Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Transkriptio

1 Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa. Hylkäämisalue 9,488 4,35 Vastaus: Kuusamo lukiossa valmistui yhtä mota ylioppilasta vuosittai vuosia %: merkitsevyystasolla. HARJOITUSKOE 1 1. Kirjasto käyttäjiä 500 Otoskoko aiaki Poimitaväli 0, Vastaus: Poimitaväli korkeitaa 0.. a) Satuaisotataa tai ryväsotataa käyttäe b) Systemaattista otataa käyttäe 90 autoa autoa 3. Autoja keskimääri miuutissa µ 15, 60 mi mi Koska autoja meee harvakseltaa, käytetää Poissoi jakaumaa. k P(X k) µ µ e k! Todeäköisyys, että yhde miuuti aikaa ei saavu yhtää autoa. P(X k) µ k µ µ 15, e k! k 0 0, 15, P(X 0) 15 e 0! e 15, 0,3 Todeäköisyys, että yhde miuuti aikaa saapuu 4 autoa. P(X k) µ k µ µ 15, e k! k 3, tai 4 P(A) P(X ) + P(X 3) + P(X 4) , 15, 15, 15, 15, 15, e + e + e! 3! 4! 108

2 0,51 + 0,15 + 0,047 0,44 Vastaus: Yhde miuuti aikaa ei saavu yhtää autoa todeäköisyydellä 0,3. Yhde miuuti aikaa saapuu 4 autoa todeäköisyydellä 0, A "Seitselapsisessa perheessä aiaki yksi poika" A "Seitselapsisessa perheessä ei yhtää poikaa" Biomitodeäköisyys F Pk k p k q k H G I K J Seitsehekisessä perheessä ei yhtää poikaa F P k p k q k k k H G I 7 K J 0 p 0513, q , 0487, F H G I K J P 0,, , 7 Kysytty todeäköisyys P(A) 1 P( A ) 1 0, , ,994 Vastaus: Seitselapsisessa perheessä aiaki yksi poika todeäköisyydellä 0, Autoilijoide keskiopeus 9,0 km/h Nopeuksie keskihajota 8,0 km/h Autoilija opeus välillä km/h F 100 9, , 0 P(100 < X < 10) P < Z < HG 80, 80, P(1,0 < Z < 3,5) P(Z < 3,5) P(Z 1,0) Φ(,) 35 Φ(,) 10 0,9998 0,8413 0, ,9 % I KJ 109

3 1,0 3,5 Vastaus: Autoilijoista 15,9 prosettia voisi saada rikesako. 6. Otoskoko 7 Pakkauste keskipaio x x , Keskihajoa tiedetää oleva 8,0 g Vapausasteluku f Koska otoskoko o piei 95%: luottamusväli kriittie arvo z saadaa Studeti t-jakaumasta z,447 Luottamusväli L NM x z O L NM s x z s + QP,,,..., +, ;,..., , 508 Vastaus: Pakkauksie keskipaio 95%: luottamusväli o 493, 508 g. 7. Taulukoidaa tiedot. Lasku ( ) x f sf , , , , , , , , Asiakkaita yhteesä Ku ostoste suuruus asetetaa suuruusjärjestyksee keskimmäie o k Kyseie havaito kuuluu luokkaa Mediaai Md , 5 50 ( ) O QP 66, 5 110

4 Ostoste keskiarvo f x x 98 49, , , , Keskihajota f x x s ( ) 1 98 ( 49, 5 657, 56...) ( 749, 5 657, 56...) ( 3 749, 5 657, 56...) , Vastaus: Mediaai 50, keskiarvo 660 ja keskihajota Asetetaa hypoteesit H 0 : Kaikki kahvilat ovat yhtä suosittuja eli tilasto oudattaa tasaista jakaumaa. H 1 : Kaikki kahvilat eivät ole yhtä suosittuja. Tehtävä kysymys tarkoittaa, että o tutkittava oko jakauma tasaie eli ovatko kaikkie sukuimie frekvessit samat. Tästä syystä käytetää χ -testiä Lasketaa teoreettie frekvessi e i Koska kyseessä o tasaie jakauma, kaikkie luokkie teoreettie frekvessi o sama. Kahvila o i e i (o i e i ) ( oi ei) e A ( ) ( ) 163 B ( ) ( ) 163 C ( ) ( ) 163 D ( ) ( ) 163 i 10,541 1,739 1,98 0,

5 Testimuuttuja χ ( oi ei ) e i 1 i 10, , , , , 4 Vapausasteluku f Testimuuttuja kriittie arvo 1 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 11,345. Koska laskettu arvo 5,4 o suurempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 11,345, ii ollahypoteesi hylätää. Hylkäämisalue 11,345 5,4 Vastaus: Nuorisokahvilat eivät ole yhtä suosittuja 1 %: merkitsevyystasolla. HARJOITUSKOE 1. a) Järjestysasteikko Keskilukuia moodi, mediaai ja fraktiilit b) Välimatka-asteikko Keskilukuia moodi, mediaai, fraktiilit ja keskiarvo c) Luokitteluasteikko Keskilukua moodi d) Suhdeasteikko Keskilukuia moodi, mediaai, fraktiilit ja keskiarvo. Ryhmässä 16 tyttöä ja 1 poikaa. a) A "Neljä hege otoksessa kaikki poikia" Ryhmä koko Ryhmässä poikia 1 F Alkeistapauksia kaikkiaa H G 8I K J F Suotuisia alkeistapauksia k H G 1I K J 4 Todeäköisyys P(A) k ,

6 b) A "Neljä hege otoksessa kaikki ovat samaa sukupuolta" "Neljä hege otoksessa kaikki ovat joko poikia tai tyttöjä" Todeäköisyys, että kaikki ovat poikia o a-kohda perusteella Lasketaa todeäköisyys, että kaikki ovat tyttöjä. Ryhmä koko Ryhmässä tyttöjä 16 F Alkeistapauksia kaikkiaa H G 8I K J F Suotuisia alkeistapauksia k H G 16I K J Tyttöje todeäköisyys P(A) k Kysytty todeäköisyys P(A) , Vastaus: a) Kaikki ovat poikia todeäköisyydellä 455 b) Kaikki ovat samaa sukupuolta todeäköisyydellä 004, , 3. Taulukoidaa kahde opa heitossa saatavat silmälukuje tulo arvot. Noppa Noppa Jokaise tulo todeäköisyys p i 1 113

7 Todeäköisyydet x i f i p i p i x i

8 Odotusarvo E( X ) px i i i Vastaus: Kahde opa heitossa silmälukuje tulo odotusarvo o Otoskoko 400 Kiertokertoje keskiarvo x 15 kiertokertaa. Keskihajota s 10 kiertokertaa Koska keskihajota tiedetää ja otoskoko o suuri 95%: luottamusväli kriittie arvo z saadaa ormaalijakaumasta z 1,96 Luottamusväli L NM x z O L NM s x z s + QP 10, 15 1, 96 ;... +, , 16 O QP Vastaus: Virvoitusjuomapulloje kiertokertoje 95%: luottamusväli o 14, 16 kiertokertaa. 5. a) Otoskoko 9 Pakkauste keskipaio x x ,

9 Keskihajota s ( x x ) 1 ( , 11...) + ( , 11...) ( , 11...) 9 1 6, , b) Herkkusieipakkauste paio oudattaa jakaumaa X ~ N(158,11 ;6,881 ) Todeäköisyys, että seuraava pakkaus paiaa yli 160 g F , I P(X > 160) P Z > HG 6881,... KJ P(Z > 0,74 ) 1 Φ( 074,...) 1 0,6081 0,3919 0,39 0,74 c) Otoskoko 9 Keskiarvo x 158, 11...g Keskihajota s 6,881 g Vapausasteluku f Koska keskihajotaa ei tiedetä ja otoskoko o piei 99%: luottamusväli kriittie arvo z saadaa Studeti t-jakaumasta z 3,355 Luottamusväli Lx z s x z s O L + NM QP,...,,..., NM +, ; 158, , , 166 Vastaus: a) Pakkauksie keskipaio o 158 g ja keskihajota 6,88 g. b) Seuraava pakkaukse paio suurempi kui 160 g todeäköisyydellä 0,39. c) Pakkauksie keskipaio 99%: luottamusväli o 150, 166 grammaa. 6. Kymmee sekui aikaa tehdää keskimääri 700 matkaa 700 matkaa 700 matkaa µ 3888,... 05, h 05, s s 116 matkaa 10 s O QP

10 A "Satuaisesti valitu 10 sekui aikaa ajetaa yli 5 taksimatkaa" A " Satuaisesti valitu 10 sekui aikaa ajetaa korkeitaa 5 matkaa" " Satuaisesti valitu 10 sekui aikaa ajetaa 0, 1,, 3, 4 tai 5 matkaa" Poissoi jakauma P(X k) µ k µ µ 388,... e k! k 0134,,,, tai 5 Todeäköisyys P(A) 1 P( A ) F HG , , , , , , , , , , , ,... e + e + e + e + e + e 0! 1!! 3! 4! 5! 1 (0, , , , , ,1517 ) 1 0,80 0,0 Vastaus: Satuaisesti valitu 10 sekui aikaa ajetaa yli 5 taksimatkaa todeäköisyydellä 0,0. 7. Asetetaa hypoteesit H 0 : Koti- ja vapaa-aja tapaturmie määrillä ei ole eroa eri kuukausia. H 1 : Koti- ja vapaa-aja tapaturmie määrillä o eroa eri kuukausia. Tehtävä kysymys tarkoittaa, että o tutkittava oko jakauma tasaie eli ovatko kaikkia kuukausia tapaturmie frekvessit samat. Tästä syystä käytetää χ -testiä Lasketaa teoreettie frekvessi e i Koska kyseessä o tasaie jakauma, kaikkie luokkie teoreettie frekvessi o sama. Kuukausi o i e i ( oi ei) ei tammikuu ( ) 30, helmikuu ( ) 38,5 795 maaliskuu ,78 huhtikuu ,5 toukokuu ,4 kesäkuu ,65 heiäkuu ,4 elokuu ,5 syyskuu ,79 lokakuu ,63 marraskuu ,5 joulukuu , I KJ

11 Testimuuttuja χ ( oi ei ) e i 1 i 30, , , , Vapausasteluku f Testimuuttuja kriittie arvo 1 %: riskitasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 4,75. Koska laskettu arvo 909 o suurempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 4,75, ii ollahypoteesi hylätää. Hylkäämisalue 4, Vastaus: Tapaturmie määrällä eri kuukausie aikaa o eroa. 8. Tutkimukse tuusluvut tuusluku tytöt pojat x 5,47 6,48 s 3,76 3, Asetetaa hypoteesit H 0 : Tyttöje ja poikie aikoma avioitumisikä ei eroa toisistaa. x x H 1 : Tyttöje ja poikie aikoma avioitumisikä eroaa toisistaa. x x Koska perusjouko hajotaa ei tueta käytetää t-testiä. Testimuuttuja x1 5, 47 x 6, 48 x1 x t F s + sif + I HG + KJ HG KJ s , s 341, 5, 47 6, 48 F 105 3, , 41I + HG + K J F HG , 465 I K J

12 Vapausasteluku f Kaksisuutaise t-testi kriittiset arvot 1 %: riskitasolla ±601, Testimuuttuja arvo 3,465 o pieempi kui kriittie arvo,601. Se kuuluu siis hylkäämisalueesee, jote H 0 hylätää 1 %: riskitasolla. Hylkäämisalue Hylkäämisalue,601,601 3,465 Vastaus: Tyttöje ja poikie aikoma avioitumisikä poikkeaa toisistaa 1 % riskitasolla. HARJOITUSKOE 3 1. Järjestetää hiihtolekkie pituudet (km) suuruusjärjestyksee. 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 10, 1, 1, 1, 1, 15, 17, 5 Moodi Mo 1 km (suuri frekvessi) Mediaai Md 10 km (suuruusjärjestyksessä keskimmäie) Keskiarvo x x , 6 Vaihteluväli pituus R 5 km 5 km 0 km Keskihajota x x s ( ) ( 7 106, ) + ( 6 106, ) + (5 106, ) ( 1 106, ) 15 53, Vastaus: Moodi 1 km, mediaai 10 km, keskiarvo 10,6 km, vaihteluväli pituus 0 km ja keskihajota 5,3 km. 119

13 . A "Jai voittaa koko ottelu" "Jai voittaa kaksi seuraavaa erää" Jai voittaa erä todeäköisyydellä 60% 0,60 Todeäköisyys P(A) 06, 06, 0, Vastaus: Jai voittaa koko ottelu todeäköisyydellä 0,. 3. Tehtävä pitäisi ratkaista käyttäe biomijakaumaa, koska tällöi vastaus o täsmällee oikea. Tehtävässä voi kuiteki korvata biomijakauma ormaalijakaumalla, koska toistoje määrä o suuri. Seuraavassa esitetää molemmat tavat vielä site, että ormaalijakaumassa käytetää ja ei käytetä jatkuvuuskorjausta. A "Aiaki 15 maalia 0 rakkarista" Biomitodeäköisyys F Pk k p k q k H G I K J Rakkareide lukumäärä 0 Oistueide rakkareide lukumäärä k 15, k 16, k 17, k 18, k 19 tai k 0 Yhde rakkari oistumistodeäköisyys p 65% 0,65 Vastatapaukse todeäköisyys q 1 p 1 0,65 0,35 Todeäköisyys P(A) F P 15 +P16 + P17 + P18 + P19 + P0 H G 0I K J F + H G I K J F + H G I K J F ,,,, 065, 035, + H G I K J F H G I K J F + H G I K J ,,,, 065, 035, , , ,03 + 0, , ,0001 0,45 Vastaus: Rakkareide oistumistodeäköisyys 0, Vaihtoehtoie ratkaisutapa ormaalijakaumalla ilma jatkuvuuskorjausta: Rakkareide oistumiste lukumäärää voidaa arvioida ormaalijakaumalla, joka parametrit ovat: odotusarvo x p 0 0, keskihajota s pq 0 0, 65 0, 35 4, 55, Todeäköisyys, että aiaki 15 rakkaria oistuu F 15 13I P(15) P Z Laskussa ei käytetä jatkuvuuskorjausta. 455, HG KJ 10

14 P(Z 0,937 ) 1 Φ( 0, ) 1 0,864 0,174 0,937 Vastaus: Rakkareide oistumistodeäköisyys 0, Vaihtoehtoie ratkaisutapa ormaalijakaumalla jatkuvuuskorjausta käyttäe: Todeäköisyys, että aiaki 15 rakkaria oistuu. F HG I KJ 14, 5 13 P(15) P Z 455, P(Z 0,703 ) 1 Φ( 0703,...) 1 0,7580 0,4 Laskussa käytetää jatkuvuuskorjausta. 0,703 Vastaus: Rakkareide oistumistodeäköisyys 0, Jääkiekkoilija tekee ottelussa keskimääri µ maalia 0565, maalia 160 Koska maaleja tehdää vähä ottelua kohde, käytetää Poissoi jakaumaa. P(X k) µ µ e k! k a) Todeäköisyys, että pelaaja tekee seuraavassa ottelussa yhde maali. P(X k) µ k µ µ 0, 565 e k! k 1 P(X 0) 0, 565 e 1! 0,305 0, , 11

15 b) Todeäköisyys, että pelaaja tekee seuraavassa ottelussa aiaki yhde maali. A "Seuraavassa ottelussa aiaki yksi maali" A " Seuraavassa ottelussa ei yhtää maalia" P( A ) P(X k) µ k µ µ 0, 565 e k! k 0 Kysytty todeäköisyys P(A) 1 P(X 0) , 0565, e 0! 1 e 0565, 1 0,5697 0,43 c) A "Pelaaja tekee seuraavassa ottelussa korkeitaa yhde maali" "Pelaaja tekee seuraavassa ottelussa 0 tai 1 maalia" P(X k) µ k µ µ 0, 565 e k! k 0 tai 1 Kysytty todeäköisyys P(A) P(X 0) + P(X 1) , 0565, 0565, 0, 565 e + e 0! 1! 0, ,5697 0,89 Vastaus: Pelaaja tekee seuraavassa ottelussa a) yhde maali todeäköisyydellä 0,3 a) aiaki yhde maali todeäköisyydellä 0,43 c) korkeitaa yhde maali todeäköisyydellä 0, Kompoettie leveyde odotusarvo µ 10, 0 mm Normitetaa leveys Z X x X 13, 0 mm s x 10, 0 mm 13, 0 10, 0 3, 0 Z s s Todeäköisyys P(117,0 < X < 13,0) 0,04 0,96,0 %,0 % 3,0 s 1

16 Kuviosta P(X < 13,0) 1 004, 098, Taulukkokirjasta Φ( 05, ) 098, 0,98 Kuvioista 30, 05, s s 30, 05, s : 05, s 146, (mm),05 Vastaus: Levyje leveyde keskihajota oli 1,46 mm. 6. Asetetaa hypoteesit H 0 : Akkuje kestoikä o 1 00 h. ( µ 100h) H 1 : Akkuje kestoikä o alle1 00 h. ( µ < 1 00 h) Akkuje kestoiä keskiarvo x x , 6 Keskihajota x x s ( ) 1 ( , 6) + ( , 6) ( , 6) , Koska perusjouko keskihajotaa ei tueta, ii käytetää t-testiä. Testimuuttuja x 1139, 6 x µ µ 1 00 t s s 1,

17 1139, , ,... Vapausasteluku f Yksisuutaise t-testi kriittiset arvot 1 %: riskitasolla ±35, Testimuuttuja arvo 1,397 ei kuulu hylkäämisalueesee, jote H 0 pysyy voimassa 1 % riskitasolla. Hylkäämisalue Hylkäämisalue 3,5 1,397 3,5 Vastaus: Valmistaja ilmoittama aku käyttöikä ei ole liia suuri. 7. a) Haastateltuje lukumäärä Polkupyörä omistavie osuus p $ 0838, Polkupyörää ei omistaut q$ 1 p$ , 016, Normaalijakaumasta saatava 95%: luottamusväli kriittie arvo z 1,96 Luottamusväli L NM p$ z O P L M pq $$ pq $$,,, p $ + z,,,,, QP NM , ; 0861, b) Suomalaisista omistaa pyörä 95 %: todeäköisyydellä 0815, 5, ; 0861, 5, milj. 4, ; 45, milj. 0, 838 0, O QP Vastaus: a) Polkupyörä omistavie suomalaiste 95%: luottamusväli o 0, 815; 0, 861. b) Suomalaista 4, 4,5 miljooaa omistaa polkupyörä. 8. Asetetaa hypoteesit H 0 : Vaalitulokset oudattivat samaa jakaumaa. H 1 : Vaalitulokset eivät oudattaeet samaa jakaumaa. Testataa yhteesopivuutta, jote käytetää χ -testiä. Käytetää vuode 000 vaalitulosta havaitoarvoia o i. Lasketaa teoreettie frekvessi e i vuode 1996 vaalitulokse suhteellisea osuutea. Paikkoja vuoa 1996: Paikkoja vuoa 000:

18 Puolue o i 1996 e i ( oi ei) e Keskusta ( , 70...) 4 717, ,70 SDP ( , 9...) 610, ,9 Kokoomus ,64 4,676 Vasemmisto ,58 6,17 liitto Vihreät ,77 8,078 i 14,186 6,746 Testimuuttuja χ ( oi ei ) e i 1 i 14, , , , 86 Vapausasteluku f Testimuuttuja kriittie arvo 1 %: riskitasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 13,77. Koska laskettu arvo 39,86 o suurempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 13,77, ii ollahypoteesi hylätää. Hylkäämisalue 13,77 39,86 Vastaus: Vaalitulokset eivät oudata samaa jakaumaa. 15