ALKULUVUISTA (mod 6)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ALKULUVUISTA (mod 6)"

Transkriptio

1 Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: joulukuuta 2014

2 Sisältö 1 Johdanto Tutkielman sisältö Alkulukujen historia Sanastoa Alkuluvut (mod n) 3 3 Alkulukujen luokittelusta Luvun 1 monikerrat Ensisijaiset alkuluvut Toissijaiset alkuluvut Alkulukujen luokittelun seuraus Alkulukujen neliöistä Joukko, joka sisältää vain kaikki alkulukuvut Eräitä alkulukutyyppejä Viitteet 20 1

3 1 Johdanto 1.1 Tutkielman sisältö Tutkielmassa etsitään vastausta kysymykseen onko alkulukujen taustalla olemassa jokin järjestelmä, joka ohjaa niiden käyttäytymistä ja esiintymistä. Tutkielmassa tarkastellaan alkulukuja aritmeettisissa progressioissa 6n ± 1. Tarkastelu antaa erään näkökulman alkulukujen joukolle, joka saadaan tuotettua kahden apujoukon avulla. Alkulukujoukon ohella tutkielmassa tarkastellaan joukkoa E, joka koostuu alkulukujen keskinäisistä tuloista. Alkulukujen luokittelun ohessa tutkielmassa todistetaan lauseita ja saadaan seurauksia, joilla on alkulukujen tutkimukselle ja numeromaailman ymmärtämiselle merkitystä. Lukijalta edellytämme lukuteorian alkeiden, matemaattisen todistelun sekä joukko-opin perustuntemusta, yhtälöiden ja yhtälöparien muodostamisen, kongruenssiajattelun sekä edellä mainittuihin aiheisiin liittyvien matemaattisten merkintöjen tuntemusta. Allekirjoittaneen osuus työssä on varsin suuri, sillä olen itsenäisesti kehittänyt lähes kaikki määritelmät, lauseet, todistukset ja esimerkit vuosien aikana. Luonnollisesti useissa lauserakenteissa ja todistuksissa oli paranneltavaa. Suurinta osaa työstäni ei saatu mahtumaan tähän suppeaan kandidaatintutkielmaan. 1.2 Alkulukujen historia Alkulukujen historia johtaa epävirallisesti Egyptiin ja ensimmäiseen tunnettuun matemaattiseen kirjoitukseen, Rhind Papyrukseen, jossa alkuluvut oli merkitty toisista luvuista poikkeavalla tavalla. [2] Nykypäivänä tunnettu alkulukujen tutkimuksen historia on kuitenkin lähtöisin Kreikasta. Eukleideen Alkeet (n. 300 eaa.) sisältää tärkeitä teorioita alkuluvuista. Alkeissa todistetaan muun muassa, että alkulukuja on ääretön määrä. [1] Seuraavaksi alkulukujen historiaa kehitti Eratosthenes (n eaa.), jonka mukaan on nimetty Eratostheneen seula -algoritmi. Eratostheneen seulalla voidaan seuloa luonnollisten lukujen joukosta kaikki alkuluvut. Seulan toimintaperiaate on hyvin yksinkertainen: Jos esimerkiksi tahdotaan etsiä alkuluvut väliltä [100, 200], poistetaan ensin luvulla 2 jaolliset luvut, seuraavaksi luvulla 3 jaolliset luvut, jne. Seulonta voidaan lopettaa, kun kaikki lukua 200 pienemmät luvut on käyty läpi. Tässä esimerkissä seulonta lopetetaan luvun 14 kohdalla. Kreikkalaisten jälkeen alkulukujen tutkimuksessa ei tapahtunut edistystä 2

4 juuri lainkaan ennen 1600-lukua, kunnes vuonna 1640 Pierre de Fermat luonnosteli ilman todistusta Fermat n pienen lauseen. Sen todistivat myöhemmin Leibniz ja Euler. Keskiajalta lähtien alkulukuja on jaettu erilaisiin järjestelmiin sen perusteella, miten ne käyttäytyvät tai miten ne voidaan tuottaa. Esimerkiksi lukuja M p sanotaan Mersennen alkuluvuiksi ja ne ovat muotoa M p = 2 p 1 olevia alkulukuja. Kaisu Kangas kirjoittaa Tiede-lehdessä ( ): Matemaatikkoja on askarruttanut iän kaiken, onko alkulukujen esiintyminen muiden lukujen joukossa säännönmukaista. Tieteen Kuvalehden (2/2007) artikkelissaan Matematiikan 7 kiperintä ongelmaa myös Erik Wied pohtii: Onko alkuluvuissa järjestelmä? Yleisen käsityksen mukaan alkulukuihin ei tähän mennessä ole löytynyt yksinkertaista järjestelmää, jonka mukaan ne esiintyisivät. 1.3 Sanastoa Kokonaislukujen joukolle käytetään merkintää Z. Ei-negatiivisille kokonaisluvuille {0, 1, 2, 3,... } käytetään merkintää N. Olkoon lisäksi Q rationaalilukujen joukko, eli muotoa q = m, olevat luvut, jossa m, n Z, ja n 0. n Tutkielma keskittyy alkulukuihin, niiden tutkimiseen modulossa 6 sekä joukkojen G = {g N g = 6n ± 1, n N}, E = {e N e = g a g b, g a, g b > 1, g a, g b G} ja ˆP = G \ E ominaisuuksien tutkimiseen. 2 Alkuluvut (mod n) Matematiikan kirjallisuudessa alkuluvut määritellään: Alkuluku on lukua 1 suurempi kokonaisluku, joka ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Alkulukujen joukkoa merkitään kirjaimella P. Ensimmäiset alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Alkulukuja on ääretön määrä. [3, Määritelmä 7.9.] ja [4, s. 2]. Seuraavaksi etsitään eri tapoja tutkia alkulukuja. Työkaluna etsinnässä käytetään kongruenssiajattelua, jonka avulla luvut jaetaan eri jäännösluokkiin. Tavoitteena on löytää sellainen modulo, jossa on mahdollisimman vähän alkulukujen kanssa kongruentteja lukuja. Aluksi etsimistä helpotetaan esittelemällä joukko, jossa alkulukujen joukosta on poistettu luvut 2 ja 3 ja lisätty luku 1. 3

5 Määritelmä 1. Joukko ˆP = (P\{2, 3}) {1}. Ensimmäiset joukon ˆP alkiot ovat 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Erityisesti joukon ˆP alkiot eivät ole jaollisia luvuilla 2 tai 3. Lause 2.1. Joukon ˆP ja kokonaislukujoukon alkiot ovat kongruentteja keskenään (mod 1). Todistus. Olkoon p ˆP sekä k N. Tällöin pätee, että p k (mod 1). Siis joukon ˆP ja kokonaislukujoukon alkiot ovat kongruentteja keskenään (mod 1). Lause 2.2. Joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja parittomien lukujen kanssa (mod 2). Todistus. Olkoon n = 2l+1, l N ja p ˆP, jolloin p = 2k +1, k N. Tällöin pätee, (2k + 1) = p 2l + 1 (mod 2). Joukon ˆP alkiot ovat siis kongruentteja parittomien lukujen kanssa (mod 2). Kun lukuja tutkitaan modulossa 3, havaitaan osan joukon ˆP alkioista olevan kongruentteja osan parillisten lukujen kanssa. Vastaavasti kun lukuja tutkitaan modulossa 4, havaitaan osan joukon ˆP alkioista olevan kongruentteja osan kolmella jaollisten lukujen kanssa. Esimerkki. Otetaan esimerkiksi parilliset luvut 2 ja 8, sekä joukon ˆP alkio 5. Näille pätee, että (mod 3). Kun otetaan esimerkiksi kolmella jaolliset luvut 3 ja 15, sekä joukon ˆP alkiot 7 ja 11, näillä pätee (mod 4). 4

6 Huomautus. vaikka modulo 4 tarkastelussa pätee, että 5 13 (mod 4), tässä tutkielmassa tullaan osoittamaan, että luvut 5 ja 13 eroavat ominaisuuksiltaan toisistaan. Myöskään tämän vuoksi niitä ei kannata pitää kongruentteina toisiinsa nähden, kun tutkitaan järjestelmää alkulukujen taustalla. Lause 2.3. Joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja lukujen 1 ja 1 kanssa (mod 6). Todistus. Olkoon r ˆP. Tällöin Määritelmän 1. nojalla r 2k tai r 3l, k, l N. Siten pätee r 2, r 3, r 4, r 6 (mod 6). Täten, tai Toisinsanoen, r = 1, r = ( 1) (mod 6). r ±1 (mod 6). Seuraus 2.4. Kaikki joukon ˆP alkiot, eli myös kaikki alkuluvut poislukien 2 ja 3, voidaan esittää muodossa 6n ± 1, n N. Toisinsanoen, ˆP {g Z + g = (6n ± 1), n N}. Todistus. Seuraa suoraan Lauseesta 2.3. Lause 2.5. Vain ja ainoastaan modulossa 6n pätee, että joukon ˆP alkiot eivät ole kongruentteja yhdenkään kahdella tai kolmella jaollisen alkion kanssa. 5

7 Todistus. Pitää siis osoittaa, että valitaanpa mikä tahansa muu modulo kuin 6n, niin aina tulee kahdella tai kolmella jaollisia lukuja, jotka ovat kongruentteja joukon ˆP alkioiden kanssa. Lauseessa 3.2. todistamme, että kaikki einegatiiviset kokonaisluvut ovat muotoa 2k tai 3l tai 6n ± 1. Näinollen riittää tarkastella erikseen näitä kolmea moduloa 2k ja 3l ja 6n ± 1, sekä todistaa väite todeksi erikseen niissä jokaisessa. 1) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on muotoa (mod 6n ± 1), jossa n N. Olkoon x (6n ± 1). Tällöin esimerkiksi, tai x + 5 = (6n + 1) + 5 = 6n + 6 = 2 (3n + 3) = 2k 5 (mod 6n + 1), } {{ } k x + 5 = (6n 1) + 5 = 6n + 4 = 2 (3n + 2) = 2k 5 (mod 6n 1). } {{ } k Eli kaikissa moduloissa, joiden luku on muotoa (mod 6n ± 1), jossa n N joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja joidenkin parillisten lukujen kanssa. 2) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on 3l 6n, jossa l, n N. Tässä tulee siis jättää tarkastelun ulkopuolelle joukko, jossa alkiot ovat muotoa 6n. Täten lukujen muotoa 3l, on l oltava pariton luku eli l = 2a + 1, a N. Merkitään kaikkia tarkasteltavia alkioita kirjaimella B. Täten, B = {3, 9, 15, 21,... } B = {3 + 6m m N} Koska modulo luku 3l on aina pariton, on sitä seuraavan luvun oltava parillinen. Tällöin, 1 2k (mod 3l). Tästä seuraa myös, että esimerkiksi 1 + 2(3l) = 7 2k (mod 3l). Kun valitaan mikä tahansa (mod 3l 6n), on osa joukon ˆP alkioista kongruentteja parillisten lukujen kanssa. 3) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on 2k 6n, jossa k, n N. 6

8 Koska alkiot muotoa 6n halutaan jättää tarkastelun ulkopuolelle, pitää tarkastella lukuja 2k, jossa k 3l, ja k, l N. Muodostetaan joukko C, joka on siis parilliset luvut poistettuna kuudella jaolliset luvut, ja merkitään sitä seuraavalla tavalla C 1 C 2 = C = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20,... }. Joukko C voidaan jakaa edelleen kahdeksi joukoksi C 1 ja C 2, eli C 1 = {2 + 6m m N} ja C 2 = {4 + 6m m N}. Olkoon nyt c 1 C 1, ja c 2 C 2. Huomataan, että sekä c = (2 + 6m) + 1 = 6m + 3 = 3 (2m + 1) = 3l, } {{ } =l c 2 1 = (4 + 6n) 1 = 6n + 3 = 3 (2n + 1) = 3l. } {{ } =l Näinollen saadaan aikaan kongruensseja joukkojen C 1 ja ˆP alkioiden välille. Nyt siis pätee 1 3l (mod c 1 ), ja samoin esimerkiksi 1 + 2(3l) = 7 3l (mod c 1 ). Vastaavasti joukkojen C 2 ja ˆP alkioiden välille pätee ja samoin esimerkiksi 1 3l (mod c 2 ), 1 + 2(3l) = 5 3l (mod c 2 ). Siten kun valitaan mikä tahansa (mod 2k 6n), on osa joukon ˆP alkioista kongruentteja kolmella jaollisten lukujen kanssa. 4) Kun tarkastellaan moduloa 6n, voidaan Lauseen 2.3. ja Seurauksen 2.4. nojalla todeta, ettei näissä moduloissa ole yhtään kahdella tai kolmella jaollista lukua, joka olisi kongruentti joukon ˆP alkioiden kanssa. Kohdista 1), 2), 3) ja 4) Vain ja ainoastaan modulossa 6n pätee, että joukon ˆP alkiot eivät ole kongruentteja yhdenkään kahdella tai kolmella jaollisen alkion kanssa. 7

9 Alkuluvut (mod 6) Kappaleen 2 nojalla voidaan todeta, että (mod 6n) on tehokas tapa tutkia alkulukuja sekä niiden käyttäytymistä. Jotta tutkimuksessa voidaan keskittyä olennaisiin seikkoihin, rajataan tutkimusalue supistamalla modulo 6n moduloksi 6. Täten saadaan jakojäännöspaikkoihin [-1] ja [1] vain joukon ˆP alkioita ja näiden alkioiden monikertojen sekä monikertojen monikertoja. Kuudella jaollisuus on siis ainoa tapa eristää pois kaikki kahdella ja kolmella jaolliset luvut samoista jäännösluokista alkulukujen kanssa. 3 Alkulukujen luokittelusta 3.1 Luvun 1 monikerrat Todistelujen vuoksi määritellään jaollisuuden [3, Määritelmä 7.1.] ja monikerran [3, s. 49] käsitteet. Määritelmä 2. Kokonaisluku n on jaollinen kokonaisluvulla m, jos jollain kokonaisluvulla a pätee n = am. Tällöin merkitään m n. Määritelmä 3. Kun ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskuna, potensseja kutsutaan monikerroiksi. Täten jos (G, +) on ryhmä, x ryhmän G alkio ja k kokonaisluku, merkitään kx = x + x + + x. } {{ } kkpl Merkintä vastaa kertolaskuryhmän potenssia. Lause 3.1. Kaikki kokonaisluvut ovat luvun 1 monikertoja. Todistus. Kokonaislukujen joukko varustettuna yhteen- ja kertolaskulla muodostaa kommutatiivisen renkaan. Täten on voimassa renkaan laskusäännöt. [3, s. 163]. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja 0, 1 R. Määritellään renkaan alkion a monikerta asettamalla. i) k = 0: ka = 0. ii) k s moninkerta eli ka: (k + 1)a = a + ka, k N. 8

10 iii) arvolla k: ( k)a = ka, k 1. iv) erikoistapauksena saadaan k s moninkerta, kun a = 1: (k + 1)1 = 1 + k1, k 0. Täten kaikki kokonaisluvut ovat luvun 1 monikertoja. 3.2 Ensisijaiset alkuluvut Kun alkulukujen tutkimisessa on apuna (mod 6), kaikki luvuilla 2 ja 3 jaolliset luvut jäävät pois kuin itsestään alkulukujen joukosta. Tähän vedoten on perusteltua pohtia, voisiko lukuja 2 ja 3 kutsua ensisijaisiksi alkuluvuiksi ja näinollen jättää ne syrjään itse alkulukujen joukosta. Määritelmä 4. Ensisijaisia alkulukuja (Primary Primes) ovat luvut 2 ja 3. Merkitään ensisijaisia alkulukuja kirjaimella P. Seuraavaksi yhdistetään niin sanottu täydellinen alkuluku 1 sekä ensisijaiset alkuluvut 2 ja 3. Näin saadaan aikaan kolmikko, jonka avulla voidaan taas kerran muodostaa kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut. Tässä mallissa käytetään suoraan lukuja 2 ja 3 sekä niiden tulon kylkiä eli lukuja, jotka ovat muotoa (2 3)n ± 1, n N. Lause 3.2. Kaikki kokonaisluvut ovat muotoa 2k, 3l tai (6n ± 1)j, missä j, k, l Z ja n N. Todistus. Todistetaan lause käyttäen kongruenssia. Nyt kun a N, niin a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, tai a 5 (mod 6). Valitsemalla k:t ja l:t seuraavalla tavalla, saadaan luvut väitettyyn muotoon: Kun a 0 (mod 6), niin a = 0 + l 6 = 2 (l 3) = 2k, } {{ } =k kun a 2 (mod 6), niin a = 2 + l 6 = 2 (1 + l 3) } {{ } =k kun a 3 (mod 6), niin a = 3 + k 6 = 3 (1 + k 2) } {{ } =l kun a 4 (mod 6), niin a = 4 + l 6 = 2 (2 + l 3) } {{ } =k = 2k, = 3l, sekä = 2k. 9

11 Jäljelle jäävät tekijät 6n + 1 ja 6n + 5, joista 6n + 1 on jo valmiiksi väitetyssä muodossa, sekä 6n + 5 on sama kuuden jakojäännös kuin 6n 1, koska 5 ( 1) (mod 6). Näin ollen kaikki luonnolliset luvut ovat muotoa 2k, 3l tai (6n±1)j, missä j, k, l Z ja n N. Seuraus 3.3 (Aritmetiikan peruslause). Kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää yksikäsitteisesti tekijöidensä 2, 3 ja 6n ± 1 ˆP, n N. Todistus. Koska Seuraus 3.3. on käytännössä sama kuin aritmetiikan peruslause, on myös Lauseen todistus yleisesti tunnettu. Esimerkki. Otetaan kolme esimerkkiä miten kaikki luvut on esitettävissä tekijöiden 2, 3 ja (6n ± 1) avulla. i) Kun tutkitaan lukua 966, nähdään että 966 = = 2 3 ( )(6 4 1). ii) Kun tutkitaan lukua , nähdään että = = ( )(6 29 1)(6 42 1). iii) Kun tutkitaan lukua 44100, nähdään että = = (6 1 1) 2 ( ) Toissijaiset alkuluvut Jatketaan alkulukujen määrittelyn parissa. Asetetaan kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut taulukkoon, jossa on 6 saraketta. Z

12 Lukujen jaollisuudesta tiedämme, että yhtään alkulukua p > 3 ei ole kongruenssissa lukujen 2, 3, 4 ja 6 kanssa (mod 6). Eli seuraavaksi jätetään tarkastelun ulkopuolelle taulukosta luvut muotoa 2k ja 3l. Luvut muotoa 6n ± 1 6n + 1 6n Kun ei negatiivisia kokonaislukuja tarkastellaan ylläolevassa taulukosta, on perusteltua määritellä alkulukujen joukko koskettamaan lukua 1, joka sisältyy tarkastelualueeseen. Vastaavasti on perusteltua jättää luvut 2 ja 3 pois alkuluvuista, sillä ne eivät kuulu tarkasteltavaan joukkoon. Määritelmä 5. Toissijainen alkuluku (Secondary Prime) on positiivinen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen muilla luvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Erityisesti se ei myöskään ole jaollinen luvuilla 2 tai 3. Ensimmäiset toissijaiset alkuluvut ovat 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Toissijaisia alkulukuja on ääretön määrä. Merkitään toissijaisia alkulukuja kirjaimella P. 4 Alkulukujen luokittelun seuraus Tässä kappaleessa rakennetaan joukko ˆP, joka osoitetaan sisältävän kaikki, ja erityisesti vain kaikki, toissijaiset alkuluvut ensimmäisestä aina äärettömyyteen saakka. Tämä tarkoittaa, että ensin väitetään ja sitten todistetaan alkulukujen joukolla olevan hyvin selkeitä säännönmukaisuuksia. Tutkimuksen päätuloksena osoitetaan, miten kaikki alkuluvut voidaan täsmällisesti tuottaa kahden apujoukon avulla. Vastaavaa matemaattista osoitusta ei tiettävästi ole aiemmin esitetty. Määritelmä 6. Luku a > 1 on yhdistetty luku, jos se ei ole ensisijainen tai toissijainen alkuluku. Toisinsanoen a = bc, jossa 1 < b, c < a. 11

13 Huomautus. Myöhempää käyttöä varten merkitään ja joukkoon G liittyen, ja G := {g N g = 6n ± 1, n N}, g := g (6n 1) := G, g + := g (6n + 1) := G +, joissa merkintä (6n±1) tarkoittaa lukujonoa, jonka alkiot ovat muotoa 6n±1. Merkitään myös E := {e N e = g a g b, g a, g b > 1, g a, g b G}. Lause 4.1. Kaikki alkuluvut kuuluvat joukkoon G, eli alkuluvut ovat muotoa 6n ± 1, n N. Todistus. Katso Seuraus 2.4. ja huomaa, että tässä alkulukuihin ei kuulu luvut 2 ja 3. Eli ˆP G. 4.1 Alkulukujen neliöistä Seuraus 4.2. Kaikki toissijaisten alkulukujen neliöt ovat muotoa (6n + 1), jossa n N. Todistus. Seuraus voidaan esittää myös muodossa, p 2 1 (mod 6), joka seuraa suoraan Lauseesta 4.2. Katso tarkemmin todistuksen osio 2), jossa kohdat i) ja ii). Huomautus. Seuraus 4.3. ei kuitenkaan ole erityinen tulos, sillä vastaavasti voidaan todistaa kaikki seuraavat tapaukset. 12

14 Alkulukujen neliöt (mod n), n 24 p 2 1 (mod 2) p 2 1 (mod 3) p 2 1 (mod 4) p 2 1 (mod 6) p 2 1 (mod 8) p 2 1 (mod 12) p 2 1 (mod 24) Ylläolevaa taulukkoa ja Seurausta 4.3. mukaellen saadaan aikaan seuraava lause. Lause 4.3. Kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa (24t + 1), jossa t N. Todistus. Seurauksen 3.4. nojalla tiedetään, että kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa 6n ± 1, jossa n N. Täten (mod 24) tapauksessa riittää tarkastella joukon ˆP alkioita {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, jotka toisinsanoen ovat joukon (mod 24) jäännösluokat {[1], [5], [7], [11], [13], [17], [19], [23]}. Lukujen jaollisuuden nojalla muissa jäännösluokissa olevat alkiot eivät ole muotoa 6n ± 1, eivätkä täten voi olla alkulukujen neliöitä. Tutkitaan jäännösluokkiin kuuluvien alkioiden neliöt. Alkulukujen neliöt (mod 24) 1 2 = (mod 24) 5 2 = (mod 24) 7 2 = (mod 24) 11 2 = (mod 24) 13 2 = (mod 24) 17 2 = (mod 24) 19 2 = (mod 24) 23 2 = (mod 24) Täten alkulukujen neliöille pätee p 2 1 (mod 24), eli kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa (24t + 1), jossa t N. 13

15 Seuraavaksi viedään alkulukujen neliöajattelu vielä pidemmälle ja ratkaistaan, että mitkä ovat kaikki mahdollisuudet tutkia alkulukujen neliöitä. Lause 4.4. Kaikilla toissijaisilla alkuluvuilla p pätee p 2 1 (mod n), jos ja vain jos n 24. Todistus. Koska kyseessä on jos ja vain jos lause, se tulee osoittaa todeksi molempiin suuntiin. Olkoon b = 6k ± 1. Osoitetaan, että b 2 1 (mod n 24). Tarkastellaan ensin tilanne, jossa modulo on suurempi kuin 24. Toisinsanoen kaikilla m 25 voidaan valita p = 5 ˆP, jolloin pätee p 2 1 (mod m). Ylläolevista saadaan, että b 2 = 36k 2 ± = 12k(3k ± 1) + 1. Nyt k on joko pariton tai parillinen. Kun k on parillinen eli k = 2h, saadaan b 2 = 24h(6h ± 1) (mod 24). Sekä vastaavasti, kun k on pariton eli k = 2h + 1, saadaan b 2 = 12k(6h + 3 ± 1) (mod 24). } {{ } 2Z Kaikilla joukon G alkioilla b pätee, että b 2 1 (mod 24). Näinollen se pätee siis myös kaikilla toissijaisilla alkuluvuilla p. Nyt koska p 2 1 (mod 24), 14

16 saadaan kongruenssilaskusäännöistä suoraan, että kun A B (mod M), ja tässä N M, niin myös A B (mod N). Näinollen on voimassa, että p 2 1 (mod n 24). Todetaan vielä lisäksi, että joikaista m 25 kohti on olemassa sellainen joukon G alkio b, että b 2 1 (mod m). On siis oltava, että b 2 < m. Ylläolevista kohdista tulee todistetuksi väite p 2 1 (mod n) n Joukko, joka sisältää vain kaikki alkulukuvut Seuraavaksi siirrytään tutkimuksen päätulokseen, eli katsotaan miten kaikki alkuluvut paljastetaan kahden apujoukon avulla. Lause 4.5. Kaikki, ja erityisesti vain kaikki, alkuluvut kuuluvat joukkoon ˆP, joka saadaan poistamalla joukko E joukosta G. Toisinsanoen, ˆP = G \ E G = ˆP E, ˆP E =. Todistus. Lauseen 4.1. nojalla kaikki alkuluvut sisältyvät joukkoon G. Siten, G = ˆP J, jossa ja J = {ab a, b Z >1 } ab ±1 (mod 6). 15

17 Osoitetaan, että J = E. Kun ab ±1 (mod 6), ovat vain seuraavat vaihtoehdot mahdollisia: Näinollen jokaisessa vaihtoehdossa, 1 1 ( 1) ( 1) 1 ab, ab, 1 ( 1) ( 1) ab a ±1 (mod 6) ja Tästä seuraa, että J = E. b ±1 (mod 6). Huomautus. Tässä vaiheessa myös viimeistään huomataan, että itseasiassa P = ˆP. Kun alkulukujen joukkoa on rakennettu kahden muun joukon G ja E avulla, ei ole haluttu pitää mukana Määritelmän 5. merkintää alkuluvuista sekoittamassa osoituksia. Esimerkki. Otetaan kolme esimerkkiä mitä ˆP = G \ E on käytännössä. i) Tutkitaan lukua 23 G. Nähdään, että 23 on muotoa 6n 1, missä n = 4. (6n 1) = 23 6n = 24 n = 4 Toisaalta g a g b = 23 on totta vain, kun g a = 1 ja g b = 23. Täten 23 / E ja edelleen 23 ˆP = G \ E. ii) Tutkitaan lukua 91 G. Nähdään, että 91 on muotoa 6n + 1, missä n = 15. (6n + 1) = 91 6n = 90 n = 15 16

18 Toisaalta 91 on myös muotoa 7 13, eli g a g b = 91 = Täten luku 91 kuuluu joukkoon E, eikä siten voi kuulua joukkoon ˆP. iii) Tutkitaan lukua 1225 G. Nähdään, että 1225 on muotoa 6n + 1, missä n = 204. (6n + 1) = n = 1224 n = 204 Toisaalta 1225 on myös muotoa 25 49, eli g a g b = 1225 = Täten luku 1225 kuuluu joukkoon E, eikä siten voi kuulua joukkoon ˆP. 4.3 Eräitä alkulukutyyppejä Seuraus 4.6. Koska joukko ˆP sisältää kaikki, ja vain kaikki, alkuluvut ensimmäisestä aina äärettömyyteen asti, on jokainen muu alkulukuja tuottava lukujono, polynomi tai alkulukuseula sen osajoukko. Todistus. Todistetaan esimerkkeinä tunnetuimpia tapauksia. (1) Mersenne alkuluvut M p = 2 p 1 Koska erityisesti p 2k, k N, niin tällöin Tämä johtuu siitä, että 2 p 1 3 (mod 6). 4 a 4 (mod 6), a N. Nyt siis pitää ratkaista, että minkä luvun kanssa 2 p 1 on kongruentti (mod 6). Koska p on aina pariton nähdään, että 2 p 2 (mod 6), jolloin päätellään, että 2 p 1 1 (mod 6). 17

19 Näinollen Mersenne alkuluvut M p = 2 p 1 sisältyvät joukkoon ˆP ja vielä tarkemmin ne sisältyvät sen osajoukkoon ˆP +. (2) Fermat n luvut F n = 2 2n + 1 Koska Fermat n luvuissa on luvulla 2 potenssina luku 2, on kyseessä aina luvun 4 potenssi. Tästä voidaan suoraan päätellä, että joten myös pätee, että 4 n 4 (mod 6), F n = 4 n ( 1) (mod 6). Näinollen Fermat n luvut F n = (2 2 ) n + 1 sisältyvät joukkoon G. Vastaavasti mikäli Fermat n luku on alkuluku, se sisältyy joukkoon ˆP ja vielä tarkemmin sen osajoukkoon ˆP. Huomautus. Tässä ei oteta mukaan Fermat n lukua arvolla 0, joka tuottaa luvun 3. Tämä on tutkielman kannalta hyväksyttävää, sillä luku 3 ei kuulu joukkoon ˆP. (3) Sophie Germain alkuluvut P SG = 2p + 1, p P. Tutkitaan ensin tapaus p 1 (mod 6). Tällöin nähdään, että 2p (mod 6). Tästä voidaan suoraan päätellä, että 2p p (mod 6). Tutkitaan toiseksi tapaus p ( 1) (mod 6). Tällöin nähdään, että Taas voidaan päätellä, että 2p 2 ( 1) ( 2) (mod 6). 2p + 1 ( 2) + 1 ( 1) p (mod 6). On siis selvää, että Sophie Germain alkuluvut sisältyvät joukon ˆP osajoukkoon ˆP. 18

20 Huomautus. Jos kaava olisi vastaavasti (2p 1), toimisi se samalla tavalla jakojäännöspaikalla 1, mutta ei paikalla (-1). Tällöin saman ehdon toteuttavat alkuluvut kuuluisivat (6n + 1):een. Tämän seikan vuoksi on syytä pohtia, ovatko Sophie Germainin alkuluvut mitenkään erikoisempia kuin tämän vastaavan kaavan (2p 1) tuottamat alkuluvut? (4) Kaikki muut tapaukset todistetaan vastaavasti. 19

21 Viitteet [1] Eukleides, Alkeet (Elementa)., n. 300 eaa. [2] The Rhind Mathematical Papyrus., British Museum AND 10058, In Two Volumes., Mathematical Association Of America, Ohio, U. S. A., [3] Häsä, Jokke; Rämö, Johanna, Johdatus Abstraktiin Algebraan., Hakapaino Oy, Helsinki [4] Hardy, G. H.; Wright, E. M., An Introduction To The Theory Of Numbers., Oxford University Press,

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s 1 + + a 1 10 + a 0 = a s a a 1... a 0, (1)

Lisätiedot

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

Diofantoksen yhtälön ratkaisut Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema, Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä... pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma

Fermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 5 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

Lukuteorian kurssi lukioon

Lukuteorian kurssi lukioon TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä

Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maarit Viikari Epälineaarisia Diofantoksen yhtälöitä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Lukuteoria ja logiikka. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 6 MAA11 Lukuteoria ja logiikka Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET. 1. Luonnolliset luvut. N = {1, 2, 3,... } luonnolliset luvut Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } kokonaisluvut

LUKUTEORIAN ALKEET. 1. Luonnolliset luvut. N = {1, 2, 3,... } luonnolliset luvut Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } kokonaisluvut LUKUTEORIAN ALKEET Alkusanat Tässä on Heli Tuomisen luentomonisteeseen perustuvat muistiinpanot kevään 2013 Lukuteorian alkeet -kurssista. Kurssi on suunnattu erityisesti aineenopettajiksi opiskeleville

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta

Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen

Lisätiedot

Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1

Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1 Solmu 3/2007 1 Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1 Heikki Apiola Dosentti Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Johdanto Lukuteoriaa on joskus pidetty esteettisesti kauniina, mutta käytännössä

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n ) Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma

Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Lehtonen Alkulukujen teoriaa ja Goldbachin otaksuma Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2004 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Alkuluvuista

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Täydelliset totienttiluvut

Täydelliset totienttiluvut TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tuukka Hyvärinen Täydelliset totienttiluvut Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HYVÄRINEN,

Lisätiedot

Johdatus p-adisiin lukuihin

Johdatus p-adisiin lukuihin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot