Derivaatta 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, funktion raja-arvo

Transkriptio

1 Derivaatta 1/6 Sisältö Derivaatan määritelmä funktio Olkoon kiinteä tarkastelupiste. Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion f deri- (reaali-) vaatta tässä pisteessä merkitään f () voidaan luonnetia kadella tavalla: 1) geometrisesti, jolloin kyseessä on käyrän y = f() pisteeseen (, f()) ase- käyrä (taso-) tetun tangentin kulmakerroin, tai 2) analyyttisesti erotusosamäärän raja-arvona: tangentti (suora) f f( + ) f() () = lim. 0 Erotusosamäärässä [f( + ) f()]/ on nimittäjässä argumenttiarvojen + ja erotus; osoittajassa on vastaavien funktionarvojen erotus. Geometrisesti tulkittuna erotusosamäärä tarkoittaa pisteiden (, f()) ja (+, f( +)) kautta asetetun suoran käyrän y = f() sekantin kulmakerrointa. Rajaprosessissa 0 pisteet läestyvät toisiaan ja sekantti muuttuu tangentiksi. y f( + ) y = f() kulmakerroin sekantti (suora) f() + Derivaatalle käytetään seuraavia merkintöjä: f () =Df()= df d = d d f().

2 Derivaatta 2/6 Sisältö Derivoituvuus Derivaatta, so. erotusosamäärän raja-arvo ei välttämättä ole olemassa. Jos se on, funktiota sanotaan derivoituvaksi kyseisessä pisteessä. Esimerkkejä funktioista, jotka jossakin pisteessä eivät ole derivoituvia, ovat a) f() = origossa ja b) f() =sin(1/) samoin origossa (missä määritellään f(0)=0). Edellisen kuvaajalla on origossa kärki, jälkimmäisen käyttäytyminen on paljon monimutkaisempaa: y y = sin (1/) kuvaaja 1 1 Funktion määritelmä on siinä määrin yleinen, että on elppoa muodostaa myös funktioita, jotka eivät ole missään derivoituvia tai ovat derivoituvia vain muutamissa pisteissä. Esimerkiksi määrittelemällä f() = 2,joson rationaalinen, ja f() = 2,joson irrationaalinen, saadaan funktio, joka on derivoituva vain origossa. rationaaliluku irrationaaliluku

3 Derivaatta 3/6 Sisältö Differentiaali Määritellään kaden muuttujan funktio ɛ(, ) asettamalla ɛ(, ) = f(+) f() f (). Koska derivoituvalla funktiolla erotusosamäärän raja-arvo on derivaatta, on lim ɛ(, ) =0. 0 funktio (kaden muuttujan) Kertomalla eo. ytälö symbolilla ja siirtämällä termejä ytäläisyysmerkin puolelta toiselle, saadaan f( + ) f() =f ()+ɛ(, ), missä funktion lisäys f( + ) f() välillä [, + ] on ajotettu kadeksi termiksi: Edellinen termi väli (reaaliakselin) df = f () on funktion differentiaali, jälkimmäistä ɛ(, ) (missä lim 0 ɛ(, ) =0) kutsutaan yleensä korjaustermiksi. Differentiaalin sanotaan edustavan funktion f lisäyksen lineaarista (suoraviivaista) osaa. Funktion lisäyksen ajottamista tällä tavoin kutsutaan funktion differentiaalikeitelmäksi. y y = f() ɛ( 0,) df = f ( 0 ) Tekemällä differentiaalikeitelmässä korvaukset 0, +, 0 se voidaan kirjoittaa muotoon y = f() =f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+( 0 )ɛ( 0, 0 ). Korjaustermin pois jättäminen voidaan tämän perusteella luonnetia siten, että käyrä y = f() tulee korvatuksi tangentilla y = f( 0 )+f ( 0 )( 0 ). Differentiaalikeitelmästä nädään myös, että derivoituva funktio on aina myös jatkuva: lim f() = lim [f( 0 )+f ( 0 )( 0 )+( 0 )ɛ( 0, 0 )] = f( 0 ). 0 0 käyrä (taso-) tangentti (suora) jatkuvuus

4 Derivaatta 4/6 Sisältö Korkeammat derivaatat Jos funktio f on jollakin tarkasteluvälillä derivoituva välin jokaisessa pisteessä, tulee tällä välillä määritellyksi derivaattafunktio f (). Jos tämä on derivoituva välin pisteessä, saadaan alkuperäisen funktion toinen derivaatta eli toisen kertaluvun derivatta: d d f () =f () =D 2 f()= d2 f d, 2 missä kolme viimeksi mainittua ovat tavallisimmat tavat toisen derivaatan merkitsemiseen. Jos funktio f () saadaan määritellyksi jollakin välillä, voidaan jatkaa samaan tapaan ja saadaan korkeampien kertalukujen derivaatat f (), f (),jne. Jos derivaatan kertaluku on kovin suuri, sitä ei enää ole mukavaa merkitä yläpilkuilla. Vaitoetoinen merkintätapa on käyttää sulkuiin pantua yläindeksiä, esimerkiksi f () =f (4) (). funktio

5 Derivaatta 5/6 Sisältö Esimerkkejä derivaatan laskemisesta erotusosamäärän raja-arvona Funktion f() = 5 derivaatta pisteessä saadaan keittämällä erotusosamäärä binomikaavan avulla: ( + ) 5 5 = = Kun 0, läestyvät kaikki muut termit nollaa paitsi ensimmäinen ja derivaataksi saadaan siis 5 4. Funktion f() = derivaatta pisteessä > 0 saadaan vastaavalla tavalla muokkaamalla erotusosamäärää siten, että sen raja-arvo voidaan laskea: + = ( + )( + + ) ( + + ) = + ( + + ) = binomikaava binomikaava

6 Derivaatta 6/6 Sisältö Derivaatan istoriaa Differentiaalilaskennan samoinkuin integraalilaskennan lyyemmin matemaattisen analyysin keksijöinä pidetään englantilaista Isaac Newtonia ( ) ja saksalaista Gottfried Wilelm Leibnizia ( ). Samantyyppisiä ideoita oli kyllä esiintynyt jo varemminkin. Mm. ranskalainen lakimies ja matemaatikko Pierre de Fermat käytti oleellisesti derivointia polynomien maksimien ja minimien etsimiseen 1600-luvun alussa. Integraalilaskennan istoria ulottuu vielä paljonkin varaisempiin aikoiin; ensimmäiset ideat voidaan ieman näkökulmasta riippuen löytää jo vanalta ajalta. Newtonin pääteos Pilosopiae naturalis principia matematica käsittelee fysiikkaa ja taivaanmekaniikkaa, joiin än soveltaa jo aiemmin keittämiään (mutta julkaisemattomia) differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä sekä päättymättömiä sarjoja. Esitystapa ja merkinnät poikkeavat nykyään käytetystä; derivaatan käsitettä vastaa Newtonin fluio. Leibniz oli yleisnero, joka tutki matematiikan oella lakia, filosofiaa, teologiaa ym. ja toimi pitkään diplomaattina. Differentiaali- ja integraalilaskennan än keitti ilmeisestikin Newtonista riippumatta. Seurauksena kuitenkin oli riita prioriteetista. Newtonin ja Leibnizin jälkeen analyysia keittivät monet: sveitsiläinen Bernoulli n suku, jossa oli useita matemaatikkoja 1600-luvun lopulta 1800-luvun puoliväliin, niinikään sveitsiläissyntyinen Leonard Euler ( ), joka oli professorina Pietarissa ja Berliinissä, Ranskan suuren vallankumouksen ja Napoleonin aikalaiset Josep Louis Lagrange, Pierre Simon de Laplace, Jean-Babtiste- Josep Fourier, ym., saksalainen Carl Friedric Gauss ( ), ranskalainen Augustin Louis Caucy ( ). Monet näistä matemaatikoista olivat myös uomattavia matemaattisia fyysikoita, jotka keittivät taivaanmekaniikkaa, optiikkaa, virtausmekaniikkaa, jne. Analyysin keitys on jatkunut viime ja tällä vuosisadalla yä abstraktimpaan suuntaan. analyysi Newton Leibniz Fermat polynomi maksimi ja minimi maksimi ja minimi sarja Bernoulli Bernoulli Euler Lagrange Laplace Fourier Gauss Caucy