11.1 MICHELSONIN INTERFEROMETRI

Transkriptio

1 47 11 INTERFEROMETRIA Edellisessä kappaleessa tarkastelimme interferenssiä. Instrumentti, joka on suunniteltu interferenssikuvion muodostamiseen ja sen tutkimiseen (mittaamiseen) on ns. interferometri. Interferenssikuvion aikaansaaminen vaatii koherentin sädeparin, joka saadaan jakamalla yhdestä lähteestä tuleva valo kahteen, mielellään yhtäsuureen osaan. Jakaminen voidaan tehdä kahdella eri tavalla. Jaetaan aaltorintama (Youngin koe, Lloydin peili, Fresnelin kaksoisprisma) tai jaetaan amplitudi (säteenjakaja, ohut kalvo). Edellisen perusteella myös interferometrit jaetaan karkeasti kahteen luokkaan: aaltorintaman jakavat interferometrit ja amplitudin jakavat interferometrit MICHELSONIN INTERFEROMETRI Michelsonin interferometri (kehitti Albert Michelson vuonna 1881) on vaikuttanut hyvin paljon modernin fysiikan kehittymiseen. Michelson (ja Morley) osoittivat sen avulla, että eetteriä ei voi olla olemassa ja vaikuttivat siten suhteellisuusteorian kehittymiseen. Michelsonin interferometrillä on myös ensimmäisenä mitattu vuorovesi-ilmiötä ja laitteen avulla metrin standardi on aikoinaan voitu liittää valon aallonpituuteen. Michelsonin interferometrissä valo jaetaan kahteen osaan käyttäen hyväksi osittaista heijastumista (säteenjakajaa); kyseessä on siis amplitudin jakava interferometri. Lähteestä S lähtevä säde jaetaan säteenjakajalla (BS) kahteen osaan, säteeksi (1) ja säteeksi (). Säteenjakaja on lasilevy, jonka etupinnalle on höyrystetty puoliläpäisevä metalli- tai eristekalvo.

2 48 Jakamisessa säteille (1) ja () pyritään saamaan mahdollisimman sama amplitudi. Säde () käy peilissä M ja säde (1) peilissä M1. Molemmat palaavat samaa reittiä takaisin säteenjakajalle, jossa ne yhtyvät ja saapuvat varjostimelle interferoiden. Säteen () reitille on lisäksi asetettu ns. kompensaatiolevy, joka on muodoltaan täsmälleen säteenjakajan kaltainen (säteenjako-ominaisuutta lukuunottamatta). Levyn tarkoitus on saattaa säteiden () ja (1) reitit täsmälleen identtisiksi. Molemmat säteet kulkevat nyt yhtä pitkät matkat lasimateriaalissa. Peilit M1 ja M on varustettu mikrometriruuveilla, joilla ne voidaan säätää täsmälleen kohtisuoriksi toisiaan vastaa. Lisäksi toista peiliä voidaan siirtää säteen suunnassa niin että säteiden matka-ero voidaan säätää halutuksi.

3 49 Edellä kuvatulla interferometrillä on kaksi kohtisuorassa toisiaan vastaan olevaa optista akselia. Yksinkertaisempi, mutta täysin vastaava analoginen yhden optisen akselin systeemi saadaan poistamalla säteenjakaja ja kiertämällä pystysuoraa optista akselia 90 myötäpäivään (kuva): Analoginen systeemi on siten ohut kalvo (kappale 10.4), jossa kalvon paksuus t= d on nyt peilien välinen etäisyysero säteenjakajasta, kalvon taitekerroin on ilman taitekerroin n f = 1 ja taitekulma kalvon sisälle on q t = q. Optiseksi matkaeroksi (10.4.1) säteille (1) ja () saadaan näin D = n tcosq = dcosq. (11.1.1) f t Kun säde on optisen akselin suuntainen ( q = 0), optiseksi matkaeroksi tulee d. Tämä tulos on selvä kuvan perusteella. Optista matkaeroa vastaavaksi vaihe-eroksi tulee p d = kd+ dr = dcosq + p, (11.1.) l missä heijastuksista tuleva vaihesiirto on dr = p, koska säde (1) kokee p :n vaihesiirron yhden kerran, kun taas säde () kokee sen kaksi kertaa (ks. kuva edellisellä sivulla). Varjostimelle syntyy ympyräsymmetrinen interferenssikuvio:

4 50 jonka irradianssijakauma saadaan nyt vaihe-eron (11.1.) avulla esitettyä kulma q funktiona muodossa I = I + I + I I cosd = I (1 + cos d) Tästä esimerkiksi destruktiiviselle interferenssille eli tummille renkaille saadaan, kirjoittamalla d = ( m+ ) p, 1 ensin josta lopulta p dcos q p ( m ) p 1 l + = +, dcosq = ml, m = kok. luku. (11.1.3) Miten kokonaisluku m juoksee rengaskuviossa? Lasketaan: d m = cos q l ja kuvion keskellä q = 0 eli cosq = 1, josta seuraa m= d/ l. Tässä m on hyvin suuri luku, koska d voi olla jopa useita metrejä. Ulospäin siirryttäessä q kasvaa, cosq pienenee ja siten m pienenee. Edellisestä voidaan päätellä myös seuraavaa. Kun peilien välistä etäisyyttä d kasvatetaan hieman siir-

5 51 tämällä toista peiliä, m:n maksimiarvo keskellä kasvaa. Jos se esimerkiksi kasvaa yhdellä, niin keskipisteenä oleva tumma piste laajenee ensimmäiseksi tummaksi renkaaksi keskipisteen ympärille ja keskelle syntyy uusi tumma piste vastaten uutta m:n maksimiarvoa. Kun peiliä siirretään jatkuvasti, niin interferenssikuvion keskeltä syntyy uusia tummia renkaita, jotka kasvavat keskipisteestä ulospäin. Vastaavasti, jos peilien välistä etäisyyttä pienennetään, tummat renkaat supistuvat kohti keskipistettä, jonne ne lopulta häviävät. Kuvassa alla on vielä esitetty todellinen Michelsonin interferometrin interferenssikuvio: PITUUSMITTAUKSET Michelsonin interferometrillä voidaan mitata pituuksia aallonpituuksina. Tarkastellaan interferenssikuvion keskipistettä, jossa q = 0 ja cosq = 1. Olkoon siinä aluksi, kun peilien välimatka on d 1, tumma piste: d1 = ml 1. Sitten peiliä M siirretään siten, että peilien välimatkaksi tulee d. Jos keskellä on taas tumma piste, on d = m l.

6 Siten siirrytty matka d- d1 on 5 d - d1 = ( m - m1) l. Kun peilin siirron aikana lasketaan tummien juovien muutos keskipisteessä, siirtymä saadaan aallonpituuden puolikkaan tarkkuudella. Historiallisesti tärkeä mittaus oli Michelsonin vuonna 1893 suorittama metrin prototyypin mittaus Cd:n punaisen spektriviivan aallonpituuksina Esimerkki: Michelsonin interferometrin toista peiliä siirretään 0,0730 mm, jolloin havaitaan 300:n renkaan muutos kuvion keskellä. Laske käytetyn valon aallonpituus. Ratkaisu: Kuvion keskellä d = ml, josta D d =D ml eli -3 D d 0, m -9 l = = = 486,67 10 m» 487 nm Dm Esimerkki: Michelsonin interferometrissä molempia peilejä pidetään paikoillaan, mutta toisen säteen reitille asetetaan lasilevy, jonka paksuus on 0,0050 mm ja taitekerroin 1,51. Monenko renkaan muutos havaitaan, kun käytetyn valon aallonpituus on 63,8 nm. Ratkaisu: Vaikka nyt peili ei liiku, d muuttuu, koska optinen matkaero muuttuu: D d = nt- t, missä t on matka lasilevyn kohdalla ilman lasilevyä nt on optinen matka lasilevyn kohdalla

7 53 Lasketaan D d =D ml, josta -3 Dd tn ( - 1) 0, m (1,51-1) D m= = = -9 l l 63,8 10 m = 8,059» 8 rengasta AALLONPITUUSEROJEN MITTAUS Michelsonin interferometriin ohjataan valoa, joka sisältää kahta toisiaan lähellä olevaa aallonpituutta l ja l ' (siis l' ¹ l, mutta l'» l), joiden aallonpituusero D l = l' - l pitäisi määrittää. Molemmat aallonpituudet muodostavat oman rengaskuvionsa. Kuviot ovat päällekkäin ja sekoittavat toisiaan jonkin verran. Rengaskuvion keskialueella q» 0, eli cosq» 1, ja pätee d = ml ja myös d = m' l', koska molemmilla on tietysti sama d. Kun toista peiliä siirretään varovasti, käy seuraavasti: 1. Lähtötilanne: kuviot ovat päällekkäin ja interferenssikuvio näkyy terävänä: m1 = m' 1+ N, N kok. luku Þ d1 d1 N l = l' + (*). Siirrossa kuviot kasvavat hieman "eri tahtiin" ja kuviosta tulee epäselvä. 3. Seuraavan terävän kuvion ilmestyessä pätee m = m' + ( N + 1) Þ d d ( N 1) l = l' + + (**)

8 54 Kun lasketaan erotus (**)-(*), tulee Dd Dd = + 1, l l' missä D d = d - d1 on peilin siirtymä terävästä kuviosta seuraavaan terävään. Tästä ratkaistaan aallonpituusero esimerkiksi laskemalla æ 1 1 ö æ ' ' d 1 d l - l ö D ç - = Þ D ç = 1 Þ l' - l = ll. èl l ' ø è ll ' ø Dd Tässä voidaan hyvin approksimoida ll'» l, koska l'» l. Tulee l D l =. D d Esimerkki: Natriumin keltaisen dubletin aallonpituudet ovat 589,0 nm ja 589,6 nm. Valo ohjataan Michelsonin interferometriin ja toista peiliä siirretään hitaasti eteenpäin. Kuinka pitkin peilin välimatkoin interferenssikuvion keskialueella havaitaan kontrastin maksimi. Ratkaisu: Kontrasti on maksimissa, kun molempien kuvioiden tummat (ja samalla kirkkaat) renkaat ovat päällekkäin. Ehto on sama kuin aallonpituuseron mittauksessa edellä. Siis maksimi kontrasti saadaan välein: l (589,3 nm) D d = = = nm» 89 μm. D l 0,6 nm Tässä aallonpituutena käytettiin dubletin keskiarvoa. Yhtä hyvin voitaisiin käyttää jompaa kumpaa dubletin arvoista. Annetulla tarkkuudella tulos on aina sama

9 55 Lisäkommentti: Edellisissä esimerkeissä interferometrin peilit oli säädetty täsmälleen toisiaan vastaan kohtisuoraan ja interferenssikuvio oli ympyrämäinen. Jos toista peiliä kallistetaan hieman, tilanne sivun 49 kuvassa vastaa kiilamaista rakoa. Interferenssikuvio muodostuu suorista tasavälisista interferenssijuovista, kuten esimerkissä sivulla 4. Vieressä interferometrin peiliä on kallistettu ja toisen säteen tielle on asetettu kynttilän liekki. Lämpö muuttaa ilman taitekerrointa ja suorat interferenssijuovat vääristyvät muuttuvan optisen matkan seurauksena. 11. STOKESIN RELAATIOT Stokesin relaatiot liittyvät heijastuksissa ja taittumisissa tapahtuviin tasoaaltorintaman amplitudin muutoksiin. Määritellään heijastus- ja läpäisykertoimet seuraavasti: E 0i = pintaan tulevan aallon amplitudi E 0r = heijastuneen aallon amplitudi E = taittuneen aallon amplitudi 0t Amplitudin - heijastuskerroin: r = E0r/ E0 - läpäisykerroin: t= E0t/ E0i i Samanlaiset kertoimet voidaan määritellä myös, jos säde tulee väliaineesta (taitekerroin n ). Erotetaan ne edellä esitetyistä pilkuilla, siis ne ovat r ' ja t '.

10 56 Valon kulku on käänteistä, joten myös seuraavan vasemman puoleisen kuvan täytyy toteutua. Toisaalta, vasemmassa kuvassa rajapintaan tulee kaksi sädettä, joista molemmat taittuvat ja heijastuvat. Läpäisy- ja heijastuskerrointen t ' ja r ' avulla voidaan johtaa oikean puoleinen kuva. Kuvien täytyy olla fysikaalisesti ekvivalentteja, joten E = ( r + tt') E, 0i 0i 0 = ( rt ' + tre ) 0i, joista tulee r + tt ' = 1 ja r' + r = 0. Lopulta saadaan ns. Stokesin relaatiot: tt' = 1- r, (11..1) r =- r'. (11..) Amplitudin muutoksia heijastumisessa ja taittumisessa on kätevää tarkastella valitsemalla aallon esitysmuodoksi kompleksiesitys i( t 0 ) E Ee w - kr = + j 0. Heijastuminen ja taittuminen tapahtuvat yhdessä pisteessä, joka kannattaa valita origoksi, ts. r = 0 ja lisäksi vaihevakiolla ei ole merkitystä näissä tarkasteluissa, joten valitaan j =. Heijastumis- ja taittumispisteessä aallon muoto on siis 0 0 ja voidaan kirjoittaa E = i t Ee w 0

11 57 i t Tuleva aalto: Ei = E0ie w i t Taittunut aalto: Et = te0ie w i( t r ) Heijastunut aalto: Er = re0ie w -d, missä d on mahdollinen p :n vaihesiirto heijastuksessa. r Stokesin relaation (11..) fysikaalinen tulkinta: ip r' =- r = (- 1) r = e r, joka tarkoittaa, että jos valon tullessa "ylhäältä", heijastuneessa valossa ei havaita p :n vaihesiirtoa, niin valon tullessa "alhaalta" havaitaan, ja päinvastoin MONISÄDEINTERFERENSSI OHUESSA TASAPAKSUSSA KALVOSSA Palataan interferenssiin ohuessa kalvossa käyttäen nyt edellä määriteltyjä heijastus- ja läpäisykertoimia r ja t. Tarkastellaan ensin kalvon yläpinnasta heijastuneita säteitä ja niiden superpositiota.