2 paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista

Transkriptio

1 33 Esimerkki: Youngin kokeessa rakojen välimatka on 0, mm ja varjostin on m:n etäisyydellä. Valon aallonpituus on 658 nm. a) Missä kulmassa rakojen keskeltä katsottuna näkyy keskimaksimin viereinen minimi? b) Laske minimin etäisyys keskimaksimista. c) Kirjoita lauseke interferenssikuvion irradianssille, kun osaaaltojen irradianssien suhde on valittu siten, että kuvion kontrasti on 0,8 (ks. esimerkki sivulla 8). Ratkaisu: Irradianssi varjostimella: I= I+ I+ II cosd a) Maksimit, kun cosd = eli d = m p Keskimaksimi, kun m = 0 eli d = 0 Minimit, kun cosd =- eli d = ( m + ) p. minimi, kun m = 0 eli d = p b) Koejärjestelyn geometriasta saadaan optinen matkaero D» asinq» aq, josta edelleen vaihe-ero d = kd= paq / l. Asetetaan nyt tämä vaihe-ero vastaamaan. minimin vaihe-eroa paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista -9 l m q = = = 0,00645 rad»,65 mrad -3 a 0, 0 m y = qs= 0,00645 m =,645 0 m»,65 mm (min) -3 I = 4I (sivu 80), joten I = 5I + 4Icosd, missä -3 p p ay p 0, 0 m d = kd= aq = = y -9 l l L m m æ ö = ç 90 y è m ø c)

2 INTERFERENSSI VIRTUAALISILLA LÄHTEILLÄ Youngin kokeessa interferenssikuvio syntyi kahdesta konkreettisesta (oikeasta) lähteestä, S ja S, tulevien säteiden interferoidessa. On myös mahdollista, peilien tai prismojen avulla, luoda koejärjestely, jossa lähteet S ja S ovat eri paikoissa olevia yhden lähteen S kuvia (virtuaalisia lähteitä). Näin esimerkiksi varmistuu automaattisesti lähteiden keskinäinen koherenttisuus. Tarkastellaan muutamia esimerkkejä: Lloydin peilikoe Lloydin koejärjestely muodostuu yhdestä oikeasta lähteestä, joka on kapea rako S, yhdestä tasopeilistä MM' ja varjostimesta (screen). Rakoa S valaistaan monokromaattisella valolla. Osa raosta tulevasta valosta menee suoraan varjostimelle ja osa heijastuen peilin kautta. Varjostin "näkee" kaksi rakoa S ja S' (kuvan mukaisesti) ja interferenssikuvio syntyy samoin kuin Youngin kokeessa. Kaavassa (0..) rakojen välimatka a on kaksinkertaisesti raon S kohtisuora etäisyys peilistä.

3 35 Fresnelin kaksoisprismakoe Koejärjestely esitetty viereisessä kuvassa: Yhdestä todellisesta lähteestä S lähtevä valo taittuu kahdessa prismassa niin, että varjostin näkee kaksi virtuaalista lähdettä S ja S. Käytännössä prismojen taittavat kulmat ( a ) ovat vain muutamia asteita. Kuvaan piirretyn säteen deviaatiokulma on siten hyvin approksimoitavissa kaavalla dm = a( n - ). Toisaalta kuvan geometriasta näemme, että d m = ( a/)/ d. Yhdistämällä nämä saamme a = dd = da( n- ). m (max) Varjostimella maksimien paikat y m saadaan nyt suoraan Youngin kokeen tuloksesta, kunhan vielä korvaamme rakojen ja varjostimen etäisyyden s uudella etäisyydellä ( s+ d) : (max) l( s+ d) ym = m d a( n - ). (0.3.)

4 36 Esimerkki: Fresnelin kaksoisprisman (n =,50) ja kapean raon S välimatka on d (kuva). Raon kautta prismaa valaistaan Na-lampulla, jonka aallonpituus on 589,3 nm. Interferenssikuvio muodostuu varjostimelle, joka on kaksi kertaa niin kaukana kuin rako S. Interferenssikuviosta peräkkäisten maksimien välimatkaksi mitataan 0,03 cm. Laske kaksoisprisman taittava kulma a. Ratkaisu: Maksimien välimatkaksi laskemme (0.3.):n avulla (max) (max) (max) l( s+ d) D y = ym+ - ym = da( n- ). -9 Tässä l = 589,3 0 m s+ d = d + d = 3d n- = 0,50 (max) - D y = 0,03 0 m ja lasketaan l( s+ d) 3l a = = = 0, rad (max) (max) ddy ( n-) ( n-) Dy = 0,3376 = 0,3'

5 INTERFERENSSI OHUESSA KALVOSSA Värien leikki esimerkiksi öljyisellä vedenpinnalla tai saippuakuplissa on eräs jokapäiväinen interferenssin ilmenemismuoto. Kysymyksessä on valon interferenssi ohuessa läpinäkyvässä kalvossa tai kerroksittaisissa kalvoissa. Tarkastellaan ohutta läpinäkyvää kalvoa tasomaisen lasisubstraatin päällä (kuva). Valon säde osuu kalvon pintaan pisteessä A ja jakautuu kahteen osaan, heijastuneeseen säteeseen ja taittuneeseen säteeseen. Tässä siis alkuperäinen (yhden lähteen) säde jaetaan kahteen osaan, jotka sitten myöhemmässä vaiheessa yhdistyvät interferoiden. Tässä kokeessa jakautuminen on ns. amplitudin jakautuminen. Toinen jakautumisen tyyppi, ns. aaltorintaman jakautuminen, tapahtuu esimerkiksi Youngin kokeessa. Kokeessa taittunut säde heijastuu kalvo-substraatti rajapinnasta, pisteestä B, ja poistuu kalvosta pisteessä C, heijastuneen säteen suuntaisena. Kaksi paralleelia sädettä yhdistetään pisteeseen P esimerkiksi linssillä (vaikkapa silmän linssillä), jolloin ne interferoivat.

6 38 Aina säteen kohdatessa rajapinnan tapahtuu sekä heijastuminen, että taittuminen. Kalvon sisällä tapahtuu siis moninkertaisia heijastumisia (kuva) ja yläpinnasta tulee ulos suuri joukko säteitä. Moninkertaisesti heijastuneiden säteiden irradianssi heikkenee kuitenkin nopeasti heijastuskertojen lisääntyessä. Ilmiönä interferenssi ohuessa kalvossa ymmärretään hyvin tutkimalla vain pisteistä A ja C lähteviä säteitä. Tarkka kvantitatiivinen analyysi vaatii tietysti kaikkien säteiden huomioon ottamista. Itseasiassa tarkasti koetulokset selittävää mallia ei sädemallilla voida rakentaa ollenkaan, vaan on tarkasteltava kalvo-substraatti-systeemiä kokonaisuutena Maxwellin yhtälöitä soveltaen. Tarkastellaan nyt tilannetta yksinkertaisen mallin avulla. Kuvassa alla on esitetty yksityiskohtaisesti säteiden käyttäytyminen pisteiden A, B ja C ympäristössä. Säde tulee kalvon pintaan pisteeseen A tulokulmalla q i, mikä on samalla heijastuneen ja loppujen lopuksi myös kalvon kautta kiertäneen säteen lähtökulma.

7 39 Pinnasta poistuvien säteiden optinen matkaero D on säteiden optisten matkojen erotus pisteestä A tasolle DC, siis D= n f ( AB + BC) -n0 ( AD) ( ABn ) f ( ADn ) 0 Kuvan geometriasta on helppo laskea: t ( AB) = cosq t ( AC) = ( AB)sinq = t t sinqt cosq = -. t n i t f t sin sin sin ( AD) = q q q ( AC)sinq = i t t cosq = n cosq, joista viimeisessä käytettiin taittumislakia n0 sinqi = nf sinqt. Optiseksi matkaeroksi tulee nt f nt f sin qt nt f nt f ( sin qt) cos qt qt qt qt D= - = - = qt, cos cos cos cos josta lopulta t 0 D= ntcosq. (0.4.) f Tässä optinen matkaero D on esitetty yksinkertaisuuden vuoksi taitekulman q t avulla. Kyseinen kulma saadaan helposti laskemalla tulokulmasta q i taittumislain avulla. Kun säde tulee pintaan kohtisuorasti, pätee qi = qt = 0 ja (0.4.) antaa D= nt f, kuten on odotettavissakin. Seuraavaksi, interferenssitarkastelussa, optinen matkaero D muutetaan vastaavaksi vaihe-eroksi d = kd. Tässä k = p / l on laskettava käyttäen tyhjiöaallonpituutta, koska matkaero annetaan nimen omaan optisena matkaerona. Esitetyn kaltaisessa kokeessa säteiden vaihe-eroon vaikuttaa eräs toinenkin tekijä, nimittäin säteen vaiheen hyppäyksellinen muuttuminen heijastuksessa. Tavallinen "hokema" on, että säde, heijas- t t

8 40 tuessaan optisesti tiheämmästä väliaineesta kokee p : n vaihesiirron. Todellisuudessa asia ei ole aivan näin yksinkertainen, vaan säteen eri polarisaatiokomponentit kokevat erilaisia vaihesiirtoja. Asia menee monimutkaiseksi, mutta nytkin käyttämällä p : n vaihesiirtoa saadaan kvalitatiivisesti hyviä tuloksia. Olkoon nyt d optisesta matkaerosta tuleva vaihe-ero ja d r heijastuksissa syntyvä vaihe-ero. Kokonaisvaihe-ero on d + dr ja interferenssin laskukaava (0..8) on muotoa I I I II d d r = + + cos( + ). Heijastuneessa valossa havaitaan vahvistumista (ns. konstruktiivinen interferenssi) tai heikkenemistä (ns destruktiivinen interferenssi) riippuen vaihe-erosta seuraavasti: konstruktiivinen interferenssi: d + dr = mp (0.4.) destruktiivinen interferenssi: d + d = ( m + )p (0.4.3) Näissä m on kokonaisluku: m = 0, ±, ±, K Myöhemmin tarkemmassa analyysissä tulemme havaitsemaan, että heijastuneessa valossa irradianssit I ja I ovat suurin piirtein samat, I» I = I. Tällöin heijastunut kokonaisirradianssi on ts. 0 I = I0 + d + d r [ cos( )] ja esimerkiksi destruktiivisen interferenssin tapauksessa I = 0, eli heijastumista ei tapahdu ollenkaan. Esimerkki: Lasisubstraatin ( n =,50) päällä olevaa ohutta öljykalvoa (n f =,30) valaistaan valkoisella valolla kohtisuoraan yläpuolelta. Havaitaan, että heijastuneesta valosta puuttuvat aallonpituudet 55 nm ja 675 nm. Laske öljykalvon paksuus ja kyseisten destruktiivisten interferenssien kertaluvut (siis m:n arvot). r

9 4 Ratkaisu: Kalvoa valaistaan suoraan ylhäältä, joten qi = qt = 0 ja optiseksi matkaeroksi tulee D= nt f, missä t on kalvon paksuus. Tästä aiheutuva vaihe-ero on d = kd. Säde () pisteesa A heijastuu optisesti tiheämmästä väliaineesta, joten se kokee p :n vaihesiirron. Mutta, samoin käy säteelle () sen heijastuessa pisteestä B. Vaihesiirrot kumoutuvat (tai summautuvat p :ksi, joka on sama asia) ja heijastuksien osuus vaihe-eroon voidaan kirjoittaa d r = 0. Kokonaisvaihe-ero on p d + dr = nt f l ja kun tämä asetetaan toteuttamaan destruktiivinen interferenssi, saadaan p l nft ( m ) p t ( m ) l = + Þ = + n. f Tämän on toteuduttava kahdelle aallonpituudella: l = 55nm kokonaisluvun arvolla m ja l = 675nm kokonaisluvun arvolla m, joilla siis 55 nm 675 nm 675 t = ( m+ ) = ( m + ) Þ ( m+ ) = ( m + ),60,60 55 Tästä nähdään, että m > m ja kokeilemalla m = 0 Þ m = (ei käy) m = Þ m = (ei käy) m = Þ m = (ei käy) m = 3 Þ m = 4,0000 (nyt tärppäsi) Kalvon paksuus: 55 nm 675 nm t = (4 + ) = (3 + ) = 908,65nm» 0,909mm,60,60

10 4 Esimerkki: Kiilamainen ilmarako Kaksi lasilevyä asetetaan päällekkäin viereisen kuvan mukaisesti. Levyt koskettavat toisiaan toisesta reunasta ja toiseen reunaan on asetettu esimerkiksi hius pitämään levyjä erillään. Levyjen väliin muodostuu kiilamainen ilmarako. Systeemiä valaistaan ylhäältä valolla, jonka aallonpituus on l. Etäisyyden x kasvaessa kalvon paksuus t kasvaa ja heijastuneessa valossa havaitaan vuorotellen kirkkaita ja tummia juovia interferenssin seurauksena (kuva). Laske millä etäisyyksillä x havaitaan kirkkaat juovat sekä peräkkäisten kirkkaiden juovien väli. Ratkaisu: Tarkastellaan tilannetta etäisyydellä x, jossa kalvon paksuus on t (kuva). Valo tulee lähes kohtisuorasti ja voidaan hyvin approksimoida qi = qt = 0. Optinen matkaero D= n0t ja sitä vastaavaksi vaihe-eroksi tulee p ænt 0 ö d = D= pç l è l ø. Heijastusten vaihesiirrot: - jos n0 < nþ p:n vaihesiirto B:ssä - jos n0 > nþ p:n vaihesiirto A:ssä Joka tapauksessa dr = p ja kokonaisvaiheeroksi tulee

11 43 ænt 0 ö d + dr = pç + p. è l ø Nyt haetaan konstruktiivisen interferenssin kohtia (kirkkaita juovia), joten asetetaan vaihe-ero sen mukaisesti d + dr = m p: ænt 0 ö nt 0 l pç + p = m p Þ = ( m - ) Þ t = ( m - ). è l ø l n0 Kirkkaat juovat havaitaan siis näillä kalvon paksuuksilla. On vielä selvitettävä mitä x:n arvoja nämä paksuudet vastaavat. Kuvasta tan a = d/ L= t/ x, jonka perusteella kirjoitetaan suoraan kirkkaiden juovien paikoiksi L ll x= t = ( m- ), m=,,3k d nd 0 ja peräkkäisten juovien väliksi ll D x= xm+ - xm =. nd Kiilamaista ilmarakoa voidaan soveltaa esimerkiksi lasilevyjen hionnan tasaisuuden testaamiseen. Poikkeamat lasilevyjen tasomaisuudesta näkyvät interferenssijuovien vääristymisenä. 0 Numeerinen esimerkki: Saippuakalvo muodostetaan pieneen suorakulmaiseen rautalankakehikkoon. Kun kehikkoa (kalvoa) pidetään pystyasennossa ja sitä valaistaan HeNe-laserilla (63,8 nm), heijastuneessa valossa havaitaan interferenssijuovia, joita mitataan olevan 5 juovaa senttimetrin matkalla. Miten ne syntyvät?

12 Ratkaisu: 44 Gravitaation vaikutuksesta kalvo "valuu" alaosastaan paksummaksi kuin yläosasta ja näin muodostuu (approksimatiivisesti) kiilamainen kalvo, johon voimme soveltaa edellä esitettyä teoriaa. Kalvossa havaitaan 5 juovaa senttimetrillä, joten peräkkäisten juovien väli on D x = cm = 0, m. 5 Tämän avulla voimme laskea kiilakulman a. Teorian perusteella ll d l D x= Þ = n0d L n0dx ja jos oletetaan, että kalvo on käytännössä vettä ( n 0 =,33) saadaan d a» = L l = = 0,3568 mrad -9 63,8 0 m -3 n0d x,33 0, m = 0,0044 = '4'' Esimerkki: Newtonin renkaat Edellisen kappaleen koejärjestelyllä voidaan testata levyjen tasomaisuutta. Pintojen pallomaisuutta voidaan puolestaan testata laitteistolla, joka tuottaa ns. Newtonin renkaita. Koejärjestely on esitetty kuvassa seuraavalla sivulla. Tasokupera linssi, jonka kuperan pinnan pallomaisuutta testataan on sijoitettu kupera puoli alaspäin tasaiselle lasilevylle. Nyt muuttuvan paksuinen "kalvo" on linssin ja lasilevyn välinen ilmarako.

13 45 Lähteestä tuleva valo ohjataan ilmarakoon yhdensuuntaisena (kollimoituna) sädekimppuna suoraan ylhäältä päin vasemman kuvan mukaisesti. Interferenssikuviota katsotaan esimerkiksi mikroskoopilla suoraan ylhäältäpäin. Oikeanpuoleisessa kuvassa raon paksuus etäisyydellä r m linssin ja lasilevyn kosketuskohdasta on t m. Symmetrian perusteella t m on vakio r m -säteisellä ympyrällä. Ympyrässä havaitaan heijastuneessa valossa interferenssimaksimi (kirkas juova), jos ænt 0 m ö d + dr = pç + p = mp Þ n0tm = ( m- ) l. è l ø Kirkkaan renkaan säde saadaan nyt, kun t m kirjoitetaan r m :n avulla. Oikeanpuoleisen kuvan geometriasta kirjoitamme R = ( R- t ) + r = R + t - Rt + r josta rm tm», R kun approksimoidaan t m pieneksi Rt :n rinnalla. m m m m m Kirkkaiden renkaiden säteet ovat siis m

14 r m 46 Rl = ( m- ), n missä m =,, 3,... ja n 0 on "ilmaraon" taitekerroin. Jos esim. rako täytetään vedellä, n 0 =,33. 0 Millään m : n arvolla kirkas rengas ei ole 0-säteinen, ts. linssin ja lasilevyn kosketuskohtaan (renkaiden keskipisteeseen) tulee tumma piste, kuten näkyy vasemmanpuoleisessa kuvassa (alla). Vasen kuva esittää Newtonin renkaita, kun linssin pinta on (lähes) täydellinen pallopinta. Oikeanpuoleisen kuvan linssi vaatii selvästi vielä hiomista.