Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Transkriptio

1 Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on ja nolla muualla. a) Ratkaise vakion k arvo. b) Laske P ( < X < 2 ja Y < X2 ). f(x, y) = k x y, kun < y < x <, Ratkaisu. a) Vakio k ratkaistaan siitä tiedosta, että tiheysfunktion integraalin koko avaruuden yli pitää olla yksi. Tästä saadaan ehto ( x ) = f(x, y) dxdy = k x y dy dx ( ) / x = k x 2 y2 dy dx = k 2 x3 dx = k 2 / 4 x4 = k 8, joten k = 8. b) P ( < X < 2 ja Y < X2 ) = = = 8 = 4 /2 /2 /2 ( ) min(x,x 2 ) 8 xy dy dx ( ) x 2 x y dy dx = 8 x 5 dx = 4 / /2 {(x,y):<x< 2,y<x2 } /2 x / x 2 6 x6 = = f(x, y) dxdy 2 y2 dx

2 2. Olkoot X ja Y riippumattomia eksponenttijakaumaa Exp() noudattavia satunnaismuuttujia. (Tämän jakauman tiheysfunktio on f(z) = e z, kun z >.) Määritellään positiiviset satunnaismuuttujat U ja V kaavoilla U = XY, V = X 2. Laske satunnaismuuttujien U ja V yhteistiheysfunktio f U,V (u, v), satunnaismuuttujan V reunatiheysfunktio f V (v) sekä f U V (u v) eli satunnaismuuttujan U ehdollinen tiheysfunktio, kun V = v (jossa v > ). Ratkaisu. Tapa, jossa yhteistiheys johdetaan muuttujanvaihtokaavalla. f U,V (u, v) = f X,Y (x, y) (x, y) (u, v), jossa f X,Y (x, y) = f(x) f(y) ja jossa muuttujien (x, y) ja (u, v) välillä on bijektiivinen vastaavuus alueissa x >, y > ja u >, v > { { u = xy x = v v = x 2 y = u/ v Muuttujanvaihtoon tarvittava jacobiaani on [ (x, y) (u, v) = det Kun u > ja v >, on v 2 v 2 uv 3/2 ] = 2 v, f U,V (u, v) = f( v) f( u ) v 2v = ( ja f U,V (u, v) = muualla. Satunnaismuuttujan V reunatiheyden saa yhteistiheydestä integroimalla pois muuttujan u. Kun v >, on f V (v) = ( du v = e 2 v v = e 2 v. e u v e v du = Muualla f V (v) =. Ehdollisen tiheyden lauseke saadaan selville jakolaskulla. f U V (u v) = f U,V (u, v) f V (v) 2 v / ve u v = exp ( u ) v, kun u > ja v >. v 2

3 Toinen tapa, jossa ehdollinen jakauma U (V = v) päätellään suoraan annettujen kaavojen perusteella, reunajakauma lasketaan yksiulotteisen muuttujanvaihdon perusteella ja yhteisjakauma kertolaskulla. Koska X ja Y ovat riippumattomia, niin ehdolla X = x satunnaismuuttujan XY jakauma on sama kuin satunnaismuuttujan xy jakauma, joka taas on Exp(/x). Koska V = X 2, niin edellisen perusteella ehdolla V = v > satunnaismuuttujalla XY on sama jakauma kuin satunnaismuuttujalla v Y Exp(/ v). Siis f U V (u v) = v e u/ v, kun u > ja v >. Satunnaismuuttujan V = X 2 saadaan yksiulotteisella muuttujanvaihdolla v = x 2 eli x = v, jossa v > ja x > : f V (v) = f(x) dx dv = e v 2, kun v >. v Yhteistiheys saadaan lopuksi kertolaskulla, f U,V (u, v) = f V (v) f U V (u v) = ( kun u > ja v >. 3

4 3. Tarkastellaan hierarkkista mallia X Y N(, (Y 2 ) 2 ) Y U(, ). N(µ, σ 2 ) on normaalijakauma odotusarvolla µ ja varianssilla σ 2, ja U(a, b) on tasajakauma välillä (a, b). a) Laske EX. b) Laske var X. c) Kerro perustelun kera, onko satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauma kaksiulotteinen normaalijakauma Ratkaisu. a) Odotusarvo kannattaa laskea iteroituna odotusarvona: EX = EE(X Y ) = E =. b) Varianssin voi laskea esim. seuraavasti. var X = E(X 2 ) (EX) 2 = E(X 2 ) = EE(X 2 Y ) = E [ var(x Y ) + (E(X Y )) 2] = EY 4 = Toinen yksinkertainen laskutapa on seuraava. y 4 dy = 5. var X = E var(x Y ) + var E(X Y ) = E(Y 4 ) + var = E(Y 4 ) = 5. c) Yhteisjakauma ei ole kaksiulotteinen normaalijakauma. Tämän voi perustella esim. millä tahansa seuraavista huomioista jos yhteisjakauma olisi normaalijakauma, niin Y :n reunajakauman pitäisi olla normaalijakauma, jota se ei ole; kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktio on aidosti positiivinen koko tasossa, mutta annetun jakauman tiheysfunktio on nolla ellei < y < ; kertolaskukaavalla saatava yhteisjakauman tiheysfunktion kaava ei ole oikeaa muotoa; kaksiulotteisessa normaalijakaumassa ehdollisen jakauman X (Y = y) jakauman varianssin tulisi olla riippumaton y:n arvosta, mitä se ei ole. 4

5 4. Olkoon n-ulotteisella satunnaisvektorilla X standardinormaalijakauma N n (, I). Olkoon Q R n n ortogonaalinen vakiomatriisi (ts. Q = Q T ). Määritellään Y = QX. Jaetaan Y = (Y,..., Y n ) kahtia siten, että U = (Y,..., Y k ) koostuu sen k ensimmäisestä komponentista (jossa k < n) ja V = (Y k+,..., Y n ) sen lopuista komponenteista. Määritellään lopuksi satunnaismuuttujat Z ja Z 2 kaavoilla a) Mikä on satunnaisvektorin Y jakauma? Z = U T U, Z 2 = V T V. b) Perustele, miksi Z ja Z 2 ovat riippumattomia. c) Mitkä ovat satunnaismuuttujien Z ja Z 2 jakaumat? Ratkaisu. a) Koska Y on satunnaisvektorin X lineaarimuunnos, sillä on multinormaalijakauma, jonka parametrit ovat EY = E(Q X) = Q EX = Q =, Cov Y = Q Cov(X) Q T = Q I Q T = I Siis Y N n (, I) ts. Y:n komponentit ovat riippumattomia ja noudattavat standardinormaalijakaumaa. b) a-kohdan perusteella U i V j kaikilla i ja j, minkä takia U V. Z on funktio satunnaisvektorista U ja Z 2 on funktio satunnaisvektorista V, joten Z Z 2. c) Z = U T U = U Uk 2, jossa U N k(, I), joten Z χ 2 k. Vastaavasti Z 2 = V T V, jossa V N n k (, I), joten Z 2 χ 2 n k. (Vektorilla V on n k komponenttia, sillä vektorilla U on k komponenttia ja vektoreilla U ja V on yhteensä n komponenttia.) Toinen tapa perustella b-kohdassa vektorien riippumattomuus on todeta, että yhdistetyllä vektorilla Y = (U, V) on normaalijakauma, ja (sillä U i V j kaikilla i, j), joten U V. cov(u, V) = Sen sijaan on virheellistä väittää, että (todesta) tuloksesta cov(z, Z 2 ) = seuraisi, että Z ja Z 2 olisivat riippumattomia, sillä nyt vektorilla (Z, Z 2 ) ei ole multinormaalijakauma. 5