Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008"

Transkriptio

1 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise yhtälö. a) f () =, kun f( ) = b) f () = 5, kun f() = 3 4 c) cos + = 0. a) Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (3,7) kautta ja on yhdensuuntainen suoran + y 3 = 0 kanssa. b) Pisteestä (,,3) siirrytään 0 pituusyksikköä vektorin a = 3i 4k suuntaan. Mihin pisteeseen päädytään? c) Sievennä lauseke a a 3 6 a, kun a Mahtuuko suorakulmaisen särmiön muotoinen taipumaton levy neliön muotoisesta aukosta, kun levyn paksuus on 30 cm, leveys 90 cm ja pituus 500 cm. Neliön ala on,5 m. 4. Maailman kuuluisin hymy on Leonardo da Vincin maalauksessa Mona Lisa. Oletamme hymyn olevan taulun vasemmassa yläkulmassa kultaisen leikkauksen kohdalla sekä pysty- että leveyssuunnassa. Maalaus on 53 cm levyinen ja sen korkeus on 77 cm. Jana on jaettu kultaisesti, jos janan suhde pitempään osaan on sama kuin pitemmän osan suhde pienempään osaan. Missä kohdassa taulua on Mona Lisan hymy? b a b b 5. Sievennä lauseke + ja laske lausekkeen arvo, kun a ja b (a < b) a b a ba a ovat yhtälön 5 3= 0 juuret. 6. Millä vakion a arvolla kolmio ABC on suorakulmainen, kun A = (a,0,0), B = (,,4) ja C = (0,,)? 7. Funktion f() = / kuvaaja sekä suorat =, = e ja y = 0 rajoittavat alueen. Jaa tämä alue kahteen yhtä suureen osaan. 8. Suoraan ympyräkartioon sijoitetaan neliöpohjainen suorakulmainen särmiö siten, että särmiön pohjatahko on kartion pohjalla ja vastakkaisen tahkon kärjet ovat kartion vaipalla. Laske tällaisista särmiöistä suurimman tilavuus, kun kartion pohjan halkaisija sekä kartion korkeus ovat yksikön pituiset. 9. Kreikan Olympoksella järjestettiin kuuluisa takaa-ajojuoksukilpailu Akhilleuksen ja kilpikonnan välillä. Kilpikonnan vauhti oli tarkalleen 9 % Akhilleuksen vauhdista. Kilpikonna sai tasan kilometrin etumatkan. Vaiheessa Akhilleus juoksi tasan km samaan aikaan kuin kilpikonna 90 m. Vaiheessa Akhilleus juoksi 90 m ja kilpikonna kerkesi samaan aikaan karkuun 8, m. Näin jatkettiin, eikä Akhilleus milloinkaan saanut

2 kilpikonnaa kiinni. Kuinka monta juoksuvaihetta oli suoritettu, kun Akhilleus oli alle mm päässä kilpikonnasta, kuinka pitkän matkan he tällöin olivat juosseet? Kun toistetaan ajatusta äärettömän monta kertaa, niin Akhilleus saa kilpikonnan kiinni, kuinka pitkä olisi tällöin kumpaisenkin juoksumatka. 0. Luvut p ja q ovat positiivisia reaalilukuja. Luku a on p % suurempi kuin luku b ja luku b on q % pienempi kuin luku a. Kumpi luvuista p vai q on suurempi ja kuinka monta prosenttia?. Pelilauta on n n -ruudukko, joka asetetaan täyteen nappuloita. Käytössä on riittävästi sekä valkoisia että mustia nappuloita. Kuinka monta erilaista pelipöytää on a) - b) n n-ruudukossa?. Iidalla oli osakesalkussaan kahta eri lajia osakkeita. Nokian osaketta hän oli hankkinut hintaan 3,70 euroa/kpl ja Fortumia hintaan 8,70 euroa/kpl. Yhteensä Iida käytti osakkeiden hankintaan 00,00 euroa. Kuinka monta Nokian ja kuinka monta Fortumin osaketta Iidalla oli salkussaan? Osakkeita myydään vain kappaleittain eikä osina. Osakkeiden välityspalkkioita ei oteta huomioon. kt 3. Lääkkeen vaikutuksesta bakteerien määrä m vähenee funktion m( t) = C e mukaisesti. Funktiossa t on aika tunteina lääkkeen aloitushetkestä lukien, k ja C ovat vakioita. Lääkkeen aloitushetkellä bakteereja oli,0 miljoonaa ja vuorokauden kuluttua enää kpl. a) Määritä vakiot k ja C. b) Kuinka kauan lääkettä on käytettävä, jotta saavutetaan turvallinen bakteerin taso? c) Kuinka suuri on bakteerien vähenemisnopeus vuorokauden kuluttua? 4. ( ) a) Määrää kolmion ABC kulmien puolittajasuorien yhtälöt, kun A = (0,0), B = (,4) ja C = 5,. (4 p) b) Todista, että kaikki kolmion ABC puolittajasuorat kulkevat 3 3 saman pisteen Q kautta. ( p) c) Todista, että piste Q keskipisteenä voidaan piirtää ympyrä, joka sivuaa kolmion ABC jokaista sivua. Määrää tämän ympyrän säde ja yhtälö. (3 p) 5. ( ) a) Funktio θ () = e on eräs satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Mitä π tiheysfunktiolla tarkoitetaan? Selvitä, mikä on tiheysfunktion kertymäfunktio? ( p) b) Määrää Simpsonin säännöllä integraalin arvo θ ( ) d. Käytä jakoväliä 0,5. (5 p) c) θ () on normaalijakauman N(0,) tiheysfunktio. Määrää normaalijakauman N(0,) avulla integraalin θ ( ) d arvo. ( p)

3 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka Ratkaisut ja pistesuositus.. Ratkaise yhtälö. a) f () =, kun c) cos + = 0 f( ) = 5+ 3 b) f () = 5, kun f() = a) Derivaatta on f () = 5. Yhtälö f () =, kun = p + p b) Käänteisfunktio on f () = + 4. Yhtälö f () = 5, kun = p + p 3 π π c) cos =, josta =± + n π ja = ± + n π, n Ζ p + p 3 3 π Vastaus: a) = b) = c) = ± + n π, n Ζ 3. a) Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (3,7) kautta ja on yhdensuuntainen suoran + y 3 = 0 kanssa. b) Pisteestä (,,3) siirrytään 0 pituusyksikköä vektorin a = 3i 4k suuntaan. Mihin pisteeseen päädytään? c) Sievennä lauseke a a 3 6 a, kun a 0. a) Suoran + y 3 = 0 kulmakerroin on k = p Kysytyn suoran yhtälö y = +p b) Vektorin a = 3i 4k suuntainen yksikkövektori a = i k p Kysytyn pisteen P paikkavektori OP = i + j + 3k + 0a = 5i + j 5k Kysytty piste (5,,5) +p c) a a a = a a a = a Vastaus: a) y = b) (5,,5) c) a, a 0 p + p 3. Mahtuuko suorakulmaisen särmiön muotoinen taipumaton levy neliön muotoisesta aukosta,kun levyn paksuus on 30 cm, leveys 90 cm ja pituus 500 cm. Neliön ala on,5 m.

4 Kuviosta p Neliön lävistäjä AE = = 50 = p. Kolmio ACD on tasakylkinen, koska kantakulmat ovat 45 astetta, joten AD = CD = 30/ = 5. +p Levy ei mahdu aukosta, koska levyn leveys 90 cm on yli AE AD = 50-5 = 8.3 +p Vastaus: Ei 4. Maailman kuuluisin hymy on Leonardo da Vincin maalauksessa Mona Lisa. Oletamme hymyn olevan taulun vasemmassa yläkulmassa kultaisen leikkauksen kohdalla sekä pysty- että leveyssuunnassa. Maalaus on 53 cm levyinen ja sen korkeus on 77 cm. Jana on jaettu kultaisesti, jos janan suhde pitempään osaan on sama kuin pitemmän osan suhde pienempään osaan. Missä kohdassa taulua on Mona Lisan hymy? Merkitään origoksi taulun vasenta alanurkkaa. Kultaisen pisteen -koordinaatti saadaan yhtälöstä =, josta = ja = ja 3p y y-koordinaatti yhtälöstä =, josta y = 0.58 ja y = p 77 y y Vastaus: Mona Lisan hymy on pisteessä ( 0,48), kun origo on taulun vasen alanurkka. +p b a b b 5. Sievennä lauseke + a b a ba a yhtälön 5 3= 0 juuret. ja laske lausekkeen arvo, kun a ja b (a < b) ovat Lauseke sievenee muotoon b a b b ( b a) + ba b a b a + b + = = =. p+p a b a a( b a) a( b a) a( b a) a Yhtälön 5 3= 0 juuret a = ja b = 3, jolloin lausekkeen arvo on 5. +p a + b Vastaus: Lauseke on sievennettynä ja sen arvo on 5. a 6. Millä vakion a arvolla kolmio ABC on suorakulmainen, kun A = (a,0,0), B = (,,4) ja C = (0,,)?

5 Kolmio ABC on suorakulmainen (Pythagoras),. jos () AB + AC = BC,() AB + BC = AC tai (3) AC + BC = AB. () (( a) + ( 0) + (4 0) ) + ((0 a) + ( 0) + ( 0) ) = ) + ( ) + ( 4) ), josta saadaan yhtälö a 4a + 8 = 0. (( 0 Tällä yhtälöllä ei ole reaaliratkaisuja. 3p Vastaavasti yhtälö () sievenee muotoon a 4a = a + 5, josta a = 3. +p Yhtälö (3) sievenee muotoon a = a 4a +, josta a =. +p uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vaihtoehtoisesti: Jos () AB AC = 0, () AB BC = 0, (3) AC BC = 0, niin kolmio ABC on suorakulmainen. ()(( ai ) + ( 0) j+ (4 0) k) ((0 ai ) + ( 0) j+ ( 0) k) = 0, josta a a + 9 = 0. Tällä yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua. 3p Vastaavasti yhtälöstä () saadaan a = 3 ja yhtälöstä (3) a =. p+p Vastaus: a =3 tai a =. 7. Funktion f() = / kuvaaja sekä suorat =, = e ja y = 0 rajoittavat alueen. Jaa tämä alue kahteen yhtä suureen osaan. Funktion f() = / kuvaajan sekä suorien y = 0, = ja = e e rajoittama alue on d = ln e ln =. p Suora = a jakaa alueen kahtia. Luku a saadaan integraaliyhtälöstä a d =, josta ln a =, ja a = e +4p

6 Suora y = jakaa myös alueen kahteen yhtä suureen osaan, sillä e kanta (e) korkeus =. +4p e Vastaus: Suora = e jakaa alueen kahteen yhtä suureen osaan. Vaihtoehtoisesti suora y = jakaa alueen kahtia. e 8. Suoraan ympyräkartioon sijoitetaan neliöpohjainen suorakulmainen särmiö siten, että särmiön pohjatahko on kartion pohjalla ja vastakkaisen tahkon kärjet ovat kartion vaipalla. Laske tällaisista särmiöistä suurimman tilavuus, kun kartion pohjan halkaisija sekä kartion korkeus ovat yksikön pituiset. Kuvion merkinnöillä: Δ GPQ ~ ΔOHQ( kk), (suorat kulmat ja yhteinen kulma) Saadaan verranto PG PQ = OH OQ. Merkitään pohjasärmiäkirjaimella ja sivusärmiä kirjaimella y, jolloin neliötahkon lävistäjän puolikas PG =, PQ = y, OQ = ja OH =. joten y =, josta y = +. p Nyt saamme särmiön tilavuudeksi V = y = V ( ) = ( + )) = 3 +. Ääritapauksena = 0, jolloin särmiö kutistuu janaksi OQ ja toisena ääritapauksena + =, josta =, joten 0,, joten suurin arvo löytyy joko () välin päätepisteistä tai () derivaatan nollakohdista. +p () V(0) =0, V ( ) = 0 () V ( ) = 3 +, josta derivaatan nollakohdiksi saadaan = 0 tai =, molemmat 0,. V(0) = 0, 3 +p V 3 ( ) ( ) ( ) p. Suurin tilavuus on. 7 Tämä on koko kartion tilavuudesta 7 8 = 00% = 8, %. 9π π ( ) 3 +p

7 800 Vastaus: Suurimman särmiön tilavuus on ja se on % 8,3% kartion tilavuudesta 7 9π 9. Kreikan Olympoksella järjestettiin kuuluisa takaa-ajojuoksukilpailu Akhilleuksen ja kilpikonnan välillä. Kilpikonnan vauhti oli tarkalleen 9 % Akhilleuksen vauhdista. Kilpikonna sai tasan kilometrin etumatkan. Vaiheessa Akhilleus juoksi tasan km samaan aikaan kuin kilpikonna 90 m. Vaiheessa Akhilleus juoksi 90 m ja kilpikonna kerkesi samaan aikaan karkuun 8, m. Näin jatkettiin, eikä Akhilleus milloinkaan saanut kilpikonnaa kiinni. Kuinka monta juoksuvaihetta oli suoritettu, kun Akhilleus oli alle mm päässä kilpikonnasta, kuinka pitkän matkan he tällöin olivat juosseet? Kun toistetaan ajatusta äärettömän monta kertaa, niin Akhilleus saa kilpikonnan kiinni, kuinka pitkä olisi tällöin kumpaisenkin juoksumatka. Kun on juostu n vaihetta, Akhilleuksen juoksumatka metreissä on n , , , n Kilpikonnan juoksumatka on 0, , , n Akhilleuksen etäisyys kilpikonnasta on 0,09 000, jonka piti olla < 0,00, 6 n 6 lg0 josta 0,09 < 0. Ottamalla logaritmi puolittain saadaan n >, joten n > 5,737 lg 0,09 Etäisyys on alle mm vaiheen 6 jälkeen. +p Akhilleus on tällöin juossut ( 0,09 ) , , = 098, ,9005 ja ( 0,09) 6 kilpikonna 000 0, , ,096 98, , 900 +p Kun Akhilleus on saavuttanut kilpikonnan, hän on juossut , , = 098, ,90 0,09 ja kilpikonna 000 m vähemmän eli 98,90 m. +p Vastaus: Akhilleuksen ja kilpikonnan välinen etäisyys alle mm, kun oli suoritettu 6 juoksuvaihetta, tällöin Akhilleus oli juossut 098,9005 m ja kilpikonna 98,900 m. Kun Akhilleus on saavuttanut kilpikonnan,hän on juossut 098,90 m ja kilpikonna 98,90 m. 0. Luvut p ja q ovat positiivisia reaalilukuja. Luku a on p % suurempi kuin luku b ja luku b on q % pienempi kuin luku a. Kumpi luvuista p vai q on suurempi ja kuinka monta prosenttia? p a b Luku a = b + b, josta p = b p q Luku b = a, 00 a a b josta q = 00 a +p Luku p > q, sillä p:n nimittäjä on pienempi kuin q:n nimittäjä. +p 00( a b)( ) p q a b Luku p on 00% b a = 00% = 00% kuin q. q a b b 00 a +3p a b Vastaus: luku p on 00% suurempi kuin q. b p

8 . Pelilauta on n n -ruudukko, joka asetetaan täyteen nappuloita. Käytössä on riittävästi sekä valkoisia että mustia nappuloita. Kuinka monta erilaista pelipöytää on a) - b) n n- ruudukossa? Ruudukossa * on 4 ruutua, joten erilaisia pelipöytiä on = = 6 = 4 kpl p Ruutuja on n = m kpl. Olkoon valkoisia nappuloita k kpl ja loput m k m ovat mustia. Tällöin valkoiset nappulat voidaan asettaa +p k eri tavalla. Valkoisten nappuloiden lukumäärä saa kaikki kokonaislukuarvot väliltä [ 0,m], jolloin erilaisia pelipöytiä on m m k = 0 k kpl, missä m = n. +p Voidaan todistaa, että erilaisia pelipöytiä on m. (Ei vaadita) Vastaus: ruudukossa on 6 pelipöytää ja n n - ruudukossa on pelipöytiä m m = m kpl, missä m = n. k = 0 k. Iidalla oli osakesalkussaan kahta eri lajia osakkeita. Nokian osaketta hän oli hankkinut hintaan 3,70 euroa/kpl ja Fortumia hintaan 8,70 euroa/kpl. Yhteensä Iida käytti osakkeiden hankintaan 00,00 euroa. Kuinka monta Nokian ja kuinka monta Fortumin osaketta Iidalla oli salkussaan? Osakkeita myydään vain kappaleittain eikä osina. Osakkeiden välityspalkkioita ei oteta huomioon. Ratkaisut saadaan yhtälöstä () 3,7 + 8,7 y =00, joka on identtinen yhtälön () y = 000 kanssa. Ratkaistaan ensin yhtälö y = syt(37,87). Syt(37,87) saadaan Eukleideen algoritmilla 37 = = = = = + = 5 + =, joten syt(37,87) =, joten saimme yhtälön (3) y = p Nyt etsimme kertoimet ja y. = 5 = 5 (3-) = = (37 3) = = (5037) = = (873 50) = = (3787) = =, josta nähdään yhtälön (3) yksityisratkaisu = 86 ja y = 09. +p Kun kerromme yhtälön (3) luvulla 000 saamme yhtälön (), jolla on yksityisratkaisu 0 = = ja y 0 = = p. Yhtälöiden () ja () kaikki kokonaislukuratkaisut ovat: = n, y = n, n Ζ +p Koska osakkeita on positiivinen määrä, on oltava > 0, josta n > 5058,8

9 sekä y > 0, josta n < 5059,07,jolloin n = Siis Joonaksen salkussa Nokiaa on = 33 ja Fortumia = 7. +p Vastaus: Joonaksen salkussa 33 kpl Nokian ja 7 kpl Fortumin osakkeita. kt 3. Lääkkeen vaikutuksesta bakteerien määrä m vähenee funktion m( t) = C e mukaisesti. Funktiossa t on aika tunteina, k ja C ovat vakioita. Lääkkeen aloitushetkellä bakteereja oli,0 miljoonaa ja vuorokauden kuluttua enää kpl. a) Määritä vakiot k ja C. b) Kuinka kauan lääkettä on käytettävä, jotta saavutetaan turvallinen bakteerin taso? c) Kuinka suuri on bakteerien vähenemisnopeus vuorokauden kuluttua? kt a)määrätään yhtälöstä m = C e vakiot k ja C. Alkuehdosta t = 0 ja m = saadaan C = p 4k Ehdosta t = 4 ja m = saadaan e = 0, 0, josta ottamalla luonnolliset logaritmit saadaan ln 0, k = = 0, ,067. +p 4 0,067t b) Yhtälöstä e = 0000 saadaan aika, joka vaaditaan 0,067t ln 0,0 turvalliseen tasoon. e = 0, 0, josta t = 69. +p kt c)bakteerien muutosnopeus on m ( t) = C e ( k), joten muutosnopeus hetkellä 4 h on 0, m (4) = e ( 0, ) 34, , joten bakteerien vähenemisnopeus hetkellä 4 h on 3000 bakteeria/h. +p Vastaus: a) k = 0,067ja C = ,b) t = 69 h ja c) 3000 bakteeria/h. 4.(*). a) Määrää kolmion ABC kulmien puolittajasuorien yhtälöt, kun A = (0,0), B = (,4) ja C = 5,. (4 p) b) Todista, että kaikki kolmion ABC puolittajasuorat kulkevat saman 3 3 pisteen Q kautta. ( p) c) Todista, että piste Q keskipisteenä voidaan piirtää ympyrä, joka sivuaa kolmion ABC sivua. Määrää tämän ympyrän säde ja yhtälö. (3 p) y y Kolmion ABC sivujen yhtälöt saadaan kaavalla y y 0 = k( 0 ), missä k = Sivujen yhtälöiksi saadaan: L(AB): - + y = 0; L(AC): + y = 0 ja L(BC): + y - 8 =0 Puolittajasuorien yhtälöt saadaan lauseen Kulman puolittajan jokainen a 0+ by 0+ c piste (,y) on yhtä etäällä kulman kyljistä. avulla käyttäen kaavaa d =, a + b missä ( 0,y 0 ) = (,y) ja a, b ja c ovat kulman kylkisuorien kertoimet. Kulman A + y y + 0 puolittaja L(A) saadaan yhtälöstä: =, josta sieventämällä ( ) + () + saadaan yhtälöä: 3 + y = 0 ja + 3y = 0. Koska puolittajan L(A) kulmakerroin on positiivinen,. p

10 niin jälkimmäinen yhtälö + 3y = 0 on puolittajan L(A) yhtälö. +p Puolittajan L(B) yhtälöksi saadaan joko y = 4 tai =, joista pystysuora = kelpaa. Puolittajan L(B) yhtälö saadaan myös huomaamalla, että kolmion ABC sivun AB kulmakerroin on ja sivun BC kulmakerroin on -, joten kulman B puolittajan täytyy olla pystysuora ja sen yhtälö on: =. +p Puolittajan L(C) yhtälöksi saadaan joko y 8 = 0 tai 3 + 3y 8 = 0, joista jälkimmäinen on puolittajan L(C) yhtälö, sillä suoran L(C) kulmakerroin on negatiivinen. +p b)piste Q saadaan puolittajien L(A) ja L(B) muodostamasta yhtälöparista, joten piste Q = (,⅔). Tämä piste Q toteuttaa myös puolittajan L(C) yhtälön, joten kaikki puolittajat kulkevat pisteen Q = (,⅔) kautta. +p c)vaaditun ympyrän keskipiste on piste Q = (,⅔) ja säde on pisteen Q etäisyys kolmion ABC sivun AB määräämästä suorasta L(AB): - + y = Säde r = = +p ( ) Koska piste Q on jokaisella puolittajalla, täytyy pisteen Q etäisyys jokaisesta kolmion 0 sivusta olla sama Saman asian voi myös todeta laskemalla pisteen Q etäisyyden 3 5 jokaisesta kolmion sivusta. +p 0 Vaaditun ympyrän yhtälöksi saadaan: ( ) + ( y ) = ( ) =. +p Vastaus: a) Puolittajien yhtälöt ovat: L(A): -+3y = 0, L(B): = ja L(C): 3 +3y 8 = 0. b) Puolittajasuorat kulkevat pisteen Q = (,⅔) kautta. c)kolmion ABC sisään piirretyn ympyrän yhtälö on: 0 0 ( ) + ( y ) = ( ) =, missä ympyrän säde r = ( ) a) Funktio θ () = e on eräs satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Mitä π tiheysfunktiolla tarkoitetaan? Selvitä, mikä on tiheysfunktion kertymäfunktio? ( p) b) Määrää Simpsonin säännöllä integraalin arvo θ ( ) d. Käytä jakoväliä 0,5. (5 p) c) θ () on normaalijakauman N(0,) tiheysfunktio. Määrää normaalijakauman N(0,) avulla integraalin θ ( ) d arvo. ( p) a) Jotta funktio θ (t) = t e π on satunnaismuuttujan tiheysfunktio, niin ehdot ()θ () 0 ja () θ ()d = on oltava voimassa. p

11 Tiheysfunktion θ (t) = e π t kertymäfunktio on Φ () = θ (t)dt +p b) Osavälin pituus h = 0,5. Osavälejä on 6 kpl. Simpsonin säännöllä saadaan integraalin arvon likiarvoksi 0,5 ( θ ( ) + 4θ ( 0,5) + θ (0) + 4θ (0,5) + θ () + 4θ (,5) + θ ( )) +p 3 0,5 ( ) / ( 0,5) / (0,0) / (0,5) / (,0) / (,5) / (,0) / ( e + 4e + e + 4e + e + 4e + e ) 3 π 0,8873 0,887 +p c) θ ( ) d = Φ() Φ( ) = Φ() ( Φ()) = Φ() + Φ() 0, ,843 = 0, p Vastaus: a) ()θ () 0 ja () θ ()d = on oltava voimassa. Tiheysfunktion θ (t) = b) 0,887 ja c) 0,885. π t e kertymäfunktio on Φ () = θ (t)dt

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3.

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3. 998 Yhtälö on määritelty, kun x 0, joten on oltava x. Yhtälö voidaan kirjoittaa yhtäpitävään muotoon x x x x x x 0, ja edelleen x x 0. x Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x tai

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot