Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
|
|
- Anne Melasniemi
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
2 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2
3 Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia laatueroasteikollisten muuttujien testejä: Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testauksen kohteena testeissä on Bernoulli-jakauman odotusarvoparametri. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 3
4 Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Otos ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Tilastolliset testit Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 4
5 Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Lisätiedot Testejäsuhdeasteikollisille muuttujille käsitellään luvussa Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testejäjärjestysasteikollisille muuttujille käsitellään luvussa Testit järjestysasteikollisille muuttujille Jakaumaoletuksien testaamista käsitellään luvussa Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 5
6 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 6
7 Laatueroasteikollisten muuttujien testit Avainsanat Bernoullijakauma Kahden otoksen testit Laatueroasteikko Odotusarvo Parametri Suhteellinen osuus Yhden otoksen testit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 7
8 Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille 1/2 Tarkastelemme seuraavia testejä laatueroasteikollisille muuttujille: Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testejä saa käyttää myös järjestys-, välimatka-ja suhdeasteikollisille muuttujille. Mitta-asteikot: ks. lukua Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 8
9 Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille 2/2 Testit ovat parametrisia testejä, joissa testauksen kohteena on Bernoulli-jakauman odotusarvoparametri. Testi suhteelliselle osuudelle on yhden otoksen testi. Suhteellisten osuuksien vertailutesti on kahden otoksen testi. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 9
10 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit >> Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 10
11 Testi suhteelliselle osuudelle Avainsanat Asymptoottinen testi Bernoulli-jakauma Binomijakauma Laatueroasteikko Normaalijakauma Odotusarvo Parametri Suhteellinen osuus Testisuure Testisuureen jakauma Yhden otoksen testit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 11
12 Testi suhteelliselle osuudelle Testausasetelma 1/3 Olkoon A perusjoukon S tapahtuma ja olkoot Pr(A) = p Pr(A c ) = 1 p = q Määritellään satunnaismuuttuja X: 1, jos A sattuu X = 0, jos A ei satu Tällöin X ~ Bernoulli(p) ja Pr( X = 1) = p Pr( X = 0) = 1 p = q TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 12
13 Testi suhteelliselle osuudelle Testausasetelma 2/3 Oletetaan, että tapahtuma A on muotoa Tällöin A = Perusjoukon alkiolla on ominaisuus P p = Pr(A) on todennäköisyys poimia perusjoukosta S satunnaisesti alkio, jolla on ominaisuus P. Jos perusjoukko S on äärellinen, niin todennäköisyys p kuvaa niiden perusjoukon S alkioiden suhteellista osuutta, joilla on ominaisuus P. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 13
14 Testi suhteelliselle osuudelle Testausasetelma 3/3 Olkoon X 1, X 2,, X n yksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S, joka noudattaa Bernoulli-jakaumaa Bernoulli(p) Asetetaan Bernoulli-jakauman parametrille p nollahypoteesi H : p = p 0 0 Testausongelma: Ovatko havainnot sopusoinnussa nollahypoteesin H 0 kanssa? Ongelman ratkaisuna on testi suhteelliselle osuudelle. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 14
15 Testi suhteelliselle osuudelle Hypoteesit Yleinen hypoteesi H : (1) Havainnot X ~ Bernoulli( p), i = 1,2,, n, jossa p = Pr(A), A S (2) Havainnot X 1, X 2,, X n ovat riippumattomia Nollahypoteesi H 0 : H : p = 0 0 Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : H: p 1 0 H: 1 0 H : p> p p< p p p 1 0 i 1-suuntaiset vaihtoehtoiset hypoteesit 2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 15
16 Testi suhteelliselle osuudelle Parametrien estimointi Olkoon f tapahtuman A frekvenssi siinä n-kertaisessa toistokokeessa, jota riippumattomien havaintojen poimiminen Bernoulli-jakaumasta merkitsee. Tällöin tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli osuus pˆ = f / n on harhaton estimaattori Bernoulli-jakauman parametrille E(X i ) = p, i = 1, 2,, n Huomaa, että frekvenssi f noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: n f = Xi ~Bin( n, p) i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 16
17 Testi suhteelliselle osuudelle Testisuure ja sen jakauma Määritellään testisuure pˆ p0 z = p (1 p ) / n 0 0 Jos nollahypoteesi H : p = p 0 0 pätee, niin testisuure z noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa: z a N(0,1) Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos npˆ 10 ja n(1 pˆ) 10 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 17
18 Testi suhteelliselle osuudelle Testisuureen jakauma nollahypoteesin H 0 pätiessä: Perustelu Oletetaan, että testin yleinen hypoteesi H ja nollahypoteesi H 0 pätevät: X 1, X 2,, X n X Bernoulli( p ), i = 1,2,, n i 0 Tällöin (ks. lukuja Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet, Otos ja otosjakaumat ja Väliestimointi): 1 f p pˆ X N p, jolloin z (1 p ) n 0 0 = i = a 0 n i= 1 n n = pˆ p0 p (1 p ) / n 0 0 a N(0,1) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 18
19 Testi suhteelliselle osuudelle Testi suhteelliselle osuudelle: Testisuure z mittaa tilastollista etäisyyttä Testisuure z = pˆ p 0 p (1 p ) / n 0 0 mittaa parametrin p estimaatin ˆp ja nollahypoteesin H 0 : p = p0kiinnittämän parametrin p arvon p 0 tilastollista etäisyyttä. Mittayksikkönä on erotuksen ˆp p 0 standardipoikkeaman p(1 p) n estimaattori, joka on määrätty olettaen, että nollahypoteesi H 0 pätee. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 19
20 Testi suhteelliselle osuudelle Testi Testisuureen pˆ p0 z = p (1 p ) / n normaaliarvo = 0, koska nollahypoteesin H 0 pätiessä E(z) = Siten itseisarvoltaan suuret testisuureen z arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni. Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 20
21 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle osuudelle >> Suhteellisten osuuksien vertailutesti TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 21
22 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Avainsanat Asymptoottinen testi Bernoulli-jakauma Binomijakauma Kahden otoksen testit Laatueroasteikko Normaalijakauma Odotusarvo Parametri Suhteellinen osuus Testisuure Testisuureen jakauma Vertailutesti TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 22
23 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testausasetelma 1/4 Olkoon X11, X21,, Xn 11 yksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S 1, joka noudattaa Bernoulli-jakaumaa Olkoon Bernoulli(p 1 ) X12, X22,, Xn 2 2 yksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S 2, joka noudattaa Bernoulli-jakaumaa Bernoulli(p 2 ) Olkoot otokset lisäksi toisistaan riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 23
24 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testausasetelma 2/4 Olkoon A perusjoukon S k, k = 1, 2 tapahtuma ja olkoot Pr(A) = p k Pr(A c ) = 1 p k = q k Määritellään satunnaismuuttujat X k, k = 1, 2 : 1, jos A tapahtuu perusjoukossa Sk X k = 0, jos A ei tapahdu perusjoukossa S Tällöin X k ~ Bernoulli(p k ), k = 1, 2 ja Pr( X = 1) = k p Pr( X = 0) = 1 p = q k k k k k TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 24
25 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testausasetelma 3/4 Oletetaan, että tapahtuma A on muotoa Tällöin A = Perusjoukon alkiolla on ominaisuus P p k = Pr(A) on todennäköisyys poimia perusjoukosta S k, k = 1, 2 satunnaisesti alkio, jolla on ominaisuus P. Jos perusjoukko S k, k = 1, 2 on äärellinen, niin todennäköisyys p k kuvaa niiden perusjoukon S k alkioiden suhteellista osuutta, joilla on ominaisuus P. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 25
26 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testausasetelma 4/4 Asetetaan Bernoulli-jakaumien parametreille p 1 ja p 2 nollahypoteesi H 0 : p1 = p2 = p Testausongelma: Ovatko havainnot sopusoinnussa hypoteesin H 0 kanssa? Ongelman ratkaisuna on suhteellisten osuuksien vertailutesti. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 26
27 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Yleinen hypoteesi Yleinen hypoteesi H : (1) Havainnot X Bernoulli( p ), i= 1,2,, n, jossa p 1 = Pr(A), A S 1 (2) Havainnot X Bernoulli( p ), j = 1,2,, n, jossa p 2 = Pr(A), A S 2 (3) Havainnot X i1 ja X j2 ovat riippumattomia kaikille i ja j Huomautus: i1 1 1 j Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta: Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 sisällä. Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 välillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 27
28 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Nollahypoteesi ja vaihtoehtoiset hypoteesit Nollahypoteesi H 0 : H 0 : p1 = p2 = p Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : H: H: H : p p p > p < p p suuntaiset vaihtoehtoiset hypoteesit 2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 28
29 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Parametrien estimointi Olkoon f k tapahtuman A frekvenssi siinä n k -kertaisessa toistokokeessa, jota riippumattomien havaintojen poimiminen Bernoulli-jakaumasta k merkitsee, k = 1, 2. Tällöin tapahtuman A suhteellinen frekvenssi eli osuus pˆ = f / n, k = 1,2 k k k on harhaton estimaattori Bernoulli-jakauman parametrille p k = E(X ik ), i = 1, 2,, n k, k = 1, 2 Huomaa, että frekvenssi f k noudattaa binomijakaumaa parametrein n k ja p k : n k f = X ~Bin( n, p ), k = 1,2 k ik k k i= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 29
30 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Yhdistetty otos Jos nollahypoteesi H 0 : p1 = p2 = ppätee, voidaan otokset yhdistää ja parametrin p harhaton estimaattori on tapahtuman A suhteellinen frekvenssi yhdistetyssä otoksessa: pˆ npˆ + npˆ f + f = = n + n n + n Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin p(1 p) p(1 p) Var( pˆ1 pˆ2) = + n n = p(1 p) + n n 1 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 30
31 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testisuure ja sen jakauma Määritellään testisuure pˆ1 pˆ2 z = 1 1 pˆ(1 pˆ) + n n Jos nollahypoteesi 1 2 H 0 : p1 = p2 = p pätee, niin testisuure z noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa: z a N(0,1) Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos npˆ 5, n(1 pˆ ) 5, npˆ 5, n(1 pˆ ) TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 31
32 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testisuureen jakauma nollahypoteesin H 0 pätiessä: Perustelu 1/3 Oletetaan, että testin yleinen hypoteesi H ja nollahypoteesi H 0 pätevät: X, X,, X, X, X,, X n n X Bernoulli( p), i = 1,2,, n i1 1 X Bernoulli( p), j = 1,2,, n j 2 2 Tällöin (ks. lukuja Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet, Otos ja otosjakaumat ja Väliestimointi): n1 1 f p(1 p) = = 1 pˆ 1 Xi 1 a N p, n1 i= 1 n1 n1 n2 1 f p(1 p) = = 2 pˆ 2 X j2 a N p, n2 j= 1 n2 n2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 32
33 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testisuureen jakauma nollahypoteesin H 0 pätiessä: Perustelu 2/3 Koska pˆ1 pˆ2, niin pˆ1 pˆ2 Y = a N(0,1) 1 1 p(1 p) + n1 n 2 Koska todennäköisyys p on tuntematon, satunnaismuuttujan Y lauseke on epäoperationaalinen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 33
34 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testisuureen jakauma nollahypoteesin H 0 pätiessä: Perustelu 3/3 Jos satunnaismuuttujan Y lausekkeessa todennäköisyys p korvataan otossuureella pˆ npˆ + npˆ f + f = = n + n n + n saadaan testisuure pˆ1 pˆ2 z = 1 1 pˆ(1 pˆ) + n1 n 2 joka nollahypoteesin H 0 pätiessä noudattaa suurissa otoksissa standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1): z a N(0, 1) Todistus sivuutetaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 34
35 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testisuure z mittaa tilastollista etäisyyttä Testisuure pˆ1 pˆ2 z = 1 1 pˆ(1 pˆ) + n1 n 2 mittaa mittaa tapahtuman A otoksista 1 ja 2 määrättyjen suhteellisten frekvenssien tilastollista etäisyyttä. Mittayksikkönä on erotuksen pˆ pˆ standardipoikkeaman p(1 p) + n1 n 2 estimaattori, joka on määrätty olettaen, että nollahypoteesi H 0 pätee. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 35
36 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testi 1/2 Testisuureen pˆ1 pˆ2 z = 1 1 pˆ(1 pˆ) + n1 n 2 normaaliarvo = 0, koska nollahypoteesin H 0 pätiessä E(z) = 0 Siten itseisarvoltaan suuret testisuureen z arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesi H 0 ei päde. Nollahypoteesi H 0 hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 36
37 Suhteellisten osuuksien vertailutesti Testi 2/2 Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 37
Testit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotMat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 3. luento: Pari sanaa vielä hypoteesien formuloinneista Kai Virtanen Hypoteesien muodoista Luennolla nro. 2 muotoiltiin nollahypoteesi - H 0 : θ
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotMTTTP5, luento Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta)
MTTTP5, luento 7.12.2017 7.12.2017/1 6.1.3 Kahden jakauman sijainnin vertailu (jatkoa) Tutkimustilanteita y = neliöhinta x = sijainti (2 aluetta) y = lepopulssi x = sukupuoli y = musikaalisuus x = sukupuoli
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotPOPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut).
KÄSITTEITÄ POPULAATIO Joukko, jota tutkitaan (äärellinen, ääretön). Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). Näiden välillä ei aina tehdä eroa, kun puhutaan
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedot2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...
!" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten muuttujien tunnusluvut
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 11. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 11. lokakuuta 2007 1 / 15 1 Johdantoa tilastotieteeseen Peruskäsitteitä Tilastollisen kuvailun ja päättelyn menetelmiä
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedot