3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä 3.10 Olkoon r postvnen kokonasluku. Jos odotusarvo α r = E(X r ) on olemassa, se on satunnasmuuttujan X (ta X:n jakauman) r. momentt. Vastaavast X:n r. keskusmomentt on mssä µ = E(X) = α 1. µ r = E[(X µ) r ], Momentta α r kutsutaan joskus myös orgomomentks. Jakauman keskarvo on ss 1. orgomomentt ja varanss 2. keskusmomentt. Satunnasmuuttujan X tekjämomentt g r, r = 1, 2,... määrtellään seuraavast: g r = E[X (r) ] = E[X(X 1) (X r + 1)]. Ensmmäset kaks tekjämomentta ovat g 1 = E(X) = α 1 = µ, g 2 = E[X(X 1)] = E(X 2 X) = E(X 2 ) E(X) = α 2 α 1. Koska σ 2 = α 2 µ 2, nn σ 2 = g 2 + µ µ 2. Keskus- ja orgomomentten välnen yhteys ja µ r = E[(X µ) r ] = E[ = =0 =0 E[X r ]( µ) = X r ( µ) ] =0 α r = E[(X µ + µ) r ] = E[ (X µ) r µ ] = =0 ( 1) ( r =0 ) α r µ µ r µ.
84 Luku 3. Satunnasmuuttujat, ehdollstamnen ja rppumattomuus Nästä dentteetestä seuraavat esmerkks tulokset α 2 = µ 2 + µ 2, µ 2 = α 2 µ 2, α 3 = µ 3 + 3µ 2 µ + µ 3, µ 3 = α 3 3α 2 µ + 2µ 3, α 4 = µ 4 + 4µ 3 µ + 6µ 2 µ 2 + µ 4, µ 4 = α 4 4α 3 µ + 6α 2 µ 2 3µ 4, mssä α 1 = µ ja µ 1 = 0. Esmerkk Jos X Ber(p), nn Sllon µ = p ja α r = p, r = 1, 2,.... µ 2 = p p 2, µ 3 = p 3p 2 + 2p 3 ja µ 4 = p 4p 2 + 6p 3 3p 4. Huomattakoon, että mnkä tahansa satunnasmuuttujan postvnen osa on X + = max(x, 0) ja negatvnen osa X = max( X, 0). Sllon Nyt ss X = X + X ja X = X + + X. E(X) = E(X + ) E(X ). Olkoon X:n todennäkösyysfunkto f(x). Sllon X:n jakauma on symmetrnen psteen a suhteen, jos f(a x) = f[ (a x)] kaklla x:n arvolla. Jos E(X) on olemassa, nn sllon E(X) = a. Jos jakauma on symmetrnen, nn E(X µ) + = E(X µ). Sllon X:n kakk parttomat keskusmomentt ovat nolla. Jakauman vnouskerron, josta käytetään merkntää γ 1, määrtellään seuraavast: ) ] 3 (3.5.1) γ 1 = E [ (X µ σ = µ 3 σ 3, mssä µ 3 on jakauman 3. keskusmomentt ja σ = Var(X) on hajonta. Symmetrsen jakauman vnouskerron on nolla. Jos jakaumalla on ptkä häntä okealle, kuten Possonn jakaumalla ja geometrsella jakaumalla, nn jakauma on postvsest vno ja γ 1 > 0. Jos jakaumalla on ptkä häntä vasemmalle, nn γ 1 < 0. Jakaumalla on tetyst oltava 3. momentt, jotta vnouskerron vodaan laskea. Hupukkuuskerronta merktään γ 2 ja se määrtellään 4. keskusmomentn avulla seuraavast: ) ] 4 (3.5.2) γ 2 = E [ (X µ mssä µ 4 on X:n 4. keskusmomentt. σ = µ 4 σ 4,
3.5. Generovat funktot ja momentt 85 3.5.2 Momenttfunkto Esttelemme nyt uuden todennäkösyysjakaumaan lttyvän funkton, momentteja generovan funton, jota kutsutaan lyhyest momenttfunktoks (mf). Momenttfunkto tarjoaa erään ylesen menetelmän momentten laskemseks, vakka se e ana ole shen tarkotukseen helpon ta tehokkan menetelmä. Momentten laskemsta tärkeämpää on se, että jakaumat vodaan luonnehta käteväst momenttfunkton avulla (mkäl se on olemassa). Määrtelmä 3.11 Olkoon X dskreett satunnasmuuttuja, jonka todennäkösyysfunkto on f(x) ja arvoavaruus S. Sllon reaalmuuttujan t funkto M(t) = E(e tx ) on satunnasmuuttujan X (ta X:n jakauman) momenttfunkto (mf), jos odotusarvo E(e tx ) = e tx f(x) x S on olemassa jollan avomella välllä a < t < a, mssä a > 0. Momenttfunkton omnasuuksa Olkoot satunnasmuuttujen X ja Y momenttfunktot M X (t) ja M Y (t). (Mf1) Satunnasmuuttujan Y = ax +b momenttfunkto M Y (t) = e bt M X (at), mssä a ja b ovat annettuja vakota. Jos ertysest a = 0 ja Y = b (todennäkösyydellä 1), nn M Y (t) = e bt. (Mf2) Jos M X (t) = M Y (t) kaklla t jossan nollan ympärstössä, nn X:llä ja Y :llä on sama jakauma. (Mf3) Jos X ja Y ovat rppumattomat, nn nden summan Z = X + Y momenttfunkto on M Z (t) = M X (t)m Y (t). (Mf4) X:n momenttfunkton r. dervaatan (t:n suhteen) arvo psteessä t = 0 on X:n r. momentt: M(0) (r) = E(X r ) = α r. Satunnasmuuttujen summan määrttämnen momenttfunkton avulla on ertysen kätevää. Omnasuus (Mf 3) ylestyy nduktolla usean satunnasmuuttujantapaukseen. (Mf3 ) Jos X 1,...,X n ovat rppumattomat, nn nden summan S n = X 1 + X 2 + + X n momenttfunkto on M Sn (t) = M X1 (t)m X2 (t)...m Xn (t).
86 Luku 3. Satunnasmuuttujat, ehdollstamnen ja rppumattomuus Esmerkk Mf1 Hetetään punasta ja mustaa noppaa. Olkoon X 1 punasen ja X 2 mustan nopan slmäluku ja slmäluvut ovat tosstaan rppumattomat. Mkä on slmälukujen summan X = X 1 + X 2 jakauma? Johdetaan jakauma momenttfunktoden avulla. Kummankn nopan slmäluku X Tasd(1, 6), = 1, 2 tosstaan rppumatta. Slmäluvun momenttfunkto on määrtelmän mukaan M X (t) = E(e tx ) = 1 6 e1 t + 1 6 e2 t + + 1 6 e6 t, = 1, 2. Koska X 1 ja X 2 ovat rppumattomat, nn nden summan momenttfunkto on M X (t) = M X1 (t)m X2 (t) = ( 1 6 e t ) 2 = 1 6 36 = 1 36 6 6 j=1 e (+j)t 7 (s 1)e st + 1 12 (12 s + 1)e st. 36 s=2 Nyt ss X:n todennäkösyysfunkto on s=8 P(X = s) = { s 1 36, kun 2 s 7; 12 s+1 36, kun 8 s 12. Esmerkk Mf2 Johdetaan Bernoulln jakaumaa noudattaven rppumattomen satunnasmuuttujen X 1,...,X n summan S n = X 1 + +X n jakauma. Koska jokanen X Ber(p), nn X :tten momenttfunktot ovat M X (t) = e t p + q, = 1,...,n, mssä q = 1 p (Katso Esmerkk 3.17). Sllon omnasuuden (Mf3 ) mukaan summan S n momenttfunkto on Jos esmerkks n = 3, nn M Sn (t) = (e t p + q) n. n ( ) n = (e t p) q n. =0 M S3 (t) = q 3 + 3e t pq 2 + 3e 2t p 2 q + e 3t p 3. Sllon M S3 (0) = q 3 + 3pq 2 + 3p 2 q + p 3 = 1 ja S 3 :n todennäkösyysfunkto on P(S 3 = ) = ( 3 ) p q 3, = 0, 1, 2, 3. Ylesessä tapauksessa S n :n todennäkösyysfunkto on ( ) n P(S n = ) = p q n, 0 n,
3.5. Generovat funktot ja momentt 87 joka saadaan lausekkeesta M Sn (0). Nän olemme saaneet bnomjakauman todennäkösyysfunkton.
3.5. Generovat funktot ja momentt 91 3.5.3 Todennäkösyydet generova funkto (tgf) Dskreetn satunnasmuuttujan X todennäkösyydet generova funkto (tgf) G(t) määrtellään seuraavast: G(t) = E(t X ) = f(x )t x. Nähdään helpost, että G(1) = f(x ) = 1. Sarja suppenee anakn sllon, kun t < 1. Kun sarja dervodaan termettän, saadaan G (t) = x f(x )t x 1. Jos G(t) on olemassa jollan välllä ( h 1, h + 1), h > 0, nn ja ylesest G (1) = E(X) G (r) (1) = E(X (r) ) = E[X(X 1) (X r + 1)] kaklla postvslla kokonasluvulla r. Todennäkösyydet generova funkto lttyy lähesest momenttfunktoon, sllä G(e t ) = E(e tx ) = M(e t ).
92 Luku 3. Satunnasmuuttujat, ehdollstamnen ja rppumattomuus 3.5.4 Todennäkösyydet generovan funkton omnasuuksa Olkoon X satunnasmuuttuja, jonka todennäkösyysfunkto on P(Y = y ) = f(y ), mssä S Y = {y 1, y 2,...} on Y:n arvojoukko. Sllon G Y (t) = f(y )t y f(y ) t y = f(y ) = 1 kaklla t 1. Sarja ss suppenee kaklla t [0, 1] ja G Y (t) on määrtelty koko välllä [0, 1]. Tavallsest dskreett satunnasmuuttujat saavat kokonaslukuarvoja. Määrtellään kokonaslukuarvonen satunnasmuuttuja X sten, että P(X = x r ) = p r, r = 0, 1, 2,.... Sllon X:n todennäkösyydet generova funkto on G X (t) = E(t X ) = p r t r, kun t 1. (Tgf1) G X (t) = M X (e t ). r=0 (Tgf2) Jos M X (t) = M Y (t) kaklla t jossan nollan ympärstössä, nn X:llä ja Y :llä on sama jakauma. (Tgf3) Jos X ja Y ovat rppumattomat, nn nden summan Z = X + Y tgf on G Z (t) = G X (t)g Y (t). (Tgf4) X:n momenttfunkton r. dervaatan (t:n suhteen) arvo psteessä t = 1 on X:n r. tekjämomentt: G(1) (r) = E(X (r) ).