Toispuoleiset raja-arvot

Transkriptio

1 Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen raja-arvo mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 δ < x < x 0. Funktion f oikeanpuoleista raja-arvoa pisteessä x 0 merkitään ja vasemmanpuoleista raja-arvoa lim f (x) x x 0 + lim f (x). x x 0 Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

2 Raja-arvo vs toispuoleinen raja-arvo 1 a = lim x x0 f (x) tarkoittaa että ɛ > 0, δ > 0, 0 < x x 0 < δ = f (x) a < ɛ. 2 a = lim f (x) tarkoittaa että x x 0 + ɛ > 0, δ > 0, x 0 < x < x 0 + δ = f (x) a < ɛ. 3 a = lim f (x) tarkoittaa että x x 0 ɛ > 0, δ > 0, x 0 δ < x < x 0 = f (x) a < ɛ. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

3 Esimerkki toispuoleisista raja-arvoista 3 2 f (x) lim f (x) = 1 mutta lim f (x) = 2 x 2 x 2+ Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

4 Ei raja-arvoa Olkoon f (x) = { 1, x < 2 2, x 2. Olkoon a R mielivaltainen ja osoitetaan että lim x 2 f (x) a. Nyt a tai a Tapaus a : Valitaan ɛ = 1 4. Kaikilla δ > 0 löytyy sellainen x 1 että 2 δ < x 1 < 2. Tällöin x 1 2 < δ mutta f (x 1 ) a = 1 a 1 2 > ɛ. Siis lim x 2 f (x) a. Tapaus a vastaavasti. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

5 Toispuoleiset raja-arvot yhtäsuuret Lause Todistus. lim f (x) = a x x 0 lim x x 0 + f (x) = a = lim f (x). x x 0 = Olkoon ɛ > 0. Koska lim x x0 f (x) = a on olemassa sellainen δ > 0 että 0 < x x 0 < δ = f (x) a < ɛ. Koska x 0 < x < x 0 + δ = 0 < x x 0 < δ seuraa että lim x x0 + f (x) = a. Vasemmanpuoleinen tapaus vastaava. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

6 Todistus toiseen suuntaan Todistus. = Olkoon ɛ > 0. Koska lim x x0 + f (x) = a ja lim x x0 f (x) = a on olemassa sellaiset δ 1, δ 2 > 0, että x 0 < x < x 0 + δ 1 = f (x) a < ɛ ja x 0 δ 2 < x < x 0 = f (x) a < ɛ. Asetetaan δ = min{δ 1, δ 2 }. Tällöin 0 < x x 0 < δ = x 0 < x < x 0 + δ 1 tai x 0 δ 2 < x < x 0 ja molemmissa tapauksissa f (x) a < ɛ. Siis lim x x0 f (x) = a. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

7 Milloin raja-arvoa ei ole olemassa? 1 Kun toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa, mutta ovat erisuuret. Tällaisessa kohdassa funktio hyppää. 2 Kun toispuoleisia raja-arvoja ei edes ole olemassa tai vain toinen on. Huomautus Myöhemmin erotellaan vielä omiksi tapauksikseen, että raja-arvo on jossain pisteessä + tai. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

8 Toispuoleistakaan raja-arvoa ei ole olemassa 1 sin(1/x) Funktio ( 1 ) f (x) = sin x x 0 oskiloi voimakkaasti pisteen 0 läheisyydessä, joten raja-arvoa ei ole olemassa. ( 1 ) lim sin x 0+ x Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

9 Raja-arvon jonokarakterisaatio Lause Olkoon f : M R määritelty pisteen x 0 läheisyydessä ja olkoon a R. Seuraavat väitteet yhtäpitäviä 1 lim x x0 f (x) = a 2 aina kun (x n ) n=1 M \ {x 0} ja lim n x n = x 0, niin lim n f (x n) = a. Funktion raja-arvon laskusäännöt voi johtaa jonon raja-arvon vastaavista säännöistä, käyttämällä edeltävää lausetta. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

10 Jonokarakterisaation perustelu Todistus. (1) = (2): Oletetaan että (x n ) M \ {x 0 } ja x n x 0. Tehtävänä on osoittaa että f (x n ) a. Olkoon ɛ > 0. Koska (1) pätee, niin on olemassa sellainen δ > 0 että 0 < x x 0 < δ = f (x) a < ɛ. ( ) Koska x n x 0, niin on olemassa sellainen N Z +, että n N = x n x 0 < δ. Koska x n x 0 kaikilla n, niin 0 < x n x 0 < δ kaikilla n N. Ehdon ( ) nojalla n N = f (x n ) a < ɛ. Siis lim n f (x n ) = f (a). Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

11 Todistus jatkuu. (2) = (1): Oletetaan että (1) ei päde. Tällöin on olemassa sellainen ɛ > 0, että kaikilla δ > 0 löytyy sellainen x δ, että 0 < x δ x 0 < δ mutta f (x δ ) a ɛ. Erityisesti kaikilla n = 1, 2,..., on olemassa sellainen x n että 0 < x n x 0 < 1 n mutta f (x n ) a ɛ. Ehdosta 0 < x n x 0 < 1 n seuraa, että x n x 0 kun n. Toisaalta f (x n ) a ɛ kaikilla n, joten f (x n ) a kun n. Täten väite (2) ei ole voimassa. Siis väitteestä (2) seuraa väite (1). Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

12 Raja-arvon laskusääntöjä Lause Olkoot f ja g funktioita, joilla on olemassa raja-arvot a = lim x x0 f (x) ja b = lim x x0 g(x), ja olkoon c R vakio. Tällöin ( ) ( 1 lim f (x) + g(x) = a + b = lim f (x) ) + ( lim g(x) ) x x0 x x0 x x0 2 lim cf (x) = ca = c lim f (x) x x0 x x0 3 lim f (x) = a = lim f (x) x x0 x x0 ( ) ( 4 lim f (x)g(x) = ab = lim f (x) )( lim g(x) ) x x0 x x0 x x0 f (x) 5 lim x x0 g(x) = a lim f (x) b = x x0 olettaen että b 0. lim g(x) x x 0 Erityisesti raja-arvot yhtälöiden vasemmilla puolilla ovat olemassa. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

13 Polynomien ja rationaalifunktioiden raja-arvot Lause Kaikilla a,b, x 0 R pätee lim ax + b = ax 0 + b. x x 0 Huomautus: vertaa edellistä tulosta esimerkkiin 2x + 1. Edellinen lause on yksinkertainen mutta hyödyntämällä raja-arvon laskusääntöjä, sen avulla saadaan pääteltyä seuraava paljon vahvempi tulos. Lause Olkoon P ja Q polynomeja ja x 0 R. Tällöin P(x) lim P(x) = P(x 0 ) ja lim x x 0 x x0 Q(x) = P(x 0) Q(x 0 ) kun Q(x 0 ) 0. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

14 Laskuesimerkki Lasketaan funktion raja-arvo pisteessä 2. f (x) = x 2 x 2 + x 6 x 2 x 2 +x 6 Funktion f (x) = luonnollinen määritysjoukko on R \ { 3,2} sillä x 2 + x 6 = (x + 3)(x 2). Funktiota f ei siis ole määritelty pisteessä x = 2. Voidaan kuitenkin tutkia f :n raja-arvoa pisteessä x = 2. Nyt lim f (x) = lim x 2 x 2 x 2 x 2 + x 6 = lim x 2 Mikä on f :n raja-arvo pisteessä x = 3? x 2 (x + 3)(x 2) = lim x 2 1 x + 3 = 1 5. Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

15 Puristuslause eli suppiloperiaate Seuraavan lauseen avulla voi laskea useita raja-arvoja. Lause Olkoot f, g ja h funktioita joille päätee 1 f (x) g(x) h(x) aina kun 0 < x x 0 < r 2 lim x x0 f (x) = lim x x0 h(x) =: a. Tällöin funktiolla g on raja-arvo pisteessä x 0 ja lim g(x) = a. x x 0 Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186

16 Suppiloperiaatteen sovellus Tutkitaan uudelleen aikaisempaa esimerkkiä ( 1 ) lim x sin. x 0 x Nyt ( 1 ) x x sin x kaikilla x R. x Lisäksi Täten suppiloperiaatteen nojalla lim x = 0 ja lim x = 0. x 0 x 0 ( 1 ) lim x sin = 0. x 0 x Pekka Salmi FUNK 12. lokakuuta / 186