Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Transkriptio

1 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista i kaupukii j o c ij, joka ei välttämättä ole sama molempii suutii. Haettava lyhi kiertomatka. Kyseie ogelma tuetaa imellä Travelig Salesma Problem, TSP. Kyse o siis siitä, missä järjestyksessä kaupugit tulee kiertää, jotta yhteelaskettu matka olisi piei mahdollie. Eri mahdollisuuksia o paljo: (-1)!. Kovikaa moi kaupparatsu ei ehkä käytä mallia kuukaude työsuuitelmaa tehdessää, mutta silti TSP o aalogia kautta yksi käytetyimmistä kokoaislukumalleista. Se soveltuu tilateisii, joissa o tehtävä joo operaatioita, joide järjestys voi olla muute vapaa, mutta eroa o eri järjestyste kustauksilla. TSP voidaa muotoilla lukuisilla eri tavoilla. Otetaa yt käyttöö malli, jossa biäärimuuttujat x ij = 1, jos kaupugista i meää seuraavaksi kaupukii j, ja muute x ij = 0. Silloi rajoitusehtoia ovat yhtälöt x i1 + + x i = 1, i = 1,, x 1j + + x j = 1, j = 1,, Näistä esimmäie yhtälöippu takaa se, että kaupugista i lähdetää täsmällee yhtee kaupukii, ja jälkimmäie, että kaupukii j saavutaa täsmällee yhdestä kaupugista. Lisäksi tarvitaa vaikeammi muotoiltavissa oleva ehto, joka kieltää erilliste alireittie sytymise. Eräs tällaie kostruktio koostuu epäyhtälöistä, joissa jokaiselle kaupukijouko {1, 2,, } aidolle epätyhjälle osajoukolle S vaaditaa muuttujie x ij summaksi 1, ku i S ja j S. Tällöi siis reitti pakotetaa ulos osajoukosta S.

2 11 Miimoitavaa kustausfuktioa o i j c ij x ij. Oheisissa kuvissa o 300 kaupugi TSP esi satuaisratkaisua ja sitte heuristise algoritmi (myöhemmi käsiteltävä 2-opt) atamaa (lähes) optimiratkaisua.

3 12 Kauppamatkustaja ogelmaa voi palauttaa esimerkiksi peräkkäisiä työvaiheita sisältäviä ogelmia valmistuksessa. Esimerkiksi jos piirilevyy o porattava reikiä aettuihi paikkoihi ja reiä poraamisee meee vakioaika, ii aikaero eri poraustapoje välille sytyy pora terä siirtelystä. Ogelma o silloi TSP.

4 13 Esimerkki 3 (Toimipistee sijaitiogelma) O valittava sijaiit perustettaville keskusvarastoille. Mahdollisia sijaitipaikkoja ovat ealta selvitetyt paikkakuat i = 1,2,,. Palveltavia liikkeitä ovat j =1, 2,, m. Jos varasto perustetaa paikkakualle i, siitä aiheutuvat kiiteät kustaukset f i. Kuljetuskustaukset varastosta i liikkeesee j ovat c ij, jos liikkee j koko tarve toimitettaisii varastosta i. Ogelmaa o selvittää, motako varastoa perustetaa ja mille paikkakuille valituista mahdollisista e sijoitetaa. Muuttuja y i = 1, jos paikkakualle perustetaa varasto, ja y i = 0 muute. Reaalimuuttuja x ij kertoo se osuude, mikä paikkakualla i oleva varasto hoitaa liikkee j tarpeesta, 0 x ij 1. Miimoitavaa kustausfuktioa o silloi z = Σ i Σ j c ij x ij + Σ i f i y i ja rajoitusehtoia ovat vaatimukset, että kuki liikkee tarve hoidetaa: Σ i x ij = 1, j = 1,, m ja että olemattomasta varastosta ei voi toimittaa: Σ j x ij My i, i = 1,. Tässä M>0 o "riittävä suuri" luku (esimerkiksi m käy). Probleema o siis lieaarie sekalukutehtävä eli MILP.

5 14 4. Moitahokkaide teoriaa Äärellise moe lieaarise epäyhtälö avulla määritelty joukko :ssä o koveksi moitahokas (polyhedro). Koska yhtälö o tulkittavissa kahdeksi epäyhtälöksi, o siis lieaarise optimoii käypä joukko aia moitahokas. Se vuoksi tarkastelemme lähemmi : 2 moitahokkaide omiaisuuksia. Tasossa moitahokas o moikulmio. Yhtälö α T x = β määrittelee :ssä (hyper)taso. Se ormaali o vektori α. Hypertaso jakaa avaruude kahtee puoliavaruutee H - = {x α T x β } ja H + = {x α T x β }. Moitahokas o siis äärellise moe puoliavaruude leikkaus. Olkoo moitahokas P määritelty m -matriisilla A ja vektorilla b m : P = {x Ax b}. 3 Moitahokas :ssa o silloi oheise kuva kaltaie. x2 A B C F H I G J D E L K x1 x3

6 15 Moitahokas P o ratioaalie, jos A ja b voidaa valita ratioaalikertoimisiksi. Tässä kurssissa oletamme, että P o aia ratioaalie. Se ei käytäö kaalta aiheuta ogelmia, koska lasketa toimitetaa aia ratioaaliluvuilla. P o rajoitettu, jos se o : joukkoa rajoitettu, eli sisältyy äärellissäteisee palloo tai äärellissivuisee kuutioo. (Eglaikielessä rajoitettu moitahokas o polytope, tosi joissaki kirjoissa asia o päivastoi, eli polyhedro o rajoitettu ja polytope yleie moitahokas.) Koveksi joukko o sellaie joukko, joka sisältää aia kahde pisteesä välijaa. Alla o esimerkki joukosta, joka ei ole koveksi: Moitahokas o ilmeisesti aia koveksi joukko. (Joskus määritellää yleisempi käsite moitahokkaaksi, jolloi meidä käsitteemme o koveksi moitahokas.)

7 16 Pisteide x i (i=1,,r) lieaarikombiaatio x = c 1 x 1 + +c r x r o koveksi kombiaatio, jos kertoimet c i ovat ei-egatiivisia ja iide summa = 1. Koveksi joukko sisältää aia pisteidesä koveksit kombiaatiot. Jouko S koveksi verho co(s) o S: pisteide kaikkie koveksie kombiaatioide muodostama joukko. Se o suppei koveksi joukko, joka sisältää S:. Osoittautuu, että kaikki rajoitetut moitahokkaat ovat äärelliste pistejoukkoje kovekseja verhoja. Pisteet x i (i=1,,k) ovat affiiisti riippumattomia, jos ehdoista c 1 x 1 + +c k x k = 0 & c c k = 0 seuraa c 1 = = c k = 0. Yhtäpitävää tämä kassa o, että vektorit x 2 -x 1, x k -x 1 ovat lieaarisesti riippumattomia. + 1 Edellee yhtäpitävää affiiille riippumattomuudelle o, että : vektorit [x T i,-1] T (i=1,,k) ovat lieaarisesti riippumattomia. Näistä ähdää, että eimmillää : affiiisti riippumattomassa pistejoukossa voi olla +1 pistettä (siis dimesio plus yksi).

8 17 Yhtälöryhmällä Ax = b o korkeitaa +1-rak(A) affiiisti riippumatota ratkaisua. (A ja b ovat kute P: määritelmässä). Moitahokkaa P dimesio eli ulottuvuus o k, jos suuri määrä affiiisti riippumattomia pisteitä P:ssä o k+1. Moitahokkaa P ulottuvuus o täysi, jos dim(p)=. Voidaa todeta, että dim(p)= k, jos P saadaa siirrolla eli traslaatiolla k- ulotteise aliavaruude osaksi, mutta ei alempiulotteise. Moitahokkaa P määritelmässä Ax b o m lieaarista epäyhtälöä A i x b i (i=1,,m), missä A i o A: i:s vaakarivi. Osa äistä voi toteutua yhtälöä koko P:ssä. Merkitää A = :llä sitä matriisi A osaa, joka koostuu tällaisista riveistä, ja loppuja A < :llä. Vastaavasti vektorille b. Siis Ax b jakautuu kahtee osaa, A = x b = ja A < x b <. Moitahokkaide dimesiolause o silloi: dim(p) + rak([a =,b = ]) =. Tästä seuraa, että moitahokkaa dimesio o täysi, jos ja vai jos sillä o sisäpisteitä. Moitahokkaa P = {x Ax b} esityksessä voi olla "tarpeettomiaki" epäyhtälöitä. Epäyhtälöä α T x β saotaa voimassaolevaksi epäyhtälöksi (valid iequality), jos P: kaikki pisteet toteuttavat se. Silloi P sijaitsee kyseise epäyhtälö määräämässä puoliavaruudessa, joka reuaa o (hyper)taso α T x = β. Jos rajoitusehdo poisjättämie rajoituste joukosta ei muuta P:tä mitekää, kyseie rajoitusehto o redudatti.

9 18 Jos joki epäyhtälö ei toteudu yhtälöä yhdessäkää P: pisteessä, vastaava rajoitusehto o ilmeisesti redudatti. Ne epäyhtälöt, jotka toteutuvat aiaki osassa P:tä yhtälöä, tukevat P:tä ja iide määräämää tasoa saotaa P: tukitasoksi. Moitahokkaa tahkoja (face) ovat kaikki tukitasoje ja P: leikkaukset. Tahko F o siis muotoa F = {x α T x = β} P jollaki moitahokkaa P voimassaolevalla epäyhtälöllä α T x β. Yhtälö tai geometrisesti saottua hypertaso α T x = β o silloi tahko esitys. Tahko o aito, jos se ei ole tyhjä eikä koko P. Tahkot ovat itseki moitahokkaita, ja iitä voidaa luokitella P: tahkoia dimesioidesa mukaa seuraavasti: - F o kärki(piste), jos dim(f) = 0 - F o särmä, jos dim(f) = 1 - F o viiste, jos dim(f) = dim(p)-1. Eglaikieliset termit ovat extreme poit, edge ja facet. (Suomekieliset imitykset eivät ole vakiitueita.) Kolmiulotteissa avaruudessa olevalla täysulotteisella moitahokkaalla o vai kärkiä, särmiä ja viisteitä tahkoia, mutta korkeampiulotteisissa avaruuksissa moitahokkailla voi olla myös tahkoja, joide dimesio o välillä [2, dim(p)-2] ja jotka eivät ole mitää edellä maiituista tyypeistä.

10 19 Aido viistee tapauksessa o aia olemassa ryhmää A < x b < kuuluva epäyhtälö, joka toteutuu viisteessä yhtälöä. Silloi moitahokkaasee jää myös pisteitä, joissa kyseie epäyhtälö toteutuu aitoa. Osoittautuu, että moitahokkaa määräämiseksi riittää ottaa ryhmästä A < x b < viisteide esitykset, alempiulotteiste tahkoje esitykset ovat redudatteja. Ja jokaiselle viisteelle riittää yksi esitys, joka o skalaarikertolaskua vaille yksikäsitteie. Tämä o moitahokkaa miimaalie esitys epäyhtälöiä eli esitys mahdollisimma pieellä määrällä epäyhtälöitä. Edellä kuvattu esitys o implisiittie tapa määrittää moitahokas. Moitahokkaalle o olemassa myös toie eksplisiittisempi esitystapa. Kärkipiste oli määritelty 0-ulotteisea tahkoa. Kärkipistettä karakterisoi myös omiaisuus, että se ei ole mikää kahde muu P: pistee välissä aidosti eli se o P: ääripiste. Vektori d 0 o moitahokkaa säde (äärettömyyssuuta), jos jokaisella x P pisteet x + td kuuluvat P:he kaikilla t>0. Äärisäde o sellaie säde, joka ei ole P: kahde muu sätee välissä aidosti. Silloi ähdää, että d o P: äärisäde, jos ja vai jos {x 0 + td t 0} o P: yksiulotteie tahko jollaki x 0.

11 20 Moitahokkaa voi "raketaa" se kärkipisteistä ja äärisäteistä: Moitahokkaide esityslause (Mikowski) Olkoo P = {x Ax b} epätyhjä moitahokas, jolla rak(a)=. Silloi P={x x = c 1 x 1 + c N x N + t 1 d 1 + t K d K ; c 1 + c N =1, c i 0, t j 0 }, missä pisteet x i (i=1,,n) ovat P: kärkipisteet ja vektorit d j (j=1,,k) P: äärisäteet. x d2 d1