1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

Transkriptio

1 Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän perusteella, onko f :llä ra-arvo pisteessä 1. Jos näin on, niin mikä ra-arvo on? (b) Tutki tkuvuuden (ε,δ)-määritelmän perusteella, onko f tkuva pisteessä 1. Ratkaisu. Funktion f kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun 0< x 1 <δ, niin x+1 2 = x 1, 1 δ< x<1 f (x) 2 = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ = x 1 <δ=ε. Näin ollen f :llä on ra-arvo pisteessä 1 lim f (x)=2. x 1 (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin f (x) f (1) = f (x) (1+1) = f (x) 2 x+1 2 = x 1, 1 δ< x<1 = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ = x 1 <δ=ε. Näin ollen f on tkuva pisteessä 1. 1

2 2 2. Olkoon f :, x+2, x< 1, f (x)= x, x 1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 3, 1]. (a) Tutki toispuoleisen ra-arvon (ε, δ)-määritelmän perusteella, onko f :llä toispuoleiset ra-arvot pisteessä 1. Jos näin on, niin mitä ra-arvot ovat? (b) Tutki kurssin lauseiden avulla, onko f :llä ra-arvo pisteessä 1. (c) Tutki tkuvuuden (ε,δ)-määritelmän perusteella, onko f tkuva pisteessä 1. Ratkaisu. Funktion f kuvaa välillä [ 3, 1]. (a) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun 1 δ< x< 1 eli δ< x+1<0, niin f (x) 3 = x+2 3 = x 1 = x 1 = x+1 = x 1<δ=ε. Näin ollen f :llä on vasemmanpuoleinen ra-arvo pisteessä 1 lim x 1 f (x)=3. Kun 1< x< 1+δ eli 0< x+1<δ, niin f (x) ( 1) = f (x)+1 = x+1 = x+1<δ=ε. Näin ollen f :llä on oikeanpuoleinen ra-arvo pisteessä 1 lim x 1 + f (x)= 1. (b) Koska lim f (x)=3 1= lim f (x), niin Lauseen perusteella f :llä ei ole ra-arvoa x 1 x 1 + pisteessä 1. (c) Valitaanε=1. Olkoonδ>0. Tällöin (esimerkiksi) x= 1 δ ( 1 δ, 1), jolloin 2 x ( 1) = x+1 = 1 δ = δ 2 <δ f (x) f ( 1) = ( 1 δ ) + 2 ( 1) 2 = 1+ δ = 4+ δ 2 > 4>1=ε. Ei siis löydy lukuaδ>0, jolla ehdosta x ( 1) <δ seuraisi f (x) f ( 1) <1=ε. Näin ollen f ei ole tkuva pisteessä 1.

3 3 3. (a) (HKK Tehtävä osa) Määrittele ra-arvot (b) Olkoon f :, Määritä ra-arvot lim f (x)= lim x f (x)= x 3. f (x)=. x lim f (x) lim f (x). x x Ratkaisu. (a) Olkoon f : A. Oletetaan, että on olemassa sellainen r, että (r, ) A. Tällöin funktiolla f on positiivisessa äärettömyydessä ra-arvo, jos jokaista m kohti on olemassa sellainen h, että f (x)>m kaikilla x > h. Tällöin merkitään lim x f (x)=. Oletetaan sitten, että on olemassa sellainen r, että (, r) A. Tällöin funktiolla f on negatiivisessa äärettömyydessä ra-arvo, jos jokaista m kohti on olemassa sellainen h, että f (x)<m kaikilla x < h. Tällöin merkitään lim x f (x)=. (b) Olkoon m. Valitaan h= 3 m. Tällöin f (x)= x 3 > h 3 = ( 3 m) 3 = m kaikilla x > h. Näin ollen lim x f (x)=. Vastaavasti kaikilla x < h. Näin ollen lim x f (x)=. f (x)= x 3 < h 3 = ( 3 m) 3 = m 4. (HKK Tehtävä 3.3.6) Olkoot a>0 f : (0, ), f (x)= a x. Osoita, että f on aidosti vähenevä. Ratkaisu. Olkoot y > x > 0. Tällöin f (x)= a x > a y = f (y), joten f on aidosti vähenevä.

4 4 5. Määritä funktioiden (a) a(x)= x 2 2x 5, (b) b(x)= x2/3 1+ x, 4 (c) c(x) = x 2 x 2 2, (d) d(x) = x sin x x laajimmat määrittelyjoukot tutki funktioiden tkuvuutta niissä. Käytä kurssin lauseita. Ratkaisu. (a) Määrätään ensin lausekkeen x 2 2x 5 nollakohdat: x 2 2x 5=0 x 2 2x+1=(x 1) 2 = 6 x 1=± 6 x=1± 6. Näin ollen x 2 2x 5 0, kun x 1 6 tai x Funktion a laajin määrittelyjoukko on siis (, 1 6) (1+ 6, ). Lauseen mukaan polynomifunktio x x 2 2x 5 on tkuva Määritelmän Korollaarin perusteella neliöjuurifunktio on tkuva, joten a on Lauseen perusteella kahden tkuvan funktion yhdistettynä funktiona tkuva määrittelyjoukossaan (, 1 6) (1+ 6, ). (b) Koska funktion määrittelevän lausekkeen nimittäjä 1+ x 4 on positiivinen kaikilla x osoittassa oleva ratinaalipotenssifunktio x x 2/3 on Määritelmän mukaan määritelty kaikilla x, niin funktio b on näiden osamääränä määritelty koko :ssä. Rationaalipotenssifunktio x x 2/3 on oppikirn sivulla 85 olevan huomion mukaan tkuva määrittelyjoukossaan polynomifunktio x 1+ x 4 on tkuva Lauseen perusteella, joten funktio b on Lauseen mukaan kahden tkuvan funktion osamääränä tkuva :ssä. (c) Funktion määrittelevän itseisarvojen sisällä olevan murtolausekkeen nimittäjällä on kaksi nollakohtaa 2 2. Murtolausekkeen nimittäjä x 2 on määritelty kaikilla x, joten funktio c on kyseisen murtolausekkeen itseisarvona määritelty joukossa \{± 2}. Polynomifunktiot x x 2 x x 2 2 ovat Lauseen mukaan tkuvia, joten itseisarvojen sisällä oleva lauseke on Lauseen mukaan kahden tkuvan funktion osamääränä tkuva määrittelyjoukossaan \{± 2}. Koska itseisarvokuvaus on tkuva (ks. esimerkiksi kotitehtävä 3A:2), niin funktio c on Lauseen perusteella kahden tkuvan funktion yhdistettynä funktiona tkuva määrittelyjoukossaan \{± 2}. (d) Funktion määrittelevän itseisarvojen sisällä olevan murtolausekkeen nimittäjä x on positiivinen osoittassa oleva tulo x sin x on määritelty kaikilla x, joten murtolauseke on määritelty kaikilla x. Näin ollen funktio d on itseisarvona tästä murtolausekkeesta määritelty koko :ssä. Koska x sin x on Lauseen perusteella tkuva, niin x sin x on Lauseen mukaan tkuva kahden tkuvan funktion tulona. Lisäksi x x on Lauseen mukaan polynomifunktiona tkuva, joten itseisarvojen sisällä oleva murtolauseke on Lauseen perusteella tkuva koko :ssä. Koska itseisarvokuvaus on tkuva (ks. esimerkiksi kotitehtävä 3A:2), niin funktio d on Lauseen perusteella kahden tkuvan funktion yhdistettynä funktiona tkuva määrittelyjoukossaan.

5 5 6. Millä vakion c arvoilla funktio f :, c 2 x 2c, x 2, f (x)= 12, x<2, on tkuva koko :ssä? Ratkaisu. Jotta f on tkuva pisteessä x = 2, on oltava f (2)=c 2 2 2c=12= lim f (x) 2(c2 c)=12 c 2 c 6=0 x 2 c= 1± ( 1) ( 6) = 1± 1+24 = 1±5 c= 2 tai c= Tällöin f (2)=12=lim f (x), x 2 joten f on tkuva pisteessä x = 2. Lisäksi f on tkuva polunomifunktiona kaikilla x < 2 (Lause ) vakiofunktiona kaikilla x>2. Näin ollen f on tkuva koko :ssä, kun c= 2 tai c=3. 7. Osoita, että yhtälöllä x(x 1) 2 = 1 on ratkaisu. Määritä ratkaisun likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu. Tutkitaan funktiota f :, f (x)= x(x 1) 2 1= x(x 2 2x+1) 1= x 3 2x 2 + x 1, x, joka polunomifunktiona on tkuva :ssä. Erityisesti f on tkuva suljetulla välillä [1, 2]. Koska f (1)= = 1<0 f (2)= =1>0, niin Bolzanon lauseen mukaan on olemassa ainakin yksi x (1, 2), jolle pätee f (x)=0. Tämä piste x on yhtälön x(x 1) 2 = 1 ratkaisu. Etsitään sitten haarukoimalla pistettä x (1, 2), jolle pätee f (x) = 0. Koska f (1,7)=1, , ,7 1= 0,167<0 f (1,8)=1, , ,8 1=0,152>0, niin x löytyy väliltä (1,7; 1,8). Koska f (1,75)=1, , ,75 1= 0,015625<0 f (1,76)=1, , ,76 1=0,016576>0, niin x löytyy väliltä (1,75; 1,76). Koska f (1,750)=1, , ,750 1= 0,015625<0 f (1,755)=1, , , ,000394>0, niin x löytyy väliltä (1,750; 1,755). Näin ollen yhtälön x(x 1) 2 = 1 ratkaisun likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella on 1,75.

6 6 8. Jaa funktion f :, f (x)= x 2 + 2x 1, määrittelyjoukko osiin siten, että vastaavilla funktion rajoittumilla on käänteisfunktiot. Määritä kyseisten käänteisfunktioiden lausekkeet. Ratkaisu. Osoitetaan aluksi, että f on aidosti kasvava, kun x 1, aidosti vähenevä, kun x 1. Olkoot x 1, x 2, x 1 > x 2. Tällöin f (x 1 ) f (x 2 )= x x 1 1 (x x 2 1)= x x 1 x 2 2 2x 2 > 0, jos x 1 > x 2 1, = (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 + 2) < 0, jos 1 x 1 > x 2. Siis f on aidosti kasvava, kun x 1, aidosti vähenevä, kun x 1. Aidosti kasvava tai vähenevä funktio on injektio (Tehtävä 3.3.7). Näin ollen f :n rajoittumilla joukkoihin (, 1] [ 1, ) on käänteisfunktiot. Näitä vastaavat bijektiot ovat f 1 : (, 1] f (, 1]=[ 2, ) f 2 : [ 1, ) f [ 1, )=[ 2, ), joiden käänteiskuvaukset saadaan ratkaisemalla x yhtälöstä x 2 + 2x 1=y x 2 + 2x+1=2+y (x+1) 2 = 2+y. Kun x 1, niin x= 1 2+y, kun x 1, niin x= 1+ 2+y. Näin ollen kysytyt käänteisfunktiot ovat f 1 1 : [ 2, ) (, 1], f 1 2 : [ 2, ) [ 1, ), f 1 1 (y)= 1 2+y, y 2, f 1 2 (y)= 1+ 2+y, y 2. Kuvassa vasemmalla funktion f kuvaa välillä [ 3, 1] sekä oikella funktion f 1 1 kuvaa punaisella funktion f2 1 kuvaa sinisellä välillä [ 2, 5].

7 7 9. Osoita, että kaikilla n 1. lim x(ln x 0 x)n = 0 + Ratkaisu. Koska x=e y on yhtäpitävää sen kansssa, että ln x= y, niin lim x(ln x 0 x)n = lim e y ( y) n = lim + y ey= 0, koska eksponettifunktion e y kasvu voittaa kasvussa kaikki potenssit y n. Täsmällisesti ra-arvo y n lim y e y= 0 seuraa Lauseesta y ( 1) n yn 10. (HKK Tehtävä 4.3.7) Olkoon f : tkuva funktio, jolle 0< f (x)<1kaikilla x. Määritellään funktio g: asettamalla g(x)= f (x) 1+ x 2. Osoita, että funktio g saavuttaa joukossa suurimman arvonsa. Ratkaisu. Olkoon a > 0, jolloin 0 < f (a) < 1. Koska g on kahden tkuvan funktion osamääränä tkuva koko :ssä, niin erityisesti se on tkuva välillä [ a, a]. Näin ollen g:llä on Weierstrassin min-max-lauseen perusteella suurin arvo välillä [ a, a], merkitään sitä S :llä. Tällöin S g(a)= f (a) 1+a2> 0, koska f (a) > 0. Toisaalta sillä lim g(x)=0, x ± 0<g(x)= f (x) 1 1+ x 2< 1+ x2 0, kun x ±. Näin ollen on olemassa sellainen M>0, että jos x > M, niin g(x)<s. Koska g on tkuva myös välillä [ M, M], on sillä Weierstrassin min-max-lauseen perusteella suurin arvo tällä välillä; olkoon se S. Silloin S S, koska g(x)<s, kun x > M. Nyt S on g:n suurin arvo :ssä.