10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?
|
|
- Elina Hämäläinen
- 10 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise yhtälö 3 =. x x b) Ratkaise epäyhtälö c) Ratkaise yhtälö x x x =. a) Osakkeen arvo oli 35,50 euroa. Se nousi ensin %, mutta laski seuraavana päivänä 0 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? b) Suora kulkee pisteiden (,) ja ( 5, 3) c) Sievennä 5ln ln8 e välivaiheet esittäen. kautta. Määritä sen kulmakerroin. 3. Olkoon f ( x) = xe x ja g( x) = e x. a) Ratkaise yhtälö f ( x) = g( x). b) Laske f (). c) Laske integraali 0 f ( x) dx. 4. Määritä se toisen asteen polynomi, joka saa pisteissä x = 0, x = ja x = samat arvot kuin x funktio f ( x ) =. 5. Määritä polynomin x( x 3)(5 x),5. + suurin ja pienin arvo välillä [ ]
2 6. Lasten Lotossa rastitaan alle kuvatusta ruudukosta kolme ruutua ja arvonnassa muodostetaan kolmen numeron oikea rivi. Laske todennäköisyydet saada nolla, yksi, kaksi tai kolme oikein. Mikä on näiden todennäköisyyksien summa? Osa Helsingin Keskuskatua muutettiin kävelykaduksi ja päällystettiin Penrosen laatoilla, jotka keksi englantilainen matemaatikko Roger Penrose 970-luvulla. Niiden avulla taso voidaan laatoittaa äärettömän monella eri tavalla niin, ettei laatoitus ole jaksollinen. Laattoja on kahta eri muotoa, leija ja nuoli. Molemmat ovat nelikulmioita, joiden kulmien suuruudet ja osa sivujen pituuksista on merkitty kuvioon. a) Laske muiden sivujen pituuksien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella. b) Laske laattojen pinta-alojen likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella. KUVA: laatta.pdf o o 36 7 o 44 o o 7 7 leija o 6 o 36 o 7 nuoli KUVA: keskuskatu.pdf Lähde: (7.5.00)
3 3 8. Olkoon a = 4i 5 j + 3k ja b = i + j k. Esitä vektori a summana vektoreista u ja v, joista u on yhdensuuntainen vektorin b kanssa ja v kohtisuorassa vektoria b vastaan. 9. Lukujonon termit määritellään rekursiokaavalla 5 3 a =, an = an, n =,3,. 4 4 a) Määritä jonon yleisen termin an lauseke. b) Laske n= a n. 0. Funktio f :[0, π ] R on jatkuva. Laske käyrien y = f ( x), y = f ( x) + sin x ja suorien x = 0, x = π rajaaman alueen pinta-ala.. a) Määritä sellainen kerroin a, että ax, x, f ( x) = x, x >, + x on jatkuva kaikkialla. b) Onko funktio f ( x) tällöin derivoituva kaikkialla? c) Laske lim f ( x). x. Tutki, onko luku jaollinen viidellä Jaa polynomi 4 3 x x + x x mahdollisimman matalaa astetta oleviin tekijöihin.
4 4 x *4. Funktiota f ( x) = cos x approksimoidaan polynomilla g( x ) =. a) Näytä, että f ( x) g( x) kaikilla muuttujan x arvoilla. (3 p.) b) Ratkaise yhtälö f ( x) = g( x). ( p.) c) Määritä funktioiden f ( x ) ja g ( x ) erotuksen suurin arvo, kun π x π. ( p.) d) Laske funktioiden f ( x ) ja g ( x ) kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala, kun π x π. ( p.) *5. Olkoon f ( x) = x. Paraabelin y = f ( x) kaarevuutta origossa voidaan tutkia Isaac Newtonin (64 77) esittämällä sivuavien ympyröiden (circulum osculans) menetelmällä. Menetelmä perustuu siihen, että jokaisella parametrin t > 0 arvolla paraabelin pisteiden O (0,0), A( t, t ) ja B( t, t ) kautta kulkee yksikäsitteinen ympyrän kehä. a) Määritä tämän ympyrän säde R( t) parametrin t avulla lausuttuna. (3 p.) b) Laske rajaympyrän säde R0 = lim R( t). Tätä kutsutaan paraabelin kaarevuussäteeksi t 0+ origossa. ( p.) c) Johda lauseke funktiolle g( x), jonka kuvaaja on rajaympyrän alapuoli. ( p.) d) Näytä, että g (0) = f (0) = / R0. Tämä on paraabelin kaarevuus origossa. ( p.) y KUVA: paraabeli.pdf A R(t) B O x
5 Pitkä matematiikka, kevät 0 Mallivastaukset, Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Hän on tarkastanut matematiikan ja fysiikan yo-kokeita koko tämän ajan. Teemu Kekkonen ja Antti Suominen toimivat opettajina MA-FY Valmennus Oy:ssä. Nämä mallivastaukset ovat MA-FY Valmennus Oy:n omaisuutta. MA-FY Valmennus Oy on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit yksityisopetus Vuoden 00 keväästä alkaen olemme julkaisseet internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön ja omien yo-vastausten tarkistamista varten. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MA-FY Valmennuksen internet-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää näitä mallivastauksia oppimateriaalina lukiokursseilla. MA-FY Valmennus Oy:n yhteystiedot: internet: s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: (09) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
6 . a) Määrittelyehto: x 0 ja x 0, eli x. Vastaus: x = 4 b) Nollakohdat: x = 3 x (x ) = 3x x 4 = 3x x x = 0 x = 4 x x x x 0 x(x ) x = ± ( ) 4 ( ) x = ± 3 x = tai x = Vastaus: x c) 3 x 6 = 6 3 x 6 = 6 tai 3 x 6 = 6 3 x = : 3 3 x = 0 : 3 x = 8 x = 0 Vastaus: x = 0 tai x = 8 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
7 . a) Osakkeen arvo muutosten jälkeen on Siten arvo nousi yhteensä 35,50 e, 0,90 = 35,784 e. 35,784 35,50 35,50 = 0,008 = 0,80% Vastaus: Arvo nousi yhteensä 0,80 %. b) Pisteiden (-, ) ja (5, -3) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on k = y y x x k = 3 5 ( ) k = 4 7 Vastaus: Kulmakerroin on 4 7. c) e 5 ln ln 8 = = = 5 8 e5 ln e ln 8 = 5 3 = = 4 ( e ln ) 5 e ln 8 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
8 3. f(x) = xe x g(x) = e x a) f(x) = g(x) xe x = e x xe x e x = 0 e x (x ) = 0 Tulon nollasäännön mukaan e x = 0 tai x = 0 ei ratkaisua, koska x = e x > 0 kaikilla x R Vastaus: x = b) f (x) = e x + ( x)e x x f (x) = ( x ) e x f () = ( ) e f () = e f () = e Vastaus: f () = e c) f(x)dx = 0 0 xe x dx = xe x dx 0 = / e x 0 = (e e 0) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3
9 = ( ) e = ( ) e Vastaus: 0 f(x)dx = ( ) e TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4
10 4. Merkitään toisen asteen polynomia p(x):llä. Se on muotoa p(x) = ax + bx + c Tiedetään siis, että p(0) = f(0) p() = f() p() = f(), missä f(x) = x Saadaan Sijoitetaan () yhtälöpariin () ja (3), saadaan { a + b + = Sijoitetaan yhtälöön (4), saadaan a 0 + b 0 + c = 0 a + b + c = a + b + c = c = () a + b + c = () 4a + b + c = 4 (3) 4a + b + = 4 { a + b = ( ) (4) 4a + b = 3 { a b = 4a + b = 3 a = a = + b = b = Siis a =, b = ja c =, joten p(x) = x + x +. Vastaus: Polynomi on x + x +. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5
11 5. Merkitään Saadaan p(x) = x(x + 3)(5 x), x [, 5] Derivaatan nollakohdat: p(x) = x(5x x + 5 3x) = x( x + x + 5) = x 3 + x + 5x p (x) = 3x + 4x + 5 p (x) = 0 3x + 4x + 5 = 0 x = 4 ± 4 4 ( 3) 5 ( 3) 4 ± 4 x = 6 x = ± 7 3 ( x = 5 ) 3 ei ko. välillä tai x = 3 p(x) on polynomifunktiona jatkuva ja derivoituva, joten se saa suurimman tai pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteessä. p( ) = ( + 3) [5 ( )] = (pienin arvo) p(5) = 0 p(3) = 36 (suurin arvo) Vastaus: Suurin arvo välillä [-, 5] on 36 ja pienin arvo -. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6
12 6. Merkitään satunnaismuuttujalla X oikein saatujen numeroiden lukumäärää. Kysytyt todennäköisyydet ovat ( 7 P(X = 0) = ( 3) 0 ) = 35 0 = 7 4 9,% ( 3 3 ) ( 7 P(X = ) = ( ) 0 ) = 3 0 = 40 = 5,5% ( 3 3 ) ( 7 P(X = ) = ( ) 0 ) = = 7 40 = 7,5% ( 3 3 P(X = 3) = 3) ) = 0 0,83% Todennäköisyyksien summa ( 0 3 P (X = 0) + P (X = ) + P (X = ) + P (X = 3) = = Vastaus: Todennäköisyydet kysytyssä järjestyksessä ovat 9, %, 5,5 %, 7,5 % ja 0,83 %. Todennäköisyyksien summa on. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7
13 7. a) α + α = 7, joten α ja α ovat teräviä kulmia. Siten kolmiot ABC ja ADC ovat yhteneviä ssk-säännön mukaan (sivut CD ja BC, yhteinen sivu AC ja kulmat B ja D). Yhtenevyydestä seuraa α = 7 = 36 ja β = 44 = 7, joten kolmio ABC on tasakylkinen. Suorakulmaisen kolmion ABE trigonometriasta saadaan cos 7 = a a cos 7 a = cos 7 a =, a =,68 Piirretään leija ja nuoli-kuviot yhteen. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8
14 Nyt γ + δ = = 360, joten laatat liittyvät toisiinsa yllä esitetyllä tavalla siten, että kaksi sivua molemmista laatoista yhtyvät. Yhteen liitetyt laatat muodostavat kuvion, joka on suunnikas, koska vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. Suunnikas on neljäkäs, koska vierekkäiset sivut ovat samat. Tällöin a = b. Vastaus: Muiden sivujen pituus on,68. b) Määritetään kolmion ABC pinta-ala. Leijan pinta-ala on Neljäkkään ABED pinta-ala on A = AB sin α, missä A =, B = a =, ja α = 7. A L = A = a sin α =, sin 7 =, ,539. A S = a sin α. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9
15 Nuolen pinta-ala on A N = A S A L = a sin α a sin α = a sin α(a ) =, sin 7 (, ) = 0, ,95. Vastaus: Leijan pinta-ala on,539 ja nuolen 0,95. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 0
16 8. Piirretään vektorit. ā = 4ī 5 j + 3 k b = ī + j k, ū = t b = tī + t j t k Nyt ā = t b + v v = ā t b () Koska vektorit b ja v ovat kohtisuorassa, on pistetulo b v = 0 Sij. () b (ā t b) = 0 b ā t b b = ( 5) + 3 ( ) [t t + t + ( t) ( )] = 0 Lasketaan vektorit. ja ū = 3 9t = 0 9t = 3 ( ) ( ī + ) ( j ) k = 3ī 3 j + 3 k v = ā ū = 4ī 5 j + 3 k = 3 3 ī 4 Vastaus: ā = 4 3 ī 4 3 j k + ( 3ī + 3 j ) 3 k 3 j k. ( 3ī + 3 j 3 k ). t = 3. : ( 9) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
17 9. a = 5 4 a n = 3 4 a n, n =, 3,... a) Rekursiokaavasta nähdään, että lukujono on geometrinen jono, missä q = a n+ a n joten geometrisen jonon yleinen termi Vastaus: Yleinen termi a n = 5 4 = 3 4 a n a n = 3 4, a n = a q n a n = 5 ( ( 3 4) n. ) n b) Koska q = 3 4 sarja <, on tarkasteltava geometrinen jono suppeneva, jolloin S = n= a n = a q = = 5 4 ( ) = 5 7 Vastaus: a n = 5 7 n= TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
18 0. Funktio f : [0, π] R on jatkuva, jolloin välillä [0, π] käyrien y = f(x) ja y = f(x) + sin x väliin jäävän alueen pinta-ala on A = π 0 g(x) dx, missä () g(x) = f(x) + sin x f(x) = sin x Pinta-ala () on myös kysytty pinta-ala. Yhtälöstä () saadaan Koska sin x = A = π 0 sin x dx { sin x, kun 0 x π sin x, kun π x π, saadaan pinta-ala muotoon A = = π 0 0 sin xdx + π/ cos x + / π π π π cos x sin xdx = cos π ( cos 0) + cos π cos π = ( ) ( ) + ( ) = 4 Vastaus: Pinta-ala on 4. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3
19 . a) f(x) = ax, kun x x, + x kun x > Polynomifunktio ax on jatkuva, kun x <. Rationaalifunktio on jatkuva, kun x >, sillä sen nimittäjä + x > 0 kaikilla x:n reaaliarvoilla. Funktio f on jatkuva kohdassa x =, jos lim f(x) = x lim x Lasketaan toispuoleiset raja-arvot. lim f(x), ja x + () f(x) = f(). () lim f(x) = lim x x ax = a ( ) = a. (3) x lim f(x) = lim x + x + x = + = (4) Sijoitetaan (3) ja (4) yhtälöön (), saadaan Nyt joten ehdot () ja () täyttyvät. a = lim f(x) = x = ( ) = f( ), Vastaus: f on kaikkialla jatkuva, kun a =. b) f(x) = x, kun x x, kun x > + x TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4
20 Kun x <, niin funktio f on polynomifunktio x, joten se on derivoituva. Kun x >, niin f on derivoituva rationaalifunktio. Ehto sille, että f on derivoituva myös kohdassa x = on Lasketaan toispuoleiset derivaatat. f ( ) = f +( ). f ( ) f(x) f( ) = lim x x ( ) = lim x ( ) x x + f +( ) = = lim x (x ) x + = lim (x ) (x + ) x x + = lim (x ) x = ( ) =. f(x) f( ) lim x + x ( ) = lim x = lim x = lim x = lim x = lim x x + x ( ) + ( ) x + ) x + x +x) x + x x ( + x ) x ( + x ) (x + ) x + (x )( x + ) ( + x ) ( x + ) x = lim x ( + x ) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5
21 = ( + ( ) ) =. Tällöin f ( ) f +( ), joten funktio f(x) ei ole kaikkialla derivoituva. c) x (x lim f(x) = lim x x + x = lim x = 0 + =. x + TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6
22 . Tutkitaan lukujen 46 ja 89 jakojäännöksiä, kun ne jaetaan luvulla = 5 +. Huomataan, että = 5 0 +, joten 46 (mod 5) ja (mod 5). 89 = Huomataan, että = 5 ( ) + 4, joten 89 (mod 5) ja ( ) 67 (mod 5). Nyt ( ) 67 (mod 5) (mod 5) 0(mod 5). Huomataan, että luku 0 on jaollinen viidellä. Tällöin luku jaollinen viidellä. on TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7
23 3. p(x) = x 4 x 3 + x x Koska vakiotermi on -, niin hyvä arvaus polynomin yhdeksi nollakohdaksi on x = tai x =. Tutkitaan asia. p() = = 0 Polynomilla p(x) on nollakohta x =, joten tekijälauseen mukaan sillä on tekijä x. Selvitetään toinen tekijä jakamalla p(x) jakokulmassa. Polynomi saadaan muotoon Tutkitaan polynomia p(x) = (x )(x 3 + x + x + ) R(x) = x 3 + x + x + = (x 3 + x) + (x + ) = x(x + ) + (x + ) = (x + )(x + ). Binomia x + ei voi jakaa tekijöihin, koska sillä ei ole nollakohtia. Näin ollen p(x) jakaantuu tekijöihin p(x) = (x )R(x) Vastaus: p(x) = (x )(x + )(x + ) = (x )(x + )(x + ). TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8
24 4. a) Väite on f(x) = cos x g(x) = x ja f(x) g(x) f(x) g(x) 0 x + cos x 0 h(x) 0, jossa h(x) = f(x) g(x) = x + cos x. x Etsitään funktion h derivaatan nollakohdat. h (x) = 0 x sin x = 0 () Yhtälön () eräs ratkaisu on x = 0, koska h (0) = 0 sin 0 = 0 0 = 0. Funktion h derivaattafunktio on Toisaalta kaikilla x pätee h (x) = cos x cos x cos x 0 h (x) 0 h on siis aidosti kasvava, joten sillä on korkeintaan yksi nollakohta, joten ainoa nollakohta on x = 0. Siitä että h on aidosti kasvava seuraa edelleen, että h (x) < 0, kun x < 0 ja h (x) > 0, kun x > 0. Funktion h kulkukaavio on TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9
25 Pienin arvo on h(0) = 0 + cos 0 = + = 0. Näin ollen h(x) 0 kaikilla x, mistä seuraa väite. b) f(x) = g(x) () f(x) g(x) = 0, joka tulee a-kohdan merkintöjä käyttäen muotoon h(x) = 0 a-kohdan perusteella h(x) pienin arvo on h(x) = 0 kohdassa x = 0. Näin ollen h(x) > 0 muilla x:n arvoilla, joten yhtälön () ainoa ratkaisu on x = 0. Vastaus: x = 0 c) On siis etsittävä funktion h(x) = f(x) g(x) suurin arvo välillä [ π, π]. Jatkuva ja derivoituva funktio h saa suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa. h( π) = ( π) h(0) = 0 = π + cos( π) = π,93 h(π) = π cos π + cos 0 = + = 0 = π = π = h( π) Vastaus: Erotuksen f(x) g(x) suurin arvo välillä [ π, π] on π d) Pinta-ala on A = π π f(x) g(x) dx TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 0
26 a-kohdan kulkukaavion mukaan f(x) g(x) = h(x) > 0 kaikilla x, joten A = = = π π π π π/ π h(x)dx ( ) x + cos x dx ( ) 6 x3 x + sin x = 6 π3 π + sin π = 6 π3 π π3 π + 0 = 3 π3 π Vastaus: Kysytty ala on 3 π3 π. [ ] 6 ( π)3 ( π) + sin( π) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
27 5. a) PO ja PB ovat kyseisen ympyrän säteitä, joten P B = P O (t 0) + (t y) = y () t + t 4 yt + y = y Toisaalta R(t) = y, joten R(t) = (t + ). yt = t 4 + t : (t ) y = (t + ) b) [ ] R 0 = lim t 0 + (t + ) = (0 + ) = Vastaus: R 0 = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus
28 c) Jana PC on rajaympyrän säde, joten P C = R 0 (x 0) + (y R 0 ) = R 0 () x + y Ry + R 0 = R 0 y R 0 y + x = 0 Sij. R 0 = y y + x = 0 y = ± ( ) 4 x y = ( +) 4x Vastaus: Funktio g(x) = y(x) = ( 4x ). d). kertaluvun derivaattafunktiot ovat f (x) = D[D x ] = D(x) = g (x) = (0 D ) 4x = = x 4x 8x 4x g (x) = D(x) 4x x D 4x ( 4x ) = 8x 4x x 4x 4x TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3
29 = 4x + 6x 4x 4x. derivaatan arvot kohdassa x = 0 ovat f (0) = g 4 0 (0) = 4 0 = 0 = Toisaalta /R 0 = / =, joten f (0) = g (0) = /R 0, mikä tuli osoittaa. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri
VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Tiesitkö tämän? MAFY-valmennuksen asiakkaat veivät. 40% pk-seudun lukioista käyttää Mafynettiä
Tiesitkö tämän? MAFY-valmennuksen asiakkaat veivät 37 % 31 % Helsingin suomenkielisen yleislääketieteellisen opiskelupaikoista vuonna 017. Aalto-yliopiston tuotantotalouden opiskelupaikoista vuonna 017.
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
jakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, kevät 016 Mallivastaukset, 3.3.016 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä /
Kevään 0 pitkän matematiikan ylioppilastehtävien ratkaisut Mathematicalla Simo K. Kivelä / 8.7.0 a) b) c) a) Tehtävä Yhtälö ratkaistaan yleensä Solve-funktiolla: Solve x 3 x, x x 4 Joissakin tapauksissa
Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Tiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,6-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
4 8 täysimittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi 2,2-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. MAFY:n
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Tiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi 2,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lyhyt matematiikka, syksy 015 Mallivastaukset, 3.9.015 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja
5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
https://mafyvalmennus.fi/yhteydenotto Koetehtävät Klikkaa tästä nähdäksesi kokeen esikatselutilassa. Linkit malliratkaisuihin Ratkaisu tehtävään 1 2 Ratkaisu tehtävään 2 5 Ratkaisu tehtävään 3 6 Ratkaisu
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Pythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
3 Yhtälöryhmä ja pistetulo
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =
5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti