Simplex-menetelm. S ysteemianalyysin. 11. luento: Duaali-simplex. 1. vaiheen duaali-simplex. Hinnoittelu. Pivot-rivin laskeminen. Degeneroituneisuus

Transkriptio

1 Smlex-menetelm menetelmän laskennallset teknkat. luento: Duaal-smlex Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 /. vaheen duaal-smlex Duaal-smlex Hnnottelu Pvot-rvn laskemnen Degenerotunesuus Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 2

2 Käyyysehdot duaalssa Prmaaln raotteet yhtälömuodossa, oten duaalmuuttuat y ana käyä Duaaln loogsten muuttuen käyyysehdot: x :n tyy Arvo x 0 x 0 x u x 0 x 0 x u d Merktyksetön Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 3 Indeksoukkoa eäkäyvlle muuttulle Alaraan rkkoven muuttuen oukko M : x 0 a d < 0 { } Yläraan rkkoven muuttuen oukko P : x u a d > 0 ta tye x 3 a d > 0 { ( ) ( ( ) )} Ylhäältä raotetut muuttuat saadaan helost käyvks Määrtellään tyyn eäkäyvlle muuttulle ndeksoukot T + a T - : T T + { : tye( x ) a x P } { : tye( x ) a x M } Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 4 2

3 Raotettuen muuttuen raanvahto Raanvahto: β : β u + u B + T a T Raanvahto vodaan suorttaa yhdellä FTRANoeraatolla: β : β B a a β B u + u + T T ~ a Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 5 Yksnkertastetut käyyysehdotk Jos duaaln käyyys korattu raanvahdolla, käyyysehtoa vodaan yksnkertastaa: M P { : tye( x ) { 2,3} a d < 0 } { : tye( x ) 3 a d > 0 } Jos tehtävässä van tyyn muuttua, mkä tahansa kanta vodaan tehdä käyväks raanvahdolla Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 6 3

4 Duaalmuuttuan arvon muuttamnen Eäkäyyyden mtta f d d 0 M P. vaheen tavotteena maksmoda f Rvn ostuessa kannasta d :n arvo muuttuu d d t Duaaln kohdefunkto muuttuu f ( t) f ( 0) t M P Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 7 Merktään v Kohdefunkton arantumnen M P Kohdefunkton f arvon muutos: f tv Jos v > 0, nn t < 0 Jos v < 0, nn t > 0 Duaaln kohdefunktota vodaan arantaa nn tkään, kun löytyy v 0 a tye(β ) 3 Ehdokkaden oukosta valtaan sova v hnnottelulla Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 8 4

5 Ehdokkaat suhdetestn Kannasta ostuva muuttua β tulee duaalkäyväks Muuttuan käyyys saavutetaan muutossteessä t d, R Kantaan tuleva muuttua q Mahdollset vot-alkot valtulla rvllä: Jos v > 0, nn t q < 0, d q a ermerkksä Jos v < 0, nn t q > 0, d q a q saman merkksä, mahdollsta van tyyn muuttulle Jos v 0 a β :n tyy on 0, d q :n merkllä e ole välä Kohdefunkto alottan lneaarnen q Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 9 Duaaln tateste Kannasta ostuu muuttua yläraalla > t 0 Taaus : > 0, d (t) enenee Taaus a: d (0) > 0 Taaus a(): d (0) eäkäyä, P d ( t) d ( 0) t 0 d d (0) t > d (0) t < d (0) Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 0 5

6 Duaaln tateste Kannasta ostuu muuttua yläraalla > t 0 Taaus : > 0, d (t) enenee Taaus a: d (0) > 0 Taaus a(): d (0) käyä d ( t) d ( 0) t d käyä 0 d d (0) t > d (0) t d (0) Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / Duaaln tateste Kannasta ostuu muuttua yläraalla > t 0 Taaus : > 0, d (t) enenee Taaus b: d (0) 0 d ( t) d ( 0) t d (0) 0 d t > 0 Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 2 6

7 Duaaln tatesteet suhdetestssä > 0 < 0 t 0 d < 0 - d d 0 d - > 0 < 0 t 0 d < 0 d - d 0 - d Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 3 Palottan lneaarnen kohdefunkto f(t) Järestetään tatesteden tsesarvot kasvavaan ärestykseen: 0 t L t Q Q > 0, koska vähntään yks tateste määrtetty f(t):n kulmakerron alussa: s 0 v P M Rekursokaavat kulmakertomelle a f(t):lle s k f k s k f k + s k k ( t t ) k k Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 4 7

8 Palottan lneaarnen kohdefunkto f(t) f(t) t t 2 t 3 t 4 t Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 5 Generalzed Dual Phase- (GDPO) menetelmä Askel : Määrtä oukot M a P. Jos molemmat ovat tyhä, suortetaan käyyyskoraus. Ratkasu on tämän älkeen duaalkäyä. ~ Askel 2: Lasketaan auvektor a Askel 3: Lasketaan redusodut kustannukset v B ~ a Askel 4: Duaaln hnnottelu, valtaan vot-rv. Jos yhtään arantavaa ehdokasta e löydy, tehtävä on duaaleäkäyä. Askel 5: Lasketaan ävtetty vot-rv Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 6 8

9 Generalzed Dual Phase- (GDPO) menetelmä Askel 6: Duaaln suhdetest sovlle muuttulle, a ärestetään tatesteet kasvavaan onoon: 0 t L t Q Askel 7: Käydään tatesteet lä. Vmenen tateste, olle kulmakerron ol e-negatvnen, määrttää kantaan tulevan muuttuan x q. Askel 8: Pävtetään ratkasu. Kannasta ostuvan muuttuan arvo asetetaan ala- ta yläraallensa. Pävtetään kantaratkasu sekä duaaln loogset muuttuat, samon B a U. Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 7 GDPO a degenerotunesuus Degenerotuneessa kannassa d 0 yhdellä ta useammalla e-kanta muuttualla Nämä muuttuat aheuttavat monnkertasen muutossteen, kun t 0 0 t L t < t + L l l Olkoon kohdefunkton maksmova muutosste t k sten, että sk > 0 a s k + 0 Jos k > l, vodaan suorttaa ostvnen askel koht käyyyttä t Q Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 8 9

10 GDPO vs. erntenen DPO Yhdellä vot-rvn ävtyksellä vodaan tehdä monta askelta Perntenen menetelmä käyttää enntä tatestettä, GDPO vo ohttaa monta tatestettä yhdellä teraatokerroksella Tom manost kaken tyysllä muuttulla Valnnan vaaus kantaan tulevan muuttuan suhteen arantaa numeersta stablutta Kokemusten erusteella GDPO:lla vähemmän teraatota, kun erntesllä menetelmllä Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 9 Rvn valnta duaal-smlexss smlexssä Määrtellään vektor ω: β os β < 0, tye( β) 3 ω β υ os β > υ 0 muuten Prmaaln ratkasua yllädetään ekslsttsest, oten duaaln redusodut kustannukset koko aan saatavlla Normalsotu hnnottelu yksnkertasemaa duaalssa. vaheen redusodut kustannukset v 2. vaheen redusodut kustannukset ω Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 20 0

11 Dantzg-hnnottelu Valtaan enten raaansa rkkova rv Valtaan oko kaksta rvestä ta sovasta rven osaoukosta Pvot-rv määrtetään sten, että ω max { } ω Jos ω 0, ratkasu on rmaalkäyä a otmaalnen Muuton on valttu vot-rv a x k on kannasta ostuva muuttua Muuttua x k ostuu kannasta oko ala- ta yläraallaan Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 2 Jyrkmmän n särms rmän n hnnottelu Johdetaan menetelmä LP-tehtävälle, ossa van enegatvsa muuttua: T Prmaal : mn c x : Ax b, x 0 T T Duaal : max b y : A y c Olkoon B duaalkäyä kanta a A ostettu A [B R] Duaaln ratkasu on y t y + tρ, y B { } { } T T ( ) cb, ρ B e Kannan kääntesmatrsn rvt ovat särmen suunta T ρ e B,, K, m Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 22

12 Särmän n suunnat y 2 b ρ ρ 2 b ρ 2 ρ y Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 23 Kannasta ostuvan muuttuan valnta Kohdefunkton gradentt on b Kannasta ostuvan muuttuan valnta vastaa särmän suunnan valntaa Valttavan suunnan tulee muodostaa terävä kulma kohdefunkton gradentn kanssa: T T ρ b e B b x < 0 Jyrkmmälle suunnalle b T ρ ρ T b ρ mn m ρ, δ ρ ρ T ρ 2,, K, m Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 24 2

13 Särmän n suunten ävtys Kantaan tuleva muuttua x q B q a q Kannan kääntesmatrsn rvt ävtetään: ρ ρ ρ ρ q ρ q q,, K, m, Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 25 δ ρ ρ δ ρρ Normen ävtys 2 δ q δ 2 ρ q q q ρ + δ q 2 Krttnen term on stetulo ρ ρ T ρ ρ ρρ e B ρ :s rv ρ lasketaan oka taauksessa Ylmääränen FTRAN kannan kääntesmatrsn :nnen rvn kanssa Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 26 3

14 Devex-hnnottelu Jyrkmmän särmän menetelmän aroksmaato Särmän suunnat samat kun yrkmmän särmän menetelmässä Suunten normt korvataan aroksmovlla anolla Panot kasvavat teraatoden akana, oten ne täytyy aka aon nollata Devex-norm määrtellään aluks nykysten kantamuuttuen ndeksoukon H avulla Rvanot ävtetään teratvsest Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 27 Rvanoen ävtt vttämnen Merktään h:lla arvotua rvanoa Jokanen h alustetaan :ks Rvanoen ävtyskaava: h h max max {, ˆ / q } { h, q q ˆ } m, mssäˆ on ävtetyn vot-rvn ne alkot, otka kuuluvat tämänhetkseen vtekehykseen Koska ävtetty vot-rv lasketaan oka taauksessa, nn anoen ävtys on noeaa Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 28 4

15 Pvot-rvn laskemnen Duaal-smlexssä vot-rvn ävttämnen vaatvn oeraato T e B A Tallennetaan A myös rvettän, a lasketaan sen avulla: r M R r M m r R r M m [ ] ρ L ρ L ρm r M r Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 29 m ρ r Degenerotunesuus duaal-smlexss smlexssä Prmaal-smlexn degenerotunesuus-teknkota vodaan soveltaa myös duaalssa Toleranss huomotava myös duaaln degenerotunesuudessa Degenerotunesuus vodaan huomoda hnnottelussa Duaal-smlexssä tomva teknkota: EXPAND Wolfen ad hoc -menetelmä Heurstset härö- a shftaus-menetelmät Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 30 5

16 Yhteenveto Duaal-smlexn. vaheen GDPOssa maksmodaan alottan lneaarsta kohdefunktota GDPO monella taaa erntesä. vaheen menetelmä arem Hnnottelussa vodaan käyttää vastaava menetelmä kun rmaal-smlexssä Normalsodut hnnottelumenetelmät tehokkaama duaal-smlexssä kun rmaal-smlexssä Kannan degenerotumsen kästtelyyn käytettävssä samat menetelmät kun rmaalssakn Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 3 Krallsuutta Dantzg, G. (963). Lnear Programmng and Extensons. Prnceton Unversty Press, Prnceton. Forrest, J. and Goldfarb, D. (992). Steeest edge smlex algorthms for lnear rogrammng. Mathematcal Programmng 57(3), Harrs, P. (973). Pvot Selecton Method of the Devex LP Code. Mathematcal Programmng 5, -28. Maros, I. (2002). A Pecewse Lnear Dual Phase- Algorthm for the Smlex Method Wth All Tyes of Varables. Comutatonal Otmzaton and Alcatons. To aear. Wolfe, P. (963). A technque for resolvng degeneracy n lnear rogrammng. SIAM Journal of Aled Mathematcs, Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 32 6