2. Luvut. 3 pullollista, joten Timo tarvitsee 25 pulloa litrasta saadaan 17 24, 186. a) 4

Transkriptio

1 LISÄTEHTÄVÄT. Luvut. Kokonaisluvun n tekijät löydetään jakamalla n yksi kerrallaan kaikilla kokonaisluvuilla ykkösestä suurimpaan mahdolliseen kokonaislukuun, joka on korkeintaan n. Jos jakolasku menee tasan, ovat sekä jakaja että jakolaskun tulos luvun n tekijöitä. Esim. kun n, tulee käydä läpi kaikki luvut yhdestä seitsemään, sillä 7, Tällöin huomataan, että jakolasku menee tasan vain luvuilla, ja, jolloin vastaavat jakolaskujen tulokset ovat, ja. Siis luvun tekijät ovat,,,, ja. Kyseistä menetelmää kutsutaan kreikkalaisen kehittäjänsä mukaan Eratostheneen seulaksi ja mm. antiikin kreikkalaiset käyttivät sitä etsiessään uusia alkulukuja (kokonaislukuja, jotka ovat jaollisia ainoastaan itsellään sekä yhdellä). Soveltamalla menetelmää saadaan tehtävän vastaukset: a) :,,, ( 7,... ) b) :,,,,, ( 77,... ) c) 9:, 7, 9 ( 9 7 ) d) 9:, 9 (alkuluku! 9, ) e) 9:, 7,, 9 ( 9 9,... ) f) :,, 7, (,... ) 9. a) b) 9 c) 9 d) : : e) + 9 ( ) + ) ) 9 f) litrasta saadaan 7, pullollista, joten Timo tarvitsee pulloa. 7,. a) b) : c) + 9 ) ) ) : 9 : + 7 : : d) ) ) 9 : a) 7 7 : : : b) ( ) : + : : ) 9) + + :( ) b) a) b) ab) 7 b a b a 7b a ab ab b ab ab ab 7b a b ab 7ba( b ab) 7ba b + ab ab ab ab ab Kertoma! MAB

2 9. Joko näin: Lasketaan, kuinka monta viikkoa vuorokautta on: Tai näin: Jakolaskulla saadaan 7 7 Siis :n yön jälkeen on kulunut viikkoa ja yksi päivä (/7 viikosta), joten tuolloin on perjantai. Vastaus: Perjantai 9. Väite: 7 + ei ole alkuluku. Todistus: Luku 7 + on jaollinen kolmella, sillä joka kolmas kokonaisluku on jaollinen kolmella ja sitä edeltävät kaksi lukua eivät ole jaollisia kolmella: Tiedetään, että luku 7 on alkuluku erityisesti se ei ole jaollinen kolmella minkä lisäksi luku 7 on jaollinen ainoastaan kahden potensseilla,,,..., ja 7, eikä siis myöskään ole jaollinen kolmella. 7 + ei siis ole alkuluku.. Prosenttilaskentaa 9. a), % b) c),, 9. a),, prosenttiyksikköä. b),, siis nousi noin %.,, siis % suurempi 9. Urheiluseuran kurssiin kuuluu + tanssituntia, jolloin yksi tunti maksaa 9,,... 7,. Kuntokeskuksen tanssitunnin hinta on, 7,. Siis urheiluseuran tanssitunti on,..., 9... Koska 9, 9,9, niin urheiluseuran 7, tunti on noin 9,7 % halvempi kuin kuntokeskuksen tanssitunti. Vastaus: Urheiluseuran tunti on 9,7 % halvempi. 9. Autoilija maksoi ennen % 7 % % vakuutusmaksuista ja nyt hän maksaa % (7 % + %) % vakuutusmaksuista. Merkitään varsinaista vakuutusmaksua a:lla. Ennen autoilija maksoi a 7 %, a. Saadaan yhtälö, a, 77 :, a 79, 9 Siis varsinainen vakuutusmaksu oli 79,9 euroa vuodessa. Uudessa tilanteessa bonusta oli %, joten autoilijalle jäi maksettavaksi % 79, 9, 79, 9 9, euroa. Tai näin: Autoilija maksoi ennen % 7 % % vakuutusmaksuista ja nyt hän maksaa % (7 % + %) % vakuutusmaksuista eli -osaa siitä, mitä hän maksoi aiemmin eli 77 9,,. Vastaus: Autoilijalle jäi maksettavaa 9,. Kertoma! MAB

3 9. Merkitään a:llä sähkön hintaa vuoden alussa. Käytetään nuolimerkintää a + % a + %,,, a, a. Muutoskertoimesta, päätellään, että hinta nousi kaiken kaikkiaan n. %. Vastaus: Hinta nousi %. 9. Vuonna sähkönkulutus oli,9 TWh ja se katettiin seuraavasti: kotimaisella ydinvoimalla voitiin tuottaa sähköä,,9,7 (TWh) muilla kotimaisilla energialähteillä voitiin tuottaa sähköä,7,9,9 (TWh) tuontisähköllä jouduttiin kattamaan loput eli,,7 prosenttia siis,,9,9 (TWh). 97. Koska 9 9, niin auton todellinen nopeus on % pienempi kuin mittarin ilmoittama lukema, joten kun mittari näyttää lukemaa km/h, on todellinen nopeus,9,7 km/h. Vastaus: Kun nopeusmittari näyttää km/h niin auton todellinen nopeus on noin km/h. Vuonna 9 sähkönkulutus on % suurempi kuin vuonna eli,,9 9, (TWh) ja se katetaan seuraavasti: kotimaisella ydinvoimalla voitiin tuottaa sähköä,7 +,7 (TWh) muilla kotimaisilla energialähteillä voitiin tuottaa sähköä edelleen saman verran kuin vuonna eli,9 (TWh) tuontisähköllä jouduttiin kattamaan loput eli 9,,7,9, (TWh) Siispä vuonna 9 Kotimaisen ydinvoiman osuus sähkön kokonaistuotannosta on, 7,, %. 9, Ja Tuontisähkön osuus sähkön kokonaistuotannosta on,,, % 9, Vastaus: Ydinsähkön osuus on, % ja tuontisähkön osuus on, %. Kertoma! MAB

4 . Potenssi 9. a) () () () () b),,, +, 7,7 c) k k k k + + k 7 d) e) b n b n + b (n ) + (n + ) b n + n + b n + f) 99. a) + + b) ) c) ( ) ( ) () d) 9 tai ( ). a) b) ( ) c) () d) (() ) (). a) b) c) d) e) Nollaa ei voida esittää kymmenpotenssimuodossa f),, 7,, g),,. a),, b),, c),,,, d) 9 e) 7 9 7, 7 7,,, 7 f),,, + 9. biljoonaa ; miljardia 9. 9,. 9 Siis punasoluja on kertaa niin paljon kuin valkosoluja.. a) ( ) + b) ( ) ( )( ) ab a b a b a b a b a b a b ab ab ab c) 7 s ( st) 7 ( st) ssts t ( s ) 7 + t s t s t st st st ( )s t st. a) + 7 b) (, ), ( ),9,9 9 c) ( ) (, ), ( ),, 9 9 d) (, ) ( ),,, 7, 7, e),,. a) ( ) b) a,jos a a { a (neliöjuuren tulee aina olla ei-negatiivinen!) a, jos a< ( ) ( b ) c) b b b b b b b b d) ( ) ( ) 9 7. a) 9 b) + 9 c). a) 9 9 b) c) + + ( + ) 9 9 Kertoma! MAB

5 9. a) 7 7 b) c) s d) ( ). Lauseke. a) + b) s(s s + ) s s + (s) (s) + (s) s + s s c) ( )( + ) + + () + () +. a) (b ) (b )(b ) (b) b b + () 9b b + b) y z yz y y c) y y y. a) y(y )(y y + ) (y 9y)(y y + ) y (y y + ) 9y(y y + ) y y + y y + 9y y y y + y y b) c c c c c + + ( ) + + ( ) c + c c c c). a) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + () b) ( + )( ) ( )( + ) ( + )(( ) ( )) ( + )( + ) ( + )(). a) ( + ) ( + ) ( + ) b) Kertoma! MAB

6 . a) + ( ) + ( ) + + ( ) b) ( )( ) ( ) ( ja ) c) + n + n + n + n 7 ( + n) + ( + n) 7 + n+ + n 7 n 7. Sievennetään ensin: P ( ) a) Korkeimman asteen termi, joten asteluku. b) Toisen asteen termi, kerroin. 9 c) P( ) ( ) + ( ) ( ) + ( 9 ) d) Pa () a + a a + ; Pa ( ) 9 ( a ) ( a ) a a a a + 7. a) P( ) + + ; Q b) Summa: P ( ) + Q ( ) Tulo: P ( ) Q ( ) + ( ) c) Polynomin P() kuvaaja y + on suora, jonka kulmakerroin on ja joka leikkaa y-akselin pisteessä (, ). Polynomin Q() kuvaaja y on suora, jonka kulmakerroin on ja joka leikkaa y-akselin pisteessä (, ). d) Kuvaajista voidaan arvioida, että suora y P() leikkaa -akselin lähellä pistettä (,7; ) ja suora y Q() lähellä pistettä (,; ). e) P ( ) Q ( ) : 9 9 : 9 9. on kolmasosa b:stä eli: b. Tällöin a ab b b. (b ) b b b b Kertoma! MAB

7 . Ensimmäisen asteen yhtälö 9. a) + + b) : ( ) c) ( ) ( + ) : d) ( ) ( ) ( + ) aina epätosi! Vastaus: Yhtälöllä ei ole ratkaisua. a) ( ) ( + ) Tai ristiinkertomalla! ) 9) b) ( + ) 9( ) c) ) ) ( ) ) ) + ( + ) ( ) : 7 d) + ( + ) + + ) ) : : Kertoma! MAB 7

8 . a) + 9 b) + : c) Merkitään a:lla naulojen hintaa, b:llä kirveen hintaa ja c:llä lapion hintaa. Naulat maksavat kuudesosan kirveen ja lapion yhteishinnasta eli kirves ja lapio maksavat kuusi kertaa niin paljon kuin naulat. Siis a + b + c 77 ja b + c a, mistä saadaan a+ a 77 7a 77 : 7 77 a 7. Yhtälön tulee siis olla voimassa, kun. Täytyy siis ratkaista a yhtälöstä: ( ) ( ) + ( ) ( a) + + ( a) 9 + a a 9 7 a. Merkitään kysyttyä lukua :llä. %,, joten:, :,,. Merkitään paidan alkuperäistä hintaa a:llä. Korotuksen jälkeen paidan + p % % hinta oli a. a a, a Koska nyt paidan hinta piti olla sama kuin alussa, niin saadaan yhtälö:, a a : a, :,,, Kun korotus on p % niin muutoskerroin on, Tästä päätellään, että p, % 7 %. Merkitään kolmion pienintä kulmaa α:lla. Tällöin kaksi muuta kulmaa ovat α ja α. Tiedetään, että kolmion kulmien summa on, joten α+ α+ α α : α Suurin kulma on siis α 9.. Merkitään % liuosta tarvittava määrä (litraa). Taulukoidaan tiedot. Määrä (litraa) Ainetta Vettä % liuos, (loput) Vettä y (kaikki) % liuos 7 g, 7 g g (loput) Aineen määrästä saadaan yhtälö, :,, % liuosta tarvitaan siis g Tällöin vettä tarvitaan 7 grammaa. Vastaus: % liuosta tarvitaan grammaa ja vettä grammaa. 7. Merkitään hiusten leikkauksen verotonta hintaa :llä. Tiedetään, että, :,, 9..., Arvonlisävero pieneni prosenttiyksikköä, joten vero on nyt % % %, ja hiusten leikkaus maksaa,,,9...,. Kertoma! MAB

9 . Maustetun teen kilohinta on, /kg. Siispä sekoituksen, kg kilohinnan tulee olla /kg. Merkitään :llä sekoitukseen tarvittavan mustan teen määrää kilogrammoissa. Tällöin sekoituksen kokonais- määrä on +,. Sekoituksen hinta on, +,. Toisaalta sekoituksen hinta on ( +,). Näistä saadaan yhtälö, +, ( +,), +, +,,, : (,),. Vastaus: Mustaa teetä pitää lisätä grammaa. 9. Hedelmän massa on alussa a ja lopussa b. alussa lopussa vettä,a,b muita aineita,a,9b Muiden aineiden määrän voidaan olettaa pysyvän samana haihdutuksessa, joten,9b,b :,9 b,7 a Vettä on siis poistettava,a,,7 a, a Prosentteina, a % 99, 7 % 99 %, a Vastaus: Vedestä on haihdutettava 99 %. 7. Verrannollisuus. a) ( + ) 7( + ) b) ± ± ±. Merkitään tarvittavien pumppujen lukumäärää :llä. Tyhjenemisaika on kääntäen verrannollinen pumppujen lukumäärään nähden, joten,,,,,,, 7., Siis tarvitaan 7 pumppua lisää.. Merkitään :llä kysyttyä bensiinimäärää. Bensiinin kulutus on suoraan verrannollinen ajomatkaan nähden, joten, 7 litraa.. Merkitään kysyttyä työn kestoa t:llä. Työn kesto on kääntäen verrannollinen työntekijöiden määrään nähden, joten + t t t t työpäivää. Kertoma! MAB 9

10 . a) Merkitään kustannuksia :lla. Saadaan verranto: 9, /h b) Merkitään kysyttyä nopeutta v:llä. Saadaan verranto: v v v v solmua c) Merkitään a:lla kulutusta nopeudella v. Siis a v v a v a, 9v. Eli kun matkataan tuntia, ovat polttoainekustannukset a,9v.. jarrutusmatka nopeudella km/h, jarrutusmatka nopeudella km/h. Saadaan verranto: 7, Siis jarrutusmatka nopeudella km/h on n. 7 % pitempi kuin nopeudella km/h.. v mopoilijan nopeus tiistaina maanantain nopeus v +. Matkan kesto on kääntäen verrannollinen nopeuteen, joten v v + v ( v+ ) v v+ v v v v km/h. 7. Taulukoidaan tehtävän tiedot: lämpötilaero ( C) kustannukset alussa, (,) a lopussa, (,) b Suoraan verrannolliset suureet a Saadaan verranto: b b a : b a Lämmityskustannukset pienenevät siis a a a a/ Prosentteina %, %, %. a/ Vastaus: Siis lämmityskustannukset pienenevät, %. Kertoma! MAB

11 . Tuotteen hinta alussa a ja myynti b. Myynnin muutoskerroin Taulukoidaan tehtävän tiedot hinta myynti alussa a b lopussa,a b Suureet ovat kääntäen verrannolliset, joten, a/ b/ ab / /, :,, Siis myynti korotuksen jälkeen on,... % myynnistä ennen korotusta, joten myynti pienenee %,... %,7 %.. Toisen asteen polynomifunktio ja yhtälö 9. a) : b),, ± ± ± ± ± ±. a) ( )( + ) tai + tai b) tai tai c) ± ± ± c) + :. a) + + b) + : ± ( ) ± ( ) ± ± c) ( 9) ± ( 9) 9 ( ) 9 9 ± 9 ± tai tai Kertoma! MAB

12 . a) ( + ) ( + ) ( + ) tai 7 tai b) ( + )( ) ( + ) ( + 9) tai + 9 tai ( + )( + ) ( ) ± ( ) ± tai. ( + ) + ( ) ± ± tai. ( )( + ) ( + )( ) ± ( ) ( ) ( ) ± ± + tai. Yhtälön täytyy olla voimassa, kun eli tulee olla ( + p) ( ) 9 p 9 p 99 p p Tällöin alkuperäinen yhtälö saa muodon ( + ) + + ( + ) tai + tai Siis juuret ovat ja. 7. a) + b) ± ± ( ) ( ) tai Kertoma! MAB

13 . a) b) ( ) ± ( ) tai 7 ± ( )( + + ) ± ± ± 7 ± 7± Kertoma! MAB

14 PIKAOSIO. ( : ) ( ) %,,,,,. %,,,. Merkitään Tuomaksen palkkaa :llä. Tällöin,, :,,.,. d d d d d d + d d d 7. P ( + ) + + : 9. kerrotaan ristiin ( ) ( ) + + :. : ± ± ±. ( + )( ) + tai tai tai. Jotta olisi 7, tulee olla 9 (koska 9 7) 9+ :. 9 on alkuluku, joten se on jaollinen vain itsellään ja yhdellä. Tämän voi tarkistaa jakamalla luvun 9 vuorotellen luvuilla yhdestä viiteen ( 9,... ) ja toteamalla, että jako menee tasan vain ykkösellä (kts. lisätehtävän ratkaisu).. Merkitään Rikun tarvitsemaa arvosanaa :llä. Rikun keskiarvon tulee olla vähintään kahdeksan eli rajatapauksena Rikun keskiarvo on tasan kahdeksan: ( ) ± ( ). a ( + ) a : a (yhtälö voidaan jakaa a:lla,koska a ) a ( + ) aa a a + a a 7. Tomaattien kilohinta on,,... /kg, joten,7 kg maksaa, kg,... /kg,7 kg,. Kertoma! MAB

15 HARJOITUSKOE. a) ( + ) ( ) b) : : c) y y y ( y) y y y y y y d) (a b) + a(a b) (a b)(a b) + a(a b) a ab ba + (b) + a ab a ab + b. a) f() () () b) Funktion kuvaaja y + on suora, jonka kulmakerroin on ja joka leikkaa y-akselin pisteessä (, ). Yhtälö + toteutuu sillä suoran pisteen -koordinaatilla, jonka y-koordinaatti on. Kuvaajasta voidaan arvioida, että kun suoran pisteen y-koordinaatti on, niin vastaava -koordinaatti on n.,.. a) ( ) ( + ) ( ) c) + ( + ) ( ) 7 + : b) + + ( ) + y. a) : b) c) ± ± ( ) ( ) ± ( ) ( ) tai tai ± 7 tai. Merkitään alkuperäistä hintaa :llä. Marraskuussa hinta oli, ja siis joulukuussa,,,. Jos hinta alennetaan takaisin :ään, on alennus, (, ),,, %.,,,. 9 vuorokauden ikäisenä kasvin varsi on mm:n paksuinen eli k 9 k 7 : 7 k 7 Siis, kun t, niin d k t mm Merkitään :llä sitä määrää, joka %:sta liuosta tarvitaan. Tällöin sekoitusta on + litraa, ja puhtaan aineen määrälle saadaan yhtälö:, +,, ( + ), +,, +,,,,,, :, 7, litraa.,. Meteoriitti lentää mailia eli 9 9 metriä sekunnissa, joten se lentää minuutissa 9 metriä ja tunnissa 9 metriä eli noin 7 kilometriä. Kertoma! MAB

16 HARJOITUSKOE. a) (y) y + y y + y y + b) y (y ) + y y + + y + c) ( y ) y y y y y y y d) a) ( ) ( + ) + b) () c) ± ± d) Kuvaaja y voidaan piirtää koordinaatistoon esimerkiksi taulukoimalla sen pisteiden koordinaattien arvoja: y (, y) () 9 (, ) () (, ) () (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Tämän jälkeen pisteet voidaan merkitä koordinaatistoon ja näiden avulla saadaan piirrettyä kuvaaja.. Palkankorotuksen jälkeen Merjan veroton palkka oli, 7 ( % + % %). Tästä jäi käteen,, jolloin verojen osuus 7, oli, %. 7. a) + ( ) : 7 c) : ± ± b) ( + ) + ( + ) :. Merkitään kysyttyä nopeutta v:llä. Saadaan verranto: kerrotaan ristiin v v : v v ± v ± ( ) km/h. a) tai tai c) ( + ) : aina epätosi, koska ( + ) a aina (ei siis voi myöskään olla ( + ) < ) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) ( + ) + + ± ± Kertoma! MAB

17 7. v kysytty nopeus Vaasan ja Helsingin välinen etäisyys t ajoaika Vaasasta Helsinkiin t ajoaika Helsingistä Vaasaan matka matka Tiedetään, että nopeus, joten aika. aika nopeus Siis t ja t v. Näiden avulla saadaan koko matkan keskinopeus: + t+ t + v v + v v v ( + ) v ( v + ) v + v ( v + ) v v+ aina epätosi Yhtälöllä ei siis ole ratkaisua eli auton keskinopeudeksi ei ole mahdollista saada km/h.. (a + b) (a b) (a + ab + ba + b ) (a ab ba b ) a + ab + b a + ab b ab Kun a ja b, niin (a + b) (a b) ab HARJOITUSKOE. a) + + ( ) kerrotaan ristiin ( + 9) ( + ) b) ( ) + + c) ( + ) ( ) aina epätosi ± ( ) Yhtälöllä ei ole ratkaisua ± tai. a) ( )( + ) + ( + ) + b) ( )( + ) ( + ) ( ) ± ( ) ( ) 7 ± tai 7 Kertoma! MAB 7

18 . Maaliskuusta on jäljellä kuusi päivää (., 7.,., 9.,. ja.). Yhteensä päiviä on koko vuonna jäljellä: Siis loppuvuonna öljyä tarvitaan 9 litraa eli litraa ei riitä.. Todetaan ensin, että tulee olla + eli + Ratkaistaan yhtälö: + ( + ) + + : ( ). Käytetään ratkaisukaavaa: a + a a ( ) ± ( ) a a ± Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu silloin, kun neliöjuurilauseke on nolla eli kun a a ± a ± Muita ratkaisuja yhtälöllä ei ole vaan on sen ainoa juuri.. nopeus matka matka eli aika, joten aika nopeus s t, km 7, m 7, s, s v, m/s m/s. Merkitään normaalia kilohintaa :llä. Tällöin alennettu hinta oli, ( % % %,). Siis kokonaishinta oli, +,7,, +,7,77 eli 7,7 % normaalista kahvikilon hinnasta. Siis kokonaishinta oli % 7,7 %, % halvempi kuin normaali hinta. 7. Merkitään koko roskamäärää :llä. Roskapaperia on, % kokonaismäärästä eli, ja muovia 7,7 % kokonaismäärästä eli,77. Roskapaperin määrä pienenee puoleen eli roskan kokonaismäärä vähenee,, verran. Muovin määrä pienenee kahteen kolmasosaan, ts. pienenee kolmasosalla, jolloin roskan kokonaismäärä vähenee, 77, 9. Roskamäärä vähenee siis yhteensä, +,9, eli noin, %. Kertoma! MAB