Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 /
Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä Kästtetä Ylenen muoto Standardmuoto Epälneaarsesta lneaarseks Palottan lneaarnen kohdefunkto Itsesarvot Ratkasun graafnen estys S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 2
Hstoraa (/3) Kehtty 2. maalmansodan akana: Mten sjotella sotajoukot ja -nvestonnt sten, että omat kulut mnmotuvat ja vhollsen tappot maksmotuvat? George Dantzg: Smple-menetelmä 947 Mullst tehokkuuden suurn osa kakesta tetokonella tehtävästä laskennasta tuollon Smple-optmonta! Myös John von Neumann (duaalsuus), Leond Kantorovts (talousteteen Nobel 975) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 3
Hstoraa (2/3) Smple hyvä käytännössä, huono teorassa Ratkasuaka saattaa olla eksponentaalnen (kasvaa eksponentaalsest malln parametren lkm:n funktona) Leond Katchyann ellpsodmenetelmä 979 huono käytännössä, hyvä teorassa Polynomakanen; menetelmä kutenkn käytännössä htaamp kun Smple... Narendra Karmakarn ssäpstemenetelmä 984 Polynomakanen ja Smpleä tehokkaamp suurlle tehtävlle! S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 4
Hstoraa (3/3) Uusa läpmurtoja odotellessa... Esm. vahvan polynomakasuuden osottamnen Sllä väln: Jatkuvat tehtävät: esm. optmhnnottelu Dskreett: esm. nventaaron hallnta Bnäär: esm. projektportfolon valnta Verkkotehtävät: esm. kuljetusongelmat Ohjelmstokehttely: mahdollsuus jo mljoonn muuttujn, satohn tuhansn rajotusehtohn S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 5
Lneaarnen optmonttehtävä Kohdefunkto ja rajotusehdot lneaarsa päätösmuuttujen = (,..., ) suhteen n Kustannusvektor c lttää kuhunkn päätösmuuttujaan j c kustannuksen. j mn/ma s.e. n j= n j= c a j j j j = c = a = b Kohdefunkto m kpl yhtälö- ja epäyhtälörajotuksa S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 6
Lneaarnen optmonttehtävä: Esmerkk (/2) Yrtys valmstaa knusk- ja suklaakakkuja, joden myymsestä saatavat votot ovat 5 ja 0 euroa. Kauppa sjatsee syrjäseudulla, joten knuskkakkuja menee enntään 2 ja suklaakakkuja enntään 3 pävässä. Lsäks jauhoja saadaan pävttän enntään neljään kakkuun. Mkä on optmaalnen lepomssuunntelma? S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 7
Lneaarnen optmonttehtävä: Päätösmuuttujat : suklaakakkujen lkm : knuskkakkujen lkm 2 Esmerkk (2/2) 2 2 = 3 + = 4 ehtävä ma s.e 5 + 0 2 2 3 + 4 2, 0 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu 2 tuotto kysyntä resursst (jauhot) e-negatvsuus tuoton kasvusuunta = 2 Krjassa paljon esmerkkejä! Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 8
S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Lneaarnen optmonttehtävä: Kästtetä Käypä ratkasu (feasble soluton): vektor = (,... n ), joka toteuttaa kakk tehtävän rajotusehdot Käypä joukko/alue (feasble set/regon): kakken käypen ratkasujen joukko Optmratkasu (optmal soluton): käypä ratkasu *, joka mnmo/maksmo kohdefunkton arvon Optmkustannus (optmal cost): kohdefunkton arvo optmratkasulla el c * Käypä ratkasu * Käypä alue Optmkustannus c * Kustannus c Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 9
Lneaarnen optmonttehtävä: Ylenen muoto (/3) Mkä tahansa LP vodaan muuttaa yleseen muotoon (general form), jossa kustannusfunktota mnmodaan ja kakk rajotteet -muotosa ) Kertomalla maksmotava kohdefunkto -:llä: ma mn 2) Kertomalla vääränsuuntanen ey-rajote -:llä: 3) Muuttamalla yhtälörajote kahdeks ey-rajotteeks: S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu a a = c c b b a a b b ja a b Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 0
Lneaarnen optmonttehtävä: Esmerkk: Ylenen muoto (2/3) 3 + 2 2 = ma 2 3 () mn ( ) 2 3 s.e. (2) s.e. (2 a) 5 3 0 3 0 2 3 + 2 2 2 + + 2 3 5 0 0 3 (2 b) (3) (3 ) (4) (4) (5) (5) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 /
Lneaarnen optmonttehtävä: Ylenen muoto (3/3) Nän päästään mukavast ylesen muodon matrsestykseen: mn s.e. c A b ulknta: käypä alue on puolavaruuksen lekkaus Esmerkssä ss: a = b 5 5 2-0 -2 0 - -3 A = 0 - b = -5 c = -2 = 0 0 0 0 0 0 a = b 2 3 a = b 4 4 a = b 2 2 a = b 3 3 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 2
Lneaarnen optmonttehtävä: Standardmuotonen tehtävä: mn s.e standardmuoto (/3) c A= b 0 Standardmuoto on hyödyllnen laskennallsessa melessä, ertysest Smple-menetelmän kehttelyssä ja käytössä ulknta: A:n sarakkesta (merk. A j, j=,...,n) sellanen kombnaato, joka mnmkustannuksella yhtyy b:hen + + = 3 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 3
Lneaarnen optmonttehtävä: standardmuoto (2/3) Mkä tahansa LP vodaan muuttaa standardmuotoon ) Kertomalla maksmotava kohdefunkto -:llä: 2) Elmnomalla vapaat muuttujat (e merkkrajotuksa) korvaamalla ne kahden e-negatvsen luvun erotuksella: + +,, 0 j = j j j j 3) Muuttamalla ey-rajotteet yhtälörajotteks e-negatvsten slack- ja surplus-muuttujen avulla: s j a b a + s = b, s 0 a b a s = b, s 0 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 4
Lneaarnen optmonttehtävä: Esmerkk: ma s.e standardmuoto (3/3) 3 + 2 2 = 2 3 3 5 0 0 3 mn Koska kakk LP:t vodaan muuttaa sekä yleseen että standarmuotoon, vodaan ne myös muuttaa toskseen ss estykset ekvvalentteja s.e. 3 + 2( ) + 2 + 2 ( ) = 2 + s = 2 3 2 +,,,,s 2 3 2 3 5 0 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 5
Epälneaarsesta lneaarseks Kohdefunkton lneaarsuus rajottava oletus ehtävä saadaan kutenkn lneaarseks myös sllon, kun kohdefunkto on palottan lneaarnen ja konveks (mnmotaessa) Erkostapauksena edellsestä tsesarvot Konveks funkto hymylee! S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 6
Epälneaarsesta lneaarseks: Palottan lneaaren konveks kohdefunkto (/4) Määrtelmä.: Funkto f : R n ar on konveks, jos kaklla ja kaklla λ 0, pätee: [ ] Jos ey-merkk on tosnpän, f on konkaav, y R f ( λ+ ( λ ) y) λf ( ) + ( λ ) f ( y) n f() λf ( ) + ( λ ) f ( y) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu y f(y) s. konveks funkto kulkee kahden arvonsa vällle prretyn janan alapuolella. Konvekslla (konkaavlla) f:llä lokaal mnm (maksm) on myös globaal! Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 7
Epälneaarsesta lneaarseks: PLKKf (2/4) eoreema.: Olkoot f,..., f : R n ar konvekseja funktota. ällön m f ( ) = ma f ( ) on myös konveks. =,...,m odstus: f : n konvekssuus ma(+y) ma()+ma(y) f:n määrtelmä f ( λ+ ( λ )y ) = ma =,...,m =,...,m f ( λ+ ( λ )y ) ma( λf ( ) + ( λ ) f ( =,...,m =,...,m y )) maλf ( ) + ma( λ ) f ( = λf ( ) + ( λ ) f ( y ) y ) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 8
Epälneaarsesta lneaarseks: PLKKf (3/4) Affn funkto c + d (d skalaar) on konveks (ja konkaav) Palottan lneaarnen konveks funkto määrtellään usean affnn funkton maksmna: f ( ) = ma( c + d ) Huomataan, että ma( c + d ) = penn sellanen z, jolle pätee z c + d kaklla. ällön: mn ma( c =...,m s.e. A b + d ) =...,m Vastaava muunnos pätee rajotusehdolle, ks. krja s.7 mn z s.e A b z c + d LP! =,... m S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 9
Epälneaarsesta lneaarseks: PLKKf (4/4) eoreeman.. mukaan edellä määrtelty funkto on konveks ylestä konveksa funktota vodaan ss approksmoda palottan lneaarsella konvekslla funktolla => tehtävä palautuu lneaarseks! Sleyden (jatkuvast dervotuvuuden) menetys c + d c + d 2 2 c + d 3 3 c + d 4 4 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 20
Epälneaarsesta lneaarseks: Itsesarvot (/2) Itsesarvot edellsen erkostapauksna Kaks tapaa elmnoda : ) Edellseen tapaan huomaamalla, että on penn sellanen z, jolle pätee sekä ma että + 2) Ilmasemalla k.o. muuttuja erotuksena, + +, 0 ja huomaamalla, että, jos = + kohdefunktossa tsesarvomuuttujan kustannus postvnen + Syy: optmssa oltava joko ta (krja s.8). Kustannuksen e-negatvsuus ehtona konvekssuudelle = z = = 0 = 0 {, } z S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 2
Epälneaarsesta lneaarseks: Itsesarvot (2/2) Esmerkk.5. (krjasta) mn 2 + s.e. + 4 ) 2) mn s.e. 2z + + 4 z z mn s.e. + 2 + 2 + + + 4 + 0 0 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 22
Ratkasun graafnen estys (/3) Palataan kakkuesmerkkn: ma s.e 5 + 0 2 2 3 + 4, 0 kasvusuunta Lneaarnen tuotto saa saman arvon tasa-arvosuorlla Optmratkasu löytyy lu uttamalla tasa-arvosuoraa mahdollsmman ptkälle tuoton kasvusuuntaan sten, ette kokonaan postuta käyvästä alueesta LP-maalmassa ana kulmapsteessä! ähän palataan... 2 = 2 2 = 3 5 + 0 = 30 * = ( 2, 2 ) 5 + 0 = 40 5 + 02 = 50 + = 4 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 23
Ratkasun graafnen estys (2/3) LP:n optmratkasulle pätee ana yks seuraavsta: ) On olemassa ykskästtenen ratkasu (kulmapste) 2) Useta ratkasuja (tasa-arvosuora yhdensuuntanen rajotteen kanssa tässäkn anakn yks ratkasusta on kulmapste!) 3) Mnmkustannus on -, e käypää optmaalsta ratkasua (käypä joukko jatkuu äärettömyyteen kustannuksen vähenemssuunnassa) 4) Käypä joukko on tyhjä. Mnmodaan kustannusta c : S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Käypä joukko : c =(,), -käs. ratkasu *=(0,0) : c =(0,), ratkasuna *=(a,0), : c =(,0), ratkasuna *=(0,b), : c =(-,-), optmkustannus - a 0 b [ 0, ] Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 24
Ratkasun graafnen estys (3/3) Kakkutehtävä standardmuodossa: mn 5 0 s.e. + s = + s = 2 2 + + s = 3, s, 2, 2, 3 2 3 4 0 s 2 = 0 2 = 0 Käypä alue = projekto muuttujen 5-ulottesesta avaruudesta kukn yhtälörajote ve yhden vapausasteen el dmenson (5-3=2) Projektotasossa käyvän alueen määrttävät enegatvsuusrajotteet! 2 = 0 s 3 = 0 s = 0 S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / 25