Bifurkaatiot Pro gradu Olli-Pekka Hyttinen Itä-Suomen yliopisto

Transkriptio

1 Bifurkaatiot Pro gradu Olli-Pekka Hyttinen Itä-Suomen yliopisto

2 Itä-Suomen ylopisto Fysiikan ja matematiikan laitos Tiivistelmä Olli-Pekka Hyttinen: Bifurkaatiot Pro gradu Bifurkaatioilla tarkoitetaan dierentiaaliyhtälöiden ratkaisujen käyttäytymisen äkillistä ja huomattavaa muutosta. Nämä muutokset tapahtuvat tasapainopisteiden tai näitä vastaavien kiinnitettyjen pisteiden läheisyydessä jo pienillä parametrien muutoksilla. Tällöin voi syntyä uusia tasapainopisteitä tai jaksollisia ratoja, tai tasapainopisteet voivat myös hävitä, ja virtauksien suunnat muuttua. Tällöin siis systeemin kvalitatiivinen rakenne voi muuttua täysin toisenlaiseksi. Tässä työssä tarkastelun pääpaino on yksiulotteisten bifurkaatioiden ominaisuuksien tarkastelussa. Ensin määritellään tarvittavat tiedot bifurkaatioiden käsittelyyn ottaen huomioon että tavalliset dieentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät oletetaan tunnetuiksi. Implisiittifunktiolause on avainasemassa kun tutkitaan dierentiaaliyhtälöiden bifurkaatiokäyttäytymistä, ja tasapainopisteiden stabiilisuus on pystyttävä selvittämään kaikissa tapauksissa, että nähtäisiin mitä vastauksien radoille kulloinkin tapahtuu. Ensin kuitenkin käsitellään tyypillisimpiä tapauksia esimerkkien valossa, jotta niiden yleiset ominaisuudet tulisivat selville. Samalla tavoin käsitellään bifurkaatiokäyttäytyminen skalaarikuvausten yhteydessä, jolloin käsitellään tasapainopisteiden sijasta kiinnitettyjä pisteitä. Tarkastelussa jatketaan yleisten ja jaksollisten dierentiaaliyhtälöiden tapauksiin, että nähtäisiin näiden bifurkaatioiden käyttäytymisen olevan analogista autonomisten dierentiaaliyhtälöiden kanssa. Tätä varten on käsiteltävä ensin kyseisten dierentiaaliyhtälötyyppien yleistä käyttäytymistä ja stabiilisuutta, jonka pohjalta bifurkaatioiden käyttäytyminen voidaan tällöin selvittää. Avainasemassa ovat tällöin Poincarén kuvaukset ja 1-jaksolliset funktiot. Lopuksi tutustutaan kaksiulotteisiin eli tasosysteemeihin, jolloin tutkitaan dierentiaaliyhtälöparien ratkaisujen bifurkaatiokäyttäytymistä. Tarkoituksena on osoittaa, että joskus yksinkertaisemmissa tapauksissa tällainen tarkastelu voidaan redusoida yksiulotteisten tapausten tarkasteluksi. Samalla nähdään että kaikissa tapauksissa tämä ei ole mahdollista, sillä saaduilla bifurkaatioilla ei ole vastineita yksiulotteisten tapausten joukossa. Tarkempaan tarkasteluun otetaan satula-nielu/lähde -bifurkaation kaksiulotteinen tapaus, jolle nyt siis löytyy vastine yksiulotteisista tapauksista, sekä Hopn bifurkaatio jolle vastaavuutta ei löydy. Satula-nielu/lähde -bifurkaation yhteydessä nähdään myös kuinka bifurkaatioyhtälön avulla voidaan selvittää tasapainopisteiden stabiilisuus. Lopuksi vielä käsitellään homokliinisen bifurkaation tapaus esimerkin tasolla, että sen yleinen käyttäytyminen tulisi ilmi.

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Yleistä Määritelmiä ja implisiittifunktiolause Ratarakenne ja stabiilisuus Tyypillisiä bifurkaatioita Parametrien muutokset lähellä tasapainopisteitä Hyperboliset tasapainopisteet Toisen asteen degeneraatio Kolmannen asteen degeneraatio Skalaarikuvausten bifurkaatiot Radat ja stabiilisuus Monotonisten kuvausten bifurkaatiot Hyperboliset kiintopisteet Toisen asteen degeneraatio Kolmannen asteen degeneraatio Jakson kahdentava bifurkaatio Yleiset ja jaksolliset dierentiaaliyhtälöt Yleiset dierentiaaliyhtälöt Jaksolliset dierentiaaliyhtälöt Jaksollisten ratkaisujen stabiilisuus Jaksollisten dierentiaaliyhtälöiden bifurkaatiot Poincarén kuvauksen bifurkaatiot Ei-hyperbolisten jaksollisten ratkaisujen stabiilisuus Bifurkaatiot Tasosysteemit Yleisiä bifurkaatioita satula-nielu/lähde -bifurkaatio Hopn bifurkaatio Homokliininen bifurkaatio Viitteet 48

4 1 Johdanto Työssä käsitellään bifurkaatioita erilaisissa dierentiaaliyhtälöissä ja dierentiaaliyhtälösysteemeissä. Käsittelyn pääpaino on yksinkertaisemmissa yksiulotteisissa systeemeissä, ja lopuksi käsitellään myös kaksiulotteisia tasosysteemejä. Huomataan että osa kaksiulotteisista tapauksista redusoituu yksiulotteisten tapausten tarkasteluksi. Aluksi käsitellään ratoja ja stabiilisuutta sekä tarkastelussa tarvittavia määritelmiä ja lauseita. Tämän jälkeen käsitellään yleisiä bifurkaatioita esimerkkien avulla, ja sitten tarkemmin yleisemmissä tapauksissa. Tarkastelu laajennetaan käsittämään myös monotoniset kuvaukset. Yksiulotteisten tapausten tarkastelun lopuksi käsitellään bifurkaatioita jaksollisten dierentiaaliyhtälöiden tapauksessa. Dierentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät oletetaan tunnetuiksi. Lopuksi tarkastellaan vielä tasosysteemejä, joiden yhteydessä löydetään sekä yksiulotteisia systeemejä vastaavia bifurkaatioita, että myös tapauksia joille ei löydy vastaavuuksia yksiulotteisista tapauksista. Dierentiaaliyhtälösysteemien ja matriisien ratkaisutavat oletetaan tunnetuiksi. 1

5 2 Yleistä 2.1 Määritelmiä ja implisiittifunktiolause Bifurkaatioteoriassa tarkastellaan muutoksia dierentiaaliyhtälön virtauksen kvalitatiivisessa rakenteessa, kun parametrien arvoja muutetaan. Tällöin vastauksien radat muuttuvat merkittävästi. Määritellää aluksi mitä ovat virtaus ja rata, minkä jälkeen voidaan kertoa tarkemmin mitä tällä tarkoitetaan. Määritelmä 2.1. Olkoon x = F (t, x). Olkoon nyt x alkuehto ja ϕ t (x ) alkuehdon täyttävä ratkaisu, jolloin siis pätee ϕ (x ) = x. Tällöin funktio ϕ(t, x ) = ϕ t (x ) on dierentiaaliyhtälön virtaus.[3, s. 64] Määritelmä 2.2. Rata pisteen (t, x ) kautta on joukko {(t, ϕ(t, t, x )) : t I t,x } R n. Tässä I t,x on virtauksen maksimaalinen määrittelyjoukko.[1, s. 18] Nyt voidaan määritellä ratarakenne: Määritelmä 2.3. virtauksen kvalitatiivinen rakenne tai vaihtoehtoisesti ratarakenne tarkoittaa systeemin ratojen lukumäärää sekä niiden virtausten suuntia.[1, s. 27] Dierentiaaliyhtälön ratojen rakenteen sanotaan olevan stabiili, mikäli kvalitatiivinen rakenne ei muutu kunhan parametrien muutokset ovat riittävän pieniä. Parametrin arvo jolla rakenne ei enää ole stabiili, on bifurkaatioarvo, jolloin differentiaaliyhtälön sanotaan olevan bifurkaatiopisteessä.[1, s. 27] Käydään vielä läpi joitakin dierentiaaliyhtälöiden tasapainopisteiden ominaisuuksia: Määritelmä 2.4. x R on dierentiaaliyhtälön x = f(x) tasapainopiste jos f( x) =.[1, s. 11] Määritelmä 2.5. Tasapainopiste x on hyperbolinen, jos f ( x).[1, s. 19] Siis kun f (x ) =, niin tasapainopiste ei ole hyperbolinen. Tasapainopisteiden tarkastelussa on olennaista tietää ovatko ne stabiileja vai epästabiileja, ja tätä tarkastelua varten tulee muistaa seuraavat määritelmät: Määritelmä 2.6. Olkoon x vektorikentän f tasapainopiste ja ϕ(t, x ) virtaus x():ssa. x on stabiili, jos kaikilla ε > on olemassa δ > siten, että x x < δ kaikilla x, aina kun ϕ(t, x ) x < ε kaikilla t.mikäli x ei ole stabiili, niin se on epästabiili.[1, s. 17] Määritelmä 2.7. Tasapainopiste x on asymptoottisesti stabiili, jos se on stabiili ja on olemassa r > siten, että ϕ(t, x ) x kun t kaikilla x joille pätee x x < r. [1, s. 17] Myöhemmin tullaan tarkastelemaan dierentiaaliyhtälöiden bifurkaatiokäyttäytymistä eri tyyppisten tasapainopisteiden läheisyydessä, jolloin tullaan tarvitsemaan implisiittifunktiolausetta. Esitetään ja todistetaan tämä nyt seuraavaksi. Lemma 2.8 (Implisiittifunktiolause). Olkoon F : R k R R; (λ, x) F (λ, x), jatkuvasti derivoituva funktio jolle pätee F (, ) =, (, ). F x 2

6 Tällöin ovat olemassa vakiot δ > ja η > sekä jatkuvasti derivoituva funktio ψ : {λ : λ < δ} R siten, että ψ() = ja F (λ, ψ(λ)) = kun λ < δ. Lisäksi jos on olemassa (λ, x ) R k R siten, että λ < δ ja x < η, ja joka toteuttaa yhtälön F (λ, x ) =, niin tällöin x = ψ(λ ). Nyt siis λ (λ 1,..., λ k ) R k. [1, s. 41] Todistus. Voidaan olettaa, että Nyt koska F x F (, ) >. x on jatkuva, niin voidaan olettaa että F x (x) > kaikilla x R. Tästä siis seuraa että F (, ) on kasvava funktio :n ympäristössä, eli on olemassa q 1 < < q 2 siten, että F (, q 1 ) < < F (, q 2 ). Koska F on jatkuva, voidaan löytää λ R k siten, että F (λ, q 1 ) < < F (λ, q 2 ). Nyt väliarvolauseen nojalla kullekin λ R k löytyy y jolle pätee q 1 < y < q 2 siten, että F (λ, y) =, ja y on nyt yksikäsitteinen. Nyt siis olkoon y = ψ(λ), jolloin y:n yksikäsitteisyydestä seuraa että ψ on jatkuva. Nyt täytyy siis vielä osoittaa, että ψ = F / F x j x j x k+1 pätee kaikilla j = 1, 2,..., k. Kiinnitetään nyt λ R k ja asetetaan y = ψ(λ), jolloin F (λ + se j, y + t) F (λ, y) = s F F (λ, y) + t (λ, y) + ε s x j x 2 + t 2, k+1 missä ε = ε(s, t) kun s 2 + t 2. Asetetaan nyt t = ψ(λ + se j ) ψ(λ) edelliseen yhtälöön, jolloin saadaan Siis ottamalla normit saadaan F t (λ, y) = s F (λ, y) ε s x k+1 x 2 + t 2. j F t (λ, y) s F (λ, y) + ε s + ε t. x k+1 x j Kun nyt s on riittävän pieni, niin ε 1 2 F/ x k+1(λ, y) ja ε 2 F/ x j (λ, y), jolloin siis t 6 s F F (λ, y) / (λ, y) x j x k+1 3

7 pätee. Tällöin nähdään, että ψ(λ + se j) ψ(λ) +[ F F (λ, y)][ (λ, y)] 1 ε (1+6 F F (λ, y) (λ, y) 1 ). s x j x k+1 x j x k+1 Kun nyt s, niin nähdään että ψ/ x j on olemassa pisteessä λ. Siis ψ on jatkuvasti derivoituva.[4, ss ] Implisiittifunktiolausetta voidaan käyttää tasapainopisteiden tutkimiseen. Jos nyt x = F (λ, x) on dierentiaaliyhtälö joka riippuu k:sta parametrista λ (λ 1,..., λ k ), ja sillä on hyperbolinen tasapainopiste x = kun λ =, niin tällöin implisiittifunktiolauseen ehdot täyttyvät, eli yhtälö F (λ, x) = voidaan ratkaista paikallisesti kun x = ψ(λ), parametrien (λ 1,..., λ k ) funktiona. Nyt siis F (λ, ψ(λ))/ x kun vain λ on riittävän pieni, eli siis vastausten radoissa ei tapahdu suurta vaihtelua arvon x = pienessä ympäristössä.[1, s. 41] Implisiittifunktiolauseen suorana seurauksena nähdään siis, että tarkasteltaessa ensimmäisen asteen dierentiaaliyhtälöitä, jotka ovat esimerkiksi muotoa x = a x = F (a, x), hyperbolisen tasapainopisteen ympäristössä ei tapahdu bifurkaatiota. Kun a =, niin F (, x) = x, ja F (, x) = 1. Nyt nähdään että bifurkaatioita tapahtuu vain ei-hyperbolisten tasapainopisteiden läheisyydessä. Tarkastellaan tätä tarkemmin myöhemmin.[1, s. 27][3, s. 176] Tarkastelussa tarvitaan Taylorin sarjoja, jolloin tullaan käyttämään merkintää O(x n ), jolla siis tarkoitetaan sarjan termejä n:stä asteesta eteenpäin. Käydään vielä ennen tyypillisten bifurkaatioiden tarkastelua loppuun ratarakenteen ja stabiilisuuden tarkastelu. 2.2 Ratarakenne ja stabiilisuus Seuraava määritelmä kertoo tarkemmin, mitä rakenteellisella stabiilisuudella tarkoitetaan. Määritelmä 2.9. Olkoon x = F (λ, x) vektorikenttä joka riippuu parametreistä λ = (λ 1,..., λ k ). Vektorikenttää x = F ( λ, x), jollakin kiinnitetyllä arvolla λ = λ, kutsutaa rakenteellisesti stabiiliksi, mikäli on olemassa ε > siten, että x = F (λ, x) on topologisesti ekvivalentti vektorikentän x = F ( λ, x) kanssa kaikilla λ joilla pätee λ λ < ε.[1, s. 63][2, ss ] Muistetaan vielä mitä topologinen ekvivalenssi tarkoittaa: Määritelmä 2.1. Skalaariset dierentiaaliyhtälöt x = f(x) ja x = g(x) ovat topologisesti ekvivalentteja, mikäli on olemassa homeomorsmi h siten, että se kuvaa dierentiaaliyhtälöiden radat toisilleen suunnat säilyttäen.[1, s. 63] Seuraavaksi voidaankin todistaa seuraava lause, jota voidaan käyttää osoittamaan, että dierentiaaliyhtälöillä on sama ratarakenne. Lause Skalaariset dierentiaaliyhtälöt x = f(x) ja x = g(x) joilla on rajallinen määrä tasapainopisteitä ovat topologisesti ekvivalentteja jos ja vain jos niillä on sama ratarakenne.[1, s. 62] Todistus. Nyt kun kaksi vektorikenttää ovat topologisesti ekvivalentteja, niin homeomorsmi kuvaa yhden vektorikentän tasapainopisteen toisen vektorikentän tasapainopisteelle. Tästä seuraa että molemmilla vektorikentillä on sama 4

8 ratarakenne, sillä nyt niillä on sama määrä tasapainopisteitä ja ratojen virtaukset pysyvät samoina. Oletetaan seuraavaksi, että vektorikentillä on sama ratarakenne. Olkoot x 1,..., x n vektorikentän f tasapainopisteet järjestettynä janalle. Olkoot x 1,..., x n vastaavasti g:n tasapainopisteet. Valitaan pisteet α 1,..., α n+1 siten, että α 1 < x 1, x n < α n+1, ja α i+1 on aina peräkkäisten tasapainopisteiden ( x i, x i+1 ) välissä. Valitaan samoin pisteet β 1,..., β n+1 siten että β 1 < x 1, x n < β n+1, ja β i+1 on aina peräkkäisten tasapainopisteiden ( x i, x i+1 ) välissä. Määritellään nyt homeomorsmi h : (, x 1 ) (, x 1 ) kahdesta avoimesta välistä. Kullakin pisteellä x välillä (, x 1 ) on olemassa yksikäsitteinen arvo t x, joka riippuu x :sta siten, että ϕ(t x, x ) = α 1. Jos nyt h(x ) = ψ( t x, β 1 ), niin h on homeomorsmi. Että h voitaisiin laajentaa suljetuille väleille, niin olkoon h( x 1 ) = x 1. Koska nyt h(x ) x 1 kun x x 1, niin nyt kuvaus h : (, x 1 ] (, x 1 ] on homeomorsmi. Samoin kun käytetään f:n ja g:n virtauksia, niin voidaan muodostaa homeomorsmi h : ( x i, x i+1 ) ( x i, x i+1 ) avoimille väleille, ja jälleen laajentaa suljetuille väleille kun h( x i ) x i ja h( x i+1 ) x i+1. Nyt siis vektorikentät f ja g ovat topologisesti ekvivalentteja.[1, ss ] Nyt tämän lauseen ja rakenteellisen stabiilisuuden määritelmän suorana seurauksena saadaan lause joka yhdistää rakenteellisen stabiilisuuden ja ratarakenteen stabiilisuuden: Lause Skalaari dierentiaaliyhtälö x = F ( λ, x) jolla on äärellinen määrä tasapainopisteitä on rakenteellisesti stabiili jos ja vain jos sillä on stabiili ratarakenne.[1, s. 64] Seuraavaksi tarkastellaan tyypillisiä bifurkaatioita esimerkkien avulla, ja tämän jälkeen yleisemmissä tapauksissa käyttäen implisiittifunktiolausetta. 2.3 Tyypillisiä bifurkaatioita Aloitetaan tarkastelu ensimmäisen kertaluvun dierentiaaliyhtälöstä x = x 2 + a F (a, x). Nyt a on reaaliparametri, ja funktiolla on tasapainopiste x =, kun a =. Nyt F (, ) =, ja tasapainopiste ei siis ole hyperbolinen, ja huomataan myös, että F (, ) = 2. Kun parametri a >, niin yhtälöllä ei ole tasapainopisteitä, sillä F (a, x) > kaikilla x. Jos taas a <, niin yhtälöllä on kaksi tasapainopistettä, eli siis ± a. Eli nyt siis tapahtuu bifurkaatio, kun parametrin a arvo kulkee pisteen kautta.[3, ss ][1, ss ] Nyt löytyy siis x-akselin väli I, jolta tasapainopisteet löytyvät kussakin tapauksessa. Samoin ratkaisujen radat löytyvät tasapainopisteiden rajaamilta väleiltä. Tarkemmin tässä systeemissä siis pätee: Kun a < a, välillä I on kaksi tasapainopistettä; Kun a = a, välillä I on yksi tasapainopiste; Kun a > a, välillä I ei ole tasapainopisteitä. 5

9 Tällaista systeemiä kutsutaan satula-nielu -bifurkaatioksi tai satula-lähde -bifurkaatioksi.[3, s. 177] Figure 1: Satula-lähde/nielu -bifurkaatio Seuraava lause antaa ehdot satula-lähde/nielu -bifurkaatiolle: Lause Olkoon x = F (a, x) ensimmäisen asteen dierentiaaliyhtälö, jolle pätee 1. F (a, x ) = ; 2. F (a, x ) = ; 3. F (a, x ) ; 4. F a (a, x ). Tällaiselle dierentiaaliyhtälölle tapahtuu satula-lähde -bifurkaatio tai satulanielu -bifurkaatio, kun a = a. [3, s. 177] Todistus. Nyt F (a, x ) =, ja F a (a, x ). Nyt implisiittifunktiolauseen ehdot täyttyvät, eli on olemassa funktio a = a(x) siten, että F (a(x), x) =. Valitaan nyt a(x):n määrittelyjoukkoon kuuluva luku x, joka on nyt funktion x = F (a(x ), x) tasapainopiste, sillä F (a(x ), x ) =. Seuraavaksi dierentioidaan F (a x, x) = x:n suhteen, jolloin saadaan a (x) = F/ x F/ a. 6

10 Nyt siis F x (a, x ) = F (a, x ) =, kun taas F a (a, x ) = F (a, x ) oletuksen mukaan, eli a (x ) =. Dierentioidaan vielä kerran, jolloin saadaan Koska F x (a, x ) =, saadaan a (x) = 2 F F x 2 a + F 2 F x a 2 ( F. a )2 a (x ) = 2 F x (a 2, x ) F a (a,, x ) sillä 2 F x (a 2, x ) = F (a, x ). Tästä nähdään että funktion a = a(x) kuvaaja on konkaavi joko ylös tai alas, jolloin siis väite seuraa.[3, ss ] Nyt voidaan sanoa, että yhtälöllä x = x 2 +a F (a, x) on vakaa ratarakenne aina kun a, ja sen bifurkaatioarvo on a =, jolloin dierentiaaliyhtälö siis saavuttaa bifurkaatiopisteensä.[1, ss ] Seuraavaksi otetaan tarkasteluun dierentiaaliyhtälö Tasapainopisteiksi saadaan nyt x = ja x = ± a, kun a > ; x =, kun a.[3, ss ] x = x 3 ax F (a, x). Nyt tasapainopiste x = ei ole hyperbolinen, sillä F (a, ) = kaikilla a. Nyt siis a = on dierentiaaliyhtälön bifurkaatioarvo, ja se saavuttaa bifurkaatiopisteensä kun x = ja a =. Ratarakenne on vakaa aina kun a > ja a <.[1, s. 32] Kyseistä bifurkaatiota kutsutaan hankobifurkaatioksi, ja nimen syy selvinnee kuvasta. 7

11 Figure 2: Hankobifurkaatio Tässä tapauksessa hankobifurkaatio on superkriittinen, sillä bifurkaatiopisteen jälkeen esiintyvät uudet tasapainopisteet saadaan parametrin arvoilla, joilla alkuperäinen tasapainopiste ei ole stabiili. Mikäli uudet tasapainopisteet löydettäisiin parametrin arvoilla joilla alkuperäinen tasapainopiste on stabiili, niin bifurkaatio olisi subkriittinen.[1, s. 34] Tarkastellaan nyt dierentiaaliyhtälöä x = x 2 + ax F (a, x). Nyt olipa a mikä vain, on x = aina tasapainopiste. Kun a <, niin löydetään uusi tasapainopiste x = a. Tässä tapauksessa x = on asymptoottisesti stabiili ja x = a on epästabiili. Jos valitaan a >, niin tasapainopiste x = a on stabiili, kun taas x = on epästabiili. Nyt siis bifurkaatioarvolla a = tapahtuu transkriittinen bifurkaatio, jossa siis tasapainopisteiden stabiilisuus vaihtuu.[1, ss. 29-3] 8

12 Figure 3: Transkriittinen bifurkaatio Seuraava dierentiaaliyhtälö tarkastelussa on x = x 3 + x + a F (a, x). Kun a =, niin löydetään tasapainopisteet 1, ja 1. Tällöin ratarakenne on vakaa, ja myös pysyy vakaana kunnes saavutetaan arvot a 1 < a < a 1, missä nyt a 1 = 2 3. Dierentiaaliyhtälö siis saavuttaa bifurkaatiopisteensä arvoilla 3 ±a 1. Tätä bifurkaatiota kutsutaan hystereesiksi.[1, s. 3] 9

13 Figure 4: Hystereesi Lopuksi yhdistetään kaksi edellistä bifurkaatiota, jolloin saadaan dierentiaaliyhtälö x = x 3 + bx + a F (a, b, x). Nyt on löydettävä bifurkaatiopisteet, joten tarkastellaan yhtälöitä F (a, b, x) = x 3 + bx + a =, x F (a, b, x) = 3x2 + b =. Ratkaistaan nyt a ja b x:n suhteen, jolloin saadaan Eliminoidaan x, jolloin saadaan b = 3x 2, a = 2x 3. 4b 3 = 27a 2. Tällöin löydetään kärkipiste, kun (a, b) = (, ). Nyt voidaan valita b = 1, jolloin käyttäytyminen vastaa hystereesiä, ja jos valitaan a =, niin se vastaa hankobifurkaatiota.[1, ss ] 1

14 Figure 5: Kärkipiste Seuraavassa osiossa tarkastellaan käsiteltyjä lineaarisia yksiulotteisia tapauksia yleisemmin kuin vain nyt tutkituissa erityistapauksissa. Huomataan että tarkastelu muuttuu monimutkaisemmaksi mikäli käyttäytymistä ei voida suoraan määrätä linearisoinnista eli yhtälöä vastaavan Taylorin sarjan ensimmäisen asteen termistä. 11

15 3 Parametrien muutokset lähellä tasapainopisteitä Tarkastellaan seuraavaksi implisiittifunktiolauseen avulla, mitä tapahtuu differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen radoille erilaisten tasapainopisteiden läheisyydessä, kun parametreissä tapahtuu pieniä muutoksia. Käytännössä siis osoitetaan että edellisessä osiossa esitellyt bifurkaatiokäyttäytymiset pätevät myös yleisemmin. Parametrien muutokset pidetään pieninä, ja oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että tarkasteltavilla dierentiaaliyhtälöillä on tasapainopiste x =.[1, ss ] 3.1 Hyperboliset tasapainopisteet Koska nyt on kyseessä hyperbolinen tasapainopiste, niin pätee f() =, f (). Tarkastellaan nyt mitä tapahtuu, kun vakion ja lineaaritermin arvot muuttuvat. Osiossa 2.2 tarkasteltiin tapausta x = a x, mutta seuraava tarkastelu osoittaa, että yleisemminkin hyperbolisten tasapainopisteiden läheisyydessä tapahtuvat pienet muutokset ensimmäisen asteen dierentiaaliyhtälön vektorikentässä eivät aiheuta bifurkaatioita.[1, s. 43] Aloitetaan tarkastelu dierentiaaliyhtälöstä x = F (λ, x). Olkoon nyt F : R k R R, siten että (λ, x) F (λ, x), jokin C 1 -funktio, jolle pätee F (, x) = f(x), F x (, ) = f (). Jos nyt F (λ, ), niin origo ei ole tasapainopiste. Kuitenkin nyt f() = oletusten mukaisesti, jolloin saadaan F (, ) =, F x (, ) = f (). Nyt implisiittifunktiolauseen mukaan on olemassa vakiot δ > ja η >, sekä C 1 -funktio ψ(λ), joka on määritelty kun λ < δ. Tällöin kun, ψ() =, niin F (λ, ψ(λ)) =. Nyt jokainen piste (λ, x) jossa λ < δ ja x < η, ja jolla pätee F (λ, x) =, saadaan siis laskemalla (λ, ψ(λ)). Tästä seuraa, että jokaiselle λ < δ ja jokaiselle x < η on olemassa yksikäsitteinen yhtälön x = F (λ, x) tasapainopiste x = ψ(λ), jolle pätee x < η.[1, s. 43] Nyt on vielä tutkittava, onko tasapainopiste ψ(λ) stabiili, eli on siis määritettävä, onko derivaatta F (λ, ψ(λ)) x positiivinen vai negatiivinen. Nyt selvästi F x (, ψ()) = f (), 12

16 sillä ψ() =. Tällöin on siis olemassa δ > siten, että λ < δ, jolloin nähdään että derivaatta on samanmerkkinen kuin f (). Tästä seuraa, että tasapainopisteen ψ(λ) stabiilisuus on samanlainen kuin tasapainopisteen funktiossa x = f(x). Näin ollen hyperbolisten tasapainopisteiden läheisyydessä eivät pienet parametrien muutokset aiheuta muutoksia systeemin virtaukseen.[1, ss ] 3.2 Toisen asteen degeneraatio Tarkastellaan tällä kertaa C 2 -funktiota f, jolle pätee f() =, f () = ja f (). Aloitetaan tarkastelu dierentiaaliyhtälöstä x = F (λ, x). Olkoon nyt F C 2 -funktio siten, että F : R k R R; (λ, x) F (λ, x), ja se täyttää ehdot F (, x) = f(x), F x (, ) = f () =, 2 F x (, ) 2 = f (). Nyt kun muistetaan, että f() =, niin funktion Taylorin sarja saa muodon F (λ, x) = a(λ) + b(λ)x + c(λ) x2 2 + G(λ, x). Nyt a() =, b() =, c() = f () ja kaikilla ε > on olemassa δ > ja η > siten, että funktiolle G pätee G(λ, x) < ε x 2 kun λ < δ ja x < η.[1, s. 44.] Tarkastellaan nyt yhtälöä x = f(x) = x 2 + a, joka on siis riippuvainen vain yhden parametrin a arvosta, jolloin Taylorin sarja on x = F (λ, x) = λ + f () x2 2. Muistetaan, että tässä tapauksessa virtaus muuttuu pisteessä λ = siten, että tasapainopisteitä on kaksi kun λf () <, mutta kun λf () >, niin tasapainopisteitä ei ole. Osoitetaan seuraavaksi että sama pätee myös yleisessä tapauksessa.[1, s. 44] Nyt on osoitettava, että lähellä pistettä x = funktion F (λ, x) kuvaaja on paraabeli. On siis löydettävä yksikäsitteinen ääriarvopiste lähellä pistettä x =, kun λ on riittävän pieni. Ääriarvopisteet löydetään ratkaisemalla yhtälö Olkoon siis H(λ, x) F (λ, x) =. x F (λ,x) x. Tällöin oletusten perusteella seuraa, että H(, ) =, H x (, ) = f (). Näin ollen implisiittifunktiolauseen nojalla on olemassa vakiot δ >, η > sekä C 1 -funktio ψ(λ), joka on määritelty kun λ < δ siten, että ψ() = ja H(λ, ψ(λ)) =. Tällöin siis F (λ, ψ(λ)) =, x 13

17 ja jokainen derivaatan ratkaisu (λ, x) kun λ < δ ja x < η saadaan kun x = ψ(λ).[1, ss ] Nyt siis jokaisella vakiolla λ löydetään funktion F (λ, x) minimi pisteessä x = ψ(λ) jos f () > ja maksimi jos f () <. Alkuperäisen funktion tasapainopisteiden lukumäärä riippuu siis nyt funktion F ääriarvosta α(λ) = F (λ, ψ(λ)). Voidaan siis sanoa, että jos α(λ)f () <, niin origon läheltä löytyy kaksi hyperbolista tasapainopistettä, jos α(λ) =, niin origosta löytyy ei-hyperbolinen tasapainopiste, ja jos α(λ)f () >, niin origon ympäristössä ei ole tasapainopisteitä. Käyttäytyminen on siis samanlaista kuin satula-lähde/nielu bifurkaation tapauksessa, eli siis tämä bifurkaatiokäyttäytyminen pätee myös yleisessä tapauksessa.[1, s. 45] Nähdään myös että virtausten käyttäytyminen riippuu vain yhdestä parametrin λ funktiosta, eli siis ääriarvosta α(λ), olipa parametrivektorissa λ = (λ 1,..., λ k ) kuinka monta komponenttia tahansa. Tällöin sanotaan että alkuperäinen vektorikenttä f on kodimension yksi bifurkaatio. Kodimensiolla siis tarkoitetaan niiden parametrien määrää joita tulee muuttaa että bifurkaatio tapahtuisi.[1, s. 45] 3.3 Kolmannen asteen degeneraatio Tarkastellaan tällä kertaa C 3 -funktiota f, jolle pätee f() =, f () =, f () = ja f (). Tämä on nyt kolmannen asteen yhtälöiden tapaus, kuten aiemmin tarkasteltu yhtälö x = x 3 + bx + a. Seuraavaksi osoitetaan, että tällainen käyttäytyminen toistuu myös yleisemmässä tapauksessa origon pienissä ympäristöissä.[1, s. 46] Nyt siis samaan tapaan kuin aiemmissa tapauksissa, tarkastellaan dierentiaaliyhtälöä x = F (λ, x). Olkoon nyt F C 3 -funktio siten, että F : R k R R; (λ, x) F (λ, x), ja se täyttää ehdot F (, x) = f(x), F x (, ) = f () =, 2 F x (, ) 2 = f () =, 3 F x (, ) 3 = f (). Rajataan nyt tarkastelu yksinkertaisuuden vuoksi kahden parametrin muutoksiin.[1, s. 47] Olkoon siis nyt λ = (λ 1, λ 2 ), ja funktion F (λ, x) Taylorin sarjakehitelmä F (λ, x) = λ 1 + λ 2 x + a(λ) x2 2 + b(λ)x3 + G(λ, x), 6 jossa nyt a() =, b() = f (), ja kaikilla ε > on olemassa δ > ja η > siten, että funktiolle G pätee G(λ, x) < ε x 3 kun λ < δ ja x < η.[1, s.47] Aluksi siis etsitään parametrien bifurkaatioarvot. On siis ratkaistava yhtälöt = F (λ, x) = λ 1 + λ 2 x + a(λ) x2 x3 2 + b(λ) 6 = F x (λ, x) = λ 2 + b(λ) x2 2 + G x (λ, x). + G(λ, x), 14

18 Näistä voidaan nyt ratkaista λ 1 ja λ 2 x:n funktiona. Jos nyt siis ratkaistaan λ 2 λ 1 :n ja x:n suhteen, niin voidaan kirjoittaa F x (λ, x) H(λ 1, x, λ 2 ) = λ 2 + a(λ)x + b(λ) x2 2 + G (λ, x). x Nyt siis voidaan soveltaa implisiittifunktiolausetta siten, että (λ 1, x) ovat parametrit joista riippuva λ 2 on. Nyt nähdään, että H(,, ) = ja H(,,) λ 2 = 1. Siis tässä tapauksessa on olemassa C 2 -funktio ψ 2 (λ 1, x), joka on määritelty pienillä parametrien λ 1 ja x arvoilla, ja jolla pätee H(λ 1, x, ψ(λ 1, x)) =. Myöskin pätee että kaikki pienet arvot (λ 1, x, λ 2 ), jotka toteuttavat ehdon H(λ 1, x, λ 2 ) =, saadaan yhtälöstä λ 2 = ψ 2 (λ 1, x). Nyt voidaan nähdä, että ψ 2 (λ 1, ) = ψ2 x (, ) =, 2 ψ 2 x (, ) 2 = b() = f (). Eli siis Taylorin sarjakehitelmä funktiolle ψ 2 (λ 1, x) parametrin x suhteen on ψ 2 (λ 1, x) = A(λ 1 )x + B(λ 1 ) x2 2 +, missä nyt A() = ja B() = f ().[1, ss ] Ratkaistaan nyt λ 1 x:n suhteen sijoittamalla λ 2 = ψ 2 (λ 1, x) ensimmäiseen yhtälöön, jolloin saadaan siis = J(x, λ 1 ) λ 1 +ψ 2 (λ 1, x)x+a(λ 1, ψ 2 (λ 1, x)) x2 2 +b(λ 1, ψ 2 (λ 1, x)) x3 6 +G(λ 1, ψ 2 (λ 1, x), x). Nyt selvästi J(, ) =, ja J(,) λ 1 = 1. Sovelletaan jälleen implisiittifunktiolausetta, jonka nojalla nyt on olemassa C 3 -funktio ψ 1 (x) joka on määritelty pienillä x:n arvoilla siten, että J(x, ψ 1 (x)) =. Tämän lisäksi siis pätee että kaikki pienet arvot (x, λ 1 ), jotka toteuttavat ehdon J(x, λ 1 ) =, saadaan yhtälöstä λ 1 = ψ 1 (x). Nyt J:stä voidaan nähdä, että ψ 1 () = ψ 1() = ψ 1 () =, ψ 1 () = 2f (). Muodostetaan vielä Taylorin sarja funktiolle ψ 1 (x): ψ 1 (x) = 1 3 f ()x 3 +. [1, s. 48] Näin on saatu paikalliset ratkaisut parametreille λ 1 (x) ja λ 2 (x) origon lähellä: λ 1 (x) = ψ 1 (x) = 1 3 f ()x 3 +, λ 2 (x) = ψ 2 (ψ 1 (x), x) = 1 2 f ()x 2 +. Kyseessä on siis kärkipiste (λ 1, λ 2 )-tasossa.[1, ss.48-49] Nyt käsitelty tapaus on hyvin käyttäytyvä siinä mielessä, että bifurkaatioon vaikuttavat vain vakiotermi ja lineaaritermi, sillä nyt katsottiin että a() = 15

19 ja a(λ) on derivoituva, jolloin voitiin olettaa, että termillä a(λ) x2 2 ei juuri ole vaikutusta. Tämä voidaan osoittaa muodostamalla Taylorin sarja a(λ) = a 1 λ 1 + a 2 λ 2 +, missä a 1 ja a 2 ovat vakiotermejä. Tästä voidaan siis nähdä, että a(λ)x 2 = a 1 λ 1 x 2 + a 2 λ 2 x 2 +. Nyt kun x on hyvin pieni, niin a 1 λ 1 x 2 < λ 1 ja a 2 λ 2 x 2 < λ 2, eli siis termin a(λ)x 2 vaikutus bifurkaatioon jää erittäin pieneksi.[1, s. 49] Seuraavaksi tuleekin osoittaa, että kahden parametrin mielivaltainen muutos kolmannen asteen degeneraation omaavaan dierentiaaliyhtälöön voidaan käsitellä vastaavasti kuin edellä tarkasteltu tapaus, ja se siis redusoituu edellä käsitellyksi tapaukseksi. Valitaan siis parametrit µ (µ 1, µ 2 ), ja tarkastellaan yhtälöä F (µ, x). Tämän Taylorin sarjaksi origossa saadaan F (µ, x) = c(µ) + d(µ)x + â(µ) x2 2 + b(µ) x3 6 + Ĝ(µ, x), missä c() = d() = â() =, b() = f (), ja kaikilla ε > on olemassa δ > ja η > siten, että funktiolle Ĝ pätee Ĝ(µ, x) < ε x 3 kun µ < δ ja x < η.[1, s.49] Nyt on varmistettava, että (µ 1, µ 2 ) kattaa kaikki vakio- ja lineaaritermin mahdolliset pienet arvot. Tämä tarkoittaa, että vektorifunktion (c(µ), d(µ)) arvojoukko kattaa origon ympäristön pienillä parametrin µ arvoilla. Tätä varten oletetaan, funktion Jacobin determinantti parametrin µ suhteen ei ole nolla, kun µ =. Siis (c(µ), d(µ)) det. (µ 1, µ 2 ) (µ1,µ 2)=(,) Nyt parametrien muunnokset ovat λ 1 c(µ 1, µ 2 ), λ 2 d(µ 1, µ 2 ) λ = (λ 1, λ 2 ) = ja µ = (µ 1, µ 2 ) = ympäristössä. Nyt siis parametri λ on yksikäsitteisesti määrätty kaikilla µ. Nyt on vielä varmistettava että parametri µ on yksikäsitteisesti määrätty kaikilla λ. Tämä saadaan implisiittifunktiolauseen avulla. Jos määritellään funktiot P 1 (λ, µ) c(µ) λ 1, P 2 (λ, µ) d(µ) λ 2, niin tällöin P 1 (, ) = P 2 (, ) = ja det (P 1, P 2 ) = det (µ 1, µ 2 ) λ=µ=) (c(µ), d(µ)) (µ 1, µ 2 ). µ= Näin ollen siis µ on yksikäsitteisesti määrätty kaikilla λ, ja on C 1 -funktio λ:ssa.[1, s. 5] Käytetään nyt parametrien muunnosta, ja asetetaan a(λ) â(µ(λ)), b(λ) b(µ(λ)) ja G(λ, x) Ĝ(µ(λ), x), niin nähdään että yleisestä tapauksesta saadaan osion alussa tarkasteltu hyvin käyttäytyvä tapaus.[1, s. 5] Edellä käsiteltiin kolmannen asteen degeneraatiota yksinkertaisuuden vuoksi tapauksessa jossa vain kahteen parametriin tehdään muutoksia. Tarkastellaan vielä lopuksi esimerkin avulla tapausta jossa parametreja on kolme. 16

20 Esimerkki 3.1. Tarkastellaan nyt dierentiaaliyhtälöä x = µ 1 + µ 2 x + µ 3 x 2 2 x3 6, jossa nyt siis µ 1, µ 2 ja µ 3 ovat parametrit. Nyt toisen asteen termi voidaan eliminoida korvaamalla uudella termillä y µ 3 x, jolloin dierentiaaliyhtälöksi saadaan y = µ 1 + µ 2 µ µ3 3 + (µ µ2 3)y y3 6. Nyt siis määritellään uudet parametrit λ 1 µ 1 + µ 2 µ µ3 3, λ 2 µ µ2 3, jolloin saadaan siis kahden parametrin yhtälö y = λ 1 + λ 2 y y3 6. Kuten edellä, nytkin on kyseessä kärkipiste, ja arvot λ 1 ja λ 2 vastaavat nyt bifurkaatiopisteitä. Tässä tapauksessa bifurkaatiopisteet saadaan yhtälöstä 8λ 3 2 = 9λ 2 1, jolloin siis bifurkaatiopisteitä vastaavat alkuperäisten parametrien arvot löytyvät pinnalta 8(µ µ2 3) 3 = 9(µ 1 + µ 2 µ µ3 3) 2. Nyt siis tasapainopisteiden määrä vaihtuu yhdestä kolmeen kun siirrytään tämän pinnan puolelta toiselle.[1, ss ] 17

21 4 Skalaarikuvausten bifurkaatiot Tarkastellaan nyt tässä osiossa tarkemmin skalaarikuvauksia ja niiden geometriaa sekä niiden bifurkaatiokäyttäytymistä. 4.1 Radat ja stabiilisuus Tarkastellaan skalaarikuvausten yleistä käyttäytymistä ennen kuin siirrytään tutkimaan bifurkaatioita. Tätä varten tarkastellaan nyt alkuarvon x iteraatioita x, f(x ), f(f(x )),., missä f : R R. Nyt kun x n = f n (x), niin nyt iteraatit saadaan dierenssiyhtälön x n+1 = f(x n ) ratkaisuina.[1, s. 72] Määritellään seuraavaksi joitakin dierenssiyhtälöiden ominaisuuksia, jotka usein ovat analogisia dientiaaliyhtälöiden vastaavien ominaisuuksien kanssa, ja joita tullaan tarvitsemaan bifurkaatioiden tarkastelussa. Käsitellään ensin radat ja kiintopisteet. Määritelmä 4.1. x :n positiivinen rata on joukko pisteitä {x, f(x ), f 2 (x ),...}. Käytetään tälle merkintää γ + (x ).[1, s. 72] Määritelmä 4.2. Piste x on kuvauksen f kiintopiste jos f( x) = x.[1, s. 72] Nyt siis kiintopisteet vastaavat dierentiaaliyhtälöiden tasapainopisteitä, ja ne pysyvät kiinnitettyinä iteraatioissa. Erona on nyt että etsittäessä kiintopisteitä on ratkaistava yhtälö f(x) = x, eikä f(x) =.[1, s. 72] Kiintopisteiden stabiilisuus ja asymptoottinen stabiilisuus ovat myös analogisia tasapainopisteiden kanssa: Määritelmä 4.3. Kuvauksen f kiintopiste x on stabiili, jos kaikilla ε > on olemassa δ > siten, että kaikilla x joilla pätee x x < δ, x :n iteraatit täyttävät ehdon f n (x ) x < ε kaikilla n. Jos x ei ole stabiili, se on epästabiili.[1, s. 73] Määritelmä 4.4. Kuvauksen f kiintopiste x on asymptoottisesti stabiili jos se on stabiili ja lisäksi on olemassa r > siten, että f n (x ) x kun n kaikilla x joille pätee x x < r.[1, s. 73] Seuraavan lauseen avulla voidaan määrittää skalaarikuvausten asymptoottinen stabiilisuus. Lause 4.5. Olkoon f C 1 -kuvaus. Kuvauksen f kiintopiste x on asymptoottisesti stabiili jos f ( x) < 1, ja epästabiili jos f ( x) > 1.[1, s. 73] Todistus. Kuvataan aluksi piste ( x, x) = ( x, f( x)) origoon (, ). Määritellään uusi muuttuja u := x x, jolloin saadaan uusi kuvaus g(u) = f( x + u) f( x). 18

22 Tällöin g() =, ja kuvauksen g pisteen stabiilisuuden tutkiminen vastaa kuvauksen f pisteen x stabiilisuuden tutkimista. Nyt myös g (u) = f ( x + u). Kiinnitetään ε > ja määritellään m ε min s ε f ( x + s), M ε max s ε f ( x + s). Koska nyt u f ( x + s) jos u ε, niin Ketjusäännön nojalla saadaan vielä m ε u g(u) M ε u. g n (u) M n ε u M n ε ε < ε, kun n. Nyt siis piste on määritelmän mukaisesti stabiili. Koska M ε < 1, niin Mε n kun n. Tästä seuraa että g n (u) kun n. Siis kiintopiste on asymptoottisesti stabiili. Nyt huomataan, että jos f ( x) > 1, niin tällöin on olemassa ε > ja δ > siten, että m ε > 1 + δ. Oletetaan, että u ja u ε. Tällöin saadaan että g n (u) m n ε u (1 + δ ) n u, kunhan vain g n (u) ε. Tästä nähdään että täytyy olla olemassa n = n siten, että g n (u) ε. Koska u voi olla mielivaltaisen pieni, niin tästä seuraa että on epästabiili.[1, ss ] Määritellään geometrisen tarkastelun lopuksi kiintopisteiden hyperbolisuus: Määritelmä 4.6. Kuvauksen f kiintopiste x on hyperbolinen jos f ( x) 1.[1, s. 76] Tästä nähdään että hyperbolisen kiintopisteen tulee olla joko asymptoottisesti stabiili tai epästabiili, lauseen 4.5 nojalla. Stabiilisuuden ja epästabiilisuuden tyyppi voidaan määritellä laskemalla derivaatta f ( x).[1, s. 76] 4.2 Monotonisten kuvausten bifurkaatiot Käytetään nyt edellisessä osiossa määriteltyjä skalaarikuvausten ominaisuuksia bifurkaatiokäyttäytymisen tutkimiseen monotonisten kuvausten tapauksessa. Monotoniset kuvaukset ovat joko kasvavia tai väheneviä. Määritellään aluksi tarkemmin mitä tällä tarkoitetaan. Määritelmä 4.7. Kuvauksen f positiivinen rata γ + = x, x 1,..., x n,..., missä x n+1 = f(x n ), on monotonisesti kasvava mikäli x n+1 x n kaikilla n Z +. Samoin γ + on monotonisesti vähenevä mikäli x n+1 x n kaikilla n Z +. Jos γ + on monotonisesti vähenevä tai kasvava, se on monotoninen.[1, s. 81] Määritelmä 4.8. Kuvaus f on monotoninen kuvaus, jos sen kaikki positiiviset radat γ + ovat monotonisia.[1, s. 81] Seuraavan lemman avulla voidaan selvittää kuvauksen monotonisuus: Lemma 4.9. Olkoon f C 1 -funktio jolle pätee f (x) > kaikilla x jotka kuuluvat kuvauksen määrittelyjoukkoon. Tällöin f on monotoninen kuvaus.[1, s. 82] 19

23 Todistus. Keskiarvolauseen nojalla x n+1 x n = f(x n ) f(x n 1 ) = f ( x n )(x n x n 1 ) jollekin x n. Siis x n+1 x n :n merkki on sama kuin x 1 x :n kaikilla n Z +.[1, s. 82] Jos nyt f on monotoninen, niin sen käänteisfunktio f 1 on olemassa. Käytetään tätä ominaisuutta negatiivisen radan määritelmässä. Määritelmä 4.1. Jos f on monotoninen, niin tällöin sen pisteen x negatiivinen rata γ (x ) on joukko {x, f 1 (x ), f 2 (x ),...}. Tällöin pisteen x rata γ on γ(x ) γ + (x ) γ (x ).[1, s. 82] Nyt voidaan tutkia monotonisten kuvausten bifurkaatiokäyttäytymistä, joka onnistuu tulkitsemalla uudelleen osiossa 3 tehty tarkastelu, mutta nyt tasapainopisteiden tilalla ovat kiintopisteet. Valitaan nyt x = yksinkertaisuuden takia kuten aiemminkin. Oletetaan, että f () >, eli f on monotoninen jossakin pisteen pienessä ympäristössä. Tarkastellaan jälleen kuvausta F (λ, x), jossa nyt jälleen λ = (λ 1, λ 2,..., λ k ). Olkoon nyt F : R k R R; (λ, x) F (λ, x), missä F (, x) = f(x). Jos lisäksi F (λ, x) on C 1 -funktio, niin silloin se on myös monotoninen arvolla x kaikilla parametrin λ pienillä arvoilla. Nyt siis on löydettävä kullakin arvolla λ ratkaisu jossa F (λ, x) x =, jolloin saadaan osiossa 3 käsitellyt vastaavat tapaukset.[1, s. 82] Hyperboliset kiintopisteet Olkoon nyt f monotoninen C 1 -kuvaus jolle pätee f() =, f () 1. Tällöin siis kiintopiste on hyperbolinen. Tarkastellaan nyt kuten aiemminkin C 1 -kuvausta F (λ, x) jolle siis pätee F (, x) = f(x), F x (, ) = f () 1. Tällöin nähdään, samalla tavoin kuin aiemmin osiossa 3.1, että jos λ on riittävän pieni, niin kuvauksella F on yksikäsitteinen kiintopiste lähellä origoa jonka stabiilisuus on sama kuin monotonisen kuvauksen f kiintopisteen stabiilisuus.[1, ss ] Toisen asteen degeneraatio Nyt f on monotoninen C 2 -kuvaus jolle pätee f() =, f () = 1, f (). 2

24 Nyt siis tarkastellaan C 2 -kuvausta F (λ, x), jolle pätee F (, x) = f(x), F x (, ) = f () = 1, 2 F x (, ) 2 = f (). Tällöin siis osion 3.2 tarkastelun perusteella on olemassa funktion F (λ, x) x ääriarvoja vastaava funktio α(λ), jolle pätee α() = pienillä λ:n arvoilla siten, että 1. jos α(λ)f () <, niin kuvauksella F on kaksi kiintopistettä; 2. jos α(λ)f () =, niin kuvauksella F on yksi kiintopiste 3. jos α(λ)f () >, niin kuvauksella F ei ole kiintopisteitä. [1, s. 84] Kolmannen asteen degeneraatio Tarkastellaan seuraavaksi esimerkin avulla tapausta, jossa f on monotoninen C 3 -kuvaus jolle pätee f() =, f () = 1, f () =, f (). Esimerkki Olkoon f(x) = x x 3, ja λ = (λ 1, λ 2 ). Tällöin F (λ, x) = λ 1 + (1 + λ 2 )x x 3. Nyt kuten nähtiin alkuperäisessä tarkastelussa osiossa 3.3, niin tulokseksi saadaan jälleen kärkipiste (λ 1, λ 2 )-tasossa. Tällöin pätee: kun (λ 1, λ 2 ) on kärkipistekuvaajan sisäpuolella, on kuvauksella F (λ, x) kolme kiintopistettä; kun (λ 1, λ 2 ) on kärkipistekuvaajan ulkopuolella, on kuvauksella F (λ, x) yksi kiintopiste; kun (λ 1, λ 2 ) on kärkipistekuvaajalla, niin kuvauksella F (λ, x) on kaksi kiintopistettä jos (λ 1, λ 2 ) (, ), ja yksi kiintopiste jos (λ 1, λ 2 ) = (, ). Tarkastelu on identtinen tasapainopisteiden yhteydessä suoritetun tarkastelun kanssa.[1, s. 84] Jakson kahdentava bifurkaatio Tarkastellaan vielä lopuksi tapausta jolle ei löydy vastaavuutta aiemmin osiossa 3 tarkasteltujen tapausten joukosta. Olkoon nyt siis x ei-hyperbolinen tasapainopiste jolle pätee f( x) = 1. Nyt siis jos f ( x) <, niin f ei ole monotoninen, ja se siis kuvaa kiintopistettä lähellä olevat pisteet kiintopisteen toiselle puolelle. Jos nyt x on epästabiili, rata ei voi lähestyä x:aa. Jos iteraatit ovat rajoitettuja, niin voi esiintyä tapaus jossa parittomat iteraatit lähestyvät jotain rajapistettä x, ja parilliset iteraatit lähestyvät arvoa f(x ).[1, s. 87] Nyt tässä tapauksessa f 2 (x ) = x kun f(x ) x, eli x on jaksollinen piste jonka jakso on 2. Nyt voidaan siis esittää seuraava määritelmä: 21

25 Määritelmä x on minimijakson n jaksollinen piste, jos f n (x ) = x ja n on pienin tällainen positiivinen kokonaisluku. Kaikista jaksollisen pisteen iteraateista koostuvaa joukkoa kutsutaan jaksolliseksi radaksi [1, s. 87] Syntyvää bifurkaatiota kutsutaan jakson kahdentavaksi bifurkaatioksi, ja sen kuvaaja muistuttaa hankobifurkaatiota.[1, s. 87] Nyt edellä määritelty jaksollinen piste on kuvauksen f n (x) kiintopiste. Tämän pisteen stabiilisuus määritellään seuraavasti: Määritelmä Minimijakson n jaksollinen piste x on stabiili, jos se on kuvauksen f n stabiili kiintopiste. Jos se on kuvauksen f n epästabiili kiintopiste, niin se on epästabiili. Jos se on kuvauksen f n asymptoottisesti stabiili kiintopiste, niin se on asymptoottisesti stabiili.[1, s. 88] Nyt voidaan osoittaa, että jakson kahdentava bifurkaatio tapahtuu ei-hyperbolisissa kiinnitetyissä pisteissä kun f ( x) = 1. Lause Olkoon f(x) C 3 -funktio jolla on origossa kiintopiste siten, että pätee 1. f() =, f () = 1; 2. (f 2 ()) ; 3. F (, x) = f(x), F (λ, ) = ; 4. F (λ,) x = (1 + λ). Tällöin on olemassa pisteen (λ, x) = (, ) ympäristö jossa kaikilla λ joille pätee λ(f 2 ()) < on olemassa funktion F (λ, x) yksikäsitteinen jaksollinen rata {x λ, F (λ, x λ )} jonka minimijakso on 2. Parametrin λ arvoilla joilla λ(f 2 ()) > ei ole olemassa minimijakson 2 jaksollisia ratoja. Lisäksi jakson 2 rata on asymptoottisesti stabiili jos origo on epästabiili kiintopiste arvolla λ. Samalla tavoin jakson 2 rata on epästabiili jos origo on asymptoottisesti stabiili kiintopiste arvolla λ.[1, s. 88] Todistus. Nyt siis kuvauksen F (λ, x) jakson 2 jaksolliset pisteet vastaavat kuvauksen F 2 (λ, x) = F (λ, F (λ, x)) kiintopisteitä, eli funktion F 2 (λ, x) x = ratkaisuja. Nyt johtuen kohdasta 3 x = on ratkaisu, mutta sen minimijakso on 1. Jotta löydettäisiin vain ratkaisut joiden minimijakso on 2, on tarkasteltava funktiota 1 x (F 2 (λ, x) x). Määritellään nyt Taylorin sarja, jota varten tarvitaan derivaattoja x:n suhteen. Näin saadaan (F 2 (λ, x)) = F (λ, F (λ, x))f (λ, x), (F 2 (λ, x)) = F (λ, F (λ, x))(f (λ, x)) 2 + F (λ, F (λ, x))f (λ, x). Origossa nämä siis ovat (F 2 (, )) = (f 2 ()) = 1, (F 2 (, )) = (f 2 ()) =. 22

26 Taylorin sarjaksi funktiolle F 2 (λ, x) origossa saadaan siis missä Etsitty Taylorin sarja on siis F 2 (λ, x) = (1 + λ) 2 x + a(λ) 2 x2 + b(λ) 6 x3 +, a() =, b() = (f 2 ()). 1 x (F 2 (λ, x) x) = λ(2 + λ) + a(λ) 2 x + b(λ) 6 x2 +. Koska nyt b(), on analyysi identtinen tapauksen kanssa jossa tutkittiin bifurkaatiokäyttäytymistä hyperbolisissa tasapainopisteissä joilla on toisen asteen degeneraatio. Nyt siis jos λ(f 2 ()) >, niin Taylorin sarja ei mene nollaan. Jos taas λ(f 2 ()) <, niin Taylorin sarjalle löytyy kaksi kohtaa joissa se menee nollaan. Nämä vastaavat 2-jaksollista rataa {x λ, F (λ, x λ )}. Seuraavaksi tulee selvittää stabiilisuus. Jos λ(f 2 ()) <, niin tarkastellaan funktiota F 2 (λ, x) origon ympäristössä, jossa se saa arvon pisteissä, x λ ja F (λ, x λ ). Jos nyt kulmakerroin (1+λ)2 < 1, eli λ < ja on stabiili, kun x =, niin funktion F 2 (λ, x) x kulmakerroin pisteessä x λ on suurempi kuin yksi, samoin kuin F (λ, x λ ). Siis 2-jaksollinen rata on epästabiili. Samalla tavoin nähdään että jos (1 + λ) 2 > 1, eli λ > ja on epästabiili, niin 2-jaksollinen rata on stabiili.[1, ss ] 23

27 5 Yleiset ja jaksolliset dierentiaaliyhtälöt Tarkastelussa on tähän asti keskitytty autonomisiin dierentiaaliyhtälöihin muotoa x = f(x). Tässä osiossa keskitytään nyt tarkastelemaan yhtälöitä jotka ovat muotoa x = f(t, x). Nyt siis f : R R R; (t, x) f(t, x) on jatkuva C 1 -funktio. Tällainen funktio ei ole autonominen, vaan ei-autonominen, sillä se riippuu nyt x:n lisäksi t:stä.[1, s. 18] 5.1 Yleiset dierentiaaliyhtälöt Nyt kun tarkastellaan yleisiä dierentiaaliyhtälöitä, niin tulee ottaa huomioon, että nyt virtauksen ratkaisu joka kulkee pisteen (t, x ) R R kautta on ϕ(t, t, x ) = x, ja ratkaisu ϕ(t, t, x ) on yksikäsitteisesti määritelty, ja graaksi saadaan joukko {(t, ϕ(t, t, x )) : t I t,x } R R. Nyt I t,x on siis suurin väli jolla virtaus ϕ(t, t, x ) on määritelty. Tällöin radaksi pisteessä x saadaan joukko {(ϕ(t, t, x )) : t I t,x, kun t = t.[1, s. 18] Seuraava lemma on kertoo, että vaikka yhtälöiden radat eivät ole yksikäsitteisesti määriteltyjä pisteen x suhteen, niin ne ovat kuitenkin monotonisia alkuehdon x suhteen: Lemma 5.1. Olkoot ϕ(t, t, x ) ja ϕ(t, t, y ) ratkaisut virtaukselle ϕ pisteissä x ja y kun t = t. Tällöin kun t t jos x < y.[1, s. 19] ϕ(t, t, x ) < ϕ(t, t, y ) Todistus. Tulos seuraa suoraan ϕ:n ratkaisujen yksikäsitteisyydestä[1, s. 18] Nyt voidaan tarkastella muutamien esimerkkien valossa dierentiaaliyhtälöiden ominaisuuksia. Jos siis tarkastellaan yhtälöä x = sin t, niin ratkaisuksi saadaan ϕ(t,, x ) = x + 1 cos t. Ratkaisu on siis 2π-jaksollinen. Tällöin rata on suljettu väli [x, x + 2] kaikilla arvoilla x. Tästä voidaan nähdä että lähekkäisillä arvoilla x y näitä vastaavien ratkaisujen radat eivät ole samat, vaikka ne voivatkin olla osittain päällekkäin.[1, s. 19] Tarkastellaan seuraavaksi parametrin t vaikutusta yhtälön x = (cos t)x 2 avulla. Voidaan nähdä että jos x(t ) =, niin ratkaisuksi saadaan x(t) = koko joukossa R. Jos nyt x(t ), saadaan ϕ(t, t, x ) = 1 (sin t + 1 x ) sin t. Tästä nähdään että jos sin t + 1 x >, niin ratkaisu on määritelty kaikilla t, ja muulloin vain tietyillä rajallisilla väleillä. Samoin nähdään että jos t =, niin kaikki ratkaisut joissa x < 1 ovat 2π-jaksollisia.[1, s. 19] Nyt jos tarkastellaan yhtälöä x = x + cos t, niin ratkaisu on ϕ(t, t, x ) = e (t t) [x 1 2 (sin t + cos t )] + 1 (sin t + cos t). 2 24

28 Nyt nähdään että kun t, niin ϕ 1 2 (sin t + cos t). Yhtälöllä on siis jaksollinen raja.[1, s. 11] Nyt koska virtaukset voivat lähestyä jotain jaksollista rataa, niin tutkitaan seuraavaksi onko rata myös itse ratkaisu. Otetaan siis tarkasteluun yhtälö x = x + 1 t 1 t, jossa nyt x R ja t 1. Tällöin saadaan ratkaisu 2 ϕ(t, t, x ) = e (t t) (x 1 t ) + 1 t. Nyt nähdään että ϕ(t, t, x ) kun t. Nyt kuitenkaan x(t) = ei ole dierentiaaliyhtälön ratkaisu, joten nähdään että rata ei ole dierentiaaliyhtälön ratkaisu.[1, ss ] 5.2 Jaksolliset dierentiaaliyhtälöt Nyt otetaan tarkasteluun funktiot x = f(t, x), joille pätee f(t + 1, x) = f(t, x), eli siis jaksolliset funktiot jaksona 1, kaikilla t R. Tällaisilla funktioilla on ominaisuuksia, joiden avulla voidaan määrittää niiden virtausten asymptoottinen käyttäytyminen. Nähdään että jos x(t) on ratkaisu, niin tällöin myös x(t + k) on ratkaisu kaikilla k Z. Nyt koska ratkaisujen yksikäsitteisyyden ja edellisen huomion perusteella seuraa, että jos ϕ(t, t, x ) on ratkaisu, niin tällöin ϕ(t + 1, t + 1, x ) = ϕ(t, t, x ), ϕ(t + 1, t, x ) = ϕ(t, t, ϕ(t + 1, t, x )). Keskitytäänkin nyt tarkastelussa 1-jaksollisiin ratkaisuihin.[1, ss ] Muistetaan nyt jaksollisuus: Määritelmä jaksollisen dierentiaaliyhtälön x = f(t, x) ratkaisu ϕ(t, t, x ) on T -jaksollinen, jos ϕ(t + T, t, x ) = ϕ(t, t, x ) kaikilla t. Lisäksi jos ϕ(t + τ, t, x ) ϕ(t, t, x ) millä tahansa < τ < T, niin T on minimijakso.[1, s. 114] Seuraava lemma auttaa 1-jaksollisuuden määrittämisessä: Lemma jaksollisen dierentiaaliyhtälön x = f(t, x) ratkaisu ϕ(t, t, x ) on 1-jaksollinen jos ja vain jos ϕ(t + 1, t, x ) = x.[1, s. 114] Todistus. Jos ϕ(t + 1, t, x ) = ϕ(t, t, x ), niin kun t = t, niin ϕ(t + 1, t, x ) = x. Toisaalta, jos ϕ(t+1, t, x ) = x, niin nyt koska ϕ(t+1, t, x ) = ϕ(t, t, ϕ(t + 1, t, x )), niin nyt ϕ(t, t, x ) on 1-jaksollinen.[1, s. 114] Seuraavaksi määritellään jaksollisten ratkaisujen stabiilisuus ja asymptoottinen stabiilisuus. Määritelmä 5.4. Jaksollinen ratkaisu ϕ(t, t, x ) on stabiili jos kaikilla ε > on olemassa δ > siten, että kaikilla y joille pätee y x < δ ratkaisu ϕ(t, t, x ) täyttää ehdon ϕ(t, t, y ) ϕ(t, t, x ) < ε kaikilla t. Jos ratkaisu ei ole stabiili, niin se on epästabiili.[1, ss ] Määritelmä 5.5. Jaksollinen ratkaisu ϕ(t, t, x ) on asymptoottisesti stabiili jos se on stabiili, ja lisäksi on olemassa r > siten, että ϕ(t, t, y ) ϕ(t, t, x ) kun t kaikilla y joille pätee y x < r.[1, s. 115] 25

29 Tutkitaan nyt tarkemmin jaksollisten ratkaisujen asymptoottista käyttäytymistä, ja valitaan t =. Tarkastellaan nyt ratkaisua ϕ(t,, x ) valitsemalla funktio φ k : [, 1] R, missä k =, 1, 2,..., siten että φ (t) = ϕ(t,, x ), φ 1 (t) = ϕ(t + 1,, x ),. φ k (t) = ϕ(t + k,, x ),.. Nyt siis t [, 1].[1, s. 115] Nyt koska dierentiaaliyhtälöt ovat jaksollisia ja ratkaisut ovat yksikäsitteisiä, niin tämä jono funktioita on monotoninen, eli jos φ 1 () φ (), niin tällöin φ k+1 (t) φ k (t). Sama pätee tietysti toisinkin päin jos φ 1 () φ (). Nyt siis jos jono on rajoitettu, niin on olemassa rajafunktio Φ(t) siten, että φ k (t) Φ(t) monotonisesti kun k. Koska nyt φ k (t) = ϕ(t,, φ k ()) ja ϕ(t,, x ) on jatkuva pisteissä x ja t, niin ϕ(t,, Φ()) on olemassa kun t 1 ja Φ(t) = ϕ(t,, Φ()). Nyt voidaan vielä nähdä että Φ(1) = lim k ϕ(1,, φ k()) = lim k φ k+1() = Φ(). Nyt kun sovelletaan lemmaa 5.3, niin nähdään että dierentiaaliyhtälön ratkaisu joka kulkee rajafunktion Φ() kautta kun t = on 1-jaksollinen.[1, s. 115] Samalla tavoin voidaan tutkia tapausta kun t. Tällöin tutkitaan funktioiden jonoa ψ k = ϕ(t k,, x ). Jos tämä on rajoitettu, niin on olemassa rajafunktio Ψ(t) jolle pätee ψ k (t) Ψ(t) kun k ja Ψ(1) = Ψ().[1, s. 115] Nyt on siis todistettu seuraava lause: Lause 5.6. Jos 1-jaksollisen dierentiaaliyhtälön ratkaisu ϕ(t,, x ) on rajoitettu kun t, niin on olemassa 1-jaksollinen ratkaisu Φ(t) siten, että ϕ(t + k,, x ) k Φ(t) monotonisesti ja tasaisesti kun t 1. Samalla tavoin jos ϕ(t,, x ) on rajoitettu kun t, niin on olemassa 1-jaksollinen ratkaisu Ψ(t) siten, että ϕ(t k,, x ) k Ψ(t) monotonisesti ja tasaisesti kun t 1.[1, s. 116] Nyt nähdään että 1-jaksollisilla funktiolla rajafunktio on 1-jaksollinen ratkaisu, vaikka aiemmin nähtiin että tämä ei päde yleisesti.[1, s. 116] Määritellään vielä lopuksi jaksollisiin funktioihin liittyvä kuvaus, jota tullaan tarvitsemaan myöhemmin jaksollisten ratkaisujen stabiilisuuden tutkimiseen: Määritelmä jaksollisen dierentiaaliyhtälön x = f(t, x) Poincarén kuvaus on skalaarikuvaus [1, s. 116] Π : R R; x ϕ(1,, x ). 26

30 Nyt siis tämä kuvaus kuvaa x :n kun t = virtauksen ϕ(t,, x ) arvolle kun t = 1, mistä seuraa että Π k (x ) = ϕ(k,, x ). Lisäksi tämä kuvaus on monotoninen, sillä Π k (x ) = φ k (). Kun nyt sovelletaan lemmaa 5.3, niin saadaan Lemma 5.8. Piste x on dierentiaaliyhtälön x = f(t, x) 1-jaksollisen ratkaisun alkuarvo jos ja vain jos x on Poincarén kuvauksen kiintopiste, eli jos Π(x ) = x.[1, s. 116] 5.3 Jaksollisten ratkaisujen stabiilisuus Tarkastellaan nyt 1-jaksollisten ratkaisujen stabiilisuutta Poincarén kuvauksen avulla. Huomataan, että Π on derivoituva sekä monotonisesti ei-vähenevä, eli Π (x ) kaikilla x. Nyt Lemman 5.8 perusteella 1-jaksolliset ratkaisut ϕ(t,, x ) vastaavat Poincarén kuvauksen kiintopistettä x siten, että Π(x ) =. Nyt Lauseen 4.5 avulla voidaan osoittaa, että virtaus ϕ on asymptoottisesti stabiili, mikäli Π (x ) < 1, ja epästabiili mikäli Π (x ) > 1.[1, s.129] Nyt Lauseen 4.5 käyttämisen helpottamiseksi on löydettävä tapa soveltaa sitä vain 1-jaksollisten ratkaisujen tapaukseen. Aloitetaan tämä tarkastelu esittelemällä seuraavat lemmat. Lemma 5.9. Olkoon ϕ(t,, x ) 1-periodisen yhtälön x = f(t, x) virtaus jolle pätee ϕ(,, x ) = x. Tällöin ϕ(t,, x ) x on seuraavan lineaarisen dierentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän ratkaisu: jossa z() = 1. Siis toisin sanoen [1, s. 129] Todistus. Nyt siis z = f x (t, ϕ(t,, x ))z, ϕ (t,, x ) = e t f x (s,ϕ(s,,x))ds. x ϕ(t,, x ) = x + t f(s, ϕ(s,, x ))ds. Dierentioimalla molemmat puolet ja ketjusääntöä käyttämällä tästä saadaan ϕ x (t,, x ) = 1 + t f x (s, ϕ(s,, x )) ϕ (s,, x )ds. x Nyt jos määritellään ϕ(t,,x) x, niin yhtälö saadaan muotoon z(t) = 1 + t f x (s, ϕ(s,, x ))z(s)ds. Dierentioimalla molemmat puolet t:n suhteen, saadaan yhtälö z = f x (t, ϕ(t,, x ))z. 27