Luku 1. Euklidinen avaruus

Transkriptio

1 1 MA LAAJA MAEMAIIKKA 4 amperee tekillie liopisto Risto Silveoie Helmi-maaliskuu 010 Luku 1 Euklidie avaruus 1 Avaruus sisätuloavaruutea Kertaamme sks puolelta vektoreide ja -ulotteise avaruude peruskäsitteitä Koska matriisilasketa o meillä kätettävissä, korostamme vektorie matriisiolemusta Vektorilla tarkoitetaa järjestettä äärellise moe luvu jooa Esimerkiksi (1,,, -5) o elikompoettie kokoaislukuvektori ja kuusikompoettie reaalilukuvektori Edellie o muodoltaa vaakavektorii ja jälkimmäie pstvektori Vektoreide leie teoria o peräisi havaiollisista tapauksista eli kaksi- ja kolmeulotteisista avaruuksista (=, =3)

2 Vektori o 1 matriisi 1 = ätä ii saottua pstvektoriesitstä pidetää useimmite vektori oletusmuotoa Sä siihe o hteesopivuus matriisilaskea kassa Mutta mös vaakavektoriesits [ 1 ] o tietissä tilateissa paikallaa Vaakavektoria merkitää usei mös tavallisilla suluilla: ( 1,,, ), jolloi sitä saotaa usei mös pisteeksi Vaakavektori voidaa muutaa pstvektoriksi ja päivastoi traspooimalla: [ ] 1 1 = 1, = [ ] 1 ilasistä pstvektorit aetaa usei traspooidussa muodossaa Vektoreille määritellää laskutoimitukset skalaarilla kertomie ja hteelasku seuraavasti ("kompoeteittai"): 1 a1 a a = a: = a, = + : = +

3 3 Avaruus eli -ulotteie euklidie avaruus määritellää tässä kurssissa 1-matriisie ("vektorie") joukoksi, jossa o matriisialgebrasta peritvät laskutoimitukset: vektorie hteelasku ja skalaarilla kertomie, sekä vektorie välie sisätulo = 1 { = [,,, ],, i= 1,, } i Laskutoimitukset oudattavat seuraavia lakeja, jotka seuraavat matriisialgebra sääöistä Luettelemme e kuiteki uudestaa tässä, koska saatuje ehtoje kokoelma määrittelee leisemmä käsittee o siis esimerkki vektoriavaruudesta vektoriavaruus Avaruus Muita vektoriavaruuksia ovat mm erilaiset fuktioista koostuvat fuktioavaruudet Avaruudessa aksioomat: toteutuvat seuraavat (reaalise) vektoriavaruude VA1 Joukossa o määritelt vektoreide, hteelasku: +, VA ( + ) + z= + ( + z),, VA3 O olemassa ollavektori: + 0= 0+ =, VA4 Jokaisella vektorilla o vastavektori: + ( ) = 0, VA5 + = +, VA6 Joukossa o määritelt skalaarilla kertomie: a,, a VA7 a( + ) = a+ a,,, a VA8 ( a+ b) = a+ b,, a, b VA9 ab ( ) = ( ab),, ab, VA10 =, 1

4 4 Nämä otetaa leisessä tapauksessa siis aksioomiksi vektoriavaruudelle, t e ovat seurauksia matriisialgebrasta Lisäomiaisuuksia (jotka sitte ovat leisessä tapauksessa lauseia johdettavissa llä olevista aksioomista) ovat mm seuraavat: - a0= 0, a - 0 = 0, - a= 0 a= 0 tai = 0,, a - ( 1) =, Sisätuloa koskevia omiaisuuksia tarkastelemme alempaa Yleisesti vektoriavaruuksia, joissa o määritelt sisätulo, saotaa sisätuloavaruuksiksi, joista o siis ksi Kertolaskua ei suoraa kahde pstvektori eli +1-matriisi keske ole mahdollista toimittaa muute kui traspooimalla toie: ulo o vektoreide Eli auki kirjoitettua: ja skalaaritulo eli sisätulo eli pistetulo 1 1 k k k= 1 = = Sisätuloa merkitää mös i, josta imits pistetulo, ja varsiki leisemmissä sisätuloavaruuksissa,

5 5 Sisätulo toteuttaa sääöt (,, a ): SA1, =, SA ( + ), z =, z +, z SA3 ( a), = a, SA4, 0 ja, = 0 = 0 Kirjoita ämä sääöt mös matriisitulo ja pistetulo merkitöjä kättäe! Vektori ormi eli pituus o = Sisätuloavaruutta, jossa o määritelt ormi, saotaa mös ormiavaruudeksi Normi toteuttaa ehdot (,, a ): NA1 0 ja = 0 = 0 NA a = a NA3 + + (Kolmioepähtälö)

6 6 Näistä kaksi esimmäistä seuraavat suoraa sisätulo omiaisuuksista Kolmioepähtälö todistamiseksi tarvitsemme toista imeltä tuettua epähtälöä: Lause 1 Cauch-Schwarzi epähtälö Kaikilla, R o voimassa, ja htäsuuruus pätee, jos ja vai jos = 0 tai = c, jollaki c R Cauch-Schwarzi epähtälö todistus: Osoitetaa väite oikeaksi esi ksikkövektoreille u, v: (kätetää t matriisiotaatiota mukavuussistä) ( ) ( ) 0 u± v = u± v u± v = u u± u v+ v v = u ± u v+ v eli 0 1± uv + 1, josta seuraa uv eli uv 1 Yhtäsuuruus o täsmällee tapauksessa u± v = 0 eli ku u= ± v Yleie tapaus: Olkoot = au, = bv, a =, b= Silloi = ( au) ( bv) = ab u v ab 1= Yhtäsuuruus o voimassa, ku ab=0 tai (jakamalla ab:llä) ku uv = 1 eli ku u= ± v Silloi = 0 tai = 0 ( = 0 ) tai = ± b a (oie todistus, ks Fizpatrick s74, rech s 84) Kolmioepähtälö todistus: + = ( + ) ( + ) = + + = = ( + ) ässä kätettii epähtälöä a a, a R ja Cauch-Schwarzi epähtälöä

7 7 Pisteide ja väliseksi etäisdeksi määritellää dist(, ) := Sisätulo avulla voidaa t määritellä ollasta eroavie vektorie ja välie kulma: θ = arccos, Ku kulma o π /, ii vektorit ja ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa eli ortogoaaliset, merkitää Ortogoaalisuusehto o siis = 0 i = 0 Jos vektorie välie kulma o 0, vektorit ovat samasuutaiset ja jos se o π, vektorit ovat vastakkaissuutaiset Yhteisimits äille o hdesuutaiset Merkiät ovat,, Lause Ortogoaalisille vektoreille pätee (leistett) Pthagoraa lause: + = + ämä seuraa kolmioepähtälö todistuksesta, ku huomataa, että t = 0

8 8 Geometrisesti vektorit tulkitaa avaruudessa seuraavasti: 1 = = 1 + i j missä 1 0 i = ja = 0 j 1 ovat taso luoolliset katavektorit 3 Vastaava esits pätee kolmiulotteisessa avaruudessa ällöi taso vektori voidaa tulkita suutauoleksi origosta pisteesee ( 1, ), ja samaksi vektoriksi geometrisessa mielessä katsotaa mikä hväsä tästä saatava suutauoli, joka suuta ja pituus ovat samat Jos tarkoitetaa imeomaa paikallaa olevaa origosta pisteesee ( 1, ) meevää uolta, puhutaa paikkavektorista Moesti vektori samaistetaa mös pistee ( 1, ) kassa Asiahtedestä leesä selviää, mitä kolmesta geometrisesta muodosta oliolla "vektori" tarkoitetaa: 1 = = 1 + = ( 1, ) i j

9 9 3 Vastaavat htedet ovat voimassa avaruudessa ja leisesti avaruudessa, jossa luoolliset katavektorit ovat vektorit e i = Yhteelasku ja väheslasku voidaa silloi geometrisesti ilmaista suuikassääöillä: Kättämällä äitä tulkitoja moi geometrie käsite voidaa siirtää (leistää) leisee -ulotteisee avaruutee (joita useimmat sovelluksissa kätettävät avaruudet ovat!)

10 10 Projektio Vektori (ortogoaalie) projektio vektorille o proj =,, Vektori suutaie ksikkövektori o vektori ` u = ätä kättäe voidaa projektio kaava perustella trigoometria avulla kosii määritelmää ojautue Suoraa pistetulolla laskemalla todetaa, että erotusvektori proj todella o kohtisuorassa vektoria vastaa ämä tarjoaa hde mahdollisuude muodostaa aetulle vektorille kohtisuora suuta: Valitaa mikä hväsä vektori, joka ei ole vakio kertaa, ja muodostetaa edellä maiittu erotus Jos u o ksikkövektori, ii proj u= ( i u) u ätä saotaa mös vektori kompoetiksi vektori u suutaa

11 11 Jooje suppeemie :ssä Pistejoo suppeemisessa etäisteä kätetää "euklidista etäisttä" dist(u-v) = u-v Pistejoo ( u k ) (eli vektorijoo) suppeee kohti pistettä u, jos ja vai jos jokaista positiivista lukua ε vastaa sellaie ideksi K, että dist( u, u ) < ε, ku k K k Päätulos, joka samalla tekee jooilla laskemise helpoksi, o Lause 3 Joo ( u k ) suppeee avaruudessa kohti pistettä u täsmällee silloi, ku jokaie kompoettijoo ( u ki) suppeee kohti raja-arvoa u i, eli uk1 u1 u k u uk = u= uk1 u1& uk u & & uk u u k u od Seuraus epähtälöistä = + + = ma j j 1 i i= 1,,

12 1 3 Avoimet ja suljetut joukot :ssä ämä pkälä käsittelee : topologiaa Koska :ssä o määritelt etäissfuktio dist, se o metrie avaruus ja sellaisea mös topologie avaruus opologisia käsitteitä ovat mm jouko reua, sisäosa, hteäiss, kuvauste jatkuvuus je opologia määrät avoimista joukoista Pistee Br u avoi mpäristö eli u-keskie avoi kuula o joukko ( u) = { v dist( u, v) < r} Jouko A piste u o A: sisäpiste, jos o olemassa avoi mpäristö Br ( u ), joka kokoaisuudessa sisält A:ha: Br( u ) A Jouko A kaikki sisäpisteet muodostavat jouko A sisäosa it A Joukko A o avoi, jos se kaikki pisteet ovat se sisäpisteitä, eli jos ja vai jos ita = A

13 13 Lause 4 Avoi kuula o avoi joukko od Lueolla Joukko F o suljettu, jos se sisältää kaikkie suppeevie joojesa raja-arvot Siis suljettua joukkoa karakterisoi omiaisuus: u F, k = 1,, & u u u F k k Joukko-oppia: Jouko A komplemetti o iide pisteide joukko, jotka eivät kuulu A:ha: \ A = { u u A} arvitsemme mös leise joukkoperhee eli joukkoje kokoelma A hdistee ja leikkaukse käsitteet: { } s s S s S s { u : u s} A = s S A { u : u s} As = s S A s S

14 14 Näille ovat voimassa DeMorgai lait: Yhdistee komplemetti o komplemettie leikkaus Leikkaukse komplemetti o komplemettie hdiste Avoimie ja suljettuje joukkoje välillä pätee htes: Lause 5 Joukko A o avoi täsmällee silloi, ku se komplemetti o suljettu (odistus kädää läpi lueolla) Lause 6 Avoimie joukkoje kaikki hdisteet ovat avoimia, ja samoi suljettuje joukkoje kaikki leikkaukset ovat suljettuja Lause 7 Äärellise moe avoime jouko leikkaus o aia avoi, ja samoi äärellise moe suljetu jouko hdiste o aia suljettu Esimerkeillä voidaa ättää, ettei äärellissoletuksista llä voida luopua

15 15 Piste u o jouko A ulkopiste, jos o olemassa u: avoi mpäristö Br( u) \ A Kaikkie jouko A ulkopisteide joukko muodostaa A: ulko-osa eta Piste u o jouko A reuapiste, jos jokaie u-keskie avoi kuula sisältää sekä A: että se komplemeti \ A pisteitä Kaikkie jouko A reuapisteide joukko muodostaa A: reua bda Avaruus jakaatuu siis jouko A kaalta kolmee erillisee joukkoo: A: sisäosaa, reuaa ja ulko-osaa Avoimelle ja suljetulle joukolle saadaa reua avulla havaiollie sisältö: Lause 8 Joukko A o avoi täsmällee silloi, ku se ei sisällä htäkää reuapistettää Lause 9 Joukko A o suljettu täsmällee silloi, ku se sisältää kaikki reuapisteesä (odistus kädää läpi lueolla) Edellä olevista selviää, että jouko A ei tarvitse olla kumpaakaa tpistä suljettu tai avoi (sehä voi sisältää osa reuapisteistää)