termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
|
|
- Sofia Nurmi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.) tai a + a 2 + a on luusarja. Sen n. osasumma on (3.2) s n =, ja on sarjan. termi. Sarja suppenee, jos osasummien jono (s n ) n= suppenee. Muuten sarja hajaantuu. Jos sarja suppenee, lim n s n = s R, meritään (3.3) Luu s on sarjan summa. = s. Sarja on siis ääretön summa, jona lasujärjestys on iinnitetty. Jos sarjan termit järjestetään uudelleen, saadaan toinen sarja, jona summa voi olla toinen uin aluperäisellä sarjalla. Tarastelemme tällaista järjestelyä Esimerissä 3.2(f). Termien järjestely voi joissain tapausissa muuttaa suppenevan sarjan hajaantuvasi ja päinvastoin. Tarasteltaessa osasummien jonoaii A:n luujonojosevat tuloset ovat äytettävissä. Joissain tilanteissa sarjan termien indesointi saatetaan aloittaa jostain muusta luvusta n Z uin :stä. Näin saatavia sarjoja =n äsitellään samalla tavalla uin Määritelmä 3.:ssa määriteltyjä. Erityisesti muotoa =0 olevat sarjat ovat yleisiä. On myös syytä huomata, että samaa merintää =0 äytetään (valitettavasti) taroittamaan sarjaa ja sen summaa. Esimeri 3.2. (a) Geometrinen sarja: q, = q, q ], [. Osasummien jonolle pätee (A, Esimeri 6 sivulla 63) (3.4) s n = q = + q + q q n = qn q n q. Siis geometrinen sarja suppenee ja sen summa on /( q). (b) Sarjan, jossa siis = aiill N, osasummien jono on (3.5) s n = Siis sarja hajaantuu. (c) Sarjan (3.6) s n = ( ) osasummien jono on ( ) = = n n. {, un n on pariton, 0, un n on parillinen.
2 8 JOUNI PARKKONEN Siis sarja ( ) hajaantuu. (d) Oloon (b ) luujono. Määrittelemme uuden jonon () asettamalla (3.7) Tällöin (3.8) a =b a 2 =b 2 b.. =b b 2. = b + (b 2 b ) + + (b n b n 2 ) + (b n b n ) = b n. Lähtemällä luujonosta (b ) muodostimme siis luusarjan, jona osasummien jono on (b ). Luusarjat ovat siis luujonoja toisessa muodossa. (e) Jos 0 aiill N, sarjan osasummien jono on asvava. Tällaista sarjaa sanotaan positiivitermisesi. A:n asvavia luujonojosevat tuloset ovat äytettävissä positiivitermisiä sarjoja tarasteltaessa. Sarjan suppenemattomuus on josus helppo todeta seuraavan tulosen avulla: Lause 3.3. Jos sarja suppenee, niin jono ( ) suppenee ja (3.9) lim = 0. Todistus. Harjoitus. Siis, jos sarjan termien jono ei suppene tai se suppenee, mutta raja-arvo ei ole nolla, sarja ei suppene. Lause 3.3 on ysisuuntainen : lim = 0, mutta sarja hajaantuu, uten Lauseessa 3.7 osoitetaan. Cauchyn ehto jonojen suppenemiselle saa sarjojen ielelle äännettynä muodon Lause 3.4 (Cauchyn ehto sarjoille). Sarja suppenee, jos ja vain jos aiille ɛ > 0 on olemassa N > 0 siten, että (3.0) a N+ + a N a N+p < ɛ aiilla p N. Todistus. Harjoitus. Seuraa luujonojen suppenemisen Cauchyn ehdosta, A:n Lause 4.9. Luujonojen raja-arvojen lineaarisuustulos on voimassa myös sarjoille: Lause 3.5. Jos x ja y suppenevat, ja a, b R, niin (ax +by ) suppenee ja (3.) (ax + by ) = a x + b y. Todistus. Seuraa A:n Lemmasta 4.4. Huomaa, että aavassa (3.) taroitetaan sarjojen summia. Sarjojen tulon vastaavien tulosten todistaminen vaatii tarempaäsittelyä. Palaamme siihen suppenemistarasteluiden jäleen. Muotoja (3.2) s, p > 0, olevat sarjat ovat täreitä vertailusarjoja. ( ), ja q
3 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Määritelmä 3.6. Sarja (3.3) s on (a) harmoninen sarja, un s =, (b) yliharmoninen sarja, un s >, ja (c) aliharmoninen sarja, un s <. Sarja ( ) + (3.4) on vuorotteleva harmoninen sarja. Lause 3.7. Harmoninen sarja ja aliharmoninen sarja hajaantuvat. Yliharmoninen sarja ja vuorotteleva harmoninen sarja suppenevat. Todistus. Harmoninen sarja: A2:ssä (Esimeri ennen Lausetta 6.2) todistettiin, että funtion f : [, [ R, f(x) = /x, epäoleellinen integraali (3.5) x dx hajaantuu. Oloon [x] reaaliluvun x oonaisosa, siis (3.6) [x] = max{n x : n Z}. Funtion h : [, [ R, (3.7) h(x) = [x], rajoittuma välille [, b] on funtion f [,b] yläporrasfuntio, atso Kuva 7. Jos b N, pätee selvästi (3.8) s b = Siis b = b h > b b dx. x (3.9) lim s b =, b joten harmoninen sarja hajaantuu. Harmoninen sarja, toisen todistusen idea: Tarastele summia (3.20) N + + N N 2, ja totea, että harmoninen sarja hajaantuu Cauchyn ehdon, Lause 3.4, perusteella. Aliharmoninen sarja: (3.2) s < = /n s > /n, un un n 2. Siis (3.22) N joten sarja hajaantuu. Yliharmoninen sarja: Kosa N (3.23) N s N, N s = + =2 s N N,
4 20 JOUNI PARKKONEN Kuva 7. Harmonisen sarjan tulinta porrasfuntion integraalina. niin (3.24) s Oloot f, g : [, [ [0, [, suppenee =2 s suppenee. (3.25) f(x) = x s, ja (3.26) g(x) = Selvästi [x + ] x aiilla x R, joten (3.27) [x + ] s. [x + ] x aiilla x > 0. A2:ssa osoitettiin, että epäoleellinen integraali (3.28) suppenee. Siis s = =2 (3.29) = n / n g n f = n x s dx x s dx s x s+ = s ( ) n s n s <, joten osasummien jono on ylhäältä rajoitettu (jasvava). Siis sarja suppenee. Vuorotteleva harmoninen sarja: ( ) + ( (3.30) = ) ( ) ( ) Tarastelemme ensin parillisten osasummien jonoa (r n ) n=, 2 ( ) + ( (3.3) r n = = 2 ). 2
5 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kuva 8. Yliharmonisen sarjan tulinta porrasfuntion integraalina. Jono (r n ) n= on asvava, osa (3.32) 2 > 2. Lisäsi on helppo osoittaa, että (3.33) 2 2 2, joten 2 ( ) + (3.34) r n = 2. Kosa yliharmoninen sarja on suppeneva, niin jono (r n ) n= suppenee. Oloon (3.35) S = lim n r n. Osoitamme, että S on vuorottelevan harmonisen sarjan summa. Oloon ɛ > 0. On olemassa N N siten, että 2 ( ) + (3.36) S ɛ, un 2n N, 2 ja N > 2/ɛ. Oloon m > N. Jos m on parillinen, pätee (3.36). Jos m on pariton, pätee m ( ) + S m ( ) + m+ ( ) + m+ + ( ) + S (3.37) = m+ m + + ( ) + S < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Lauseen 3.7 todistusen yhteydessä tulimme erranneesi tai todistaneesi seuraavat olme tulosta: Lause 3.8. Oloon p N. Sarja suppenee +p suppenee =p suppenee.
6 22 JOUNI PARKKONEN Todistus. Lauseen 3.7 todistus ja A. Lause 3.9. Positiiviterminen sarja suppenee, jos ja vain jos sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu. Todistus. Seuraa A:n Lemmasta 4.3 ja Lauseesta 4.6. Lause 3.0 (Minoranttiperiaate). Oloot, b [0, [ siten, että b aiilla N. Jos hajaantuu, niin b hajaantuu. Todistus. Kuten aliharmonisen sarjan tapausessa: N N N (3.38) b, joten sarja hajaantuu. Ennen uin todistamme vastaavan majoranttiperiaatteen, Lause 3.2, todistamme seuraavan tulosen, jona avulla majoranttiperiaate soveltuu myos sarjoille, joilla on negatiivisia termejä. Lause 3.. Jos sarja suppenee, niin sarja suppenee. Todistus. Oloon ɛ > 0. Cauchyn ehdosta (Lause 3.4) seuraa, että on n N siten, että N+p N+p (3.39) ɛ > a a, =N+ =N+ joten suppenee Cauchyn ehdon nojalla. Lauseessa 3.7 osoitimme, että vuorotteleva harmoninen sarja suppenee, ja että harmoninen sarja hajaantuu. Siis Lause 3. toimii vain yhteen suuntaan. Sanomme, että sarja suppenee itseisesti, jos sarja suppenee. Lause 3.2 (Majoranttiperiaate). Oloot, b R siten, että b aiilla N. Jos b suppenee, niin suppenee itseisesti. Todistus. Lauseen 3.9 muaan on M > 0, jolle pätee (3.40) b M <. Siis Lauseen 3.9 nojalla n suppenee, joten n suppenee itseisesti. Minorantti- ja majoranttiperiaatteista saamme äyttöelpoisia suppenemistestejä: Lause 3.3 (Raja-arvon vertailutesti). Oloot [0, [, b ]0, [ aiilla N siten, että (3.4) 0 < lim <. b Tällöin sarja suppenee, jos ja vain jos b suppenee. Todistus. Oloon (3.42) α = lim. b Raja-arvon määritelmän muaan on N N siten, että aiille N pätee (3.43) α b < α 2.
7 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Siis aiille N pätee (3.44) α 2 < b < 3 2 α, eli α (3.45) 2 b < < 3 2 αb. Väite seuraa Lauseista 3.5, 3.0 ja 3.2. Esimeri 3.4. (a) Sarja (3.46) + ( + 2) hajaantuu Lauseen 3.3 perusteella: harmoninen sarja hajaantuu ja ( ) (3.47) lim (b) Sarja (3.48) + (+2) ( ) = lim log =. suppenee: On helppo tarastaa, että aiill pätee log. Siis log (3.49) 2 2 =. 3 2 Yliharmoninen sarja 3 2 suppenee, joten tulos seuraa majoranttiperiaatteesta. Lause 3.5. Oloot [0, [ aiill N. (a) Jos on N N ja c < siten, että (3.50) c aiill N tai (3.5) > 0 ja + c aiill N, niin suppenee. (b) Jos on N N ja c > siten, että (3.52) > c aiill N tai (3.53) > 0 ja + > c aiill N, niin hajaantuu. Todistus. (a) c c. Siis sarja suppenee majoranttiperiaatteen muaan, osa geometrinen sarja q suppenee. Jos taas + c aiill N, niin aiilla p N pätee (3.54) joten a N+p a N = a N+ a N a N+2 a N+ an+p a N+p 2 (3.55) a N+p < a N c p. a N+p a N+p c p,
8 24 JOUNI PARKKONEN Majoranttiperiaatteen (Lause 3.2 perusteella sarja suppenee, osa (3.56) a N c N = a N c N a N c suppenee. (b) Samaan tapaan. Seuraus 3.6 (Juuritesti ja suhdetesti). Oloot [0, [ aiill N. (a) Jos (3.57) lim a < tai (3.58) > 0 suurill ja lim niin suppenee. (b) Jos (3.59) lim a > tai (3.60) > 0 suurill ja lim niin hajaantuu. + <, + >, Todistus. Seuraa Lauseesta 3.5 ja raja-arvon määritelmästä. Huomautus 3.7. Lauseessa 3.5 ei oleteta, että jonot ( ) tai ( + ) suppenevat. Esimeri 3.8. (a) Lauseen 3.5 ja Seurausen 3.6 testit eivät sovellu aiien sarjojen tarasteluun: ( ) p ( (3.6) lim p = lim = lim e log ) p =, ja (3.62) lim aiilla p R. (b) Oloon q > 0. ( ) (+) p ( p ) ( ) p = lim = + ( + )q + + (3.63) lim q = lim q = q. Siis sarja (3.64) q suppenee, un q < ja hajaantuu un q > Seurausen 3.6 nojalla. Sarja hajaantuu, un q =, osa sen yleinen termi on. Positiivitermisille sarjoille on monia muitain testejä, joista tällä urssilläsittelemme vielä integraalitestin. Testiä äytettiin itse asiassa jo Lauseessa 3.7.
9 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Lause 3.9 (Integraalitesti). Oloot [0, [ siten, että + aiilla N. Oloon f : [, [ [0, [ vähenevä, jatuva funtio siten, että f() = aiill N. Tällöin (3.65) suppenee f suppenee. Todistus. Harjoitus. Idea Lauseen 3.7 todistusessa. Seuraava suppenemistulos yleistää vuorottelevan harmonisen sarjan suppenemistodistusen Lauseesta 3.7. Sanomme, että sarja on vuorotteleva, jos sen termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, eli (3.66) + < 0 aiill N. Lause 3.20 (Vuorottelevan sarjan testi eli Leibnitzin testi). Oloon vuorottelevaterminen sarja siten, että () + aiill N ja (2) lim = 0. Tällöin suppenee. Jos sarjan summa on S, niin aiilla n N pätee n+ (3.67) (a n+ > 0) = < S < ja (3.68) (a n+ < 0) = n+ < S < Todistus. Voimme olettaa, että a > 0. Tällöin siis a 2+ > 0 ja a 2 < 0 aiilla N. Oloon S n = n. Kosa jono ( ) on vähenevä, niin parillisten osasummien jono on asvava: (3.69) S 2n+2 = S 2n + a 2n+ + a 2n+2 S 2n, osa a 2n+ + a 2n+2 0. Lisäsi (3.70) S 2n+2 = S 2n+ + a 2n+2 < S 2n+ ja (3.7) S 2n+ = S 2n + a 2n + a 2n+ S 2n. Siis (3.72) S 2n S 2n+2 < S 2n+ S 2n. Jono (S n ) suppenee, osa (3.73) lim (S 2n S 2n ) = lim a 2n = 0. n Lisäsi (3.74) S 2n < S < S 2n+ aiilla n N, osa parillisten osasummien jono on asvava ja parittomien osasummien jono on vähenevä. Tarasteltaessa sarjan suppenemistannattaa siis tutia, () suppeneeo jono ( ) N ohti 0:aa. Jos jono ei suppene tai sen raja-arvo ei ole 0, sarja ei suppene. (2) ovato sarjan termit positiivisia jostain indesistä lähtien. Jos näin on, suppenemista voi tutia Lauseiden avulla.
10 26 JOUNI PARKKONEN (3) ovato sarjan termit vuorotellen positiivisia ja negatiivisia jostain indesistä lähtien. Jos näin on, suppenemista voi tutia Lauseen 3.20 avulla. (4) suppeneeo sarja itseisesti. Sarjan suppenemista tutitan testeillä Jos suppenee, niin suppenee. Huomaa, että voi supeta vaia hajaantuu. (5) suppeneeo sarja jostain muusta syystä, uten Esimereissä 3.2(c) ja (d). Esimeri 3.2. (a) Sarja (3.75) ( ) log( + ) suppenee: Se on vuorotteleva, osa log( + ) > 0 aiill N. Lauseen 3.20 ehto () toteutuu, osa log( + 2) > log( + ) aiill N. Ehto (2) toteutuu, osa lim log( + ) =. (b) Sarja (3.76) q on vuorotteleva, un q < 0. Kun q, niin (3.77) lim q =, joten sarja ei suppene. Oloon q ], 0[. Funtion f : R R, f(x) = x q x derivaatta on (3.78) f (x) = q x ( + x log q ), joa on negatiivinen, un x > log q. Siis ( + )q+ < q aiille > log q, eli Lauseen 3.20 ehto () toteutuu sarjalle (3.79) q, =N missä N N, N > log q. Kosa lisäsi L Hospitalin säännön muaan (3.80) lim q = lim q L Hospital = lim q = 0, log niin myös ehto (2) toteutuu. Kosa sarja =N q suppenee, niin sarja q suppenee. Saman tulosen olisi voinut saada helpomminin Esimerin 3.8(b):stä Lauseiden 3.2 ja 3. avulla. (c) Joissain tapausissa sarjan osasummien irjoittaminen aui auttaa suppenemisen tarastelemisessa. Tällöin voi jopa sarjan summan laseminen olla mahdollista. Sarja (3.8) ( + ) suppenee Lauseen 3.3 nojalla: ( (3.82) lim (+) ( 2 ) ) 2 = lim 2 + =. q
11 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Toisaaltäyttämällä havaintoa (3.83) saamme (3.84) ( + ) = +, ( + ) = ( = ) ( ) + 3 = n. n + n(n + ) ( 3 4 ) ( + + n ) n + Siis sarjan summa on. Tällä tavoin äyttÿtyviä sarjojutsutaan usein telesooppisarjoisi. (d) Useat eri testit voivat soveltua joillein positiivitermisille sarjoille: Sarja (3.85) on positiiviterminen. Sarja suppenee juuritestin nojalla, osa ( ) 2 2 (3.86) 2 = 2 2. Saman tulosen saa myös suhdetestillä, osa ( ) ( + ) 2 ( ) 2 (3.87) ( ) 2 = (e) Jos sarjaa harvennetaan lisäämällä termien väliin nollia, sarjan suppeneminen ei muutu, ja suppenevan sarjan summa pysyy samana. Tämä on helppo todeta tarastelemalla osasummien jonoa. Oloot (3.88) = ( )+, b 2 = 0 ja b 2 = ( )+ 2 aiill N. Tällöin = (3.89) 2 2 b = Edellä todetun ja Lauseen 3.5 nojalla molemmat sarjat suppenevat, ja niiden summille pätee (3.90) b =. 2 (f) Lasemalla (e)-ohdan sarjat yhteen termeittäin saamme sarjan (3.9) ( + b ) =
12 28 JOUNI PARKKONEN jossa on täsmälleen samat nollasta poieavat termit uin vuorottelevassa harmonisessa sarjassa, ne vain esiintyvät eri järjestysessä. Kosa vuorotteleva harmoninen sarja suppenee, Lauseen 3.5 muaan pätee summille (3.92) ( + b ) = + b = + = Pudottamalla sarjasta ( + b ) 0-termit, saamme siis sarjan c, seoitetun vuorottelevan harmonisen sarjan, jolla on eri summuin vuorottelevalla harmonisella sarjalla! Itseisesti suppenevan sarjan summa ei muutu termejä järjestelemällä. Aina muulloin uudelleenjärjestelyt voivat muuttaa sarjan summaa ja jopa muuttaa suppenevan sarjan hajaantuvasi. Lause Oloon suppeneva sarja, joa ei suppene itseisesti. Tällöin (a) on bijetio j : N N siten, että sarja a j() hajaantuu, ja (b) aiilla x R on bijetio i : N N siten, että sarja a i() suppenee ja sen summa on x. Todistus. (a) Oloon p n sarjan n:s positiivinen termi ja oloon q n sarjan n:s negativinen termi. Sarjat p ja q ovat hajaantuvia positiivitermisiä sarjoja, sillä muuten sarja suppenisi itseisesti (mieti!). Oloon n N siten, että n (3.93) p < p. Oloon m N pienin luu siten, että n m (3.94) p q <. Oloon n 2 N pienin luu siten, että n 2 m (3.95) p q 2. Oloon m 2 N pienin luu siten, että n 2 m 2 (3.96) p q < 2. Jatetaan näin. Selvästi saamme rajattasvavan osasummien jonon. Siis, un järjestämme sarjan termit uudelleen p, p 2,..., p n, q, q 2,..., q m, (3.97) p n+, p n+2,..., p n2, q m+, q m+,..., q m2,..., saamme halutun bijetion. (b) Todistus noudattelee samaa ideaa. Nyt sarjan osasummien jonoja ei paoteta asvamaan uten (a)-ohdassa. Positiivisia termejä otetaan sen verran, että osasumma nousee yli x:n ja sen jäleen negatiivisia termejä juuri niin monta, että osasumma saadaan pienemmäsi uin x, ja jatetaan samaan tapaan. Kosa sarjan yleinen termi lähestyy 0:aa, sarja saadaan suppenemaan ohti x:ää. Jos sarja suppenee itseisesti, termien järjestely ei muuta summaa: Lause Oloon itseisesti suppeneva sarja. Oloon i : N N bijetio. Tällöin sarja a i() suppenee itseisesti ja sen summa on samuin aluperäisen sarjan summa.
13 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Todistus. Oloot b = a i() aiill N. Oloot S n = n, T n = n b, n N, ja S sarjan summa. Kaiilla n pätee (3.98) b max{i(): n} M <, osa joainen ensimmäisen summan termi esiintyy jälimmäisessä, ja summat ovat positiivitermisiä. Siis sarja n b suppenee itseisesti. Oloon ɛ > 0. On olemassa N N siten, että (3.99) < ɛ 2 ja =N+ (3.00) S n S < ɛ 2, un n N. Joaiselle N N on M N siten, että (3.0) {, 2,..., N} i({, 2,..., M}). Kun n > M, niin i(n) > N, osa i on bijetio. Siis N T n S T n S N + S N S < a i() + ɛ 2 (3.02) + ɛ 2 ɛ, =N+ osa termit a, a 2,..., a N supistuvat (3.0):n nojalla. Siis sarjan a i() summa on S. Taylorin sarjoja tarasteltaesserroimme polynomejesenään. Tällaisille äärellisille summille pätee esimerisi (3.03) (a + a 2 + a 3 )(b + b 2 + b 3 ) = a b + (a b 2 + a 2 b ) + (a b 3 + a 2 b 2 + a 3 b ) + (a 2 b 3 + a 3 b 2 ) + a 3 b 3. Sarjoille tämä yleistyy seuraavasti: Määritelmä Sarjojen ja b Cauchyn tulo on (3.04) a i b j. i+j= Lause Oloot =0 ja =0 b suppenevia sarjoja siten, että =0 suppenee itseisesti. Tällöin =0 :n ja =0 b :n Cauchyn tulo =0 c suppenee, ja summille pätee ( ) ( ) (3.05) b = c. =0 =0 Todistus. Todistamme tulosen ainoastaan siinä erioistapausessa, että molemmat sarjat ovat positiivitermisiä. Tällöin pätee aiilla n N ( n ) ( n ) (3.06) c b AB. =0
14 30 JOUNI PARKKONEN Siis Cauchyn tulo suppenee ja c = AB. Toisaalta, ( n ) ( n ) 2 (3.07) b c AB. Kosa epäyhtälöetjun (3.07) vasemman reunan termi asvaohti AB:tä, saamme (3.08) AB c AB eli c = AB. Department of Mathematics and Statistics, P.O. Box 35, 4004 University of Jyväsylä, Finland address: parone@maths.jyu.fi
III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotANALYYSI 3 HELI TUOMINEN
ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2
ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotOutoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.
Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 11. maaliskuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotKompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotMS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Pekka Alestalo 1 Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 6.9.2017 1 Kiitokset Harri Hakulalle, Janne Korvenpäälle,
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotHeilurin differentiaaliyhtälö
LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.
LisätiedotMS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Pekka Alestalo 1 Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 20.10.2017 1 Kiitokset Harri Hakulalle, Janne Korvenpäälle,
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotMS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Pekka Alestalo Aalto-yliopisto 1.9.2016 Pekka Alestalo (Aalto-yliopisto) MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 1.9.2016 1 / 200 Sisältö Nämä
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotEksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot