1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17

Transkriptio

1

2 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7 Prosentti 11 Prosenteilla vertaaminen 17 Kuvaaminen koordinaatistossa Kertaustehtäviä 9 Lausekkeesta yhtälöön Lineaarinen riippuvuus Yhtälö 8 Ongelmasta yhtälöksi 5 Suhde ja verranto 61 Verrannollisuus 70 Kertaustehtäviä 80 Toisen asteen yhtälö 85 Toisen asteen polynomifunktio 85 Ratkaisukaava 9 Toisen asteen yhtälön sovelluksia 111 Kertaustehtäviä 19 Harjoituskokeet 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

3 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla 1. a) 7 b) 5 c) 0 d) 6. a) 7 b) 56 c) 9 d) 7. a) b) 0 c) 6 d) 60. a) 5 b) 1 5. a) 8 b) a),5 b),5 c) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

4 7. a) (8 + 5) (8 5) 1 9 b) (17 (8 + )) ( 7) 6 ( ) 8. a) b) c) d) a) ) ( b) c) ) ) ) ) a) b) ) ) ) ) c) 1 5 ) 5) a) 9 6 b) c) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

5 1. a) : b) 1 : c) 1 1 : a) b) ) c) ) 17 5 ) punaisia, 1 ) 5) vihreitä, keltaisia: Vastaus: Keltaisten karkkien osuus on 7/15 kaikista karkeista. Keltaisten karkkien määrä on g voita, 0,5 dl sokeria, 1 1 dl fariinisokeria, 1 kananmuna, puolikkaan sitruunan raastettu kuori, 1 dl kaurahiutaleita, 1 dl vehnäjauhoja, 0,5 tl suolaa ja 0,5 tl soodaa ) 5) a) b) c) ) ) : Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5

6 18. a) b) c) ) ) ) 5) a) 18 b) 1 c) 0 0. a) b) 11 c) 1 1. a) b) ) ) a) ( ) ( ) b) 1 ( 5) ) (dl) Vastaus: Kuivia aineita tarvitaan 5 dl. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6

7 . 1,5 6 0,5 (l) 0,5 l,5 dl Vastaus: Kukin saa,5 dl limsaa ( ) Vastaus: Kaukolle jää rahaa a) b) c) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) : ( ) : 6) ) 18 ) Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. a) 7a b) 1x c) 6x a) 5 b) x 9. a) x + x 6x + 8x 1x b) x x 1x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7

8 0. a) x b) 1a c) x + x 1. a) a b) 1y c) 6xy. a) a b) c) 6x. a) 6x + ( x) + x 6x x + x 5x b) 6x ( x) x 6x. a) 1y y 1 y b) 9x 6 + x 11x a) 15x + 5x b) x + x 6. a) ( x 1)( x ) x x x + x x + b) (y + )(y ) 9 y 1 y + 1 y 16 9 y a) ( x 7x) x( x + ) x 7x x x 11x b) x(x 1) + x 6x x + x 7x x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8

9 c) ( 6a a ) ( a + a ) 6a + a + a a a 5a 8. a) ( x ) + ( x + 5) x x + 5 x + b) ( x ) ( x + 5) x + x 5 x 7 c) (x )( x + 5) x + 15x + x 10 x + 17x Piiri: (x ) + x x 6 + x 6x 6 Pinta-ala: x(x ) x x 0. x x (x + ) x (x + ) x + 6x 1. ( 5a + 8b) (6b + 11a) 5a + 8b 6b 11a 6a + b 6 ( 1) a) (x ) (x )(x ) x 6x 6x + 9 x 1x + 9 b) (x + ) (x + )(x + ) x + 6x + 6x + 9 x + 1x + 9 c) (x + )(x ) x 6x + 6x 9 x 9. a) 5 x ( 15x) 5x + 15x 10x b) 5x 15x 1 c) 5x ( 15x) 75x. a) Piiri: ( x 1) + (x 1) x + x 6x Pinta-ala: (x 1)(x 1) x x x + 1 x x + 1 b) (x x + 1) x x x + x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9

10 5. a) ( x 1) + ( x + 5) x 1 x + 5 x + b) ( x 1) ( x + 5) x 1 + x 5 7x 6 c) (x 1)( x + 5) 1x + 0x + x 5 1x + x 5 6. a) 6 y (y + 1) (5y + ) 6 y y 1 5y y b) y( y + 1) 5y( y 1) y + y 5y + 5y y + 7 y 7. a) a b) x c) x + 8. a) (x + )(x 7) x 7x + x 1 x 5x 1 b) (y + 6)(y 9) 8y 18y + y 5 8y + 6y 5 c) (x + 8) (x + 8)(x + 8) x + 8x + 8x + 6 x + 16x a) 1x + (x y) (y 5x) ( x + 6y) 1x + x y y + 5x x 6y 19x 10y b) 1x(x y) (y 5x) (x + 6y) 6x 1xy xy 18y + 5x + 0xy 1x + 15xy 18y 50. a) a 5a : a + a a 5a + a 6a b) a a + a a a + a a a a + a ( a + a 1) a a + a + a a + 1 a + a a (a + b)( b + a) + a( a) ab + 8a b + 1ab 8a b + 10ab 0, ( ) 0,5 10,75 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10

11 5. a) Piiri: 5x + x + x + x + 6x + 8x + x 5x 5 0,5 17,5 (m) b) A x 5x + x x + 5x x + x 6x 0x + 16x + 10x + 1x 58x 58 0,5 1,5 (m ) 5. a) x ( x + 1) x( x + 1)( x + 1) x( x + x + x + 1) x( x + x + 1) x + x + x b) (a b) + (a + b) + (a b)(a + b) (a b)(a b) + (a + b)(a + b) + (a b)(a + b) a ab ab + b + a + ab + ab + b + a + ab ab b a ab + b + a + ab + b + a b a + b Prosentti 5. a) 0 % b) 15 % c) 5 % 55. a) b) c) d) e) f) 0,7 0,15 0, , , ,0 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11

12 56. a) % 100 b) % 100 c) 5 5 % 100 d) % 100 e) 16 16% 100 f) 5 5 % a) 50 0, % 00 b) 10 0,... % 00 c) 80 0, % , % 150 Vastaus: Voittoarpoja on 1 % arvoista. 59. a) 0,01 00 ( ) b) 0, 00 0 ( ) c) 0, ( ) 60. a) 0, ,50 ( ) b) 0, ( ) c) 0, ,0 ( ) Vastaus: Sisu saa vuodessa a) 11,50, b) ja c) 55,0. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

13 , % 8 Vastaus: Vasenkätisiä on 18 % oppilaista. 6. a) 0, 9 7,80 ( ) b) 9 7,80 1,0 ( ) Vastaus: a) Alennus on 7,80. b) Alennettu hinta on 1,0. 6. a) 0,65 b) 0,9 c) 1, d),0 6. a) 0,95a b) 1,8a c) a d) 1,5a 65. a) 0, ( ) b) ( ) Vastaus: a) Pii maksaa veroa 61. b) Piille jää käteen , 0 1 Vastaus: Naisvieraita oli , % 00 Vastaus: Sisun veroprosentti on 1 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

14 6 68. a) Kärpät: 0, % b) TPS: 0,9... % 56 1 c) Lukko: 0, % d) TPS: 0, % 56 Vastaus: a) Paras voittoprosentti on Kärpillä. b) Suurin tasapeliprosentti on TPS:llä. c) Suurin häviöprosentti on Lukolla. d) Suurin jatkoaikaprosentti on TPS:llä. 69. a) 0, ,6 786 b) 0, ,78 5 c) 0, ,7 170 Vastaus: a) 786 kyselyyn vastanneista syö makeisia monta kertaa päivässä. b) 5 syö makeisia 1 kertaa viikossa. c) 170 ei syö makeisia , , ,5 8,75 ( ) TAI 0, ,75 ( ) Vastaus: Alennettu hinta on 8, a) b) c) d) 0,065 0,08 0,00 0, Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

15 e) f) 0,10 0, a) 580 b) 100 c) 05 d) 90 e) 1 0 f) ,0008 0, Vastaus: Suomalaisia oli 0,8 kaikista maailman ihmisistä. 7. a) 0,80 1,0 17, (g) 1 b) 8,,78...,8 (g) 1 0, Vastaus: a) Hopeariipuksessa on hopeaa 17, g. b) Sormuksen kultapitoisuus on nestetilavuus elimistössä: 0,66 60 kg 9,60 kg annoksia: 1 g 6 g 6 g veren alkoholipitoisuus: 0, , g Vastaus: Lain mukaan voi. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15

16 76. nestetilavuus: 0,75 70 kg 5,5 kg g annoksia: 10 1 g 10 g maksan polttama alkoholin määrä: 11 7 g 77 g 10 g 77 g g , ,8 Vastaus: Mittari näyttää lukemaa 0, a) 8 0, % 175 b) 0 0,8 80 % ,065 15,795 15,80 ( ) 79. 0, , 810 (kg) Vastaus: Malmierässä on rautaa 810 kg , 0,66 66 % Vastaus: Soittimen muistista on käytetty 66 %. 81.,7 GB 1 0,7 81,8 (MB) 1950 käytetty : 81,8 0, ,5 % käyttämättä: 100 % 0,5 % 59,8 % 59 % Vastaus: Levystä jäi käyttämättä 59 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16

17 8. a) alennus: 0, ,5 b) alennettu hinta: 75 11,5 6,75 Vastaus: a) Alennus on 11,5. b) Alennettu hinta on 6, Alennusprosentti on suurimmillaan, kun kaikki tuotteet maksavat yhtä paljon. 1 0,... % Vastaus: Alennusprosentti on suurimmillaan %. 8. a) kehon nestetilavuus: 0,66 65 kg,9 kg 900 g alkoholin määrä: 6 1 g 7 g 7 g 900 g 0, ,7 b) kehon nestetilavuus 0,75 65 kg 8,75 kg g 7 g 8750 g 0, ,5 Vastaus: Alkoholipitoisuus voi nousta a) 1,7, b) 1, vettä: 18 dl 1,8 l eli 1,8 kg suolaa: 10 g 0,10 kg suola vesi+ suola 0,10 0,065 6,5 % 1,8 + 0,10 Vastaus: Suolapitoisuus on 6,5 %. Prosenteilla vertaaminen 86. muutos: muutos alkuperäinen eli , , % Vastaus: Palkka nousi 5, %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17

18 87. housujen alkuperäinen hinta: 1,95 5,90 ( ) alennus: 5,90 1,95 10,95 10,95 alennusprosentti : 5,90 Vastaus: Alennus on %. 0,7... % muutos , % alkuperäinen Vastaus: Väkiluku kasvoi 9 %. 89. a) kasvoi 50 % : 0, uusi määrä: väheni 0 % : 0, 0 9 uusi määrä: muutos b) 0,05 5% alkuperäinen 0 0 Vastaus: a) Kerhossa oli 1 jäsentä. b) Jäsenmäärä kasvoi 5 %. muutos 6, a) 5,5 550% alkuperäinen 1 b) maaseudulla eläviä on 6,5,5,0 (miljardia),0 0, % 6,5 Vastaus: a) Väkiluku on kasvanut 550 %. b) 6 % ihmisistä elää maaseudulla. 91. kasvua 50 % eli 1,5 a 1,5a pienenee 50 % eli 0,5 1,5a 0,75a muutos alkuperäinen a 0,75a a 0,5a a 0,5 5 % Vastaus: Luku pienenee 5 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18

19 9. a) erotus ,5 5 % arvo johon verrataan 1 1 b) , 0 % erotus , % arvo johon verrataan Vastaus: Tyttöjen määrä on 17 % suurempi kuin poikien. erotus ,19... % arvo johon verrataan Vastaus: Pienimmän tuoton saanut joukkue keräsi % vähemmän kuin suurimman tuoton kerännyt joukkue. 95. a) väärin: muutos prosenttiyksikköä b) oikein: 10 8 prosenttiyksikköä c) väärin: 0, % 0 0 d) oikein: 0,5 5 % a) prosenttiyksikkö b) 1 0,1 10% a) 8 1 prosenttiyksikköä 1 b) 0, % Vastaus: a) Vero aleni 1 prosenttiyksikköä. b) Veronalennus oli 6 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19

20 98. a) % 17 % 16 prosenttiyksikköä b) 16 0, % Vastaus: a) Ero on 16 prosenttiyksikköä. b) Kevytjuusto on 8 % kevyempää. 99. Eiri: 0 0,19 +,95 8,65 ( ) Kara: 0 0,5 7,5 ( ) erotus on 8,65 7,5 1,15 ( ) 1,15 8,65 0, % Vastaus: Kara saa kuvat 1 % halvemmalla kuin Eiri a) 0,5 50% b) 0,5 50 % c) alaraja: 0,000 0, yläraja: 0, Vastaus: a) Vaaleahiuksisilla on 50 % enemmän hiuksia kuin ruskeahiuksisilla. b) Punahiuksisilla on 50 % vähemmän hiuksia kuin vaaleahiuksisilla. c) Hiuksia irtoaa 0, a) Vastaus: 78 / hlö b) hintaero 78 19,90 58,10 ( ) 58,10, % 19,90 Vastaus: a) Matkan hinta oli 78 /hlö. b) Matka oli mainokseen verrattuna 9 % kalliimpi. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0

21 10. a) ,5 5 % 0 0 b) , 0 % a) alennus: 0,5 75 6,5 ( ) b) alennettu hinta: 75 6,5 8,75 ( ) Vastaus: a) Alennus on 6,5. b) Alennettu hinta on 8, ,5 1, , % 8,5 8,5 Vastaus: Palkankorotus oli 18 % a),5 0,75 prosenttiyksikköä b) 0,75 0,5 Vastaus: Korko aleni a) 0,75 prosenttiyksikköä, b) 5 % , % Vastaus: Korotus oli 8 % a) verta: 0,07 60, (kg) b) plasmaa: 0,55,,1, (kg) c) verisoluja: 0,5, 1,89 19 (kg) , % Vastaus: Ikäluokka pieneni 0 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

22 109. korotettu hinta: 0, ,75 tai 1, ,75 alennus: 1, ,75 18,75 1,75 Vastaus: Hinta muuttui 1 %. 0, % 110. a) 0,05 0,6 0,01 b) 1 0,8 8 % 5 Vastaus: a) Rasvaa on 1 g. b) Se on 8 % päivittäisestä rasvasuosituksesta a) kasvaa % eli tulee 1,0-kertaiseksi: 1, , vähenee 5 % eli tulee 0,95 kertaiseksi: 0,95 6 8, 6 501, yhdellä lausekkeella: 1,0 0, , b) , , % Vastaus: a) Väkiluku on muutosten jälkeen b) Väkiluku pieneni 1, %. 11. a) Sisun saama kalorimäärä: 0, ,5 Karan saama kalorimäärä: 0,75 5,75 7,5,75 18,75 18,75 0, %,75 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

23 b) Sisun saama rasvan määrä: 0,75 7 7,75 (g) Karan saama rasvan määrä: 0,75 0, 0,15 (g) 7,75 0,15 7,6 (g) 7,6 7,75 0, % c) Sisun saama hiilihydraattien määrä: 0, ,5 (g) Karan saama hiilihydraattien määrä: 0, ,75 (g) 57,75 7,5 0,5 (g) 0,5 0,5 5 % 7,5 Vastaus: a) 75 % enemmän b) 99 % vähemmän c) 5 % enemmän Kuvaaminen koordinaatistossa A ( 1, ), B (1, ), C (, ), D (0, ), E (, 0) ja F (, 1) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

24 115. suunnikas 116. a) b) suora suora 117. a) vihreä b) punainen c) sininen 118. a) x y x y piste (x, y) (, ) 1 1 (, ) 0 0 (, 0) b) x y x + y 1 piste (x, y) (, 1) (1, 0) (0, 1) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

25 119. a) x y x + piste (x, y) (0, ) (1, ) + (, ) b) x y x + 1 piste (x, y) (0, 1) (1, 1) + 1 (, ) 10. a) x y x + 1 piste (x, y) (1, ) + 1 (, ) + 1 (, ) b) x y x piste (x, y) 0 0 (0, ) (1, 1) (, ) 11. a) x y x + y b) x y x y a) 1 b) noin, kg Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5

26 Vastaus: a) kg tomaatteja maksaa 1. b) Tomaatteja saa noin, kg. 1. a),5 /kg b) noin 7 kg Vastaus: a) Omenoiden kilohinta on,5 /kg. b) Omenoita saa noin 7 kg. 1. Piste A ei ole samalla suoralla. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6

27 15. a) x y x y 1 ( 1) ( ) ( 1) b) x y x + y ( 1) ( 1) x y x + (x, y) (0, ) (1, 6) + 8 (, 8) x y x + (x, y) (0, ) (1, ) + 0 (, 0) 17. x 6 y 1 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7

28 a) pisteessä (0, 6) b) pisteessä ( 1, 0) 18. a) y x b) y x + c) y x + d) y x x y x (x, y) (0, 0) 1 1 (1, ) (, ) x y 0,5x 5 (x, y) 0 0, (0, 5) 0,5 5 (, ) 0,5 5 (, ) Suorat leikkaavat pisteessä (, ). 10. x y x y x y x + (x, y) (0, ) (1, ) + 5 (, 5) Suorat leikkaavat pisteessä (, 5). Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8

29 11. a) 7 /kg b) noin 570 g Vastaus: a) Karkkien kilohinta on 7 /kg. b) Karkkeja saa noin 570 g. 1. Kertaustehtäviä 1. x y x + 6 (x, y) (0, 6) (1, ) (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0). 1. x y x (x, y) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) (, ) x y x + (x, y) (0, ) (1, 7) + 11 (, 11) Suorat leikkaavat pisteessä ( 1, 1). Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9

30 15. a) ( x ) + (x + 1) x + x + 1 x b) ( x ) (x + 1) x x 1 5x 5 c) ( x )(x + 1) 6x x 1x 6x 1x 16. ( x + y) + (x 1y) 1 x + y + x 1y 1 x 8y 1 kun x ja y 1, saadaan 8 ( 1) a) 5a (b + a) + ( 1a + 15b) + ( 10a) 6b 5a b a 1a + 15b 10a 6b 9a + 7b b) a( b + a) ( 7b + a)( b a) 1ab a (7b + 7ab ab a ) 1ab a 7b 7ab + ab + a a 7b + 8ab 18. a) (a a)(a 11a) 1a a 6a + a 1a 50a + a b) y( x + 5y) y( x + y) 6xy + 10y + xy y 7y xy 19. kummilapsi: ( ) 1 kuulovammaiset nuoret: ( ) 6 sisällissodan lapset: ( ) diabetesliitto: ( ) syöpähoidot: 00 ( ) 50 ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0

31 10. a) b) 8, käänteisluku , käänteisluku : ( 17) korotus: 0, ,9 ( ) uusi vuokra: ,9 55,90 ( ) yhdellä lausekkeella laskettuna: 1, ,90 ( ) Vastaus: Asunnon vuokra on 55, , % 1500 Vastaus: Vaikuttavaa ainetta on 7 %. 1. osia yhteensä tiivisteen osuus: 0,5 5% Vastaus: Tiivistettä on 5 % alennus: 0,15 19,85 ( ) alennettu hinta: 19,85 186,15 ( ). alennus: 0,0 186,15,7 ( ) alennettu hinta: 186,15,7 18,7 18, ( ) yhdellä lausekkeella laskettuna: 0,85 0, ,7 18, ( ) Vastaus: Soittimesta joutuu maksamaan 18,. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

32 kulta platina a) ,... % b) ,5 5% Vastaus: a) % enemmän b) 5 % vähemmän Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

33 Lausekkeesta yhtälöön Lineaarinen riippuvuus 16. a) 0 km b) 5 km c) 10 min Vastaus: a) Auto oli kulkenut 0 km. b) Auto kulki 5 km. c) Aikaa kului 10 min. 17. a) 000 b) 800 c) 7,5 vuoden kuluttua d) 000 Vastaus: a) Pääoma oli 000. b) Pääoma oli 800. c) 7,5 vuoden kuluttua. d) Pääoma kasvoi a),0 b) 7,0 c) 0,96 d) 1,0x e) y 1,0x 19. a) 70 f) b) 90 c) 10 d) (0,0x + 50) e) y 0,0x + 50 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

34 150. a) y 1,9x + 5,08 b) c) /kk d) m e) Suora leikkaa y-akselin perusmaksua vastaavassa kohdassa y 5, a) y 0,70x b) 15. a) T(x) 110x c) b) K(x) 60x d) 110x 60x x 50x : 50 x 00 (kpl) e) ( ) 15. a) f(5) b) f(6) c) f(7) d) Funktion arvo kasvaa 0:llä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

35 a) f b) f( 1) ( 1) c) 1 1 f d) Funktion arvo pienenee kahdella a) f(60) 0, ,60 Jos (soitettujen) puhelujen kesto on 60 minuuttia, kuukausimaksu on 9,60. b) f(0) 0, ,0 Jos (soitettujen) puhelujen kesto on 0 minuuttia, kuukausimaksu on 0,0. c) Perusmaksu saadaan, kun puheluiden kesto on 0 minuuttia. f(0) 0, ( ) Vastauksen 6 voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta. d) a- ja c-kohtien perusteella 60 minuuttia puheluita lisää kuukausimaksua ,60 6,60 ( ). Yhden puheluminuutin hinta:,60 0,06 ( ) 60 Vastauksen 0,06 voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta a) b) f(50) 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5

36 c) f(80) 180 d) f(x) 100, kun x a) f() b) f() c) f() d) Funktion arvo pienenee viidellä a) 1 f ( ) 8, 5 b) 1 f ( ) ( ) 6, 5 c) 1 1 f 1 1 d) Funktion arvo kasvaa kolmella a) f() Jos kilohinta on, kuukausimyynti on 950 kg. b) f(6) Jos kilohinta on 6, kuukausimyynti on 500 kg. c) a- ja b-kohtien perusteella euron hinnanlisäys vähentää kuukausimyyntiä (kg). Vähennys euroa kohti: (kg) Myynti laskee 150 kg. Tämän voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta a) b) 7 00 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6

37 c) d) 0,18x e) f(x) 0,18x 161. f(x) 0,06x a) R(x) 10x + 500, T(x) 15x + 00 b) c) Kuukausipalkat ovat samat, kun kauppoja on tehty 0 kpl/kk. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7

38 16. a) Jäsen f(x) 7x + 50 ja ei jäsen g(x) 10x b) c) 17 kertaa 16. a) T(x) 5x c) b) K(x) 18x c) noin 7 tuntia Yhtälö 165. a) x + 9 x 6 : x b) 8x + 5x x 5x x x 15 : x a) 5x 8 + 5x 10 : 5 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8

39 b) 5x 1 x x x + 8 x x 8 : x 167. a) 8x 110 5x x 5x x x 00 : x 100 b) ( x) 5(x + ) + 1 x 5x x 5x 1 + 5x + x 1 x 18 : x a) x x x 5 b) x x 1 x x 6 x x 6 : ( ) x 18 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9

40 169. a) + 7x (1 + x) + 7x 1 x + 7x 1 x 7x x + x 8x : 8 x 8 b) (x ) 5 (x + 1) x 8 5 9x x 8 9x + 8 x 10 9x + 9x 11x 10 : x a) 0,x + 1,,8 + 0,x 1, 0,x,6 + 0,x 0,x 0,6x,6 : ( 0,6) x 6 b) x x x 16 x + 16 x x + 16 x x 16 : x 8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0

41 171. a) x 1 x x 6 6x x x x x + 8 x x 8 : x x x x b) 7 + x x 5x 5 15x x 15 10x 9x x 15x x 105 1x + 1x 15x 105 : 15 x a) 1,x ,x 60 : 1, x 50 b) 1,x ,x 10 : 1, x 100 c) 1,x ,x 600 : 1, x epätosi Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

42 tosi epätosi Vastaus: x 17. a) x x 1 b) 1 x 9 1 x : ( 1) x c) 7x 91 : 7 x 1 d) x x 7 e) (x + 5) 0 x x 0 : x x 175. a) (x ) 6x x + 1 6x + 6x 6x 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

43 b) x 1 (5x + ) (x + ) x 1 5x x 8 x 5 5 x + 5 x x + x 0 0 tosi Kaikki x:n arvot toteuttavat yhtälön a) x (x ) 5 + x x x x x x x + x x 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. x 1 x + 1 b) x x x (x 1) (x +1) x x (x 1) x + 1 x x x + 1 x + 1 x x + 1 x x x + x x 0 : x a) 5x (x ) 1 x 5x x x x x 6 x 5 x + x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

44 x 5 : x 5 1 b) x x x 1x x x + 10 x 8 15x x : ( 15) x a) x + a 8a a x 6a : x a b) x a 6 + a x 6 + a : x 6 + a x + a c) 5x 5a 1x 6a + 5a 5x 1x 1a 1x 7x 1a : ( 7) x a 179. sijoitetaan x k( + ) 1 k ( 1) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut

45 k k a) x + 8 x 8 8 x x 16 x x 16 : ( ) x 8 b) 1x 10 x x x + 0 x 10x 0 : 10 x c) 19 9x x + 9 x 19 10x x 10 : ( 10) x a) 15 x x sijoitetaan x 5 15 ( 5) + 15 ( 5) epätosi x 5 ei ole yhtälön ratkaisu sijoitetaan x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5

46 tosi x 5 toteuttaa yhtälön b) x x 10 sijoitetaan x 5 ( 5) ( 5) 10 ) 15 ) epätosi 6 x 5 ei toteuta yhtälöä sijoitetaan x ) 15 ) epätosi 6 x 5 ei toteuta yhtälöä Kumpikaan arvo ei toteuta yhtälöä. c) (x + 1) x x + sijoitetaan x 5 ( 5 + 1) ( 5) 5 + ( ) + 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6

47 tosi x 5 toteuttaa yhtälön sijoitetaan x 5 (5 + 1) tosi x 5 toteuttaa yhtälön Molemmat arvot toteuttavat yhtälön. 18. a) (x 9) 5(11 x) 8x x + 6 8x 91 5x + 5x 1x 91 : 1 x 7 b) x (x + ) (x ) x x x + x x + x 7 x + x x 7 : x 7 1 c) 17p (18p ) p 17p 18p + p p + p p 1 p + p p 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7

48 18. a) x 15 ( x) 5x 6 x 15 + x 5x 6 6x 8 5x x 5x + 5x x b) x (x 5) x + 1 x x + 10 x + 1 x + 10 x x 9 x x 9 : ( ) x c) 10 y (y + 0) 10 y y 60 + y 10 + y y 50 : y a) (x ) (5 x) (x + 1) x 5 + x x + x 8 x x x + 10 x x 10 : x 5 b) x 7 x x x x x 0 : x 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8

49 c) (x 5) x x + 15 x 15 x x + 15 x 15 x x x + 0 x 0 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua a) x x x (x ) 6 x (x ) 6 x x + 6 x + 6 x b) + x + x 1 1 1( + x) 1( + x) 1 ( + x) ( + x) x 9 x 1 + x 1 x 9 9z 5z 11 c) 5 (9z ) (5z 11) 0 9z (5z 11) 0 9z 5z z Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9

50 z 1 : z 186. a) x 5x x x (5x 1) 0 + 0x x + 5(5x 1) 0 + 0x x + 5x x 7x x + 5 7x 5 + 0x 0x 7x 5 : 7 5 x b) x + 1 x x 6 6(x + ) 6(1 x) 6x (x + ) (1 x) 6x x x 6x 7x + 6x 7x 6x 6x x c) r 8 + r + r + r r 8 + 8r + 8r + 8r 80 r + r + r + 8r 80 15r 80 : 15 r Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 50

51 187. a) x + x x 1 (x + ) x x x + x x x + x x x x Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) x x 1 x (x 1) 0 epätosi 1 6 x (x 1) 6 x x x x 5 Yhtälöllä on yksi ratkaisu. c) (x + ) x x + x + 6 x x + x + x + x x x 0 0 tosi Kaikki x:n arvot toteuttavat yhtälön, joten ratkaisuja on ääretön määrä a) x + 6x x 6x 6x 5x : ( 5) x 5 0,8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 51

52 b) (x ) 5 x 5x 10 x x x + 10 x x 10 x 10,5 c) 7x x x x + 1 x 6x 1 : 6 x 189. a) sijoitetaan x 8,8 + m(8 6,5) 5,6 b) sijoitetaan x 5 6k,8 + 1,5m 5,6,8 1,5m 1,8 : 1,8 m 1,8 1,5 1, k k 5 k 6 6 6(k 5) 6 6k k (k 5) 6k k k + 5 6k k + 5 6k 5 k 6k 5 6k 5k 5 : ( 5) k 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5

53 Ongelmasta yhtälöksi 190. Merkitään palkan määrää x:llä. x 0,7x ,7x : 0,7 x 191,78 ( ) Vastaus: Palkan pitää olla 191, Merkitään x:llä vuokraa ennen korotusta. 1,08x 61 : 1,08 x 575 ( ) Vastaus: Vuokra oli ennen korotusta Merkitään suurempaa osuutta x:llä. x + 0,8x 900 1,8x 900 : 1,8 x 500 ( ) Pienempi osuus on 0, ( ) Vastaus: Osuudet ovat 500 ja Merkitään kysyttyä lainan suuruutta x:llä. x 0,01x ,99x ,99x : 0,99 x 15 5, ( ) Vastaus: Laina on Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5

54 19. Merkitään Onnin osuutta x:llä. x + 1,5x + 0,75x x : x Onni: Voitto: 1, Toivo: 0, Vastaus: Onni saa 6 000, Voitto saa ja Toivo saa Merkitään lisättävän veden määrää x:llä. suolan määrä: 0,1 5 l 0,7 l 0,06 (5 + x) 0,7 0, + 0,06x 0,7 0,06x 0, : 0,06 x 6, ,7 (l) Vastaus: Vettä pitää lisätä 6,7 litraa Merkitään etikan määrää x:llä. Veden määrä on tällöin 8 x. Etikan määrän pitää olla alku- ja lopputilanteessa sama. 0,1x 0,0 8 0,1x 0, : 0,1 x, (l) Vettä käytetään 8, 5,6 (l) Vastaus: Etikkaa käytetään, litraa ja vettä 5,6 litraa Merkitään tarvittavan kivennäisveden määrää x:llä. 0,1 1,5 0,0 (1,5 + 0,5 + x) 0,18 0,0 ( + x) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5

55 0,18 0,08 + 0,0x 0,0x 0,0x + 0,18 0,08 0,18 0,0x 0,1 : ( 0,0) 0,1 x,5 (l) 0,0 Vastaus: Kivennäisvettä lisätään 1,5 litraa a) 1 10 b) 1 c) f(5) Kuukausipalkka on d) Merkitään ylityötuntien määrää x:llä x x 180 : 1 x 15 (h) Vastaus: a) Normaalityöajan palkka on b) Ylityötunnilta saatava korvaus on 1. c) Kuukausipalkka on d) Ylityötunteja tarvitaan 15 tuntia Merkitään lyhyemmän sivun pituutta x:llä. Pidemmän sivun pituus on x + 8. (x + 8) + (x + 8) + x + x 6 x 8 : x 1 lyhyempi sivu: 1 cm pidempi sivu: 1 cm + 8 cm 0 cm Vastaus: Suorakulmion sivut ovat 1 cm ja 0 cm. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 55

56 00. Merkitään puheaikaa minuutteina x:llä. a) + 0,10x 15 0,10x 11 : 0,10 x 110 (min) b) + 0,1x + 0,10x 0,10x 0,1x 0,10x 0,0x 1 : 0,0 x 50 (min) Vastaus: Puheaika on a) 110 min, b) 50 min. 01. Merkitään vohvelien määrää x:llä. 0 +,0x 60 0,x 10 :, x 60,8 61 (kpl) Vastaus: Vohveleita on myytävä 61 kpl. 0. Merkitään kuukausipalkkaa x:llä. x ( 1 x + 1 x + 1 x) x 6x x x 00 x 00 ( ) Vastaus: Kuukausipalkka on Merkitään lyhimmän osan pituutta x:llä. 6 m 600 cm 600 x + (x + 0) + (x ) + (x ) + (x ) 600 5x x 00 : 5 x 80 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 56

57 Lyhimmän osan pituus on 80 cm. Muiden osien pituudet ovat 100 cm, 10 cm, 10 cm ja 160 cm. Vastaus: Metallitangon osat ovat 80 cm, 100 cm, 10 cm, 10 cm ja 160 cm. 0. Merkitään Teon osuutta x:llä. x + x + x x + 1x + 6x x + x + x Teo: 6 9,08 1x : 1 x 6 9, ,08 Leo : 1 6 9, ,5 Lea : 6 9,08 615,8 Vastaus: Teo sai 6 9,08, Leo 18 61,5 ja Lea 615, Merkitään kaikkien äänien määrää x:llä. 0,085x 1 77 : 0, x 0,085 x Vastaus: Ääniä annettiin a) 800 kpl b) vähenee 00 kpl c) 600 kpl d) Merkitään viikkojen määrää x:llä x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 57

58 00x 00 : ( 00) x 1 (viikon) e) Merkitään viikkojen määrää x:llä x 0 00x 800 : ( 00) x (viikkoa) Vastaus: a) Varaston koko on 800 kpl. b) Varasto vähenee 00 kpl. c) Varaston koko on 600 kpl. d) Varasto on puolittunut 1 viikon jälkeen. e) Varastoa riittää viikoksi. 07. x + x + 1,5x 10,5x 10 :,5 x x x 0 1,5x 1,5x 1, Vastaus: Kyljet 0 cm ja kanta 60 cm 08. Merkitään 60-prosenttisen alkoholin määrää x:llä. Varsinaisen alkoholin määrän tulee olla sama ennen sekoittamista ja sen jälkeen. 0,60x 0,16 0,60x 0, : 0,60 x 0,5 (l) 0,5 1,7 (l) Vastaus: 0,5 litraa alkoholia ja 1,7 vettä. 09. Merkitään x:llä euron rajan ylittävää palkan osaa. ( x) 0, ,9x ,9x ,61x 96 : 0,61 x 69,180 69,18 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 58

59 ,18 9,18 Vastaus: Palkan tulisi olla 9, Merkitään toiseksi sijoittuneen palkintosummaa x:llä. x + 1,5x + 0,x 1 000,9x :,9 x 17,910 17,9 ( ). sija: 17,9 1. sija: 1,5 17,9 6 06,90. sija: 0, 17, ,17 Vastaus: Palkintosummat ovat 17,9, 6 06,90 ja 1 655, Merkitään possujen määrää x:llä. Kanojen määrä on tällöin x. Muodostetaan jalkojen määrästä yhtälö. x + ( x) 9 x + 68 x 9 68 x : x 1 x 1 Vastaus: saparoja on 1 ja helttoja. 1. Merkitään ylityötuntien määrää x:llä. 7,5 1 0, 7, x 0,6 1x 500 1,x ,x 101 : 1, x 7,5 Vastaus: 8 ylityötuntia viikossa Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 59

60 1. Merkitään pullapitkojen määrää x:llä.,0x 1,0x ,9x 80 : 1,9 x,105,1 Vastaus: vähintään pullapitkoa 1. Merkitään 5-prosenttisen liuoksen määrää x:llä. 15-prosenttisen liuoksen määrä on tällöin 0 x. Varsinaisen lipeän määrät liuoksissa: 5-prosenttinen liuos: 0,5x 15-prosenttinen liuos: 0,15 (0 x) Määrän tulee olla sama ennen ja jälkeen sekoittamisen. 0,5x + 0,15 (0 x) 0,18 0 0,5x + 0,15x,6 0 x ,1x 0,6 : 0,1 x 6 Vastaus: 6 litraa 5 %:n liuosta ja 1 litraa 15%:n liuosta 15. Merkitään vuotuista sähkönkulutusta kilowattitunteina x:llä ,08x ,08x ,08x : 0,08 x 1 00 Vastaus: 1 00 kwh:n vuotuisella kulutuksella. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 60

61 Suhde ja verranto 16. a) b) c) dl 10 dl 1: 5 1 dl 1: 0 0 dl dl 5 dl : Merkitään tiivisteen määrää x:llä. x + 6x,5 7x,5 : 7 x 0,571 0,6,5 0,6,1 Vastaus: Mehutiivistettä 0,6 litraa ja vettä,1 litraa. 18. Merkitään Janin korttien määrää x:llä. Jonin korttien määrä on tällöin 7x. x + 7x x 788 : 11 x 71,66 71,6 71,6 86, 7 71,6 501, Vastaus: Janille 87 ja Jonille 501 korttia. 19. Merkitään pienintä osaa x:llä. x + x + 9x 0 1x 0 : 1 x,8571,86,86 97,1 97,1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 61

62 9,86 18,57 18,57 Vastaus:,9, 97,1 ja 18,57 0. Merkitään pienimmän alueen kalkkimäärää 00x:llä. Muiden alueiden määrät ovat tällöin 600x ja 700x. 00x + 600x + 700x ,0706 8, ,0706, ,0706 9, x 10 : 1700 Vastaus: 8 kg, kg ja 9 kg x 0, , Merkitään pienimmän paketin kustannuksia 5x:llä. Muiden pakettien kustannukset ovat tällöin 1x ja 0x 5x + 1x + 0x 98 58x 98 : ,6897 8,85 8,5 x 1, , ,6897 1,9661 1,97 0 1, ,588 67,59 Vastaus: 8,5, 1,97 ja 67,59 rahtikustannuksia.. a) x 6 9 x 6 9 x 5 : x 7 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6

63 b) 9 x x 9 x 6 : x 1 c) 5 x 0 8 0x 5 8 0x 0 : 0 x a) x x 8 50x : 50 x 50 0,6 b) 15 x 100 x x : x 75. Merkitään veden määrää x:llä. 1 l 10 dl x x 100 x 5 (dl) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6

64 5 dl,5 l Vastaus:,5 litraa vettä 5. Merkitään kysyttyä dollarimäärää x:llä ,60 x 10x 15, x : 10 x 1 80 Vastaus: 1 80 dollaria 6. a) x x + x (x + ) x x + x x : x b) x 1 x (x 1) 10(x + 1) 11x 11 10x x x 1 c) 8 7x 0 18 x 8(18 x) 7x 0 1 8x 80x + 8x 1 88x : 88 1 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6

65 7. Merkitään suolan määrää x:llä. Liuoksen yhteismäärä kilogrammoina on tällöin 0,x, koska litra vettä painaa yhden kilogramman. x 0, + x x 6(0, + x) 100x, + 6x 6x 9x, : 9 x 0,0551 0,055 (kg) 0,055 kg 5,5 g Vastaus: 5,5 grammaa suolaa 8. a) x 9 10 x 9 10 x 90 : x 0 b) 10 0 x x 10 0 x 00 : x 75 c),6 x x, x 90 : 150 x kananmunat: 1 x 0 0,6 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 65

66 1x 0 1x 60 : 1 x 5 sokeri ja perunajauhot: 1 1 x 0 1x 1 0 1x 0 : 1 x,5 vehnäjauhot: 1 x 0 1x 0 1x 90 : 1 x 7,5 leivinjauhe: 1 1 x 0 1x 1 0 1x 0 : 1 x,5 margariini: 5 1 x 0 1x 5 0 1x 750 : 1 x 6,5 Vastaus: 5 kananmunaa,,5 dl sokeria,,5 dl perunajauhoja, 7,5 rkl vehnäjauhoja,,5 tl leivinjauhetta ja 6,5 g margariinia tai voita. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 66

67 0. Merkitään pienemmän osan suuruutta x:llä. Isomman osan suuruus on tällöin x. x + x x : 5 x Vastaus: 00 ja Merkitään kevyimmän osan painoa x:llä. Muiden osien painot ovat tällöin 5x ja 10x. x + 5x + 10x x 800 : 16 x Vastaus: 50 g, 50 g ja 500 g. Vettä tarvitaan laimennuksessa seitsemän kertaa niin paljon kuin tiivistettä. a) 7 0,5 l,5 l,5 l + 0,5 l l Vastaus: pienemmästä litraa b) 7 0,95 l 6,65 l 6,65 l + 0,95 l 7,6 l Vastaus: suuremmasta 7,6 litraa. a) Merkitään shampoon määrää x:llä. 1 x 16 16x : 16 x 0,15 (l) 0,15 l 15 ml Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 67

68 b) Merkitään veden määrää x:llä x 1 x 16 7 x (ml) 8 01 ml 8,01 l Vastaus: a) Shampoota lisätään 15 ml. b) Pesunestettä saadaan noin 8 litraa.. Merkitään Karlin osuutta 500x:llä. Brorin osuus on tällöin 00x ja Henrikin osuus ( ) x 6 00x 500x + 00x x x : x, ,17 Osuudet voitosta saadaan sentin tarkkuudella käyttämällä välituloksesta laskimen antamaa tarkkuutta. 500, , ,67 00, , , 6 00, Vastaus: Karl sai 7 916,67, Bror 10 1, ja Henrik euroa. 5. a) 10x x x 75 : 60 x 1,5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 68

69 b) 1 x (x ) 1 x + x 7 : x,5 c) x x + 6 x +1 x (x )(x ) (x + 6)(x + 1) x x x + 6 x + x + 6x + 6 x 5x + 6 x + 7x + 6 x 5x + 6 7x x 1x 0 : ( 1) x 0 6. Merkitään pienemmän osan suuruutta x:llä. Isomman osan suuruus on tällöin 1,x x + 1,x 500,x 500 :, x 1 58, , , 01,67 Vastaus: 1 58, ja 01,66 7. Erä kannattaa jakaa käänteisesti koko erän valmistamiseen kuluvien aikojen suhteessa. Merkitään nopeamman Pätkän osuutta 5x:llä. Hitaamman Pekan osuus on tällöin 5x. 5x + 5x x : 80 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 69

70 Vastaus: Pätkä ja Pekka kuusenjalkaa. 8. Kun matka pysyy samana, siihen kulunut aika ja keskinopeus muuttuvat käänteisessä suhteessa. Merkitään ensimmäisen päivän aikaa 95x:llä. Toisen päivän aika on tällöin 10x. 95x + 10x x 155 : 15 x 0, ,709 (min) 95 0,709 68,855 68,9 (min) 10 0,709 86,508 86,51 (min) 68,9 min 1 h 8,9 min 1 h 8 min + 0,9 60 s 1h 8 min 9, s 86,51 min 1 h 6,51 min 1 h 6 min + 0,51 60 s 1 h 6 min 0,8 s Vastaus: 1. päivänä aikaa kului 1 h 8 min 9 s ja. päivänä 1 h 6 min 1 s. Verrannollisuus 9. Määrä (kg) Hinta ( ),5 1 x Hinta ja määrä ovat suoraan verrannolliset.,5 1 x,5x 1,5x 6 :,5 x 1, Vastaus: 1,0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 70

71 0. Määrä (g) Hinta ( ) 0 1, x Rajahinta saadaan suoraan verrannollisuuden perusteella. 0 1, x 0x 1, x 0 : 0 x 10, ,09 Vastaus: 10,09 1. a) 5 1,5 6,65 6,6 b) 60 1,5 79,50 0 c) 15, ,09 (l) 1,5 50 d) 7, ,7 (l) 1,5 Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Vastaus: Bensiini maksaa a) 6,6, b) 79,50. Bensiiniä saa c) 15,09 litraa, d) 7,7 litraa.. Arvot saadaan suoraan verrannollisuuden perusteella x x 5 10 x 50 : x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 71

72 10 y 10y 10y 8 : 10 y,8. Merkitään kysyttyä tuottoa x:llä x x : x 1 98, ,1 Vastaus: 1 98,1. Merkitään Ullan viikkorahaa u:lla ja Kaarlon k:lla. Viikkoraha ( ) Ikä (v) u 1,70 9 k 7 u, u,70 1 9u, : 9 u,6,70 k 9 7 9k,70 7 9k 18,9 : 9 k,1 Vastaus: Ulla saa viikkorahaa,60 ja Kaarlo,10. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7

73 5. Kun määräraha on sama, sauvojen hinta ja määrä ovat kääntäen verrannolliset x 0 1x x 50 : 1 x 7,5 Jos yksittäisiä sauvoja ei osteta, x y y y 50 : 50 y 9 6. Aika (min) Nopeus (l/min) x 190 Kun vesimäärä pysyy samana, pumpun nopeus ja tyhjentämiseen kuluva aika ovat kääntäen verrannolliset. 50 x x x : 190 x 6, Vastaus: 7 minuuttia Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7

74 7. Opiskelijoiden määrä Kuluva aika (h) x Urakkaan kuluva aika ja siihen osallistuvien opiskelijoiden määrä ovat kääntäen verrannolliset. 8 x 5 1 5x 1 8 5x 96 : 5 x 19, (h) Vastaus: noin 19 tuntia 8. Hinta ( /100g) Määrä (g) 0, ,9 x Kun viikkoraha on sama, karkkien määrä ja hinta ovat kääntäen verrannolliset. 0,80 x 0, ,9x 0, ,9x 80 : 0,9 x 979, Vastaus: Marketista saa karkkeja 980 g. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7

75 9. a) 0 6 0x b) 0 6 0x 0x 50 : 0 x 17, 17, ( ) 0x 50 : 0 x 1 c) kääntäen verrannollisia Vastaus: Kustannus on a) 17,, b) 1. c) Matkustajien lukumäärä ja kustannus matkustajaa kohti ovat kääntäen verrannollisia. 50. a) suoraan b) kääntäen c) suoraan d) ei kumpikaan e) kääntäen f) ei kumpikaan 51. Merkitään Jutan osuutta 1,8x:llä. Juuson osuus on tällöin,x. 1,8x +,x 00 5x 00 : 5 x 0 1,8 0 7, 0 18 Vastaus: Jutta sai 7 ja Juuso 18. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 75

76 5. Euroa Puntaa x Eurojen ja puntien määrä ovat suoraan verrannolliset x 00x x : 00 x 89,8 Vastaus: 89,80 puntaa. 5. Merkitään kaikkien vastaajien määrää x:llä. 0,6x 785 : 0,6 x 1 706, ,5 0, ,5 07,17 07 Vastaus: 07 vastaajaa 5. a) suoraan b) ei kumpikaan c) suoraan d) kääntäen 55. a) Kun nopeus on vakio, aika ja matka ovat suoraan verrannolliset. 0 x x 0 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 76

77 5x 00 : 5 x 96 (min) x 96 min 1 h 6 min h 10 min 10 min y 0y y 50 : 0 y 16,5 (km) b) Kun matka on vakio, nopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. 0 x x x : 0 x 50 (km/h) y y y : 110 y 9,09 9 (min) 56. Kävelijän nopeus:,7 km 0min 0,09 km/min 1, km a) 1,... min 0,09 km/min b) 9 km 100 min 0,09 km/min Vastaus: a) 1 minuuttia b) 1 h 0 min Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 77

78 57. Keskinopeus (km/h) Aika (min) m 0 p 6 k Kun matka pysyy samana, keskinopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. a) 80 m m m 000 : 0 m 1, 1 (min) b) 80 p p p 000 : 0 p 00 (min) c) 80 k k k 000 : 6 k 666, (min) Vastaus: a) Vastaus: h 1 min, b) Vastaus: h 0 min, c) 11 h 7 min 58. Öljyn osuus bensiinin määrästä 0,5 l 0,05,5% 10 l Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 78

79 a) 0,05 l 0,1 l b) Merkitään bensiinimääriä x:llä ja y:llä. 0,05x 1 : 0,05 x 0 0,05y : 0,05 y 160 Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Vastaus: a) Vastaus: 0,1 litraa öljyä b) 0 litraa ja 160 litraa 59. Koska menoille ei ole annettu mitään lukuarvoa, merkitään niitä kirjaimilla. Korko (%) Korkomenot ( ) 5 a 6 b Korkoprosentti ja korkomenot ovat suoraan verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä b. 5 a 6 b 5b 6a : 5 b 1,a Koron nousun jälkeiset menot ovat 10 % aiemmista menoista. Nousu on 10 % 100 % 0 %. Vastaus: 0 % 60. Hammasluku Pyörimisnopeus (kierrosta/min) x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 79

80 Hammasluku ja pyörimisnopeus ovat kääntäen verrannolliset. 6 8 x 180 8x x : 8 x 98,57 99 Vastaus: 99 kierrosta minuutissa Kertaustehtäviä 61. a) 1 x 19 11x x 10x 5 : 10 1 x 0,5 b) (6 1,1x) 1,7x 18,x 1,7x 18 1,7x 5x 0 : ( 5) x c) 8x (6 x) 5 (x 1) 8x 6 + x 5x 5 9x 6 5x x x 1 : 1 x 0,5 d) x + 7 x 5 5(x + 7) (x ) 5x + 5 x 1 5 x x 7 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 80

81 6. a) f( ) 1,5 ( ) + 6 1,5 b) f(5) 1, ,5 c) 1,5x ,5x 6 : 1,5 x d) y 1, x + (x +,9) + (x +,9) 16 x +,9 x +,9 x + 5,8 16 5,8 x 10, : x, +,9 6, x, Vastaus:, cm, 6, cm ja 6, cm 6. Merkitään Kaisan painoa x:llä. Matin paino on tällöin 1,5x ja Kallen 1,5x 8. x + 1,5x + (1,5x 8) 00 x x 08 : x 5 1, , Vastaus: Kaisa painoi 5 kg, Matti 78 kg ja Kalle 70 kg. 65. Paino (g) Hinta ( ) 50 1,60 x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 81

82 Paino ja hinta ovat suoraan verrannolliset. 50 1,60 x 5 1,60x ,60x 150 : 1,60 x 781,5 780 Vastaus: Makkaraa saa noin 780 g. 66. Keskinopeus (km/h) Aika (h) a 100 m Kun matka pysyy samana, keskinopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. a) 90 a a a 50 : 70 a 7,718 7,71 (h) 7,71 h 7 h + 0,71 60 min 7 h,8 min 7 h min b) 90 m m m 50 : 100 m 5, h 5, h 5 h + 0, 60 min 5 h min Vastaus: Matka kestää a) 7 h min b) 5 h min. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8

83 Koska keskinopeus ja aika on annettu toisiaan vastaavissa yksiköissä, tehtävän voi ratkaista myös laskemalla ensin matkan pituuden (km). 67. a) y 0x + 50 b) c) 7,5 kuutiota 68. Huoneistojen osuudet kustannuksista ovat 9x, 68x, 68x ja 115x. 9x + 68x + 68x + 115x 500 x 500 : x 68,51 68,5 Jotta osuudet saadaan sentin tarkkuudella oikein, välituloksena kannattaa käyttää laskimen antamaa tarkkuutta. 9 68,51 6 0, , ,51 658, , , , ,01 A:n osuus: 6 0,1 B:n ja C:n osuus: 658,89 D:n osuus: 7 879,01 Vastaus: Huoneistoille tulleet maksut ovat 6 0,1, 658,89, 658,89 ja 7 879,01. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8

84 69. Sivujen määrä Lukuaika (min) x Sivujen määrä ja lukuaika ovat suoraan verrannolliset x 66x x : 66 x 1 001, ,8 (min) 1001, ,8 min h 16,697 h ,8 min min 1,8 min min Vastaus: Lukemiseen kuluu vielä 16 tuntia minuuttia. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8

85 Toisen asteen yhtälö Toisen asteen polynomifunktio 70. a) x y 0,5x + 1 b) 0 1 0,5 1,15 0,5 1,15 1 1,5 1 1,5 1,5,15 1,5,15,5,15,5, Toisen asteen polynomifunktioita ovat g(x) ja h(x), koska niissä on x -termit. Muut eivät ole, koska f(x):ssä ei ole x -termiä, i(x):ssä x on jakajana ja j(x):ssä on x -termi. 7. a) f(x) x + x + 7 b) g(x) x c) h(x) x f(0) f( ) ( ) + ( ) f(5) f( 1 ) ( 1 ) a) f(1) b) f( 10) ( 10) ( 10) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 85

86 1 1 1 c) f ) 5) a) ( ) 16 Piste on kuvaajalla. b) 1 1 Piste ei ole kuvaajalla. 76. a) f( ) ( ) 16 b) f(6) ƒ(x) ax + 1 ƒ() a + 1 a + 1 a a 1 : a Siis f(x) x + 1. ƒ(5) Ratkaistaan ensin vakio k. ƒ(v) kv f(60) k k Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 86

87 600k 6 : 600 k 0,01 a) 0, (m) b) 0, (m) c) 0, (m) Vastaus: Jarrutusmatka on a) 6 m, b) 100 m ja c) 1 m. 79. a) x 0 ja x 5 b) ei nollakohtia c) x 0 d) x 80. a) x 1,0 tai x,0 b) f(),0 c) x, ja x 1, d) f( 1) 5,0 81. h(x) x x + a) h(1) b) h( ) ( ) ( ) + 1 c) h() + 8. a) f(x) x x + 1 b) f( 1) ( 1) ( 1) f(0) f(1) f() + 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 87

88 f() + 1 c) f() 1, f(5) 6 d) x 0, ja x,7 8. x f(x) 0,6x + 1,7x (x, y) 0 f(0) 0, ,7 0 0 (0, 0) 0,5 f(0,5) 0,6 0,5 + 1,7 0,5 0,7 (0,5; 0,7) 1 f(1) 0, ,7 1 1,1 (1; 1,1) 1,5 f(1,5) 0,6 1,5 + 1,7 1,5 1, (1,5; 1,) f() 0,6 + 1,7 1 (, 1),5 f(,5) 0,6,5 + 1,7,5 0,5 (,5; 0,5) a) kyllä b) n. 1 1,5 m ennen estettä Vastaus: a) Hevonen ylittää esteen. b) Hevosen on ponnistettava n. 1 1,5 m ennen estettä. 8. Kuvassa kaikki a:n arvot ovat positiivisia. Kun a on pieni, paraabeli on laakea. Kun a on suuri, paraabeli on terävä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 88

89 85. c:n arvon kasvattaminen nostaa paraabelia koordinaatistossa yhtä monta askelta ylöspäin, arvon pienentäminen vastaavasti laskee paraabelia. 86. Funktiot g(x) ja j(x) ovat toisen asteen polynomifunktioita, koska niissä on x -termit. h(x) on ensimmäisen asteen funktio, f(x) on neljännen asteen funktio ja i(x):ssä x on jakajana. 87. a) f(x) x + 10x 9 b) g(x) x + x + 10 g( 10) ( 10) + ( 10) g(x) x + 1 x g(0) x 0 g( 1) ( 1) + 1 ( 1) 6 1 g(10) g( 1 10 ) ( 1 10 ) , a) f( ) ( ) + ( ) b) g(10) 0, , a) x 0 f(0) Vastaus: piste (0, 1) on kuvaajalla b) x 1 f(1) Vastaus: piste (1, 0) ei ole kuvaajalla c) x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 89

90 f ( ) Vastaus: piste (, ) on kuvaajalla a) f( 1) 0, ( 1) +,7 b) x,6 tai x,6 f(,6) 0, (,6) + 0,97 1 f(,6) 0,,6 + 0, Kuvaajien piirtämistä varten on laskettava funktion arvoja eri x:n arvoilla. x f(x) x x + 1 f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( 1) ( 1) ( 1) f(0) f(1) f() + 1 f() Kuvaaja ei leikkaa x-akselia. Funktiolla ei ole nollakohtia. 9. a) n. 155 m b) n. 1 m c) n. 0 m ja 10 m Vastaus: a) Lyönti on 155 m. b) Pallon korkeus on 1 m. c) Pallo on 0 m:n ja 10 m:n päässä lyöjästä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 90

91 9. f() a 9a 9a : 9 a 9 Siis 9 f ( x) x. f(6) a) 1 x x x 1 x b) A(x) x(1 x) c) A(0) 0 (1 0) 0 A(1) 1 (1 1) 10 A() (1 ) 16 A() (1 ) 18 A() (1 ) 16 A(5) 5 (1 5) 10 A(6) 6 (1 6) Etäisyyden neliö tarkoittaa sen toista potenssia. Painovoima (N) Etäisyys (km) Etäisyys x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 91

92 15 00 x x : x 685 x 15 18, (N) Vastaus: Paino on N. 97. p(x) x, A(x) x x x a) p(1) 1 p() 8 p() 1 p() 16 p(5) 5 0 A(1) 1 1 A() A() 9 A() 16 A(5) 5 5 b) x 10 : x,5 A(,5),5 6,5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9

93 98. a) x y 0,08x + x +,0 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0,9,0 0,08,0 +,0 +,0,68,0 0,08,0 +,0 +,0,8,0 0,08,0 +,0 +,0,7 5,0 0,08 5,0 + 5,0 +,0 5 6,0 0,08 6,0 + 6,0 +,0 5,1 7,0 0,08 7,0 + 7,0 +,0 5,08 8,0 0,08 8,0 + 8,0 +,0,88 9,0 0,08 9,0 + 9,0 +,0,5 10,0 0,08 10,0 + 10,0 +,0 11,0 0,08 11,0 + 11,0 +,0, 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0,8 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0 1,8 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0 0, 15,0 0,08 15,0 + 15,0 +,0 1 b) c) n. 1, m d) n. m e) n. 1,9 m tai 10,5 m Ratkaisukaava 99. a) x x a, b ja c 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9

94 b) ( ) ± x ( ) ( 6) c) x ± ± 6 ± 8 x tai x 8 Vastaus: x 1 tai x a) x + x + 0 a 1, b ja c x ± 1 1 ± 16 1 ± ± x + 1 tai x Vastaus: x tai x 1 b) x + 8x x + 8x 0 a, b 8 ja c x 8 ± 8 ( ) x 8 ± tai x Vastaus: x tai x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9

95 01. a) y + y a, b ja c 1 ± y ± Vastaus: 1 1 y ± b) 5x 1 x x 5x x 1 0 a 5, b ja c 1 ( ) ± ( ) ( 5) ( 1 x ) ( 5) ± ± 6 10 Vastaus: ei ratkaisua 0. a) TAPA x 000x a , b 000 ja c 100 x ( 000) ( 000) ± TAPA x 000x : x 0x a 100, b 0 ja c 1 x ( 0) ± ( 0) ± Vastaus: x 1 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 95

96 b) 10t + t 10t t + 10t 0t t 0 a 0, b ja c t ( ) ± ( ) 0 ( ) 0 ± 56 0 ±16 0 t tai t 16 0 Vastaus: t 1 tai t a) x x + 1 x(x + 1) x x + 1 x x + x + x x x 1 : ( 1) x 1 Vastaus: x 1 b) 0,1x + 0,x 0,1 0,1x + 0,1 0,1x 0,1 0,1x + 0,1x 0, 0 TAPA 1 a 0,1, b 0,1 ja c 0, x 0,1± 0,1 0,1 ( 0,) 0,1 0,1± 0, 0, 0,1 + 0, 0, 0,1 0, 0, x 1 tai x 0, 0, 0, 0, TAPA 0,1x + 0,1x 0, 0 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 96

97 x + x 0 a 1, b 1 ja c x 1± 1 1 ( ) 1 1± 1+ 1 x 1tai x Vastaus: x 1 tai x 0. a) r 9 5 r (r 9) ( r) 5 r + 9r 0 0 r + 9r 0 0 a 1, b 9 ja c 0 9 ± r 9 ± (9) ( 1) ( 0) ( 1) 1 9 ± r tai r 5 Vastaus: r tai r 5 b) 1 x x 8 x(x ) 1 8 9x 6x 8 8 9x 6x 8 0 a 9, b 6 ja c 8 ( 6) ± x ( 6) 9 ( 8) 9 6 ± 6 ± Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 97

98 x 1 tai x Vastaus: 1 x tai x a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x a, b 0 ja c 1587 x 0 ± 0 ( 1 587) ± ± x tai x 6 6 TAPA b) TAPA 1 x x : x 59 x ± 59 x ± Vastaus: x tai x x a 1, b 0 ja c 81 x 0 ± ei ratkaisua TAPA x ± x 81 aina epätosi, ei ratkaisua Vastaus: ei ratkaisua Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 98

99 06. a) x + x x + x + 15 x x 15 x 18 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 18 x 0 ± 0 ( 18) ± 1 ±1 1 1 x tai x TAPA x x 18 : x 9 x ± 9 x ± Vastaus: x tai x b) x(x + 10) 10x x + 10x 10x x 100 x TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c ± x 0 1 ( 100) 1 ± 00 ± x 10 tai x 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 99

100 TAPA x x 100 x ± 100 x ± 10 Vastaus: x 10 tai x a) TAPA 1 (ratkaisukaava) z + z 0 a, b 1 ja c 0 z 1± 1 ( ) 0 ( ) 1± z 0 tai x 6 6 TAPA z + z 0 z( z + 1) 0 1 z 0 tai z z 1 : ( ) 1 z 1 Vastaus: z 0 tai z 1 b) y + 5y 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 5 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 100

101 y 5 ± ± 5 5 ± y 0 tai y 5 TAPA y + 5y 0 y(y + 5) 0 y 0 tai y y 5 Vastaus: y 0 tai y a) x x x x x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 1 ja c 0 x ( 1) ± ( 1) ± 1 1± x 1 tai x 0 TAPA x x 0 x(x 1) 0 x 0 tai x Vastaus: x 0 tai x 1 x 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 101

102 b) x + 7x x + x x + x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 x ± ± 16 ± + 8 x 0 tai x TAPA x + x 0 x(x + ) 0 x 0 tai x + 0 x Vastaus: x 0 tai x 09. x + x + p 0 a) yhtälö toteutuu, kun x p 0 p 0 x + x a, b ja c 0 x ± 0 ± + 6 x 0 tai x 1 1 Vastaus: p 0, toinen ratkaisu on x 1 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10

103 b) yhtälö toteutuu, kun x 1 ( 1) + ( 1) + p 0 + p p 0 p 1 x + x a, b ja c 1 x ± 1 ± 1 ± x tai x 1 Vastaus: p 1, toinen ratkaisu on x a) x + 9x a, b 9 ja c 5 x 9 ± 9 ( ) 5 ( ) 9 ± 11 9 ± x tai x 5 Vastaus: x 1 tai x 5 b) x x a 1, b ja c 108 x ( ) ± ± 1 ( ) 1 ( 108) 1 ± x 1 tai x 9 Vastaus: x 1 tai x 9 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10

104 11. a) z z z + 10z 60 z 10z + 60 z 11z a 1, b 11 ja c 60 z ( 11) ± ( 11) ± 119 Vastaus: ei ratkaisua b) x 100 0x + 0x 100 x + 0x a 1, b 0 ja c 100 x 0 ± 0 ± 0 0 ( 1) ( 100) ( 1) a) (x 6)(x 8) 0x 10 x 6x 8x + 8 0x 10 x 1x + 8 0x x + 10 x + 16x a 1, b 16 ja c 168 x 16 ± ± 16 Vastaus: ei ratkaisua b) x 8x 1 x x x 1 ( 8x) x + 8x + 8x x 8x + 0 a, b 8 ja c x ( 8) ± ( 8) ( ) ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10

105 8 ± ± x tai x Vastaus: x tai x 1 1. x x(x + x + ) 1 0 x x x x 1 0 x ( ) ± ± 0 x x 1 0 a 1, b ja c 1 1 Vastaus: x 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1. a) z z z + z z z z z 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 z ( ) ± ( ) ± + z tai z 0 TAPA z z 0 z(z ) 0 z 0 tai z 0 + Vastaus: z 0 tai z z Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 105

106 b) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 0 a, b 0 ja c 5 x 0 ± ± ( 5) ± x tai x 8 8 TAPA x x 5 : x 5 1 x ± 5 5 x ± Vastaus: x 1 tai a) TAPA x x a , b ja c x ± ± ei ratkaisua TAPA x x : x + 9x a 0, b 9 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 106

107 x 9 ± ± Vastaus: ei ratkaisua b) 0,000x 0,001x ,000x 0,001x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 0,000, b 0,001 ja c 0 x ( 0,001) ± ( 0,001) 0, ,000 0,001± 0, ,0006 0,001± 0,001 0,0006 0, , ,001 0,001 x tai x 0 0,0006 0,0006 TAPA 0,000x 0,001x 0 x(0,000x 0,001) 0 x 0 tai 0,000x 0, ,001 0,000x 0,001 : 0,000 x 0,001 0,000 1 Vastaus: x 0 tai x a) x(x + 1) x x x + x x + 00 x 00 x TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 107

108 x 0 ± 0 ( 100) ± ± x 5 tai x TAPA x x 100 : x 5 x ± 5 x ±5 Vastaus: x 5 tai x 5 b) (y + 1) (y + 7) (y + 1)(y + 1) x + 1 y + 1y + 1y + 1 y + 1 y + y + 1 y + 1 y 1 y + y 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 ± y ± 8 ± + y 0 tai y TAPA y + y 0 y(y + ) 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 108

109 y 0 tai y + 0 y Vastaus: y 0 tai y 17. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x(x + 0,5) 0 x 0,5x 0 a 1, b 0,5 ja c 0 x ( 0,5) ± ( 0,5) ( 1) 0 ( 1) 0,5 ± 0,5 0,5 ± 0,5 0,5 + 0,5 0,5 0,5 x 0,5 tai x 0 TAPA x(x + 0,5) 0 x 0 tai x + 0,5 0 0,5 x 0,5 Vastaus: x 0 tai x 0,5 b) x(x + 0,5) 1 x 0,5x 1 0 a 1, b 0,5 ja c 1 x ( 0,5) ± x ( 0,5) ± ( 0,5) ( 1) ( 1) ( 1) ( 0,5) ( 1) ( 1) ( 1) 0,5 ±,75 Vastaus: ei ratkaisua Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 109

110 18. ax + 6x 1 1 ax + 6x 1 0 a a, b 6 ja c 1 x 6 ± 6 a ( 1) a Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, jos neliöjuurimerkin sisällä olevan lausekkeen arvo on nolla. 6 a ( 1) a a 676 : 5 a 1 Ratkaisukaavan käyttö edellyttää, että yhtälön toisen asteen termin kerroin a 0. Jos a 0, yhtälö on 1. asteen yhtälö, jolla on yksi ratkaisu. 6x 1 : 6 x 1 Vastaus: a 1 tai a Ratkaistaan molemmat yhtälöt. Ensimmäisen yhtälön voisi ratkaista myös ilman ratkaisukaavaa. 5x 5 0 a 5, b 0 ja c 5 x 0 ± 0 5 ( 5) 5 ± 900 ± x 7 tai x 7 x x 5 5 x x 5 0 a 1, b ja c 5 x ( ) ± x ± 1 ( ) 1 ( 5) 1 ±1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 110

111 + 1 1 x 7 tai x 5 x 7 tai x 5 Vastaus: yhteinen juuri 7, toiset juuret 7 ja 5 0. x 5x 7x x + x 7x x x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b ja c 0 x ( ) ± ( ) 0 ± ± 8 + x 8 tai x TAPA x x 0 x(x ) 0 x 0 tai x 0 + x : x 8 Vastaus: arvoilla x 8 ja x 0 Toisen asteen yhtälön sovelluksia 1. a) Piiri on 18 cm. x x Leveys on 18 x 9 x. b) x(9 x) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 111

112 c) x(9 x) 0 9x x 0 0 9x x 0 0 x + 9x 0 0 a 1, b 9 ja c 0 x 9 ± 9 ( 1) ( 0) ( 1) 9 ±1 x tai x 9 1 x tai x 5 Kun x, 9 x 9 5. Kun x 5, 9 x 9 5. Vastaus: Suorakulmion mitat ovat cm ja 5 cm.. x(x + 5) 750 x + 5x x a 1, b 5 ja c 750 x + 5 x 5 ± 5 1 ( 750) 1 5 ± 05 5 ± 55 x tai x 5 55 x 5 tai x 0 ei käy toinen sivu: Vastaus: pituus 5 cm ja leveys 0 cm Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11

113 . (10 x)(15 x) x 0x + x x 50x x 75 cm x 10 cm a, b 50 ja c 75 x ( 50) ± ( 50) cm 50 ± ± 6,06 8 x tai x , ,06 8 Vastaus: 1,7 cm 10,76 ei käy, koska tulos on liian suuri 1,7. ( + x)(7 + x) x + 1x + x x + 18x 10 0 x x 7 m m a, b 18 ja c 10 x 18 ± 18 ( 10) 18 ± ± x tai x 8 8 x 1 tai x 5 ei käy Vastaus: 0,5 m Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11

114 5. Ratkaistaan Pythagoraan lauseen avulla: a + b c x + (x + 5) 0 x + (x + 5)(x + 5) 00 x + x + 5x + 5x x + 10x 75 0 a, b 10 ja c 75 x x cm x 10 ± 10 ( 75) 10 ± ± 55, , ,68 x 11, tai x 16, ei käy toinen kateetti: 11, , Vastaus: 11, cm ja 16, cm 6. a) pienempi: x yhtä suurempi: x + 1 b) x(x + 1) 110 c) x(x + 1) x + x a 1 b 1 c 110 x 1± 1 1 ( 110) 1 1± 1 1± 1 x 1+ 1 tai x 1 1 x 10 tai x 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11

115 Yhtä suuremmat luvut ovat 11 ja 10 Vastaus: 10 ja 11 tai 11 ja Merkitään pienempää luvuista x:llä, jolloin suurempi on x + 1. Luvun neliö on sen toinen potenssi. x + (x + 1) 85 x + (x + 1)(x + 1) 85 x + x + x + x x + x 8 0 a, b ja c 8 x ± ( 8) ± 676 ± 6 x + 6 tai x 6 x 6 tai x 7 Yhtä suuremmat kokonaisluvut ovat 7 ja 6. Vastaus: 6 ja 7 tai 7 ja 6 8. a) Kun pienempi parillinen luku on x, seuraava parillinen luku on x +. x(x + ) 6 6 x + x 6 0 a, b ja c 6 x ± ( 6) ± ±100 8 x Tapaus x 1: 1 tai x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 115

116 x 1 x Tapaus x 1: x ( 1) 6 x Vastaus: ja 6 tai 6 ja b) Kun pienempi kolmella jaollinen luku on x, sitä seuraava kolmella jaollinen luku on x +. x(x + ) x + 9x 68 0 a 9, b 9 ja c 68 x 9 ± 9 9 ( 68) 9 9 ± ±15 18 x Tapaus x 8: x 8 tai x x Tapaus x 9: x 7 x Vastaus: ja 7 tai 7 ja 9. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 5 x 5 0 a 1, b 0 ja c 5 x 0 ± 0 1 ( 5) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 116

117 ± 0 x 0 tai x 0 TAPA x 5 x ± 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x 0 5 tai x 0 5 b) TAPA 1 (ratkaisukaava) y + y y + y + 6 y y 6 y 6 0 a 1, b 0 ja c 6 0 ± y 0 1 ( 6) 1 ± y tai y TAPA y 6 0 y 6 y ± 6 y 6 tai y 6 Vastaus: y 6 tai y 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 117

118 0. a) x + x 1 0 a 1, b jac 1 x ± 1 ( 1) 1 ± 8 Vastaus: + 8 x tai x 8 b) s 6s + 6s + s + 6s + 0 a, b 6 ja c s 6 ± 6 6 ± 0 Vastaus: s tai s a) s s a, b ja c 1 s ( ) ± ( ) ( ) 1 ( ) ± 8 Vastaus: s + 8 tai s 8 b) x x 0 x 0 + x x 0 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 0 0 ± x 0 ( 0) ± 66 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 118

119 66 x tai x TAPA x x 0 : x 101 x ± 101 x 101 tai x 101 Vastaus: x tai x Vuonna 1980 syntynyt henkilö on x vuotta vanha vuonna x. x x x x x a 1, b 1 ja c 1980 ( 1) ± x 1± 791 1± 89 ( 1) 1 ( 1980) x 5 tai x ei käy Vastaus: vuonna 05, jolloin hän on 5-vuotias. x (500 0x) x + 500x a 0, b 500 ja c ± x 500 ( 0) ( 1000) ( 0) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 119

120 500 ± , ,1 x,195 tai x,80775 ei käy 0 0 Vastaus: Makkaran hinnaksi on pantava,0.. Nopeus (km/h) Nopeus Jarrutusmatka x x x x x : 8 x 71, Ratkaistaan neliöjuurella. x 71, , tai x 71, , ei käy Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Auton voi arvioida liikkuneen vähintään nopeudella 85 km/h. 5. Merkitään x:llä korkokerrointa, joka esim. %:n korolle olisi 1,0. Talletusten arvot vuoden 009 alussa: 007: x x x ( ) 008: x x ( ) 1 000x + 000x 0,50 0, x + 000x 0,50 0 a 1 000, b 000 ja c 0,50 x 000 ± ( 0,50) 1000 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10

121 000 ± ± 100 x x 1,05 tai x,05 ei käy Korkokerroin on 1,05. Korko on 105 % 100 % 5 %. Vastaus: 5 %:n korko 6. x x + x(x + 1) x + x + x 7x + x 0 a 7, b ja c ± x 7 ( ) 7 ± x tai x 1 ei käy Vastaus: x 7 7. Merkitään ensimmäistä lukua x:llä. Sitä seuraava luku on x + 1. x(x + 1) 1 1 x + x 1 0 a 1, b 1 ja c 1 1 ± x 1 1 ( 1) 1 1± x 11tai x 1 Yhtä suuremmat kokonaisluvut ovat 1 ja 11. Vastaus: 11 ja 1 tai 1 ja 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11

122 1 8. Merkitään pellon pituutta x:llä. Leveys on tällöin x. 1 x 1 x x x 500 x ± x ± leveys: (m) x Ratkaistaan neliöjuurella. Negatiivinen vastaus ei käy Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Pellon leveys on 50 m. 9. Paino (N) Jään paksuus (cm) Paksuus x x x 9 00x x : 9 00 x 1,06... x 1,06...,67...,6 tai x 1,06...,67...,6 Ratkaistaan neliöjuurella. Negatiivinen vastaus ei käy. Vastaus: Jään on oltava vähintään,6 cm paksu. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

123 0. Paino (N) Etäisyys (km) Etäisyys x x Etäisyydet mitataan Maan keskipisteestä. 85 x x : 8 x ,9 Ratkaistaan neliöjuurella. x ,9 681, ,7 tai x ,9 681, ,7 Negatiivinen vastaus ei käy. Korkeus Maan pinnasta: 6 81, ,7 11 (km) Vastaus: Mittaus tehtiin 11 km:n korkeudella. 1. Vajan alkuperäinen pinta-ala on,5 m,0 m 10 m. Uusi pinta-ala on 0 m. Merkitään sivun pituuden lisäystä x:llä. x x,5 m (,5 + x)( + x) 0,0 m 10 +,5x + x + x 0 0 x + 6,5x 10 0 a 1, b 6,5 ja c 10 6,5 ± x 6,5 1 1 ( 10) 6,5 ± 8,5 6,5 ± 9,069 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

124 x x 6,5 + 9,069 1,85 tai 6,5 9,069 7,785 Negatiivinen vastaus ei käy.,5 + 1,85,785,8 + 1,85 5,85 5, Vastaus: Pituus 5, m ja leveys,8 m.. Merkitään lämmittelyalueen leveyttä x:llä. Pelikentän pinta-ala on 16 m 0 m 60 m. x x x Pelikentän ja lämmittelyalueen yhteenlaskettu 16 m pinta-ala on 60 m 180 m. 0 m (0 + x)(16 + x) 180 x x + x + x 180 x + 11x 60 0 a, b 11 ja c ± x 11 ( 60) 11 ± ± 150,9 8 8 x ,9 8,8675 tai x ,9, Negatiivinen vastaus ei käy Vastaus: Lämmittelyalueen leveys on,9 m.. a) y 1y a, b 1 ja c 15 y ( 1) ± 1 + y ( 1) 15 1 tai y 1 ± Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

125 b) x 70 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 70 x 0 ± 0 ( 70) ± 560 x 560 tai x 560 TAPA x x 70 : x 5 x ± 5 x 5 tai x Vastaus: a) y 1 tai y b) x 5 tai x 5. a) 5x 1x + 5x 1x + 0 a 5, b 1 ja c x ( 1) ± ( 1) 5 5 1± x tai x b) x x (5 x) x x 10 x 10 + x x 10 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15

126 x 0 ± x ± 0 x 0 TAPA 0 1 ( 10) 1 tai x 0 x x 10 x ± 10 x 10 tai x 10 Vastaus: a) x tai x ,b) x 10 tai x a) y 5y y 5y a, b 5 ja c 1 y ( 5) ± 5 ± 7 6 y ( 5) ( ) 1 ( ) tai y b) x 5 x a 1, b 5 ja c 5 x ( 5) ± ( 5) ± Vastaus: a) y tai y 5 7 6, b) x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16

127 6. y v 0 t 1 gt Sijoitetaan lausekkeeseen v 6 ja g 9,81. 0 y 1 6t 9,81 t Pallon korkeus on pompun alussa ja lopussa 0 m. 6t 1 9,81 t 0 6t,905t 0,905t + 6t 0 Voidaan ratkaista joko ratkaisukaavalla tai tulon nollasäännöllä. TAPA 1 (ratkaisukaava) a,905, b 6 ja c 0 t 6 ± 6 ( 905) 0 (,905) 6 ± 6 9, t 0 tai t 9, , 1, 9,81 TAPA 6t,905t 0 t(6,905t) 0 t 0 tai 6,905t 0 6,905t 6 : (,905) t 1, 1, Vastaus: Pallo on ilmassa 1, sekuntia 7. Etäisyys (m) Etäisyys Valaistusvoimakkuus (lx),5,5 00 x x 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17

128 ,5 x x, x 675 : 100 x 6,75 Ratkaistaan neliöjuurella. x 6,75 6, ,1 tai x 6,75 6, ,1 Negatiivinen vastaus ei käy. Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Etäisyys on 6,1 metriä 8. Merkitään x:llä korkokerrointa, joka esim. %:n korolle olisi 1,0. Talletusten arvot, kun Pyry täyttää 18 vuotta 16-vuotiaana saatu: x x x ( ) 17-vuotiaana saatu: x x ( ) 18-vuotiaana saatu: ( ) 1 600x x x x 55 0 a 1 600, b ja c ± x ( 55) ± ± 50, ± 50, ,80 x 1,055 tai x, Negatiivinen vastaus ei käy. Korkokerroin on 1,05. Korko on 10,5 % 100 %,5 % Vastaus:,5 %:n korko Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18

129 Kertaustehtäviä 9. a) f(5) ei ole nollakohta b) f( 15) ( 15) 5 0 on nollakohta 50. x f(x) x ( ) 1 ( 1) x g(x) 1 x 1 ( ) 1 1 ( 1) x h(x) x ( ) 8 1 ( 1) a) f(0) 0 f() 0 f() 5 b) Nollakohdat ovat x ja x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19

130 5. a) 0 m 1 m, x b) x( x) c) x + x x x f(x) x + x f( ) 8, f( 1), f(0) 0, f(1) 1, f() 0, f() ja f() 8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10

131 Nollakohdat ovat x 0 ja x. 5. a) 10x + 19x 0 a 10, b 19 ja c x 19 ± ( ) ± ± 1 0 x 19 ± tai x 0 b) x 8x 6x + 8 0x 1 + 0x + 1 x + 16x a 1, b 16 ja c 60 x 16 ± ± ± x 6 tai x 10 c) z z z + 10z + 60 z 10z 60 z 11z 60 0 a 1, b 11 ja c 16 z ( 11) ± ( 11) 1 ( 60) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11

132 11± 61 11± z 15 tai z 1 Vastaus: a) x tai x, b) x 6 tai x 10, c) z 15 tai z a) 1 x + x + 0 a 1, b 1 ja c x 1± ± 5 1 ei ratkaisua b) x (x + 8) x x 56 + x + 56 x + x a 1, b ja c 56 x ± ± 0 16 Vastaus: a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) x a) TAPA 1 (ratkaisukaavalla) x 8 0 a, b 0 ja c 8 x 0 ± ± 6 0 ( 8) ±8 8 8 x tai x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

133 TAPA x x 8 : x x ± x ± b) TAPA 1 (ratkaisukaavalla) 9x 1 1 9x 1 0 a 9, b 0 ja c 1 x 0 ± ± ( 1) 9 ± x tai x TAPA 9x 1 : 9 1 x 9 x ± x ± Vastaus: a) x tai x, b) x 1 tai x a) TAPA 1 (ratkaisukaava) 8x + 0 a 8, b 0 ja c x 0 ± Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

134 ± 6 16 ei ratkaisua TAPA 8x + 0 8x : 8 1 x aina epätosi, ei ratkaisua b) y(y 1) (9 y) y y 18 y 18 + y y 18 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 19 y 0 ± ± ( 9) 1 ±6 6 6 y tai y TAPA y y 18 : y 9 y ± 9 y ± Vastaus: a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) y tai y 58. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x + 5x 0 a 1, b 5 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

135 x 5 ± ± 5 5 ± x 0 tai x 5 TAPA x + 5x 0 x(x + 5) 0 x 0 tai x b) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 x x 0 a, b ja c 0 x ( ) ± ( ) 0 x ± 16 6 ± x 1 tai x TAPA x x 0 x(x ) 0 x 0 tai x 0 + c) z(z 8) + (z + ) x : x 1 1 z 8z + z + z z 10z 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15

136 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 10 ja c 0 z ( 10) ± ( 10) 0 10 ± ± z 5 tai z 0 TAPA z 10z 0 z(z 10) 0 z 0 tai z z 10 : z 5 Vastaus: a) x 0 tai x 5, b) x 1 1 tai x 0, c) z 5 tai z Paraabeli sivuaa x-akselia, kun yhtälöllä x 6x + a 0 on vain yksi ratkaisu. Sijoitetaan ratkaisukaavaan yhtälön kertoimet. ( 6) ± x ( 6) a 6 ± 6 1a 6 Ratkaisuja on vain yksi, kun neliöjuurimerkin sisällä olevan lausekkeen arvo on nolla. 6 1a 0 6 1a 6 : ( 1) a 60. Merkitään luonnollista lukua x:llä. Seuraava luonnollinen luku on x + 1. Näiden neliöt ovat x ja (x + 1). x + (x + 1) 1 x + (x + 1)(x + 1) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16

137 x + x + x + x x + x 0 0 a, b ja c 0 ± ( 0) ± 6 ± 58 x x 1 tai x ei ole luonnollinen luku, se ei käy. Vastaus: Luku on 1 ja sitä seuraava luku Merkitään lattian pituutta x:llä. Leveys on 0,75x. 0,75x x 8 0,75x 8 : 0,75 x 10 Ratkaistaan neliöjuurella. 0,75x x x 10,659..., tai x 10,659..., Negatiivinen vastaus ei käy. x, (m) 0,75x 0,75,66,95, (m) Vastaus: Lattian mitat ovat pituus, m ja leveys, m. 6. s 0,5v + 0,0v a) s 0, , ,5 116 (m) b) 0,5v + 0,0v ,0v + 0,5v 60 0 v 0,5 ± 0,5 0,0 ( 60) 0,0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17

138 0,5 ±,865 0,5 ±,051 0,0 0,0 0,5 +,051 0,5,051 v 8, tai v 61, ei käy 0,0 0,0 Vastaus: a) 116 m b) 50 km/h 6. Merkitään jokea vastaan kohtisuorien sivujen pituutta x x x:llä. Joen suuntaisen sivun 0 x pituus on tällöin 0 x. x(0 x) 000 0x x x + 0x a, b 0 ja c ± x 0 ( ) ( 000) ( ) 0 ± ± x 15 tai x Toinen sivu: x 15 0 x x Vastaus: Alueen mitat ovat 15 m ja 00 m tai 100 m ja 0 m jokea vastaan kohtisuoran sivun pituus ensin mainittuna. 6. a) x 1 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18

139 0 ± x 0 1 ( 1) 1 ± 56 x 56 tai x 56 TAPA x 1 x 1 tai x 1 b) x + x 0 a 1, b 1 ja c x 1± 1 1 ( ) 1 1± Vastaus: a) x 1 tai x 1, b) x tai x T 1 R 1 T R R (km) T 1 1 (a) a) R (km) T x (a) 1 x x x ± x ± 8,55 ± 9 Negatiivinen vastaus ei käy. T 9 (a) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19

140 b) R (km) T x 1 x x x ± x ±, ±,6 Negatiivinen vastaus ei käy. T,6 (a) Vastaus: a) 9 vuotta, b),6 vuotta Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10

141 Harjoituskokeet Koe 1 1. a) x (x + 1) x x 1 x 1 b) (x )(x + ) x + x x 1 x + x 1 c) f( 5) ( 5) ( 5) Vastaus: a) x 1 b) x + x 1 c) f( 5) 5. a) (x + 1) 5x + 11 x + 5x x x 8 : ( ) x b) 7x + 7x 6 : 7 6 x 7 c) (x + ) 8x + 7 8x + 6 8x epätosi ei ratkaisua 6 8x Vastaus: a) x b) 6 x c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 7. a) TAPA 1 0, , , ,7 1 78,7 ( ) TAPA 1,05 1, ,7 ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11

142 b) Alennus oli ( ) % 79 Vastaus: a) Korotusten jälkeinen palkka on 1 78,7. b) Hintaa oli alennettu 7 %.. a) x + 5x 6 0 a 1, b 5 ja c 6 5 ± x 5 1 ( 6) 1 5 ± 9 5 ± x 1 tai x b) 7x x x + x x x 0 a, b 1 ja c ( 1) ± ( 1) ( ) x x 1 tai x Vastaus: a) x 1 tai x 6 b) x 1 tai 5. a) f(x),7 +1,x b) f(1),7 + 1, 1 1,50 ( ) c) Merkitään matkan pituutta x:llä.,7 +1,x 50,7 1, x 5, : 1, x 7,75 (km) 1± ( x 5 6 1± 5 6 Vastaus: a) f(x),7 +1,x b) Matka maksaa 1,50. c) Matkan pituus on 7,75 km. 6. a) Pakkaajien määrä Työn kesto (h) 8 6 x Pakkaajien määrä ja työn kesto ovat kääntäen verrannollisia. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

143 8 x 6 x 8 6 x 8 : x 1 Pakkaajia tarvitaan lisää 1 8. b) Pysähtymismatka (m) Nopeus (km/h) Nopeus x x x x : 500 x 8, 8 (m) Vastaus: a) Pakkaajia tarvitaan lisää. b) Pysähtymismatka on 8 m. 7. x f(x) x + x f( 1) ( 1) + ( 1) f(0) f(1) f() f() f() Vastaus: Nollakohdat ovat x 0, ja x,. 8. Merkitään lisättävän suolan määrää x:llä. Suolaliuoksessa on ennestään suolaa 0, (g). Lisäyksen jälkeen suolan määrä grammoina on 1 + x ja koko liuoksen määrä 10 + x. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

144 Suolan määrän tulee olla 8 % koko liuoksen määrästä. 1 + x 0,8(10 + x) 1 + x,6 + 0,8x 1 0,8x 0,7x 1,6 : 0,7 x 0 Vastaus: Suolaa tulee lisätä 0 g. 9. Merkitään x:llä navetan seinää vastaan kohtisuorassa olevien sivujen pituutta. Navetan suuntaisen sivun pituus on tällöin 0 x. x 0 x x x(0 x) 150 0x x x + 0x a, b 0 ja c ± 0 ( ) ( 150) 0 ± 00 x ( ) x 5 tai x 15 Lasketaan toisen sivun pituus. x 5: 0 x x 15: 0 x ± 0 Vastaus: Mitat ovat 0 m ja 5 m tai 10 m ja 15 m navetan suuntainen sivu ensin mainittuna. Koe 1. a) x 1 x x x 1 : x 7 b) ) x + 5 5) x x 5x x 10 c) g( ) 1 + ( ) 1 7x Vastaus: a) x 7 b) c) g( ) 1 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1

145 . a) Torjuttuja laukauksia oli , % b) Merkitään alkuperäistä hintaa x:llä. 100 % 15 % 85 % 0,85x 50,15 : 0,85 x 59 ( ) Vastaus: a) Maalivahti torjui 91 % laukauksista. b) Alkuperäinen hinta oli 59.. x 1 x + 6 a) p (x 1) + (x + 6) x + x + 1 6x + 10 b) A (x 1)(x + 6) x + 1x x 6 x + 11x 6 Vastaus: Piirin lauseke on 6x + 10 ja pinta-alan lauseke x + 11x 6.. a) f(50) 5 0, ,5 (l) b) Täytyy olettaa, että auton bensatankki on aluksi täynnä. f(0) 5 0, (l) Tuloksen voi myös päätellä suoraan funktion f(x) lausekkeesta. c) Merkitään matkaa x:llä. 5 0,07x 0 5 0,07x 5 : ( 0,07) x 6,85 60 (km) Vastaus: a) Polttoainetta on 7,5 litraa. b) Bensatankin tilavuus on 5 litraa. c) Täydellä tankillisella voi ajaa 60 km. 5. a) x 8x a 1, b 8 ja c 16 ( 8) ± x ( 8) ± 0 8 ± 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15

146 b) x + x x + x a, b 1 ja c 6 1± 1 ( ) 6 1± x ( ) x 1,5 tai x Vastaus: a) x b) x 1,5 tai x 9 1± 7 6. x y x 5 0 y y 1 5 y 5 1 x y x y y y Vastaus: x 1,9 7. Merkitään Joelin kuukausipalkkaa x:llä. Annan kuukausipalkka on tällöin 1,10x ja Miikan 0,95x. x + 1,10x + 0,95x 880,05x 880 :,05 x , , Vastaus: Joelin kuukausipalkka on 1 600, Annan ja Miikan Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16