9. LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos 9. LÄMMÖNSIITO Lämmönsrtoa tapahtuu ana lämpötlaerojen esntyessä. Lämpötlaerot tasottuvat luonnostaan, kun lämpö srtyy korkeammasta lämpötlasta koht matalampaa lämpötlaa termodynamkan tosen pääsäännön perusteella. Sähkökoneen suunnttelussa lämmönsrron suunnttelu on yhtä tärkeää kun koneen sähkömagneettnenkn suunnttelu, koska koneen lämpenemä lopulta määrttää koneesta tostuvast ulosotettavan tehon. Lämmön- ja aneensrto on tse asassa monmutkasemp ja vakeammn hallttavssa, kun sähkökoneen tavanomanen sähkömagneettnen suunnttelu. Lämpenemseen lttyvät suunntteluongelmat vodaan jossan määrn välttää käyttämällä permätetoa konevakosta, kuten tässäkn materaalssa on aemmn estelty. Laadttaessa täysn uusa rakenteta on emprnen teto kutenkn rttämätöntä ja tarkka lämpömall koneesta on tarpeen. Prototyyppen koken todennetaan suunnttelun onnstumnen ja tarkennetaan rakenteen ykstyskohdat. Lämpenemäongelma on kaksjakonen. Ensmmäseks, usemmssa moottoressa rttävä lämmön posto saavutetaan soveltamalla konvektota lmassa, johtumsta koneen knntyspntojen kautta ja sätelyä ympärövään välaneeseen. Suuren tehotheyden konessa vodaan käyttää suora jäähdytysmenetelmä. Joskus jopa koneen käämtys on tehty kuparputkessa, jonka ssällä jäähdytysane vrtaa koneen tomessa. Sähkökoneden lämmönsrtoa vodaan analysoda auttavast muutaman melko yksnkertasen lämmön- ja aneensrron yhtälön avulla. Tärken yksttänen tekjä lämmönsrron suunnttelussa on ympärövän lman, veden tms. lämpötla, joka yhdessä koneen erstyksen salltun lämpötlakestosuuden kanssa, määrää koneelle salltun lämpötlannousun. Toseks, lämmön postamsen lsäks ongelmana on lämpötlan jakautumnen koneen er osssa. Tämä on dffuuso-ongelma, joka on hankala kolmulottenen ongelma. Tähän ongelmaan lttyy runsaast vaketa kysymyksä ykstyskohdsta kuten, kunka lämpö srtyy kuparjohtmsta erstyksen yl staattorrunkomateraaln. Erlasa emprsä yhtälötä tulee käyttää harkten. Lämpötlan jakautumnen koneessa vodaan laskea, kun tunnetaan tarkast hävöden jakautumnen koneen er osssa ja lämmön postoteho. Muutostlossa lämpötla jakautuu koneen er osn täysn erlalla kun statonaarsessa tlassa. Esmerkks on mahdollsta ylkuormttaa moottoreta hetkellsest suurestkn varastomalla ylmääräsen lämmön koneen osen lämpökapastanssehn. Sähkösen erstyksen kestokää vodaan arvoda anoastaan tlastollsn menetelmn, mutta laajalla lämpötla-alueella kestoän vodaan olettaa vähenevän eksponentaalsest koneen lämpötlannousuun ΔT. 0 K lämpötlannousu lyhentää sähkökoneen erstyksen kestokää jopa 50 %. Koneet vovat kestää lyhytä korketa lämpötloja usenkn tostuvast, rppuen lämpötlapkn kestosta ja korkeudesta. Samantapanen elnän lyhenemnen koskee myös moottoreden laakereta, jossa vodaan käyttää kuumankestävää rasvaa ta monssa krttsssä käytössä öljysumuvotelua, jollon öljy jäähdytetään muualla ja syötetään kylmänä laakerehn. Kuulalaakereta vodaan käyttää melko suurllakn nopeukslla, kunhan nden jäähdytys järjestetään tehokkaast esm. kertoöljyvotelun yhteydessä. Sähkökoneen käämtyksen lämpötlannousu kasvattaa käämtyksen resstanssa. 50 K:n lämpötlannousu ympärstön lämpötlaa suuremmaks kasvattaa resstanssa 0 % ja 35 K:n lämpötlannousu 53 %. Mkäl koneen vrta sälyy samana, kasvavat kuparhävöt vastaavast. Käämtyksen resstanssn mttausta käytetään joskus määrtettäessä koneen käämtyksen lämpötlaa, mutta tällä menetelmällä saadaan anoastaan keskmääränen lämpötla. Kuummmssa pstessä käämtyksen lämpötla saattaa olla 0 0 K keskarvoa korkeamp.
9. LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Kuva 9. esttelee tyypllsen nykyakasen 4 kw:n okosulkumoottorn tehotasapanoa. 5 % sähköenergasta muuttuu lämmöks koneen nmellsteholla. Ertysest koneen kuparhävöden osuus on suur 77 % kokonashävöstä koneen nmellspsteessä. Kuparhävöden suur merktys kaupallsssa konessa korostuu johtuen kuparn kallsta hnnasta. autahävöden osuus jää peneks, vakka koneden rautaprtkn on yleensä mtotettu varsn ahtaks nykyakasssa konessa. Kuvan 9. koneen lämpenemä on mtotettu luokan 30 (B) mukaan ja erstys on tehty luokan 55 (F) mukasest. (ks. taulukko 8.). P s 00 %, 4,7 kw P Fe,9% P Cus 6,9% P P l 0,5% P a 85 %, 4,0 kw 55 P Cur P μ,0% 4,7% 300 Kuva 9.. Erään 4 kw:n kaksnapasen okosulkumoottorn Sankey-dagramm. P Fe, rautahävöt, P Cus, staattorn kuparhävöt, P l, lsähävöt, P, lmavälteho, P Cur, roottorn kuparhävöt, P μ, ktkahävöt. Hävötä on ss kakkaan non 700 W, ja ne ptää pystyä postamaan koneesta. 9. Lämmön posto Lämmön postamseks on käytettävssä konvekto, johtumnen ja sätely. Yleensä lman, nesteen ta höyryn vältyksellä tapahtuva konvekto on merkttävntä. Pakotettu konvekto on ettämättä tehokkan lämmönpostomenetelmä, mkäl suora nestejäähdytys e tule kyseeseen.. Jäähdytyssuunnttelukn on tässä tapauksessa melko suoravvasta. Suunntteljan tulee van varmstaa, että rttävä määrä jäähdytysvälanetta saadaan vrtaamaan koneen läp. Tämä saavutetaan suunnttelemalla kone nn, että snä on rttävä määrä jäähdytyskanava, joden kautta välane mahtuu vrtaamaan jäähdyttäen koneen. Mkäl läpjäähdytetyn koneen suojausluokan tulee olla paremp kun IP 0, vodaan jäähdytyskerto sulkea ja käyttää lämmönsrtmä jäähdytysvälaneen jäähdyttämseen. Mkäl moottor on lappa-asennettava, saattaa koneen lapan kautta srtyä merkttävä määrä lämpöä moottorn käyttämään latteeseen. Sätelylämmönsrron osuus on yleensä vaatmaton, mutte merktyksetön. Ertysest musta koneen pnta edstää sätelylämmönsrtoa. 9.. Johtumnen Lämmönsrto johtumalla on mahdollsta kahden er mekansmn avulla. Ensnnäkn, molekyylen vuorovakutuksella, jossa suhteellsen korkealla energatasolla olevat (so. korkeammassa lämpöt-
9.3 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos lassa olevat) molekyylt antavat energaa vereslle, alemmalla energatasolla olevlle molekyylelle hlavärähtelyn kautta. Tämä lämmönsrto on mahdollsta sekä knteden aneden, nesteden että kaasujen välllä. Tonen johtumsen tapa on lämmönsrto vapaden elektronen välllä, etenkn nestemäsllä, puhtalla metallella. Metallseosten vapaden elektronen määrä vahtelee huomattavast, ja mussa kun metallessa ntä on vähän. Knteden aneden lämmönjohtavuus on suoraan rppuvanen vapaden elektronen määrästä. Puhtaat metallt ovat parhata lämmönjohteta. Johtumalla srtyvä lämpöteho saadaan määrtetyks Fourern lasta seuraavast Φ λs T, (9.) T on lämpötlagra- jossa Φ on lämpöteho, λ on lämmönjohtavuus, S on lämmönsrtopnta-ala, dentt. Tarkastellaanpa nätä kahta lämmönjohtumsperustetta heman tarkemmn. Kuten aemmn todettn, lämpö vo srtyä kntessä anessa vapaden elektronen lkkeen ta hlavärähtelyjen kautta. Johtessa elektronen osuus lämmönsrrossa domno ja erstessä phononen osuus domno. Yhtälö, joka määrttää lämmönjohtavuuden λ on kneettsen energateoran mukasest λ cpcλmfp. (9.) 3 Johtessa c p on elektronen omnaslämpökapastanss, c keskmääränen elektronen lkkumsnopeus ja λ mfp on elektronen vapaa etäsyys, jonka elektron vo kulkea törmäämättä. Ersteessä c p on phononen omnaslämpö, c on äänen nopeus materaalssa ja λ mfp on phononen vapaa etäsyys. Kakssa tapauksssa lämmönjohtavuus kasvaa, kun λ mfp kasvaa. Lämmönjohtavuus rppuu vomakkaast lämpötlasta. Metallelle tyypllstä on, että lämmönjohtavuus penenee lämpötlan kasvaessa. Tosaalta ersteden lämmönjohtavuus nousee lämpötlan kasvaessa. Kaasulle lämmönjohtavuus vodaan laskea kaasujen knetkan perusteella. Lämmönjohtavuus on suoraan verrannollnen kaasun theyteen ρ, keskmääräseen molekyylen nopeuteen c ja keskmääräseen vapaaseen etäsyyteen λ mfp yhtälön λ cvρcλmfp (9.3) 3 mukasest, jossa c v on omnaslämpökapasteett [J/kgK]. Kaasujen lämmönjohtavuus kasvaa lämpötlan noustessa ja molekyylpanon kevetessä, mutta koska ρ ja λ mfp ovat suoraan ja kääntäen verrannollset kaasun paneeseen, lämmönjohtumskerron on lkman rppumaton paneesta suurten tlavuuksen tapauksessa, pats äärolosuhtessa esmerkks lähellä tyhjöä. Nesteden käytös on monmutkasta, ekä stä ymmärretä hyvn. Yleensä e-metallsten nesteden lämmönjohtavuus kasvaa lämpötlan kasvaessa, kutenkn esm. veden käytös pokkeaa tästä. Taulukkoon 9. on koottu jodenkn aneden omnasuuksa huoneen lämpötlassa.
Taulukko 9.. Eräden aneden lämmönsrto-omnasuuksa 93 K:n lämpötlassa. 9.4 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Ane Lämmönjohta- omnaslämpökapasteett theys resstvsyys vuus ρ kg Ωm 0-8 λ W c kj 3 m K m kg K Alumn. puhdas 6 0.896 707.7 Alumnoksd. 96 % 9.4 Beryllumoksd. 99.5 %, 300 K 7.03 3000 Hlteräs 0.5 % 54 0.465 7833 0... 30 Kupar. Puhdas 38 0.383 8954.74 auta. Puhdas 74.7 0.45 7897 9.6 P, 300 K 48 0.7 330 Pteräs 3 7600 7800 30... 50 Elohopea, 300 K 8540 0.404 3.53 Sähkökoneden ersteet 0. 0.3 Muovt 0. 0.3 Veshöyry, 400 K 4.6.06 0.55 Ves, 93 K 0.6 4.8 997.4 Etyleenglygol 0.5.38 7 Moottoröljy 0.5.88 888 Ilma. sesova 0.05 Lämmönjohtumsyhtälö yksnkertastuu tarkasteltaessa johtumsta van yhdessä ulottuvuudessa x- koordnaatn suunnassa. Kappaleessa, jonka johtumspokkpnta-ala on S ja ptuus l yhtälö (9.) saadaan muotoon Φ dt ΔT λs λs, (9.4) dx l jossa Δ T on kappaleen yl vakuttava lämpötlaero ja λ on materaaln lämmönjohtavuus, joka usen on lämpötlan funkto λ(t). Hyvn sähköä johtavat materaalt ovat hyvä lämmönjohtaja. Tosaalta sähkökonessa käytettävät ersteet ovat huonoja lämmönjohtaja. Pokkeuksen muodostaa metalloksd, joka on hyvä lämmönjohtaja verrattuna muovn, ja samalla hyvä sähkönjohtaja. Yhtälö (9.) on yhtälänen sähköteknkan yhtälön J σ V (9.5) kanssa, ta yhden ulottuvuuden tapauksessa dv ΔV I JA σs σs, (9.6) dx l jossa J on vrran theys, S johtumspokkpnta-ala, σ sähkön johtavuus, V sähköpotentaaln gradentt, I vrta ja l ptuus. Yhtäläseks resstvsyydelle, joka on potentaaleron suhde sähkövrtaan, vomme määrttää lämpöresstanssn lämpötlaeron ΔT ja lämpövrran Φ suhteeks ΔT Φ d λs. (9.7)
9.5 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Käämt ovat kyllästetty hartsella. Hartsen lämmönjohtavuus on selkeäst metallen arvojen alapuolella, mutta paremp kun lmalla. Tehotheydeltään suurmmssa konessa, kuten vakkapa lentokoneden sähkömoottoressa, lämpöä e voda srtää lämpöresstanssen yl, vaan käämt tulee jäähdyttää suoraan. Sähkökoneta mallnnettaessa on hyvä ptää melessä muutama perusgeometrota ja geometrsa yksnkertastuksa. Ensmmänen, joka tarpeellnen mallnnettaessa radaalvuokoneta, on radaalsuuntanen resstanss ln r r,radal cyl, (9.8) πlλ jossa r on sylntern ulkosäde, r sylntern ssäsäde ja L sylntern ptuus. Mkäl van sektor sylnterstä mallnnetaan, resstanss kasvaa, koska lämmönsrtoala penenee. Täten ln r π r,radal cylnder, (9.9) θ πlλ jossa θ on mallnnettavan sektorn atsmuuttkulma. Tonen on nelkulmasen sauvan lämpöresstanss l, b, (9.0) hwλ jos l on lämmönsrtosuunnan ptuus, h on sauvan korkeus ja w sen leveys. Jossan tapauksssa vyyhdenpäät on helppo mallntaa sylntermäsnä tankona 4l,c, (9.) πd jossa l on johtumsten ptuus ja D on sylntern halkasja. 9.. Sätely Sätely on lämmönsrron tonen muoto. Se on sähkömagneettsta sätelyä, jonka aallonptuus on välllä 0. 00 µm. Tämä aallonptuuden alue ssältää näkyvän valon, nfrapunasätely ja ptkäaaltosen ultravolettsätelyn (0. 0.4 µm). Tosn kun toset lämmönvahtotavat, johtumnen ja konvekto, sätely e tarvtse välanetta. Kun sätely kohtaa kappaleen, osa stä absorbotuu kappaleeseen, osa hejastuu takasn ja osa vo srtyä kappaleen läp. Osuutta, jonka pnta absorbo, merktään absorbtvteetlla β, osuutta, joka hejastuu, merktään kokonashejastavuudeks η ja energaa, joka srtyy, merktään transmttvsuudeks κ. Näden summa on yks. β η κ (9.)
9.6 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Hejastuvaa pntaa ( η > 0 ) kutsutaan hmmeäks ja, jos sätely on osttan srtynyttä ( β > 0 ), pntaa kutsutaan osttan läpnäkyväks. Kuva 9. esttää osttan läpnäkyvä ja hmmetä pntoja. Osttan läpnäkyvä pntoja e käytetä sähkökonessa, joten käytännössä κ 0 ja β η. (9.3) rradaton, E reflecton rradaton reflecton ηe ηe β E absorpton β E Kuva 9.. Vasemmalla on kuva hmmeästä pnnasta ja okealla kuva osttan läpnäkyvästä pnnasta. Tulevan sätelyn ntensteett on E (W/m ). Ilma ssältää pääasassa happea ja typpeä, jotka evät vastaanota ja lähetä sätelyä. Joten sähkökoneen sätelyn ympärstöön, kuten myös koneen ssällä, vodaan olettaa esntyvän van kahden pnnan välllä. Lämpövrran theyden sätelyssä määrttää Stefan-Boltzmannn yhtälö Φ S ε rσ SB 4 4 ( T T ), (9.4) jossa T on sätelevän pnnan () lämpötla, T vastaanottavan pnnan () lämpötla ja σ SB on Stefan-Boltzmannn vako, 5.67 0-8 W/(m K 4 ). Lämpötlat T ja T täytyy esttää Kelvn-astena. ε r on suhteellnen emssvteett lähettävän ja vastaanottavan pnnan välllä. Se rppuu pntojen laadusta ja nden asemsta tosnsa nähden. Jos kakk pnnan S lähettämä sätely kohtaa pnnan S, nn ε r on κ E ε r S, (9.5) ε S ε jossa ε ja ε ovat pntojen ja emssvteett. Mustan kappaleen emssvteett on yks, ε. Käytännössä mustaa kappaletta e ole olemassa, vaan parhaat käytännön kappaleet saavuttavat emssvteetn ε 0.98, ja esmerkks mustaks maalatun kappaleen emssvteett on non ε 0.9 ja suhteellnen emssvteett harmaaks maalatun sähkökoneen ja ympärstön välllä on ε 0.85. Mustan kappaleen käste on melko monmutkanen. Kappaleen "värä" e voda määrttää vsuaalsest, koska suur osa lämpösätelystä on näkymättömällä alueella. Musta kappale on täydellnen absorboja ja emttoja aallonptuudesta rppumatta. Tosaalta valkonen kappale on mustan kappaleen vastakohta. Emssvteett mttaa todellsen kappaleen sätelyn suhdetta vastaavassa lämpötlassa olevan mustan kappaleen sätelyyn. Se lmottaa, mten hyvn kappale vastaa mustaa kappaletta. Kappaleen emssvteetn kästtelyn helpottamseks lmotetaan yleensä kappaleen keskmääränen emssvteett kakkn suuntn ja kaklle aallonptuukslle.
9.7 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Harmaat ja dffuust pnnat määrtellään lämpösätelyn havannonnn helpottamseks. Harmaan pnnan emssvteett ja absorptokyky evät rpu sätelyn aallonptuudesta. Dffuusn pnnan sätelyomnasuudet evät rpu tulevan sätelyn suunnasta. Todellsuudessa tällasa rppumattoma pntoja e esnny. Emssvteett vodaan kutenkn olettaa melko vakoks, kunhan sätelykulma e pokkea yl 40 astetta johdetason normaalsta ekä yl 70 astetta erstetason normaalsta. Käytännössä emssvteett lmotetaan kohtsuoralle sätelylle. Samalla tavalla kun johtumselle, lämpöresstanss sätelylle on määrtelty jossa T T T T, (9.6) Φ ε σ r SB 4 4 ( T T ) 4 4 ( T T ) S α S s α s ε rσ SB (9.7) T T on sätelyn lämmönsrtokerron, joka rppuu suurest lähettävän ja vastaanottavan pnnan lämpötlasta. Lämpötlaero sähkömoottorn ulomman pnnan ja ympärstön välllä on yleensä non 40 o C ja ympärstön lämpötla on 0 o C. Nällä lämpötlolla ja emssvteetllä ε 0. 85 saadaan α 6 W s m K. (9.8) Sätelyn lämpöresstanss lnearso sätelyn lämmönsrron, joka on samanlanen kun konvekton lämmönsrto. Tämä antaa mahdollsuuden vertalla sätelyn ja konvekton lämmönsrtotehokkuuksa. Esmerkks kappale, jonka emssvteett on 0.85 ja jonka lämpötla on 00 C, sätelee 50 C:een ympärstöön theydellä Φ W W 0.85 5.67 0 ( 373 K 33 K ) 408 S mk m 8 4 4 4 4 4 ja kappale, jonka lämpötla on 50 C ja ympärstön lämpötla 0 C sätelee velä 69 W/m. Tämä antaa sätelyn lämpötlakertomeks 8.6 W/m K ja 6.65 W/m K. Sätelylämmönsrrolla on merkttävä osuus sähkömoottorn lämmönsrrossa, jos moottorssa sätelyn lsäks lämmönsrto tapahtuu luonnollsen konvekton avulla lman puhaltma. Taulukkoon 9.4 on koottu jodenkn sähkökonessa esntyven materaalen emssvteettejä. Taulukko 9.4. Eräden materaalen emssvteettejä Materaal Emssvteett kllotettu alumn 0.04 kllotettu kupar 0.05 pehmeä teräs 0.... 0.3 valurauta 0.3 ruostumaton teräs 0.5... 0.6 musta maal 0.9... 0.95 alumnmaal 0.5 r
9.8 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos 9..3 Konvekto Lämpöä srtyy ana samanakasest sekä konvektolla että johtumalla. Konvektossa lämmönsrto perustuu lämmön srtymseen korkeamman lämpötlan (tässä knteän pnnan) alueelta ja vleämmän lämpötlan (jäähdytysaneen) alueen välllä. Tämä tapahtuu seurauksena stä, että jäähdytysneste lkkuu suhteessa knteään pntaan. (Molekyyltasolla tämä tarkottaa, että jäähdytysnesteen molekyylt syrjäytyvät lämpmmmllä molekyylellä.) Lämmön ja massan srrossa pnnalta jäähdyttävään aneeseen on olennasta ymmärtää rajakerroksen käste. Konvektvsessa lämmönsrrossa esntyy kolme rajakerrosta: nopeus-, lämpötla- ja konsentraatorajapnta. Kesktytään kuvan 9.3 tapaukseen, jossa lmavrta kohtaa tason. Ilmavrran nopeusprofl on estetty kuvassa 9.3. Tason pnnalla nopeus on nolla ja rajakerroksen ssällä nopeus kasvaa vapaan tlan nopeuteen. Nopeusrajakerroksen paksuus, v, määrtellään etäsyytenä pnnasta kohtaan, jossa lmavrran nopeus on 99 % vapaan tlan nopeudesta. Tällä alueella lekkausjänntykset ja nopeusgradentt ovat merktyksettömä. Tason lämpötla on T S ja sen oletetaan olevan suuremp kun lmavrran. Pnnan lähellä lämmönsrtoa konduktolla tapahtuu rajakerroksen läp. Lämpötlaprofl on samanlanen nopeusprofln kanssa. Lämpörajakerroksen paksuus, T, on määrtelty korkeutena, jossa pnnan, T S, ja rajakerroksen, T, lämpötlojen erotuksen suhde ympärstön, T, ja pnnan lämpötlojen erotukseen on 0.99. TS T 0.99. T T v T v T T s v T x Kuva 9.3. Nopeus- ja lämpörajakerroksen kehtys, kun (x) ja (x) ovat rajakerrosten paksuudet. v Konsentraatorajakerros syntyy kaksfaasvrtauksen ylttäessä pnnan (konvektvnen massan srto: esm. veshöyry lmavrrassa). Konsentraatorajakerroksen paksuus, c, määrtellään korkeutena, jossa pnnan, C s, ja rajakerroksen, C, molekyylkonsentraatoden erotuksen suhde ympärstön, C, ja pnnan molekyylkonsentraatoden erotukseen on 0.99. Konsentraatorajakerros on samankaltanen kun nopeus- ja lämpötlarajakerrokset (kehunta nesteen pnnalla ja sublmotumnen knteällä pnnalla). ajakerrosteoreemsta saadaan kolme tärkeää lauseketta; pnnan ktka, konvektvnen lämmönsrto ja konvektvnen massansrto, josta saadaan vastaavat kolme tärkeää parametra: ktkakerron, C f, ja konvektvset lämmön ja massansrtokertomet α ja α m. T
9.9 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Laskelmen helpottamseks ja erlasten parametren määrän mnmomseks on kehtetty muutama dmensoton parametr. Monta dmensotonta parametra on kehtetty, mutta tässä kolme tärkentä, jota vodaan käyttää laskettaessa lämmönsrtoa knteltä pnnolta välanesn. Nusseltn luku Nu eynoldsn luku e 3 Prandtln luku Pr Konvektvsen lämmönsrron lämmönsrtokerron α vodaan lmasta dmensottoman Nusseltn luvun Nu avulla αl Nu, (9.9) λ jossa L on karakterstsen pnnan ptuus ja λ on jäähdytysaneen lämmönjohtavuus. Nusseltn luku kuvaa konvektvsen lämmönsrron tehokkuutta johtumslämmönsrtoon verrattuna. Inertan ja vskoosvoman välstä suhdetta kuvataan eynoldsn luvulla e, jonka yhtälö on vl e, (9.0) ν jossa v on jäähdytysaneen vrtausnopeus pnnalla, L on pnnan karakterstnen mtta ja ν on vrtaavan aneen knemaattnen vskosteett. eynolds lukua, jolla vrtaus muuttuu turbulenttseks, kutsutaan krttseks eynoldsn luvuks e crt. Tasaslle pnnolle e crt on 5 0 5 ja putkvrtaukselle 300. Putkvrtauksessa karakterstnen mtta on 4S L, (9.) l p jossa S on vrtauspnta-ala [m ] ja l p putken märkäprn ptuus. Kolmas dmensoton luku on Prandtln luku, joka kuvaa lkemäärän ja termsen dffusvteetn suhdetta. Tosn sanoen se kuvaa nopeus- ja lämpötlarajakerroksen paksuussuhdetta. Prandtln luku määrtellään c p μ P r, (9.) λ jossa c p on välaneen omnaslämpökapasteett, μ dynaamnen vskosteett ja λ jäähdytysaneen lämmönjohtavuus. Kun Pr on alhanen (<) termsen dffusvteetn aheuttama lämmönsrto on suur verrattuna lämmönsrtoon, joka saavutetaan nesteen nopeudella, ja kun Pr on ykkönen lämpötla- ja nopeusrajakerrokset ovat samat. Pr-luku kaasulle ja lmalle on tavallsest välllä 0.7 ja vedelle 3 rppuen lämpötlasta ja paneesta. Nopeus- ja lämpötlarajakerrokset ovat kaasulle samaa suuruusluokkaa. Nopeus- ja lämpötlarajakerroksen välllä seuraava yhtälö on vomassa / 3 T v Pr.
Koska Pr on kaasulla lähelle yks, nn. T 9.0 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos v Fannngn ktkakerron C f on käyttökelponen ssästen vrtausten laskennassa määrtettäessä pumpun ta puhaltmen ktkatehoa, mutta se soveltuu van täysn kehttyneelle lamnaarvrtaukselle. Laskettaessa täysn kehttynyttä turbulentta vrtausta (tavallsta esm. sähkökoneen lmavälssä) on parasta käyttää emprsä ktkakertoma. Ktkakertoma laajalle eynoldsn lukualueelle saa Moodyn dagrammsta (Moody, 944), joka pätee pyörelle putklle. Putken panehävö, Δp, vodaan laskea ρum Δp f L, (9.3) D jossa f on dmensoton Moodyn ktkakerron, ρ on nesteen theys, L putken ptuus, D putken halkasja ja u m keskmääränen vrtausnopeus putkessa. Nopeus vodaan laskea massavrrasta. Panehävön avulla on mahdollsta laskea myös putkvrtauksessa tarvttava teho, P, yhtälöllä Δ m P p, (9.4) ρ jossa m on massavrtaus putkessa. Konvekton lämpövrta kulkee ana alemman lämpötlan suuntaan. Konvekto vodaan erotella pakotettuun ja vapaaseen konvektoon. Pakotetussa konvektossa neste- ta kaasuvrtaus aheutuu ulkossta systä esm. pumpusta ta puhaltmsta. Luonnollnen konvekto taas tapahtuu theyserojen taka, joka johtuu lämpötlaerosta: jäähdytysaneen lämmetessä sen theys muuttuu ja pakallnen muutos jäähdytysane knteä rajapnnassa aheuttaa nosteen ja vrtauksa jäähdytysaneeseen. Konvekton luoman lämpövrran theys,, saadaan määrtetyks Newtonn jäähdytyslasta seuraavast Φ α ΔT S ja konvekton lämpöresstanss on ss ΔT Φ α S. (9.5) Tässä α on lämmönsrtymskerron. Lämmönsrtymskertomen arvo rppuu jäähdytysaneen vskosteetsta, lämmönjohtavuudesta, omnaslämpökapasteetsta, vrtausnopeudesta, jne. Perntesest lämmönsrtymskerron on määrtetty erlasten emprsten korrelaatoden avulla. Mller (993) käyttää sähkökoneen laskennassa vaakasuoraan asennetun, rvattoman, halkasjaltaan D:n suurusen sylntern luonnollselle konvektolle lmassa ympärstön lämpötlan ollessa lähellä huoneenlämpötlaa, sylntern ja ympärstön välsestä lämpötlaerosta, ΔT, rppuvaa korrelaatota 0,5 ΔT W α,3. (9.6) D m K
9. LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Esmerkks halkasjaltaan 0,m sylntern ollessa 50 C ympärstöä korkeammassa lämpötlassa, luonnollsen konvekton lämmönsrtymskerron saa arvon 6.4 W/(m K), ja lämpövrran theys on 3 W/m. Luonnollnen konvekto on täten samaa luokkaa kun lämmönsrto sätelemällä. Pakotettu konvekto kasvattaa konvektvsta lämmönsrtymskerronta jopa 5 6 -kertaseks rppuen lman nopeudesta. Lämmönsrtymskerron on lkmäärn verrannollnen lman nopeuden v nelöjuureen (Mller, 993) v W α 3,89 l m K. (9.7) Tässä l on koneen vapan ptuus metrenä ja nopeus v lmotetaan [m/s]. Esmerkks 0,m ptusen sylntern pnnalla vrtausnopeuden ollessa 4 m/s saadaan lämmönsrtymskertomeks 4,6 W/(m K). Tämä on non nelnkertanen verrattuna aemmn luonnollselle konvektolle saatuun arvoon. adaalvuokonelle on määrtettävä kolme keskestä konvektokerronta, jotka tarvtaan rungolle, lmavällle ja vyyhdenpälle. ungon konvektota vo approksmoda esmerkks Mllern yhtälöllä, mutta kaks muuta ovat vakeampa, ertysest vyyhdenpäden lämmönsrtoa on vakea arvoda. Kahden samankeskesen renkaan välsen rajapnnan, annuluksen (staattorn ja roottorn välnen lmaväl) lämmönsrto rppuu lmaväln ptuudesta, pyörmsnopeudesta, roottorn ptuudesta ja lmavälssä olevan välaneen knemaattsesta vskosteetsta. Taylorn yhtälöä vodaan käyttää määrttämään vrtauksen tyypp ja konvektolämmönsrtokerron lmavälssä. Taylorn yhtälön pätevyys on kutenkn rajotettu. Sähkökoneen lmaväln vrtausta pdetään yleensä Taylor-Couette vrtauksena ta Taylorn pyörrevrtauksena. Se eroaa vrtauksesta kahden rnnakkasen laatan (yhden lkkuessa) välllä torodslla pyörtellä, jotka lmenevät tangentaalsten vomen taka. Nämä pyörteet vakuttavat lämmönsrto-omnasuuksn lmaraossa. Taylorn luku kuvaa vskoosvomen ja keskpakovomen suhdetta. 3 ρ ω rm Ta, (9.8) μ jossa mssä ω roottorn pyörmskulmanopeus, ρ on välaneen theys, μ välaneen dynaamnen vskosteett ja r m staattorn ja roottorn keskmääränen säde. Ilmaväln,, ja roottorn säteen merktyksen huomomseks käytetään modfotua Taylorn lukua Ta Ta m, (9.9) F g jossa F g on geometrnen tekjä, joka määrtettään F g 4 rm, 304 π. rm rm. 304 697 0. 0056 0. 057 rm. (9.30) r m
9. LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Käytännössä lmaväln ptuus on nn pen verrattuna roottorn säteeseen, että F g on lähellä ykköstä ja Ta Ta m. Korrelaatoyhtälöt Nusseltn luvulle konvektvsen lämmönsrtokertomen laskussa ovat Nu Nu 0.8Ta Nu 0.409Ta 0,367 m 0,4 m for for for Ta 0 m 700 < Ta 4 < 700 (lamnar flow) < Ta m m < 0 < 0 4 7 (9.3) jota vodaan käyttää määrtettäessä lämmönsrtokerronta roottorsta lmarakoon ja staattorsta lmarakoon (yks lmarako pnta) yhtälöllä Nuλ α, (9.3) jossa λ on lman lämmönjohtavuus. Pnnan karheus vakuttaa lämmönsrtoon kahdella tavalla. Se laajentaa jäähdytysaluetta ja lsää turbulenssa. Gardner ja Sabersky (978) ja ao ja Sastr (984) ovat tutkneet karheuden vakutusta staattorn ja roottorn lmaraon pnnassa. Näden kahden tutkmuksen mukaan karhean roottorn lämmönsrtokerron on 40 70 % suuremp kun sleän roottorn. Konvekton lämmönsrtokerronta vyyhdenpässä on vakenta arvoda, koska vrtausalue on lan monmutkanen mallntaa. Sähkökoneen jäähdytysmenetelmä vakuttaa myös vyyhdenpäden konvekton lämmönsrtokertomeen, kuten myös käämtyksen tyypp. Häkkkäämtysnduktomoottorn vyyhdenpäden tla on estetty kuvassa 9.4. Vyyhdenpäät vodaan jakaa kahteen osaan: vyyhdenpäden ja roottorn välseen tlaan ja vyyhdenpäden ja rungon välseen tlaan. oottorn pyörmsnopeus määrää lämmönsrtokertomen. Geometrsä vastaavuuksa tähän lmaväln ja yhtälötä (9.8)-(9.3) vodaan käyttää laskettaessa lämmönsrtokerronta staattorn käämtyksen pnnalla. Vyyhdenpäden ja rungon välsessä tlassa lmavrran nopeus on paljon penemp kun roottorn ja vyyhdenpäden välsessä tlassa. Vrtaus vodaan olettaa lamnaarseks. Tämä tarkottaa, että tässä tlassa esntyy luonnollsta konvektota ja samon sätely ptää ottaa huomoon. Stator end wndng Stator otor otor fan blade Kuva 9.4. Häkkkäämtysnduktomoottorn vyyhdenpäät ja lman kerto tässä tlassa. Yleensä lämmönsrtoa kahden tosnsa kytketyn kappaleen välllä on kuvattu ltoskohdan lämpöresstansslla. Lämmönsrto ltoskohten raon yl rppuu pntojen lopetukssta. Lämmönsrtoker-
9.3 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos ron, α, kahden metallpnnan, joden epätasasuus on 30 μm, on non 00 W/m K, joka vastaa lämpöresstanssa 9,K/W yhden nelösenttmetrn alueella. Pohjapntojen tapauksssa (karheus μm) lämmön srtymnen on kaksnkertastettu ja täten lämpöresstanss vodaan puolttaa. Sama tulos vodaan saavuttaa lsäämällä lämpöä srtävää voteluanetta epätasasten pntojen ltoskohtn täyttämään rakoja. Vastaava lämpöresstanss ltospnnolla vodaan myös mallntaa vastaavalla lmaraon konduktolla. Kuvtellaan, että pntojen välssä on pen lmarako, joka johtuu pntojen epätasasuukssta. Vastaavan lmaraon resstanss pntojen välssä vodaan laskea yhtälöllä (9.7). Vastaavat lmarakojen ptuudet ja ltospntojen lämmönsrtokertomet ovat estetty taulukossa 9.. Taulukko 9.. Vastaavat ltospntojen lmarakojen ptuudet ja nden välset lämmönsrtokertomet. Vastaavan ltospnnan lmaraon ptuus (mm) ron (W/m Pntojen välnen lämmönsrtoker- Ltospnta tyypp K) staattorn käämtys staattorn sydän 0.0 0.30 80 50 runko (alumn) staattorn sydän 0.03 0.04 650 870 runko (valurauta) staattorn sydän 0.05 0.08 350 550 roottorn tanko roottorn sydän 0.0 0.06 430 600 Sähkökonessa ltospntojen lämpöresstanss on merkttävn epävarmuustekjä. Tärkemmät ltospnnat ovat lämpöresstansst johtmen ja uraersteden, uraersteden ja staattor- ta roottorpakan ja staattorpakan ja -rungon välllä. Näden lämpöresstanssen määrtys vo osottautua vakeaks lman mttauksa. Kutenkn nämä pntojen välset lämpöresstansst nmenomaan enmmäkseen määräävät koneen lämmönsrron. Jotta koneen lämmönsrto vodaan laskea, täytyy tetää tetyt pntojen välset lämpöresstvset arvot. Mkäl nmellstä vääntömomentta vaadtaan alhasella pyörmsnopeudella, e koneen aksellle knntetty puhalln rtä tuottamaan rttävän vomakasta pakotettua konvektota. DC-moottoressa ja vektorsäädetyssä AC-moottoressa käytetään usen erllstä jäähdytyspuhallnta, koska ntä käytetään ptkä akoja suurella vääntömomentlla htalla pyörmsnopeukslla. Koska DC-konessa suurn osa lämpötehosta syntyy roottorssa, tarvtaan koneen ssällä tehokas jäähdytysvrtaus. 9. Lämpöprn sjaskytkentä 9.. Sähkösten ja termsten tekjöden yhteneväsyys Lämmönpostoon lttyvä laskelma kertoo anoastaan vodaanko lämpöä postaa tarpeeks koneen pnnalta pysyvässä tlassa. Lsäks sen avulla vodaan päättää myös koneen jäähdytystapa. Koneen tomnnan kannalta on kutenkn tärkeää pystyä määrttämään koneen ssänen lämpötlajakauma, jonka määräävät koneen osssa esntyvät vahtovuontheydet ja taajuudet sekä vrrantheydet. Ssäsen lämpötlajakauman määrttämseks käytetään lämpöverkkoa, jonka avulla hahmotellaan sjaskytkentä koneen lämmönsrrolle. Lämpövrtaus on yhtenänen sähkövrran vrtaukselle, kuten nämme edellsessä kappaleessa. Taulukossa 9.3 on estetty termsten ja sähkösten tekjöden yhteneväsyys.
Taulukko 9.3. Sähkösten ja termsten tekjöden yhteneväsyys. 9.4 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Termnen vrtaus Tunnus Ykskkö Sähkönen vrtaus Tunnus Ykskkö Lämpömäärä Q J Sähkövaraus Q C Lämpövrran määrä Φ W Sähkövrta I A Lämpövrran theys W/m Vrran theys J A/m Lämpötla T K Sähköpotentaal V V Lämpötlan nousu ΔT, K Jännte U V Lämmönjohtavuus λ W/(m K) Sähkönjohtokyky σ S/m Lämpöresstanss K/W Sähköresstanss Ω Lämpökonduktanss G W/K Kondunktanss G S Lämpökapasteett C J/K Kapastanss C F Lämpökapasteett on vastaava kun sähkönen kapastanss. Tämä vodaan huomata seuraavasta. Sähkönvaraus, Q, varatussa kondensaattorssa on Q CU, (9.35) jossa C on kondensaattorn kapastanss ja U sen jännte. Kappaleeseen varastotunut lämpömäärä, Q, on Q mc ΔT, (9.36) p jossa m on kappaleen massa, c p kappaleen omnaslämpökapasteett ja ΔT kappaleen lämpötlan nousu, jonka lämpömäärä Q aheuttaa. Vertaltaessa yhtälötä (9.3) ja (9.4) huomataan, että C mc p (9.37) on yhtälänen kapastanssn C. 9.. Käämtyksen keskmääränen lämmönjohtavuus Sähkösen latteen käämtykset ovat termsest epähomogeensä. Lämpö vrtaa tosnaan erttän hyvn lämpöä johtavan johteen läp ja tosnaan huonost lämpöä johtavan ersteen läp. Yleensä tarvtsee tetää käämtyksen lämpötlan keskarvo. Tässä tapauksessa käämtyksen vo korvata homogeensella materaallla, jolla on sama lämpöresstanss kun epähomogeensella käämtyksellä. Tarkastellaan esmerkkä käämtyksestä, joka estetään kuvassa 9.5a. Lämmön oletetaan vrtaavan anoastaan x-akseln suuntaan. Koska kuparn lämmönjohtavuus on non tuhat kertaa suuremp kun ersteen, vomme olettaa kuparn lämpöresstanssn nollaks. Tehtävämme on määrttää tosnsa knntettyjen erteden A ja B (kuva 9.5b) resstanss (r res ). A:n resstanss ptuusykskköä koht on b' ra, (9.38) λ
9.5 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos jossa λ on ersteen lämmönjohtavuus. B:n resstanss ptuusykskköä koht on h r λ B. (9.39) Yhtenänen knntys tuottaa h h b h h b r r r r r B A B A res λ (9.40) esultantt resstanssn, r res, ptää olla yhtä suur kun homogeensen kappaleen, jonka paksuus on b, leveys h ja lämmönjohtavuus λ av, resstanss (kuva 9.5c): h h b h h b h b r av res λ λ. (9.4) Keskmääräselle lämmönjohtokyvylle saadaan h h h b av λ λ. (9.4) h' h b b' A B b' b' h' h' h b x a. b. c. Kuva 9.5 Muotokuparkäämtys. Käytettäessä samaa menettelyä, vomme määrttää keskmääräsen lämmönjohtokyvyn käämtykselle, estetään kuvassa 9.6a, jossa käämkerrosten välssä on ylmääränen erstekerros. ( ) ( ) h h b h a a av λ λ (9.43)
9.6 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Jos käytettään on pyörölankakäämtystä (kuva 9.6b) ja lankojen vält on täytetty kyllästyshartslla, keskmääränen lämmönjohtavuus on d λ av λ. (9.44) d b' h' d d' a a. b. Kuva 9.6 a) Muotokuparkäämtys, jossa kerrosten välssä ylmääränen erste. b) pyörölankakäämtys. 9..3 Sähkökoneen lämpöprn sjaskytkentä Tyypllnen sähkökoneen lämpöprn sjaskytkentä on estetty kuvassa 9.7. Oletetaan, että lämpö vrtaa pakassa tapahtuu van radaalsest, koska lämmönjohtavuus aksaalseen suuntaan on paljon penempää kun radaalseen suuntaan. Lsäks oletetaan lämmön vrtaavan ursta hammastukseen, mutte suoraan keeseen. Tämä on järkevää, koska urat ovat yleensä syvä ja kapeta, jollon lämmön vrtaus nstä keeseen on pentä. Sjaskytkennässä on solmukohtaa. Solmukohdat, jossa koneen hävöt tapahtuvat, ovat merktty ympyrällä ja solmun numero on krjotettu ympyrän ssään. Pr on kytketty jäähdytysvrtaukseen ja koko sjaskytkentäpr solmuhn 8. Yksttästen parametren kuvakset annetaan jäljempänä.
Sta to r s5 End wndng s4 s 9.7 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos 9 Yoke s s s3 s Too s4 3 4 s4 s7 Fram e End wndng 8 space Ar gap 8 r5 r4 r0 r r9 r9 r r3 r4 r6 0 9 0 r7 r8 End r4 r6 End wndng 4 3 wndng r4 Too r o to r r3 Slo t 5 6 r r Sha ft Yoke s0 Kuva 9.7 Tyypllsen sähkökoneen lämpöprn sjaskytkentä. s6 s9 Slo t 7 8 s9 s End wndng s3 6 s4 s6 End wndng space Opetellaan ensn mallntamaan tlanne, jossa urssa on muotokuparkäämtys (kuva 9.8). Kuparn ja hammastuksen välssä on pää- ja johtoerstys. Kuparn lämpötlan oletetaan olevan vako käämtyksen jokasella pokkpnnalla, mutta vahteleva aksaalsessa suunnassa. Hammastuksen lämpötlan oletetaan pysyvän vakona aksaalsessa suunnassa. esstvset hävöt ovat jakautuneet tasasest käämtyksessä. h s b s Kuva 9.8. Lekkauskuva urssa olevasta muotokuparkäämtyksestä. l
9.8 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Käämtys ja hammastus on estetty yksnkertastetussa muodossa kuvassa 9.9a. Lämpöprn sjaskytkentä, jossa vakot on jaettu, on estetty kuvassa 9.9b. Käämtys on jaettu penn palohn, joden ptuus on dx. esstvset hävöt, P Cu, jaettuna pakan ptuudella l on PCu p. (9.45) l Lämpöresstanss psteden a ja b välllä jaettuna pakan ptuudella on r, (9.46) l λ S Cu Cu jossa λ Cu on lämmönjohtavuus ja S Cu on johteen kokonaspokkpnta-ala urassa. Lämpökonduktanss G (lämmönresstanssn kääntesluku) johteesta hammastukseen pakan ptuusykskköä koht on G g (9.47) l Johtavuus G ssältää ersteen resstanssn ja ltosresstanssn ersteen ja hammastuksen välllä. G:n kääntesluku on estetty kuvassa 9.7 symbolen kanssa. G λ h l α h l s s λ α h l s k, h l s jossa λ on ersteen lämmönjohtavuus ja α lämmönsrtokerron ersteen ja hammastuksen välllä. Lyhennettä k k (9.48) λ α kutsutaan kokonaslämmönsrtokertomeks. Nyt saamme johtavuudeks ptuusykskköä koht g k h s. (9.49) Sjaskytkentä nputetulla vakolla on estetty kuvassa 9.9c. Kytkentä antaa psteden a ja b lämpötlojen nousut ja myös keskmääräsen lämpötlan nousun av käämn osssa, jotka sjatsevat urssa el psteden a ja b välssä. Kokonashävöt P Cu urssa on saatu kesklämpötlaa esttävästä solmukohdasta.
9.9 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos x P P H Cu pl Copper y Φ a a b Φ b a b a) l rl Too Insulaton P Cu Φ a rdx rdx rdx rdx rdx rdx Φ b a gdx gdx gdx gdx gdx b b) G gl Φ a 0 0 Φ b c) a av av P Cu Φ b Φ a P Cu b Kuva 9.9 a) yksnkertastettu estys kuvasta 9.8, b) lämpöprn sjaskytkentä estettynä jaetulla vakolla, ja c) sjaskytkentä estettynä nputetulla vakolla. Kuvan 9.9c sjaskytkennän komponentt ovat määrtetty seuraavast. Ensmmäseks täytyy selvttää lämmön jakautumnen kuvan 9.9b jaettujen vakoden sjaskytkennästä, että mkä osa, etäsyydellä x psteestä a (lähtöpste), on estetty kuvassa 9.0.
9.0 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Φ a Φ Φ x dx Φ pdx pdx A rdx B Φ b gdx gdx gdx a b x dx dx Kuva 9.0 Dfferentaalyhtälön johto käämtyksen lämpövrralle. Psteessä A, joka on etäsyydellä x lähtöpsteestä, lämpötlan nousu on ja lämpövrtaus Φ. Psteessä B, joka on etäsyydellä dx psteestä A, lämpötlan nousu ja lämpövrtaus ovat x x d ja Φ x dx Φ, kuten merktty kuvassa 9.0. Soveltamalla kuvan 9.0 solmukohtaan A sääntöä: solmukohtaan tuleven lämpövrtojen summa on yhtä suur kun lähteven lämpövrtojen, saadaan Φ gdx pdx Φ Φ x dx ja seventämsen jälkeen Φ g p. (9.50) x Lämpötlan nousu solmupsteessä B vodaan laskea suoraan maan tasalle (hammastus) ja solmukohdan A kautta, joten dx Φ rdx x ja seventämsen jälkeen Φ r. (9.5) x Dfferentomalla yhtälön (9.50) saadaan Φ x g x ja sjottamalla yhtälön (9.5) saatuun yhtälöön, saadaan
9. LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Φ x rgφ 0 (9.5) Yhtälön (9.5) ratkasu on rg x rg x Φ Ce Ce, (9.53) jossa C ja C ovat ntegromsvakota. Yhtälön (9.50) mukaan lämpötla on rg x rg x ( C rge C rge p). (9.54) g Integromsvakot ovat määrtetty kahden rajaehdon mukaan ja x 0 a x 0 Φ Φ a Sjottamalla rajaehdot yhtälöhn (9.53) ja (9.54), saadaan g p C Φ a a (9.55) r rg g p C Φ a a. (9.56) r rg Sjottamalla nämä C ja C yhtälöhn (9.53) ja (9.54) ja seventämällä, saadaan lopulta g p ( rg x) snh( rg x) snh( rg x) Φ cosh Φ a a (9.57) r rg p ( rg x) ( rg x) [ cosh( rgx) ] r Φ snh a g cosh a. (9.58) g Kesklämpötla on snh [ ( ) ] ( rgl) p sn h ( rgl) cosh rgl Φ l av dx a a l l g rg g rg 0 Ottamalla huomoon p:n, r:n ja g:n määrtelmät yhtälöstä (9.45), (9.46) ja (9.47), saadaan snh [ ( ) ] ( Gl) P snh ( Gl) cosh Gl Φ. av a a G G G G. (9.59)
9. LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Nyt vomme määrttää komponentt sjaskytkennälle, jossa vakot on nputettu, laskemalla lämpötlan nousun ja lämpövrtauksen psteessä b (kuva 9.9c) yhtälöllä (9.57) ja (9.58) ja sjaskytkennästä kuvassa 9.9c. Tuloksen tulee olla täysn yhtenevät. Yhtälössä (9.57) ja (9.58) x l. G P ( G ) snh( G ) snh( G ) G P G cosh G [ cos h( G )] Φ Φ acosh a (9.60) b Φ a snh a (9.6) G G Kuvan 9.9c sjaskytkennästä saadaan a a 0 ( Φ b a )( ) P Φ Φ (9.6) b b 0 ( Φ b a )( ) P Φ Φ (9.63) Yhtälöstä (9.6) ja (9.63) vodaan ratkasta 0 Φ b Φ a a P (9.64) 0 0 0 b Φ a 0 a P (9.65) Yhtälö (9.60) antaa saman tuloksen Φ b :lle kun yhtälö (9.64), jos Φ a :n ja a :n kertomet ovat samat. Lsäks kertomen P tulee olla sama. Sama koskee yhtälötä (9.6) ja (9.65). Nämä ehdot antavat 0 cosh G, (9.66) 0 0 snh G, (9.67) G G snh G, (9.68) snh G G. (9.69) Jakamalla yhtälön (9.69) yhtälöllä (9.68), saadaan. (9.70) G Sjottamalla yhtälöstä (9.70) yhtälöön (9.69), saadaan
9.3 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos G. (9.7) G snh G :n arvo on negatvnen luku. Lopulta yhtälöstä (9.66) ja (9.67) saadaan snh G G 0 tanh. (9.7) G cosh G G Vmesenä täytyy velä tarkstaa, että samme kesklämpötlan, yhtälö (9.59), myös sjaskytkennällä, jossa on resstansst (9.70), (9.7) ja (9.7): ( Φ ) P av b Φ a ja sjottamalla Φ b yhtälöön (9.64), saadaan seventämsen jälkeen av G 0 Φ a a snh G P snh G ( cosh G ) Φ, a G a G tämä on kun yhtälö (9.59), joka on analyyttnen ratkasu. Kuvan 9.7 lämpöprssä staattorn käämtyksen osa, joka sjatsee urssa, on estetty resstanssen s6, s8 ja s9 ja solmukohdalla 7. Solmukohta esttää keskmäärästä lämpötlan nousua ja resstvsä hävötä urssa, jotka on ltetty tähän solmuun. esstanss s6 on laskettu yhtälöllä (9.70), s8 yhtälöllä (9.7) ja s9 yhtälöllä (9.7). Vyyhdenpäät vodaan myös esttää kuvan 9.9c sjaskytkennällä. Vyyhdenpässä korken ta mataln lämpötla on vyyhden ulokkeen kekspsteessä, joten lämpövrtaus Φ a on nolla, jos napa b on kytketty urssa olevn käämtyksn. Vomme nyt jättää resstanssn 0 pos navasta a. Tällön kuvan 9.7 vasemmanpuolenen vyyhdenpää vodaan esttää resstanssen s0, s, s4 ja s5 ja solmukohdalla 5. esstanss s0 on samaa muotoa 0 :n kanssa yhtälöstä (9.7), s on pen negatven resstanss :n yhtälöstä (9.7) ja summa s4 s5 on samaa muotoa :n kanssa yhtälöstä (9.70). s4 s5 on resstanss vyyhdenpäden johtesta vyyhdenpäden tlaan. esstanssn s4 arvo on resstanss johtesta vyyhdenpäden pntaan ja s5 on konvektvnen resstanss vyyhdenpäden pnnalta vyyhdenpäden tlaan. Okealla puolella vyyhdenpäät on estetty samalla tavalla resstanssen s, s3, s4 ja s6 ja solmukohdalla 6. Solmukohdat 5 ja 6 antavat käämtyksen loppujen keskmääräsen lämpötlan nousun ja vyyhdenpäden resstvset hävöt on syötetty solmuhn 5 ja 6. Hammastus on estetty kuvassa 9.7 resstanssen s4, s5 ja s6 ja solmukohdalla 4, jossa hammastuksen rautahävöt tapahtuvat. s4 on samaa muotoa 0 :n kanssa yhtälöstä (9.7), s5 on pen negatven resstanss :n yhtälöstä (9.7) ja s6 on yhtenen resstanss käämtyksen kanssa. esstanss yhtälössä (9.7) ja (9.7) on nyt hammastuksen resstanss hampaan päästä uran pohjaan. Symmetran taka lämmön vrtaus keessä tapahtuu van radaalseen suuntaan. Tämä tarkottaa konduktanss G puuttuu kuvan 9.9c sjaskytkennästä. Sjaskytkentä saa nyt kuvan 9. mukasen muodon. P G
9.4 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos a Φ a 0 0 Φ b b a av av P b Kuva 9. Sjaskytkentä tapauksessa, jossa kuvan 9.9 johtavuus G puuttuu. esstansst 0 ja vodaan saada samalla tavalla kun se ol tehty kuvassa 9.9 estetyssä ylesessä tapauksessa. Tulos on: 0, (9.73), (9.74) 6 jossa on kuvan 9. psteden a ja b välnen lämpöresstanss ja P rungossa syntyneet kokonashävöt. Ies on kuvattu kuvassa 9.7 resstanssen s ja s3 ja solmukohdalla. Solmukohta antaa keelle keskmääräsen lämpötlan nousun ja keen rautahävöt on syötetty solmuun. esstanss s on laskettu yhtälössä (9.73) ja s3 yhtälössä (9.74). esstanss on keen lämpöresstanss uran pohjasta keen ulompaan pntaan. Kuvan 9.7 sjaskytkentä prn resstanss s on konvekton ja sätelyn resstansst keen ulommasta pnnasta ympärstöön ta jäähdyttävään aneeseen. Kuvan 9.9c sjaskytkentäpr ol tehty muotokuparkäämtykselle olettaen, että lämpötla käämtyksen pokkpnnolla on vako. Jos käytetään pyörölankakäämtystä (kuva 9.), lämpötlan e voda olettaa olevan vako pokkpnnolla. Olettaen, että lämpö vrtaa kuvassa 9. anoastaan käämtyksestä hampaaseen, nn sjaskytkentäpr on kuvan 9. muodossa, joka on kelvollnen yhdensuuntaselle lämpövrtaukselle rungossa, jossa hävöt ovat jakautuneet yhdenmukasest yl rungon. Symmetran taka korken lämpötla on kesklnjalla ja lämpö e vrtaa tämän lnjan yl. Vomme postaa kuvan 9.a okeanpuolesen vastuksen 0 ja sjaskytkentäpr tulee kuvan 9.b mukaseen muotoon. Kuvan 9.b vastus ssältää uran erstyksen sen resstanssn ja erstyksen ja hampaan välsen resstanssn. esstansst 0 ja ovat laskettu yhtälössä (9.73) ja (9.74). Nden summa on c b b 0, (9.75) 6 3 3 λ h l 6 λ h l r s r s jossa on lämpöresstanss uran kesklnjasta uran erstykseen, b ja h s kuvassa 9. estetyt uran dmensot, l pakan ptuus ja λ r käämtyksen keskmääränen lämmönjohtavuus (yhtälö 9.44). Jos käämtys on pyörölankakäämtys, nn resstanss s6 kuvan 9.7 sjaskytkentäprssä on s6 e
Yhtälalla on laskettu resstanss s4 vyyhdenpässä. b/ 9.5 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos 0 0 0 c h s P Cu P Cu P Cu a) b) c) Kuva 9. Pyörölankakäämtyksen lämpöprn sjaskytkentä. Kuvan 9.7 roottorn sjaskytkentäpr on pelkuva staattorn prstä. oottorn lämpöresstansseja lasketaan kuten staattorn resstansseja, mutta laskussa käytetään roottorn parametreja. 9..4 Jäähdytysvrtauksen mallntamnen Yksnkertasn tapa mallntaa jäähdytysvrtaa on olettaa, että jäähdytysaneen lämpötla on vako ja sen keskarvon suurunen. Tällön saadaan rttävän hyvä tuloksa, jos jäähdytysaneen lämpötlan nousu on pentä, kuten normaalst täysn umpnasssa puhallnjäähdyttesssä moottoressa on. Jos jäähdytysaneen lämpötlan nousu on suurta, kuten moottoressa, jossa on avomen prn jäähdytys, arvo lämpötlan olevan vako e ole rttävä. Jäähdytysaneen lämpötlan nousut koneen er osssa vodaan arvoda. Lämpöverkoston ratkasemsen jälkeen tedetään lämpövrtauksen jakautumnen. Tämän jälkeen jäähdytysaneen lämpötlan nousu vodaan laskea uudelleen, korjata arvo ja ratkasta verkosto uudelleen, saaden nän paljon tarkempa tuloksa. Tarkn tapa tarkastella jäähdytysvrtausta on kästellä lämpö- ja jäähdytysvrtausyhtälötä samanakasest. Lämpöverkoston, jossa on passvset komponentt, yhtälöt ovat lneaarsa ja matrst symmetrsä. Nällä tulokslla on vahdannasomnasuus sten, että lämpötlan nousu mssä tahansa osassa A watta kohden osassa B on sama kun lämpötlan nousu osassa B watta kohden osassa A. Jäähdytysaneen lämpötlan nousua moottorn er osssa kuvaavat yhtälöt ovat myös lneaarsa, mutta nllä e ole symmetraa ekä vahdannasuutta. Tämän taka jäähdytysvrtausta e voda mallntaa passvslla sähkösllä komponentella. jäähdytysvrtaus vodaan mallntaa lämpövrtauksella ohjatulla lämmönlähtellä lämpöverkostossa. atkastessa lämpöverkostoa, jossa on lämpövrtauksella ohjatut lämmönlähteet, vodaan käyttää ylesä pranalyysohjelma kuten Spce, Saber ta Aplac. Lämpövrtauksella ohjattu lämmönlähde on kuvattu ohjelmassa vrta ohjatulla jänntelähteellä. Verkoston ollessa pen, vo sen ratkasta myös käsn.
9.6 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Analyysmenetelmä Tutktaan avomen moottorn staattorn jäähdytystä (kuva 9.3). Jäähdytysvrtaus tulee ssään yhden vyyhdenpään alueelta. Hävöt P ew absorbotuvat vyyhdenpästä ja ktkahävöt P ρ vyyhdenpäden alueella lämmttävät jäähdytysanetta. Lämpötlan nousu on P P, (9.76) ( P ) ew ρ end ew Pρ ρcp jossa ρ on theys ja c p jäähdytysaneen tarkka lämpö ja lyhennys. (9.77) ρc p :lla on lämpöresstanssn dmenso [K/W]. On oletettu, että massavrta p e rpu jäähdytysaneen lämpötlasta. Pρ Pρ P s 3 P ew P ew end end 3 3end Kuva 9.3. Jäähdytysaneen lämpötlan nousu avomen prn koneessa. Kuvan 9.3 solmukohdan ( ) lämpötlan nousun vodaan olettaa olevan vyyhdenpäden alueen keskmääränen lämpötlan nousu. Yhtälön (9.76) mukaan saadaan end ( Pew Pρ) (9.78) Hävöt P s absorbotuvat staattorn keestä lämmttäen jäähdytysanetta määrällä Ps end end (9.79) ρc p Sjottamalla end yhtälöstä (9.76) ja käyttämällä lyhennystä (9.77) saadaan end (P ew P ρ ) P s. (9.80)
9.7 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Kuvan 9.3 solmukohdalle ( ) lämpötlan nousu on jäähdytysaneen keskmääränen lämpötlan nousu staattorn keen yl: end end ( Pew Pρ) Ps. (9.8) Yhdenmukasest solmukohdalle 3 saadaan: ( P P ) P ( P ) P. (9.8) 3 ew ρ s ew ρ Yhtälötä (9.78), (9.8) ja (9.8) vodaan tulkta kuten lämpövrralla ohjattuja lämmönlähtetä; sten, että lähteelle on kaks ohjaavaa lämpövrtaa, P ew P ρ ja P S. Kuvan 9.3 lämpöverkosto sop yhtälöhn (9.78), (9.8) ja (9.8). Krjotettaessa lämmönlähde yhtälötä sääntö on: Sääntö : Lämmönlähde, joka on kytketty jäähdytysvrtauksen ja maan väln, on yhtä suur kun hävöden summa, jotka jäähdytysane absorbo ennen kun jäähdytysvrtauksen solmukohta kerrottn :lla ja jäähdytysvrtauksen solmukohtaan absorbotuneet hävöt kerrottn :lla. Pρ Pρ 3 - - - P s 3 P ew P ew Kuva 9.4. Tulknta jäähdytyksestä, kun lämpövrtaus ohjalee lämmönlähtetä, ja 3. Kuvan 9.3 mukaan lämpötlojen nousut ja 3 vodaan krjottaa myös muotoon end end end ( Pew Pρ) Ps end (9.83) end 3 P s end 3end end ( Pew Pρ ) 3 jossa lämpövrtauksella ohjatut lämmönlähteet ovat 3end end (9.84) (P ew P ρ P s ) (9.85) 3 (P s P ew P ρ ) (9.86) Vastaavaa verkosto toteuttaa yhtälöt (9.78), (9.83) ja (9.84) on estetty kuvassa 9.5. Nyt krjotettaessa lämmönlähdeyhtälötä sääntö on:
9.8 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos Sääntö : Lämmönlähde, joka on kahden jäähdytysvrtaus solmukohdan m ja n välssä, on yhtä suur kun jäähdytysaneen absorbomen hävöden summa solmukohdssa m ja n kerrottuna :lla. - Pρ - 3-3 P s Pρ P ew P ew Kuva 9.5. Tulknta jäähdytyksestä, kun lämpövrtaus ohjaa lämmönlähtetä, ja 3. Esmerkk Täysn umpnasta tuuletnjäähdyttestä nduktomoottora, jossa on myös ssänen jäähdytysvrtaus (kuva 9.6), on käytetty esmerkknä snä kunka muodostetaan jäähdytysvrtaus osana lämpöverkostoa. Ulkonen ja ssänen jäähdytysvrtaukset ovat o ja. Ilmanvahtohävöt vyyhdenpäden aluella ja ulommassa tuuletuksessa ovat P ρ, P ρ ja P ρ3, tässä järjestyksessä. Hävöt, jotka srtyvät n-pään vyyhdenpäden alueelta ja staattorn rungosta jäähdytysvrtaukseen, ovat P 6 ja P s3. Hävöt, jotka srtyvät d-pään vyyhdenpäden alueelta ympärövään tlaan, ovat P 40. Oletetaan, että ulomp jäähdytysvrtaus e jäähdytä laakersuojaa ajopäästä. Hävöt staattorn ja roottorn sydämmen ssempään jäähdytysvrtaukseen ovat P s5 ja P r7. Hävöt staattorn ja roottorn vyyhdenpästä ssempään jäähdytysvrtaukseen ovat P ews6, P ews4, P ewr6, P ewr4. P ρ3 P 6 6 P sewr6 P sews6 3 5 P s5 P s3 o P sews4 P sewr4 P r7 P 40 4 P ρ 7 P ρ Kuva 9.6. Täysn umpnanen tuuletnjäähdyttenen (totally enclosed fan cooled, TEFC) moottor, jossa ulomp ja ssemp jäähdytyskerto. Lämpöverkosto muodostetaan anoastaan jäähdytysvrtaukselle. Lämpöverkostoa ssäpuolella ja staattorn ja roottorn ytmen ja käämtyksen välllä e kuvata. Se osa verkostoa vodaan muodostaa edellsten kappaleden mukaan. Jäähdytysvrtauksen lämpöverkosto on estetty kuvassa 9.7. Lämpöresstansst laakersuojen yl ovat 6 ja 40. Lämpövrtaus on mallnnettu säännön ja kuvan 9.5 mukasest. Lämpövrralla ohjatut lähteet ovat: 0 o P ρ3 (9.87) o( P ρ3 P 6) (9.88) 3 o (P 6 P s3 ) (9.89) 45 (P ρ4 P ewr4 P ews4 P 40 P s5 ) (9.90) 56 (P s5 P ρ P ewr6 P ews6 P 6 ) (9.9) 67 (P ρ P ewr6 P ews6 P 6 P r7 ) (9.9)
9.9 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos jossa o ρc, (9.93) p p o ρc. (9.94) Huomaa, että lämpövrtaukset täytyy krjottaa okella etumerkellä. Yhtälössä (9.90), (9.9) ja (9.9) lämpövrtaukset P 6 ja P 40 ovat negatvsa, koska ne vrtaavat vastakkaseen suuntaan kun muut lämpövrtaukset solmukohdssa 4 ja 6 (kuva 9.7). - 0 - P ρ3 P 6 6 P ews6 - - 6 Pewr6 3 56 Ps5 Ps3 5 - - P ews4 Pewr4 P ρ 7 67 P ρ 3 P r7 45 4 40 P 40 Kuva 9.7. Kuvan 9.6 TEFC-moottorn jäähdytysvrtauksen lämpöverkosto. Huomaa myös, että ssästä jäähdytysvrtausta esttävä sjaskytkentäpr e ole suljettu lenkk. Se on avon, koska jänntelähde solmukohten 7 ja 4 välssä okosulks sähköprn, joka esttää ssästä lämpövrtausta ja lämpövrtaus ols ääretön. Jos krjotamme lämpövrtauksella ohjatun lämmönlähteen solmukohten 7 ja 4 vällle säännön mukasest, huomataan että lähde on lämmönlähteden 45, 56 ja 67 lneaarkombnaato. Alotuspsteenä vodaan käyttää mtä tahansa lämpövrtauksen solmukohtaa. Kuvassa 9.7 on alotuspsteeks valttu solmukohta 4. Loppupste on vmenen solmukohta ennen kun kerto päättyy, el solmukohta 7. 9..5 Sjaskytkennän ratkasemnen Tutktaan kunka sjaskytkentä on ratkastu. Yhtälöden määrän vähentämseks anoastaan kuvan 9.7 staattor prä on tutkttu. Esmerkkpr on estetty kuvassa 9.8 ja snä on solmukohtaa. Katkovvalla on estetty jäähdytyslman kerto.
9.30 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos P ρ 9 End wndng space Stator P Cuw 0 Outer surface of yoke 3 4 3 P Fey P Fed P Cuu 5 6 4 7 P Cuw 5 6 5 4 0 8 9 3 4 6 9 8 End wndng space P ρ Kuva 9.8. Staattorn lämpöverkko Avomen prn jäähdytyksessä. Prteorassa tunnettua solmupstemenetelmää on käytetty prn ratkasemseen. Pryhtälöt ovat matrsmuodossa: G, G, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G, G, G,3 G,0 G,3 0 0 0 0 0 0 G,0 0 0 G,3 G,3 G3.4 G3.4 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 G3,4 G3,4 G4,7 0 0 G4,7 0 0 0 0 4 0 0 0 0 G G 0 0 G G 0 0 5,8 5,9 5,8 5,9 5 0 0 0 0 0 G6,8 G6, 0 G6,8 0 0 G6, 6 0 0 0 G4,7 0 0 G4,7 G7,8 G7,8 0 0 0 7 0 0 0 0 G5,8 G6,8 G7,8 G5,8 G6,8 G7,8 0 0 0 8 0 0 0 0 G5,9 0 0 0 G5,9 0 0 9 0 G,0 0 0 0 0 0 0 0 G,0 0 0 0 0 0 0 0 G6, 0 0 0 0 G6, (9.95) PFey 0 0 PFed P Cuw PCuw P Cuu 0 Φ 5,9 Φ,0 Φ 6, Konduktanss G n,m tarkottaa solmukohten n ja m välstä konduktanssa. Esmerkks G,, 3 G,3 ja nn edelleen. 4 Matrsn (9.95) lävstäjällä on konduktanssen summa, jotka ovat ltetty kästeltävn solmukohtn. Kakkalla muualla solmukohten välnen konduktanss saa negatvsen etumerkn. Esm. kolme konduktanssa G,, G,3 ja G.0 ovat knntetty solmukohtaan kaks ja nden summa on G, G,3 G.0 on lävstäjällä ja samalla rvllä kun -G,, joka on ensmmäsessä sarakkeessa, -G,3, joka on kolmannessa sarakkeessa ja -G.0, joka on kymmenennessä sarakkeessa. Muden solmukohten kanssa solmukohdalla kaks e ole mnkäänlasta yhteyttä, joten nämä tekjät ovat nolla matrsssa (9.95). Yhtälö (9.95) vodaan krjottaa lyhyemmn muotoon