Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Transkriptio

1 Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi, Kaksiulotteie ormaalijakauma, Korrelaatio, Kovariassi, Odotusarvo, Regressiofuktio, Tiheysfuktio, Variassi, Yhteisjakauma Itervalliasteikko, Järjestysasteikko, Laatueroasteikko, Nomiaaliasteikko, Ordiaaliasteikko, Suhdeasteikko, Välimatka-asteikko Aritmeettie keskiarvo, Frekvessi, Frekvessijakauma, Geometrie keskiarvo, Harmoie keskiarvo, Histogrammi, Järjestystuusluvut, Keskiarvo, Luokiteltu frekvessijakauma, Maksimi, Mediaai, Miimi, Otoshajota, Otosvariassi, Pylväsdiagrammi, Vaihteluväli, Vaihteluväli pituus. Oletetaa, että satuaismuuttujat X ja Y oudattavat 2-ulotteista ormaalijakaumaa parametrei E(X) = E(Y) = Var(X) = D 2 (X) = 9 Var(Y) = D 2 (Y) = 4 Cor(X, Y) = 0.5 (a) Määrää muuttujie X ja Y kovariassi. (b) Määrää muuttuja X regressiofuktio muuttuja Y suhtee ja muuttuja Y regressiofuktio muuttuja X suhtee sekä vastaavat ehdolliset variassit. (c) Määrää kohda (b) regressiofuktioita vastaavie suorie leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujie X ja Y odotusarvoje vastaavaa pisteesee. Mitä havaitset? Lasketaa esi muuttujie X ja Y stadardipoikkeamat: D(X) = 3 D(Y) = 2 (a) Muuttujie X ja Y kovariassi: Cov(X, Y) = Cor(X, Y) D(X) D(Y) = = 3 Ilkka Melli (2004) /

2 (b) Muuttuja X regressiofuktio muuttuja Y suhtee o suora, joka kulmakerroi o Cor(X, Y) D(X)/D(Y) = 0.5 3/2 = 0.75 Tämä suora yhtälö o = 0.75 (y + ) Muuttuja X ehdollie variassi muuttuja Y suhtee: ( Cor(X, Y) 2 ) D 2 (X) = ( ) 9 = 6.75 Muuttuja Y regressiofuktio muuttuja X suhtee o suora, joka kulmakerroi o Cor(X, Y) D(Y)/D(X) = 0.5 2/3 = /3 Tämä suora yhtälö o y + = (/3) ( ) Muuttuja Y ehdollie variassi muuttuja X suhtee: ( Cor(X, Y) 2 ) D 2 (Y) = ( ) 4 = 3 (c) Suorie leikkauspiste o muuttujie X ja Y odotusarvoje määräämä piste (, ). 2. (a) Oletetaa, että satuaismuuttujat X ja Y oudattavat 2-ulotteista ormaalijakaumaa parametrei E(X) = 0 E(Y) = Var(X) = D 2 (X) = Var(Y) = D 2 (Y) = 4 Cov(X, Y) = Määrää muuttujie X ja Y korrelaatio ja muuttuja X regressiofuktio muuttuja Y suhtee ja muuttuja Y regressiofuktio muuttuja X suhtee sekä vastaavat ehdolliset variassit. (b) Olkoo muuttuja X regressiosuora muuttuja Y suhtee 8 4 y = ja muuttuja Y regressiosuora muuttuja X suhtee 3 7 y = Määrää muuttujie X ja Y odotusarvot. Ilkka Melli (2004) 2/

3 (a) Lasketaa esi muuttujie X ja Y stadardipoikkeamat: D(X) = D(Y) = 2 Muuttujie X ja Y korrelaatio: Cor(X, Y) = Cov(X, Y)/(D(X) D(Y)) = /( 2) = 0.5 Muuttuja X regressiofuktio muuttuja Y suhtee o suora, joka kulmakerroi o Cor(X, Y) D(X)/D(Y) = 0.5 /2 = /4 Tämä suora yhtälö: = ( /4) (y ) Vastaava ehdollie variassi: ( Cor(X, Y) 2 ) D 2 (X) = ( ( 0.5) 2 ) = 0.75 Muuttuja Y regressiofuktio muuttuja X suhtee o suora, joka kulmakerroi o Cor(X, Y) D(Y)/D(X) = 0.5 2/ = Tämä suora yhtälö: y = Vastaava ehdollie variassi: ( Cor(X, Y) 2 ) D 2 (Y) = ( ( 0.5) 2 ) 4 = 3 (b) Suorat leikkaavat pisteessä (, 2), jote E(X) = E(Y) = 2 Ilkka Melli (2004) 3/

4 3. Alla o lueteltu joukko muuttujia.. Masikoide C-vitamiiipitoisuus; mg/00 g 2. Alvari aukiolta löydety kasvi laji 3. Paie, joka vaaditaa teräksise säiliö murtumisee; kg/cm 2 4. Hekilöide reaktio väitteesee Suome o liityttävä NATO:o mitattua asteikolla täysi eri mieltä, yhde tekevää, täysi samaa mieltä 5. Jokereide sijoitus jääkiekkoliigassa;, 2, 6. Teekkari koulutusohjelma 7. Teekkari älykkyysosamäärä; piste 8. Teekkari pistemäärä kurssi. välikokeessa; Letokoee opeus; km/h (a) Mitä mitta-asteikkoja muuttujat oudattavat? (b) Mitkä muuttujista ovat kvalitatiivisia ja mitkä kvatitatiivisia? (c) Mitkä muuttujista ovat diskreettejä ja mitkä jatkuvia? (a) Laatueroasteikollisia muuttujia: 2, 6 Järjestysasteikollisia muuttujia: 4, 5, 7, 8 Suhdeasteikollisia muuttujia:, 3, 9 (b) Kvalitatiivisia muuttujia: 2, (4), (5), 6 Kvatitatiivisia muuttujia:, 3, (4), (5), 7, 8, 9 Suluilla o merkitty kvalitatiiviste ja kvatitatiiviste muuttujie välimaastossa olevat järjestysasteikolliset muuttujat. (c) Diskreettejä muuttujia: 2, 4, 5, 6, 7, 8 Jatkuvia muuttujia:, 3, 9 Ilkka Melli (2004) 4/

5 4. Erää talo asukkailla o seuraavat kuukausitulot ( /kk): Määrää aieistosta seuraavat tuusluvut: (a) miimi, maksimi (b) vaihteluväli, vaihteluväli pituus (c) mediaai Määrättävät tuusluvut ovat kaikki järjestystuuslukuja tai iihi perustuvia tuuslukuja. Järjestystuuslukuje määräämistä varte havaiot o järjestettävä suuruusjärjestyksee: (a) Miimi ja maksimi: Mi = 4300, Ma = 500 (b) Vaihteluväli: (Mi, Ma) = (4300, 500) Vaihteluväli pituus: Ma Mi = = (c) Etsitää havaitoje mediaai eli tuusluku Md. Mediaai jakaa havaitoaieisto kahtee yhtä suuree osaa site, että puolet iistä havaitoarvoista, jotka eivät ole yhtä suuria kui mediaai, ovat mediaaia pieempiä, ja puolet iistä havaitoarvoista, jotka eivät ole yhtä suuria kui mediaai, ovat mediaaia suurempia: (i) Jos otoskoko o parito, ii mediaaiksi valitaa havaitoarvo, joka löytyy paikasta ( + )/2. (ii) Jos otoskoko o parillie, mediaaiksi valitaa kahde keskimmäise havaio aritmeettie keskiarvo. Ilkka Melli (2004) 5/

6 Havaitoje lukumäärä o tässä parillie, jote Md = Q 2 = ( )/2 = Muodosta tehtävä 4 aieistosta luokiteltu frekvessijakauma, joka luokat ovat: Määrää myös tätä frekvessijakaumaa vastaava histogrammikuvio suorakaiteide korkeudet, ku luokkaa vastaava suorakaitee korkeudeksi o valittu 5 ruutua ruudullisella paperilla. Hahmottele myös ko. histogrammikuvio paperille. Missä luokassa o jakauma moodi? Histogrammi muodostuu suorakaiteista, joide pita-alat suhtautuvat toisiisa kute vastaavat luokkafrekvessit (tai suhteelliset luokkafrekvessit). Luokka Luokkafrekvess i Suorakaitee korkeus /2 = /4 = 0.5 () Valitaa luokkavälii liittyvä suorakaitee korkeudeksi 5 ruutua. (2) Luokkaväli o. kaksi kertaa pitempi kui luokkaväli Siksi luokkaa liittyvä suorakaitee korkeus saadaa jakamalla frekvessi 9 luvulla 2. (3) Luokkaväli o. eljä kertaa pitempi kui luokkaväli Siksi luokkaa liittyvä suorakaitee korkeus saadaa jakamalla frekvessi 2 luvulla 4. Ilkka Melli (2004) 6/

7 Alla oleva kuvio esittää yo. luokiteltua frekvessijakaumaa vastaavaa histogrammia. 5 f/ Huomautuksia: (i) Histogrammissa suorakaiteide pita-alat eivät siis korkeudet ovat suhteessa luokkafrekvesseihi. (ii) Oikea laatu pystyakselille o frekvessi/ : Vaaka-akseli laatu: Pystyakseli laatu: frekvessi/ Suorakaitee pita-ala: frekvessi/ = frekvessi (iii) Histogrammissa suorakaiteide korkeudet ovat suhteessa luokkafrekvesseihi vai, jos luokitus o tasavälie. Jakauma moodi o luokassa , koska siiä histogrammi saavuttaa maksimisa. Huomaa, että moodi ei ole luokassa , vaikka se frekvessi o suuri. Ilkka Melli (2004) 7/

8 6. Määrää tehtävä 4 aieisto kahde esimmäise sarakkee 8 luvusta aritmeettie keskiarvo, otosvariassi ja otoshajota. Laskutoimitukset voidaa tehdä kahdella eri tavalla. Alla oleva tauluko muodostamisessa o käytetty apua MS Ecel -ohjelmaa. Tulokset: Aritmeettie keskiarvo = 556 Otosvariassi = Otoshajota = 900 Jos ko. tuuslukuje laskemiseksi laaditaa tietokoeohjelma, laskutoimitukset voidaa järjestää laskutavassa 2 ii, että havaiot käydää läpi vai kerra, ku taas laskutavassa havaiot o käytävä läpi kaksi kertaa. Se sijaa laskutava kaavat ovat umeerisesti stabiilimpia. Palkka i -Ka (-Ka)^2 ^ Summa Ka = Tapa : Var = Hajota = Tapa 2: Var = Hajota = Ilkka Melli (2004) 8/

9 Kaavat tehtävää 6 Laskutapaa liittyvät kaavat: = i= 2 s = i s = s 2 i i= ( ) Laskutapaa 2 liittyvät kaavat: = i= s s = i i= = s 2 i 2 Tehtävissä 7 ja 8 osoitetaa, että aritmeettie keskiarvo ei ole aia käypä tuusluku. 7. Olet ottaut 0000 euro laia, jota ei saa lyhetää kahde esimmäise vuode aikaa. Laiasopimukse mukaa korko o. vuotea 0 % ja 2. vuotea 20 %, jolloi takaisi maksettava laiapääoma kasvaa kahdessa vuodessa % (laske ). Oletetaa, että laiasopimusta muutetaa ii, että korkoa käytetää koko aja samaa korkoa, mutta tämä vakioa pidettävä korko valitaa ii, että takaisi maksettava laiapääoma ei kasva eempää kui alkuperäise sopimukse mukaa. (a) Totea, että (b) /2 % ei ole uude sopimukse vakiokorko. Totea, että oikea vakiokorko saadaa laskutoimituksella (..2 ) 00 % Huomautus: Laskutoimituksessa sovelletaa geometrise keskiarvo kaavaa: Positiiviste lukuje,,, geometrie keskiarvo o G = 2 Laiapääoma. vuode lopussa: ( + 0.) 0000 = 000 Laiapääoma 2. vuode lopussa: ( + 0.2) 000 = 3200 Laiapääoma o kasvaut kahdessa vuodessa 32 %. Siis = 32 %. Ilkka Melli (2004) 9/

10 (a) /2 % = 6 % 6 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopussa: ( + 0.6) 0000 = 600 Laiapääoma 2. vuode lopussa: ( + 0.6) 600 = 3456 Laiapääoma o kasvaut kahdessa vuodessa % 32 %. (b) (..2 ) 4.89 % 4.89 %: korolla: Laiapääoma. vuode lopussa: ( ) 0000 = 489 Laiapääoma 2. vuode lopussa: ( ) 600 = 3200 Laiapääoma o kasvaut kahdessa vuodessa 32 %. 8. Paikkakutie A ja B välimatka o 20 km. Hekilö ajaa A:sta B:he keskiopeudella 60 km/h ja B:stä A:ha keskiopeudella 20 km/h. (a) Totea, että keskiopeus edestakaisella matkalla ei ole (60+20)/2 = 90 km/h (b) Totea, että oikea keskiopeus saadaa laskutoimituksella Huomautus: Laskutoimituksessa sovelletaa harmoise keskiarvo kaavaa: Positiiviste lukuje,,, harmoie keskiarvo o H = i= A: ja B: välimatka: 20 km Ajoaika A:sta B:he (60 km/h): 20/60 = 2 h Ajoaika B:sta A:ha (20 km/h: 20/20 = h Matka edestakaisi: 240 km Ajoaika edestakaisi: 2 + = 3 h Keskiopeus edestakaisella matkalla: 240/3 = 80 km/h i Ilkka Melli (2004) 0/

11 (a) 90 km/h 80 km/h. (b) = 80 km/h Ilkka Melli (2004) /