1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia futioita, lyhyesti saoe vetorifutioita F1 ( x) F2 ( ) : A, ( ) x F F x =, issä äärittelyjouo A. Tällaisia F ( x) futioita saotaa usei yös uvausisi. (Yleisesti irjallisuudessa futio ja uvaus ovat syoyyejä, utta Fitzpatric äyttää teriä futio vai reaaliarvoisista uvausista.) Kuvaus F: A o jatuva pisteessä u, jos joaiselle suppeevalle joolle ( u ) o voiassa u u Fu ( ) Fu ( ). Kuvaus F: A o jatuva, jos se o jatuva joaisessa A: pisteessä.
2 Esieriä jatuvasta futiosta o irjassa aiittu opoettiprojetio p :, p ( u ) = u, issä (Prop. 11.1) i i i u = u u u 1 2. Reaaliarvoisista jatuvista uvausista h, g: A uodostetut h lieaariobiaatio αh+ β g, tulo hg ja osaäärä ( g( x) 0, x A) g ovat jatuvia. (Theore 11.3) Jatuvuus säilyy yös uvauste yhdistäisessä: Jos uvaus G : A o jatuva pisteessä u A ja uvaus H: B, G( A) B o jatuva pisteessä Gu ( ), ii yhdistetty uvaus H G: A, ( H G)( u) = H( G( u)) o yös jatuva pisteessä u. (Theore 11.5)
3 Jatuvuus voidaa tutia "opoeteittai": Kuvaus F: A o jatuva pisteessä u täsällee silloi, u se joaie opoettifutio Fi : A o jatuva pisteessä u. (Theore 11.9) Tästä seuraa, että yös jatuvie vetoriarvoiste uvauste lieaariobiaatiot ovat jatuvia. (Corollary 11.10) Kosa jooje suppeeie ääritellää etäisyyde avulla, saadaa uvause F: A jatuvuudelle seuraavat eseää yhtäpitävät araterisoiit: 1) F: A o jatuva pisteessä u. 2) Joaiselle joolle ( u ) o voiassa li u u = 0 li F( u ) F( u ) = 0. 3) Joaisella ε > 0 o oleassa sellaie (pisteestä u riippuva) δ >0, että v u < δ F( v) F( u ) < ε. (Theore 11.11)
4 Jos uvaus o ääritelty avoiessa jouossa, ii jatuvuus voidaa araterisoida avoiie jouoje aluuvie avulla: Oloo uvause F: A äärittelyjouo A avoi. Silloi F: A o jatuva jos ja vai jos joaise avoie jouo V aluuva 1 F ( V ) o avoi. (Theore 11.12) Kosa usei jouot ääritellää yhtälöide tai epäyhtälöide avulla, ovat seuraavat tuloset äyttöelpoisia: Jos f : o jatuva ja c, ii - { u ( u) < c } - { u ( u) > c } - { u ( u) c } - { u ( u) c } o avoi o avoi o suljettu o suljettu. (Corollary 11.13)
5 Moet rataisueetelät ovat iteratiivisia eli e tuottavat aetulle ogelalle yhä tarei ja tarei lopullista rataisua approsioivia liiarvoja. Silloi o toivottavaa, että äi sytyvä joo olisi suppeeva, ja että se raja-arvo olisi halutussa jouossa. Tähä jooje raja-arvoje pysyisee jouossa liittyy äsite opatisuus. Jouo A o jooopati, lyhyesti opati, jos joaisella se pisteide joolla o osajoo, joa suppeee ohti A: pistettä. Jouo A o rajoitettu, jos se sisältyy johoi uulaa, eli jos o oleassa sellaie M > 0, että u M, u A. Osoittautuu, että avaruudessa jooopateja jouoja ovat täsällee rajoitetut ja suljetut jouot. Helpopi puoli o: Jos jouo (Theore 11.16) A o jooopati, ii se o suljettu ja rajoitettu. Joaisella (Theore 11.7) : rajoitetulla joolla o osajoo, joa suppeee.
6 Bolzao-Weierstrassi lause Jouo A o jooopati täsällee silloi, u se o rajoitettu ja suljettu. (Theore 11.8) Kosa avaruudessa uuti opatisuude äsitteet palautuvat jooopatisuutee, puhue siis jatossa lyhyesti opatisuudesta. Reaaliaseli suljettu väli I = [ ab, ] o esieri opatista jouosta. Se vastie 2-ulotteisessa tapausessa o suoraulio a1, b1 a2, b2, 3 jota saotaa yös suljetusi välisi. Vastaavasti : suljettu väli o 3- ulotteie suoraulaie säriö, joa särät ovat oordiaattiaselie suutaiset: I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. Yleisesti : suljettu väli (yleistetty suoraulio) o arteesie tulo I = a1, b1 a, b, joa o opati. [Corollary 11.19]
7 Kopati jouo jatuva uva o opati. [Theore 11.20] Joaisessa epätyhjässä opatissa reaaliluujouossa o piei ja suuri alio. [Lea 11.21] Ääriarvoteorioide ja optioii perustulos taaa jatuvie futioide i- ja ax-arvoje oleassaolo opatissa jouossa: Ääriarvoje oleassaolo Jatuva reaaliarvoie futio saa opatissa jouossa pieiä ja suuria arvosa. [Theore 11.22]
8 Väheä täreä o ääteie tulos: Jos jouo A ei ole opati, o oleassa jatuva reaaliarvoie futio, joa ei saa siellä iiiää tai asiiaa. [Theore 11.24] Jatuvuutta hiea voiaaapaa oiaisuutta tarvitaa. itegroititeoriassa. Kuvaus F: A o tasaisesti jatuva, jos A: pisteide jooille ( u ), ( v ) pätee li u v = 0 li F( u ) F( v ) = 0. Jouo opatisuus riittää teeää jatuvasta futiosta tasaisesti jatuva: Jos A o opati ja F: A jatuva, ii F o tasaisesti jatuva. (Theore 11.25) Teri "tasaie" jatuvuus tulee hiea helpoasi yärtää seuraavasta araterisoiista: Futio F: A o tasaisesti jatuva täsällee silloi, u joaisella ε > 0 o oleassa sellaie δ > 0, että aiilla u, v A o voiassa u v < δ F( u) F( v ) < ε. (Theore 11.27) Se "tasaisuus" o sitä, että aiittu δ elpaa oo A:ssa.