STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
|
|
- Taisto Halonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja. Kaien satunnaisuuden äsittelyn taana on (mahdollisesti suuri) musta laatio, jota nimitetään todennäöisyysavaruudesi. Tämä on olmio (Ω, F, P). Jouo Ω on aiien aleistapahtumien muodostama jouo. Kurssin annalta tällä jouolla ei ole juuriaan meritystä eli suurimmasi osasi jouoa Ω voi ajatella äärellisenä tai numeroituvasti äärettömänä jouona vaia oieasti se yleensä on ooltaan suuri. Jouo F on aleistapahtumien jouon osajouojen P(Ω) osajouo, eli niin sanottujen tapahtumien jouo. Monessa äytännön esimerissä voi ajatella, että aii mahdolliset jouon Ω osajouot ovat tapahtumia. Tämä ei tosin pidä yleisesti paiaansa. Yleisessä tilanteessa aleistapahtumia voi olla liiaa, joten välttämättä aiien aleistapahtumien osajouojen ei tarvitse olla tapahtumia, mutta ainain Ω on aina tapahtuma. Yleisestiin tapahtumat on uvailtavissa seuraavilla säännöillä Määrittelevät ominaisuudet. jouo Ω on varma tapahtuma jos A on tapahtuma, niin jouo A C := Ω \ A on myös tapahtuma (ns. omplementtitapahtuma) jos { A : =0, 1, 2,... } ovat tapahtumia, niin niiden yhdiste {A tapahtuu jollain =0, 1, 2,... } on tapahtuma jos { A : =0, 1, 2,... } ovat tapahtumia, niin niiden leiaus on tapahtuma. {A tapahtuu joaisella =0, 1, 2,... } Yleisesti, jos jollain jouoperheellä on yllä mainitut ominaisuudet, niin sitä nimitetään σ-algebrasi. Kaiien tapahtumien jouo F on siis aina σ- algebra. Tarvitsemme urssilla tätäin äsitettä, jotta voimme puhua tapahtumien osajouosta, joa itsein toteuttaa tapahtumien määrittelevät ominaisuudet Määritelmä. Kun F on join σ-algebra ja G F on sen sellainen osajouo, että G on myös σ-algebra, niin jouoa G sanotaan ali-σ-algebrasi.
2 8 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Jos Ω on numeroituva, niin yleensä F = P(Ω). Edelleen joudumme usein yhdistelemään alujaan eri tapahtumajouojen tietoja yhdesi ali-σ-algebrasi. Tätä varten esittelemme yhden tapahtumiin liittyvän merinnän Merintä. Jos C F on mielivaltainen osajouo, niin pienintä ali-σalgebraa G F sanomme jouon C virittämäsi σ-algebrasi ja meritsemme σ(c ) := G. Hyödyllistä lisätietoa σ-algebroista ja niihin läheisesti liittyvistä muista jouoluoista löytyy urssin Todennäöisyysteoria -urssimateriaaleista. Kosa tapahtumat {A 1,A 2,... ja A d } ovat varsin yleisiä, niin äytämme näille lyhennysmerintää 1.4. Merintä. Kun A 1,..., A d ovat tapahtumia, niin äytämme merintää A 1 A 2... A d := {A 1,A 2,... ja A d }. Kuvaus P liittää uhunin tapahtumaan sen todennäöisyyden, miä on luu suljetulla välillä [0, 1] ja se toteuttaa seuraavat ehdot: 1.5. Määrittelevät ominaisuudet. varman tapahtuman Ω todennäöisyys P ( Ω ) = 1 jos A on tapahtuma, niin omplementtitapahtuman A C := Ω \ A todennäöisyys on P ( A C ) =1 P ( A ) ja jos (A ) N ovat pistevieraita tapahtumia, niin P ( A tapahtuu jollain N )= N P ( A ) Mallintaasemme stoastisia ilmiöitä tarvitsemme vielä satunnaismuuttujan seä ehdollisen todennäöisyyden äsitteet. Palautamme ensin mieleen satunnaismuuttujat. Satunnaismuuttuja X on (lähes) mielivaltainen uvaus todennäöisyysavaruudesta tilajouoon S. Jos tilajouo S on join äärellinen tai numeroituvasti ääretön jouo, niin tällöin satunnaismuuttuja X voidaan tulita mielivaltaisesi uvausi Ω S. Yleisemmässä tapausessa, meidän tulisi asettaa myös tilajouoon sen säännölliset eli mitattavat tapahtumat. Tällöin vaatimus olisi vain: jos A S on tilajouon miä tahansa säännöllinen tapahtuma, niin jouon {X A} on oltava tapahtuma todennäöisyysavaruudessa Ω. Mitta- ja integrointi -urssin terminologialla: X on S-arvoinen satunnaismuuttuja taroittaa, että uvaus X :Ω S on F -mitallinen. Usein tilajouo S on myös topologinen avaruus (eli sen avoimet jouot on määrätty). Tällöin yleensä tilajouon S mitattavat jouot oostuvat sen Borelin jouoista B(S), miä on sen avointen jouojen virittämä σ-algebra.
3 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 9 Olemme nyt saaneet errattua todennäöisyysavaruuden ja satunnaismuuttujan äsitteet. Jatossa emme enää irjoita allaolevaa todennäöisyysavaruutta Ω näyviin lainaan. Puhumme vain tapahtumista ja todennäöisyysistä. Satunnaismuuttujien ohdalla tarvitsemme vain tiedon tilajouosta S ja siten satunnaismuuttujaa X voimme pitää tilajouon tuntemattomana aliona X S ja jota voimme äsitellä taralleen samoin uin tilajouon aliota. Tarvitsemme vielä muutaman äsitteen seä merinnän. Kun satunnaismuuttujan X tilajouo S = {i 0,i 1,... } on join positiivisten reaaliluujen R + numeroituva osajouo, niin satunnaismuuttujan X odotusarvo E X on positiivinen reaaliluu (tai mahdollisesti ääretön ) (1.6) E X := i P ( X = i ). =0 Jos tilajouo S C on äärellinen, niin sama määritelmä on voimassa, mutta jos tilajouo on numeroituvasti ääretön omplesiluujen osajouo, niin satunnaismuuttujalla on odotusarvo, jos myös itseisarvolla X on äärellinen odotusarvo. Käytännössä urssilla satunnaismuuttujat ovat positiivisia 3 tai niillä on odotusarvo. Yleisessä tapausessa tilajouo S voi olla ylinumeroituva omplesiluujen osajouo, ja tällöin tarvitsisimme hieman lisätietoja odotusarvosta. Tällaisia tietoja äsitellään lähemmin todennäöisyysteorian urssilla, mutta myös Mitta- ja integraali urssilla, sillä yleisesti odotusarvo on vain mittaintegraali todennäöisyysmitan P suhteen. Tarvitsemme näitä tietoja urssilla, mutta yritämme johtaa niiden tarpeen tilanneohtaisesti ysinertaistaen tarasteltavia ongelmia ensin. Odotusarvolla on seuraavia ominaisuusia: odotusarvo on lineaarinen eli jos α, β C ja X seä Y ovat satunnaismuuttujia, niin E (αx + βy )=αe X + βe Y jos 0 X 0 X 1,... ovat satunnaismuuttujia ja lim X n = X, niin (1.7) E X = lim n E X n. Näitä ahta ominaisuutta tulemme jatossa tarvitsemaan usein. Tulemme myös äyttämään seuraavaa niin sanotun Iversonin 4 notaatiota tai haasulumerinnän. Jotain vastaavaa merintää tarvitaan eri tilanteissa niin usein, että on 3 eli tilajouo on R + :n osajouo 4 Kenneth Eugene Iversonin muaan lähteenä Donald Erwin Knuthin The Art of Computer Progamming, Vol I
4 10 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT järevää äyttää mahdollisimman lyhyttä, seleää seä yhtenevää merintää oo ajan Merintä. Iversonin haasulumerintä taroittaa uvausta väitteiltä luvuille {0, 1}, joa määritellään seuraavasti: 1, jos väite on tosi, [väite ] := 0, jos väite ei ole tosi. Tämän merinnän erioistapausena saamme esimerisi Kronecerin deltan, sillä δ ij =[i = j ]. Tutustutaan lyhyesti tämän merinnän ominaisuusiin. Voimme esimerisi irjoittaa joaisen satunnaismuuttujan X, jona tilajouo on join luujouo, ysinertaisena summana X = S [ X = ]. Yleistämme merinnän tapahtumille A seuraavasti 1.9. Merintä. Jos A on tapahtuma, niin [ A ] on satunnaismuuttuja, jolle 1, jos ω A, [ A ](ω) := [ ω A ]= 0, jos ω/ A, Jatossa emme tule irjoittamaan aleistapahtumaa ω näyviin, joten jos A on tapahtuma, niin [ A ] on satunnaismuuttuja, jona tilajouona on asio {0, 1}. Erityisesti havaitsemme, että odotusarvon määritelmän muaan (1.10) E [ A ] = 0 P ([A ] = 0 ) + 1 P ([A ] = 1 ) = P ( A ), sillä {[ A ] = 1} = A. Siispä indutioilla voimme päätellä, että jos satunnaismuuttujan X tilajouo S = {i 0,i 1,..., i d }, niin odotusarvon lineaarisuuden seä identiteetin (1.10) avulla voimme johtaa esittämämme odotusarvon määritelmän, sillä ( ) E X = E i [ X = i ] = i E [ X = i ]= i P ( X = i ). Myös suorana sovellusena Iversonin notaatiosta voimme lasea satunnaismuuttujan f(x) odotusarvon, sillä ( ) E f(x) =E f(i )[ X = i ] = f(i )P ( X = i ). Summausen ja odotusarvon järjestystä voi aina vaihtaa, un tilajouo S on äärellinen. Äärettömän tilajouon tapausessa voimme yleensä perustella summausen ja odotusarvon järjestysen vaihdon soveltamalla odotusarvon rajaarvo-ominaisuutta (1.7).
5 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 11 Todennäöisyyslasennan piaertausessa tarvitsemme vielä ehdollisen todennäöisyyden äsitteen Merintä. Meritsemme tapahtuman A todennäöisyyttä ehdolla, että tapahtuma B on tapahtunut, seuraavasti P ( A B ) := P ( AB ) P ( B ) Ehdollinen todennäöisyydellä on samat ominaisuudet uin tavallisella todennäöisyydellä, joten sitä vastaa myös ehdollinen odotusarvo: Merintä. Meritsemme satunnaismuuttujan X joa saa numeroituvan määrän arvoja ehdollista odotusarvo ehdolla, että tapahtuma B on tapahtunut, seuraavasti E (X B) := i P ( X = i B ). Tämä on helposti yleistettävissä tilanteeseen, missä tapahtuman sijasta tiedämme, että toisen satunnaismuuttujan arvon. Jos Y = l j l [ Y = j l ] niin edellisen motivoimana voimme ajatella, että (1.13) [ Y = j l ]E (X Y ) := [ Y = j l ]E (X Y = j l ) Summaamalla apumuuttujan l suhteen saamme E (X Y )= l [ Y = j l ]E (X Y )= l [ Y = j l ]E (X Y = j l ) Huomaamme, että näin saatu satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla, että tiedämme satunnaismuuttujan Y on myös satunnaismuuttuja. Täreänä erityistapausena tästä voimme päätellä, että jos X = f(y ), niin E (f(y ) Y )= l [ Y = j l ]E (f(j l ) Y = j l )= l f(j l )[ Y = j l ]=f(y ) eli satunnaismuuttujan f(y ) ehdollinen odotusarvo ehdolla, että tiedämme satunnaismuuttujan Y, on satunnaismuuttuja f(y ) itse. Voimme yleistää ehdollisen odotusarvon äsitettä edellee tilanteeseen, missä tiedämmein jonin äärellisen σ-algebran G. Yleistämme aavan (1.13) muotoon (1.14) [ B ]E (X G ) := [ B ]E (X B)
6 12 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT joaisella tapahtumalla B G. Kun G on äärellinen, niin sen virittää äärellinen jouo pistevieraita tapahtumia {B 1,..., B m }.Tällöin saisimme taas summaamalla (1.15) E (X G )= m [ B ]E (X B ). =1 Huomionarvoinen seia on, että E (X G ) on G -mitallinen satunnaismuuttuja, sillä tapahtuma {E (X G ) A} = {B j1 tai... tai B jl } G. Valitettavasti, un Ω ja tilajouo S voivat olla mielivaltaisen suuria ja satunnaismuuttujat voivat saada ylinumeroituvan määrän eri arvoja, ei edellinen summaamisteniia riitä. Yleisesti, satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla tapahtuma B on ilmaistavissa integraalina. Voimme hyvin äyttää tavallista odotusarvoa vastaavia approsimointitulosi tällaisille ehdollisille odotusarvoille ehdollinen odotusarvo, ehdolla tapahtuma B on lineaarinen eli jos α, β C ja X seä Y ovat satunnaismuuttujia, niin E (αx + βy B) =αe (X B) +βe (Y B) jos 0 X 0 X 1,... ovat satunnaismuuttujia ja lim X n = X, niin (1.16) E (X B) = lim n E (X n B). Yleisen ehdollistamisen σ-algebran G suhteen onin jo huomattavasti inisempi. Ongelmana on se, että tällaista σ-algebraa ei voida esittää pistevieraana yhdisteenä tapahtumista, joiden todennäöisyys on aidosti positiivinen. Joudumme siis ottamaan huomioon myös lähes mahdottomat tapahtumat. Tämä johtaa muodollisesti 0/0 -tilanteisiin, joten jotain muuta on tehtävä. Havaitsemme aavasta (1.15), että äärellisessä tilanteessa ehdollisen odotusarvon määräämisesi riittää tuntea ehdolliset odotusarvot tapahtumien suhteen. Nämä ehdolliset odotusarvot on rataistavissa myös seuraavasta aavasta (1.17) (1.17) E ([ B ]E (X G ) ) = E ([ B ]E (X B) ) = E ([ B ]X), joaisella tapahtumalla B G. Kaava (1.17) seuraa suoraan aavasta (1.14) ottamalla odotusarvot puolittain. Voisimmein määritellä, että satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla G on se satunnaismuuttuja E (X G ), joa on yhtälöryhmän (1.17) ysiäsitteinen rataisu. Tämä yhtälö yleistyy helposti yleiseen tilanteeseen. Määrittelemmein, että
7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Määritelmä. Oloon X omplesiarvoinen satunnaismuuttuja, jona E X < ja G F join taphtumien ali-σ-algebra. Sanomme, että satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla G on se satunnaismuuttuja E (X G ), joa on G -mitallinen, E E (X G ) < ja joa on yhtälöryhmän (1.17) rataisu. Se tosiseia, että ehdollinen odotusarvo on olemassa ja ysiäsitteinen on epätriviaali. Tämä seuraa Radonin-Niodymin lauseesta ja se sivuutetaan tällä urssilla. Enemmän tästä löytyy Todennäöisyysteoria -urssilla. Edelleen ysiäsitteisyys on voimassa nollatapahtumia vaille. Tätä varten esittelemme merinnän Merintä. Sanomme, että join asia on voimassa melein varmasti tai m.v., jos todennäöisyys asian voimassaololle on 1. Sanomme esimerisi, että X = Y m.v. jos tapahtuma {X = Y } on melein varma. Kosa usein ehdollistamme yleisen satunnaismuuttujan X suhteen, niin määrittelemme missä E (Y X) := E (Y σ(x)), σ(x) := σ{ {X A} : A on mitallinen jouo } on satunnaismuuttujan X virittämä σ-algebra. Äärettömyyden muaantulo paottaa sietämään näitä nollatapahtumia, joten otamme ne muaan avosylin ja muistutamme niiden olemassaolosta aina tarvittaessa. Palaamme niihinin uudestaan, un emme voi niitä välttää. Ehdollisen todennäöisyyden avulla voimme määritellä tapahtumien riippumattomuuden Määritelmä. Sanomme, että tapahtumajouo { A λ : λ I } on riippumaton, jos joaisella äärellisellä osajouolla {λ 0,..., λ d } I on voimassa P ( A λd A λ0 A λ1... A λd 1 ) = P ( Aλd ). Sanomme, että satunnaismuuttujajouo { X λ : λ I } on riippumaton, jos aina, un { B λ : λ I } on perhe tilajouon tapahtumia, niin vastaava tapahtumajouo on riippumaton. {{X λ B λ } : λ I }
8 14 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Olemme nyt äsitelleet lyhyesti tarvittavat todennäöisyyslasennan äsitteet. Johdatus todennäöisyyslasentaan urssilla esitettyjä malleja ja jaaumia emme tässä ertaa vaan palautamme ne mieleen tarpeen tullessa. Myösään jouojen ylinumeroituvuusien aiheuttamia tenisiä vaieusia tulemme äsittelemään, un niiden aia on. Jotta jatossa ei olisi liiaa määrittelemättömiä äsitteitä, lopetamme johdannon, määräämällä mitä stoastinen prosessi taroittaa. Ensin määrittelemme, miä on tilajouo Määritelmä. Oloon S ja S join σ-algebra jouolla S. Paria (S, S ) sanotaan tilajouosi tai tila-avaruudesi. Jos mitattavista jouoista S ei ole epäselvyyttä, meritsemme tilajouoa pelästään irjaimella S. Nyt voimme määritellä stoastisen prosessin Määritelmä. Oloon T. Oloon (X t ; t T ) perhe S-arvoisia satunnaismuuttujia. Sanomme tätä perhettä S-arvoisesi stoastisesi prosessisi. Huomaamme, että määritelmässä jouolle T ei ollut mitään erityisiä rajoitteita. Tällä urssilla yleensä oletamme seuraavaa Oletus. Aiajouo T on joo T = αn jollain α> 0 tai T R on reaalinen väli. Jos t T, niin luua t nimitetään ajanhetesi. Jos T = αn, niin sanomme aiaa disreetisi, muuten aia on jatuvaa. Välillä joudumme irjoittamaan iäviä lauseeita ajanhetisi. Tällöin on ätevää, että voimme tarvittaessa irjoittaa ajanheten ahteen paiaan Merintä. Voimme vapaasti meritä satunnaismuuttujaa ajanhetellä t T joo X t tai X(t) Oletus. (1) Jos S on numeroituva jouo, niin S on aina P(S). (2) Käytännössä oo ajan tällä urssilla tilajouo S on join seuraavista jouoista {0, 1,..., d}, N := {0, 1,... }, S = Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }, D R d, un d N + := N \{0} (3) Kun S = D R d, niin jouo on Borelin jouo (mutta yleensä joo avoin tai suljettu) ja S = B(S). Stoastinen prosessi on siis vain varsin mielivaltainen ooelma ajasta riippuvia satunnaismuuttujia, jota saavat arvoja tilajouossa S.
9 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Huomautus. Huomautamme vielä, että antamalla sopiva σ-algebra aiien uvausten jouoon S T jouolta T jouoon S (taremmin ns. tulo-σalgebra), niin (X(t)) on stoastinen prosessi jos ja vain jos X(ω) := t X(t, ω) on S T -arvoinen satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan arvoa X(ω), joa on siis uvausia aiajouolta T tilajouolle S, nimitetään usein stoastisen prosessin realisaatiosi tai otosfuntiosi. Myös nimeä polu äytetään. Kosa tulojouo S T sisältää aii uvauset eiä vain säännöllisiä uvausia, ei ole syytä olettaa, että nämä otosfuntiot olisivat jatuvia saatia edes mitallisia.
3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotOHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008
OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotLuku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
LisätiedotX k+1 X k X k+1 X k 1 1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotLuku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
Lisätiedot4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotModaalilogiikan harjoitusteht vi Aatu Koskensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesim
Modaalilogiian harjoitusteht vi Aatu Kosensilta 1 Harjoitusteht v t 16.4 1.1 Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesimerin avulla. Otamme ehysisi F 1 = hz? ;?i ja F 1 = hz
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotLuento Otosavaruus, tapahtuma. Otosavaruus (sample space) on kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien (sample) ω joukko.
Luento odennäöisyyslasentaa Otosavaruus, tapahtuma ja todennäöisyys Ehdollinen todennäöisyys, tilastollinen riippumattomuus, Bayesin teoreema, oonaistodennäöisyys Odotusarvo, varianssi, momentti Stoastiset
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLuento Otosavaruus, tapahtuma. Otosavaruus (sample space) on kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien (sample) ω joukko.
Luento 0 odennäöisyyslasentaa Otosavaruus, tapahtuma ja todennäöisyys Ehdollinen todennäöisyys, tilastollinen riippumattomuus, Bayesin teoreema, oonaistodennäöisyys Odotusarvo, varianssi, momentti Stoastiset
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
Lisätiedotx k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.
28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
Lisätiedot5. Stokastinen integrointi
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 55 5. Stokastinen integrointi Olemme lopulta käyneet läpi tarvittavat tiedot peruskäsitteistä ja voimme aloittaa stokastisen integroinnin (ja siten stokastisen derivoinnin
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia
LisätiedotTehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
Lisätiedot2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************
.. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää
Lisätiedot= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja
44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
Lisätiedot