2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************

Transkriptio

1 .. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää jouoa. Sellaista sääntöä tai laia (tavallisesti ateaattinen lausee), joa joaiseen jouon alioon liittää täsälleen yhden alion jouosta B, sanotaan funtiosi eli uvausesi jouosta jouoon B. **************************************************************** Jouoa sanotaan funtion ääritysjouosi D f (define) ja jouoa B funtion aalijouosi. Määritysjouon alioita voidaan sanoa aluuvisi; vanheassa irjallisuudessa niitä sanottiin arguentin arvoisi. Niitä aalijouon alioita, jota uvausessa f liittyvät ääritysjouon alioihin, sanotaan uvisi, uva-alioisi, tavallisiin funtion arvoisi, ja ne uodostavat sitten funtion arvo-jouon V f. (V = value). Funtion aalijouo on usein arvojouoa laajepi. Esitetään joitain hiean einoteoisen tuntuisia esierejä, joista osa on funtioita ja osa ei ole. Esi.. a) K on funtio D f = {,, } V f = K, L f() = K, f() = L ja f() = B { } K L L Ei ole funtio. b) M lioon liittyy asi N B aliota jouosta B. f() = M ja f() = N!! (6)

2 .. Funtion asvainen ja väheneinen N O Ei ole funtio. lioon 4 c) B P ei liity aliota jouosta B. 4 {,, 4} D f = ja f() = N seä f() = P, utta f(4) ei ole itään. Jos = B = reaaliluujen jouo (tai tään osajouo), niin aliota toisiinsa liittävää lasulauseetta sanotaan reaalifuntiosi. Kun funtio lausee irjoitetussa testissä, lähinnä harjoitus- tai oetehtävissä, iloitetaan, niin ääritysjouoa tai aalijouoa ei yleensä eriseen iloiteta. Saatetaanpa ääritys- tai arvojouoa suorastaan tiedustella. Ellei eriseen ole itään iloitettu, niin oletetaan ääritysjouosi reaaliluujen jouo tai tään ahdollisian laaja osajouo. Koo R ei voi olla ääritysjouona ainaaan silloin, un uva-aliota äärättäessä joudutaan jaaaan nollalla, ottaaan neliöjuurta tai logaritia negatiivisesta luvusta tai uuta vastaavaa täysin ahdotonta. Esi.. Funtion sääntö on: liitetään reaaliluuun sen neliö. Tyypillinen erintätapa, varsinin tieteelliseässä irjallisuudessa on tällöin f : R R, f(x) = x, tai lyhein f : f (x) = x. Ensin ainitussa, pideässä erintätavassa esiintyvän nuolen vasealla puolella on ilaistu funtion ääritysjouo ja nuolen oiealla puolella funtion aalijouo. Tään funtion arvojouon uodostavat nolla ja sitä suureat positiiviset reaaliluvut: D = R ja V f = { y R y 0}. Esi. 4. Funtio ääritellään f (x) = x. f Nyt ääritysjouoa ei ole annettu, joten on todennäöistä, että se on itse selvitettävä. Neliöjuurta ei voi ottaa negatiivisesta luvusta, joten funtio on ääritelty niillä reaaliluvuilla, joille x >. (6)

3 .. Funtion asvainen ja väheneinen Maalijouosi elpaa tässä oo reaaliluujen jouo, utta arvojouon uodostavat niistä vain ei-negatiiviset reaaliluvut. Funtioita on sangen onen tyyppisiä. Näistä voidaan eriseen luoitella surjetio, injetio ja bijetio. Käsitteet eivät välttäättä ole aivan helppoja, eivätä joapäiväisen elään annalta itenään välttäättöiä, utta ateatiian parissa puuhastelevalle hyödyllisiä. Oloon seuraavassa f funtio siten, että D f = ja f:n aalijouo on B. Jos aalijouon joainen alio on jonin ääritysjouon alion uva, niin funtio on surjetio. Tällöin siis aalijouo on saa uin arvojouoin Esi. 5. B Esi. 6. KELP B n p EI KELP, sillä aalijouon aliolla n ei ole aluuvaa :ssa. Esi. 7. f : R R, f(x) = x ei ole surjetio, sillä illään negatiivisella luvulla ei ole aluuvaa ääritysjouossa. Jos sen sijaan sovittaisiin aalijouosi ei-negatiivisten reaaliluujen jouo, niin tällä rajoitusella tai lisääärittelyllä funtio f olisi surjetio. Jos funtio uvaa ääritysjouon asi eri aliota eri alioisi aali-jouossa, niin funtio on injetio. Määritelä voidaan esittää ateaattiseinin: (6)

4 .. Funtion asvainen ja väheneinen Oloon x x. Jos f (x) f (x ), niin f on injetio. Toinen tapa uvata injetiivisyyden ääritys: Jos f (x) = f (x ) x = x. Esi. 8. n B p On injetio, aii ääritysjouon aliot uvautuvat eri alioisi. Ei ole surjetio. Esi. 9. B Ei ole injetio, sillä f() = f(), eli yönen ja olonen uvautuvat oleat :si. On ylläin surjetio. Esi. 0. f : R R, f(x) = x ei ole injetio, osa aii ääritysjouon aliot, jota ovat toistensa vastaluuja, uvautuvat saasi arvojouon aliosi eli f(x) = f( x). Jos funtio on seä injetio että surjetio, niin sanotaan, että se on bijetio. Tällöin siis aalijouo = arvojouo ja joainen ääritysjouon alio uvautuu eri aliosi. Jos ääritysjouon aliot ovat nueroitavissa, niin ääritysjouossa on täsälleen yhtä onta aliota uin aalijouossain. Täytyy tietenin uistaa, että uvaus f :[,] [,4 ], y = f (x) = x on bijetio, vaia uaan ei pysty sanoaan, ontao reaaliluua yösen ja aosen välissä on. Käytännössä join funtio osoitetaan surjetiosi rataisealla funtion äärittelevä yhtälö y = f(x) uuttujan x suhteen ja osoittaalla, että ielivaltaiselle y B löytyy aluuva D f :ssä. Funtio osoitetaan puolestaan 4(6)

5 .. Funtion asvainen ja väheneinen injetiosi esierisi arvioialla erotusta f(x ) f(x ) ja osoittaalla, että tää voi olla nolla ainoastaan silloin, un x = x. Siäli un tunnetaan funtion onotonisuuden äsite, niin tiedetään injetiivisyyden toteutuvan ilan uuta. Jos funtio on oo ääritysjouossaan aidosti onotoninen, siis joo aidosti asvava tai aidosti vähenevä, niin se saa unin arvonsa vain yhden erran. ****************************************************** MÄÄRITELMÄ. Reaaliuuttujan funtio f on jollain välillä I aidosti asvava, jos tään välin ahdesta ielivaltaisesta aliosta suurean uva on pieneän uvaa suurepi, ts. jos,x I ja x < x f (x ) f (x ) x < ja funtio f on välillä I aidosti vähenevä, jos,x I ja x < x f (x ) f (x ). x > Reaaliuuttujan funtio f on oo ääritysjouossaan aidosti onotoninen, jos se on aiialla joo aidosti asvava tai aidosti vähenevä. ************************************************************** HUOM.! Monissa oppiirjoissa ääritellään eriseen funtion asvainen ja väheneinen ilan siihen liitettyä aitouden äsitettä. Tää asia oli esillä jo urssissa M7. Funtiota sanotaan asvavasi jollain välillä, jos se ei ainaaan vähene. Taroittaa siis sitä, että funtio voi olla välin I jollain osavälillä tai vaia oo välillä vaio. Vastaavasti ääritellään näissä opusissa funtion väheneinen. Kannattaa huoata, että tällainen äärittely on jossain äärin einoteoinen, osa tällaisia osin vaiona pysyviä ja osin vaiapa asvavia voivat olla vain paloittain ääritellyt funtiot. Käytännössä nää oppiirjat siirtyvätin tään äärittelyn jäleen puhuaan pelästä asvaisesta silloinin, un taroittavat aitoa asvaista. Tarvitseeo yhden adjetiivin (aito) irjoittaisen esierisi tehtävän antoihin oea niin työlääsi, että äsitteiden häärtyisen vaara jo pyörii? 5(6)

6 .. Funtion asvainen ja väheneinen Esi.. f: R R, f(x) = x on aidosti vähenevä jouossa R (negatiiviset reaaliluvut) ja aidosti asvava jouossa R + (positiiviset reaaliluvut). Esi.. Osoita, että funtio f: f(x) = x + b on aidosti vähenevä oo R:ssä, jos < 0. Tod.: Oloot nyt x, x R ielivaltaisia niin, että on x > x. Tällöin f (x ) f (x) = x + b x b = (x x) < 0, osa < 0 (oletus) ja x x > 0. Niinpä seuraa ehdosta x > x (x ) f (x ) 0. f < Esi. *. Osoita, että funtio f: f(x) = x on aidosti asvava oo R:ssä. Tod.: Oloot nyt x, x R ielivaltaisia niin, että on x > x. Tällöin f (x ) f (x) = x x = (x x)(x + x x + x Tää tehtävä näin suorittaen on vaiea sisi, että se sisältää tai vaatii tavallista ouluurssia syvepää tietoa polynoien jaollisuudesta. Nyt uitenin tiedetään heti oletusen nojalla, että tuloesitysen toinen teijä, x 0. ). x > x x + x > Väitteen oieellisuudesi riittää osoittaa, että x + 0 ovatpa x, x itä tahansa erisuuria reaaliluuja, vaiapa erierisetin. Mitään ongelaa ei olisi, jos ne olisivat saaneriset. Suoritetaan tässä jäliäisessä teijässä hiean erioinen neliösi täydennys: x x x x x x x x x x (x + + = = + ) + x > 0, osa ahden neliöterin sua on välttäättä positiivinen. Luvut x, x eivät niittäin oleat voi olla nollia. Näissä yhteysissä annattaa yleensä turvautua derivaattaan. Onhan funtio aidosti asvava oo ääritysjouossaan, jos derivaatta saa vain positiivisia arvoja, tai jos derivaattaa tulee nollasi vain ääritysjouon ysittäisissä pisteissä ollen uutoin positiivinen. Tässäin esierissä nähdään aito asvainen derivaatan avulla sangen vaivattoasti sillä f (x) = x f (x) = x 0 ja tulee nollasi vain silloin, un x = 0. 6(6)