ALKULUVUISTA (mod 6)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ALKULUVUISTA (mod 6)"

Transkriptio

1 Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: joulukuuta 2014

2 Sisältö 1 Johdanto Tutkielman sisältö Alkulukujen historia Sanastoa Alkuluvut (mod n) 3 3 Alkulukujen luokittelusta Luvun 1 monikerrat Ensisijaiset alkuluvut Toissijaiset alkuluvut Alkulukujen luokittelun seuraus Alkulukujen neliöistä Joukko, joka sisältää vain kaikki alkulukuvut Eräitä alkulukutyyppejä Viitteet 20 1

3 1 Johdanto 1.1 Tutkielman sisältö Tutkielmassa etsitään vastausta kysymykseen onko alkulukujen taustalla olemassa jokin järjestelmä, joka ohjaa niiden käyttäytymistä ja esiintymistä. Tutkielmassa tarkastellaan alkulukuja aritmeettisissa progressioissa 6n ± 1. Tarkastelu antaa erään näkökulman alkulukujen joukolle, joka saadaan tuotettua kahden apujoukon avulla. Alkulukujoukon ohella tutkielmassa tarkastellaan joukkoa E, joka koostuu alkulukujen keskinäisistä tuloista. Alkulukujen luokittelun ohessa tutkielmassa todistetaan lauseita ja saadaan seurauksia, joilla on alkulukujen tutkimukselle ja numeromaailman ymmärtämiselle merkitystä. Lukijalta edellytämme lukuteorian alkeiden, matemaattisen todistelun sekä joukko-opin perustuntemusta, yhtälöiden ja yhtälöparien muodostamisen, kongruenssiajattelun sekä edellä mainittuihin aiheisiin liittyvien matemaattisten merkintöjen tuntemusta. Allekirjoittaneen osuus työssä on varsin suuri, sillä olen itsenäisesti kehittänyt lähes kaikki määritelmät, lauseet, todistukset ja esimerkit vuosien aikana. Luonnollisesti useissa lauserakenteissa ja todistuksissa oli paranneltavaa. Suurinta osaa työstäni ei saatu mahtumaan tähän suppeaan kandidaatintutkielmaan. 1.2 Alkulukujen historia Alkulukujen historia johtaa epävirallisesti Egyptiin ja ensimmäiseen tunnettuun matemaattiseen kirjoitukseen, Rhind Papyrukseen, jossa alkuluvut oli merkitty toisista luvuista poikkeavalla tavalla. [2] Nykypäivänä tunnettu alkulukujen tutkimuksen historia on kuitenkin lähtöisin Kreikasta. Eukleideen Alkeet (n. 300 eaa.) sisältää tärkeitä teorioita alkuluvuista. Alkeissa todistetaan muun muassa, että alkulukuja on ääretön määrä. [1] Seuraavaksi alkulukujen historiaa kehitti Eratosthenes (n eaa.), jonka mukaan on nimetty Eratostheneen seula -algoritmi. Eratostheneen seulalla voidaan seuloa luonnollisten lukujen joukosta kaikki alkuluvut. Seulan toimintaperiaate on hyvin yksinkertainen: Jos esimerkiksi tahdotaan etsiä alkuluvut väliltä [100, 200], poistetaan ensin luvulla 2 jaolliset luvut, seuraavaksi luvulla 3 jaolliset luvut, jne. Seulonta voidaan lopettaa, kun kaikki lukua 200 pienemmät luvut on käyty läpi. Tässä esimerkissä seulonta lopetetaan luvun 14 kohdalla. Kreikkalaisten jälkeen alkulukujen tutkimuksessa ei tapahtunut edistystä 2

4 juuri lainkaan ennen 1600-lukua, kunnes vuonna 1640 Pierre de Fermat luonnosteli ilman todistusta Fermat n pienen lauseen. Sen todistivat myöhemmin Leibniz ja Euler. Keskiajalta lähtien alkulukuja on jaettu erilaisiin järjestelmiin sen perusteella, miten ne käyttäytyvät tai miten ne voidaan tuottaa. Esimerkiksi lukuja M p sanotaan Mersennen alkuluvuiksi ja ne ovat muotoa M p = 2 p 1 olevia alkulukuja. Kaisu Kangas kirjoittaa Tiede-lehdessä ( ): Matemaatikkoja on askarruttanut iän kaiken, onko alkulukujen esiintyminen muiden lukujen joukossa säännönmukaista. Tieteen Kuvalehden (2/2007) artikkelissaan Matematiikan 7 kiperintä ongelmaa myös Erik Wied pohtii: Onko alkuluvuissa järjestelmä? Yleisen käsityksen mukaan alkulukuihin ei tähän mennessä ole löytynyt yksinkertaista järjestelmää, jonka mukaan ne esiintyisivät. 1.3 Sanastoa Kokonaislukujen joukolle käytetään merkintää Z. Ei-negatiivisille kokonaisluvuille {0, 1, 2, 3,... } käytetään merkintää N. Olkoon lisäksi Q rationaalilukujen joukko, eli muotoa q = m, olevat luvut, jossa m, n Z, ja n 0. n Tutkielma keskittyy alkulukuihin, niiden tutkimiseen modulossa 6 sekä joukkojen G = {g N g = 6n ± 1, n N}, E = {e N e = g a g b, g a, g b > 1, g a, g b G} ja ˆP = G \ E ominaisuuksien tutkimiseen. 2 Alkuluvut (mod n) Matematiikan kirjallisuudessa alkuluvut määritellään: Alkuluku on lukua 1 suurempi kokonaisluku, joka ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Alkulukujen joukkoa merkitään kirjaimella P. Ensimmäiset alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Alkulukuja on ääretön määrä. [3, Määritelmä 7.9.] ja [4, s. 2]. Seuraavaksi etsitään eri tapoja tutkia alkulukuja. Työkaluna etsinnässä käytetään kongruenssiajattelua, jonka avulla luvut jaetaan eri jäännösluokkiin. Tavoitteena on löytää sellainen modulo, jossa on mahdollisimman vähän alkulukujen kanssa kongruentteja lukuja. Aluksi etsimistä helpotetaan esittelemällä joukko, jossa alkulukujen joukosta on poistettu luvut 2 ja 3 ja lisätty luku 1. 3

5 Määritelmä 1. Joukko ˆP = (P\{2, 3}) {1}. Ensimmäiset joukon ˆP alkiot ovat 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Erityisesti joukon ˆP alkiot eivät ole jaollisia luvuilla 2 tai 3. Lause 2.1. Joukon ˆP ja kokonaislukujoukon alkiot ovat kongruentteja keskenään (mod 1). Todistus. Olkoon p ˆP sekä k N. Tällöin pätee, että p k (mod 1). Siis joukon ˆP ja kokonaislukujoukon alkiot ovat kongruentteja keskenään (mod 1). Lause 2.2. Joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja parittomien lukujen kanssa (mod 2). Todistus. Olkoon n = 2l+1, l N ja p ˆP, jolloin p = 2k +1, k N. Tällöin pätee, (2k + 1) = p 2l + 1 (mod 2). Joukon ˆP alkiot ovat siis kongruentteja parittomien lukujen kanssa (mod 2). Kun lukuja tutkitaan modulossa 3, havaitaan osan joukon ˆP alkioista olevan kongruentteja osan parillisten lukujen kanssa. Vastaavasti kun lukuja tutkitaan modulossa 4, havaitaan osan joukon ˆP alkioista olevan kongruentteja osan kolmella jaollisten lukujen kanssa. Esimerkki. Otetaan esimerkiksi parilliset luvut 2 ja 8, sekä joukon ˆP alkio 5. Näille pätee, että (mod 3). Kun otetaan esimerkiksi kolmella jaolliset luvut 3 ja 15, sekä joukon ˆP alkiot 7 ja 11, näillä pätee (mod 4). 4

6 Huomautus. vaikka modulo 4 tarkastelussa pätee, että 5 13 (mod 4), tässä tutkielmassa tullaan osoittamaan, että luvut 5 ja 13 eroavat ominaisuuksiltaan toisistaan. Myöskään tämän vuoksi niitä ei kannata pitää kongruentteina toisiinsa nähden, kun tutkitaan järjestelmää alkulukujen taustalla. Lause 2.3. Joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja lukujen 1 ja 1 kanssa (mod 6). Todistus. Olkoon r ˆP. Tällöin Määritelmän 1. nojalla r 2k tai r 3l, k, l N. Siten pätee r 2, r 3, r 4, r 6 (mod 6). Täten, tai Toisinsanoen, r = 1, r = ( 1) (mod 6). r ±1 (mod 6). Seuraus 2.4. Kaikki joukon ˆP alkiot, eli myös kaikki alkuluvut poislukien 2 ja 3, voidaan esittää muodossa 6n ± 1, n N. Toisinsanoen, ˆP {g Z + g = (6n ± 1), n N}. Todistus. Seuraa suoraan Lauseesta 2.3. Lause 2.5. Vain ja ainoastaan modulossa 6n pätee, että joukon ˆP alkiot eivät ole kongruentteja yhdenkään kahdella tai kolmella jaollisen alkion kanssa. 5

7 Todistus. Pitää siis osoittaa, että valitaanpa mikä tahansa muu modulo kuin 6n, niin aina tulee kahdella tai kolmella jaollisia lukuja, jotka ovat kongruentteja joukon ˆP alkioiden kanssa. Lauseessa 3.2. todistamme, että kaikki einegatiiviset kokonaisluvut ovat muotoa 2k tai 3l tai 6n ± 1. Näinollen riittää tarkastella erikseen näitä kolmea moduloa 2k ja 3l ja 6n ± 1, sekä todistaa väite todeksi erikseen niissä jokaisessa. 1) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on muotoa (mod 6n ± 1), jossa n N. Olkoon x (6n ± 1). Tällöin esimerkiksi, tai x + 5 = (6n + 1) + 5 = 6n + 6 = 2 (3n + 3) = 2k 5 (mod 6n + 1), } {{ } k x + 5 = (6n 1) + 5 = 6n + 4 = 2 (3n + 2) = 2k 5 (mod 6n 1). } {{ } k Eli kaikissa moduloissa, joiden luku on muotoa (mod 6n ± 1), jossa n N joukon ˆP alkiot ovat kongruentteja joidenkin parillisten lukujen kanssa. 2) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on 3l 6n, jossa l, n N. Tässä tulee siis jättää tarkastelun ulkopuolelle joukko, jossa alkiot ovat muotoa 6n. Täten lukujen muotoa 3l, on l oltava pariton luku eli l = 2a + 1, a N. Merkitään kaikkia tarkasteltavia alkioita kirjaimella B. Täten, B = {3, 9, 15, 21,... } B = {3 + 6m m N} Koska modulo luku 3l on aina pariton, on sitä seuraavan luvun oltava parillinen. Tällöin, 1 2k (mod 3l). Tästä seuraa myös, että esimerkiksi 1 + 2(3l) = 7 2k (mod 3l). Kun valitaan mikä tahansa (mod 3l 6n), on osa joukon ˆP alkioista kongruentteja parillisten lukujen kanssa. 3) Tarkastellaan kaikkia moduloja, joiden luku on 2k 6n, jossa k, n N. 6

8 Koska alkiot muotoa 6n halutaan jättää tarkastelun ulkopuolelle, pitää tarkastella lukuja 2k, jossa k 3l, ja k, l N. Muodostetaan joukko C, joka on siis parilliset luvut poistettuna kuudella jaolliset luvut, ja merkitään sitä seuraavalla tavalla C 1 C 2 = C = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20,... }. Joukko C voidaan jakaa edelleen kahdeksi joukoksi C 1 ja C 2, eli C 1 = {2 + 6m m N} ja C 2 = {4 + 6m m N}. Olkoon nyt c 1 C 1, ja c 2 C 2. Huomataan, että sekä c = (2 + 6m) + 1 = 6m + 3 = 3 (2m + 1) = 3l, } {{ } =l c 2 1 = (4 + 6n) 1 = 6n + 3 = 3 (2n + 1) = 3l. } {{ } =l Näinollen saadaan aikaan kongruensseja joukkojen C 1 ja ˆP alkioiden välille. Nyt siis pätee 1 3l (mod c 1 ), ja samoin esimerkiksi 1 + 2(3l) = 7 3l (mod c 1 ). Vastaavasti joukkojen C 2 ja ˆP alkioiden välille pätee ja samoin esimerkiksi 1 3l (mod c 2 ), 1 + 2(3l) = 5 3l (mod c 2 ). Siten kun valitaan mikä tahansa (mod 2k 6n), on osa joukon ˆP alkioista kongruentteja kolmella jaollisten lukujen kanssa. 4) Kun tarkastellaan moduloa 6n, voidaan Lauseen 2.3. ja Seurauksen 2.4. nojalla todeta, ettei näissä moduloissa ole yhtään kahdella tai kolmella jaollista lukua, joka olisi kongruentti joukon ˆP alkioiden kanssa. Kohdista 1), 2), 3) ja 4) Vain ja ainoastaan modulossa 6n pätee, että joukon ˆP alkiot eivät ole kongruentteja yhdenkään kahdella tai kolmella jaollisen alkion kanssa. 7

9 Alkuluvut (mod 6) Kappaleen 2 nojalla voidaan todeta, että (mod 6n) on tehokas tapa tutkia alkulukuja sekä niiden käyttäytymistä. Jotta tutkimuksessa voidaan keskittyä olennaisiin seikkoihin, rajataan tutkimusalue supistamalla modulo 6n moduloksi 6. Täten saadaan jakojäännöspaikkoihin [-1] ja [1] vain joukon ˆP alkioita ja näiden alkioiden monikertojen sekä monikertojen monikertoja. Kuudella jaollisuus on siis ainoa tapa eristää pois kaikki kahdella ja kolmella jaolliset luvut samoista jäännösluokista alkulukujen kanssa. 3 Alkulukujen luokittelusta 3.1 Luvun 1 monikerrat Todistelujen vuoksi määritellään jaollisuuden [3, Määritelmä 7.1.] ja monikerran [3, s. 49] käsitteet. Määritelmä 2. Kokonaisluku n on jaollinen kokonaisluvulla m, jos jollain kokonaisluvulla a pätee n = am. Tällöin merkitään m n. Määritelmä 3. Kun ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskuna, potensseja kutsutaan monikerroiksi. Täten jos (G, +) on ryhmä, x ryhmän G alkio ja k kokonaisluku, merkitään kx = x + x + + x. } {{ } kkpl Merkintä vastaa kertolaskuryhmän potenssia. Lause 3.1. Kaikki kokonaisluvut ovat luvun 1 monikertoja. Todistus. Kokonaislukujen joukko varustettuna yhteen- ja kertolaskulla muodostaa kommutatiivisen renkaan. Täten on voimassa renkaan laskusäännöt. [3, s. 163]. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja 0, 1 R. Määritellään renkaan alkion a monikerta asettamalla. i) k = 0: ka = 0. ii) k s moninkerta eli ka: (k + 1)a = a + ka, k N. 8

10 iii) arvolla k: ( k)a = ka, k 1. iv) erikoistapauksena saadaan k s moninkerta, kun a = 1: (k + 1)1 = 1 + k1, k 0. Täten kaikki kokonaisluvut ovat luvun 1 monikertoja. 3.2 Ensisijaiset alkuluvut Kun alkulukujen tutkimisessa on apuna (mod 6), kaikki luvuilla 2 ja 3 jaolliset luvut jäävät pois kuin itsestään alkulukujen joukosta. Tähän vedoten on perusteltua pohtia, voisiko lukuja 2 ja 3 kutsua ensisijaisiksi alkuluvuiksi ja näinollen jättää ne syrjään itse alkulukujen joukosta. Määritelmä 4. Ensisijaisia alkulukuja (Primary Primes) ovat luvut 2 ja 3. Merkitään ensisijaisia alkulukuja kirjaimella P. Seuraavaksi yhdistetään niin sanottu täydellinen alkuluku 1 sekä ensisijaiset alkuluvut 2 ja 3. Näin saadaan aikaan kolmikko, jonka avulla voidaan taas kerran muodostaa kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut. Tässä mallissa käytetään suoraan lukuja 2 ja 3 sekä niiden tulon kylkiä eli lukuja, jotka ovat muotoa (2 3)n ± 1, n N. Lause 3.2. Kaikki kokonaisluvut ovat muotoa 2k, 3l tai (6n ± 1)j, missä j, k, l Z ja n N. Todistus. Todistetaan lause käyttäen kongruenssia. Nyt kun a N, niin a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, tai a 5 (mod 6). Valitsemalla k:t ja l:t seuraavalla tavalla, saadaan luvut väitettyyn muotoon: Kun a 0 (mod 6), niin a = 0 + l 6 = 2 (l 3) = 2k, } {{ } =k kun a 2 (mod 6), niin a = 2 + l 6 = 2 (1 + l 3) } {{ } =k kun a 3 (mod 6), niin a = 3 + k 6 = 3 (1 + k 2) } {{ } =l kun a 4 (mod 6), niin a = 4 + l 6 = 2 (2 + l 3) } {{ } =k = 2k, = 3l, sekä = 2k. 9

11 Jäljelle jäävät tekijät 6n + 1 ja 6n + 5, joista 6n + 1 on jo valmiiksi väitetyssä muodossa, sekä 6n + 5 on sama kuuden jakojäännös kuin 6n 1, koska 5 ( 1) (mod 6). Näin ollen kaikki luonnolliset luvut ovat muotoa 2k, 3l tai (6n±1)j, missä j, k, l Z ja n N. Seuraus 3.3 (Aritmetiikan peruslause). Kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää yksikäsitteisesti tekijöidensä 2, 3 ja 6n ± 1 ˆP, n N. Todistus. Koska Seuraus 3.3. on käytännössä sama kuin aritmetiikan peruslause, on myös Lauseen todistus yleisesti tunnettu. Esimerkki. Otetaan kolme esimerkkiä miten kaikki luvut on esitettävissä tekijöiden 2, 3 ja (6n ± 1) avulla. i) Kun tutkitaan lukua 966, nähdään että 966 = = 2 3 ( )(6 4 1). ii) Kun tutkitaan lukua , nähdään että = = ( )(6 29 1)(6 42 1). iii) Kun tutkitaan lukua 44100, nähdään että = = (6 1 1) 2 ( ) Toissijaiset alkuluvut Jatketaan alkulukujen määrittelyn parissa. Asetetaan kaikki ei-negatiiviset kokonaisluvut taulukkoon, jossa on 6 saraketta. Z

12 Lukujen jaollisuudesta tiedämme, että yhtään alkulukua p > 3 ei ole kongruenssissa lukujen 2, 3, 4 ja 6 kanssa (mod 6). Eli seuraavaksi jätetään tarkastelun ulkopuolelle taulukosta luvut muotoa 2k ja 3l. Luvut muotoa 6n ± 1 6n + 1 6n Kun ei negatiivisia kokonaislukuja tarkastellaan ylläolevassa taulukosta, on perusteltua määritellä alkulukujen joukko koskettamaan lukua 1, joka sisältyy tarkastelualueeseen. Vastaavasti on perusteltua jättää luvut 2 ja 3 pois alkuluvuista, sillä ne eivät kuulu tarkasteltavaan joukkoon. Määritelmä 5. Toissijainen alkuluku (Secondary Prime) on positiivinen kokonaisluku, joka ei ole jaollinen muilla luvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Erityisesti se ei myöskään ole jaollinen luvuilla 2 tai 3. Ensimmäiset toissijaiset alkuluvut ovat 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Toissijaisia alkulukuja on ääretön määrä. Merkitään toissijaisia alkulukuja kirjaimella P. 4 Alkulukujen luokittelun seuraus Tässä kappaleessa rakennetaan joukko ˆP, joka osoitetaan sisältävän kaikki, ja erityisesti vain kaikki, toissijaiset alkuluvut ensimmäisestä aina äärettömyyteen saakka. Tämä tarkoittaa, että ensin väitetään ja sitten todistetaan alkulukujen joukolla olevan hyvin selkeitä säännönmukaisuuksia. Tutkimuksen päätuloksena osoitetaan, miten kaikki alkuluvut voidaan täsmällisesti tuottaa kahden apujoukon avulla. Vastaavaa matemaattista osoitusta ei tiettävästi ole aiemmin esitetty. Määritelmä 6. Luku a > 1 on yhdistetty luku, jos se ei ole ensisijainen tai toissijainen alkuluku. Toisinsanoen a = bc, jossa 1 < b, c < a. 11

13 Huomautus. Myöhempää käyttöä varten merkitään ja joukkoon G liittyen, ja G := {g N g = 6n ± 1, n N}, g := g (6n 1) := G, g + := g (6n + 1) := G +, joissa merkintä (6n±1) tarkoittaa lukujonoa, jonka alkiot ovat muotoa 6n±1. Merkitään myös E := {e N e = g a g b, g a, g b > 1, g a, g b G}. Lause 4.1. Kaikki alkuluvut kuuluvat joukkoon G, eli alkuluvut ovat muotoa 6n ± 1, n N. Todistus. Katso Seuraus 2.4. ja huomaa, että tässä alkulukuihin ei kuulu luvut 2 ja 3. Eli ˆP G. 4.1 Alkulukujen neliöistä Seuraus 4.2. Kaikki toissijaisten alkulukujen neliöt ovat muotoa (6n + 1), jossa n N. Todistus. Seuraus voidaan esittää myös muodossa, p 2 1 (mod 6), joka seuraa suoraan Lauseesta 4.2. Katso tarkemmin todistuksen osio 2), jossa kohdat i) ja ii). Huomautus. Seuraus 4.3. ei kuitenkaan ole erityinen tulos, sillä vastaavasti voidaan todistaa kaikki seuraavat tapaukset. 12

14 Alkulukujen neliöt (mod n), n 24 p 2 1 (mod 2) p 2 1 (mod 3) p 2 1 (mod 4) p 2 1 (mod 6) p 2 1 (mod 8) p 2 1 (mod 12) p 2 1 (mod 24) Ylläolevaa taulukkoa ja Seurausta 4.3. mukaellen saadaan aikaan seuraava lause. Lause 4.3. Kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa (24t + 1), jossa t N. Todistus. Seurauksen 3.4. nojalla tiedetään, että kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa 6n ± 1, jossa n N. Täten (mod 24) tapauksessa riittää tarkastella joukon ˆP alkioita {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, jotka toisinsanoen ovat joukon (mod 24) jäännösluokat {[1], [5], [7], [11], [13], [17], [19], [23]}. Lukujen jaollisuuden nojalla muissa jäännösluokissa olevat alkiot eivät ole muotoa 6n ± 1, eivätkä täten voi olla alkulukujen neliöitä. Tutkitaan jäännösluokkiin kuuluvien alkioiden neliöt. Alkulukujen neliöt (mod 24) 1 2 = (mod 24) 5 2 = (mod 24) 7 2 = (mod 24) 11 2 = (mod 24) 13 2 = (mod 24) 17 2 = (mod 24) 19 2 = (mod 24) 23 2 = (mod 24) Täten alkulukujen neliöille pätee p 2 1 (mod 24), eli kaikki alkulukujen neliöt ovat muotoa (24t + 1), jossa t N. 13

15 Seuraavaksi viedään alkulukujen neliöajattelu vielä pidemmälle ja ratkaistaan, että mitkä ovat kaikki mahdollisuudet tutkia alkulukujen neliöitä. Lause 4.4. Kaikilla toissijaisilla alkuluvuilla p pätee p 2 1 (mod n), jos ja vain jos n 24. Todistus. Koska kyseessä on jos ja vain jos lause, se tulee osoittaa todeksi molempiin suuntiin. Olkoon b = 6k ± 1. Osoitetaan, että b 2 1 (mod n 24). Tarkastellaan ensin tilanne, jossa modulo on suurempi kuin 24. Toisinsanoen kaikilla m 25 voidaan valita p = 5 ˆP, jolloin pätee p 2 1 (mod m). Ylläolevista saadaan, että b 2 = 36k 2 ± = 12k(3k ± 1) + 1. Nyt k on joko pariton tai parillinen. Kun k on parillinen eli k = 2h, saadaan b 2 = 24h(6h ± 1) (mod 24). Sekä vastaavasti, kun k on pariton eli k = 2h + 1, saadaan b 2 = 12k(6h + 3 ± 1) (mod 24). } {{ } 2Z Kaikilla joukon G alkioilla b pätee, että b 2 1 (mod 24). Näinollen se pätee siis myös kaikilla toissijaisilla alkuluvuilla p. Nyt koska p 2 1 (mod 24), 14

16 saadaan kongruenssilaskusäännöistä suoraan, että kun A B (mod M), ja tässä N M, niin myös A B (mod N). Näinollen on voimassa, että p 2 1 (mod n 24). Todetaan vielä lisäksi, että joikaista m 25 kohti on olemassa sellainen joukon G alkio b, että b 2 1 (mod m). On siis oltava, että b 2 < m. Ylläolevista kohdista tulee todistetuksi väite p 2 1 (mod n) n Joukko, joka sisältää vain kaikki alkulukuvut Seuraavaksi siirrytään tutkimuksen päätulokseen, eli katsotaan miten kaikki alkuluvut paljastetaan kahden apujoukon avulla. Lause 4.5. Kaikki, ja erityisesti vain kaikki, alkuluvut kuuluvat joukkoon ˆP, joka saadaan poistamalla joukko E joukosta G. Toisinsanoen, ˆP = G \ E G = ˆP E, ˆP E =. Todistus. Lauseen 4.1. nojalla kaikki alkuluvut sisältyvät joukkoon G. Siten, G = ˆP J, jossa ja J = {ab a, b Z >1 } ab ±1 (mod 6). 15

17 Osoitetaan, että J = E. Kun ab ±1 (mod 6), ovat vain seuraavat vaihtoehdot mahdollisia: Näinollen jokaisessa vaihtoehdossa, 1 1 ( 1) ( 1) 1 ab, ab, 1 ( 1) ( 1) ab a ±1 (mod 6) ja Tästä seuraa, että J = E. b ±1 (mod 6). Huomautus. Tässä vaiheessa myös viimeistään huomataan, että itseasiassa P = ˆP. Kun alkulukujen joukkoa on rakennettu kahden muun joukon G ja E avulla, ei ole haluttu pitää mukana Määritelmän 5. merkintää alkuluvuista sekoittamassa osoituksia. Esimerkki. Otetaan kolme esimerkkiä mitä ˆP = G \ E on käytännössä. i) Tutkitaan lukua 23 G. Nähdään, että 23 on muotoa 6n 1, missä n = 4. (6n 1) = 23 6n = 24 n = 4 Toisaalta g a g b = 23 on totta vain, kun g a = 1 ja g b = 23. Täten 23 / E ja edelleen 23 ˆP = G \ E. ii) Tutkitaan lukua 91 G. Nähdään, että 91 on muotoa 6n + 1, missä n = 15. (6n + 1) = 91 6n = 90 n = 15 16

18 Toisaalta 91 on myös muotoa 7 13, eli g a g b = 91 = Täten luku 91 kuuluu joukkoon E, eikä siten voi kuulua joukkoon ˆP. iii) Tutkitaan lukua 1225 G. Nähdään, että 1225 on muotoa 6n + 1, missä n = 204. (6n + 1) = n = 1224 n = 204 Toisaalta 1225 on myös muotoa 25 49, eli g a g b = 1225 = Täten luku 1225 kuuluu joukkoon E, eikä siten voi kuulua joukkoon ˆP. 4.3 Eräitä alkulukutyyppejä Seuraus 4.6. Koska joukko ˆP sisältää kaikki, ja vain kaikki, alkuluvut ensimmäisestä aina äärettömyyteen asti, on jokainen muu alkulukuja tuottava lukujono, polynomi tai alkulukuseula sen osajoukko. Todistus. Todistetaan esimerkkeinä tunnetuimpia tapauksia. (1) Mersenne alkuluvut M p = 2 p 1 Koska erityisesti p 2k, k N, niin tällöin Tämä johtuu siitä, että 2 p 1 3 (mod 6). 4 a 4 (mod 6), a N. Nyt siis pitää ratkaista, että minkä luvun kanssa 2 p 1 on kongruentti (mod 6). Koska p on aina pariton nähdään, että 2 p 2 (mod 6), jolloin päätellään, että 2 p 1 1 (mod 6). 17

19 Näinollen Mersenne alkuluvut M p = 2 p 1 sisältyvät joukkoon ˆP ja vielä tarkemmin ne sisältyvät sen osajoukkoon ˆP +. (2) Fermat n luvut F n = 2 2n + 1 Koska Fermat n luvuissa on luvulla 2 potenssina luku 2, on kyseessä aina luvun 4 potenssi. Tästä voidaan suoraan päätellä, että joten myös pätee, että 4 n 4 (mod 6), F n = 4 n ( 1) (mod 6). Näinollen Fermat n luvut F n = (2 2 ) n + 1 sisältyvät joukkoon G. Vastaavasti mikäli Fermat n luku on alkuluku, se sisältyy joukkoon ˆP ja vielä tarkemmin sen osajoukkoon ˆP. Huomautus. Tässä ei oteta mukaan Fermat n lukua arvolla 0, joka tuottaa luvun 3. Tämä on tutkielman kannalta hyväksyttävää, sillä luku 3 ei kuulu joukkoon ˆP. (3) Sophie Germain alkuluvut P SG = 2p + 1, p P. Tutkitaan ensin tapaus p 1 (mod 6). Tällöin nähdään, että 2p (mod 6). Tästä voidaan suoraan päätellä, että 2p p (mod 6). Tutkitaan toiseksi tapaus p ( 1) (mod 6). Tällöin nähdään, että Taas voidaan päätellä, että 2p 2 ( 1) ( 2) (mod 6). 2p + 1 ( 2) + 1 ( 1) p (mod 6). On siis selvää, että Sophie Germain alkuluvut sisältyvät joukon ˆP osajoukkoon ˆP. 18

20 Huomautus. Jos kaava olisi vastaavasti (2p 1), toimisi se samalla tavalla jakojäännöspaikalla 1, mutta ei paikalla (-1). Tällöin saman ehdon toteuttavat alkuluvut kuuluisivat (6n + 1):een. Tämän seikan vuoksi on syytä pohtia, ovatko Sophie Germainin alkuluvut mitenkään erikoisempia kuin tämän vastaavan kaavan (2p 1) tuottamat alkuluvut? (4) Kaikki muut tapaukset todistetaan vastaavasti. 19

21 Viitteet [1] Eukleides, Alkeet (Elementa)., n. 300 eaa. [2] The Rhind Mathematical Papyrus., British Museum AND 10058, In Two Volumes., Mathematical Association Of America, Ohio, U. S. A., [3] Häsä, Jokke; Rämö, Johanna, Johdatus Abstraktiin Algebraan., Hakapaino Oy, Helsinki [4] Hardy, G. H.; Wright, E. M., An Introduction To The Theory Of Numbers., Oxford University Press,

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

Lukuteorian kurssi lukioon

Lukuteorian kurssi lukioon TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sini Siira Lukuteorian kurssi lukioon Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SIIRA, SINI: Lukuteorian

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1

Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1 Solmu 3/2007 1 Lukuteoriaa ja salakirjoitusta, osa 1 Heikki Apiola Dosentti Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Johdanto Lukuteoriaa on joskus pidetty esteettisesti kauniina, mutta käytännössä

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Lukuteorian sovelluksia tiedon salauksessa

Lukuteorian sovelluksia tiedon salauksessa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aki-Matti Luoto Lukuteorian sovelluksia tiedon salauksessa Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut

Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut Solmu 3/2008 1 Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut Tauno Metsänkylä Matematiikan laitos, Turun yliopisto Kun kokonaislukujen 0,1,2,... joukkoa laajennetaan vaiheittain ottamalla mukaan negatiiviset kokonaisluvut,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo ALGEBRA I 1 2 ALGEBRA I Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 1.3. Ekvivalenssirelaatio 9 2. Lukuteoriaa 11 2.1. Jaollisuusrelaatio 11 2.2. Suurin

Lisätiedot

Baltian Tie 2005 ratkaisuja

Baltian Tie 2005 ratkaisuja Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä

RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä RSA Julkisen avaimen salakirjoitusmenetelmä Perusteet, algoritmit, hyökkäykset Matti K. Sinisalo, FL Alkuluvut Alkuluvuilla tarkoitetaan lukua 1 suurempia kokonaislukuja, jotka eivät ole tasan jaollisia

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a

Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Heikki M antysaari 25. helmikuuta 2007 V ah an teoriaa Diofantoksen yht al o: tuntemattomia enemm an kuin yht al oit a. Lukiossa esim. 4x + 8y =

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

Matematiikkaa logiikan avulla

Matematiikkaa logiikan avulla Ralph-Johan Back Joakim von Wright Matematiikkaa logiikan avulla Lyhyt lukuteorian kurssi Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 5, Oct 2008 Matematiikkaa logiikan

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Matematiikkalehti 3/2007. http://solmu.math.helsinki.fi/

Matematiikkalehti 3/2007. http://solmu.math.helsinki.fi/ Matematiikkalehti 3/2007 http://solmu.math.helsinki.fi/ 2 Solmu 3/2007 Solmu 3/2007 ISSN 1458-8048 (Verkkolehti) ISSN 1459-0395 (Painettu) Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68 (Gustaf Hällströmin

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

LUONNOLLISTEN LUKUJEN JAOLLISUUS

LUONNOLLISTEN LUKUJEN JAOLLISUUS Luonnollisten lukujen jaollisuus 0 Calculus Lukion Täydentävä aineisto Alkuluv,,,,,,,..., ut 11 1 1 1 411609 -, 4 6 8 9 10 11 1 1 14 1 16 1 18 19 0 1 4 6 8 9 0 1 4 6 8 9 40 41 4 4 44 4 46 4 48 49 0 1 4

Lisätiedot

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010 ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen 2010 c Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen Esipuhe Tämä kirja on syntynyt toisen tekijän(t.m.) Turun yliopistossa

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

SALAUSMENETELMÄT 801346A, 4 op

SALAUSMENETELMÄT 801346A, 4 op Luentorunko ja harjoitustehtävät SALAUSMENETELMÄT 801346A, 4 op Pohjautuu Leena Leinosen, Marko Rinta-ahon, Tapani Matala-ahon ja Keijo Väänäsen luentoihin Sisältö 1 Johdanto 2 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Jakoyhtälö

Lisätiedot

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan?

8.2. Permutaatiot. Esim. 1 Kirjaimet K, L ja M asetetaan jonoon. Kuinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? 8.2. Permutaatiot Esim. 1 irjaimet, ja asetetaan jonoon. uinka monta erilaista järjes-tettyä jonoa näin saadaan? Voidaan kuvitella vaikka niin, että hyllyllä on vierekkäin kolme laatikkoa (tai raiteilla

Lisätiedot

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013 Solmu 3/03 Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 4.4.03 Esa V. Vesalainen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Luxemburgissa järjestettiin

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

Luentorunko ja harjoitustehtävät. SALAUSMENETELMÄT (801346A) 4 op, 2 ov

Luentorunko ja harjoitustehtävät. SALAUSMENETELMÄT (801346A) 4 op, 2 ov Luentorunko ja harjoitustehtävät SALAUSMENETELMÄT (801346A) 4 op, 2 ov Keijo Väänänen I JOHDANTO Salakirjoitukset kurssilla tarkastelemme menetelmiä, jotka mahdollistavat tiedon siirtämisen tai tallentamisen

Lisätiedot

5. Julkisen avaimen salaus

5. Julkisen avaimen salaus Osa3: Matematiikkaa julkisen avaimen salausten taustalla 5. Julkisen avaimen salaus Public key cryptography 5. 1 Julkisen avaimen salausmenetelmät - Diffien ja Hellmannin periaate v. 1977 - RSA:n perusteet

Lisätiedot

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Jorma Merikoski 10.1.2015 Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Markku Halmetoja on laatinut ehdotuksen lukion pitkän matematiikan uudeksi opetussuunnitelmaksi. Hän esittelee sitä matematiikan

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y a + n 1 n a a + 1 a +. On myös helppo tarkastaa, että ratkaisut toteuttavat yhtälön.

x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y a + n 1 n a a + 1 a +. On myös helppo tarkastaa, että ratkaisut toteuttavat yhtälön. Kotitehtävät joulukuu 20 Helpopi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhä x 2 + y 2 = 2z y 2 + z 2 = 2x z 2 + x 2 = 2y reaaliluvuilla x y ja z. Ratkaisu. Jokainen luvuista on puolet kahden neliön suasta ja siten välttäättä

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Algebran ja lukuteorian harjoitustehtävien ratkaisut Versio 1.0 (27.1.2006 Turun yliopisto Lukuteoria 1. a Tarkistetaan ekvivalenssirelaation ehdot. on refleksiivinen, sillä identiteettikuvaus, id : C

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä

MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä MAT-71506 Program Verification (Ohjelmien todistaminen) merkintöjen selityksiä Antti Valmari & Antero Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Matematiikan laitos 20. elokuuta 2013 Merkkien selityksiä Tähän

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot