Rak Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti

Transkriptio

1 Rak Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan - moneako keraa ole opnojakoa uoramaa - mnä vuonna ole uoranu pakolle harjouehävä 1) Suoran auvan lenen kdmenonen knemakka määrellään hälöllä u(, ) = u (, ) e + v (, ) e, N =, = u(, ) u () N = = v(, ) v() ekä on auvan kekpnnan uunanen koordnaa ja on auvan kekpnnan normaaln uunanen koordnaa. a) Men knemakan lauekea ulee modfoda, jo auva oakuaan kokoonpurumaomak normaalna uunnaa. b) Men knemakka edelleen knkerauu, jo velä a-kohdan oleuken läk auvan pokklekkauaojen oleeaan pvän aona muodonmuuokea. c) Johda aapanohälö ja reunaehdo vruaalen ön peraaeella päään jäkä knnen auvan jännreulanelle el momenlle M ja lekkauvomalle Q, kun oleeaan, eä knemakka on knkeraa muooa u(, ) = u1() ja v(, ) = v() ekä auvan jakaanunu kuorma on q (, ) ja puu. ) Määrä väänöjäh I ja lekkau- el väänökekön aema euraavlle pokklekkauklle: a) -pokklekkauknen auva, jonka molempen lappojen puu on b ja pakuu ; b / b) auva, jonka pokklekkau koouu kahdea - b pokklekkaukea, joden lappojen puu on b / ja pakuu. b b / ) Nelölaaa, jonka vuma on a, pakuu ja avuujäkk D = E / [1(1 ν )], on kahdela verekkäelä vulaan vapaa ueu kun aa oe kak vua ova vapaa. aaa lepää kmmoella alualla, joka kohdaa laaaan paneen px (, ) = kwx (, ), mä k on aluan kmmouuvako ja w laaan apuma. aaaa kuormaa aae jakaanunu kuorma q( x, ) = q. ake arvo laaan makmapumalle käämällä Krchhoffn laaamalla ja poenaalenergan mnmn peraaea ekä oveluvaa apuman refunkoa. a a 4) Rakenne, jonka pokklekkau on mprä, koouu kahdea er pakuea hä pkää auvaa, joden molempen puu on, pakumman äde on R ja ohuemman äde R /. Sauvojen he on ρ ja kmmokerron E. Heräevoma hekellä on f(). Krjoa rakeneen akaalväräheln dfferenaalhälö oleamalla, eä rakenne on molemma päään jäkä ueu ja kummankn auvan maa kekeään hä uurk pemaok auvan molempn pähn. Määrä läk rakeneen aln omnakulmaaajuu. R, / R,

2 Rak Rakeneden mekankka, RM (4ov) Kaavakokoelma enn.8.7 ää perukaavoja kaavakokoelma RM- ja RM-. Muodonmuuoke kakdmenoea apaukea ε = u u u u e, ε = e, γ = e + e Sänen vruaalnen ö δw = δ d Ulkonen vruaalnen ö δw = F δud + T δud u ST ruaalen ön peraae δw + δwu = Sauvan jännreulan: momen, normaalvoma ja lekkauvoma M ( ): σ (, ) d =, N( ): M ( ): σ (, ) d = =, ( ): = τ (, ) Q d äänöjäh umpnaelle, reällelle, monoaelle ohuelle uorakaeelle ekä k- ja monkoeloelle auvalle ψ ψ I = I p + ( z ) d z I = ( Hr + Φ d ) Gθ I M =, = Φ = Gθ, I d w d I I = + d d, I = d q Gθ Sekoraalnen koordnaa peen uheen P P =± h d = [( z z ) d ( ) dz] P P Sekoraale ulomomen I = d, I z z d Jähmomen I = z d, I = z = d, I z b = z d KÄÄNNÄ!

3 äänö- el lekkaukekö IzIz IzI Iz = + = ; + joiz = I I I I z z II IzIz I z = z = z ; joiz = I I I I z z z Sekoraalnen aanen momen väänökekön ekoraalelle koordnaalle S ˆ = ˆ d, Normeerau väänökekön ekoraalnen koordnaa Sˆ ˆ = Sekoraalnen aanen momen S () () d = Sekoraalnen väänöjäh el kärmjäh I = d Poenaalenerga Π = U + Muodonmuuoenerga 1 U = d Ulkoen kuormuken poenaal = F ud T ud S T Krchhoff-laaan muodonmuuoenerga 1 D w w w w w U = d {( ) (1 ν)[ ( ) ]} d = + x x x E D = 1(1 ν ) Sauvan muodonmuuoenerga avuu-, lekkau-, puru- ja väänöapaukea 1 G { x x } κ γ ε ϕ ζ U = EI + + E + GI dx Jouvoma ja jouen muodonmuuoenerga 1 F = kx, U = kx Ykvapaueen jou maa-eemn vapaan väräheln dfferenaalhälö, lenen rakau ja omnakulmaaajuu mx &&( ) + kx ( ) =, x( ) = 1n( ) + co( ), ää perukaavoja kaavakokoelma RM- ja RM-. = k m

4 Rak Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Rakau enn.8.7 [ulua pe] 1. Tehävä: (a) Kokoonpurumaomuu normaaln uunnaa el -uunnaa arkoaa, eä ε =. N kun rmä on muooa u(, ) = u (, ) e + v (, ) e, ämä eho aa muodon u = ε = e = u (, ) v (, ) e + e e N v (, ) = = v() = = { v() v1() v() } = + v1() + v() + joka oeuuu, jo v1() + v() + = el v ( ) = kaklla = 1,,.... Tämä aa arkoaa ä, eä funkon v arjaa oeaan mukaan van enmmänen erm el N = : v(, ) = v () = v (). [1 p.] = (b) Joa pokklekkauao pvä aona (uorna), akeln uunaen rmäkomponenn u (, ) on rpuava anoaaan lneaare koordnaaa, koka korkeamman aeen -rppuvuu all pokklekkauaon kärmen muodonmuuokea. Funkon u arjaa oeaan mukaan van kak enmmää ermä, jollon u(, ) = u() + u1(). [1 p.] Tällön u 1 () vodaan ulka pokklekkauaon kallumkulmak (a en nk). (c) Muodonmuuoke ova n u u ε '() = e = = u1 u v ε = e = = u u v u γ = e + e = + = v'() + u1(). Sänen vruaalnen ö on muooa δw = δ d = ( σ δε + σ δε + τ δγ ) d { σδ( 1') τδ( ' 1) } = u + v + u dd = σ(, ) d δu1'() + τ(, ) d ( δv' + δu1)() d { δ δ δ } = : M u ' + Q v ' + Q u d 1 1 1

5 mä momen määrellään lauekkeella M ( ): = M1( ): = σ(, ) d ja lekkauvoma on vaaava muooa Q(): = Q(): = τ (, ) d. [1 p.] Ulkonen vruaalnen ö vodaan lauua muodoa δw = F δud + T δud = = = u q(, ) δv(, ) dd δv ( ) q(, ) dd δv F d ST mä kuormareulan on F( ): = q(, ) d. ruaalen ön peraaeen mukaan δw + δw =, joen { }. [1 p.] M δ u ' + Q δ v ' + Q δ u d + δ v F d = Oanegromalla aadaan { } [ ] [ ] M ' δu Q ' δv + Q δu d + M δu + Q δv = δv F d joka päee kaklla varaaolla δ u1 ja δ v, mä euraava aapanohälö M ' + Q = 1 ' F Q = ekä jäkä knnen (a vapaan) reunan reunaehdo δ u 1 = (a M 1 = ), kun =, δ v = (a Q = ), kun =,. [1 p.] u

6 . Tehävä: (a) -profln väänöjäh: 1 1 I b = b = b. [1/ p.] äänökekö: eeaan napape profln nurkkaan, jollon koko profllla ekoraalelle koordnaalle päee P P. =± h d = [( z z ) d ( ) dz] = P P Nän I = z d = = d = I, jollon z I I I I = + = z z z IIz Iz I I I I z = z = z z z IIz Iz ekkau- el väänökekö = jaee napapeeä profln nurkaa. [1 p.] Kärmjäh (e k): äänökekön uheen lakeu normeeraamaon ekoraalnen koordnaa ˆ = koko profllla ja vaaava ekoraalnen aanen momen S ˆ ˆ = d = ekä normeerau väänökekön Sˆ ekoraalnen koordnaa ˆ ˆ = = = koko profllla. S ekoraalnen väänöjäh el kärmjäh on I = d =. (b) Kahden -profln hdelmäprofln väänöjäh: 1 1 I b = 4( b /) b = b. [1/ p.] äänökekö: eeaan napape -proflen hdkohaan, jollon peeeen lvllä profln olla päee =. Ylemmän -profln plapalla kavaa nollaa lneaare arvoon = b /4 kun aa alemman -profln vaakalapalla kavaa nollaa lneaare arvoon = b /4. eeaan z -koordnaao peeeen akel lappojen uunae, jollon koordnaajakauma anava ekoraale ulomomen 4 b / b b b / b b 5b I = ( )( ) d= = b / b b b / b b 5b I ( ) ( ) z = z d= = = I ja jähmomen (ere I z ) [1 p.]

7 b b b b/ b b b/b b 5b I = z d= ( )( ) + ( )( ) + + = 4 z I = d= I = 5 b 4 b / b b b / b b b Iz = z d= ( ) ( ) = 8. [1 p.] Nää aadaan edelleen väänökekön koordnaa 4 4 5b 5b b 5b I ( ) ( ) zi z IzI b = + = + = IIz Iz 5b 5b b ( ) II ( ) ( ) 5 5 IzIz I Iz Iz I IIz IzI b b z = z = z : = z + = z = I I I I I I I I I [1 p.] z z z z z z Kärmjäh (e k): äänökekön uheen lakeu normeeraamaoman ekoraalen koordnaan ˆ jakauma on aaava ekoraalnen aanen momen S ˆ = ˆ d =... Normeerau väänökekön ekoraalnen koordnaa Sˆ ˆ = =... Sekoraalnen väänöjäh el kärmjäh I = d =...

8 . Tehävä: Ulkoen kuormuken q energa kuluu ekä laaan avuameen eä aluan kaaan panameen. S kokonapoenaalenergan laueke on Π = Ul + Ua + mä laaan muodonmuuoenerga on 1 Ul = d D w w w w w = {( ) (1 )[ ( ) ]} + ν d x x x [1/ p.] w = D(1 ν) ( ) d x w = D(1 ν) a Yllä on käe laaan apumalle approkmaaoa w w w w w w( x, ) = x ; =, = =, a x a x joka oeuaa poenaalenergan mnmperaaeen vaama knemaae reunaehdo wx (,) =, w(, ) =. Selveäväk jää k unemaon vako w. On huomaava, eä vapaaa nurkaa älle approkmaaolle päee waa (, ). [/ p.] luan muodonmuuoenerga aadaan uoraan jouvomaa px (, ) = kwx (, ) vaaavaa 1 muodonmuuoenergaa Ua = kw d a muodonmuuoenergaa 1 1 w Ua = d = p ddh H 11 H k = dhkwwd = w d H h kaw d 4 x kw = = a 18 Kuorman poenaalenerga on o [/ p.] w qaw = qwd = q xd = a 4 Kokonapoenaalenergan D(1 ν) w ka w qa w Π= Ul + Ua + = + a 18 4 mnm aavueaan, kun o

9 Π Π = δπ = δw = w w 4 D(1 ν) ka qa qa 1 9qa w + = w = = 4 a D(1 ν) ka 4(18 D(1 ν) + ka ) + a 9 Makmapuma aavueaan laaan vapaaa nurkaa: 9qa wmax = w( a, a) = w = [/ p.] 4 4(18 D(1 ν) + ka ) 4

10 4. Tehävä: Sauvojen maa ova m1 = ρ1 = ρπr ja m = ρ1 = ρπ( R/) = m1/4. Rakeneen kekelle auvojen hdkohaan kekeään maa m = m1/ + m/ = 5 m1/8 el molempen auvojen maoa puole. [1 p.] Toe puole maoa kekeään rakeneen jäkä knnehn päähn, joen ne evä ule mukaan väräheleemn. Yhdkohdan maapeen akaalnen aema x () on eemn anoa vapauae. omaaapanoeho eemn hauvomalle, jouvomalle ja heräekuormalle ajanhekellä on mx &&() + kx () = f(). [1 p.] Kokonajouvako määrä rnnan oleven auvojen purujäkkkä: E E E 1 5π k = k1+ k = + = ( 1+ ) = R E. [ p.] 4 (kehälö vodaan krjoaa mö uoraan muodoa E1 E 5π R E f() = mx && () + x () + x () = mx &&() + x (). [ p.]) 4 Koka eemä on van k vapauae, en aln ja anoa omnaaajuu on RE 5π k 4 1 E = m = 5 ρπr /8 = ρ. [1 p.]