58 Yhtälön (0.4.) mukaan peräkkästen hejastuneen säteen optnen matkaero on D= n tcosqt ja vahe-eroks tulee (kun r = 0) p = kd= D. (.3.) l ässä on huomattava, että hejastuksssa tapahtuvat mahollset p : n vahesrrot tulevat otetuks automaattsest huomoon hejastuskertomssa, katso (..) ja sen tulknta svulla 57. Käytetään sätelle kompleksestystä. uleva säe on Ee 0 w t ja peräkkäsä hejastuneta sätetä kuvaavks estyksks saaaan kuvasta: E = ( re ) e wt 0 E = ( tt' r' E ) e wt 0 ( - ) E = ( tt' r' E ) e wt 3 ( ) 3 0 - E = ( tt' r' E ) e wt 5 ( 3 ) 4 0 - ja nn eelleen. Nästä voaan päätellä, että N : s hejastunut säe on muotoa (N-3) [ ( ) E = ( tt' r' E ) e wt- N- ] N ämä estys on vomassa kaklle mulle sätelle pats ():lle, joka e tatu toseen välaneeseen ollenkaan. Aaltojen superpostoks saaaan R t (N-3) [ t ( N ) ] å N 0 ttr ' ' Ee 0 w - - N= N= E = E = ree w 0 +å. Järjestelemällä ( 4) ( ) 0 w é t - ' ' ER E e r tt r e r' N - - e N - ù = ê + å. N= arkastellaan hakasulussa olevaa summaa (N-4) -( N-) ( -) - ( N-) å å N= N= kun merktään N ( ' ) ( ) r' e = r e N- =å x, N=
Sten on 59 x r' e - =. N- å x 3 = + x+ x + x +..., mssä N= x = r' <. Kysymyksessä on suppeneva geometrnen sarja, jonka summa on S = =. -x -r' e - Superpostoks saamme sten - wtæ ttre ' ' ö ER= E0e ç r+ - -r' e è ø. Käyttäen hyväks Stokesn relaatota tt' = - r ja r' =- r tulee - (-r ) re - re wté ù ER= E0e êr- - - - wtér( -r e ) -( -r ) re ù = Ee 0 ê - -re 3 - - 3 - - wtér-re - re + re ù wtér( -e = Ee 0 ê - -re = Ee 0 ê - -re. ämän aallon ampltu on - ér( -e E0 ê - -re, ja rraanss I R on verrannollnen sen nelöön. Nyt ampltu on kompleksnen, joten sen nelö on E é -e ùé -e ù -re -re - é -e - e + ù é ( -cos ) ù = Er 0 ê - 4 -re - re + r = Er 0 ê 4 + r -r cos. - * R = EE R R = Er 0 ê - ê - Vmesessä vaheessa käytetään entteettä cos = ( e + e ). ulevan säteen rraansslle pätee I µ E 0, joten saamme
I R 60 é r (-cos ) ù = ê I 4 + r -r cos, (.3.) mkä on ss hejastuneen säteen muoostaman resultanttaallon rraanss. Vastaavalla tavalla voaan johtaa läpmenneen valon rraansslle I lauseke é (-r I = ê I 4 + r -r cos. (.3.3) ämä tulos saaaan myös energan sälymslasta I R + I = I. ässä on oletettu, että kalvo e absorbo energaa. Mnmhejastus Hejastuneen säteen rraanss (.3.) on mnmssään ( I mn R = 0), kun cos =, ts. sllon kun yhtä eestakasta matkaa vastaava vahe-ero (.3.) on p :n monkerta, ss = mp. ästä saaaan vastaavalle optselle matkaerolle ehto l D= ntcosqt = = ml. p ällön läp menneen valon rraanss on maksmssaan, el max mn I = I - I = I. R Hejastuva sätetä esttävstä lausekkesta (kuva s. 57) voaan päätellä, että säteet (), (3), (4),... ovat samassa vaheessa keskenään, mutta vastakkasessa vaheessa säteeseen () verrattuna. mn Koska I R = 0, täytyy käyä nn, että säteen (), (3),... summa kumoaa täysn säteen (). osaalta pelkästään säteen () ja () huomoon ottamnen antaa suhteellsen hyvän tuloksen. ällasta mallahan käytmme ohuen kalvon ntererensstarkastelussa svulla 38. Säteen () ja () ampltuen suhe on
E E 6 ttre ' ' = = - r, re 0 0 0 0 mkä on lähellä ykköstä kun r on pen. Kahen aneen rajapnnassa aneesta (n ) aneeseen (n ) kohtsuorast pntaan tulevalle säteelle r voaan laskea kaavasta (e joheta) r æn -nö = ç n + n è ø. (.3.4) Ilma-las rajapnnalle (lasn n =.5) saaaan r = 0.04. Ss kaks ensmmästä ampltua kumoavat tosensa 96 prosenttsest. Maksmhejastus Läp menneen valon mnm-rraanss saaaan (.3.3):sta asettamalla cos =-. ulee mn æ- r ö I = ç I + r, è ø jota vastaa maksmhejastus 4r max IR = I. ( + r) Optnen matkaero yhessä eestakasessa matkassa lasketaan tässä tapauksessa vahe-eron = ( m + )p kautta muotoon D = n cos q = ( m+ ) l. t ------------------------------------------------- Esmerkk: Stokesn relaatot Valo tulee lmassa (n =,00) olevan laslevyn ( n =,50) pntaan kohtsuoraan. a) Laske ensmmäsen () hejastuneen säteen rraanss suhteessa tulevan säteen rraanssn. b) Laske tosen (), kolmannen (3) ja neljännen (4) hejastuneen säteen rraansst suhteessa ensmmäsen () hejastuneen säteen rraanssn t
6 Ratkasu: Lasketaan ensn ampltun hejastuskerron (.3.4):stä: r æn -nö æ0,50 ö = ç = = 0,040 = r' n + n ç,50 è ø è ø a). hejastunut säe (suhteessa I 0 :aan) I E re 0 0 = = = r = 0.040, ss I = 0,040I0 I0 E0 E0 b). hejastunut säe (suhteessa I :een) I E0 tt' r' E0 (-r )(-r) = = = = ( - r ) = 0.96 I E0 re0 r ss I = 0.96I 3. hejastunut säe (suhteessa I :een) 3 3 I3 E03 tt' r' E0 (-r )(-r ) 4 = = = = r ( - r ) = 0.005 I E0 re0 r ss I 3 = 0.005I 4. hejastunut säe (suhteessa I :een) 5 I4 E04 (-r )(-r ) 8 = = = r ( - r ) = 0.00000 I E0 r ss I 4 = 0.00000I ------------------------------------------------- Esmerkk: Hejastamaton pnnote Ohuen kalvon (n =,70) paksuus on 0,30 µm. Mllä näkyvän alueen aallonptuukslla kalvo e hejasta ollenkaan. Valo tulee kalvoon kohtsuoraan. Ratkasu: r (-cos ) IR = I 0 4 =, kun cos = el = m p. + r -r cos Ss lasketaan: p p = ntcosqt = nt = m p l l
63 ässä cosq t =, koska valo tulee kohtsuorast, jollon q t = 0. Eelleen nt,70 300nm 00 l= = = nm m m m ja haetaan ne m:n arvot, jotka antavat aallonptuuen näkyvälle alueelle (400-700 nm): m l /nm 00 IR 50 näkyvällä (ss tämä on vastaus) 3 340 UV ------------------------------------------------- Esmerkk: Laske hejastunut ( IR/ I ) ja läp mennyt ( I / I ) rraanss eellsen kalvon tapauksessa, kun aallonptuus on 500 nm. Ratkasu: p æ4,70 300nm ö = nt = ç p = 4,080p l è 500nm ø cos = 0,96858 (0,3 µm = 300 nm) æn - ö r = = 0,0675 ç n + è ø IR r ( -cos ) 0,00438 = = = 0,004830» 0,5% 4 I + r -r cos 0,8743 I ( -r ) 0,87008 = = = 0,9957» 99,5% 4 I + r -r cos 0,8743 -------------------------------------------------
64.4 FABRY-PERO-INERFEROMERI Fabry-Perot-ntererometrssä havataan ntererenssrenkata, jotka syntyvät monnkertasssa hejastuksssa kahen yhensuuntasen, tasomasen laslevyn välssä. Koejärjestely on seuraava: Kahen paralleeln laslevyn väl muoostaa t-paksusen "kalvon", jossa säe lkkuu eestakasn. Monnkertaset hejastumset tapahtuvat laslevyjen ssäpnnolta, jotka on hottu ertysen tasasks ja joskus myös hopeotu hejastuskertomen suurentamseks. Intererensskuvo muoostuu samankesksstä ympyröstä (vertaa ympyräkuvon syntymstä Mchelsonn ntererometrssä). Fabry-Perot'n ntererometrn ympyräkuvon krkkaat juovat (maksm-ntensteett) ovat ertysen terävä, josta syystä late soveltuu hyvn (paremmn kun Mchelsonn) aallonptuuserojen mttaamseen. Kalvon paksuus t on ntererometrn tärken parametr. Fabry- Perot'n ntererometrssä tosta laslevyä voaan srtää ja nän säätää paksuutta t. Jos väl on knteä, puhutaan Fabry-Perot'n etalonsta.
65 arkastellaan tlannetta rengaskuvon keskpsteessä: q = q' = q t = 0 D = nt cos q' = nt p = nt = yhestä eestakasesta matkasta syntyvä vahe-ero l Irraanss vahtelee kalvon paksuuen t muuttuessa :n unktona Fabry-Perot-ntererometrn ntererenssrenkaen rraanssn vahtelu vahe- ta matkaeron unktona (ss t:n muuttuessa) on nmeltään rengasprol (rnge prole). Renkaen terävyys on luonnollsest merkttävä tekjä nstrumentn erotuskyvyn kannalta, ts. lähellä tosaan olevan kahen aallonptuuen erottamsessa. Ary'n unkto Faby-Perot-ntererometrn läp menevän valon rraanss on yhtälön (.3.3) mukaan Sjotetaan tähän nyt jollon I I é (-r = ê I 4 + r -r cos. cos sn ( / ) = -, é (-r = ê I 4 + r - r + 4r sn ( / ). é (-r = ê I ( - r ) + 4r sn ( / ).
66 Nyt voaan määrtellä rraanssn läpäsykerron el ns. transmttanss (transmttance). ransmttanss Fabry-Perot-ntererometrssä on ns. Ary'n unkto, joka on ss I = =. I + [4 r /( - r ) ]sn ( / ) Kun velä määrtellään ns. nesse-kerron F : 4r F =, (.4.) (- r ) Ary'n kaava saaaan kompaktn muotoon = + F sn ( / ). (.4.) Fnesse-kerron F on hyvn herkkä hejastuskertomen r unkto sllä, kun r :0 nn F :0. Rengasproln kontrast (määrtelmä 0..9) V I = I max max rppuu prmäärsest hejastuskertomesta r ja sten myös Fnessekertomesta F seuraavast: -I + I mn mn - - /( + F) F V max mn = = = = max + mn + /( + F ) + F + / F ässä on ss laskettu (.4.):sta:, (.4.3) = max =, kun sn( / ) = 0, el = m p = mn = /( + F), kun sn( / ) =±, el = ( m + ) p Nässä m on kokonasluku. Voaan toeta vahteluvält: r : 0 F : 0 V : 0
67 Rengasproln muoto, el transmttanssn (.4.) muoto :n unktona, rppuu sten enssjasest hejastuskertomen r arvosta: Kuvan käyrät vastaavat ss esmerkks ntererensskuvon keskkohassa (myös muualla) havattavaa rraanssa levyjen etäsyyen t muuttuessa. Kuvassa vaaka-aksel on t:stä tuleva vahe-ero. Rengasprolssa ana max =, kun = mp ja mn = /( + F), kun = (m + ) p. Huomataan myös, että mn e ole koskaan nolla, vakkakn lähestyy stä kun r. Velä tärkeä huomo on se, että rengasprol terävötyy maksmen kohalla stä terävämmäks mtä suuremp r on. Maksmen puolarvoleveys Rengasproln maksmen terävyyttä kuvataan ns. puolarvoleveyellä, joka on määrtelty veresessä kuvassa. Lasketaan seuraavaks puolarvoleveys, ts. mllä vahe-erolla c rengasproln arvo putoaa puoleen.
68 Verenen kuva esttää mten maksmt syntyvät vahe-erolla m p ja arvo on puonnut puoleen, kun vahe-ero tästä on kasvanut arvoon m p + c. Rengasproln (.4.) voaan ss krjottaa = = max = + Fsn [( m p + )/] Þ Fsn [( m p + c )/] = Þ sn[( m p + )/ ] =± / Sovelletaan sn-unktoon tässä entteettä jollon ja ss c sn( a + b) = snacos b + cosasn b, sn[( m p + ) / ] = sn[( mp + / ] =± sn( / ) c c c c sn( /) =± / c Maksmt sääetään ana mahollsmman terävks, jollon c on pen ja pätee c»±. (.4.4) F ästä myös nähään, että kun r rasvaa, nn F kasvaa ja maksmt terävötyvät. Erotuskyky Jos Fabry-Perot-ntererometrn tuleva valo koostuu kahesta aallonptuuesta, l ja l ', nn ntererensskuvo (myös rengasprol) muoostuu kahesta rengassysteemstä. Erotuskyky mttaa mten lähellä tosaan oleven aalonptuuksen rengasprolt voaan velä erottaa tosstaan. Mtä terävämpä maksmt ovat stä paremmn lähellä tosaan olevat rengasprolt voaan erottaa. F F