Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
|
|
|
- Eeva Niemi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii: Tarkastelu kohteea ovat seuraavat χ - F-ja t-jakaumie omiaisuudet: (i) Jakauma määrittely (ii) Odotusarvo variassi ja stadardipoikkeama (iii) Tiheysfuktio kuvaaja : Mitä opimme? / Lisäksi tarkastelemme todeäköisyyksie määräämistä χ - F-ja t- jakaumista. Koska χ - F-ja t-jakaumie tiheysfuktioide itegraalifuktioita ei tueta χ - F-ja t-jakaumii liittyvie todeäköisyyksie määräämisessä o käytettävä jotaki umeerista meetelmää. Siksi useimmissa tilastotietee ja todeäköisyyslaskea oppikirjoissa o valmiit taulukot joissa o taulukoitua χ - F-ja t- jakaumie kertymäfuktioide arvoja ja iihi liittyviä todeäköisyyksiä. χ - F-ja t-jakaumie tiheysfuktioide lausekkeet johdetaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 : Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio Jakaumie tuusluvut Jatkuvia jakaumia : Lisätiedot χ - F-ja t-jakaumie tiheysfuktioide lausekkeide johtamie vaatii satuaismuuttuja. potessi sekä riippumattomie satuaismuuttujie summa ja osamäärä jakaumie määräämistä; ks. lisätietoja luvusta Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Huomautus: Tarkoitamme satuaismuuttujie riippumattomuudella sitä että yhdekää satuaismuuttuja saamat arvot eivät riipu siitä mitä arvoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
2 TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Johdato >> Johdato Avaisaat Jakaumie määrittelemie TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Johdato Jakaumie määrittelemie ormaalijakauma avulla Useat tilastotietee keskeiset todeäköisyysjakaumat voidaa määritellä ormaalijakauma avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi χ - F-ja t joilla o keskeie rooli otosjakaumie teoriassa estimoiissa ja testauksessa (ks. esim. lukuja Otos ja otosjakaumat Estimoiti ja Tilastolliste hypoteesie testaus). Tarkastelemme seuraavie jakaumie määrittelemistä ja omiaisuuksia: Johdato >> TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) määritelmä / Avaisaat Normaalijakauma Odotusarvo Stadardipoikkeama Stadardoitu ormaalijakauma Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie sta Vapausasteet Variassi Olkoot X i i = riippumattomia stadardoitua ormaalijakaumaa N() (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) oudattavia satuaismuuttujia. Tällöi Xi ~N() i = X X X TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)
3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 määritelmä / vapausasteet Olkoo X = X i= i N()-jakautueide riippumattomie satuaismuuttujie X i i = eliösumma. Tällöi satuaismuuttuja X oudattaa a (Khii eliö -jakaumaa) :llä vapausasteella. Merkitä: X χ () vapausasteide lukumäärä viittaa yhteelaskettavie lukumäärää määrittelevässä eliösummassa. Vapausasteide lukumäärä o muodo määräävä parametri. TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Odotusarvo variassi ja stadardipoikkeama Tiheysfuktio kuvaaja Olkoo X χ (). Odotusarvo: E( X) = Variassi ja stadardipoikkeama: Var( X) = D ( X) = D( X) = χ () tiheysfuktiota välillä [ ] ku vapausasteide lukumäärällä o seuraavat arvot: (i) = (ii) = (iii) = 5 Jakauma odotusarvo: E( X ) = χ ().6 χ ().4 χ (). χ (5) TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Tiheysfuktio ja se kuvaaja omiaisuuksia tiheysfuktio f(x) o positiivie kaikille positiivisille argumeti arvoille: f(x) > x > Jos vapausasteide lukumäärä = ii tiheysfuktio o mootoisesti laskeva kaikille x. Jos vapausasteide lukumäärä 3 ii tiheysfuktio o yksihuippuie ja sillä o maksimi pisteessä x >. Todeäköisyyksie määräämie sta / Todeäköisyydet voidaa määrätä sta jakauma kertymäfuktio avulla. Olkoo X χ (). Olkoo satuaismuuttuja X kertymäfuktio F Chi (x ; ) = Pr(X x) Huomautus : Merkiällä F Chi (x ; ) o haluttu korostaa riippuvuutta se vapausasteide lukumäärästä. Huomautus : tiheysfuktio itegraalifuktiota ei tueta jote kertymäfuktio määräämisee o käytettävä jotaki umeerista meetelmää. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Todeäköisyyksie määräämie sta / Kaikkie a liittyvie tapahtumie todeäköisyydet saadaa todeäköisyyksistä Pr(X x) = F Chi (x ; ) todeäköisyyslaskea laskusäätöje avulla. Esimerkiksi Pr( a X b) = F ( b) F ( a) Chi Chi Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot / taulukot sisältävät tavallisesti argumeti x arvoja taulukoitua useille vapausasteide lukumäärille mutta vai muutamille kertymäfuktio F Chi arvoille. Site taulukot mahdollistavat seuraava tehtävä ratkaisemise (taulukkokohtaisi rajoituksi): Määrää x ku todeäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; ) o aettu. TKK (c) Ilkka Melli (4) Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot / Todeäköisyyksie määräämie sta: Esimerkki Koska a käytetää tavallisesti väliestimoii tai testaukse yhteydessä taulukoihi o yleesä taulukoitu sellaisia argumeti x arvoja jotka vastaavat todeäköisyyde Pr(X x) = F Chi (x ; ) komplemettitodeäköisyyttä p = Pr(X x) = F Chi (x ; ) χ () tiheysfuktiota välillä [ 35]. taulukoista saadaa: Aluee A pita-ala = Pr(3.94 X 8.37) = FChi (8.37;) FChi (3.94;) =.95.5 =.9 χ () A = TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Todeäköisyyksie määräämie sta: Ohjelmat Olkoo X χ (). Moet tietokoeohjelmat mahdollistavat seuraavie tehtävie ratkaisemise ilma taulukoide asettamia rajoituksia: (i) Määrää todeäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; ) ku x o aettu. (ii) Määrää x ku todeäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; ) o aettu. Johdato >> TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 määritelmä / Avaisaat Normaalijakauma Odotusarvo Stadardipoikkeama Stadardoitu ormaalijakauma Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie sta Vapausasteet Variassi Olkoot Y i i = m ja X i i = riippumattomia stadardoitua ormaalijakaumaa N() (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) oudattavia satuaismuuttujia. Tällöi Yi ~ N() i= m Xi ~ N() i = Y Y Ym X X X ja edellee m Y = Y ~ χ ( m) X = X ~ χ ( ) Y X i i= i= i TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 määritelmä / vapausasteet Olkoo Y Y F = m = X m X jossa Y ~ χ ( m) X ~ χ ( ) Y X Tällöi satuaismuuttuja F oudattaa Fisheri F- jakaumaa m:llä ja :llä vapausasteella. Merkitä: F F(m ) vapausasteide lukumääristä esimmäie (m) viittaa yhteelaskettavie lukumäärää määrittelevä lausekkee osoittajassa. vapausasteide lukumääristä toie () viittaa yhteelaskettavie lukumäärää määrittelevä lausekkee imittäjässä. Vapausasteide lukumäärät m ja ovat muodo määrääviä parametreja. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Odotusarvo variassi ja stadardipoikkeama omiaisuuksia Olkoo F F(m ). Odotusarvo: E( F) = > Variassi ja stadardipoikkeama: ( m+ ) Var( F) = D ( F) = > 4 m ( ) ( 4) ( m+ ) D( F) = > 4 m ( ) ( 4) Olkoo F F(m ). Tällöi myös /F o F-jakautuut mutta vapausastei ja m: ~ F( m ) F TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
6 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Tiheysfuktio kuvaaja Tiheysfuktio ja se kuvaaja omiaisuuksia F(m ) tiheysfuktiota välillä [ 5] ku vapausasteide lukumäärillä m ja o seuraavat arvot: (i) m = = 4 (ii) m = 4 = (iii) m = 4 = 4 Jakauma odotusarvo: E( F) = > F(m ).4. F(4 4).8.6 F( 4).4 F(4 ). 3 4 tiheysfuktio f(x) o positiivie kaikille positiivisille argumeti arvoille: f(x) > x > Jos osoittaja vapausasteide lukumäärä m = ii tiheysfuktio o mootoisesti laskeva kaikille x. Jos osoittaja vapausasteide lukumäärä m 3 ii tiheysfuktio o yksihuippuie ja sillä o maksimi pisteessä x >. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Todeäköisyyksie määräämie sta / Todeäköisyydet voidaa määrätä sta jakauma kertymäfuktio avulla. Olkoo F F(m ). Olkoo satuaismuuttuja F kertymäfuktio F F (x ; m )= Pr(F x) Huomautus : Merkiällä F F (x ; m ) o haluttu korostaa riippuvuutta se vapausasteide lukumääristä m ja. Huomautus : tiheysfuktio itegraalifuktiota ei tueta jote kertymäfuktio määräämisee o käytettävä jotaki umeerista meetelmää. Todeäköisyyksie määräämie sta / Kaikkie a liittyvie tapahtumie todeäköisyydet saadaa todeäköisyyksistä Pr(F x) = F F (x ; m ) todeäköisyyslaskea laskusäätöje avulla. Esimerkiksi Pr( a F b) = F ( b) F ( a) F F TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 TKK (c) Ilkka Melli (4) 34 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot /4 taulukot sisältävät tavallisesti argumeti xarvojataulukoituia useille vapausasteide lukumäärille m ja mutta vai muutamille kertymäfuktio F F arvoille. Site taulukot mahdollistavat seuraava tehtävä ratkaisemise (taulukkokohtaisi rajoituksi): Määrää x ku todeäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m ) o aettu. Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot /4 Koska a käytetää tavallisesti väliestimoii tai testaukse yhteydessä taulukoihi o yleesä taulukoitu sellaisia argumeti x arvoja jotka vastaavat todeäköisyyde Pr(F x) = F F (x ; m ) komplemettitodeäköisyyttä p = Pr(F x) = F F (x ; m ). TKK (c) Ilkka Melli (4) 35 TKK (c) Ilkka Melli (4) 36
7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 37 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot 3/4 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot 4/4 Moet taulukot sisältävät todeäköisyyksiä p = Pr(F x) = F F (x ; m ) vastaavia argumeti arvoja vai ku p o piei. Suurii p: arvoihi liittyvät argumeti x arvot saadaa tällöi käyttämällä hyväksi sitä että /F ~ F( m). Olkoo F m F(m ) ja p = Pr(F m a) F m F( m) ja p = Pr(F m b) Tällöi a = b Oletukset: F m F(m ) F m F( m) p = Pr(F m a) = Pr(F m b) Tällöi: a = b Perustelu: Todetaa esi että p = Pr( Fm a) = Pr( Fm a) = Pr( / Fm a) = Pr( Fm / a) = Pr( Fm / a) Toisaalta: p = Pr( Fm b) Yhdistämällä tulokset saadaa: b= / a TKK (c) Ilkka Melli (4) 38 Todeäköisyyksie määräämie sta: Esimerkki Todeäköisyyksie määräämie sta: Ohjelmat F( 6) tiheysfuktiota välillä [ 4]. taulukoista saadaa: Aluee A pita-ala = Pr(.385 F.993) = FF (.993;6) FF (.385;6) =.95.5 =.9 F( 6) A = Olkoo F F(m ). Useat tietokoeohjelmat mahdollistavat seuraavie tehtävie ratkaisemise ilma taulukoide asettamia rajoituksia: (i) Määrää todeäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m ) ku x o aettu. (ii) Määrää x ku todeäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m ) o aettu. TKK (c) Ilkka Melli (4) 39 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Johdato >> Avaisaat Normaalijakauma Odotusarvo Stadardipoikkeama Stadardoitu ormaalijakauma Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie sta Vapausasteet Variassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 43 määritelmä / määritelmä / Olkoot Y ja X i i = riippumattomia stadardoitua ormaalijakaumaa N() (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) oudattavia satuaismuuttujia. Tällöi Y ~N() Xi ~N() i= Y X X X ja edellee X = X ~ χ ( ) i= Y X i Olkoo Y t = X jossa Y ~N() X ~ χ ( ) Y X Tällöi satuaismuuttuja t oudattaa Studeti t- jakaumaa :llä vapausasteella. Merkitä: t t() TKK (c) Ilkka Melli (4) 44 vapausasteet Odotusarvo variassi ja stadardipoikkeama vapausasteide lukumäärä viittaa yhteelaskettavie lukumäärää määrittelevä lausekkee imittäjässä. Vapausasteide lukumäärä o muodo määräävä parametri. Olkoo t t(). Odotusarvo: E( t) = > Variassi ja stadardipoikkeama: t t D( t) = > Var( ) = D ( ) = > TKK (c) Ilkka Melli (4) 45 TKK (c) Ilkka Melli (4) 46 Tiheysfuktio kuvaaja Tiheysfuktio ja se kuvaaja omiaisuuksia / t() tiheysfuktiota välillä [ 4 +4] ku vapausasteide lukumäärällä o seuraavat arvot: (i) = (ii) = 3 (iii) = Jakauma odotusarvo: E( t) = > Kuvaa o piirretty myös stadardoidu ormaalijakauma N( ) tiheysfuktio kuvaaja. TKK (c) Ilkka Melli (4) t() ja N() t(3) t() t() N() tiheysfuktio f(x) o kaikkialla positiivie: f(x) > kaikille x Tiheysfuktio o yksihuippuie. Tiheysfuktio saa maksimiarvosa pisteessä. Tiheysfuktio o symmetrie suora x = suhtee: f( x) = f(+ x) kaikille x TKK (c) Ilkka Melli (4) 48
9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 49 Tiheysfuktio ja se kuvaaja omiaisuuksia / ja tiheysfuktio muistuttaa stadardoidu ormaalijakauma N( ) tiheysfuktiota mutta o sitä paksuhätäisempi. tiheysfuktio muistuttaa stadardoidu ormaalijakauma N( ) tiheysfuktiota sitä voimakkaammi mitä suurempi o vapausasteide lukumäärä (ks. tarkemmi >). Olkoo t t(). Tällöi t ~ F( ) Olkoo F ~ F( ). Tällöi F t ( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 ja ormaalijakauma / ja ormaalijakauma / lähestyy stadardoitua ormaalijakaumaa ku vapausasteide lukumäärä kasvaa. Olkoo t t(). Tällöi lim Pr( t z) =Φ( z) + missä Φ o stadardoidu ormaalijakauma N( ) kertymäfuktio. Koska lähestyy vapausasteide lukumäärä kasvaessa stadardoitua ormaalijakaumaa N( ) voidaa a liittyvät todeäköisyydet määrätä suurilla vapausasteide luvuilla stadardoidu ormaalijakauma avulla. Normaalijakauma-approksimaatio lle o kohtuullie jo ku = 3 ja riittävä useimpii tarkoituksii ku >. Esimerkki: Edellä esitetyssä kuvassa ei t()- ja N()-jakaumie tiheysfuktioide kuvaajia pysty erottamaa toisistaa (ks. <). TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Todeäköisyyksie määräämie sta / Todeäköisyyksie määräämie sta voidaa tehdä jakauma kertymäfuktio avulla. Olkoo t t(). Olkoo satuaismuuttuja t kertymäfuktio F t (x ; )= Pr(t x) Huomautus : Merkiällä F t (x ; ) o haluttu korostaa riippuvuutta se vapausasteide lukumäärästä. Huomautus : tiheysfuktio itegraalifuktiota ei tueta jote kertymäfuktio määräämisee o käytettävä jotaki umeerista meetelmää. Todeäköisyyksie määräämie sta / Kaikkie tapahtumie todeäköisyydet saadaa todeäköisyyksistä Pr(t x) = F t (x ; ) todeäköisyyslaskea laskusäätöje avulla. Esimerkiksi Pr( a t b) = F( b) F( a) t t TKK (c) Ilkka Melli (4) 53 TKK (c) Ilkka Melli (4) 54
10 TKK (c) Ilkka Melli (4) 55 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot /3 taulukot sisältävät tavallisesti argumeti xarvojataulukoitua useille vapausasteide lukumäärille mutta vai muutamalle kertymäfuktio F t arvolle. Site taulukot mahdollistavat seuraava tehtävä ratkaisemise (taulukkokohtaisi rajoituksi): Määrää x ku todeäköisyys Pr(t x) = F t (x ; ) o aettu. Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot /3 Koska a käytetää tavallisesti väliestimoii tai testaukse yhteydessä taulukoihi o yleesä taulukoitu sellaisia argumeti x arvoja jotka vastaavat todeäköisyyde Pr(t x) = F t (x ; ) komplemettitodeäköisyyttä p = Pr(t x) = F t (x ; ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 56 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot 3/3 Todeäköisyyksie määräämie sta: Esimerkki Moissa taulukoissa o taulukoitu todeäköisyyksiä p = Pr( t x) = Ft ( x; ) vai ku x. Tällöi todeäköisyydet Pr(t x) saadaa soveltamalla tiheysfuktio symmetrisyyttä suora x = suhtee: Pr( t x) = Pr( t x) = Pr( t x) = Pr( t x) = p t() tiheysfuktiota välillä [ 4]. taulukoista saadaa: Aluee A pita-ala = Pr(.8 t +.8) = Ft ( +.8;) Ft (.8;) =.95.5 =.9 t() A = TKK (c) Ilkka Melli (4) 57 TKK (c) Ilkka Melli (4) 58 Todeäköisyyksie määräämie sta: Ohjelmat Olkoo t t(). Moet tietokoeohjelmat mahdollistavat seuraavie tehtävie ratkaisemise: (i) Määrää todeäköisyys Pr(t x) = F t (x ; ) ku x o aettu. (ii) Määrää x ku todeäköisyys Pr(t x) = F t (x ; ) o aettu. TKK (c) Ilkka Melli (4) 59
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 2/3. Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? 1/3
TKK (c) Ilkka Melli (4) Diskeettejä jakaumia Johdatus todeäköisyyslasketaa Diskeettejä jakaumia Diskeetti tasaie jakauma Beoulli-jakauma Biomijakauma Geometie jakauma Negatiivie biomijakauma Hyegeometie
LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
EX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
Harjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
1. Valitaan tilanteeseen sopiva stokastinen malli. 2. Sovitetaan malli havaittuun dataan (estimoidaan mallin parametrit).
Luku 7 Parametrie estimoiti Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. lokakuuta 2017 7.1 Tilastollie päättely Tähä meessä o opittu eustamaa tapahtumie todeäköisyyksiä aetu stokastise malli pohjalta. Eusteide laskemiseksi
Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Ehdollinen todennäköisyys
Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
Testit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
Otantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 2/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 1/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme?
TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Jtkuv tsie jkum Johdtus todeäköisyyslsket Jtkuvi jkumi TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Mitä opimme? /3 Tutustumme tässä luvuss seurvii jtkuvii todeäköisyysjkumii:
2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
χ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
S Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
Kompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
Tilastolliset menetelmät
Tilastolliset meetelmät tilastolliste meetelmie tarkoitus o: estimoida eliaika- (vikaatumisaika, korjausaika- jakaumie ja -mallie parametreja eliaikakokeide, laitteide käyttökokemustiedo yms. perusteella
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
Estimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
![Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)](/thumbs/39/18474355.jpg "Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)")
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
Estimaattori, Estimointi, Mediaani, Moodi, Odotusarvo, Parametri, Posteriorijakauma, Tunnusluku
Tilastollie päättely 6.1. Johdato Bayesi kaava, Bayeslaie lähestymistapa, Eakkotieto, Estimoiti, Frekvetistie lähestymistapa, Frekvessitulkita, Klassie lähestymistapa, Luottamustaso, Luottamusväli, Merkitsevyystaso,
χ 2 -yhteensopivuustesti
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Yhteesopivuude, homogeeisuude ja riippumattomuude testaamie Tilastollie
Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)
Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,
T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Testit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
Parametrien oppiminen
38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee
Tilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Teoria. Tilastotietojen keruu
S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet. Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet Johdatus todeäköisyyslasketaa Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 2 Todeäköisyyslaskea peruskäsitteet: Mitä opimme?
Väliestimointi. Väliestimointi. Väliestimointi: Mitä opimme? 2/3. Väliestimointi: Mitä opimme? 1/3. Väliestimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka
Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
Tilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi