään kaikillejoukoille.osoittautuukuitenkin,ettätästävaatimuksestatäytyyluopua. KaikkienjoukkojenkohdallavoidaankuitenkintutkiaLebesguenulkomittaa,jonka ideanaonpeittäämitattavajoukkoarnulkoapäinäärettömänmonellayksinkertaisellajoukolla. 9.1.Määritelmä(Lebesguenulkomitta).JoukonARnLebesguenulkomittaon luku m (A)=m n(a)=inf ( 1 X j=1 (I j):ij2k;aj=1 1 [ I j ) ; missä(ij)onavoimenn-välinijgeometrinenmittajakonavaruudenrnkaikkien avoimienn-välienjatyhjänjoukonmuodostamakokoelma. Z 2 2
30 MääritellylläLebesguenulkomitallavoidaantodistaaolevanuseitahyödyllisiä ominaisuuksia. 9.2.Lause.Lebesguenulkomitallem n:fa:arng![0;1]pätee 1)m n()=0; 2)monotonisuus:josAB,niinm n(a)m n(b); 3)subadditiivisuus:josA1;A2;:::Rn;niin 29 m n( k=1 1 [ A k) 1 X k=1 m n(ak); 4)m n(fxg)=0jokaisellex2rnjayleisemmin 5)josAonnumeroituva,niinm n(a)=0: Todistus.Ks.[3,s.9]. 9.3.Esimerkki.Välin[0;1]rationaaliluvuillevoidaanmäärittääLebesguenulkomitta.Koskavälinrationaalipisteidenjoukkoonnumeroituva,onsenulkomittalauseen 9.2perusteellanolla. Seuraavanatulisimiettiämillaisillejoukoillepätee,ettänumeroituvanmonenpis- tevieraanjoukonyhdisteenmittaontäsmälleenjoukkojenmittojensumma,toisinsa- noentutkiatäydellisenadditiivisuudentoteutumista.pohtimallakysymystäpäädytään Carathéodorynehtoon,jokamääritteleeLebesgue-mitallisetjoukot. 9.4.Määritelmä(Carathéodorynehto).JoukkoARnonLebesgue-mitallinenjos jokaiselleernpätee m n(e)=m n(e\a)+m n(ena): JatkossaavaruudenRnmitallistenosajoukkojenkokoelmastakäytetäänmerkintää Mn:YhdistämälläLebesgue-mitallisuusulkomitanmääritelmäänsaadaanmääriteltyäLebesguenmitta.
31 Määritelmä.JoukonARnLebesguenmittaon m(a)=mn(a)=m n(a); josjoukkoaonlebesgue-mitallinen. VastaavastikuinLebesguenulkomitallevoidaanmyösLebesguenmitallatodistaa olevanhyödyllisiäominaisuuksia. 9.6.Lause.Määritelläänjoukkofunktiom:Mn![0;1]asettamalla m(a)=m n(a): Tällöinjoukkofunktiomontäysadditiivinenmitta,toisinsanoen 1)m()=0;ja 2)josA1;A2;:::2Mnovatpareittainpistevieraita,niin m i=1 1 [ A i! = 1 X i=1 m(a i): Todistus.Ks.[3,s.15]. Lebesguenmitallaontyhjennysmenetelmäänliittyenrajankäyntiominaisuus: josmitallistenjoukkojenjono(ai)on 1)kasvava,niin m [ i Ai! =lim i!1m(ai); 2)väheneväjam(Ak)<1jollekink,niin m \ i Ai! =lim i!1m(ai): Todistus.Ks.[3,s.16] LebesguenmitanyhteysJordan-pituuteenyksiulotteisessaavaruudessa. LebesguenmitallajajoukonJordan-pituudellaonseuraavayhteys,ks.[1]: a)jokaisellerajoitetullejoukolleeonvoimassam (E)c(E): b) Olkoot E R rajoitettu joukko ja K joukon E kompakti osajoukko. Tällöin c(k)m (E): Nämäkaksitulostayhdistämälläsaadaan,ettäjokaisellekompaktillejoukolle
32 31 KRonvoimassac(K)=m onkompaktijoukko,päädytääntilanteeseen: JoukkoEonJordan-mitallinen,josjavainjossenreunaonnollamittainenLebesguen mielessä.tätäominaisuuttahankäytettiinjordaninjoukonmäärittelyyn Lebesguen integraali. Lebesguelähtitarkastelemaanintegrointiaeritavalla kuinriemannjamuutedeltäjänsä.riemannkeskittyiintegraalissaanlähtöjoukkoon jasenepäjatkuvuuspisteidenmäärään,kuntaaslebesguealoittitarkastelunmaalijoukonarvoistaolettaen,ettäniitäonäärellinenmäärä.hänsiiskäviläpijokaisen maalijoukonarvonjaetsiarvoavastaavanlähtöjoukon,jonkaeisiistarvitseolla esimerkiksiyhtenäinenväli.sellaisiafunktioita,jotkasaavatvainäärellisenmäärän arvojakutsutaanyksinkertaisiksifunktioiksi. 9.7.Määritelmä(Yksinkertainenfunktio).Funktiof:Rn!Ronyksinkertainen, josf saaäärellisenmontaarvoajaalkukuvaf 1(c)2Mnjokaisellec2R:Tällöin merkitäänf2y: Otetaankäyttöönmyösmerkintä Y+=ff2Y:f(x)>0kaikillax2Rng: Huomattavaaon,ettäRiemanninintegraalinmääritelmässäesiintyvätporrasfunktiot ovatyksinkertaisia.myösmitallisenjoukon Akarakteristinenfunktioonyksinkertainen.NytvoidaanmääritelläyksinkertaisenfunktionLebesguenintegraali. 9.8.Määritelmä(Lebesguenintegraali).Olkoonf2Y+ja f(x)= k X j=1 a jaj(x) sennormaaliesitys.jose2m;niin I(f;E)= k X j=1 a jm(aj\e) onfunktionflebesguenintegraaliylijoukone.
33 32 Huomautus.Normaaliesityksellätarkoitetaanfunktionesittämistämuodossa f(x)= k X j=1 a jaj(x); kaikillax2rn;missäaj=f 1(aj)funktionfarvojoukollefa1;:::;akg: 9.9.Esimerkki.Tiedetään,ettävälin[0;1]rationaalilukujenLebesguenmittaon0 javälinkaikkienirrationaalilukujenmittaon1.tutkitaannytlebesguenintegraalia funktiolle f:[0;1]!r:f=a1a1+a2a2; missäa1=0,a1=[0;1]\qjaa2=1;a2=[0;1]\(rnq): Lebesguenintegraaliksiylivälin[0;1]saadaan I(f;[0;1])=a1 m(a1)+a2 m(a2)= =1: Tästäseuraa,ettäLebesguenintegraalinarvoon1.SamanfunktionRiemann-integraalia eioleedesolemassa Määritelmä. Olkoonf :A![0;1]mitallinen.TällöinfunktionLebesgueintegraaliylijoukonAon ZAfdm= Z Afdx=supfI(u;A):u2Y+;ufjoukossaAg: Huomautus.RajoitetulleJordan-joukolleAon c(a)= Z A1= Z A1dm=m(A): Lebesguenintegraalinmääritelmäävoidaannytlaajentaafunktioihin,jotkasaavatmuitakinkuinpositiivisiaarvoja.Tämämahdollistuutarkastelemallafunktion positiivi-janegatiiviosia.määritelläänensinmitätarkoitetaanfunktionpositiivi-ja negatiiviosilla Määritelmä.JoukonARnfunktionf:A!Rpositiiviosaon f+:a![0;1[:x7!maxff(x);0g janegatiiviosa f :A![0;1[:x7!maxf f(x);0g= minff(x);0g:
34 33 NytvoidaanmääritelläfunktionLebesguenintegraalipositiivi-janegatiiviosien avulla Määritelmä.OlkoonA2Mjaf:A![0;1]mitallinen.Jos ZAf+dm<1 tai ZAf dm<1; niinfunktionlebesguenintegraaliylijoukonaon ZAfdm= Z Af+dm Z Af dm: Funktiotasanotaanintegroituvaksi,mikälisenintegraalionäärellinen. Huomautus.Muillekinkuinintegroituvillefunktioillevoidaansiismuodostaaintegraali,kunhantoinenfunktionpositiivi-tainegatiiviosanintegraaleistaonäärellinen. 10. Ehdotuslukio-opetukseen:integraalienarvioiminennumeerisilla menetelmillä Lukiomatematiikansyventävilläkursseillatutustutaanintegrointiinerilaisilla numeerisillamenetelmillä.nämänumeerisetmenetelmätantavatarvioitakäyränalle jäävän alueen pinta-alasta. Pinta-alalle saadaan arvio laskemalla yhteen suorakulmioidentaipuolisuunnikkaidenpinta-aloja.yhdistämällänämäkaksieritapaapäädytäänsimpsoninsääntöön,jokaantaayleensämenetelmistäparhaanarvionpintaalasta.lisäksimainittakoonesimerkkinäuusistamenetelmistäintegraaliennumeeriseen laskemiseentarkoitetuterilaisettietokoneohjelmat.esimerkiksikoulumaailmassakäytössäolevageogebra-ohjelmaantaamahdollisuudenhavainnollistaaopetuksessasitä kuinkanopeastivälinjakopisteidenmääränkasvattaminenmyösnopeastitarkentaa arvioitapinta-aloille Keskipistemenetelmä. Lähdetäänliikkeellesiisarvioimallakäyränallejäävää pinta-alaasuorakulmioilla.josfunktioonkasvavaannetullavälillä,niinvalitsemalla suorakulmionkorkeusjakovälinalku-tailoppupisteenperusteellasaadaanpinta-alalle arviovastaavastiala-taiyläsummanamuodostuneistasuorakulmioista,kuva10.
35 34 Kuva10 Arviotavoidaanparantaavalitsemallajakoväliltäsenkeskipiste,jolloinsyntyviensuorakulmioidenyläreunatvastaavatvieläkinparemminfunktiongraaa Esimerkki.Keskipistemenetelmällävoidaanlaskeaarvioyksikköympyränpintaalallearvioimallaympyränneljänneksen Y =f(x;y)2r2;0yp1 x2;x0g pinta-alaaneljälläsuorakulmiolla.suorakulmioidenkorkeusmääräytyykeskipistemenetelmälläneljänjakovälinkeskipisteidenx1=0;125;x2=0;375;x3=0;625ja x4=0;875antamienarvojenmukaan.neljänneksenpinta-alaksisaadaan AK(Y)=0;25( p 1 0;1252+ p 1 0;3752+ p 1 0;6252+ p 1 0;8752) =0;795982: Saatuaarvoavoidaanverrataoikeaanyksikköympyränneljänneksenalaan A= 4 =0;785398:::; jolloinhuomataankeskipistemenetelmänantavanvainsadasosanverranliiansuuren arvionpinta-alasta.
36 Puolisuunnikasmenetelmä. Yleensäsuorakulmioitaparempiarviopinta-alalle saadaankorvaamallasuorakulmiotpuolisuunnikkailla,jotkamuodostuvatkunjakovälien päätepistearvotyhdistetäänjanoilla,kuva11. Kuva11 Josdonjakovälinpituusjay1jay2ovatfunktionarvotjakovälinpäätepisteissä,niin puolisuunnikkaanpinta-alaon y1+y2 2 d: 10.2.Esimerkki. Puolisuunnikasmenetelmäantaaympyräneljänneksenpinta-alalle ainaliianpienenarvion,koskamuodostetutpuolisuunnikkaatjäävätainakäyränalapuolellevaikkajakoatihennettäisiinkin.neljälläjakovälilläsaadaanpinta-alanarvioksi AP(Y)=0;25 1+ p 1 0; :::+ p 1 0;752+0! 2 =0;748927: Puolisuunnikasmenetelmä tuottaa siis tässä tapauksessa neljä sadasosaa todellista liianpienenarvon.
37 Simpsoninsääntö. YhdistämälläkeskipistemenetelmäpuolisuunnikasmenetelmänkanssapainotettunakeskiarvonapäädytäänSimpsoninsääntöön.Puolisuunnikkaanpinta-alaotetaanhuomioonkertoimella13jakeskipistemenetelmänsuorakulmiokertoimella 23:MenetelmäonnimettyenglantilaisenThomasSimpsonin( )mukaan. JohdetaanSimpsoninsääntöfunktionkuvaajanjax akselinvälillä[a;b]rajaaman alueenpinta-alalle.sääntövaatii,ettäjakovälejäonparillinenmäärä,jotenhelpointaonlähteäliikkeellesoveltamallamenetelmiäkokovälillä[a;b]:merkitäänfunktion arvojavälienpäätepisteissäy0jay2.keskipistemenetelmäntarvitsemaaarvoamerkitääny1:jakovälejäpituudeltaandonsiiskaksi.yhdistämälläkahdellaeritavallapinta-alallelasketutarviotpainotettunakeskiarvonasaadaansimpsoninsäännön mukaiseksipinta-alaksi (10.1) AS2=1 3 AP+2 3 AK=1 3 y0+y2 2 2d+2 3 2dy1=d 3 (y0+4y1+y2): Vastaavastineljänjakovälintilanteessakahdellaensimmäiselläjakahdellaviimeiselläjakovälillävoidaankummallakinerikseensoveltaakaavaa(10.1).Neljänjakovälin tilanteessapinta-alaksisaadaan (10.2) AS4=d 3 (y0+4y1+y2)+d 3 (y2+4y3+y4)=d 3 (y0+4y1+2y2+4y3+y4): Kaavassaolevienjakopisteidenarvojenkertoimienvoidaanhuomatanoudattavan tiettyäkaavaa,jotenjosjakoahalutaantihentäätällöinmyössimpsoninsäännön johtaminenonhelppoa Esimerkki.Simpsoninsäännölläsaadaanmyösarvioympyräneljänneksen pinta-alalle. Neljälläjakovälilläpinta-alaksisaadaan AS4(Y)=0; ; p p 1 0;52+4 p 1 0;752+0 =0;770898: Kahdeksallajakovälilläsaadaanentistäparempiarvio AS8(Y)=0; ; p p 1 0;252+:::+4 p 1 0; =0;780297:
38 37 Neljälläjakovälilläpäästäänsiissadasosanpäähänoikeastaarvostakuntaaskahdeksallavälilläpäästäänjotuhannesosientarkkuuteen Esimerkki.LasketaanSimpsoninsäännölläkäyräny=2xjax akselinvälillä [1;3]rajaamanalueenpinta-alakahdellajaneljälläjakovälilläjaverrataansitäsuoraanintegroimallasaatuunarvoon. Kahdellajakovälilläjakopisteetovatsiisx0=1;x1=2jax2=3:Jakovälinpituus ond=1:pinta-alaksikaavalla(10.1)saadaan AS2=d 3 (y0+4y1+y2) =1 3 ( ) 8;66666: Neljälläjakovälilläjakopisteetovatx0=1;x1=1;5;x2=2;x3=2;5jax4=3. Jakovälinpituusond=0;5:Sijoittamallatiedotkaavaan(10.2)saadaan AS4=d 3 (y0+4y1+2y2+4y3+y4) =0;5 3 ( ; ;5+23) 8;65685: Suoraanintegroimallasaadaan Z3 1 2xdx= Z 3 1 exln2dx=. 3 1 ln2 2x= 1 ln28;65617: 6 Verrattaessatuloksiahuomataan,ettäjoneljälläjakovälilläpäästäänkolmendesimaalinosaltaoikeaantulokseen Esimerkki.Lasketaanfunktionf(x)=x2 sinxkuvaajanjax akselinvälillä [0;]rajaamanalueenpinta-alaSimpsoninsäännöllä.Verrataanneljälläjakahdeksallaosavälilläsaatujatuloksiakaksiosittaisintegrointiavaativanintegraalinantamaan arvoon Z 0 x2sinxdx=2 45;869604: Jaettaessaintegroimisvälineljäänosaväliintuleeosavälinpituudeksisiis d= 4,ja
39 38 Simpsoninsäännöllä(10.2)pinta-alaksisaadaan AS4= sin sin sin 3!5;85958: 4 Tulospoikkeaaintegroinnintuottamastaarvostasadasosanverran. Kahdeksallaosavälilläarviotasaadaantarkennettuaentisestään.Nytjakovälin pituudenollessad=8,pinta-alaksisaadaan AS8= sin sin 4 4 +::: sin 7!5;869246: 8 Kahdeksanjakovälinarvioantaajokolmendesimaalinosaltaoikeantuloksen.
40 Viitteet 39 [1] Apostol, T.M.: Mathematical analysis, A modern approach to advanced calculus (rst ed.). -Addison-Wesley publishing company, Inc., [2] Boyer, C.B.: Tieteiden kuningatar, matematiikan historia. -WS Bookwell Oy, Juva, [3] Kilpeläinen, T.: Mitta- ja integraaliteoria. -luentomoniste [4] Marsden, J.E., Tromba, A.J.: Vector calculus (4th ed.). -W.H.Freeman and company, USA, [5] Purmonen, V.T.: Integraalilaskentaa 1. -Jyväskylän yliopiston Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen luentomoniste 53, [6] Suomela, P.: Matematiikan historia. Jyväskylän yliopiston Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen luentomoniste 5, [7] Williamson, R.E., R.H. Crowell: Calculus of vector functions (2nd ed.). -Prentice-Hall, Inc., Englewood Clis, N.J., 1968.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedotf(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].
Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Lisätiedotja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
LisätiedotPUTKIKAKSOISNIPPA MUSTA
Takorauta Tuote LVI-numero Pikakoodi 0753007 RU33 KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS DN 65 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS SK/UK SK/UK
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
Lisätiedot( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V
Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv +
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
Lisätiedot10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?
YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä
Lisätiedotcos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotNumeerinen integrointi ja derivointi
Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon
Lisätiedot(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:
7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo 12.00-17.00
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
LisätiedotMäärätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio
Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden
LisätiedotMatemaattiset menetelmät II
Matemaattiset menetelmät II 5. helmikuuta 214 Esipuhe Tämä on 1. versio Matemaattiset menetelmät II-kurssin opetusmonisteesta, joka perustuu Vaasan yliopistossa luennoimaani vastaavan nimiseen kurssiin.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotTilastolliset inversio-ongelmat
Luku 4 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollisen inversio-ongelman ratkaisu ei niinkään vastaa kysymykseen "mikä tuntematon vektori x 0 on"vaan pikemminkin kysymykseen "mitä tiedämme tuntemattomasta
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
LisätiedotSijoitus integraaliin
1 / 32 Muunnetaan funktion f integraali yli joukon U integraaliksi yli joukon V tekemällä sijoitus x = g(y), missä g : V U on bijektio (ainakin), kun se rajoitetaan funktioksi g : V U. Uudeksi integroitavaksi
LisätiedotYLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Lisätiedot5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa
71 5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään edellä esitetty määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, 3 n sitten kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen :ään. Kaikissa
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotDiskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
LisätiedotOlkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on
1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa
Lisätiedothttp://www.angelniemenankkuri.com/index.php?page=ilu/nuoret/ajankohtaista&select=...
Sivu /43 # $ % ( ) *+,*$ ##$% # # ()*+)),+)./ 0 0 (,* % 0, 2*+)),(..2 300%../ *+,*$ 300% () 300% 2(/ +** $%3 $$%3$ 3+)), 4)5 $3%3+)), (* /)5 (4)5 6 %0*,(4()+.+2)/ # 8*+)),(4.+ # 949+4:: 3+++,9((+8: Sivu
LisätiedotTäydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä.
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 009 Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. Tasointegraali Tasointegraali f voidaan laskea kaksinkertaisena
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotMääritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos
0.02 0.04 0.06 0.08 f 0 5 0 5 0 Temperature Kuva 5.2: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [5, 0] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötila -2 näyttäisi todennäköisimmältä, mutta jakauma on leveä. Tämä heijastaa
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotMilloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?
Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Juha Väätäinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2012 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Gammafunktio
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
Lisätiedot