7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

Transkriptio

1 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X, Y ) = 1. Määrää muuttujien X ja Y korrelaatio, muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen ja muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. b) Olkoon muuttujan X regressiosuora muuttujan Y suhteen y = 8 3 x ja muuttujan Y regressiosuora muuttujan X suhteen Määrää muuttujien X ja Y odotusarvot. y = 3 2 x a) Lasketaan ensin standardipoikkeamat: D(X) = 1 ja D(Y ) = 2. Cor(X, Y ) = Cov(X, Y ) D(X)D(Y ) = = 1 2 Muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(X, Y )D(X) D(Y ) = = 1 4 Suoran yhtälö on siten: x = 1 (y 1) 4 (1 Cor(X, Y ) 2 )D 2 (X) = (1 ( 0.5) 2 ) 1 = 0.75 Muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(X, Y )D(Y ) D(X) = = 1 Suoran yhtälö on siten: y 1 = x (1 Cor(X, Y ) 2 )D 2 (Y ) = (1 ( 0.5) 2 ) 4 = 3 b) Suorat leikkaavat pisteessä (1,2), joten: E(X) = 1 ja E(Y ) = 2.

2 D2. Alla on lueteltu joukko muuttujia. a) Mitä mitta-asteikkoja muuttujat noudattavat? b) Mitkä muuttujista ovat kvalitatiivisia ja mitkä kvantitatiivisia? c) Mitkä muuttujista ovat diskreettejä ja mitkä jatkuvia? 1. Mansikoiden C-vitamiinipitoisuus: mg/100g. 2. Alvarin aukiolta löydetyn kasvin laji. 3. Paine, joka vaaditaan teräksisen säiliön murtumiseen: kg/cm Henkilöiden reaktio väitteeseen Suomen on liityttävä NATO:on mitattuna asteikolla täysin eri mieltä, yhden tekevää, täysin samaa mieltä. 5. Jokereiden sijoitus jääkiekkoliigassa. 6. Teekkarin koulutusohjelma. 7. Teekkarin älykkyysosamäärä. 8. Teekkarin pistemäärä 1. välikokeessa. 9. Lentokoneen nopeus: km/h. a) Laatueroasteikollisia muuttujia: 2 ja 6. Järjestysasteikollisia muuttujia: 4, 5, 7 ja 8. Suhdeasteikollisia muuttujia: 1, 3 ja 9. b) Kvalitatiivisia muuttujia: 2, (4, 5), 6. Kvantitatiivisa muuttujia: 1, 3, 7, 8 ja 9. c) Diskreettejä muuttujia: 2, 4, 5, 6 sekä (7 ja 8). Jatkuvia muuttujia: 1, 3, (7, 8) ja 9. D3. Määrää tehtävän P4 aineiston kahden viimeisen sarakkeen kahdeksan luvun aritmeettinen keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta. Lasketaan tarpeelliset välitulokset taulukon avulla: x i x 2 i Σ

3 Keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta ovat siis: x = 1 n x i = = s 2 = 1 ( n (x 2 i ) n x 2) = 1 n 1 7 ( ) , 57 s = s 2 650, 14 P4. Erään talon asukkailla on seuraavat kuukausitulot (e/kk): Määrää aineistosta seuraavat tunnusluvut: a) minimi ja maksimi b) vaihteluväli ja vaihteluvälin pituus c) mediaani d) Vinous e) Huipukkuus 2 p. Asiat sujuvat paljon yksinkertaisemmin, jos käytössä on järjestetty otos: a) Minimi = 700 ja maksimi = b) Vaihteluväli on (700, 4300) ja vaihteluvälin pituus on = c) Me = ( )/2 = 1850 Vinouden ja huipukkuuden määrittämiseksi täytyy määrittää havaintoarvojen jakauman 2., 3. ja 4. keskusmomentti: m 2 = 1 n m 3 = 1 n m 4 = 1 n (x i x) 2 (x i x) 3 (x i x) 4

4 Momenttien laskeminen tapahtuu helpoiten taulukoinnilla. (Esim. Excelillä tällaisen taulukon arvojen laskeminen käy hyvin helposti.) x i x i x (x i x) 2 (x i x) 3 (x i x) Summa Keskiarvo d) Havaintoarvojen jakauman vinous saadaan laskettua 2. ja 3. keskusmomentin avulla: c 1 = m 3 m 3/2 2 = = /2 Havaintoarvojen jakauma on siis positiivisesti vino. e) Havaintoarvojen jakauman hupukkuus saadaan laskettua 2. ja 4. keskusmomentin avulla: c 2 = m 4 m 2 3 = = Havaintoarvojen jakauma on siis laakea verrattuna normaalijakaumaan. P5. Muodosta tehtävän P4 aineistosta luokiteltu frekvenssijakauma, jonka luokat ovat: , ja Määrää myös tätä frekvenssijakaumaa vastaavan histogrammikuvion suorakaiteiden korkeudet, kun ensimmäistä luokkaa vastaavan suorakaiteen korkeudeksi on valittu 15 ruutua ruutupaperilla. Hahmottele myös ko. histogrammikuvio paperille. 1 p.

5 Histogrammi muodostuu suorakaiteista, joiden pinta-alat suhtautuvat toisiinsa kuten vastaavat luokkafrekvenssit (tai suhteelliset luokkafrekvenssit). Näin saadaan laskettua suorakaiteiden korkeudet, kun tiedetään että ensimmäisen suorakaiteen korkeus h 1 on 15 ruutua: 2000 h h 2 = h h 3 = 9 1 = h 2 = 6 9 h 1 = 10 ruutua = h 3 = 2 9 h 1 = 10 3 ruutua Luokka Luokkafrekvenssi Suorakaiteen korkeus /3 Lopullinen kuvaaja näyttää seuraavanlaiselta: euroa P6. Määrää tehtävän P4 aineiston kahden ensimmäisen sarakkeen kahdeksan luvun aritmeettinen keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta. 1 p. Lasketaan tarpeelliset välitulokset taulukon avulla: x i x 2 i Σ

6 Keskiarvo, otosvarianssi ja otoshajonta ovat siis: x = 1 n x i = = s 2 = 1 ( n (x 2 i ) n x 2) = 1 n 1 7 ( ) s = s L7. Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 1, E(Y ) = 1, Var(X) = 9, Var(Y ) = 4 ja Cor(X, Y ) = 0.5. a) Määrää muuttujien X ja Y kovarianssi. b) Määrää muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen ja muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. c) Määrää kohdan b) regressiofunktiota vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujien X ja Y odotusarvoja vastaavaan pisteeseen. Lasketaan ensin standardipoikkeamat eli keskihajonnat: D(X) = 3 ja D(Y ) = 2. a) Cov(X, Y ) = Cor(X, Y )D(X)D(Y ) = = 3 b) Muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(X, Y )D(X) D(Y ) = 0.75 Suoran yhtälö: x 1 = 0.75 (y + 1) Var(X Y ) = ( 1 Cor(X, Y ) 2) Var(X) = ( ) 9 = 6.75 Muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(X, Y )D(Y ) D(X) = 1 3 Suoran yhtälö: y + 1 = 1 (x 1) 3 Var(Y X) = ( 1 Cor(X, Y ) 2) Var(Y ) = ( ) 4 = 3 c) Suorien leikkauspiste on odotusarvojen määräämä piste (1, 1).

7 L8. Olet ottanut euron lainan, jota et voi lyhentää kahden ensimmäisen vuoden aikana. lainasopimuksen mukaan korko on 1. vuotena 10% ja 2. vuotena 20 %, jolloin takaisin maksettava lainapääoma kasvaa kahdessa vuodessa x %. Oletetaan, että lainasopimusta muutetaan niin, että korkona käytetään kumpanakin vuotena samaa korkoa, mutta tämä vakiona pidettävä korko valitaan niin, että takaisin maksettava lainapääoma kasvaa kahdessa vuodessa yhtä paljon kuin alkuperäisen sopimuksen mukaan. a) Totea, että x/2 % ei ole uuden sopimuksen vakiokorko. b) Totea, että oikea vakiokorko saadaan laskutoimituksella ( ) 100%. Huomautus: Laskutoimituksessa on sovellettu geometrisen keskiarvon kaavaa: Positiivisten lukujen x 1, x 2,..., x n geometrinen keskiarvo on: G = n x 1 x 2 x n Lainapääoma 1. vuoden lopussa: ( ) = Lainapääoma 2. vuoden lopussa: ( ) = Lainapääoma on kasvanut kahdessa vuodessa 32%. Siis x = 32%. a) x/2 = 16%. 16% korolla: Lainapääoma 1. vuoden lopussa: ( ) = Lainapääoma 2. vuoden lopussa: ( ) = Lainapääoma on kasvanut kahdessa vuodessa 34.56% 32%. b) % % korolla: Lainapääoma 1. vuoden lopussa: ( ) = Lainapääoma 2. vuoden lopussa: ( ) = Lainapääoma on kasvanut kahdessa vuodessa 32%.