Seuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi

Transkriptio

1 Laaja matematiikka 5 Kevät Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause Jos f ja g ovat joukossa itegroituvia, ii myös f ( f + g) = f + g. + g o ja Lause 2 Jos f o joukossa itegroituva ja c o vakio, ii myös cf o itegroituva ja ( cf ) = c f. Lause 3 Jos f ja g ovat joukossa itegroituvia ja f ( x) g( x) x, ii f g.

2 2 Kolmioepäyhtälö vastie o itegraaleilla Lause 4 Jos f o joukossa itegroituva, ii myös f o ja f f. Lause 5 Jos f ja g ovat joukossa itegroituvia, ii myös fg o. Lause 6 Jos f o jatkuva ja g välillä I itegroituvia ei-egatiivie fuktio, ii välillä I o olemassa sellaie piste x 0, että f ( x) g( x) dx= f( x ) g( x) dx. I 0 I Lause 7 Jos S Tja f : S o itegroituva, ii silloi myös fuktio f ollajatko joukkoo T f ( x), ku x S fs( x) = 0, ku x T \ S o itegroituva joukossa T ja f = f S. T S

3 3 Huomattakoo, että jos f o aluperi määritelty laajemmassa joukossa T, ii silloi fs = f χs o itegroituva joukossa S ja f = f χ S S. S T Lause 8 Jos f o itegroituva erillisissä joukoissa S ja S 2, ii se o itegroituva myös iide yhdisteessä S S2 ja f = f + f. S S2 S S2 Tarvitsemme jatkossa seuraavaa merkitää jouko itegraalille: f ( x) dx= f( x,, x ) d( x,, x ). p p p yli lasketulle Lause 9 (Iteroitu itegraali väli yli) Olkoo väli I = I I, I = a, b, j =,, ja fuktio f j j j itegroituva välillä I. Jos jokaisella p, p ja jokaisella ( x,, x ) I I itegraali p+ p+ F ( x,, x ) = f( x) d( x,, x ) p p+ I Ip o olemassa, ii iteroitu itegraali b b2 aa2 b x f ( ) dx dx dx a o olemassa ja = f ( x) dx. I 2

4 4 Tod. Ks. Trech s. 469 tai Fitzpatrick pykälä 9.. Vaikka lause 9 o muotoiltu väleille, saadaa ollajatkoje avulla itegroitua yleisempieki alueide yli. Lause 0 Olkoo f itegroituva joukossa S = ( x, y) u( y) x v( y), c y d ja itegraali v( y) u( y) { } f ( xydx, ) olemassa jokaisella c y d. Silloi d v( y) f ( xydxy, ) (, ) = f( xydxdy, ). S c u( y)

5 5 Kolmiulotteie versio o: Lause Olkoo f itegroituva joukossa S = ( x, y, z ) u ( y, z ) x v ( y, z ), u ( z ) y v ( z ), c z d. { 2 2 } Oletetaa edellee, että itegraali f ( xyzdxy,, ) (, ) S( z) o olemassa yli jouko Sz () = (, xyu ) (,) yz x v(,), yz u() z y v() z { 2 2 } jokaisella z, c z d ja samoi itegraali v ( y, z) u ( y, z) f ( xyzdx,, ) kaikilla ( yz, ). Silloi d v2( z) v( y, z) f ( xyzdxyz,, ) (,, ) = f( xyzdxdydz,, ). S c u2( z) u( y, z)

6 6 Seuraavaksi tutkimme muuttuja vaihtoa. Koska muuttuja vaihto merkitsee avaruude kuvaamista toisee, o selvitettävä esi, mite joukkoje mitta muuttuu avaruuksie välisissä muuoksissa. Mitallisella tarkoitamme Jorda mitallista, eli joukkoa, joka reua o ollamittaie. Esiksi todetaa, että jos kuvaus o riittävä sääöllie, ollamittaie joukko säilyy ollamittaisea. Lause 2 Jos G : o jatkuvasti differetioituva avoimessa rajoitetussa joukossa S ja K S o suljettu ja ollamittaie, ii G ( K) o ollamittaie. Lause 3 Jos G : o jatkuvasti differetioituva bijektio ja G ( x) 0kompaktissa mitallisessa joukossa S, ii G ( S) o kompakti ja mitallie. Ku yt tiedetää, että mitallisuus säilyy muuoksissa, voidaa pohtia, mikä o muuetu jouko mitta. Aloitetaa lieaarimuuoksista. Yksikertaisimmat käätyvät lieaarikuvaukset saadaa elemetaarimuuosmatriiseilla (Lama 2i, Kaleva moiste ss.49-50).

7 7 Apulause Olkoo I rajoitettu väli ja E joki elemetaarimuuosmatriisi kokoa. Silloi vei ( ) = det( E) vi ( ). Tod.: Lueolla tai Trech Lause 4 Olkoo S kompakti mitallie joukko ja L : bijektiivie lieaarikuvaus, joka matriisi o A. Silloi muuoksessa x= L( y) = Ayjouko S mitta muutuu kaava v( L ( S)) = det( A) v( S) mukaisesti. Tod.: Koska L o bijektio, o se matriisi A käätyvä. Jokaie käätyvä matriisi voidaa esittää elemetaarimuuosmatriisie tuloa (Lama 2i): A = Ek E. Silloi saadaa iduktiivisesti v( L( S)) = v( AS) = v( E ( E E S)) k k = det( E ) ve ( ES) = = det( E)det( E ) det( E) vs ( ) k k k k = det( E E E ) v( S) = det( A) v( S). k k Tämä tulos yleistyy kaikkii riittävä sääöllisii muuoksii ja determiati rooli saa kuvaukse derivaata determiatti. Tulos o syvällie ja todistus sivuutetaa, ks. Trech tai Fitzpatrick. Lause 5 (Muuttuja vaihto) Olkoo G : jatkuvasti differetioituva bijektio ja G ( x) 0 kompaktissa mitallisessa joukossa S ja f jatkuva kuvajoukossa G ( S). Silloi muuoksessa x= G( y ) G( S) f ( x) dx= f( G( y))det( G ( y)) dy. S