267 Rengasprofiilin muoto, eli transmittanssin (11.4.2) muoto d :n funktiona, riippuu siten ensisijaisesti heijastuskertoimen r arvosta:

Transkriptio

1 67 Rengasprofiiin muoto, ei transmittanssin (.4.) muoto d :n funktiona, riippuu siten ensisijaisesti heijastuskertoimen r arvosta: Kuvan käyrät vastaavat siis esimerkiksi interferenssikuvion keskikohdassa (myös muuaa) havaittavaa irradianssia evyjen etäisyyden t muuttuessa. Kuvassa vaaka-aksei on t:stä tueva vaihe-ero. Rengasprofiiissa aina Tmax =, kun d = mp ja Tmin = /( + F ), kun d = (m + )p. Huomataan myös, että Tmin ei oe koskaan noa, vaikkakin ähestyy sitä kun r. Vieä tärkeä huomio on se, että rengasprofiii terävöityy maksimien kohdaa sitä terävämmäksi mitä suurempi r on. Maksimien puoiarvoeveys Rengasprofiiin maksimien terävyyttä kuvataan ns. puoiarvoeveydeä, joka on määritety viereisessä kuvassa. Lasketaan seuraavaksi puoiarvoeveys, ts. miä vaihe-eroa d c rengasprofiiin arvo putoaa puoeen.

2 68 Viereinen kuva esittää miten maksimit syntyvät vaihe-eroa m p ja arvo on pudonnut puoeen, kun vaihe-ero tästä on kasvanut arvoon m p + d c. Rengasprofiiin (.4.) voidaan siis kirjoittaa = = T= T max + F sin [(m p + d c ) / ] Þ F sin [(m p + d c ) / ] = Þ sin[(m p + d c ) / ] = ±/ F Soveetaan sini-funktioon tässä identiteettiä jooin ja siis sin(a + ) = sin a cos + cos a sin, sin[( m p + d c ) / ] = sin[( mp + d c / ]) = ± sin(d c / ) sin(d c / ) = ±/ F Maksimit säädetään aina mahdoisimman teräviksi, jooin d c on pieni ja pätee dc» ±. (.4.4) F Tästä myös nähdään, että kun r rasvaa, niin F kasvaa ja maksimit terävöityvät. Erotuskyky Jos Fary-Perot-interferometriin tueva vao koostuu kahdesta aaonpituudesta, ja ', niin interferenssikuvio (myös rengasprofiii) muodostuu kahdesta rengassysteemistä. Erotuskyky mittaa miten äheä toisiaan oevien aaonpituuksien rengasprofiiit voidaan vieä erottaa toisistaan. Mitä terävämpiä maksimit ovat sitä paremmin äheä toisiaan oevat rengasprofiiit voidaan erottaa.

3 69 Erotusrajaksi on määritety maksimin puoiarvoeveys: ' Tarvittava juovien väinen etäisyys on siis 4 ( D d) min = d c =. (.4.5) F Tätä vaihe-eroa vastaava aaonpituusero saadaan seuraavasti: p d = D, missä D= nt f cos q' d d 4 =- p D Þ ( D ) min = ( D d) min = d pd pd F On siis ( D ) min = D p F Kaikki tämä tapahtuu transmissiomaksimin äheisyydessä, jossa p d = D» m p Þ =. D m Lopputuoksena saadaan ( D ) min =. (.4.6) mp F Tässä siis ( D ) min on pienin Fary-Perot-interferometriä erotettavissa oeva aaonpituusero.

4 70 Spektroskopioissa määriteään yeisesti erotuskyky R (resoving power) kaavaa R =, ( D ) min joka Fary-Perot-interferometrin tapauksessa saa muodon æp ö R= m ç F è ø, (.4.7) missä p F (.4.8) on ns. Finesse (huom. eri kuin finesse-kerroin) Mitä suurempi erotuskyky R sitä pienempiä aaonpituuseroja erotetaan. Miten erotuskyä voidaan kasvattaa? R kasvaa, kun: - F kasvaa, ts. r kasvaa (hopeapinnoitukset) - kertauku m kasvaa Kertauku m on suurin interferenssikuvion keskipisteessä. Tämä tarkoittaa sitä, että detektori kannattaa asettaa keskee interferenssikuviota rengasprofiiia mitattaessa. Keskeä kuviota ( q ' = 0) transmissiomaksimin ( d = m p ) kertauku saadaan kun asketaan: p p d = nf t m p D= = Þ n t f = m Þ nt m= f. Siis mitä suurempi on evyjen väimatka t sitä suurempi on m ja vastaavasti R.

5 Esimerkki: Ohessa eräää Fary-Perot-interferometriä mitattu rengasprofiii vaihe-eron d (round-trip phase difference) funktiona. Arvioi kuvan perusteea finesse-kerroin F ja siitä edeeen peiien heijastuskerroin r. Ratkaisu: Finesse-kerroin F saadaan esimerkiksi rengasprofiiin kontrastista yhtäön (.4.3) avua. Kontrastia varten uetaan kuvaajasta transmissiominimie Tmin = 0.05, joten T -T V = max min = = = 9, josta F = Tmax + Tmin / F / V - Finesse-kerroin saadaan myös yhtäön (.4.4) avua puoiarvoeveydestä d c = d/» 0.46 = / F. Tästä F = 8.9» 9. Heijastuskerroin asketaan määritemästä (.4.) 4r F= F r F r Þ ( ) ( + 4) +F =0 ( - r ) Þ r = ( + / F ) ± ( / F ) F + = ja r»

6 Esimerkki: Fary-Perot-interferometrin evyjen heijastuskerroin on r = 0,990. Laitteea tutkitaan vedyn Hα viivaa ( = 656,3 nm), jossa on kaksi komponenttia aaonpituuseroa 0,036 nm. a) Laske tarvittava erotuskyky, kun komponentit hautaan erottaa toisistaan. ) Laske se evyjen väimatka, joka tuottaa tarvittavan erotuskyvyn. Ratkaisu: a) erotuskyky 656,3 nm R= = = 4857, 4» (D ) min 0,036 nm ) evyjen väimatka: ratkaistaan ensin kertauku m erotuskyvyn (.4.7) ausekkeesta, jossa finesse-kerroin F voidaan askea heijastuskertoimen r avua määritemää (.4.) käyttäen. Lopuksi sitten peiien väimatka saadaan ausekkeesta m = n f t /. Siis 4r F= = ( - r ) æö R æp ö = 308,768» 309 R = ç m F Þ m = ç p è ø F è ø m 309 0,6563 μm t= =» 0 μm n f, Kommentti: Hyviä Fary-Perot-interferometreiä R on uokkaa kymmeniä mijoonia (esim. 07 ).

7 73 DIFFRAKTIO Optisea aueea vaon aaonpituus on hyvin yhyt ( : 0-5 cm). Vaoa voidaan hyvin kuvata geometrisen optiikan approksimaatioa ( 0 ), jossa siis vaoenergia etenee säteinä tai aatorintamina. Homogeenisessa ja isotrooppisessa väiaineessa säteet etenevät suoraviivaisesti ja esimerkiksi vaon tiee asetettu esine muodostaa terävän varjon. Diffraktioa tarkoitetaan vaon kuun poikkeamista geometrisen optiikan ennustamata reititä. Diffraktio on siis seurausta vaon aatouonteesta. Sitä esiintyy erityisesti tianteissa, joissa vao kukee ähetä esineiden reunoja tai suuri joukko säteitä kohtaa toisensa. Pisteähde varjostin terävä reuna geometrinen varjo Viereisen kuvan kokeessa diffraktio imenee vaon taipumisena geometrisen varjon aueee. Varjon reuna ei oe enää terävä ja varjossa nähdään kirkkaita ja tummia juovia. Diffraktion tutkimisessa on tapana erottaa kaksi eri tapausta: Fraunhoferin diffraktio ja Fresnein diffraktio. Fraunhoferin diffraktiossa vaoähde ja varjostin ovat kaukana diffraktion aiheuttamasta esineestä (reunasta, aukosta...), jooin aatorintamia voidaan käsiteä tasoaatoina. Puhutaan myös kaukaisen kentän diffraktiosta. Fresnein diffraktiossa aatorintamien kaareutuminen on otettava huomioon ja puhutaankin ähikentän diffraktiosta.

8 74. FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO KAPEASSA RAOSSA Lasketaan Fraunhoferin diffraktiokuvio, jonka aiheuttaa yksi suorakumion muotoinen kapea rako (pituus >> eveys). Vaonähde on kaukana, joten rakoon tuevat aatorintamat ovat tasoaatoja. Käytännössä tianne saavutetaan asettamaa vaoähde positiivisen inssin pottopisteeseen (kuva). Raon eveys on. Huygensin periaatteen mukaan aatorintaman saavuttaessa raon tason, jokainen raon piste toimii paoaatorintaman keskuksena. Näiden uusien aatojen resutantti pisteessä P asketaan superpositioperiaatteen mukaisesti. Pisteessä P yhteenaskettavat aaot eivät oe samassa vaiheessa, koska niiden väie syntyy (optinen) matkaero D. Lasku etenee näin: Jaetaan rako ds :n suuruisiin akioihin ja asketaan kunkin akion tuottama aato pisteeseen P. Lopuksi asketaan kokonaisvaikutus integroimaa yi raon. Rakoeementistä ds ähtevä paoaato pisteessä P on

9 75 æ de ö (..) dep = ç 0 ei ( kr -w t ), r è ø missä de0 on ampitudi (yksikköetäisyydeä) ja r optinen matka rakoeementistä ds pisteeseen P (ks. kuva) Paoaaosta: Yeisesti paoaaossa "aato-osa" (esim. ei ( kr -w t ) ) on kuten tasoaaossa, mutta ampitudi ei oe vakio vaan pienenee kääntäen verrannoisena etäisyyteen Pisteen P etäisyys raon keskipisteestä on r0, joten kuvan mukaisesti r = r0 + D = r0 + s sin q. Kun tämä sijoitetaan (..):een, tuee æ de0 ö i[ k ( r0 +D ) -w t ] æ de0 ö i[ k ( r0 +D ) -w t ] dep = ç.»ç e e r r + D è 0 ø è 0 ø Approksimaatio voidaan tehdä, koska D = r0. On huomattava, että vastaavaa approksimaatiota ei saa tehdä vaiheessa. Hyvin pienetkin vaiheen muutokset (ae aaonpituuden) saavat aikaan suuria muutoksia opputuoksessa. Rakoeementistä ds ähtevän säteiyn ampitudi riippuu tietysti akion suuruudesta (eveydestä ds ), ts.

10 de 76 = E ds, 0 L missä E L on raon ampitudi eveysyksikköä kohti. Fraunhoferin diffraktion tapauksessa rakoa vaaistaan tasaisesti, joten E L on vakio yi koko raon. Rakoeementin aiheuttamaksi aaoksi pisteessä P tuee siis æ ELds ö i( kr0 + kssin q-wt ) dep = ç e r è 0 ø ja koko raon tuottama aato saadaan integroimaa raon eveyden yi + / æel ö ikssin q i( kr0 -wt) EP =ç e ds e r ò. (..) è 0 -/ ø Lasketaan: + / ò - / e iks sinq ds ik sinq ik sinq + / iks sinq ik( / )sin q -ik( / )sinq = é ëe ù û = ( e -e ) - / = sin[ k ( / )sin q] sin[ k ( / )sin q] ksinq = = k ( / )sinq sinc( ), missä on käytetty merkintää sin sin k p = q = q. (..3) Kokonaisaato pisteessä P on siis E P E sin e r L i( kr0 -wt) =, jonka ampitudi (merkitään sitä ER : ä) on Irradianssiksi tuee I E R 0 = EL sin r. 0 e 0 c 0 L sin E e c æ E ö R r0 = = ç è ø,

11 josta edeeen 77 I I = 0sinc, (..4) missä vakiotekijät on koottu kertoimeksi I 0. Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvio on siis sinc-funktion neiö. Kuvassa diffraktiokuvio (katkoviiva) on piirretty : n funktiona. Kuvion keskeä on päämaksimi, siä sinc, kun 0 (siis kuma q 0) ja I = I0. Kuvion muut ääriarvot öydetään esimerkiksi askemaa d æsin ö æsin öæcos -sin ö 0 d ç = ç = ç è ø è øè ø Minimit öydetään ensimmäisestä tekijästä (tai suoraan..4:stä) sin : n noakohdista (kunhan ¹ 0). Minimeie pätee siis = sin k q = mp, missä m =±, ±, K Sivumaksimien paikat saadaan jäkimmäisestä tekijästä cos - sin = 0 Þ tan =. Tämän transkendenttiyhtäön ratkaisut ovat äheä minimien puoiväejä, ts arvoja = ( m + ) p. Seuraavassa tauukossa on esitetty tarkat ratkaisut ja ym. approksimaatioa asketut:

12 78 = (tark):.43p,.46p, 3.47p,... = (appr):.50p,.50p, 3.50p,... Mieivataisen tarkkoja ratkaisuja on heppo askea tavaisea askimea (opettee). Tauukosta havaitaan, että approksimaatio on sitä tarkempi mitä kaukaisemmasta sivumaksimista on kysymys. Ensimmäisen sivumaksimin ja päämaksimin irradianssien suhde yhtäön (..4) perusteea on: I I =.43p = 0 sin (.43 p) /(.43 p) = = 0,047. Ensimmäisen sivumaksimin irradinssi on siis vain noin 4.7% päämaksimin irradinssista. Kuvissa aa on esitetty diffraktiokuvion muodostuminen varjostimee, jonka etäisyys raosta on L (? ja? y ):

13 79 Varjostimea kohdassa y: q = y/l p p y = k sin q» q = L æ sin ö I = I0 ç è ø Aa vieä mitä todeinen kuvio näyttää: Esimerkki: Fraunhoferin kapean raon diffraktiokokeessa raon eveys on 5. Laske a) päämaksimin kumaeveys, ts. raon keskipisteestä katsottuna kuma-aukeama päämaksimin viereisiin. minimeihin, ) päämaksimin puoiarvoeveys (FWHM = Fu Width at Haf Maximum). Ratkaisu: a) ensimmäiset minimit = ±p (ks.sivu 77). On siis p p k sin q» q = (5 )q = 5pq = ±p Þ q = ±/ 5 = ±0,0 rad Päämaksimin kumaeveys on siten Dq = 0,40 rad

14 ) Puoiarvokohdassa (ks. kuva) 80 æsin ö / I = I0ç I0 = è / ø sin/ Þ = / Þsin/ - / = 0. Ratkaistaan numeerisesti iteroimaa askimea:. arvaus kuvasta / = p / =,57 / sin / / (5 ) / 5 / k p p = q» q q pq = = Þ /,39 q = / 0,0885 5p = 5p = rad ja oputa siis puoiarvoeveys on q /» 0,8rad Puoiarvoeveys (0,8 rad) on siis hieman vähemmän kuin puoet koko eveydestä (0,40/ = 0,0 rad)