Sanna Hassinen. Katariina Hemmo. Timo Taskinen SIGMA. Matemaattisia malleja III. Opettajan opas. Kustannusosakeyhtiö TAMMI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sanna Hassinen. Katariina Hemmo. Timo Taskinen SIGMA. Matemaattisia malleja III. Opettajan opas. Kustannusosakeyhtiö TAMMI"

Transkriptio

1 L u k i o n l y h y t m a t e m a t i i k k a Sanna Hassinen Katariina Hemmo Timo Taskinen SIGMA 8 Matemaattisia malleja III Opettajan opas Kustannusosakeyhtiö TAMMI Helsinki

2 1. 2. painos Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö Tammi, 2007 ISBN Multiprint Oy, Helsinki 2009

3 Sisällys Ohjeita kirjan käyttäjälle... 7 Opetuskertojen käyttöehdotuksia... 8 Vinkkejä oppikirjan käyttöön Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä Suunnattu kulma Yhdenmuotoiset ympyräsektorit Radiaani Radiaanit ja asteet Sini, kosini ja tangentti Kulman muuntaminen Sini, kosini ja tangentti Sini Sinin arvo eri neljänneksissä Kulman sinin arvon laskeminen Yksikköympyrä ja sinin arvo Esimerkki (oppikirja s. 16) Kosini Kosinin arvo eri neljänneksissä Esimerkki (oppikirja s. 29) Yksikköympyrä ja kosinin arvo Tangentti Tangenttisuora ja tangenttipiste Yksikköympyrä ja tangentin arvo Esimerkki (oppikirja s. 54) Sinin, kosinin ja tangentin arvon laskeminen Sini, kosini ja tangentti yksikköympyrässä Testi: Sini, kosini ja tangentti Siniyhtälöt Siniyhtälö Kulman ratkaiseminen graafisesti Siniyhtälön ratkaiseminen Kulman laskeminen yksikköympyrän avulla Siniyhtälö sovellustehtävissä Testi: Siniyhtälö Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kulman ratkaiseminen graafisesti Kosiniyhtälö Kosiniyhtälön ratkaiseminen Kulman ratkaiseminen graafisesti Tangenttiyhtälön ratkaiseminen

4 Sini, kosini ja tangentti taulukkokirjan avulla Yhteenveto trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta Sini-, kosini- ja tangenttiyhtälöitä Testi: Kosini- ja tangenttiyhtälöt Keskeisiä käsitteitä trigonometriasta Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Funktio f(x) = sin x Funktio f(x) = cos x Muita trigonometrisia funktioita Nollakohtien määrittäminen graafisesti ja algebrallisesti Joitakin tehtäviä oppikirjasta Sovelluksia Sovelluksia Sovellustehtävän ratkaisu Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ala Suunnikkaan ala Alojen laskemista Kulman ratkaiseminen Oppikirjan esimerkki 2 (s. 79) Sinilause Sinilause Sinilauseen johtaminen Sinilause Sinilauseen käyttäminen sivun ratkaisemiseen Sinilauseen käyttäminen kulman ratkaisemiseen Testi: Sinilause Kosinilause Kosinilauseen johtaminen Kosinilause Kosinilauseen käyttäminen sivun ratkaisemiseen Kosinilauseen käyttäminen kulman ratkaisemiseen Testi: Kosinilause Keskeisiä käsitteitä geometriasta

5 5.1 Peruskäsitteitä Peruskäsitteitä vektoreista Vektoreiden yhtäsuuruus Erilaisia vektoreita Yksikkövektori Vektorien välinen kulma Laskutoimitukset Laskutoimitukset Vektorien summa Summavektoreita piirtämällä Vektorien erotus Vektorin kertominen luvulla Vektoreiden erotus piirtämällä Vektorien yhdensuuntaisuus Esimerkkejä laskutoimituksista Testi: Laskutoimitukset Yhteenveto vektorien laskutoimituksista Komponentteihin jako Komponentteihin jako Vektorin jakaminen komponentteihin Komponentit Vektorien yhtäsuuruus Esimerkkejä komponentteihin jaosta Vektorien yhdensuuntaisuus Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorit xy-koordinaatistossa xy-tason kantavektorit Pisteen paikkavektori Vektorin pituus Kahden pisteen välisen vektorin määrittäminen Kahden pisteen välinen vektori Kirjan esimerkki 4 (s. 135) Testi: Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorit xyz-koordinaatistossa Vektorit xyz-koordinaatistossa Paikkavektori avaruuskoordinaatistossa Esimerkkejä paikkavektorin käytöstä Vektorin pituus Kahden pisteen välinen vektori Testi: Vektorit xyz-koordinaatistossa

6 5.6 Pistetulo xy-tason vektorien pistetulo Vektorien kohtisuoruus Kohtisuoruusehdon käyttäminen Pistetulon määritelmä Testi: Pistetulo Keskeisiä käsitteitä vektoreista Kertaus Kertaus Monivalintakysymyksiä kurssista Kokeet Koe Koe Koe Kokeiden ratkaisut Koe Koe Koe

7 Ohjeita kirjan käyttäjälle Sigma-kirjoihin on saatavana laaja opettajan materiaali, joka sisältää opettajan oppaan kirjan tehtävien lasketut ratkaisut CD-ROMin, johon on tallennettu opettajan opas ja kirjan tehtävien lasketut ratkaisut digitaalisessa muodossa. Tämä opettajan opas on tehty tukemaan lukion lyhyen matematiikan oppikirjaa Sigma 8, Matemaattisia malleja III. Oppaaseen on koottu paljon erilaista lisämateriaalia tuntien suunnittelua, itse opetusta ja kurssikoetta varten. Oppaan alussa on yleisiä ohjeita mm. ajankäytöstä. Suurin osa oppaan sisällöstä on erilaisia kalvo- ja tehtäväpohjia, jotka on koottu kirjan lukujen mukaiseen järjestykseen. Oppaan lopussa on kurssikokeita ratkaisuineen. Logojen selitykset KALVOPOHJAT kirjan pohdintatehtävät kirjan taulukot ja kaaviot teoriakalvot laskuesimerkit LASKINPOHJAT opastus yleisimpään tapaan käyttää laskinta tietyssä tilanteessa lisäksi muutama nopea harjoitus MONISTEPOHJAT erilaisia lisätehtäviä tukiopetusmateriaalia TESTIT lyhyitä pistareita 7

8 Opetuskertojen käyttöehdotuksia Koska eri oppilaitoksissa oppituntien pituudet voivat poiketa hyvinkin paljon toisistaan, ajankäyttöehdotus on tehty opetuskertojen mukaan. Kurssiin mahtuu opetuskertojen pituudesta riippumatta yleensä opetuskertaa (kolme opetuskertaa/viikko). Tapa 1 Ei käsitellä geometrian ylimääräistä opetuskokonaisuutta 1.1 Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä Sini, kosini ja tangentti 2 3 Tapa 2 Painotetaan sovelluksia 1.1 Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä Sini, kosini ja tangentti Siniyhtälö Kosini- ja tangenttiyhtälö Siniyhtälö Kosini- ja tangenttiyhtälö Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Sovelluksia Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Sovelluksia Kolmion ja suunnikkaan ala Sinilause Kosinilause Peruskäsitteitä Laskutoimitukset Komponentteihin jako Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorit xyz-koordinaatistossa Vektorien pistetulo eli skalaaritulo 1 2 Kertaus 5.1 Peruskäsitteitä Laskutoimitukset Komponentteihin jako Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorit xyz-koordinaatistossa Vektorien pistetulo eli skalaaritulo 1 2 Kertaus 8

9 Vinkkejä oppikirjan käyttöön POHDINTATEHTÄVÄT Opiskelijan motivointi, sekä rohkaiseminen tutkivaan ja keksivään oppimiseen, on useimmiten hankalaa. Sigma tarjoaa pohdintatehtävillään yhden ratkaisun näiden tavoitteiden saavuttamiseksi. Moni kirjan luvuista alkaa pohdintatehtävällä, jonka tarkoitus voi olla esimerkiksi johdatella aiheeseen herättää kiinnostusta opettaa uutta asiaa kerrata nopeasti jo opittua. Pohdintatehtävän voi esimerkiksi antaa kotitehtäväksi edellisellä tunnilla tai sen voi käydä tunnin alussa yhdessä läpi. Pohdintatehtävän avulla opiskelija voi myös itse tutustua tai opiskella uutta asiaa. Kirjan läpikäyminen ei missään vaiheessa vaadi pohdintatehtävien käsittelyä. Näiden käyttö jätetään opettajan päätettäväksi. Oppikirjan pohdintatehtävistä on opettajan oppaassa kalvopohjat. KAAVIOT JA TAULUKOT Erilaisten ongelmanratkaisutapojen keksiminen ja tarkasteltavan ongelman tunnistaminen on opiskelijalle vaativa tehtävä. Tästä syystä opiskelijalle tulisi tarjota erilaisia keinoja tilanteiden tarkasteluun. Taulukoiden ja kaavioiden käyttö sekä teorian että esimerkkien kohdalla antaa opiskelijalle erilaisia hahmottamis- ja mallintamiskeinoja. Oppikirjan taulukoihin on useimmiten koottu ennestään tuttua asiaa juuri opittua uutta asiaa laskuesimerkkejä. Oppikirjan kaaviot ovat teoriaa visuaalisemmassa muodossa. Usein uusi asia on selitetty sanallisesti tekstiosioissa ja havainnollistettu vielä kaavion avulla. Kaavioita voi käyttää teoriaopetuksen apuna tai ohjeena, esimerkiksi yhtälön muodostamiseen, riippuen kaavion luonteesta. KÄSITEKARTAT Käsitekartat ovat myös matematiikassa hyvä keino koota yhteen keskeiset asiat sekä niiden hierarkia. Oppikirjan jokainen pääluku loppuu käsitekarttaan. Oppikirjan käsitekarttoja voi käyttää esimerkiksi kurssin kertaamiseen. Niistä voi ottaa myös mallia omiin käsitekarttoihin. Oppikirjan käsitekartoista on kalvopohjat opettajan oppaassa. 9

10 1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä Pohdinta 1 Ympyrän kehän pituus p lasketaan kaavalla p = 2πr, jossa r on ympyrän säde. Laske punaisella merkityn osan pituus, kun r = 1. 10

11 1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Suunnattu kulma Kulma syntyy kahdesta päällekkäin asetetusta puolisuorasta. Toinen puolisuora jää paikalleen ja toista kierretään vastapäivään. Paikalleen jäävää puolisuoraa kutsutaan alkukyljeksi ja kierrettyä puolisuoraa taas loppukyljeksi. Jos kiertäminen tehdään vastapäivään, syntyy positiivinen kulma (esim. α). Jos kiertäminen tehdään myötäpäivään, syntyy negatiivinen kulma (esim. β). Kiertämistä voidaan jatkaa yli täyden kulman 360. Kulman suuruudella ei ole ala- eikä ylärajaa. 11

12 1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Yhdenmuotoiset ympyräsektorit Tarkastellaan kahta ympyräsektoria: isomman säde on R ja pienemmän r. Sektorit ovat yhdenmuotoiset vastinosien suhteet ovat samat. B R = b r br = Br b B = r R Kerrotaan ristiin. Jaetaan molemmat puolet ensin luvulla R ja sitten luvulla r. Kaaren ja säteen suhde on sama yhdenmuotoisilla sektoreilla. 12

13 1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Radiaani Kaaren ja säteen suhde on aina sama yhdenmuotoisilla ympyräsektoreilla. Kun sektorin kaarta pidennetään, kaaren ja säteen suhde kasvaa (säteen pituus säilyy samana). Sektorin kaaren pituus riippuu aina kulmasta. Kaaren ja säteen suhde on hyvä kulmanyksikkö. Kaaren ja säteen suhdetta sanotaan radiaaniksi (rad). Radiaani α = b r r α b Esimerkki Määritä kulma β radiaaneina kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. 28 cm 28 cm β 26 cm 13

14 1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Radiaanit ja asteet Tutkitaan radiaania yksikköympyrän avulla. - Yksikköympyrän säteen pituus on 1. r = 1 p = 2πr = 2π 1 = 2π Ympyrän asteluku on π = 360 :2 π = 180 :π 1= 180 π 360 = 2π :360 π 1 =

15 1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Esimerkki 1 Muunna radiaanit asteiksi. Anna vastaus asteen tarkkuudella. 2,4 = 0,85 = 3π 4 = Esimerkki 2 Muunna asteet radiaaneiksi. Anna vastaus sekä tarkkana arvona että likiarvona kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. 45 = 300 = 117 = 15

16 1.2 Sini, kosini ja tangentti Kulman muuntaminen Asteiden muuntaminen radiaaneiksi: 1 = π 180 Muunna asteet radiaaneiksi. Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella = 2. 0,6 = 3. 35,5 = = Muuta asteet radiaaneiksi. Anna vastaus tarkkana arvona = = = = 16

17 1.2 Sini, kosini ja tangentti Radiaanien muuntaminen asteiksi: 1 = 180 π Muuta radiaanit asteiksi. Anna vastaus asteen tarkkuudella = = ,7 = 12. 7,3 = Muuta radiaanit asteiksi. Anna vastaus tarkkana arvona. 13. π = 14. 4π = 3 5π 15. = π = Vastaukset: 1. 0, , , ,085; 60 π 8. 3π π 7. 10π

18 1.2 Sini, kosini ja tangentti Sini, kosini ja tangentti Pohdinta 1 Kuvaan on piirretty 53 kulma. Laske laskimella yhden desimaalin tarkkuudella a) sin53 b) cos53 c) tan53. Määritä kuvasta pisteen P koordinaatit sekä y-akselin arvo b yhden desimaalin tarkkuudella. Vertaa näitä edellä laskettuihin tuloksiin. Mitä havaitset? 18

19 1.2 Sini, kosini ja tangentti Sini sinα = 19

20 1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki Piirrä yksikköympyrään seuraavat kulmat ja päättele kuvan perusteella kulmien sinin arvo yhden desimaalin tarkkuudella. Kulma Sini 20

21 1.2 Sini, kosini ja tangentti Sinin arvo eri neljänneksissä Koordinaattiakselit jakavat yksikköympyrän neljään osaan. Näitä kutsutaan neljänneksiksi. Sinin arvo = kehäpisteen y-koordinaatti Sinin arvo vaihtelee välillä [ 1, 1]. 21

22 1.2 Sini, kosini ja tangentti Kulman sinin arvon laskeminen Tarkista, että laskimesi asetukset ovat asteina eli laskimesi on DEG-tilassa. Lasku sin 40 Näppäilyohje funktiolaskin graafinen laskin 4 0 sin sin 4 0 Vastaus 0,642 sin sin sin 6 0 0,866 sin( 40 ) sin 4 0 +/ sin (-) 4 0 0,642 Muuta asetukset radiaaneiksi eli RAD-tilaan. Lasku sin 40 Näppäilyohje funktiolaskin graafinen laskin 4 0 sin sin 4 0 Vastaus 0,745 sin π π sin sin π 0 sin ( 5) sin 5 +/ sin 5 (-) 0,958 3π sin 4 3 π 4 = sin sin 3 π a b 4 c 0,707 22

23 1.2 Sini, kosini ja tangentti Yksikköympyrä ja sinin arvo Laske laskimella, mitä on sin 30. sin 30 = Piirrä tämän tiedon perusteella yksikköympyrään 30 kulma. Piirrä yksikköympyrään 150 kulma, kun = 150. Määritä yksikköympyrän avulla sin 150. Piirrä yksikköympyrään 210 kulma, kun = 210. Määritä yksikköympyrän avulla sin 210. Piirrä yksikköympyrään 330 kulma, kun = 330. Määritä yksikköympyrän avulla sin

24 1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki Määritä yksikköympyrän avulla a) sin 66 b) sin ( 66 ) c) sin 294 d) sin 246. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. Taulukkokirjasta löytyy joidenkin kulmien trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja. Täydennä taulukko. Kulma π Sinin tarkka arvo π/ π 24

25 1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki (oppikirja s. 16) a) Muutetaan ensin kulma asteiksi: b) Muutetaan ensin kulma asteiksi: c) Muutetaan ensin kulma asteiksi: 25

26 1.2 Sini, kosini ja tangentti Kosini cos α = 26

27 1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki Piirrä yksikköympyrään seuraavat kulmat ja päättele kuvan perusteella kulmien kosinin arvo yhden desimaalin tarkkuudella. Kulma Kosini 27

28 1.2 Sini, kosini ja tangentti Kosinin arvo eri neljänneksissä Kosinin arvo = kehäpisteen x-koordinaatti Neljännes Kulma Kosinin arvo I 25 cos25 0,91 II 100 cos100 0,17 III 190 cos190 0,98 IV 280 cos280 0,17 Kosinin arvo vaihtelee välillä [ 1, 1]. 28

29 1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki (oppikirja s. 20) 29

30 1.2 Sini, kosini ja tangentti Yksikköympyrä ja kosinin arvo Laske laskimella cos 60. cos 60 = Piirrä tämän tiedon perusteella yksikköympyrään 60 kulma. Peilataan 60 kulma x-akselin suhteen. Muodostunut kulma on 60, koska kiertosuunta on myötäpäivään. Piirrä yksikköympyrään kulma 60. Huom! Kulma 60 tarkoittaa kulmaa = 300, kun kiertosuunta on vastapäivään. Määritä yksikköympyrän avulla cos ( 60 ). Mitä siis on cos 300? Piirrä yksikköympyrään 120 kulma, kun = 120. Määritä yksikköympyrän avulla cos 120. Piirrä yksikköympyrään 240 kulma, kun = 240. Määritä yksikköympyrän avulla cos

31 1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki Määritä yksikköympyrän avulla a) cos 35 b) cos ( 35 ) c) cos 145 d) cos 325. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. Taulukkokirjasta löytyy joidenkin kulmien trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja. Täydennä taulukko. Kulma Kosinin tarkka arvo π π/ π 31

32 1.2 Sini, kosini ja tangentti Tangentti Suorakulmainen kolmio Tangentti on vastaisen kateetin suhde viereiseen. 32

33 1.2 Sini, kosini ja tangentti Tangentti Tangentin arvo eri neljänneksissä 33

34 1.2 Sini, kosini ja tangentti Tangenttisuora ja tangenttipiste Esimerkki Piirrä yksikköympyrään 30 asteen kulma. Määritä tangenttisuoran avulla kahden desimaalin tarkkuudella tan30 tan

35 1.2 Sini, kosini ja tangentti Yksikköympyrä ja tangentin arvo Laske laskimella, mitä on tan 30. tan 30 = Piirrä tämän tiedon perusteella yksikköympyrään 30 kulma = 210 Piirrä tämän perusteella yksikköympyrään 210 kulma. Määritä tangenttisuoran avulla tan 210. Esimerkki 1: Määritä tangenttisuoran avulla a) tan 0 = b) tan 90 = c) tan 270 = d) tan 360 = 35

36 1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki 2: Määritä kuvan avulla a) tan 35 b) tan ( 35 ) c) tan 215 d) tan 395. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. Taulukkokirjasta löytyy joidenkin kulmien trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja. Täydennä taulukko. Kulma π Tangentin tarkka arvo π/ π 36

37 1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki (oppikirja s. 54) 37

38 1.2 Sini, kosini ja tangentti Sinin, kosinin ja tangentin arvon laskeminen Määritä laskimen avulla. 1. a) sin 25 b) sin 2, 7 c) sin 190 d) sin 4, 3 2. a) cos 25 b) cos 25 c) cos( 159 ) d) cos 5, 6 3. a) tan 36 b) tan 36 c) tan 215 d) tan( 4,5) Vastaukset: 1. a) 0,4226 b) 0,427 c) 0,173 d) 0, a) 0,906 b) 0,991 c) 0,933 d) 0, a) 0,726 b) 7,75 c) 0,700 d) 4,637 38

39 1.2 Sini, kosini ja tangentti Sini, kosini ja tangentti yksikköympyrässä 39

40 1.2 Sini, kosini ja tangentti Testi: Sini, kosini ja tangentti 1. Määritä yksikköympyrän avulla graafisesti (yhden desimaalin tarkkuudella) a) sin 70 b) cos 70 c) sin 210 d) cos Määritä graafisesti (yhden desimaalin tarkkuudella) a) tan 60 b) tan Määritä taulukkokirjan avulla tarkat arvot lausekkeille a) tan π 3 b) sin 7π 10 c) cos 11π. 6 40

41 2.1 Siniyhtälöt Siniyhtälö Pohdinta 1 Välillä [0, 360 ] on kaksi sellaista kulmaa, joiden sini on 0,6. Piirrä kulmat ja mittaa ne astemitalla. Mikä yhteys näiden kulmien välillä näyttäisi olevan? Pohdinta 2 Välillä [0, 360 ] on kaksi sellaista kulmaa, joiden sini on 0,8. Piirrä kulmat ja mittaa ne astemitalla. Mikä yhteys näiden kulmien välillä näyttäisi olevan? 41

42 2.1 Siniyhtälöt Kulman ratkaiseminen graafisesti 1) Piirrä ensimmäiseen neljännekseen sellainen kulma, jonka sinin arvo on 0,7. Mittaa kulman suuruus asteina. 2) Myös toisesta neljänneksestä löytyy kulma, jonka sini on 0,7. Piirrä kulma ja mittaa kulman suuruus asteina. 3) Mieti, millä muilla kulmilla voi sinin arvo olla 0,7. Anna esimerkkejä tällaisista kulmista. 4) Miten kaikki kulmat, joiden sini on 0,7, voitaisiin esittää mahdollisimman yksinkertaisella tavalla? 42

43 2.1 Siniyhtälöt Siniyhtälön ratkaiseminen Tarkastellaan sellaista alle 90 kulmaa α, jonka sinin arvo on y eli 0 sin α 0 = y. Sama sinin arvo y on myös kulmilla α + 360, α jne. 0 0 sekä kulmilla 180 α 0, 180 α , 180 α jne. Siniyhtälön sin α = y ratkaisu: α = α0 + n 360 tai α = 180 α n = 0, ±1, ±2, ±3, n, 43

44 2.1 Siniyhtälöt Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö sin x = 0,15 asteen tarkkuudella. Ratkaisu: Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö sin x = 0,15 radiaaneina kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu: Esimerkki 3 Ratkaise yhtälön sin 2x = 0,761 juurista ne, jotka ovat välillä [0, π]. Ratkaisu: 44

45 2.1 Siniyhtälöt Kulman laskeminen yksikköympyrän avulla Lue kuvasta tarvittavat tiedot ja määritä laskimella kulman suuruus. Kulman suuruus asteen tarkkuudella Kulman suuruus radiaaneina kahden desimaalin tarkkuudella 45

46 2.1 Siniyhtälöt Siniyhtälö sovellustehtävissä Esimerkki 5 (oppikirja s. 39) Teräsputki pyörii alas ramppia kuvan mukaisesti. Kappaleen kiihtyvyys a riippuu rampin kallistuskulmasta β yhtälön 1 a = g sin β 2 m mukaisesti, jossa g = 9,81. 2 s Määritä kulma β, kun putken kiihtyvyys rampilla on 2,45 2 s Ratkaisu: m. 46

47 2.1 Siniyhtälöt Testi: Siniyhtälö 1. Ratkaise yhtälö asteen tarkkuudella. sin x = 0,32 2. Ratkaise yhtälö radiaaneina kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. 2 sin β 0,40 = 0 3. Ratkaise yhtälö ilman likiarvoja taulukkokirjan avulla. sin 2x =

48 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kosini- ja tangenttiyhtälöt Pohdinta 1 Väliltä [0, 90 ] löytyy yksi kulma, jonka kosini on 0,5. Piirrä tämä kulma ja mittaa kulma astemitalla. Etsi ainakin yksi kulma, jonka kosinilla on sama arvo kuin edellä. Piirrä kulma ja mittaa se. Pohdinta 2 Etsi väliltä [0, 360 ] kaksi kulmaa, joiden tangentin arvo on 0,6. Piirrä kulmat ja mittaa ne. Millainen riippuvuus kulmien välillä näyttäisi olevan? 48

49 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kulman ratkaiseminen graafisesti 1) Piirrä ensimmäiseen neljännekseen sellainen kulma, jonka kosinin arvo on 0,7. Mittaa kulman suuruus asteina. 2) Myös neljännestä neljänneksestä löytyy kulma, jonka kosini on 0,7. Piirrä kulma ja mittaa kulman suuruus asteina. 3) Mieti, millä muilla kulmilla kosinin arvo voi olla 0,7. Anna esimerkkejä tällaisista kulmista. 4) Miten kaikki kulmat, joiden kosini on 0,7, voitaisiin esittää mahdollisimman yksinkertaisella tavalla? 49

50 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kosiniyhtälö 1. Kosinin arvo toistuu aina 360 asteen välein. 2. x-akselin suhteen peilatulla kulmalla on sama kosinin arvo. Myös tämä toistuu 360 asteen välein. 50

51 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kosiniyhtälön ratkaiseminen Esimerkki Ratkaise yhtälö cos α = 0,25 asteina ja radiaaneina. Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. asteina radiaaneina Esimerkki Ratkaise yhtälö 2cos α + 1 = 0 taulukkokirjan avulla. Anna vastaus radiaaneina ja tarkkana arvona. 51

52 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kulman ratkaiseminen graafisesti 1) Piirrä ensimmäiseen neljännekseen sellainen kulma, jonka tangentin arvo on 0,7. Mittaa kulman suuruus asteina. 2) Myös kolmannesta neljänneksestä löytyy kulma, jonka tangentti on 0,7. Piirrä kulma ja mittaa kulman suuruus asteina. 3) Mieti, millä muilla kulmilla tangentin arvo voi olla 0,7. Anna esimerkkejä tällaisista kulmista. 4) Miten kaikki kulmat, joiden tangentti on 0,7, voitaisiin esittää mahdollisimman yksinkertaisella tavalla? 52

53 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Tangenttiyhtälön ratkaiseminen Tangentin arvo saadaan tangenttisuoran avulla. Sana tangentin arvo toistuu 180 asteen välein. Esimerkki Ratkaise yhtälö tan α = 1,2 asteina kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Esimerkki Ratkaise taulukkokirjan avulla radiaaneina yhtälö 3 tan x 1 = 0. 53

54 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Sini, kosini ja tangentti taulukkokirjan avulla 1. Ratkaise taulukkokirjan avulla a) sin 45 b) cos 30 4 c) tan 210 d) sin π 3 5π e) cos 6 f) tan 5π Ratkaise taulukkokirjan avulla ne ratkaisut, jotka kuuluvat välille [, 2π] 1 a) sin x = b) cosα = c) tanϕ = 3 d) cos β = 0 2 Vastaukset: 1. a) 1 2 b) 3 2 c) 1 3 d) 3 e) 2 3 f) a) x = π tai x = 5π b) α = 3π c) ϕ = π 3 tai ϕ = 4π 3 d) β = π 6 tai α = 5π 4 tai ϕ = 11π 6 54

55 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Yhteenveto trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta SINIYHTÄLÖ sinα = y α = α + n 360 tai α= 180 α + n 360, n = 0, ± 1, ± 2, Esimerkki: Ratkaise sinα = 0,5 α = 30 + n 360 tai α = n 360, n= 0, ± 1, ± 2, KOSINIYHTÄLÖ cosα = x α = α + n 360 tai α= α + n 360, n = 0, ± 1, ± 2, Esimerkki: Ratkaise cosα = 0,5 α = 60 + n 360 tai α = { 60 + n 360, n = 0, ± 1, ± 2, TANGENTTIHTÄLÖ tanα = α = α0 + n 180, n = 0, ± 1, ± 2,... k Esimerkki: Ratkaise tanα = 0,5. α = 26, n 180, n = 0, ± 1, ± 2,... 55

56 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Sini-, kosini- ja tangenttiyhtälöitä 1. Ratkaise yhtälö. Ilmoita vastaus asteina. 1 a) sin x = b) 2 sin 3x = 1 2 c) α = 1 cos 2 d) cos( 2x ) = 0, 6 e) tan β = f) tan( x ) = 0, 5 2. Ratkaise yhtälö. Ilmoita vastaus radiaaneina. a) 4sin x = 2 b) sin 2x 3 = 2, c) cosx = d) cos( x ) + 2 = e) tan x = 7 f) 2tan2α 3= 5 Vastaukset: 1. a) x = n 360 tai x = n 360, n Z b) x = 10 + n 120 tai x = 50 + n 120, n Z c) α =± 45 + n 120, n Z d) x = 18, n 180, n Z e) β = 67, 5 + n 180, n Z f) x = 26, n 180, n Z π 7π 2. a) x = + n 2π tai x = + n 2π, n Z 6 6 b) x = 0, n π tai x = 1, n π, n Z c) x = ± 2, n 2π, n Z d) x = n 2π, n Z e) x = 1, n π, n Z f) α = 0, n π, n Z 2 56

57 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Testi: Kosini- ja tangenttiyhtälöt 1. Ratkaise yhtälö asteen tarkkuudella. cos x = 0, Ratkaise yhtälö radiaaneina kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. 3tanβ 2,1= 0 3. Ratkaise yhtälö ilman likiarvoja taulukkokirjan avulla. tan 2x =

58 Keskeisiä käsitteitä Keskeisiä käsitteitä trigonometriasta 58

59 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Funktio f(x) = sin x Tutkitaan funktiota f(x) = sin x laskemalla ensin funktiolle muutamia arvoja. Piirretään arvojen avulla kuvaaja. Sinin arvot toistuvat määrätyn jakson välein, eli sini on jaksollinen funktio. - jaksona 2π Sinifunktio f(x) = sin x saa arvoja välillä [ 1, 1]. 59

60 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Funktio f(x) = cos x Tutkitaan funktiota f(x) = cos x laskemalla ensin funktiolle muutamia arvoja: x f ( x ) = cos x 0 π 4 π2 π 2 5π 6 5π 6 π 3π 2 11π 6 60

61 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Lisää arvoja voi etsiä vaikkapa taulukkokirjasta. Piirretään pisteiden avulla funktion kuvaaja. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0,8-1 -1,2 61

62 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Muita trigonometrisia funktioita f(x) = cos 2x f(x) = tan x f(x) = sin x ja g(x) = sin ( x) 62

63 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Nollakohtien määrittäminen graafisesti ja algebrallisesti Esimerkki 1 Määritä kuvaajan avulla funktion g nollakohdat välillä [ π, π]. Anna nollakohdat yhden desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu: Esimerkki 2 Määritä funktion f(x) = 2sin x 0,3 nollakohdat kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. 63

64 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Joitakin tehtäviä oppikirjasta Tehtävä 96 Kuvassa on esitetty funktioiden f ( x) 0,5sin kx ( ) = 3sinx kuvaajat. = x, g( x ) = sin x ja a) Yhdistä funktio oikeaan kuvaajaan. b) Funktio g saa kaikki arvot välillä [ 1, 1]. Määritä kahden muun funktion saamat arvot. Tehtävä 97 Kuvissa on esitetty funktioiden cos 0,5x, cos x ja cos 2x kuvaajat. Päättele kuvien avulla funktioiden cos 0,5x ja cos 2x jaksojen pituus. Päättele edelleen funktion cos 4x jakson pituus. 64

65 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Tehtävä 101 Kuvassa on esitetty funktion f ( x ) sin kx = kuvaajia, kun k = 0,5, k = 1 ja k = 2. a) Yhdistä k:n arvo ja oikea kuvaaja. b) Millainen vaikutus k:n arvolla on funktioon f? 65

66 3.2 Sovelluksia Sovelluksia Trigonometrisilla funktioilla mallinnetaan jaksollisia ilmiöitä. Harmoninen värähtely Kvanttimekaniikka, aaltofunktio Vuorovesi-ilmiö Aaltoliike 66

67 3.2 Sovelluksia Sovellustehtävän ratkaisu 1. Jos kysytään funktion arvoa, muista katsoa, missä yksikössä kulmat on ilmoitettu (asteet/radiaanit). 2. Suurimman/pienimmän arvon tutkimisessa käytä hyväksesi tietoa, että sinin ja kosinin arvot ovat välillä [ 1, 1]. Esimerkki Yksittäisen aallon korkeutta senttimetreinä eräässä koetilanteessa kuvasi funktio f(t) = 1,25cos (3,2t + π/4), jossa t on aika sekunteina kokeen alusta lukien. a) Laske aallon korkeus, kun aikaa kokeen alusta on kulunut 1,4 sekuntia. b) Laske aallon suurin korkeus. c) Milloin aikavälillä 0 t 6,0 s aalto on korkeimmillaan? Ratkaisu 67

68 4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ja suunnikkaan ala Pohdinta 1 a) Mittaa viivoittimella kanta a ja korkeus h. Laske niiden avulla kolmion ala kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. β b a h b) Mittaa sivujanan pituus b sekä kulma β. Sijoita mittaustulokset kaavaan 1 sin 2 ab β. Vertaa tätä tulosta kohdan a tulokseen. Pohdinta 2 Laske suunnikkaan ala sopivien mittausten avulla. Mittaa lisäksi sivujanan pituus b sekä kulma β. Sijoita tulokset kaavaan ab sin β. b h β a 68

69 4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ala h sin β = c h = c sin β Kolmion ala 1 A = ah 2 1 A = a c sin 2 1 = ac sin 2 Kolmion ala 1 A = ac 2 sin β 69

70 4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Suunnikkaan ala Suunnikas voidaan jakaa lävistäjällä kahdeksi yhteneväksi kolmioksi. Koska kolmion ala on puolet sen kahden sivun ja niiden välisen kulman sinin tulosta, 1 A = 2 A = 2 ab sin β = suunnikas kolmio 2 ab sin β Suunnikkaan ala A = ah = ab sin β 70

71 4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Alojen laskemista Esimerkki 1 Laske kuvioiden alat. a) b) 2,3 m 11 cm ,9 m 14 cm Ratkaisu: 71

72 4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Kulman ratkaiseminen Esimerkki Kolmion kaksi sivua ovat 1,9 dm ja 0,85 dm. Kolmion ala on 0,80 dm 2. Laske annettujen sivujen välinen kulma. Ratkaisu: 72

73 4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Oppikirjan esimerkki 2 (s. 79) Salmiakkiruutu on muodoltaan suora särmiö, jonka pohjana on neljäkäs. Neljäkkään sivun pituus on 1,5 cm, ja sivujen välinen terävä kulma on 35. Laske salmiakkiruudun tilavuus, kun ruudun paksuus on 2,3 mm. Ratkaisu: 73

74 4.2 Sinilause Sinilause 74

75 4.2 Sinilause Sinilauseen johtaminen 75

76 4.2 Sinilause Sinilause b h a α β SINILAUSE a γ b β α c 76

77 4.2 Sinilause Sinilauseen käyttäminen sivun ratkaisemiseen Esimerkki Ratkaise sivun x pituus m 63 x 38 x 46 12,8 cm 77

78 4.2 Sinilause Sinilauseen käyttäminen kulman ratkaisemiseen Esimerkki Kolmion kahden sivun pituudet ovat 3,5 cm ja 6,8 cm. Näistä pidemmän sivun vastaisen kulman suuruus on 36 astetta. Laske kolmion muut kulmat. 78

79 4.2 Sinilause Testi: Sinilause Nimi: 1. Laske sivun pituus x. 18,2 m x 2. Suoran särmiön pohjana on kolmio, jonka kahden sivun pituudet ovat 45 cm ja 53 cm. Jälkimmäisen sivun vastainen kulma on 72. Särmiön korkeus on 19 cm. Särmiö on tehty metalliseoksesta, jonka tiheys on 2,14 kg/dm 3. Kuinka paljon kappale painaa? 79

80 4.3 Kosinilause Kosinilauseen johtaminen 80

81 4.3 Kosinilause Kosinilause Kolmion kolmas sivu voidaan laskea, jos tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma. a b c α a 2 = b 2 + c 2 2bc cosα Kun kahden sivun välinen kulma on 90, kosinilause saa Pythagoraan lauseen muodon. Kosinilauseella voidaan ratkaista myös kolmion kulmia, jos kaikki sivut tunnetaan. 81

82 4.3 Kosinilause Kosinilauseen käyttäminen sivun ratkaisemiseen Esimerkki 1 Ratkaise sivun pituus c. Ratkaisu: 84 mm 117 c 68 mm 82

83 4.3 Kosinilause Esimerkki 2 Pekan kodilta johtaa suora tie kauppaan. Etäisyys kauppaan on 870 m. Kodilta johtaa toinen tie pankkiin, jonne etäisyyttä on 550 m. Teiden väliin muodostuu 85 kulma. Laske kaupan ja postin välinen etäisyys. Ratkaisu: kauppa posti koti 83

84 4.3 Kosinilause Kosinilauseen käyttäminen kulman ratkaisemiseen Esimerkki Ratkaise kulma β. 7,2 cm 6,6 cm Ratkaisu: β 4,3 cm 84

85 4.3 Kosinilause Testi: Kosinilause Nimi: 1. Laske sivun pituus x mm 135 mm x 2. Kolmion sivujen pituudet ovat 14 cm, 19 cm ja 28 cm. Laske kahden jälkimmäisen sivun välinen kulma asteen tarkkuudella. 85

86 4.3 Kosinilause Keskeisiä käsitteitä geometriasta 86

87 5.1 Peruskäsitteitä Peruskäsitteitä vektoreista Janan AB alkupiste on A ja loppupiste B. suuntajana, jolla pituus ja tietty suunta Suuntajanaa kutsutaan vektoriksi. Vektoria voidaan merkitä myös yhdellä kirjaimella. Esimerkiksi vektori a. Vastakkaissuuntaiset vektorit Samansuuntaiset vektorit Yhdensuuntaiset vektorit Vastavektorit Vektorit ovat yhtä pitkät, mutta vastakkaissuuntaiset. Vektorit ovat yhdensuuntaiset. 87

88 5.1 Peruskäsitteitä Esimerkki 1 Piirrä vektorin a kanssa samansuuntainen vektori b, vastakkaissuuntainen vektori c ja vastavektori a. a 88

89 5.1 Peruskäsitteitä Vektoreiden yhtäsuuruus Vektorit a ja b ovat identtiset eli samat, a = Pituudet ovat samat eli a = b. Suunta on sama eli a b. b, kun Esimerkki 1 Etsi kuvasta identtiset vektorit. b a d c e h k f g Esimerkki 2 Millä vakion k arvolla vektorit a = 4p 7t ja b = 4 p+ kt ovat identtiset? 89

90 5.1 Peruskäsitteitä Erilaisia vektoreita 90

91 5.1 Peruskäsitteitä Yksikkövektori Kun vektori jaetaan pituudellaan, saadaan yksikkövektori. Esimerkki Tarkastellaan vektoria AB. a) Piirrä vektori, kun A = (1, 3) ja B = (4, 1). b) Laske vektorin pituus (eli kahden pisteen välinen etäisyys). c) Piirrä koordinaatistoon yksikkövektori. d) Muodosta yksikkövektorin lauseke. 91

92 5.1 Peruskäsitteitä Vektorien välinen kulma Vektorin siirretään alkamaan samasta pisteestä. Vektorien välinen kulma on syntyneistä kulmista pienempi. Samansuuntaisten vektorien välinen kulma on 0º. Vastakkaissuuntaisten vektorien välinen kulma on 180º. 92

93 5.1 Peruskäsitteitä Esimerkki Määritä vektorien a) a ja b b) b ja c c) a ja c välinen kulma. a b c 93

94 5.2 Laskutoimitukset Laskutoimitukset Pohdinta 1 Pekka ja Jalmari työntävät pyöreää rullaa voimilla 180 N ja 120 N. Kuinka suurella voimalla yhteensä rullaa työnnetään? Piirrä annettujen voimavektoreiden avulla yhteisvoimaa kuvaava vektori. Miten voimien summavektori on muodostettu? 94

95 5.2 Laskutoimitukset Vektorien summa Vektorit lasketaan yhteen liittämällä ne peräkkäin. - Vektorien suunnat säilyvät. - Vektorien pituudet säilyvät. Edellisen vektorin loppupisteeseen yhdistetään seuraavan vektorin alkupiste. a b summavektori a+ b Summavektoria kutsutaan resultantiksi. Summa noudattaa vaihdantalakia. a a+ b b b+ a= a+ b b a Summa noudattaa liitäntälakia. a+ b+ c = a+ b + c = a+ b+ c 95

96 5.2 Laskutoimitukset Summavektoreita piirtämällä Muodosta piirtämällä summavektori a) a + b b) a + b+ c. b a a b c c) s + t + v d) x+ y+ z s t v x y z 96

97 5.2 Laskutoimitukset Vektorien erotus Vektorien a ja b erotus a b saadaan lisäämällä vektoriin a vektorin b vastavektori b. Vastavektori b on pituudeltaan yhtä suuri, mutta suunnaltaan vastakkainen kuin b. a b b a b= a+ b b a b a 97

98 5.2 Laskutoimitukset Vektorin kertominen luvulla Vektorit a ja b ovat samansuuntaiset, mutta b on kolme kertaa vektorin a pituinen. a b b=3a Kun vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla, sen pituus muuttuu mutta suunta ei muutu. Jos vektori kerrotaan negatiivisella reaaliluvulla, pituus muuttuu ja suunta muuttuu vastakkaissuuntaiseksi. a c c = 3a Huomaa, että luvulla 1 kertominen ei muuta vektorin pituutta! 98

99 5.2 Laskutoimitukset Vektoreiden erotus piirtämällä Muodosta piirtämällä vektoreiden erotus. a) a b b) a b c b a a b c c) s 2t v d) x y 2z s t v x y z 99

100 5.2 Laskutoimitukset Vektorien yhdensuuntaisuus Samansuuntaiset ja vastakkaissuuntaiset vektorit ovat yhdensuuntaisia keskenään. ta a, jos t > 0 t a a, jos t < 0 t a = 0, jos t = 0 Kaksi vektoria a ja b ovat yhdensuuntaisia, jos on olemassa reaaliluku t ( t 0) siten, että a saadaan kertomalla vektori b luvulla t eli a b, jos a = tb t 0 100

101 5.2 Laskutoimitukset Esimerkkejä laskutoimituksista Piirrä vektorien s, t ja v avulla v a) 2 s t b) 0,5t 2v c) 3 s+ ( 2 t) v. s t 101

102 5.2 Laskutoimitukset Testi: Laskutoimitukset Nimi: 1. Piirrä vektorien s, t ja v avulla a) t + v b) s v c) 0,5s + 0, 5v d) 2 t + 2s. s t v 102

103 5.2 Laskutoimitukset Yhteenveto vektorien laskutoimituksista 103

104 5.3 Komponentteihin jako Komponentteihin jako Pohdinta 1 Lausu vektorit u ja v vektorien a ja b avulla. 104

105 5.3 Komponentteihin jako Vektorin jakaminen komponentteihin Tason vektorit voidaan lausua kahden erisuuntaisen vektorin avulla. a = 2c + 3d Komponentit Esimerkki Jaa vektori b vektorien x ja y suuntaisiin komponentteihin. a) b) x b y x y b 105

106 5.3 Komponentteihin jako Komponentit Jaa vektorit c, d, e ja f vektorien a ja b suuntaisiin komponentteihin. b a a b c d a b a f b e 106

107 5.3 Komponentteihin jako Vektorien yhtäsuuruus Kaksi vektoria ovat yhtä suuret, kun niiden komponentit ovat samat. Esimerkki Millä vakion t arvolla vektorit suuria? a 2x 6y = ja b = t( 2y x) 4 ovat yhtä 107

108 5.3 Komponentteihin jako Esimerkkejä komponentteihin jaosta Esimerkki 1 Millä vakioiden s ja t arvoilla vektorit 14a 20b ja s a + 2b 2t 2a 4b ovat yhtä suuret? ( ) ( ) 108

109 5.3 Komponentteihin jako Esimerkki 2 Jaa vektori a = 6 x + 10y vektorien 2x + y ja x 3 y suuntaisiin komponentteihin. 109

110 5.3 Komponentteihin jako Vektorien yhdensuuntaisuus Vektorit ovat yhdensuuntaisia, kun ne saadaan toisistaan kertomalla nollasta eroavalla luvulla. Esimerkki 1 Ovatko vektorit c = 8a+ 4b ja d = 2a+ b yhdensuuntaisia? Esimerkki 2 Ovatko vektorit c = 2a 10b ja d = 16a 60b yhdensuuntaisia? 110

111 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorit xy-koordinaatistossa Pohdinta 1 Koordinaatistoon on piirretty vektori pisteestä O = (0, 0) pisteeseen A. Ilmoita vektori OA annettujen vektoreiden a ja c avulla. a) b) Pohdinta 2 Päättele edellisen pohdintatehtävän perusteella, miten ilmoittaisit vektorin OA vektoreiden a ja c avulla, kun piste O sijaitsee origossa ja pisteen A koordinaatit ovat a) (5, 7) b) ( 4, 2) c) (x, y). 111

112 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa xy-tason kantavektorit Sovitaan, että x-akselin suuntainen yksikkövektori on i. i = 1 Olkoon lisäksi y-akselin suuntainen yksikkövektori nimeltään j. j = 1 Koska koordinaattiakselit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, i j Kaikki muut xy-tason vektorit voidaan ilmoittaa kantavektorien i ja j y avulla. s t = = s v v = x t 112

113 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Pisteen paikkavektori Tarkastellaan vektoria a, jonka alkupisteenä on origo O = (0, 0) ja loppupisteenä A = (4, 2). y Vektori a voidaan esittää tason kantavektorien i ja j avulla: a = 4 i + 2 j a 4 i 2 j x Vektori a = 4 i + 2 j on pisteen (4, 2) paikkavektori. Vastaavalla tavalla mielivaltaisen tason pisteen (x, y) paikkavektori voidaan esittää muodossa x i + y j. 113

114 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorin pituus Tarkastellaan vektoria a = 3 i + 4 j. Vektorin a pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla: 3 i = 3 4 j = 4 a 2 = a 2 = 25 a = 25 = 5 Esimerkki Laske vektorin v = 2 i + 5 j pituus. Ratkaisu: 5 j v = 2 i + 5 j 2i 114

115 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Kahden pisteen välisen vektorin määrittäminen Esimerkki Määritä vektori, jonka alkupisteenä on A = (1, 5) ja loppupisteenä B = (6, 2). y Ratkaisu: A = (1, 5) Käytetään apuna pisteiden A ja B Paikkavektoreita: OA = B = (6, 2) OB = O = (0, 0) x Lausutaan vektori AB paikkavektorien avulla: AB = 115

116 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Kahden pisteen välinen vektori Esimerkki Määritä vektori, jonka alkupisteenä on A = ( 6, 3) ja loppupisteenä B = (7, 4). Ratkaisu: 116

117 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Kirjan esimerkki 4 (s. 135) Janan AB päätepisteet ovat A = ( 1, 5) ja B = (3, 2). Piste C jakaa janan suhteessa 2:3. Määritä pisteen C koordinaatit. Ratkaisu: Määritetään vektori AB: AB = Muodostetaan vektori OC. Tähän tarvitaan joko vektoria AC tai BC : AC = Pisteen C paikkavektori OC voidaan nyt lausua vektorien OA ja AC avulla: OC = 117

118 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Testi: Vektorit xy-koordinaatistossa Nimi: 1. Vektorin PQ alkupisteenä on P = ( 5, 10) ja loppupisteenä Q = (8, 12). a) Määritä vektori PQ. b) Laske PQ. c) Piste X jakaa janan PQ suhteessa 1:1. Määritä pisteen X koordinaatit. 118

119 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Vektorit xyz-koordinaatistossa Pohdinta 1 Erään yrityksen arkisto koostuu 4 hyllyköstä, joissa jokaisessa on 7 hyllyä. Jokaisessa hyllyssä on 5 laatikkoa vierekkäin. Arkistoa voidaan kuvata koordinaatistomallilla, jossa lattiaa kuvaa xy-taso. Jos hyllyköitä kuvaa koordinaatti x, laatikoita koordinaatti y ja hyllyjä koordinaatti z, niin missä sijaitsee asiakirja, joka on hyllykössä kolme, viidennessä laatikossa ja hyllyllä seitsemän? 119

120 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Paikkavektori avaruuskoordinaatistossa Kolmiulotteisen koordinaatiston kantavektorit ovat i, j ja k. Pisteen A paikkavektori avaruuskoordinaatistossa on vektori OA. 120

121 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Esimerkkejä paikkavektorin käytöstä Esimerkki 1 Koordinaatistoon on merkitty neljä pistettä A, B, C ja D. Pisteen A koordinaatit ovat ( 1, 3, 5) ja pisteen B koordinaatit (3, 2, 7). a) Muodosta paikkavektorit OA ja OB. b) Määritä paikkavektorin avulla pisteiden C ja D koordinaatit, kun AC = 4i 2j + k ja BD = 3i + 5j 2k. 121

122 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Esimerkki 2 Piste P jakaa janan AC suhteessa 3:2. Määritä pisteen P koordinaatit, kun A = ( 2, 1, 3) ja C = ( 7, 1, 13). 122

123 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Vektorin pituus Suorakulmaisen särmiön sivuvektorit: 2 i, 3 j, 4 k. Särmiön avaruuslävistäjä: a = 2 i + 3 j + 4k Avaruuslävistäjän pituus: a = = 29 Esimerkki Laske vektorin b= 3i 5j k pituus. 123

124 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Kahden pisteen välinen vektori 124

125 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Esimerkki 1 Määritä vektori AB ja laske sen pituus, kun a) A(4, 5, 2) ja B(2, 4, 3) b) A( 6, 3, 1) ja B(1, 3, 7). Esimerkki 2 Piste P jakaa janan AB suhteessa 1:3. Määritä pisteen P koordinaatit, kun A = (4, 1, 6) ja B = (12, 5, 6). 125

126 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Testi: Vektorit xyz-koordinaatistossa Nimi 1. Määritä vektori AB ja laske sen pituus, kun A = (4, 6, 7) ja B = ( 1, 6, 2). 2. Pisteen A koordinaatit ovat (4, 0, 6). Määritä pisteen C koordinaatit, kun AC = 3 i 9 j + 2k. 126

127 5.6 Pistetulo xy-tason vektorien pistetulo Määritellään kahden tason vektorin a = x i + y j ja 1 2 = x i y j pistetulo eli skalaaritulo seuraavasti: b Esimerkki 1 Laske vektorien v = 2 i + 5 j ja s = 7i 3 j pistetulo. Ratkaisu: 127

128 5.6 Pistetulo Esimerkki 2 Määritä vakio t siten, että vektorien x = i + ( 2 + t ) j pistetulo on 3. 3 ja y = 2ti 4 j Ratkaisu: 128

129 5.6 Pistetulo Vektorien kohtisuoruus Vektoreiden 4 i + 2 j ja i + 2 j välinen kulma on 90, eli vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. y 4 i + 2 j i + 2 j x Lasketaan näiden vektorien pistetulo: ( 4 i + 2 j ) ( i + 2 j ) = Jos kaksi vektoria ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden pistetulo on nolla. a = 4 i + 2 j 129

130 5.6 Pistetulo Kohtisuoruusehdon käyttäminen Esimerkki Määritä vakio k siten, että vektorit a = ki + j ja b = ( k 2) i 3 j ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ratkaisu: Määritetään pistetulo vektoreille a = ki + j ja b = ( k 2) i 3 j : a b = Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. Näin saadaan toisen asteen yhtälö, josta ratkaistaan k: 130

131 5.6 Pistetulo Pistetulon määritelmä Tarkastellaan kahta vektoria a ja b. Pistetulo voidaan määritellä näiden vektorien pituuksien sekä niiden välisen kulman kosinin avulla seuraavasti: Esimerkki 1 Määritä vektorien s ja t pituudet, kun vektorin s pituus on 3 yksikköä pienempi kuin vektorin t. Lisäksi tiedetään, että vektorien välinen kulma on 60 ja vektorien pistetulo on

132 5.6 Pistetulo Esimerkki 2 Määritä vektorien tarkkuudella. s = i + 4 j ja t = 2i 3 j välinen kulma asteen Ratkaisu: 132

133 5.6 Pistetulo Testi: Pistetulo Nimi: 2. Laske vektorien x = 12i + 7 j ja y = 9i 5j pistetulo. 3. Määritä vektorien a = i 2 j ja b = 2i 3 j välinen kulma asteen tarkkuudella. 133

134 Keskeisiä käsitteitä vektoreista Keskeisiä käsitteitä vektoreista 134

135 Kertaus Kertaus Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Suunnattu kulma syntyy, kun kahdesta päällekkäin asetetusta puolisuorasta toinen jää paikalleen ja toista kierretään vastapäivään (positiivinen kulma) tai myötäpäivään (negatiivinen kulma) Kulman suuruus ilmoitetaan yleensä asteina tai radiaaneina. Radiaanin määritelmä: b α = r Kulmanyksiköiden muuntaminen: 1 o π = ( rad) ( ) o rad = 180 π Sini, kosini ja tangentti Trigonometrisista funktioista sini ja kosini määritellään yksikköympyrän avulla seuraavasti: sini on kulmaa α vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti ja kosini x-koordinaatti. r α b 135

136 Kertaus Tangentti voidaan määritellä pisteeseen (1, 0) piirretyn tangenttisuoran avulla: Kulman α vasemman kyljen ja tangenttisuoran leikkauspistettä sanotaan tangenttipisteeksi. Tämän pisteen y-koordinaatti on tanα. Trigonometrisia funktioita sitoo toisiinsa yhtälö α tan α = sin cosα Trigonometristen funktioiden merkki yksikköympyrän eri neljänneksissä: 136

137 Kertaus Siniyhtälö Yhtälön sin α = y ratkaisut ovat α = α + n 360 tai 0 o o α = 180 α0 + n 360, o jossa n = 0, ± 1, ± 2,... Kosini- ja tangenttiyhtälöt Yhtälön cos α = x ratkaisut ovat α = α 0 + n 360 tai o o α = α 0 + n 360, n = 0, ± 1, ± 2,.. Yhtälön tan α = k ratkaisut ovat α o = α0 + n 180, n = 0, ± 1, ± 2,... Kulman tangenttipiste on A. 137

138 Kertaus Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita. Molempien jakso on 2π, eli niiden arvot toistuvat 2π:n välein. Myös tangentti on jaksollinen funktio, mutta sen jaksona on π. 138

139 Kertaus Sovelluksia Trigonometrisilla funktioilla voidaan mallintaa jaksollisia ilmiöitä, joita ovat esimerkiksi - harmoninen värähtely - vuoroveden vaihtelu - aaltoliike. Aaltoliikkeen muotoja ovat esimerkiksi näkyvä valo radioaallot röntgensäteily ääni gravitaatioaallot. Malleissa hyödynnetään kahta sinin ja kosinin ominaisuutta: 1. Sini ja kosini on määritelty kaikilla reaalilukujen arvoilla. 2. Sinin ja kosinin arvot vaihtelevat välillä [ 1, 1]. Esimerkiksi funktio f ( x ) 5sin x [ 5, 5]. = saa siis kaikki arvot väliltä 139

140 Kertaus Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ala voidaan laskea, jos tunnetaan kaksi kolmion sivua sekä niiden välinen kulma: A = 1 ac 2 sin β c β Suunnikkaan ala kahden sivun ja niiden välisen kulman avulla laskettuna on a A = ah = ab sin β b h β a Sinilause Sinilauseen mukaan kolmiolle on voimassa yhtälö a = sin α b sin β α b β a Sinilauseen avulla voidaan ratkaista kolmion sivuja ja kulmia, kun tunnetaan - kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma - kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu. 140

141 Kertaus Kosinilause Kosinilauseen mukaan kolmiolle on voimassa yhtälö a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α a c b α Lauseen avulla voidaan ratkaista kolmion kolmas sivu, kun kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnetaan. Myös kulmien ratkaiseminen on mahdollista, jos kolmiosta tunnetaan kaikki sivut. Peruskäsitteitä Yhdensuuntaisia vektoreita ovat: - samansuuntaiset vektorit, a b - vastakkaissuuntaiset vektorit, a b - vastavektorit, a ja a - identtiset eli yhtä suuret vektorit: a = b, kun a b ja vektoreiden pituudet ovat samat. Yhdensuuntaisuutta merkitään a b. Yksikkövektori saadaan, kun vektori jaetaan pituudellaan. Yksikkövektorin pituus on yksi yksikkö. a a = a, jossa a on vektorin a pituus 141

142 Kertaus Nollavektorin suuntaa ei ole määrätty, mutta sen pituus on nolla. Erisuuntaiset vektorit eivät ole yhdensuuntaisia. Tätä merkitään a b. Vektoreiden a ja b välinen kulma α saadaan, kun vektorit asetetaan alkamaan samasta pisteestä, 0 α 180. a b b a ( a, b) Laskutoimitukset Vektorit liitetään peräkkäin suuntansa ja pituutensa säilyttäen. Vektorien summa eli resultantti R saadaan, kun ensimmäisen vektorin alkupiste yhdistetään viimeisen loppupisteeseen. Vektoreiden a ja b erotus a b saadaan lisäämällä vektoriin a vektorin b vastavektori ( b) = a b a +. b eli 142

143 Kertaus Vektoria a voidaan kertoa reaaliluvulla t, jolloin vektorin pituus muuttuu ja suunta voi muuttua vastakkaiseksi tai pysyä samana. ta ta ta a, a, = 0, t jost jost = 0 > 0 < 0 Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaisia eli a b, jos a = tb, jossa t 0 Komponentteihin jako Tason vektorit voidaan jakaa kahteen erisuuntaiseen komponenttiin. Avaruusvektorien komponenttiesitykseen tarvitaan kolme erisuuntaista vektoria. Komponenttien summana saadaan tarkasteltava vektori. Vektorit ovat yhtä suuret eli identtiset, kun niiden komponentit ovat samat 143

144 Kertaus Vektorit xy-koordinaatistossa xy-tason kantavektorit ovat i ja j. Pisteen A = (x, y) paikkavektori on origosta pisteeseen A piirretty vektori OA. Vektorin a = r i + t j pituus on a = r t. Pisteiden ( ) x 1, y 1 A = ja ( ) ( x x ) i + ( y y ) j AB = B = x 2, y 2 välinen vektori on 144

145 Kertaus Vektorit xyz-koordinaatistossa Avaruuden xyz kantavektorit ovat i, j ja k. Jokainen avaruuden xyz vektori voidaan esittää kantavektoreiden avulla komponenttiensa summana. Pisteen A = (x, y, z) paikkavektori on origosta pisteeseen A piirretty vektori OA. Vektorin a = r i + t j + uk pituus on a = r + t u. Pisteiden A = ( x, y z ) ja ( x, y z ) 1 1, 1 B = välinen vektori on 2 2, 2 145

146 Kertaus Vektoreiden pistetulo Pistetulo eli skalaaritulo voidaan laskea kahdella eri tavalla: 1) Jos tiedetään vektoreiden välinen kulma α sekä vektoreiden pituudet, niin a b = a b cosα. 2) Jos vektoreiden välistä kulmaa ei tiedetä, niin tasossa a b = x 1x 2 + y 1 y 2 ja avaruudessa a b = x 1x 2 + y1 y 2 + z 1z 2. Pistetulon arvo on aina reaaliluku. Jos pistetulo on nolla, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. a b = 0, niin a b eli α = 90 Vektoreiden välinen kulma saadaan pistetulon avulla cosα = a b ab 146

147 Kertaus Monivalintakysymyksiä kurssista Valitse yksi neljästä vaihtoehdosta ,34 radiaania on asteina likimain a) 134 b) 77 c) 1,34 d) 0, Lausekkeen a) 1,11 b) 0,02 c) 0,89 d) 0,78. 2π sin 7 likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella on Kulma, jonka suuruus on 4π 3, sijaitsee a) 1. neljänneksessä b) 2. neljänneksessä c) 3. neljänneksessä d) 4. neljänneksessä Yhtälön sin x = 0,52 ratkaisu kahden merkitsevän numeron tarkkuudella on o o a) x ± 31 + n 360 b) o x 31 + n 360 tai o c) x 31 + n 180 tai d) x 31 + n 180. o o o x n 360 o x n 180 o o Yhtälön tan x = 120 ratkaisu kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella on a) x 1, 56 + n π b) x ± 1, 56 + n 2π c) x ± 1, 56 + n π d) x 1, 56 + n 2π Kolmion sivujen pituudet ovat 14 cm ja 19 cm, ja niiden välinen kulma on 49. Kolmion ala on siis likimain a) 200 b) 175 c) 125 d)

148 Kertaus Mikä seuraavista väitteistä ei pidä paikkaansa? a) Vektorit ovat yhtä suuret, jos niillä on sama pituus. b) Vastakkaissuuntaiset vektorit ovat yhdensuuntaisia. c) Samansuuntaiset vektorit ovat yhdensuuntaisia. d) Jos kaksi vektoria on toistensa vastavektoreita, niillä on sama pituus Jos A = ( 2, 3) ja B = (8, 10), a) AB = 6 i + 7 j b) AB = 10 i + 7 j c) AB = 6i 7 j d) AB = 10i 7 j Mikä seuraavista väitteistä pitää paikkansa? a) a = b b) a c c) a = b d) a c Vektorin c = 6 i j pituus on a) 7 b) 7 c) 35 d) Vektori OA = 2 i + 7 j ja AB = i + 3 j. Tällöin pisteen B koordinaatit ovat a) (2, 7) b) (3, 10) c) (1, 3) d) (1, 4) Pisteen ( 1, 3, 2) paikkavektori on a) i 3 j + 2k b) i 3 j + 2k c) i + 3 j 2k d) i + 3 j 2k. 148

149 Kertaus Vektorien a = 2 i + 9 j ja b = 5i 3 j pistetulo on a) 37 b) 17 c) 17 d) Seuraavilla kulmilla, yhtä lukuun ottamatta, on sama kehäpiste. Mikä kulmista eroaa näin muista? a) 50 b) 50 c) 310 d) Yhtälön 3 sin β = tarkka ratkaisu välillä 2 a) π β = 3 b) 2π β = 3 c) π β = + n 2π 3 d) 2π β = + n 2 π. 3 0, π 2 on πt Funktio g() t = 0,90 cos + 3, 5 kuvaa veden syvyyttä metreinä satamassa. Aika t on tunteja 12 hetkestä, jolloin syvyys on suurimmillaan. Mikä on suurin syvyys? a) 3,5 m b) 0,90 m c) 4,4 m d) 2,6 m Minkä yhtälön avulla voidaan ratkaista sivun pituus x? a) x 14 = o o sin 65 sin 52 b) x 14 = o o sin 52 sin 65 c) d) = 14 + x 2 x 14 cos = 14 + x 2 x 14 cos65 o o 65 x m 149

150 Kertaus Vektorille a = 4i 3 j on a) 0 a = i j b) a = i j 5 5 c) a 0 = 1 d) a = i j Mikä seuraavista vektoreista ei ole yhdensuuntainen vektorin x = a + b kanssa? a) a b b) a + 2b c) 3 a + 3b d) 1 1 a b Mikä seuraavista väitteistä ei pidä paikkaansa vektorille v = i j 5k? a) v on pisteen (1, 1, 5) paikkavektori. b) v on yhdensuuntainen vektorin v = 2 i + 2 j + 10k kanssa. c) v = 7 d) v on kohtisuorassa vektoria v = 4 i j + k vastaan Vektorien a ja b pituudet ovat 10 ja 15, ja niiden välinen kulma on 60. Tällöin a) a b = 75 b) a b = 150 c) a b = 0 d) a b = Neljäkkään sivun pituus 7,0 cm. Sivujen välinen kulma on 38, eli neljäkkään ala on likimain a) 30 cm 2 b) 49 cm 2 c) 15 cm 2 d) 60 cm 2. Monivalintakysymysten oikea rivi: B D C B A D A B D D B D C A A C B D B C A A 150

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.

Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella. MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa. Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt Tämän asian otsake on takavuosina ollut Trigonometriset yhtälöt ja sen käsittely tuolloin ollut huomattavasti laajempi. Perusyhtälöillä tarkoitetaan muotoa sin x = a tan x = c cos x = b (cot x = d) olevia

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot