Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi"

Transkriptio

1 Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

2 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli sekä yleinen lineaarinen malli Regressimallin parametrien määrittäminen (pienimmän neliösumman menetelmä) Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 2

3 Regressioanalyysi Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla. Regressioanalyysissa selitettävän muuttujan tilastolliselle riippuvuudelle selittävistä muuttujista pyritään rakentamaan tilstollinen malli, jota kutsutaan regressiomalliksi. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 3

4 Regressioanalyysin tavoitteet Regressioanalyysin mahdollisia tavoitteita: (i) Selitettävän muuttujan ja selittävien muuttujien tilastollisen riippuvuuden luonteen kuvaaminen. (ii) Selitettävän muuttujan arvojen ennustaminen. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 4

5 Regressiomalli Regressiomallissa y j = f(x j ; β) + ε j, j = 1, 2,...,n on seuraavat osat: y j = Selitettävän muuttujan havaittu arvo havaintoyksikössä j. x j = Selittävän muuttujan havaittu arvo havaintoyksikössä j. β = Tuntematon ei-satunnainen parametri. ε j = Satunnainen virhetermi havaintoyksikössä j. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 5

6 Regressio-ongelma Regressioanalyysissa pyritään valitsemaan regressiomallin parametrin β arvo siten, että kaikista virhetermeistä ε j tulee samanaikaisesti mahdollisimman pieniä. Pyritään siis valitsemaan parametri β siten, että käyrä y = f(x; β) kulkisi mahdollisimman läheltä jokaista havaintopistettä (x j, y j ) R 2, j = 1, 2,..., n. Erään ratkaisun tähän käyränsovitusongelmaan tarjoaa pienimmän neliösumman menetelmä. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 6

7 Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmässä pyritään minimoimaan regressiomallin y j = f(x j ; β) + ε j, j = 1, 2,...,n virhetermien ε j neliöden summaa, muuttamalla parametrin β arvoa: n n min ε 2 j min (y j f(x j ; β)) 2 β β j=1 j=1 Optimaalinen β:n arvo on parametrin β PNS-estimaatti. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 7

8 Regressiosuoran sovittaminen aineistoon Kuvan regressiosuora on sovitettu PNS-menetelmällä. Virhetermit ε i ovat pystysuuntaisia etäisyyksiä havaintopisteen ja suoralla olevan sovitteen välillä. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 8

9 Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli on muotoa y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,...,n, jossa y j = Selitettävän muuttujan havaittu arvo havaintoyksikössä j. x j = Selittävän muuttujan havaittu arvo havaintoyksikössä j. β 0 = Vakioselittäjän regressiokerroin, joka on tuntematon vakio. β 1 = Selittäjän x regressiokerroin, joka on tuntematon vakio. ε j = Satunnainen virhetermi havaintoyksikössä j. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 9

10 Virhetermin standardioletukset Regressiomallin virhetermit ε j ovat satunnaismuuttujia, joiden ns. standardioletukset ovat: (i) E(ε j ) = 0, j = 1, 2,...,n. (ii) Var(ε j ) = σ 2, j = 1, 2,...,n. (iii) Cor(ε j, ε l ) = 0, j l. Tavallisesti tehdään myös normaalisuusoletus (iv) ε j N(0, σ 2 ), j = 1, 2,...,n. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 10

11 Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmässä yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,...,n, regressiokertoimien β 0 ja β 1 estimaattorit määrätään minimoimalla virhetermien ε j neliösumma min β n j=1 ε 2 j min β n (y j β 0 β 1 x j ) 2 j=1 regressiokertoimien β 0 ja β 1 suhteen. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 11

12 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n aritmeettiset keskiarvot ( x ja ȳ), otosvarianssit (s 2 x ja s 2 y), otoskovarianssi (s xy ) ja otoskorrelaatiokerroin (r xy ) tavanomaisilla kaavoillaan. Yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattorit ovat b 0 = ȳ b 1 x b 1 = s xy s 2 x = r xy s y s x Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 12

13 Sovitteet ja residuaalit Olkoot b 0 ja b 1 yhden selittäjän lineaarisen regressiomallin y j = β 0 + β 1 x j + ε j, j = 1, 2,...,n regressiokertoimien β 0 ja β 1 PNS-estimaattorit. Estimoidun mallin sovite ŷ j = b 0 + b 1 x j, j = 1, 2,...,n on estimoidun regressiosuoran arvo havaintopisteessä x j. Estimoidun mallin residuaali e j = y j ŷ j = y j b 0 b 1 x j, j = 1, 2,...,n on selitettävän muuttujan y havaitun arvon y j ja sovitteen ŷ j arvon erotus. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 13

14 Neliösummia kokonaisneliösumma: SST = n (y j ȳ) 2 j=1 jäännösneliösumma: n SSE = j=1 mallineliösumma: n SSM = (ŷ j ȳ) 2 j=1 Näille neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSM + SSE e 2 j Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 14

15 Selitysaste Tunnuslukua R 2 = 1 SSE SST = SSM SST käytetään regressiomallin hyvyyden mittarina. Tunnuslukua R 2 kutsutaan selityasteeksi ja se mittaa regressiomallin selittämää osuutta selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen kokonaisvaihtelusta. Yhden selittäjän lineaarisessa regressiomallissa pätee: Selitysasteelle pätee aina R 2 = r 2 xy 0 R 2 1 Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 15

16 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Usean selittäjän lineaarisessa regressiomallissa selitettänän muuttujan y havaittujen arvojen vaihtelu halutaan selittää selittävien muuttujien x 1, x 2,...,x k havaittujen arvojen vaihtelun avulla. Usean selittäjän lineaarista regressiomallia kutsutaan tavallisesti yleiseksi lineaariseksi malliksi. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 16

17 Yleinen lineaarinen malli Yhtälö y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j β k x jk + ε j, j = 1, 2,...,n määrittelee yleisen lineaarisen mallin, jossa on seuraavat kertoimet: β 0 = vakioselittäjän regressiokerroin. β i = selittäjän x i regressiokerroin. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 17

18 Tilastollinen analyysi Excelillä Excel on monipuolinen taulukkolaskentaohjelma, joka soveltuu numeeriseen laskentaan silloin, kun käsiteltävän datan määrä on kohtuullinen. Excel sisältää valmiiksi mm. optimointitehtävien ratkaisijan (Solver) ja tärkeimmät tilastolliset analyysityökalut (Analysis ToolPak). Excelillä voi myös tehdä omia sovelluksia Visual Basic -tyyppisellä ohjelmointikielellä. Tässä harjoituksessa tarvitaan Analysis ToolPak -laajennusta ja Solveria. Laajennukset saa käyttöön Tools/Add-Ins...-valikosta valitsemalla kohdat Analysis ToolPak ja Solver Add-in. Kun laajennukset on otettu käyttöön, ne löytyvät Tools-valikosta kohdista Data Analysis ja Solver. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 18

19 Kysymyksiä 1. Millainen on lineaarinen regressiomalli? 2. Mikä on optimointitehtävä pienimmän neliösumman menetelmässä regressiomallin parametrien estimoimiseksi? 3. Mitä mallin selitysaste R 2 ilmaisee? 4. Mitä ovat sovitteet ja residuaalit regressiomallissa? 5. Mitkä ovat regressiomallin virhetermien standardioletukset? 6. Mikä on varianssianalyysihajotelma? Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 19

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä mallin sovittamisessa

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab)

Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) Harjoitus 3: Regressiomallit (Matlab) SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio SCI-C0200 Fysiikan ja matematiikan menetelmien studio 1 Harjoituksen aiheita Pienimmän neliösumman menetelmä

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli

Yleinen lineaarinen malli MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO

1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi,

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Lapsen pituuden selittäminen lineaarisella regressiomallilla

Lapsen pituuden selittäminen lineaarisella regressiomallilla Lapsen pituuden selittäminen lineaarisella regressiomallilla Tuomas Reiterä 013759335 Helsingin yliopisto Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastotiede Kandidaatintutkielma

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE v0.90 Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiodiagnostiikka >> Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka

Lisätiedot

Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen

Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Tekijä: Mikko Nordlund 49857B mikko.nordlund@hut.fi Ohjaaja: Ilkka Mellin Jätetty: 11.12.2003 Sisällysluettelo 1. JOHDANTO... 3 2. MALLIEN TUTKIMINEN...

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Kokeellisen tutkimuksen keskeinen tehtävä on selvittää mitattavien muuttujien välisiä

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

Niina Matikainen Auton arvon aleneminen iän ja käytön myötä

Niina Matikainen Auton arvon aleneminen iän ja käytön myötä PRO GRADU -TUTKIELMA Niina Matikainen Auton arvon aleneminen iän ja käytön myötä TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden tiedekunta Tilastotiede Toukokuu 2017 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Pientalojen radonpitoisuuksien tilastollinen analyysi

Pientalojen radonpitoisuuksien tilastollinen analyysi Pientalojen radonpitoisuuksien tilastollinen analyysi (Valmiin työn esittely) 11.4.2011 Ohjaaja: DI Jirka Poropudas Valvoja: Prof. Raimo Hämäläinen Sisältö 1. Tausta 2. Tavoitteet 3. Menetelmät 4. Tulokset

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARISET REGRESSIOMALLIT

Aki Taanila LINEAARISET REGRESSIOMALLIT Aki Taanila LINEAARISET REGRESSIOMALLIT 17.6.2010 SISÄLLYSLUETTELO 0 Johdanto... 1 1 Keskiarvo ennustemallina... 2 2 Yhden selittävän muuttujan malli... 3 3 Useamman selittävän muuttujan malli... 6 4 Excel

Lisätiedot

Harjoitukset 3 : Monimuuttujaregressio 2 (Palautus )

Harjoitukset 3 : Monimuuttujaregressio 2 (Palautus ) 31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 3 : Monimuuttujaregressio 2 (Palautus 7.2.2017) Tämän harjoituskerran tehtävät

Lisätiedot

2. Tietokoneharjoitukset

2. Tietokoneharjoitukset 2. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 2.1 Jatkoa kotitehtävälle. a) Piirrä aineistosta pistediagrammi (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen estimoitu regressiosuora. KULUTUS on selitettävä muuttuja. b) Määrää estimoidusta

Lisätiedot

Usean selittävän muuttujan regressioanalyysi

Usean selittävän muuttujan regressioanalyysi Tarja Heikkilä Usean selittävän muuttujan regressioanalyysi Yhden selittävän muuttujan regressioanalyysia on selvitetty kirjan luvussa 11, jonka esimerkissä18 muodostettiin lapsen syntymäpainolle lineaarinen

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

Harha mallin arvioinnissa

Harha mallin arvioinnissa Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan

Lisätiedot

Residuaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat

Residuaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat TAMPEREEN YLIOPISTO Tilastollisen mallintamisen harjoitustyö Teemu Kivioja ja Mika Helminen Epätasapainoisen koeasetelman analyysi Worksheet 5 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus )

Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus ) 31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus 7.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä

Lisätiedot

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio

Tilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio β versio Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät

Tilastolliset menetelmät Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden soveltamisesta. Tämä on monisteen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän

Lisätiedot

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

1. Tietokoneharjoitukset

1. Tietokoneharjoitukset 1. Tietokoneharjoitukset Aluksi Tällä kurssilla käytetään R-ohjelmistoa, jonka käyttämisestä lienee muutama sana paikallaan. R-ohjelmisto on laajasti käytetty vapaassa levityksessä oleva ammattimaiseen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Kvantitatiiviset menetelmät

Kvantitatiiviset menetelmät Kvantitatiiviset menetelmät HUOM! Tentti pidetään tiistaina.. klo 6-8 V ls. Uusintamahdollisuus on rästitentissä.. ke 6 PR sali. Siihen tulee ilmoittautua WebOodissa 9. 8.. välisenä aikana. Soveltuvan

Lisätiedot

Mat 2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö Painemittarin kalibrointi. Valtteri Ervasti 51615N

Mat 2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö Painemittarin kalibrointi. Valtteri Ervasti 51615N Mat 2.08 Sovelletun matematiikan erikoistyö Painemittarin kalibrointi Valtteri Ervasti 565N Sisällys. Johdanto...2 2. Taustaa...3 2.. Cassini Huygens projekti...3 2.2. HASI...6 2.3. PPI (Pressure Profile

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 1. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 2 Aiheet: Aluksi Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Tällä kurssilla käytetään

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 9. luento Pertti Palo 22.11.2012 Käytännön asioita Eihän kukaan paikallaolijoista tee 3 op kurssia? 2. seminaarin ilmoittautuminen. 2. harjoitustyön

Lisätiedot

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot