Matemaattiset menetelmät II

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matemaattiset menetelmät II"

Transkriptio

1 Matemaattiset menetelmät II 5. helmikuuta 214

2

3 Esipuhe Tämä on 1. versio Matemaattiset menetelmät II-kurssin opetusmonisteesta, joka perustuu Vaasan yliopistossa luennoimaani vastaavan nimiseen kurssiin. Sisältö noudattaa pitkälti aiempien luentomuistiinpanojeni mukaista esitystä. Esitän kiitokseni H.L. Wietsma:lle sekä Marko Moisiolle (Vaasan yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos), joista ensinmainittu on suorittanut tekstin puhtaaksikirjoituksen LaTeX-muotoon ja piirtänyt monisteessa esiintyvät kuvat ja jälkimmäinen puolestaan esittänyt parannusehdotuksia ja täydennyksiä monisteessa olevaan materiaaliin. Vaasassa 15 tammikuuta 214 Seppo Hassi

4

5 v Sisältö Esipuhe Sisältö iii v 1 Usean muuttujan funktiot Vektoriavaruus R n Usean muuttujan reaalifunktiot Derivaatta ja differentioituvuus Funktion ääriarvoista Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Käyräintegraali Tasointegraali Avaruusintegraali Muuttujien vaihto integraalissa Vektorianalyysiä Vektoritulo eli ristitulo Skalaarikolmitulo Divergenssi ja roottori Potentiaali Greenin lause Pintaintegraali Stokesin lause Gaussin divergenssilause Kirjallisuutta 45

6

7 1 Luku 1: Usean muuttujan funktiot 1.1 Vektoriavaruus R n Tarkastellaan n-ulotteiseen vekoriavaruuteen R n liittyviä peruskäsitteitä. Joukko R n on karteesinen tulo R n = } R R {{... R } ja sen alkioina ovat järjestetyt n-alkioiset reaalilukujonot n kpl x = (x 1,..., x n ), x i R, i = 1,..., n, joita kutsutaan vektoreiksi (lyhyesti myös R n :n pisteiksi). Vektorit x R n ja y R n ovat samoja jos niiden kaikki komponentit ovat samoja: x = y x 1 = y 1, x 2 = y 2,..., x n = y n. Vektoreiden yhteen- ja skalaarikertolasku määritellään kaavoilla Yhteenlasku noudattaa seuraavia sääntöjä: (1) vaihdannaisuus: x + y = y + x; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ); ax = (ax 1, ax 2,..., ax n ). (2) liitännäisyys: (x + y) + z = x + (y + z); (3) on olemassa nollavektori = (,..., ) R n ; ts. x + = x, x = (x 1,..., x n ) R n ; (4) jokaisella vektorilla x = (x 1,..., x n ) R n on olemassa vastavektori y = x = ( x 1,..., x n ) R n, jolle pätee x + y =. Tällä yhteenlaskulla verustettuna R n muodostaa ns. Abelin ryhmän eli kommutatiivisen ryhmän. Skalaarilla kertominen noudattaa seuraavia sääntöjä: (5) skalaarikertolaskun liitännäisyys: a(bx) = (ab)x, a, b R, x R n ; (6) skalaarikertolaskun osittelulaki: a(x + y) = ax + ay; (7) skalaarikertolaskun osittelulaki: (a + b)x = ax + bx; (8) lisäksi luku 1 on skalaarikertolaskun neutraalialkio: 1x = x, x R n.

8 2 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Näillä yhteen- ja skalaarikertolaskulla varustettuna R n muodostaa reaalikertoimisen vektoriavaruuden. Ne määräävät R n :n algebralliset ominaisuudet. Vektoriavaruuden R n geometriset ominaisuudet määräytyvät vektoreiden x, y R n sisätulosta (eli skalaaritulosta tai pistetulosta): x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n ( R). Sisätulo liittää kahteen vektoriin yhden reaaliluvun eli sitä voi pitää kuvauksena R n R n R. Sisätulolla on seuraavat ominaisuudet: x, y, z R n ja a R pätee: (1) vaihdantalaki: x y = y x; (2) osittelulaki: (x + y) z = x z + y z; (3) skalaarin siirtosääntö: (ax) y = a(x y). Sisätulon avulla voidaan määritellä R n :n vektorin x normi, merk. x, ei-negatiivisena reaalilukuna kaavalla x = x x = x x x2 n. Normin avulla voidaan puolestaan määritellä R n :n vektoreiden eli pisteiden x, y R n välinen etäisyys lausekkeena x y. Etäisyyskäsite määrää R n :n ns. topologiset ominaisuudet, joihin mm. raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät voidaan perustaa. Tarkastellaan lyhyesti R n :n sisätulon määräämiä geometrisia ominaisuuksia. Vektoreiden x, y R n, x ja y, välinen kulma määritellään kaavalla cos (x, y) = x y x y, missä kulma rajoitetaan välille [, π]: (x, y) π. Jos (x, y) = π/2, vektoreiden x ja y sanotaan olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan eli x ja y ovat orthogonaaliset, merk. x y. Määritelmän mukaan (1.1) x y x y =, (x y). Nollavektorilla R n ei ole määrättyä suuntaa, mutta sovimme, että x, x R n. Tällöin siis (1.1) pätee kaikille x, y R n. Huom.: Jos x y, niin (x, y) π/2 ja jos x y, niin π/2 (x, y) π. Erityisesti vektorit x ja y ovat samansuuntaiset jos Θ = (x, y) = eli cos Θ = 1, kun taas x ja y ovat vastakkaissuuntaiset jos Θ = (x, y) = π eli jos cos Θ = 1. Vektorin x kohtisuora eli ortogonaalinen projektio vektorille y ( ), merk. P y x, määritellään kaavalla cos Θ x P y x = y, Θ = (x, y). y

9 1.1. Vektoriavaruus R n 3 x x θ θ P y x y P y x y (a) Kohtisuora projekti Θ π/2 (b) Kohtisuora projekti π/2 < Θ π Kun x ja y ovat yksikkövektoreita eli x = 1 = y, saadaan jolloin siis x y = cos Θ, Θ = (x, y) P y x = cos Θ y = x y y = (x y)y, x y Kuva 1.1: Vektoriavaruus R 3. R 3 :n vektoreita havainnollistetaan usein 3-ulotteisessa koordinaatistossa, missä kantavektoreina ovat i = (1,, ), j = (, 1, ) ja k = (,, 1), katso Kuva 1.1. Tällöin x = x 1 i + x 2 j + x 3 k ja esim. P j x = cos Θ j x j = (x j)j. Lukuja x 1, x 2 ja x 3 sanotaan x:n koordinaateiksi kannan {i, j, k} suhteen. Koska cos Θ 1, saadaan sisätulolle epäyhtälö (1.2) 1 cos Θ = x y x y x y x y, jota kutsutaan Cauchy-Schwarzin epäyhtälöksi. Sisätulon määräämään normiin x = x x liittyy seuraavat tyypilliset ominaisuudet: (1) x x R n ja x = x = ; (2) ax = a x a R ja x R n ; (3) x + y x + y (Kolmioepäyhtälö).

10 4 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Ominaisuudet (1) ja (2) ovat ilmeisiä. Perustellaan vielä kohdan (3) kolmioepäyhtälö: x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + x y + y x + y y = x 2 + 2x y + y 2 }{{} x x y + y 2 = ( x + y ) 2. Cauchy-Schwartz Normin avulla voimme määritellä vektorin (pisteen) x R n ϵ-säteisen (avoimen) palloympäristön eli ϵ-ympäristön R n :ssä: B ϵ (x ) = {x R n : x x < ϵ} (ϵ > ). Kun n = 1, 2, 3 on ϵ-ympäristö B ϵ (x ) jana (n = 1), ympyrä (n = 2) ja pallo (n = 3) säteenä luku ϵ >. Olkoon A R n jokin R n osajoukko. Pistettä x A sanotaan A:n sisäpisteeksi jos on olemassa ϵ > siten, että x :n ϵ-ympäristö B ϵ (x ) A, ts. ϵ < s.e. x x < ϵ x A. Joukkoa A R n sanotaan avoimeksi joukoksi, jos sen jokainen piste on sen sisäpiste. Joukko A R n on suljettu joukko, jos sen komplementti R n \A on avoin joukko. Esim. yhdestä pisteestä muodostuva joukko {x } on suljettu. Joukkoa A R n sanotaan rajoitetuksi, jos se sisältyy johonkin origokeskiseen palloon: A B r (), jollakin r >. Pistettä x R n sanotaan joukon A R n kasaantumispisteeksi, jos sen jokainen aito ϵ- ympäristö B ϵ(x ) = B ϵ (x ) \ {x } = {x R n : < x x < ϵ} sisältää joukon A pisteitä; ts. ϵ > : B ϵ(x ) A. Piste x R n sanotaan joukon A R n reunapisteeksi, jos sen jokainen ϵ-ympäristö B ϵ (x ) sisältää sekä joukon A että sen komplementtijoukon R n \ A pisteitä; ts. ϵ > : B ϵ (x ) A ja B ϵ (x ) (R n \ A). Siten joukoilla A ja R n \A on samat reunapisteet l. reuna. Joukon A R n reunaa merkitään A. Siis A = (R n \A). Esimerkki Olkoon A = B 1 () = {x R n : x < 1}. Tällöin A on avoin joukko, sillä jos x A on mielivaltainen, niin B (1 x )(x ) A. A:n komplementti R n \A = {x R n : x 1} on suljettu. Joukon A kasaantumispisteiden joukko on {x R n : x 1}. Tämä joukko on suljettu, sillä sen komplementti on avoin joukko. Joukon A reuna on R n \ {x R n : x 1} = {x R n : x > 1} A = {x R n : x = 1}. 1.2 Usean muuttujan reaalifunktiot Kuvausta f : A R, missä A R n sanotaan n:n reaalisen muuttujan reaalifunktioksi. Kuten yhden reaalisen muuttujan tapauksessa käytetään seuraavia eri esitymuotoja: (1) Eksplisiittinen esitys: y = f(x) = f(x 1, x 2,..., x n );

11 1.2. Usean muuttujan reaalifunktiot 5 (2) Implisiittinen esitys: F (x, y) =, x = (x 1, x 2,..., x n ); (3) Parametri esitys: x 1 = u 1 (t 1, t 2,..., t n );. x n = u n (t 1, t 2,..., t n ); y = v(t 1, t 2,..., t n ). Funktion määrittelyjoukoksi M f muuten määrätty. valitaan laajin mahdollinen R n :n osajoukko, jos sitä ei ole Esimerkki Funktion f(x, y) = x y määritellyjoukko on M f = {(x, y) R 2 : x y}. Esimerkki Yhtälö F (x, y, z; r) = x 2 + y 2 + z 2 r 2 = kiinteällä r:n arvolla antaa implisiittisen esityksen origo-keskiselle r-säteiselle pallolle. Siitä saadaan funktiot z = f(x, y) = r 2 x 2 y 2, z = r 2 x 2 y 2 (x 2 + y 2 r 2 ) eksplisiittisinä esityksinä (ylempi ja alempi puolipallo). Pallokoordinaatisto: Reaalilukutason R 2 ja kompleksitason C vektorien napakoordinaattiesitystä vastaava esitys vektoriavaruudessa R 3 on pallokoordinaatistoesitys, joka voidaan määritellä seuraavilla yhtälöillä: (1.3) x = r sin Θ cos ϕ y = r sin Θ sin ϕ z = r cos Θ ( ϕ < 2π, θ π). Arvot θ π/2 vastaavat ylempää puolipalloa ja arvot π/2 θ π vastaavat alempaa puolipalloa; katso Kuva 1.2. k z a θ r y φ u j x i Kuva 1.2: Vektorin a = (x, y, z):n pallokoordinaatit. Kuvassa u on a:n ortogonaalinen projektio xy-tasoon.

12 6 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Raja-arvon määritelmä: Olkoon f : A R n muuttujan funktio (A R n ). Oletetaan, että f on määritelty jossakin pisteen x R n aidossa palloympäristössä B (x ). Tällöin funktiolla f on raja-arvo a pisteessä x, merk. lim x x f(x) = a, jos ϵ > δ(= δ ϵ ) > s.e. < x x < δ = f(x) a < ϵ. Funktion raja-arvo voidaan määritellä myös pisteissä x, jotka ovat f:n määrittelyjoukon M f kasautumispisteitä: Olkoon x M f :n kasautumispiste. Tällöin lim x Mf x f(x) = a jos ϵ > δ ϵ > s.e. < x x < δ ja x M f = f(x) a < ϵ. Lause Jos funktiolla f on raja-arvo pisteessä x, niin se on yksikäsitteisesti määrätty; ts. jos lim x x f(x) = a ja lim x x f(x) = b, niin a = b. Todistus. Olkoon ϵ >. Oletuksen nojalla f(x) a < ϵ ja f(x) b < ϵ, kun < x x < δ(= min{δ(a), δ(b)}). Tällöin a b = (f(x) b) (f(x) a) }{{} f(x) b + f(x) a < ϵ + ϵ = 2ϵ. Kolmioepäyhtälö Koska ϵ > oli mielivaltainen, on oltava a b = eli a = b. Raja-arvon olemassaoloa voidaan tutkia myös seuraavan lauseen avulla. Lause Olkoon x funktion f määrittelyjoukon A ( R n ) kasautumispiste. Funktiolla f on raja-arvo a pisteessä x jos ja vain jos jokaiselle jonolle (x n ) n=1 joukon A pisteitä pätee: Todistus. Harjoitustehtävä. lim x n = x = lim f(x n) = f(x ). n n Seuraavat esimerkit havainnollistavat raja-arvon määräämistä ja sen olemassaolon selvittämistä R n :ssä. Esimerkki Osoitetaan, että lim (x,y) (1,2) (3x + y) = 5 yo. määritelmään perustuen. Merkitään f(x, y) = 3x + y. Olkoon ϵ > mielivaltainen. Tällöin f(x, y) 5 = 3x + y 5 = 3(x 1) + (y 2) }{{} 3 x 1 + y 2 Kolmioepäyhtälö = 3 (x 1) 2 + (y 2) 2 3 (x 1) 2 + (y 2) 2 + (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4 (x, y) (1, 2). } {{ } =δ Valitaan δ = ϵ/4: Tällöin (x, y) (1, 2) < δ f(x, y) 5 < 4δ = ϵ.

13 1.2. Usean muuttujan reaalifunktiot 7 Esimerkki Tutkitaan onko funktiolla f(x, y) = xy raja-arvoa pisteessä (, ) eli origossa. x 2 +y 2 Jos origoa lähestytään pitkin suoraa y =, saadaan x lim f(x, ) = lim x x x = lim =. x Toisaalta, jos origoa lähestytään pitkin suoraa y = x, saadaan xx lim f(x, x) = lim x x x 2 + x 2 = lim 1 x 2 = 1 2. Nähdään, että f:n raja-arvo origossa riippuu lähestymissuunnasta. Tästä johtuen f:llä ei ole raja-arvoa origossa. Lause Olkoot lim x x f(x) = a ja lim x x g(x) = b. Tällöin: (i) lim x x (cf(x) + dg((x))) = ca + db, c, d R; (ii) lim x x f(x)g(x) = ab; (iii) lim x x f(x) g(x) = a b jos b. Todistus. Kuten yhden muuttujan reaalifunktioille. Jatkuvuus: Funktion jatkuvuus määritellään raja-arvon avulla: f on jatkuva pisteessä x M f R n jos lim x x f(x) = f(x ) eli jos ϵ > δ ϵ > s.e. x x < δ ja x M f = f(x) f(x ) < ϵ tai yhtäpitävästi: ϵ > δ ϵ > s.e. f(b δϵ (x ) M f ) B ϵ (f(x )). Kuvaus f on jatkuva joukossa A M f, jos se on jatkuva jokaisessa A:n pisteessä. Lauseesta seuraa, että jatkuvien funktioiden f : A R ja g : A R summa f +g : A R, tulo fg : A R ja osamäära f/g : A R (g ) ovat jatkuvia funktioita joukossa A. R n :n polynomit ovat muotoa f : R n R, f(x 1,..., x n ) = a α x α 1 1 xα 2 2 xα n n, α m missä α = (α 1, α 2,..., α n ) ja a = α 1 + α α n, α i N, sekä m N on polynomin aste. R n :n rationaalifunktiot f : R n R ovat kahden polynomin osamääriä. Polynomit ovat jatkuvia funktioita koko R n :ssä, rationaalifunktiot määrittelyjoukossaan eli nimittäjän nollakohtia lukuunottamatta. Kuten yhden muuttujan funktioilla, jatkuvuus säilyy jatkuvia funktioita yhdistettässä. Lause Olkoon n:n muuttujan funktio f jatkuva pisteessä x ja yhden muuttujan funktio g jatkuva pistessä f(x ). Silloin yhdistetty funktio g f on jatkuva pisteessä x.

14 8 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Todistus. Sovelletaan kahteen kertaan Lausetta Esimerkki Funktiot sin f, cos f ja exp f ovat jatkuvia, jos f on jatkuva. Funktio ln f on jatkuva niissä pisteissä joissa f on jatkuva ja positiivinen. Lause (Weierstrassin lause) Jos A( R n ) on suljettu ja rajoitettu joukko ja f on jatkuva A:ssa, niin f saa suurimman (pienimmän) arvonsa jossakin A:n pisteessä. 1.3 Derivaatta ja differentioituvuus Osittaisderivaatta: Yhden muuttujan funktion derivaatan käsite voidaan yleistää R n :ään usealla eri tavallla. Kun erotusosamäärä muodostetaan yhden muuttujan suhteen pitämällä muita muuttujia vakioina päädytään osittaisderivaatan määritelmään. Funktiolla f on pisteessä x = (x 1,..., x n ) osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen, jos raja-arvo f(x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) lim h h on olemassa. Tätä raja-arvoa eli osittaisderivaattaa merkitään f x i, D i f, D xi f, f i, f xi, jne. Osittaisderivaatta voidaan laskea kuten yhden muuttujan tapauksessa pitämällä muita muuttujia vakioina. Esimerkki Olkoon f(x, y) = xy 2. Tällöin f x = y2 ja f y = 2xy. Funktiolle voidaan muodostaa myös korkeamman kertaluvun osittaisderivaattoja. Esim. funktion (x, y) f(x, y) toisen kertaluvun derivaattoja voidaan muodostaa neljä kappaletta: ( ) ( ) f xx = f x x = 2 f f x 2 yy = f y y = 2 f ( ) ( ) y 2 f xy = f y x = 2 f x y f yx = f x y = 2 f y x. Näille käytetään myösmerkintöjä D 11 f = D 1 (D 1 f), D 22 f = D 2 (D 2 f), D 12 f = D 2 (D 1 f) ja D 21 f = D 1 (D 2 f). Esimerkki Olkoon f(x, y) = e x+y2. Tällöin f x (x, y) = e x+y2 ; f y (x, y) = 2ye x+y2 ; f xy (x, y) = ( e x+y2) = 2ye x+y2 ; y f yx (x, y) = ( 2ye x+y2) = 2ye x+y2. x

15 1.3. Derivaatta ja differentioituvuus 9 Esimerkin tapauksessa f xy = f yx. Yleisesti tämä yhtäsuuruus ei päde, vaan derivointijärjestys saattaa olennaisesti vaikuttaa lopputulokseen. Seuraava lause antaa riittävän ehdon derivoimisjärjestyksen vaihtamiselle. Lause Jos osittaisderivaatat f xy ja f yx ovat jatkuvia pisteen u = (x, y ) eräässä ympäristössä, niin f xy (u ) = f yx (u ). Lause voidaan todistaa väliarvolauseen avulla. Sillä on ilmeinen vastineensa korkeamman kertaluvun sekaderivaatoille. R n :n polynomeilla on kaikkien kertulukujen jatkuvat osittaisderivaatat. Samoin R n :n rationaalifunktioilla on määritellyjoukossaan kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat. Gradientti: Olkoon f : A R (A R n ) funktio, jolla on osittaisderivaatat kaikkien muuttujien suhteen pisteessä x A. Funktion f gradientti, merk. grad f(x) tai f(x), pisteessä x on vektori grad f(x) = f(x) := ( x 1 f(x), x 2 f(x),..., ) f(x). x n Gradientti määrittelee kuvauksen grad f = f : A R n (kun x i f(x) on olemassa x A ja i = 1,..., n). Symbolia kutsutaan nablaksi ja se määritellään muodollisesti lausekkeella = n e i D i, e i = (,...,, }{{} 1,,..., ), i i=1 missä e i, i = 1,..., n, on R n :n standardi kantavektori. Nablalla operointi muuttaa reaaliarvoisen funktion f eli ns. skalaarikentän vektoriarvoiseksi funktioksi eli vektorikentäksi f = grad f. Esimerkki Olkoon f(x, y, z) = xy + 2xz y 2 + z 2 (polynomi). Lasketaan f:n gradientti pisteessä u = (1, 2, 1), f x (x, y, z) = y + 2x, f y (x, y, z) = x 2y ja f x (x, y, z) = 2x + 2z, joten f x (u ) =, f y (u ) = 5 ja f z (u ) = 4. Siten missä j = (, 1, ) = e 2 ja k = (,, 1) = e 3. grad f(u ) = (, 5, 4) = 5j + 4k, Differentioituvuus: Yhden muuttujan funktiolle derivoituvuus oli yhtäpitävää differentiaalikehitelmän olemassaolon kanssa: f(x + h) f(x ) = f (x )h + hϵ(h), lim ϵ(h) =. h Erityisesti funktion f lisäystä f(x ) pisteessä x voidaan approksimoida differentiaalilla f (x )h, joka on lisäyksen h suhteen lineaarinen funktio (f:n tangentti pisteessä x ). Differentiaalimerkinnöin: df = f (x)dx.

16 1 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Yleistämme differentiaalikehitelmän usean muuttujan funktioille. Tarkastellaan ensin kahden muuttujan funktiota f(x, y). Funktiolla f(x, y) on differentiaalikehitelmä pisteessä (x, y ), jos on olemassa reaaliluvut a ja b siten, että f(x + h 1, y + h 2 ) f(x, y ) = ah 1 + bh 2 + h ρ(h), missä ρ(h), kun h = h h2 2. Tällöin sanotaan, että f on differentioituva pisteessä (x, y ). Differentioituvan funktion lisäystä f voidaan määritelmän nojalla approksimoida kahden muuttujan h = (h 1, h 2 ) lineaarisella funktiolla ah 1 + bh 2 eli f:n differentiaalilla pisteen (x, y ) läheisyydessä. Lause Jos f on differentioituva pisteessä (x, y ), niin f on jatkuva pisteessä (x, y ) ja sillä on pisteessä (x, y ) osittaisderivaatat, joille pätee: x f(x, y ) = a ja y f(x, y ) = b. Todistus. Jatkuvuus saadaan seuraavasta lausekkeesta: ( ) lim f(x + h) f(x ) lim a h + b h + ρ(h) h =. h }{{} h epäyhtälö Osittaisderivaatat: Valitsemalla differentiaalikehitelmässä h 2 = saadaan ( f(x + h 1, y ) f(x, y ) lim = lim a + h ) 1 ρ((h 1, )) = a. h 1 h 1 h 1 h 1 Siis f:n erotusosamäärällä x:n suhteen on raja-arvo pisteessä (x, y ), kun h 1 ; ts. x f(x, y ) = a. Vastaavasti todistetaan, että y f(x, y ) = b. Lauseen nojalla f:n differentiaali pisteessä (x, y ) voidaan esittää muodossa df = f x (x, y )h 1 + f y (x, y )h 2. Edelleen käyttämällä gradienttia grad f = f saamme df = f h ja korvaamalla lisäys h = (h 1, h 2 ) differentiaaleilla dx ja dy voimme kirjoittaa df(x, y ) = f x (x, y )dx + f y (x, y )dy. Differentiaalikehitelmän geometriseksi tulkinnaksi saadaan: funktiota f voidaan approksimoida pisteen (x, y ) läheisyydessä f:n tässä pisteessä olevalla ns. tangenttitasolla. Siis f(x, y ) df(x, y ) = f x (x, y ) x + f y (x, y ) y. Pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo pisteessä (x, y ) ei takaa f:n differentioituvuutta pisteessä (x, y ). Sen sijaan, jos f:n osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteessä (x, y ), saadaan Lauseelle seuraava käänteinen tulos.

17 1.3. Derivaatta ja differentioituvuus 11 Kuva 1.3: Tangenttitaso pisteessä (x, y ), jossa f on differentioituva. Lause Jos f:llä on pisteen (x, y ) ympäristössä osittaisderivaatat, jotka ovat jatkuvia pisteessä (x, y ), niin f on differentioituva pisteessä (x, y ). Todistus. Väliarvolauseen avulla (yksityiskohdat sivuutetaan). Yleistetään differentiaalikehitelmä R n :n reaaliarvoisille funktioille. Funktio f(x), missä x = (x 1,..., x n ) R n, on differentioituva pisteessä x R n, jos sillä on x :ssa differentiaalikehitelmä: f(x + h) f(x ) = a h + h ρ(h), lim ρ(h) =, h missä a = (a 1,..., a n ) ja h = (h 1,..., h n ). Lauseet ja yleistyvät suoraan R n :ään. Erityisesti differentioituvuus takaa osittaisderivaattojen f f f x 1, x 2,..., x n ja siten myös f:n gradientin grad f = f olemassaolon pisteessä x ja lisäksi grad f(x ) = f(x ) = a: f(x + h) f(x ) = f(x ) h + h ρ(h), lim ρ(h) =. h Sisätulo f(x ) h on f:n differentiaali pisteessä x, merk. df(x ) = f(x ) h tai df = f dx eli df = f dx 1 + f dx f dx n. x 1 x 2 x n Differentioituvuuden sisältö on siinä, että funktiota f voidaan pisteen x läheisyydessä approksimoida lineaarisella funktiolla, jonka differentiaali f(x ) h määrää: f(x ) = f(x + x) f(x ) df(x ) = f(x ) x (tangenttitaso pisteessä x ).

18 12 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Tätä voidaan käyttää hyväksi virhearvioinnissa: Jos x = ( x 1, x 2,..., x n ) kuvaa muuttujien x 1, x 2,..., x n virhettä, niin funktioon f syntyvälle absoluuttiseille virheelle saadaan arvio ja suhteelliselle virheelle arvio f f x f f f f x. Esimerkki Ympyrälieriön muotoisen säiliön säde on r =, 5 ±.1m ja korkeus 2, ±.1m. Lasketaan säiliön tilavuus ja tehdään virhearvio tilavuudelle. V = V (r, h) = πr 2 h = π(, 5) 2 2 1, 57m 3. V :n osittaisderivaatat ovat V r = 2πrh ja V h = πr 2. Absoluuttinen virhe on siten: ja suhteellinen virhe on: V V V 2πrh r + πr 2 h = π(, 2 +, 25), 7m 3 (= 7l) V r V r + V h 2πrh πr2 h = V πr 2 r + h πr 2 h = 2 r h r + h 1, 1 = 2, + =, 45 (eli 4, 5%). h.5 2 Suunnattu derivaatta: Osittaisderivaatat kuvaavat funktionmuutosta koordinaattiakselien suunnassa. Suunnattuun derivaattaan päädytään, kun erotusosamäärän raja-arvo muodostetaan missä tahansa suunnassa. Funktion f(x) suunnattu derivaatta a f(x ) pisteessä x R n suuntaan a = (a 1,..., a n ), a 2 = n i=1 a2 i = 1, määritellään raja-arvona: f(x + ha) f(x ) a f(x ) = lim, h h mikäli se on olemassa. Kun a on jonkin koordinaattiakselin suuntainen yksikkövektori, suunnattu derivaattaa yhtyy ko. osittaisderivaattaan. Esimerkki Lasketaan funktion f(x, y) = x 2 y derivaatta suuntaan a = ( 4, 3) pisteessä x = (1, 2). Normeerataan a ensin yksikkövektoriksi: a 2 = ( 4) = 25 eli a = 5. Tällöin a = ( 4 5, 3 5 ) on yksikkövektori. Nyt ( f(x + ha ) f(x ) (1 4 5 a f(x ) = lim = lim h)2 ( h) ) 12 2 h h h h ( = lim 13 h h + 48 ) 125 h2 = Lause Jos funktio f on differentioituva pisteessä x, niin f:llä on suunnattu derivaatta a f(x ) mielivaltaiseen suuntaan a, a = 1, ja lisäksi a f(x ) = f(x ) a. Todistus. Kuten osittaisderivaattojen tapauksessa (vrt. Lause 1.3.5).

19 1.3. Derivaatta ja differentioituvuus 13 Esimerkki Lasketaan Esimerkin suunnattu derivaatta Lauseen avulla. Nyt f f x = 2xy ja y = x2 ovat jatkuvia. f(x ) = (2 1 2, 1 2 ) = (4, 1) ja siten (f differentioituva) a f(x ) = (4, 1) ( 4 5, 3 5 ) = = Huomaa, että f:n differentioituvuus, joka vaaditaan Lauseessa seuraa osittaisderivaattojen jatkuvuudesta pisteessä x, vrt. Lause Useissa sovelluksissa (esim. funktion maksimin ja minimin löytäminen numeerisilla optimointimenetelmillä) on tärkeää löytää suunta, jossa funktio kasvaa voimakkaimmin. Soveltamalla sisätulon lauseketta a b = a b cos (a, b) Lauseessa olevaan suunnatun derivaatan kaavaan saadaan a f(x ) = f(x ) a cos α = f(x ) cos α, missä α on gradienttivektorin ja vektorin a vähinen kulma. Koska cos α 1 ja cos α = 1, kun α = ja cos α =, kun α = π/2, sekä cos α = 1, kun α = π, saamme seuraavan tuloksen. Lause Pisteessä x differentioituvan funktion suunnattu derivaatta a f(x ) saavuttaa suurimman arvonsa f(x ), kun a on gradienttivektorin f(x ) suuntainen ja pienimmän arvonsa f(x ), kun a on f(x ):n suunnalle vastakkainen. Jos a f(x ) (eli α = π/2), niin a f(x ) =. Yhdistetyn funktion derivointi: Tarkastellaan yhdistetyn kuvauksen derivointisäännön D(f g)(x) = f (g(x))g (x) yleistämistä usean muuttujan funktioille. Olkoot g : A R n (A R m ) ja f : R n R. Tällöin f g : A R. Oletetaan, että f ja g ja että myös niiden (komponenttien) osittaisderivaatat ovat jatkuvia, jolloin f ja g ja siten ilmeisesti myös f g ovat differentioituvia. Jos m = 1 (A R), f g : R R ja f(y):n differentiaalina on f = f y 1 y 1 + f y 2 y f y n y n. Toisaalta y = (y 1,..., y n ) = g(x) = (g 1 (x),..., g n (x)), joten y j (x) = g j (x) eli y j = g j (x) x, j = 1,... n. Saadaan f x = f g y 1(x) + f g 1 y 2(x) f g 2 y n(x) n eli f (x) = n (D j f(g(x)))g j(x) = j=1 n (D j f(g(x)))dg j (x). Kun m > 1 ja x = (x 1,..., x m ) R m, niin (f g)(x):n osittaisderivaatta D i ((f g)(x)) (i = 1,..., m) saadaan pitämällä muita x-muuttujia x k, k i, vakioina: j=1 Lause Ketjusääntö differentioituville kuvauksille on D i (f g)(x) = n (D j f(g(x)))d i g j (x), i = 1,..., m. j=1

20 14 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Esimerkki Olkoon f(x, y, z) = x 2 y 4yz z 2, x = sin t, y = cos t ja z = 2t. Lasketaan (f g), missä g(t) = (x, y, z). Ketjusääntö antaa: t eli f x ((f g)(t)) = t x t + f y y t + f z z t D((f g)(t)) = (2x(t)y(t))(cos t) + (x(t) 2 4z(t))( sin t) + ( 4y(t) 2z(t)) 2 = 2 sin t cos 2 t sin 2 t + 8t sin t 8 cos t 8t. 1.4 Funktion ääriarvoista Lokaalit ääriarvot määritellään kuten yhden muuttujan tapauksessa korvaamalla väli (x δ, x + δ) pisteen x R n palloympäristöllä. Lause Olkoon f:llä 1. kertaluvun osittaisderivaatat pisteessä u R n. Jos f:llä on ääriarvo pisteessä u, niin f x i (u ) = kaikilla i = 1,..., n, ts. f(u ) =. Todistus. Olkoon u = (u 1,..., u i,..., u n ) ja määritellää yhden muuttujan funktiot ϕ i (x) = f(u 1,..., x,..., u n ), i = 1,..., n. Jos u on f:n ääriarvopiste, niin se on myös ϕ i (x):n ääriarvopiste. Nyt ϕ i on derivoituva pisteessä x = u i, joten välttämättä = ϕ i (u i) = D i f(u ). Esimerkki Olkoon f : R 2 R; f(x, y) = (1 + y 2 )x 2 + (2x + 1)y Ääriarvot: f:llä on osittaisderivaatat koko R 2 :ssä: f x (x, y) = 2(x + xy 2 + y 2 ) ja f y (x, y) = 2y(x 2 + 2x + 1). Suora lasku antaa { fx (x, y) = ; f y (x, y) = ; { x = ; y =. Siis (, ) on ainoa mahdollinen f:n ääriarvopiste. Itse asiassa selvästi f(x, y) 1 ja f(, ) = 1. Eli f:llä on globaali minimi origossa. Tarkastellaan nyt kahden muuttujan funktioita f(x, y). Otetaan käyttöön 2. kertaluvun osittaisderivaattoihin liittyvän 2 2-matriisin determinantti: ( ) fxx (x, y) f D = D f (x, y) = det xy (x, y) = f f yx (x, y) f yy (x, y) xx (x, y)f yy (x, y) f xy (x, y)f yx (x, y). Lause Olkoot f(x, y):n 1. ja 2. kertaluvun osittaisderivaatat jatkuvia pisteen (x, y ) jossakin ϵ-ympäristössä ja oletetaan, että f x (x, y ) = = f y (x, y ). Tällöin: (i) jos D (= f xx (x, y)f yy (x, y) f xy (x, y)f yx (x, y)) >, niin f:llä on lokaali ääriarvo pisteessä (x, y ). Jos lisäksi f xx (x, y ) <, niin (x, y ) on lokaali maksimipiste ja vastaavasti jos f xx (x, y ) >, niin (x, y ) on f:n lokaali minimipiste; (ii) jos D <, niin f:llä ei ole ääriarvoa pisteessä (x, y ).

21 1.4. Funktion ääriarvoista 15 (x,y ) Kuva 1.4: Satulapiste. Huom.: a) Tapauksessa D = Lause ei anna mitään informaatiota: piste (x, y ) voi olla f:n minimi- tai maksimipiste, tai ei kumpaakaan. b) Tapauksessa D < piste (x, y ) on f:n ns. satulapiste ; katso Kuva 1.4. Esimerkki Olkoon f : R 2 R; f(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy. Ääriarvot? f x (x, y) = 3x 2 + 3y ja f y (x, y) = 3y 2 + 3x. Nyt { fx (x, y) = ; f y (x, y) = ; Koska, { x = ; y = ; tai { x = 1; y = 1. f xx (x, y) = 6x, f xy (x, y) = 3 = f yx (x, y) ja f y y(x, y) = 6y. nyt D f (, ) = 3 2 = 9 < pisteessä (, ) ei ääriarvoa. Toisaalta D f ( 1, 1) = ( 6)( 6) 3 2 = 27 > ja lisäksi f xx ( 1, 1) = 6 <, joten f:llä on lokaali maksimi pisteessä ( 1, 1): f( 1, 1) = 1. Globaalit ääriarvot: Lauseen mukaan, jos f on jatkuva funktio, joka on määritelty suljetussa ja rajoitetussa osajoukossa A R n, niin f saa suurimman ja pienimmän arvonsa jossakin A:n pisteessä. Jos f x ja f y ovat olemassa kaikissa A:n sisäpisteissä, niin suurin ja pienin arvo saavutetaan joko (a) A:n sellaisessa sisäpisteessä, jossa f x = = f y tai (b) jossakin joukon A reunapisteessä.

22 16 Luku 1. Usean muuttujan funktiot

23 17 Luku 2: Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa 2.1 Käyräintegraali Käyräintegraali antaa erään yleistyksen määrätylle integraalille b a f(x)dx, kun integroitavana on usean muuttujan funktio. Käyräintegraalissa x-akselin väli [a, b] korvataan käyrällä, jota pitkin integrointi suoritetaan. Tarkastellaan ensin tapausta R 2. Olkoon C R 2 :n käyrä, joka on suljetun R 1 :n välin [a, b] kuva jatkuvassa kuvauksessa r : [a, b] R 2. Oletamme, että r on injektio, ts. C ei leikkaa itseään; tällöin C:tä kutsutaan kaareksi. r = r(t) y r(t) a t 1 t 2 t n 1 b t r(a) r(t 1 ) r(t 2 ) r(t n 1 ) x Kuva 2.1: Kaari R 2 :ssa. Piste r(a) on C:n alkupiste ja r(b) C:n loppupiste. Olkoon nyt f = (f 1, f 2 ) : C R 2, missä f 1 ja f 2 ovat rajoitettuja reaalifunktioita. Muodostetaan C:n jako D osakaariin C k C:n jakopisteillä r(t k ), missä t = a < t 1 < t 2 <... < t n = b. Valitaan jokaiselta osakaarelta C k mielivaltainen piste z k ja muodostetaan summa Z D := n k=1 f(z k ) (r(t k ) r(t k 1 )). } {{ } r k Jos Z D :llä on raja-arvo, kun jaon D normi D := max k r k, joka ei muuten riipu jaosta D eikä pisteiden Z k valinnasta, kutsutaan ko. raja-arvoa funktion f käyräintegraaliksi pitkin kaarta C ja merkitään n f(t) dr := lim f(z k ) r k. C D k=1

24 18 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Käyräintegraalille saadaan koordinaattiesitys, kun C esitetään parametrimuodossa r(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j: C f(t) dr = lim D t k=1 n [f 1 (r(η k )) x k + f 2 (r(η k )) y k ], missä r(η k ) = z k, x k = x(t k ) x(t k 1 ) ja y k = y(t k ) y(t k 1 ). Tällöin f:n käyräintegraali yli C:n voidaan kirjoittaa muodossa f(r) dr = (f 1 dx + f 2 dy). C C Käyrä C oletetaan yleensä säännölliseksi kaareksi, ts. oletetaan, että r(t) tai yhtäpitävästi x(t) ja y(t) ovat jatkuvasti derivoituvia t:n suhteen (ja että r (t) kaikilla t [a, b]). Lause Olkoon C säännöllinen kaari R 2 :ssa parametriesityksenään r(t), t [a, b], ja olkoon f : C R 2 jatkuva. Tällöin f(t) dr on integroituva yli kaaren C ja C f(r) dr = b Todistus. Perustuu väliarvolauseeseen. a f(r(t)) r (t)dt = b a [ f1 (r(t))x (t) + f 2 (r(t))y (t) ] dt. Esimerkki Olkoon C R 2 :n pisteestä (2, 4) pisteeseen (, ) kulkeva paraabelin kaari y = x 2 ja olkoon f(x, y) = (x + 1)i + xyj. Lasketaan f:n käyräintegraali yli C:n. C:n parametriesitys on x = t, y = t 2, jolloin r(t) = ti+t 2 j. Selvästi r on jatkuvasti derivoituva ja r (t) = i + 2tj. Koska r() = (, ) ja r(2) = (2, 4), antaa t = 2 alkupisteen ja t = loppupisteen. Lauseen nojalla saadaan [ f(r) dr = (t + 1) 1 + (t t 2 ) (2t) ] ( 2 dt = (2t 4 +t+1)dt = 2 5 t5 + 1 ) 2 t2 + t = C 2 Kuten esimerkki osoittaa käyräintegraalia laskettaessa etenemissuunta on olennainen; jos kulkusuunta vaihdetaan käänteiseksi (loppupiste alkupiste), käyräintegraalin arvo muuttaa merkkiään. Lauseesta saadaan myös seuraavat käyräintegraalin ominaisuudet: a) C (af + bg) dr = a C f dr + b C g r, missä a, b R; b) C f dr = C 1 f dr + C 2 f dr, kun kaari C 1 on käyrän C alkuosa ja C 2 sen loppuosa. Ominaisuutta b) voidaan käyttää apuna, kun halutaan laskea käyräintegraali yli paloittain säännöllisen käyrän C: Jaetaan C peräkkäisiin osakaariin C 1,..., C p, jotka ovat säännöllisiä ja lasketaan C i f dr, i = 1,..., p, käyttämällä Lausetta 2.1.1, jolloin C f dr = p i=1 C i f dr kohdan b) nojalla. Käyräintegraali voidaan ilmeisin muutoksin yleistää R n :ään. Lauseen vastine säännölliselle kaarelle C R n :ssä ja jatkuvalle funktiolle f = (f 1,..., f n ) : C R n on C f dr = b a 2 f(r(t)) r (t)dt = n k=1 b a f k (r(t))x k (t)dt,

25 2.1. Käyräintegraali 19 missä r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) on jatkuvasti derivoituva (ja r (t) kaikilla t [a, b]). Käyräintegraalille voidaan antaa fysikaalinen tulkinta: Jos f on voima, joka vaikuttaa kappaleeseen sen kulkiessa pitkin käyrää C, niin voiman suorittama työ käyrällä C on W = f dr. C Integrointi kaarenpituuden suhteen: Olkoon C säännöllinen kaari r(t), t [a, b], tasossa (tai yleisemmin R n :ssä) parametriesityksenä r(t) = (x(t), y(t)). Tällöin osaväliä [a, t ], a < t b, vastaavan C:n osakaaren pituus S saadaan integraalina S = t a t x (t) 2 + y (t) 2 dt = r (t) dt, missä r (t) = (x (t), y (t)) ja r (t) = x (t) 2 + y (t) 2 (vrt. Mat. men. I). Tällöin S = S(t) on t:n suhteen kasvava funktio ja S(b) = L on kaaren C pituus. Lisäksi S (t) = r (t). Funktion f : C R integraalilla kaarenpituuden suhteen pitkin kaarta C tarkoitetaan integraalia b b fds = f(r(t)) r (t) dt = f(x(t), y(t)) x C a } {{ } (t) 2 + y (t) 2 dt. a =ds Jos C R n ja r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), kaava saa muodon C fds = b a f(x 1 (t),..., x n (t)) (x 1 (t)) (x n(t)) 2 dt. Vastaavasti vektoriarvoisen funktion f = (f 1,..., f m ) : C R m integraali kaarenpituuden suhteen pitkin kaarta C määritellään komponenttien f i : C R, i = 1,..., m, avulla: ( ) fds := f 1 ds,..., f m ds. C C C Esimerkki Lasketaan C (2+x2 y)ds, kun C on R 2 :n yksikköympyrän x 2 +y 2 = 1 ylempää puoliskoa vastaava kaari (suunnistettuna vastapäivään): y a C t 1 1 x Kuva 2.2: Integrointi puoliympyrän kehän yli.

26 2 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Parametriesitys: x = cos t, y = sin t, t [, π]. Siten C (2 + x 2 y)ds = π (2 + cos 2 t sin t) ( sin t) 2 + (cos t) 2 dt = π } {{ } = 2π 1 3 ( 1)3 =1 ( 1 ) = 2π ( 2t 1 ) 3 cos3 t Integraalia kaarenpituuden suhteen voidaan käyttää esim. kaaren painonpisteen määrittämiseksi. Jos C on R n :n kaari r(t), t [a, b], jolla on pisteessä r(t) tiheys ρ(r(t)), niin C:n painopiste on C r = rρ(r)ds C ρ(r)ds. 2.2 Tasointegraali Olkoon T = {(x, y) R 2 : a x b, c y d} R 2 suljettu suorakulmio tasossa ja olkoon f : T R rajoitettu funktio. Määritellään f:n integraali yli suorakulmion T. Kuva 2.3: Funktion f integraali yli suorakulmion T. Integraalin muodostamiseksi jaetaan integrointialue T osasuorakulmioihin T ij välien [a, b] ja [c, d] jaoilla a = x < x 1 <... < x m = b ja c = y < y 1 <... < y n = d. Ko. jakojen avulla määritellään T ij seuraavasti: T ij = {(x, y) R 2 : x i 1 x x i, y j 1 y y j }, i = 1,..., m, j = 1,..., n.

27 2.2. Tasointegraali 21 Olkoon T ij :n ala A ij = x i y j. Valitaan kustakin osasuorakulmiosta mielivaltainen piste (s i, t i ) T ij ja muodostetaan T :n jakoa D vastaava summa S D = m n f(s i, t j ) A ij, i=1 j=1 joka approksimoi suorakulmion T ja f:n määräämän pinnan rajoittaman kappaleen tilavuutta. Jos S D :llä on raja-arvo, kun jako D tihenee rajatta (d(a ij ) ) sanotaan funktiota f integroituvaksi suorakulmiossa T ja ko. raja-arvoa f:n tasointegraaliksi yli suorakulmion T ; merk. f = f(x, y) dxdy. T T Jos f(x, y), antaa tämä kaksoisintegraali T :n ja f:n rajoittaman kappaleen tilavuuden. Tasointegraali on Riemannin integraalin vastine kahden muuttujan funktioille. Kuten yhden muuttujan tapauksessa pätee: Lause Jos f : T R on jatkuva, niin f on integroituva yli T :n. Tasointegraali voidaan helposti yleistää R 2 :n rajoitetuille joukoille A ja funktiolle f : A R. Tätä varten määritellään joukon A karakteristinen funktio 1 A : { 1, jos (x, y) A; 1 A (x, y) =, jos (x, y) / A. Merk. lisäksi f A = 1 A f, jolloin f A voidaan tulkita koko R 2 :ssa määritellyksi rajoitetuksi funktioksi: { f(x, y), jos (x, y) A; f A (x, y) =, jos (x, y) / A. Valitsemalla nyt suorakulmio T A saadaan f:n (taso)integraali määriteltyä yli joukon A kaavalla f = f A = f A (x, y) dxdy edellyttäen, että ko. integraali on olemassa. Tasointegraalilla on seuraavat ominaisuudet: a) A (af + bg) = a A f + b A g, missä a, b R; A b) jos joukot A 1 ja A 2 ovat pistevieraita eli A 1 A 2 =, niin f = A 1 A 2 f + A 1 f. A 2 Huom. Joukon A R 2 pinta-ala saadaan tasointegraalina: A:n pinta-ala = 1 A = dxdy. T A T A

28 22 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa y y = h(x) A y = g(x) a x b x Kuva 2.4: Integrointialue Lauseessa Lause Olkoon A = {(x, y) R 2 : a x b, g(x) y h(x)}, missä g, h : [a, b] R ovat jatkuvia. Tällöin jatkuvan funktion f : A R integraali yli A:n on olemassa ja ( b ) h(x) f = f(x, y) dy dx. A a g(x) Perustelu: A(x) = h(x) g(x) f(x, y) dy on poikkileikkauksen pinta-ala pisteessä x. Joten kappaleen tilavuus on : b ( b ) h(x) A(x) dx = f(x, y) dy dx. a a g(x) Kuva 2.5: Lauseen integraalin geometrinen havainnollistus.

29 2.2. Tasointegraali 23 Esimerkki T = {(x, y) R 2 : 2 x 4, 1 y 2}. T (x 2 + y 2 ) dxdy = 4 2 ( 2 ) (x 2 + y 2 ) dy dx = 1 = x x = Esimerkki A = {(x, y) R 2 : x 1, x 2 y x}. 4 2 ( 21x 2 y + 13 y3 ) dx = 4 2 ( x ) dx 3 A y 2 dxdy = 1 = ( ) x y 2 dy dx = x 2 ( 2 5 x5/2 1 ) 7 x7 = ( ( x 1 x 2 3 y3 ) ) dx = 1 3 = (x 3/2 x 6 ) dx y y = x 2 y = x 1 1 x Kuva 2.6: Esimerkin integrointialue. Huom.: Lauseessa muuttujien x ja y roolit voidaan vaihtaa: A = {(x, y) R 2 : c y d, p(y) x q(y)}. Huomaa, että tällöin myös integrointijärjestys muuttujien x ja y suhteen vaihtuu: A f(x, y)dxdy = d c ( ) q(y) f(x, y)dx dy. Pintaintegraali tasossa voidaan yleistää samalla tavalla kuin määrätty integraali yleistettiin reaaliakselin väliltä käyräintegraaliksi. Tällöin tasoalue A korvataan 2-parametrisella pinnallla ja integrointi suoritetaan yli tälläisen pinnan. Asiaan palataan seuraavassa luvussa. p(y)

30 24 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa 2.3 Avaruusintegraali Tasointegraali voidaan helposti yleistää avaruusintegraaliksi. Korvataan R 2 :n suorakulmio T suorakulmaisella särmiöllä R 3 :ssa: T = {(x, y, z) R 3 : a 1 x a 2, b 1 y b 2, c 1 z c 2 } ja määritellään funktion f : T R, joka on rajoitettu, (Riemann-)integroituvuus yli T :n käyttämällä T :n jakoon D liittyvän summan S D = m n q f(s i, t j, u k ) x i y j z k i=1 j=1 k=1 raja-arvon olemassaoloa, kun jako D tihenee rajatta eli D. Jos ko. raja-arvo on olemassa, sitä sanotaan f:n avaruusintegraaliksi yli särmiön T, merk. f = f(x, y, z) dxdydz. T T Jos f on jatkuva kuvaus T R, niin ko. integraali (raja-arvo) on olemassa. Avaruusintegraali suorakulmaista särmiötä yleisemmän R 3 :n kappaleen V yli määritellään ottamalla jälleen käyttöön f:n nollajatko (nyt R 3 :ssa): { f(x, y, z), jos (x, y, z) V ; f V (x, y, z) =, jos (x, y, z) / V. Valitaan suorakulmainen särmiö T V ja asetetaan f = f V = f V (x, y, z) dxdydz. V T Avaruusintegraalilla on vastaavat ominaisuudet kuin tasointegraalilla. Erityisesti V :n tilavuus saadaan kolmoisintegraalina V 1 V = V dxdydz (tässä 1 V on V :n karakteristinen funktio). Esimerkki Kappaleen V R 3, jonka massatiheys pisteessä (x, y, z) V on ρ(x, y, z), paino saadaan integraalina m V = ρ(x, y, z) dxdydz ja painopiste r = (x, y, z ) kaavalla r = 1 m V V V T rρ(r) dxdydz, missä r = (x, y, z) on vektoriarvoinen funktio, jonka avaruusintegraalit lasketaan komponenteittain. Lause voidaan yleistää avaruusintegraaleille esim. seuraavasti: Olkoon V = {(x, y, z) R 3 : a 1 x a 2, b 1 (x) y b 2 (x), c 1 (x, y) z c 2 (x, y)},

31 2.4. Muuttujien vaihto integraalissa 25 missä b 1 (x), b 2 (x), c 1 (x, y) ja c 2 (x, y) ovat jatkuvia funktioita. Tällöin jatkuvan funktion f : V R avaruusintegraali on [ a2 ( b2 (x) ) ] c2 (x,y) f = f(x, y, z)dz dy dx. V a 1 b 1 (x) c 1 (x,y) Esimerkki V = {(x, y, z) R 3 : x 1, y x, z xy} ja f(x, y, z) = 8xyz. Lasketaan V f yllä annetun säännön nojalla seuraavasti: V f = = 1 1 [ x ( xy [ x ] 4x 3 y 3 dy dx = ) ] 8xyz dz dy dx = 1 1 [ x ] ( xy 4xyz2) dy dx [ x x 3 y 4] 1 dx = x 7 dx = Muuttujien vaihto integraalissa Kuten yhden muuttujan tapauksessa hankalat integraalit voidaan usein palauttaa yksinkertaisemmiksi sijoituskeinolla eli muuttujan vaihdolla. Usean muuttujan funktioiden tapauksessa muuttujan vaihto vaatii ns. Jacobin (funktionaali-)determinantin käyttöönottoa. Tarkastellaan kolmen muuttujan funktion f(x, y, z) tapausta. Otetaan käyttöön uudet muuttujat (u, v, t): x = x(u, v, t), y = y(u, v, t) ja z = z(u, v, t). Nämä oletetaan yleensä kerran/kaksi kertaa jatkuvasti derivoituviksi funktioiksi ja edelleen, että (u, v, t, ) (x, y, z) on bijektio. Vastaava Jacobin determinantti on (x, y, z) (u, v, z = Tehdyistä oletuksista seuraa, että (x,y,z) (u,v,t). x u y u z u Lause Muuttujanvaihdossa (x, y, z) (u, v, t) jatkuvan funktion f : V R integraali yli V :n saadaan kaavalla f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, t) (x, y, z) (u, v, z dudvdt, V S missä f(u, v, t) = f(x(u, v, t), y(u, v, t), z(u, v, t)) ja S on V :n kuvajoukko muunnoksessa (x, y, z) (u, v, t). Vastaava tulos pätee myös R n :ssä. Esimerkki Napakoordinaatit R 2 :ssa: x = r cos ϕ ja y = r sin ϕ. Tällöin (x, y) (r, ϕ) = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r cos2 ϕ + r sin 2 ϕ = r. x v y v z v x t y t z t.

32 26 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Jos nyt alue A R 2 esitetään (x, y)-koordinaattien asemasta napakoordinaateissa ja f : A R on jatkuva, niin f(x, y) dxdy }{{} = f(r cos ϕ, r sin ϕ) r drdϕ, A Ã r missä Ã on alue A ilmaistuna napakoordinaateissa. Jos A on esimerkiksi napakoordinaattien avulla määritellyn käyrän C = {r(ϕ) : ϕ π} ja säteiden ϕ 1 ja ϕ 2 rajaama alue, niin sen pinta-ala on: A 1 = ϕ2 r(ϕ) ϕ 1 1 r drdϕ = ϕ2 ϕ 1 ( r(ϕ) 1 2 r2 ) dϕ = 1 2 ϕ2 ϕ 1 r 2 (ϕ) dϕ. φ = φ 2 C A φ = φ 1 Kuva 2.7: Napakoordinaateissa olevan käyrän ja kahden kulman väliin jäävän alueen pinta-ala. Esimerkki Pallokoordinaatit R 3 :ssa (vrt. sivu 5 ja Kuva 1.2): Nyt (x, y, z) (r, θ, ϕ) = = cos θ r cos θ cos ϕ r cos θ sin ϕ x = r sin θ cos ϕ, r ; y = r sin θ sin ϕ, θ π; z = r cos θ, ϕ < 2π. r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ ( r sin θ) sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ = cos θ r 2 (cos θ sin θ cos 2 ϕ + cos θ sin θ sin 2 ϕ) + r 2 sin θ(sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ) = r 2 [cos 2 θ sin θ + sin θ sin 2 Θ] = r 2 sin θ. Huomaa, että r 2 sin θ, koska θ π.

33 2.4. Muuttujien vaihto integraalissa 27 Esimerkki Lasketaan I := B r () (x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz. Siirrytään pallokoordinaatteihin: I = r 2 (x, y, z) B r () (r, θ, ϕ) drdθdϕ = r 2 r 2 sin θ drdθdϕ B r () 2π [ π ( r ) ] 2π [ π ] = r 4 1 sin θ dr dθ dϕ = 5 r5 sin θ dθ dϕ = r5 5 2π [ π cos θ] dϕ = r5 5 2π 2 dϕ = 4 5 πr5.

34 28 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

35 29 Luku 3: Vektorianalyysiä 3.1 Vektoritulo eli ristitulo Vektoreiden a ja b vektoritulo eli ristitulo määritellään seuraavasti: a b := a b sin (a, b)e, missä e on yksikkövektori ( e = 1), joka on kohtisuorassa a:n ja b:n määräämää tasoa vastaan R 3 :ssa niin, että kolmikko (a, b, c) muodostaa ns. oikeakätisen järjestelmän: kun oikean käden peukalo osoittaa a:n suuntaan ja etusormi b:n suuntaan, niin keskisormi osoittaa e:n eli a b:n suuntaan. a b b (a,b) a Kuva 3.1: Oikeakätinen järjestelmä. Jos a b, niin a b =. Samoin a = = b. Huom.: a b = a b sin (a, b) ( ), sillä (a, b) 18. Vektorin a b pituus voidaan siten geometrisesti tulkita vektoreiden a ja b määräämän suunnikkaan pinta-alana. Lause Olkoot a, b, c vektoreita ja p, q R. Tällöin (i) a b = b a (antikommutatiivisuus); (ii) (pa) (qb) = (pq)(a b) (skalaarin siirto); (iii) a (b + c) = a b + a c (osittelulaki); (iv) (a + b) c = a c + b c (osittelulaki).

36 3 Luku 3. Vektorianalyysiä Todistus. Suora lasku määritelmään nojautuen. R 3 :n kantavektoreille saadaan: i i = j j = k k = ; i j = k, j k = i, k i = j; j i = k, k j = i, i k = j. Yhdistämällä tämä Lauseeseen saadaan vektoreiden vektoritulolle a b seuraava koordinaattiesitys: a = a x i + a y j + a z k ja b = b x i + b y j + b z k a b = (a x b x )i i + (a x b y )i j + (a x b z )i k + (a y b x )j i + (a y b y )j j + (a y b z )j k + (a z b x )k i + (a z b y )k j + (a z b z )k k = (a y b z a z b y )i + (a z b x a x b z )j + (a x b y a y b x )k = a y a z b y b z i a x a z b x b z j + a x a y b x b y k i j k = a x a y a z b x b y b z. Siis a b saadaan muodollisesti yo. 3-rivisenä determinanttina. Esimerkki a = i j + 2k ja b = i j + 3k. i j k a b = = ( ( 1))i (1 3 2 ( 1))j + (1 ( 1) ( 1)2 )k = i 5j 2k. a b = ( 1) 2 + ( 5) 2 + ( 2) 2 = 3 (suunnikkaan pinta-ala). 3.2 Skalaarikolmitulo Kolmen vektorin ns. skalaarikolmitulo a (b c) voidaan laskea 3-rivisenä determinanttina: a x a y a z a (b c) = b x b y b z c x c y c z. Lause Skalaarikolmitulolle pätee mm. (i) a (b c) = b (c a) = c (a b) = a (c b) = b (a c) = c (b a); (ii) a (b c) = (b c) a;

37 3.3. Divergenssi ja roottori 31 (iii) a (b c) = (a b) c. Todistus. (i) saadaan determinantin kehityssäännöistä, (ii) seuraa vektoreiden sisätulon vaihdannaisuudesta ja (iii) saadaan yhdistämällä (i) ja (ii). Huom.: a (a b) = = b (a b). Myös skalaarikolmitulolle saadaan geometrinen tulkinta: b c on b:n ja c:n määräämän suunnikkaan ala. Särmiön tilavuus on korkeus pohjan ala = h A: missä ϕ = (a, b c). cos ϕ a b c = a (b c), Kuva 3.2: Skalaarikolmitulon geometrinen tulkinta. Voimme myös muodostaa kolmen vektorin ristitulon, ns. vektorikolmitulon a (b c) tai (a b) c. Nyt sulkuja ei voida jättää pois, sillä vektoritulo ei ole liitännäinen (vrt. Lause (i)): Lause (i) a (b c) = (a c)b (a b)c; (ii) (a b) c = (a c)b (b c)a; Todistus. Todetaan suoralla laskulla. 3.3 Divergenssi ja roottori Usean muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskennassa käytetään f:n gradientin grad f = f ( = nabla = D x i + D y j + D x k) ohella usein divergenssiä ja roottoria (eli curlia). Olkoon f : A R 3, missä A R 3, differentioituva ja merk. f = (f 1, f 2, f 3 ) (f 1, f 2 ja f 3 reaaliarvoisia). Tällöin funktion f divergenssi on reaaliarvoinen kuvaus A R, joka määritellään seuraavasti: div f = f = D x f 1 + D y f 2 + D z f 3.

38 32 Luku 3. Vektorianalyysiä Vastaavasti f:n roottori (eli curli) on vektoriarvoinen kuvaus A R 3, joka määr. seuraavasti: rot f = f = i j k D x D y D z f 1 f 2 f 3 Esimerkki f(x, y, z) = xy 2 i + 2y 2 zj 2xk. = (D yf 3 D z f 2 )i + (D z f 1 D x f 3 )j + (D x f 2 D y f 1 )k. div f = f = D x (xy 2 ) + D y (2y 2 z) + D z ( 2x) = y 2 + 4yz; rot f = f i j k = D x D y D z xy 2 2y 2 z 2x = [D y ( 2x) D z (2y 2 z)]i + [D z (xy 2 ) D x ( 2x)]j + [D x (2y 2 z) D y (xy 2 )]k = 2y 2 i + 2j + 2xyk. Lause Olkoot f, h : A R 3 ja u : A R, A R 3, differentioituvia sekä a, b R vakioita. Tällöin (i) (ag + bh) = a g + b h; (ii) (ag + bh) = a g + b h; (iii) (ug) = u g + u g; (iv) (ug) = u g + u g; (v) (g h) = h ( g) = g ( h); (vi) (g h) = (h )g h( g) (g )h + g( h); (vii) (g h) = (h )g + (g )h + h ( g) + g ( h). Todistus. Kaavat voidaan johtaa suoralla laskulla käyttämällä komponenttiesityksiä g = (g 1, g 2, g 3 ) ja h = (h 1, h 2, h 3 ) sekä annettuja määritelmiä. Lause Olkoot g : A R 3 ja f : A R, A R 3, kahdesti jatkuvasti derivoituvia funktioita. Tällöin (i) ( f) = ; (ii) ( g) = ; (iii) ( g) = ( g) 2 g, missä 2 g = ( )g = (D 2 x + D 2 y + D 2 z)g.

39 3.4. Potentiaali 33 Todistus. Osoitetaan esim. kohta (i): ( f) = (D y D z f D z D y f)i + (D z D x f D x D z f)j + (D x D y D y D x f)k =, koska 2. kertaluvun derivaatat ovat jatkuvia, jolloin derivointijärjestys voidaan Lauseen nojalla vaihtaa. Huom.: Symbolia 2 = kutsutaan Laplacen operaattoriksi. Yhtälöä 2 f = sanotaan Laplacen yhtälöksi, joka on siis osittaisdifferentiaaliyhtälö. Esimerkki Olkoon f(x, y, z) = xyi + yzj + zx 2 k. Lasketaan ( f): joten Lause (iii):n nojalla f(x, y, z) = y + z + x 2 ( f) = (2x, 1, 1); 2 f(x, y, z) = (D 2 x + D 2 y + D 2 z)f = (,, 2z), ( f(x, y, z)) = (2x, 1, 1 2z). 3.4 Potentiaali Potentiaali on integraalifunktion vastine usean muuttujan funktioille. Olkoon A R n ja u : A R n vektorifunktio eli vektorikenttä. Jos on olemassa reaaliarvoinen kuvaus f : A R eli skalaarikenttä, jolle f = u sanotaan, että f on u:n (skalaari)potentiaali, ts. u on f:n gradientti. Jos u:lla on potentiaali, se on vakiota vaille yksikäsitteisesti määrätty. Esimerkki Vektorikenttä F = c r 3 r, missä c on vakio, kuvaa kappaleiden välistä gravitaatiovetovoimaa etäisyydellä r = x 2 + y 2 + z 2. Helposti todetaan, että F = ( c joten funktio F (x, y, z) = c r = c x 2 +y 2 +z 2 toteuttaa Laplacen yhtälön 2 f =, ts. r ), on F :n potentiaali. Mainittakoon, että potentiaali f (D 2 x + D 2 y + D 2 z)f =. Potentiaalin yhteys käyräintegraaliin on samankaltainen kuin integraalifunktion yhteys määrättyyn integraaliin. Oletamme jatkossa, että A on alue R n :ssä, ts. A on avoin ja yhtenäinen joukko, jolloin mielivaltaiset kaksi A:n pistettä voidaan yhdistää joukkoon A kuuluvalla kaarella. Lause Olkoon u : A R n jatkuva funktio ja f sen potentiaali. Jos r ja r ovat alueen A pisteitä, niin f(r) = f(r ) + u dr, C missä C A on mielivaltainen paloittain säännöllinen käyrä pisteestä r pisteeseen r.

40 34 Luku 3. Vektorianalyysiä Todistus. Olkoon r(t) : [a, b] R n C:n (paloittain) jatkuvasti derivoituva parametriesitys. Tällöin (vrt. Lause 2.1.1) C u dr = b a u(r(t)) r (t) dt = }{{} f=u b = f(r(b)) f(r(a)) = f(r) f(r ). a f(r(t)) r (t) dt = }{{} ketjusääntö b a (f r) (t) dt Lause osoittaa erityisesti, että jos u:lla on potentiaali, niin käyräintegraalin C u dr arvo ei riipu lainkaan pisteitä r ja r yhdistävän käyrän C valinnasta. Tämä ns. käyräintegraalin riippumattomuus polun valinnasta antaa itse asiassa kriteerin potentiaalin olemassaololle. Lause Olkoon u : A R n alueessa A R n jatkuva vektorifunktio. Tällöin u:lla on potentiaali, jos ja vain jos kaikki sen käyräintegraalit C u dr ovat riippumattomia polun valinnasta (ts. päätepisteitä yhdistävästä käyrän C valinnasta). Todistus. Ehdon välttämättömyys saatiin Lauseen seurauksena. Kääntäen oletetaan, että u:n käyräintegraalit ovat riippumattomia polun valinnasta. Valitaan kiinteä piste r A ja määritellään funktio f : A R asettamalla f(r) := u dr, missä C on jokin paloittain säännöllinen käyrä pisteestä r pisteeseen r. Tällöin f on u:n potentiaali, ts. f = u. Perustellaan esimerkkinä yhtälö D x f = u 1 : ( f(r + hi) f(r) = 1 r+hi ) r u dr u dr = 1 r+hi u dr. h h r h r missä integrointi r r + hi suoritetaan pitkin yhdysjanaa r(t) = r + ti, t [, h]. Tällöin r (t) = i, joten 1 h r+hi r 1 u dr }{{} = h Lause h C u 1 (r(t))dt }{{} = u 1 (r(t 1 )), väliarvolause r missä < t 1 < h. Kun h, u 1 (r(t 1 )) u 1 (r) u 1 :n jatkuvuuden nojalla. Niinpä f(r) x r A. = u 1 (r) Potentiaalin olemassaolon toteaminen Lauseen nojalla on hankalaa. Ehdon voi yhtäpitävästi muotoilla yli suljettujen käyrien otetuilla käyräintegraaleilla: u:lla on potentiaali u dr = kaikilla suljetuilla palottain säännöllisillä käyrillä C. C Perustelu: Olkoon C = C 1 C 2 kuten alla olevassa kuvassa. u dr = u dr+ u dr = u dr u dr }{{} = u dr u dr =. C C 1 C 2 C 1 C 2 C Lauseen ehto voimassa 1 C 1

41 3.5. Greenin lause 35 P2 C2 C1 P1 Kuva 3.3: Potentiaalin olemassaolo: käyräintegraali häviää yli suljettujen käyrien. Jos u itse on jatkuvasti derivoituva, saadaan Lauseen (i) seuraava välttämätön ehto potentiaalin olemassa ololle: u = f u =. Siis u:n roottori u = eli yhtäpitävästi D i u j = D j u i, i, j. Tälläista vektorikenttää sanotaan pyörteettömäksi. Osoittautuu, että vektorikentän pyörteettömyys on myös riittäävä ehto potentiaalin olemassaololle. Tämä seuraa Stokesin lauseesta, joka esitetään jatkossa. Ehdon u = toteaminen on käyttökelpoinen tapa tarkistaa potentiaalin olemassaolo. 3.5 Greenin lause Greenin lause liittää toisiinsa tasoalueen A R 2 yli otetun pintaintegraalin ja A:n reunaa A pitkin otetun käyräintegraalin. A A A Kuva 3.4: Reunakärien positiivinen suunnistus. Olkoon A R 2 suljettu rajoitettu alue, jonka reuna A koostuu äärellisestä määrästä kaaria, joiden pituus on äärellinen. Suunnistetaan reunakäyrät positiivisesti, ts. niin, että alue A jää vasemmalle tähän suuntaan kuljettaessa.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Riikka Kangaslampi Syksy 214 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 tueksi

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Matematiikka B1 - TUDI

Matematiikka B1 - TUDI Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Stokesin lause LUKU 5

Stokesin lause LUKU 5 LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f, 7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Riikka Kangaslampi Marh 22, 216 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 luentomoniste.

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot