10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

Transkriptio

1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise yhtälö 3 =. x x b) Ratkaise epäyhtälö c) Ratkaise yhtälö x x x =. a) Osakkeen arvo oli 35,50 euroa. Se nousi ensin %, mutta laski seuraavana päivänä 0 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? b) Suora kulkee pisteiden (,) ja ( 5, 3) c) Sievennä 5ln ln8 e välivaiheet esittäen. kautta. Määritä sen kulmakerroin. 3. Olkoon f ( x) = xe x ja g( x) = e x. a) Ratkaise yhtälö f ( x) = g( x). b) Laske f (). c) Laske integraali 0 f ( x) dx. 4. Määritä se toisen asteen polynomi, joka saa pisteissä x = 0, x = ja x = samat arvot kuin x funktio f ( x ) =. 5. Määritä polynomin x( x 3)(5 x),5. + suurin ja pienin arvo välillä [ ]

2 6. Lasten Lotossa rastitaan alle kuvatusta ruudukosta kolme ruutua ja arvonnassa muodostetaan kolmen numeron oikea rivi. Laske todennäköisyydet saada nolla, yksi, kaksi tai kolme oikein. Mikä on näiden todennäköisyyksien summa? Osa Helsingin Keskuskatua muutettiin kävelykaduksi ja päällystettiin Penrosen laatoilla, jotka keksi englantilainen matemaatikko Roger Penrose 970-luvulla. Niiden avulla taso voidaan laatoittaa äärettömän monella eri tavalla niin, ettei laatoitus ole jaksollinen. Laattoja on kahta eri muotoa, leija ja nuoli. Molemmat ovat nelikulmioita, joiden kulmien suuruudet ja osa sivujen pituuksista on merkitty kuvioon. a) Laske muiden sivujen pituuksien likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella. b) Laske laattojen pinta-alojen likiarvot kolmen desimaalin tarkkuudella. KUVA: laatta.pdf o o 36 7 o 44 o o 7 7 leija o 6 o 36 o 7 nuoli KUVA: keskuskatu.pdf Lähde: (7.5.00)

3 3 8. Olkoon a = 4i 5 j + 3k ja b = i + j k. Esitä vektori a summana vektoreista u ja v, joista u on yhdensuuntainen vektorin b kanssa ja v kohtisuorassa vektoria b vastaan. 9. Lukujonon termit määritellään rekursiokaavalla 5 3 a =, an = an, n =,3,. 4 4 a) Määritä jonon yleisen termin an lauseke. b) Laske n= a n. 0. Funktio f :[0, π ] R on jatkuva. Laske käyrien y = f ( x), y = f ( x) + sin x ja suorien x = 0, x = π rajaaman alueen pinta-ala.. a) Määritä sellainen kerroin a, että ax, x, f ( x) = x, x >, + x on jatkuva kaikkialla. b) Onko funktio f ( x) tällöin derivoituva kaikkialla? c) Laske lim f ( x). x. Tutki, onko luku jaollinen viidellä Jaa polynomi 4 3 x x + x x mahdollisimman matalaa astetta oleviin tekijöihin.

4 4 x *4. Funktiota f ( x) = cos x approksimoidaan polynomilla g( x ) =. a) Näytä, että f ( x) g( x) kaikilla muuttujan x arvoilla. (3 p.) b) Ratkaise yhtälö f ( x) = g( x). ( p.) c) Määritä funktioiden f ( x ) ja g ( x ) erotuksen suurin arvo, kun π x π. ( p.) d) Laske funktioiden f ( x ) ja g ( x ) kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala, kun π x π. ( p.) *5. Olkoon f ( x) = x. Paraabelin y = f ( x) kaarevuutta origossa voidaan tutkia Isaac Newtonin (64 77) esittämällä sivuavien ympyröiden (circulum osculans) menetelmällä. Menetelmä perustuu siihen, että jokaisella parametrin t > 0 arvolla paraabelin pisteiden O (0,0), A( t, t ) ja B( t, t ) kautta kulkee yksikäsitteinen ympyrän kehä. a) Määritä tämän ympyrän säde R( t) parametrin t avulla lausuttuna. (3 p.) b) Laske rajaympyrän säde R0 = lim R( t). Tätä kutsutaan paraabelin kaarevuussäteeksi t 0+ origossa. ( p.) c) Johda lauseke funktiolle g( x), jonka kuvaaja on rajaympyrän alapuoli. ( p.) d) Näytä, että g (0) = f (0) = / R0. Tämä on paraabelin kaarevuus origossa. ( p.) y KUVA: paraabeli.pdf A R(t) B O x

5 Pitkä matematiikka, kevät 0 Mallivastaukset, Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Hän on tarkastanut matematiikan ja fysiikan yo-kokeita koko tämän ajan. Teemu Kekkonen ja Antti Suominen toimivat opettajina MA-FY Valmennus Oy:ssä. Nämä mallivastaukset ovat MA-FY Valmennus Oy:n omaisuutta. MA-FY Valmennus Oy on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit yksityisopetus Vuoden 00 keväästä alkaen olemme julkaisseet internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön ja omien yo-vastausten tarkistamista varten. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MA-FY Valmennuksen internet-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää näitä mallivastauksia oppimateriaalina lukiokursseilla. MA-FY Valmennus Oy:n yhteystiedot: internet: s-posti: puhelin: (09) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

6 . a) Määrittelyehto: x 0 ja x 0, eli x. Vastaus: x = 4 b) Nollakohdat: x = 3 x (x ) = 3x x 4 = 3x x x = 0 x = 4 x x x x 0 x(x ) x = ± ( ) 4 ( ) x = ± 3 x = tai x = Vastaus: x c) 3 x 6 = 6 3 x 6 = 6 tai 3 x 6 = 6 3 x = : 3 3 x = 0 : 3 x = 8 x = 0 Vastaus: x = 0 tai x = 8 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

7 . a) Osakkeen arvo muutosten jälkeen on Siten arvo nousi yhteensä 35,50 e, 0,90 = 35,784 e. 35,784 35,50 35,50 = 0,008 = 0,80% Vastaus: Arvo nousi yhteensä 0,80 %. b) Pisteiden (-, ) ja (5, -3) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on k = y y x x k = 3 5 ( ) k = 4 7 Vastaus: Kulmakerroin on 4 7. c) e 5 ln ln 8 = = = 5 8 e5 ln e ln 8 = 5 3 = = 4 ( e ln ) 5 e ln 8 TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

8 3. f(x) = xe x g(x) = e x a) f(x) = g(x) xe x = e x xe x e x = 0 e x (x ) = 0 Tulon nollasäännön mukaan e x = 0 tai x = 0 ei ratkaisua, koska x = e x > 0 kaikilla x R Vastaus: x = b) f (x) = e x + ( x)e x x f (x) = ( x ) e x f () = ( ) e f () = e f () = e Vastaus: f () = e c) f(x)dx = 0 0 xe x dx = xe x dx 0 = / e x 0 = (e e 0) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3

9 = ( ) e = ( ) e Vastaus: 0 f(x)dx = ( ) e TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4

10 4. Merkitään toisen asteen polynomia p(x):llä. Se on muotoa p(x) = ax + bx + c Tiedetään siis, että p(0) = f(0) p() = f() p() = f(), missä f(x) = x Saadaan Sijoitetaan () yhtälöpariin () ja (3), saadaan { a + b + = Sijoitetaan yhtälöön (4), saadaan a 0 + b 0 + c = 0 a + b + c = a + b + c = c = () a + b + c = () 4a + b + c = 4 (3) 4a + b + = 4 { a + b = ( ) (4) 4a + b = 3 { a b = 4a + b = 3 a = a = + b = b = Siis a =, b = ja c =, joten p(x) = x + x +. Vastaus: Polynomi on x + x +. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5

11 5. Merkitään Saadaan p(x) = x(x + 3)(5 x), x [, 5] Derivaatan nollakohdat: p(x) = x(5x x + 5 3x) = x( x + x + 5) = x 3 + x + 5x p (x) = 3x + 4x + 5 p (x) = 0 3x + 4x + 5 = 0 x = 4 ± 4 4 ( 3) 5 ( 3) 4 ± 4 x = 6 x = ± 7 3 ( x = 5 ) 3 ei ko. välillä tai x = 3 p(x) on polynomifunktiona jatkuva ja derivoituva, joten se saa suurimman tai pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteessä. p( ) = ( + 3) [5 ( )] = (pienin arvo) p(5) = 0 p(3) = 36 (suurin arvo) Vastaus: Suurin arvo välillä [-, 5] on 36 ja pienin arvo -. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6

12 6. Merkitään satunnaismuuttujalla X oikein saatujen numeroiden lukumäärää. Kysytyt todennäköisyydet ovat ( 7 P(X = 0) = ( 3) 0 ) = 35 0 = 7 4 9,% ( 3 3 ) ( 7 P(X = ) = ( ) 0 ) = 3 0 = 40 = 5,5% ( 3 3 ) ( 7 P(X = ) = ( ) 0 ) = = 7 40 = 7,5% ( 3 3 P(X = 3) = 3) ) = 0 0,83% Todennäköisyyksien summa ( 0 3 P (X = 0) + P (X = ) + P (X = ) + P (X = 3) = = Vastaus: Todennäköisyydet kysytyssä järjestyksessä ovat 9, %, 5,5 %, 7,5 % ja 0,83 %. Todennäköisyyksien summa on. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7

13 7. a) α + α = 7, joten α ja α ovat teräviä kulmia. Siten kolmiot ABC ja ADC ovat yhteneviä ssk-säännön mukaan (sivut CD ja BC, yhteinen sivu AC ja kulmat B ja D). Yhtenevyydestä seuraa α = 7 = 36 ja β = 44 = 7, joten kolmio ABC on tasakylkinen. Suorakulmaisen kolmion ABE trigonometriasta saadaan cos 7 = a a cos 7 a = cos 7 a =, a =,68 Piirretään leija ja nuoli-kuviot yhteen. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8

14 Nyt γ + δ = = 360, joten laatat liittyvät toisiinsa yllä esitetyllä tavalla siten, että kaksi sivua molemmista laatoista yhtyvät. Yhteen liitetyt laatat muodostavat kuvion, joka on suunnikas, koska vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. Suunnikas on neljäkäs, koska vierekkäiset sivut ovat samat. Tällöin a = b. Vastaus: Muiden sivujen pituus on,68. b) Määritetään kolmion ABC pinta-ala. Leijan pinta-ala on Neljäkkään ABED pinta-ala on A = AB sin α, missä A =, B = a =, ja α = 7. A L = A = a sin α =, sin 7 =, ,539. A S = a sin α. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9

15 Nuolen pinta-ala on A N = A S A L = a sin α a sin α = a sin α(a ) =, sin 7 (, ) = 0, ,95. Vastaus: Leijan pinta-ala on,539 ja nuolen 0,95. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 0

16 8. Piirretään vektorit. ā = 4ī 5 j + 3 k b = ī + j k, ū = t b = tī + t j t k Nyt ā = t b + v v = ā t b () Koska vektorit b ja v ovat kohtisuorassa, on pistetulo b v = 0 Sij. () b (ā t b) = 0 b ā t b b = ( 5) + 3 ( ) [t t + t + ( t) ( )] = 0 Lasketaan vektorit. ja ū = 3 9t = 0 9t = 3 ( ) ( ī + ) ( j ) k = 3ī 3 j + 3 k v = ā ū = 4ī 5 j + 3 k = 3 3 ī 4 Vastaus: ā = 4 3 ī 4 3 j k + ( 3ī + 3 j ) 3 k 3 j k. ( 3ī + 3 j 3 k ). t = 3. : ( 9) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

17 9. a = 5 4 a n = 3 4 a n, n =, 3,... a) Rekursiokaavasta nähdään, että lukujono on geometrinen jono, missä q = a n+ a n joten geometrisen jonon yleinen termi Vastaus: Yleinen termi a n = 5 4 = 3 4 a n a n = 3 4, a n = a q n a n = 5 ( ( 3 4) n. ) n b) Koska q = 3 4 sarja <, on tarkasteltava geometrinen jono suppeneva, jolloin S = n= a n = a q = = 5 4 ( ) = 5 7 Vastaus: a n = 5 7 n= TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

18 0. Funktio f : [0, π] R on jatkuva, jolloin välillä [0, π] käyrien y = f(x) ja y = f(x) + sin x väliin jäävän alueen pinta-ala on A = π 0 g(x) dx, missä () g(x) = f(x) + sin x f(x) = sin x Pinta-ala () on myös kysytty pinta-ala. Yhtälöstä () saadaan Koska sin x = A = π 0 sin x dx { sin x, kun 0 x π sin x, kun π x π, saadaan pinta-ala muotoon A = = π 0 0 sin xdx + π/ cos x + / π π π π cos x sin xdx = cos π ( cos 0) + cos π cos π = ( ) ( ) + ( ) = 4 Vastaus: Pinta-ala on 4. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3

19 . a) f(x) = ax, kun x x, + x kun x > Polynomifunktio ax on jatkuva, kun x <. Rationaalifunktio on jatkuva, kun x >, sillä sen nimittäjä + x > 0 kaikilla x:n reaaliarvoilla. Funktio f on jatkuva kohdassa x =, jos lim f(x) = x lim x Lasketaan toispuoleiset raja-arvot. lim f(x), ja x + () f(x) = f(). () lim f(x) = lim x x ax = a ( ) = a. (3) x lim f(x) = lim x + x + x = + = (4) Sijoitetaan (3) ja (4) yhtälöön (), saadaan Nyt joten ehdot () ja () täyttyvät. a = lim f(x) = x = ( ) = f( ), Vastaus: f on kaikkialla jatkuva, kun a =. b) f(x) = x, kun x x, kun x > + x TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4

20 Kun x <, niin funktio f on polynomifunktio x, joten se on derivoituva. Kun x >, niin f on derivoituva rationaalifunktio. Ehto sille, että f on derivoituva myös kohdassa x = on Lasketaan toispuoleiset derivaatat. f ( ) = f +( ). f ( ) f(x) f( ) = lim x x ( ) = lim x ( ) x x + f +( ) = = lim x (x ) x + = lim (x ) (x + ) x x + = lim (x ) x = ( ) =. f(x) f( ) lim x + x ( ) = lim x = lim x = lim x = lim x = lim x x + x ( ) + ( ) x + ) x + x +x) x + x x ( + x ) x ( + x ) (x + ) x + (x )( x + ) ( + x ) ( x + ) x = lim x ( + x ) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 5

21 = ( + ( ) ) =. Tällöin f ( ) f +( ), joten funktio f(x) ei ole kaikkialla derivoituva. c) x (x lim f(x) = lim x x + x = lim x = 0 + =. x + TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 6

22 . Tutkitaan lukujen 46 ja 89 jakojäännöksiä, kun ne jaetaan luvulla = 5 +. Huomataan, että = 5 0 +, joten 46 (mod 5) ja (mod 5). 89 = Huomataan, että = 5 ( ) + 4, joten 89 (mod 5) ja ( ) 67 (mod 5). Nyt ( ) 67 (mod 5) (mod 5) 0(mod 5). Huomataan, että luku 0 on jaollinen viidellä. Tällöin luku jaollinen viidellä. on TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 7

23 3. p(x) = x 4 x 3 + x x Koska vakiotermi on -, niin hyvä arvaus polynomin yhdeksi nollakohdaksi on x = tai x =. Tutkitaan asia. p() = = 0 Polynomilla p(x) on nollakohta x =, joten tekijälauseen mukaan sillä on tekijä x. Selvitetään toinen tekijä jakamalla p(x) jakokulmassa. Polynomi saadaan muotoon Tutkitaan polynomia p(x) = (x )(x 3 + x + x + ) R(x) = x 3 + x + x + = (x 3 + x) + (x + ) = x(x + ) + (x + ) = (x + )(x + ). Binomia x + ei voi jakaa tekijöihin, koska sillä ei ole nollakohtia. Näin ollen p(x) jakaantuu tekijöihin p(x) = (x )R(x) Vastaus: p(x) = (x )(x + )(x + ) = (x )(x + )(x + ). TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 8

24 4. a) Väite on f(x) = cos x g(x) = x ja f(x) g(x) f(x) g(x) 0 x + cos x 0 h(x) 0, jossa h(x) = f(x) g(x) = x + cos x. x Etsitään funktion h derivaatan nollakohdat. h (x) = 0 x sin x = 0 () Yhtälön () eräs ratkaisu on x = 0, koska h (0) = 0 sin 0 = 0 0 = 0. Funktion h derivaattafunktio on Toisaalta kaikilla x pätee h (x) = cos x cos x cos x 0 h (x) 0 h on siis aidosti kasvava, joten sillä on korkeintaan yksi nollakohta, joten ainoa nollakohta on x = 0. Siitä että h on aidosti kasvava seuraa edelleen, että h (x) < 0, kun x < 0 ja h (x) > 0, kun x > 0. Funktion h kulkukaavio on TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 9

25 Pienin arvo on h(0) = 0 + cos 0 = + = 0. Näin ollen h(x) 0 kaikilla x, mistä seuraa väite. b) f(x) = g(x) () f(x) g(x) = 0, joka tulee a-kohdan merkintöjä käyttäen muotoon h(x) = 0 a-kohdan perusteella h(x) pienin arvo on h(x) = 0 kohdassa x = 0. Näin ollen h(x) > 0 muilla x:n arvoilla, joten yhtälön () ainoa ratkaisu on x = 0. Vastaus: x = 0 c) On siis etsittävä funktion h(x) = f(x) g(x) suurin arvo välillä [ π, π]. Jatkuva ja derivoituva funktio h saa suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa. h( π) = ( π) h(0) = 0 = π + cos( π) = π,93 h(π) = π cos π + cos 0 = + = 0 = π = π = h( π) Vastaus: Erotuksen f(x) g(x) suurin arvo välillä [ π, π] on π d) Pinta-ala on A = π π f(x) g(x) dx TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 0

26 a-kohdan kulkukaavion mukaan f(x) g(x) = h(x) > 0 kaikilla x, joten A = = = π π π π π/ π h(x)dx ( ) x + cos x dx ( ) 6 x3 x + sin x = 6 π3 π + sin π = 6 π3 π π3 π + 0 = 3 π3 π Vastaus: Kysytty ala on 3 π3 π. [ ] 6 ( π)3 ( π) + sin( π) TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

27 5. a) PO ja PB ovat kyseisen ympyrän säteitä, joten P B = P O (t 0) + (t y) = y () t + t 4 yt + y = y Toisaalta R(t) = y, joten R(t) = (t + ). yt = t 4 + t : (t ) y = (t + ) b) [ ] R 0 = lim t 0 + (t + ) = (0 + ) = Vastaus: R 0 = TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus

28 c) Jana PC on rajaympyrän säde, joten P C = R 0 (x 0) + (y R 0 ) = R 0 () x + y Ry + R 0 = R 0 y R 0 y + x = 0 Sij. R 0 = y y + x = 0 y = ± ( ) 4 x y = ( +) 4x Vastaus: Funktio g(x) = y(x) = ( 4x ). d). kertaluvun derivaattafunktiot ovat f (x) = D[D x ] = D(x) = g (x) = (0 D ) 4x = = x 4x 8x 4x g (x) = D(x) 4x x D 4x ( 4x ) = 8x 4x x 4x 4x TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 3

29 = 4x + 6x 4x 4x. derivaatan arvot kohdassa x = 0 ovat f (0) = g 4 0 (0) = 4 0 = 0 = Toisaalta /R 0 = / =, joten f (0) = g (0) = /R 0, mikä tuli osoittaa. TKK-pääsykoekurssit abikurssit yksityisopetus 4