1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. Prosentti 11. Prosenteilla vertaaminen 17
|
|
- Markus Hyttinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1
2 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7 Prosentti 11 Prosenteilla vertaaminen 17 Kuvaaminen koordinaatistossa Kertaustehtäviä 9 Lausekkeesta yhtälöön Lineaarinen riippuvuus Yhtälö 8 Ongelmasta yhtälöksi 5 Suhde ja verranto 61 Verrannollisuus 70 Kertaustehtäviä 80 Toisen asteen yhtälö 85 Toisen asteen polynomifunktio 85 Ratkaisukaava 9 Toisen asteen yhtälön sovelluksia 111 Kertaustehtäviä 19 Harjoituskokeet 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
3 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla 1. a) 7 b) 5 c) 0 d) 6. a) 7 b) 56 c) 9 d) 7. a) b) 0 c) 6 d) 60. a) 5 b) 1 5. a) 8 b) a),5 b),5 c) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
4 7. a) (8 + 5) (8 5) 1 9 b) (17 (8 + )) ( 7) 6 ( ) 8. a) b) c) d) a) ) ( b) c) ) ) ) ) a) b) ) ) ) ) c) 1 5 ) 5) a) 9 6 b) c) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
5 1. a) : b) 1 : c) 1 1 : a) b) ) c) ) 17 5 ) punaisia, 1 ) 5) vihreitä, keltaisia: Vastaus: Keltaisten karkkien osuus on 7/15 kaikista karkeista. Keltaisten karkkien määrä on g voita, 0,5 dl sokeria, 1 1 dl fariinisokeria, 1 kananmuna, puolikkaan sitruunan raastettu kuori, 1 dl kaurahiutaleita, 1 dl vehnäjauhoja, 0,5 tl suolaa ja 0,5 tl soodaa ) 5) a) b) c) ) ) : Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
6 18. a) b) c) ) ) ) 5) a) 18 b) 1 c) 0 0. a) b) 11 c) 1 1. a) b) ) ) a) ( ) ( ) b) 1 ( 5) ) (dl) Vastaus: Kuivia aineita tarvitaan 5 dl. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
7 . 1,5 6 0,5 (l) 0,5 l,5 dl Vastaus: Kukin saa,5 dl limsaa ( ) Vastaus: Kaukolle jää rahaa a) b) c) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) : ( ) : 6) ) 18 ) Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7. a) 7a b) 1x c) 6x a) 5 b) x 9. a) x + x 6x + 8x 1x b) x x 1x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
8 0. a) x b) 1a c) x + x 1. a) a b) 1y c) 6xy. a) a b) c) 6x. a) 6x + ( x) + x 6x x + x 5x b) 6x ( x) x 6x. a) 1y y 1 y b) 9x 6 + x 11x a) 15x + 5x b) x + x 6. a) ( x 1)( x ) x x x + x x + b) (y + )(y ) 9 y 1 y + 1 y 16 9 y a) ( x 7x) x( x + ) x 7x x x 11x b) x(x 1) + x 6x x + x 7x x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
9 c) ( 6a a ) ( a + a ) 6a + a + a a a 5a 8. a) ( x ) + ( x + 5) x x + 5 x + b) ( x ) ( x + 5) x + x 5 x 7 c) (x )( x + 5) x + 15x + x 10 x + 17x Piiri: (x ) + x x 6 + x 6x 6 Pinta-ala: x(x ) x x 0. x x (x + ) x (x + ) x + 6x 1. ( 5a + 8b) (6b + 11a) 5a + 8b 6b 11a 6a + b 6 ( 1) a) (x ) (x )(x ) x 6x 6x + 9 x 1x + 9 b) (x + ) (x + )(x + ) x + 6x + 6x + 9 x + 1x + 9 c) (x + )(x ) x 6x + 6x 9 x 9. a) 5 x ( 15x) 5x + 15x 10x b) 5x 15x 1 c) 5x ( 15x) 75x. a) Piiri: ( x 1) + (x 1) x + x 6x Pinta-ala: (x 1)(x 1) x x x + 1 x x + 1 b) (x x + 1) x x x + x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
10 5. a) ( x 1) + ( x + 5) x 1 x + 5 x + b) ( x 1) ( x + 5) x 1 + x 5 7x 6 c) (x 1)( x + 5) 1x + 0x + x 5 1x + x 5 6. a) 6 y (y + 1) (5y + ) 6 y y 1 5y y b) y( y + 1) 5y( y 1) y + y 5y + 5y y + 7 y 7. a) a b) x c) x + 8. a) (x + )(x 7) x 7x + x 1 x 5x 1 b) (y + 6)(y 9) 8y 18y + y 5 8y + 6y 5 c) (x + 8) (x + 8)(x + 8) x + 8x + 8x + 6 x + 16x a) 1x + (x y) (y 5x) ( x + 6y) 1x + x y y + 5x x 6y 19x 10y b) 1x(x y) (y 5x) (x + 6y) 6x 1xy xy 18y + 5x + 0xy 1x + 15xy 18y 50. a) a 5a : a + a a 5a + a 6a b) a a + a a a + a a a a + a ( a + a 1) a a + a + a a + 1 a + a a (a + b)( b + a) + a( a) ab + 8a b + 1ab 8a b + 10ab 0, ( ) 0,5 10,75 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
11 5. a) Piiri: 5x + x + x + x + 6x + 8x + x 5x 5 0,5 17,5 (m) b) A x 5x + x x + 5x x + x 6x 0x + 16x + 10x + 1x 58x 58 0,5 1,5 (m ) 5. a) x ( x + 1) x( x + 1)( x + 1) x( x + x + x + 1) x( x + x + 1) x + x + x b) (a b) + (a + b) + (a b)(a + b) (a b)(a b) + (a + b)(a + b) + (a b)(a + b) a ab ab + b + a + ab + ab + b + a + ab ab b a ab + b + a + ab + b + a b a + b Prosentti 5. a) 0 % b) 15 % c) 5 % 55. a) b) c) d) e) f) 0,7 0,15 0, , , ,0 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
12 56. a) % 100 b) % 100 c) 5 5 % 100 d) % 100 e) 16 16% 100 f) 5 5 % a) 50 0, % 00 b) 10 0,... % 00 c) 80 0, % , % 150 Vastaus: Voittoarpoja on 1 % arvoista. 59. a) 0,01 00 ( ) b) 0, 00 0 ( ) c) 0, ( ) 60. a) 0, ,50 ( ) b) 0, ( ) c) 0, ,0 ( ) Vastaus: Sisu saa vuodessa a) 11,50, b) ja c) 55,0. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
13 , % 8 Vastaus: Vasenkätisiä on 18 % oppilaista. 6. a) 0, 9 7,80 ( ) b) 9 7,80 1,0 ( ) Vastaus: a) Alennus on 7,80. b) Alennettu hinta on 1,0. 6. a) 0,65 b) 0,9 c) 1, d),0 6. a) 0,95a b) 1,8a c) a d) 1,5a 65. a) 0, ( ) b) ( ) Vastaus: a) Pii maksaa veroa 61. b) Piille jää käteen , 0 1 Vastaus: Naisvieraita oli , % 00 Vastaus: Sisun veroprosentti on 1 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
14 6 68. a) Kärpät: 0, % b) TPS: 0,9... % 56 1 c) Lukko: 0, % d) TPS: 0, % 56 Vastaus: a) Paras voittoprosentti on Kärpillä. b) Suurin tasapeliprosentti on TPS:llä. c) Suurin häviöprosentti on Lukolla. d) Suurin jatkoaikaprosentti on TPS:llä. 69. a) 0, ,6 786 b) 0, ,78 5 c) 0, ,7 170 Vastaus: a) 786 kyselyyn vastanneista syö makeisia monta kertaa päivässä. b) 5 syö makeisia 1 kertaa viikossa. c) 170 ei syö makeisia , , ,5 8,75 ( ) TAI 0, ,75 ( ) Vastaus: Alennettu hinta on 8, a) b) c) d) 0,065 0,08 0,00 0, Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
15 e) f) 0,10 0, a) 580 b) 100 c) 05 d) 90 e) 1 0 f) ,0008 0, Vastaus: Suomalaisia oli 0,8 kaikista maailman ihmisistä. 7. a) 0,80 1,0 17, (g) 1 b) 8,,78...,8 (g) 1 0, Vastaus: a) Hopeariipuksessa on hopeaa 17, g. b) Sormuksen kultapitoisuus on nestetilavuus elimistössä: 0,66 60 kg 9,60 kg annoksia: 1 g 6 g 6 g veren alkoholipitoisuus: 0, , g Vastaus: Lain mukaan voi. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
16 76. nestetilavuus: 0,75 70 kg 5,5 kg g annoksia: 10 1 g 10 g maksan polttama alkoholin määrä: 11 7 g 77 g 10 g 77 g g , ,8 Vastaus: Mittari näyttää lukemaa 0, a) 8 0, % 175 b) 0 0,8 80 % ,065 15,795 15,80 ( ) 79. 0, , 810 (kg) Vastaus: Malmierässä on rautaa 810 kg , 0,66 66 % Vastaus: Soittimen muistista on käytetty 66 %. 81.,7 GB 1 0,7 81,8 (MB) 1950 käytetty : 81,8 0, ,5 % käyttämättä: 100 % 0,5 % 59,8 % 59 % Vastaus: Levystä jäi käyttämättä 59 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16
17 8. a) alennus: 0, ,5 b) alennettu hinta: 75 11,5 6,75 Vastaus: a) Alennus on 11,5. b) Alennettu hinta on 6, Alennusprosentti on suurimmillaan, kun kaikki tuotteet maksavat yhtä paljon. 1 0,... % Vastaus: Alennusprosentti on suurimmillaan %. 8. a) kehon nestetilavuus: 0,66 65 kg,9 kg 900 g alkoholin määrä: 6 1 g 7 g 7 g 900 g 0, ,7 b) kehon nestetilavuus 0,75 65 kg 8,75 kg g 7 g 8750 g 0, ,5 Vastaus: Alkoholipitoisuus voi nousta a) 1,7, b) 1, vettä: 18 dl 1,8 l eli 1,8 kg suolaa: 10 g 0,10 kg suola vesi+ suola 0,10 0,065 6,5 % 1,8 + 0,10 Vastaus: Suolapitoisuus on 6,5 %. Prosenteilla vertaaminen 86. muutos: muutos alkuperäinen eli , , % Vastaus: Palkka nousi 5, %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17
18 87. housujen alkuperäinen hinta: 1,95 5,90 ( ) alennus: 5,90 1,95 10,95 10,95 alennusprosentti : 5,90 Vastaus: Alennus on %. 0,7... % muutos , % alkuperäinen Vastaus: Väkiluku kasvoi 9 %. 89. a) kasvoi 50 % : 0, uusi määrä: väheni 0 % : 0, 0 9 uusi määrä: muutos b) 0,05 5% alkuperäinen 0 0 Vastaus: a) Kerhossa oli 1 jäsentä. b) Jäsenmäärä kasvoi 5 %. muutos 6, a) 5,5 550% alkuperäinen 1 b) maaseudulla eläviä on 6,5,5,0 (miljardia),0 0, % 6,5 Vastaus: a) Väkiluku on kasvanut 550 %. b) 6 % ihmisistä elää maaseudulla. 91. kasvua 50 % eli 1,5 a 1,5a pienenee 50 % eli 0,5 1,5a 0,75a muutos alkuperäinen a 0,75a a 0,5a a 0,5 5 % Vastaus: Luku pienenee 5 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18
19 9. a) erotus ,5 5 % arvo johon verrataan 1 1 b) , 0 % erotus , % arvo johon verrataan Vastaus: Tyttöjen määrä on 17 % suurempi kuin poikien. erotus ,19... % arvo johon verrataan Vastaus: Pienimmän tuoton saanut joukkue keräsi % vähemmän kuin suurimman tuoton kerännyt joukkue. 95. a) väärin: muutos prosenttiyksikköä b) oikein: 10 8 prosenttiyksikköä c) väärin: 0, % 0 0 d) oikein: 0,5 5 % a) prosenttiyksikkö b) 1 0,1 10% a) 8 1 prosenttiyksikköä 1 b) 0, % Vastaus: a) Vero aleni 1 prosenttiyksikköä. b) Veronalennus oli 6 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19
20 98. a) % 17 % 16 prosenttiyksikköä b) 16 0, % Vastaus: a) Ero on 16 prosenttiyksikköä. b) Kevytjuusto on 8 % kevyempää. 99. Eiri: 0 0,19 +,95 8,65 ( ) Kara: 0 0,5 7,5 ( ) erotus on 8,65 7,5 1,15 ( ) 1,15 8,65 0, % Vastaus: Kara saa kuvat 1 % halvemmalla kuin Eiri a) 0,5 50% b) 0,5 50 % c) alaraja: 0,000 0, yläraja: 0, Vastaus: a) Vaaleahiuksisilla on 50 % enemmän hiuksia kuin ruskeahiuksisilla. b) Punahiuksisilla on 50 % vähemmän hiuksia kuin vaaleahiuksisilla. c) Hiuksia irtoaa 0, a) Vastaus: 78 / hlö b) hintaero 78 19,90 58,10 ( ) 58,10, % 19,90 Vastaus: a) Matkan hinta oli 78 /hlö. b) Matka oli mainokseen verrattuna 9 % kalliimpi. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0
21 10. a) ,5 5 % 0 0 b) , 0 % a) alennus: 0,5 75 6,5 ( ) b) alennettu hinta: 75 6,5 8,75 ( ) Vastaus: a) Alennus on 6,5. b) Alennettu hinta on 8, ,5 1, , % 8,5 8,5 Vastaus: Palkankorotus oli 18 % a),5 0,75 prosenttiyksikköä b) 0,75 0,5 Vastaus: Korko aleni a) 0,75 prosenttiyksikköä, b) 5 % , % Vastaus: Korotus oli 8 % a) verta: 0,07 60, (kg) b) plasmaa: 0,55,,1, (kg) c) verisoluja: 0,5, 1,89 19 (kg) , % Vastaus: Ikäluokka pieneni 0 %. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
22 109. korotettu hinta: 0, ,75 tai 1, ,75 alennus: 1, ,75 18,75 1,75 Vastaus: Hinta muuttui 1 %. 0, % 110. a) 0,05 0,6 0,01 b) 1 0,8 8 % 5 Vastaus: a) Rasvaa on 1 g. b) Se on 8 % päivittäisestä rasvasuosituksesta a) kasvaa % eli tulee 1,0-kertaiseksi: 1, , vähenee 5 % eli tulee 0,95 kertaiseksi: 0,95 6 8, 6 501, yhdellä lausekkeella: 1,0 0, , b) , , % Vastaus: a) Väkiluku on muutosten jälkeen b) Väkiluku pieneni 1, %. 11. a) Sisun saama kalorimäärä: 0, ,5 Karan saama kalorimäärä: 0,75 5,75 7,5,75 18,75 18,75 0, %,75 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
23 b) Sisun saama rasvan määrä: 0,75 7 7,75 (g) Karan saama rasvan määrä: 0,75 0, 0,15 (g) 7,75 0,15 7,6 (g) 7,6 7,75 0, % c) Sisun saama hiilihydraattien määrä: 0, ,5 (g) Karan saama hiilihydraattien määrä: 0, ,75 (g) 57,75 7,5 0,5 (g) 0,5 0,5 5 % 7,5 Vastaus: a) 75 % enemmän b) 99 % vähemmän c) 5 % enemmän Kuvaaminen koordinaatistossa A ( 1, ), B (1, ), C (, ), D (0, ), E (, 0) ja F (, 1) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
24 115. suunnikas 116. a) b) suora suora 117. a) vihreä b) punainen c) sininen 118. a) x y x y piste (x, y) (, ) 1 1 (, ) 0 0 (, 0) b) x y x + y 1 piste (x, y) (, 1) (1, 0) (0, 1) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
25 119. a) x y x + piste (x, y) (0, ) (1, ) + (, ) b) x y x + 1 piste (x, y) (0, 1) (1, 1) + 1 (, ) 10. a) x y x + 1 piste (x, y) (1, ) + 1 (, ) + 1 (, ) b) x y x piste (x, y) 0 0 (0, ) (1, 1) (, ) 11. a) x y x + y b) x y x y a) 1 b) noin, kg Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
26 Vastaus: a) kg tomaatteja maksaa 1. b) Tomaatteja saa noin, kg. 1. a),5 /kg b) noin 7 kg Vastaus: a) Omenoiden kilohinta on,5 /kg. b) Omenoita saa noin 7 kg. 1. Piste A ei ole samalla suoralla. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
27 15. a) x y x y 1 ( 1) ( ) ( 1) b) x y x + y ( 1) ( 1) x y x + (x, y) (0, ) (1, 6) + 8 (, 8) x y x + (x, y) (0, ) (1, ) + 0 (, 0) 17. x 6 y 1 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
28 a) pisteessä (0, 6) b) pisteessä ( 1, 0) 18. a) y x b) y x + c) y x + d) y x x y x (x, y) (0, 0) 1 1 (1, ) (, ) x y 0,5x 5 (x, y) 0 0, (0, 5) 0,5 5 (, ) 0,5 5 (, ) Suorat leikkaavat pisteessä (, ). 10. x y x y x y x + (x, y) (0, ) (1, ) + 5 (, 5) Suorat leikkaavat pisteessä (, 5). Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
29 11. a) 7 /kg b) noin 570 g Vastaus: a) Karkkien kilohinta on 7 /kg. b) Karkkeja saa noin 570 g. 1. Kertaustehtäviä 1. x y x + 6 (x, y) (0, 6) (1, ) (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0). 1. x y x (x, y) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) (, ) x y x + (x, y) (0, ) (1, 7) + 11 (, 11) Suorat leikkaavat pisteessä ( 1, 1). Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
30 15. a) ( x ) + (x + 1) x + x + 1 x b) ( x ) (x + 1) x x 1 5x 5 c) ( x )(x + 1) 6x x 1x 6x 1x 16. ( x + y) + (x 1y) 1 x + y + x 1y 1 x 8y 1 kun x ja y 1, saadaan 8 ( 1) a) 5a (b + a) + ( 1a + 15b) + ( 10a) 6b 5a b a 1a + 15b 10a 6b 9a + 7b b) a( b + a) ( 7b + a)( b a) 1ab a (7b + 7ab ab a ) 1ab a 7b 7ab + ab + a a 7b + 8ab 18. a) (a a)(a 11a) 1a a 6a + a 1a 50a + a b) y( x + 5y) y( x + y) 6xy + 10y + xy y 7y xy 19. kummilapsi: ( ) 1 kuulovammaiset nuoret: ( ) 6 sisällissodan lapset: ( ) diabetesliitto: ( ) syöpähoidot: 00 ( ) 50 ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0
31 10. a) b) 8, käänteisluku , käänteisluku : ( 17) korotus: 0, ,9 ( ) uusi vuokra: ,9 55,90 ( ) yhdellä lausekkeella laskettuna: 1, ,90 ( ) Vastaus: Asunnon vuokra on 55, , % 1500 Vastaus: Vaikuttavaa ainetta on 7 %. 1. osia yhteensä tiivisteen osuus: 0,5 5% Vastaus: Tiivistettä on 5 % alennus: 0,15 19,85 ( ) alennettu hinta: 19,85 186,15 ( ). alennus: 0,0 186,15,7 ( ) alennettu hinta: 186,15,7 18,7 18, ( ) yhdellä lausekkeella laskettuna: 0,85 0, ,7 18, ( ) Vastaus: Soittimesta joutuu maksamaan 18,. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
32 kulta platina a) ,... % b) ,5 5% Vastaus: a) % enemmän b) 5 % vähemmän Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
33 Lausekkeesta yhtälöön Lineaarinen riippuvuus 16. a) 0 km b) 5 km c) 10 min Vastaus: a) Auto oli kulkenut 0 km. b) Auto kulki 5 km. c) Aikaa kului 10 min. 17. a) 000 b) 800 c) 7,5 vuoden kuluttua d) 000 Vastaus: a) Pääoma oli 000. b) Pääoma oli 800. c) 7,5 vuoden kuluttua. d) Pääoma kasvoi a),0 b) 7,0 c) 0,96 d) 1,0x e) y 1,0x 19. a) 70 f) b) 90 c) 10 d) (0,0x + 50) e) y 0,0x + 50 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
34 150. a) y 1,9x + 5,08 b) c) /kk d) m e) Suora leikkaa y-akselin perusmaksua vastaavassa kohdassa y 5, a) y 0,70x b) 15. a) T(x) 110x c) b) K(x) 60x d) 110x 60x x 50x : 50 x 00 (kpl) e) ( ) 15. a) f(5) b) f(6) c) f(7) d) Funktion arvo kasvaa 0:llä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
35 a) f b) f( 1) ( 1) c) 1 1 f d) Funktion arvo pienenee kahdella a) f(60) 0, ,60 Jos (soitettujen) puhelujen kesto on 60 minuuttia, kuukausimaksu on 9,60. b) f(0) 0, ,0 Jos (soitettujen) puhelujen kesto on 0 minuuttia, kuukausimaksu on 0,0. c) Perusmaksu saadaan, kun puheluiden kesto on 0 minuuttia. f(0) 0, ( ) Vastauksen 6 voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta. d) a- ja c-kohtien perusteella 60 minuuttia puheluita lisää kuukausimaksua ,60 6,60 ( ). Yhden puheluminuutin hinta:,60 0,06 ( ) 60 Vastauksen 0,06 voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta a) b) f(50) 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
36 c) f(80) 180 d) f(x) 100, kun x a) f() b) f() c) f() d) Funktion arvo pienenee viidellä a) 1 f ( ) 8, 5 b) 1 f ( ) ( ) 6, 5 c) 1 1 f 1 1 d) Funktion arvo kasvaa kolmella a) f() Jos kilohinta on, kuukausimyynti on 950 kg. b) f(6) Jos kilohinta on 6, kuukausimyynti on 500 kg. c) a- ja b-kohtien perusteella euron hinnanlisäys vähentää kuukausimyyntiä (kg). Vähennys euroa kohti: (kg) Myynti laskee 150 kg. Tämän voi päätellä myös suoraan funktion f(x) lausekkeesta a) b) 7 00 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
37 c) d) 0,18x e) f(x) 0,18x 161. f(x) 0,06x a) R(x) 10x + 500, T(x) 15x + 00 b) c) Kuukausipalkat ovat samat, kun kauppoja on tehty 0 kpl/kk. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
38 16. a) Jäsen f(x) 7x + 50 ja ei jäsen g(x) 10x b) c) 17 kertaa 16. a) T(x) 5x c) b) K(x) 18x c) noin 7 tuntia Yhtälö 165. a) x + 9 x 6 : x b) 8x + 5x x 5x x x 15 : x a) 5x 8 + 5x 10 : 5 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
39 b) 5x 1 x x x + 8 x x 8 : x 167. a) 8x 110 5x x 5x x x 00 : x 100 b) ( x) 5(x + ) + 1 x 5x x 5x 1 + 5x + x 1 x 18 : x a) x x x 5 b) x x 1 x x 6 x x 6 : ( ) x 18 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
40 169. a) + 7x (1 + x) + 7x 1 x + 7x 1 x 7x x + x 8x : 8 x 8 b) (x ) 5 (x + 1) x 8 5 9x x 8 9x + 8 x 10 9x + 9x 11x 10 : x a) 0,x + 1,,8 + 0,x 1, 0,x,6 + 0,x 0,x 0,6x,6 : ( 0,6) x 6 b) x x x 16 x + 16 x x + 16 x x 16 : x 8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 0
41 171. a) x 1 x x 6 6x x x x x + 8 x x 8 : x x x x b) 7 + x x 5x 5 15x x 15 10x 9x x 15x x 105 1x + 1x 15x 105 : 15 x a) 1,x ,x 60 : 1, x 50 b) 1,x ,x 10 : 1, x 100 c) 1,x ,x 600 : 1, x epätosi Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
42 tosi epätosi Vastaus: x 17. a) x x 1 b) 1 x 9 1 x : ( 1) x c) 7x 91 : 7 x 1 d) x x 7 e) (x + 5) 0 x x 0 : x x 175. a) (x ) 6x x + 1 6x + 6x 6x 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
43 b) x 1 (5x + ) (x + ) x 1 5x x 8 x 5 5 x + 5 x x + x 0 0 tosi Kaikki x:n arvot toteuttavat yhtälön a) x (x ) 5 + x x x x x x x + x x 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua. x 1 x + 1 b) x x x (x 1) (x +1) x x (x 1) x + 1 x x x + 1 x + 1 x x + 1 x x x + x x 0 : x a) 5x (x ) 1 x 5x x x x x 6 x 5 x + x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
44 x 5 : x 5 1 b) x x x 1x x x + 10 x 8 15x x : ( 15) x a) x + a 8a a x 6a : x a b) x a 6 + a x 6 + a : x 6 + a x + a c) 5x 5a 1x 6a + 5a 5x 1x 1a 1x 7x 1a : ( 7) x a 179. sijoitetaan x k( + ) 1 k ( 1) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut
45 k k a) x + 8 x 8 8 x x 16 x x 16 : ( ) x 8 b) 1x 10 x x x + 0 x 10x 0 : 10 x c) 19 9x x + 9 x 19 10x x 10 : ( 10) x a) 15 x x sijoitetaan x 5 15 ( 5) + 15 ( 5) epätosi x 5 ei ole yhtälön ratkaisu sijoitetaan x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
46 tosi x 5 toteuttaa yhtälön b) x x 10 sijoitetaan x 5 ( 5) ( 5) 10 ) 15 ) epätosi 6 x 5 ei toteuta yhtälöä sijoitetaan x ) 15 ) epätosi 6 x 5 ei toteuta yhtälöä Kumpikaan arvo ei toteuta yhtälöä. c) (x + 1) x x + sijoitetaan x 5 ( 5 + 1) ( 5) 5 + ( ) + 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
47 tosi x 5 toteuttaa yhtälön sijoitetaan x 5 (5 + 1) tosi x 5 toteuttaa yhtälön Molemmat arvot toteuttavat yhtälön. 18. a) (x 9) 5(11 x) 8x x + 6 8x 91 5x + 5x 1x 91 : 1 x 7 b) x (x + ) (x ) x x x + x x + x 7 x + x x 7 : x 7 1 c) 17p (18p ) p 17p 18p + p p + p p 1 p + p p 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
48 18. a) x 15 ( x) 5x 6 x 15 + x 5x 6 6x 8 5x x 5x + 5x x b) x (x 5) x + 1 x x + 10 x + 1 x + 10 x x 9 x x 9 : ( ) x c) 10 y (y + 0) 10 y y 60 + y 10 + y y 50 : y a) (x ) (5 x) (x + 1) x 5 + x x + x 8 x x x + 10 x x 10 : x 5 b) x 7 x x x x x 0 : x 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
49 c) (x 5) x x + 15 x 15 x x + 15 x 15 x x x + 0 x 0 0 epätosi Yhtälöllä ei ole ratkaisua a) x x x (x ) 6 x (x ) 6 x x + 6 x + 6 x b) + x + x 1 1 1( + x) 1( + x) 1 ( + x) ( + x) x 9 x 1 + x 1 x 9 9z 5z 11 c) 5 (9z ) (5z 11) 0 9z (5z 11) 0 9z 5z z Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
50 z 1 : z 186. a) x 5x x x (5x 1) 0 + 0x x + 5(5x 1) 0 + 0x x + 5x x 7x x + 5 7x 5 + 0x 0x 7x 5 : 7 5 x b) x + 1 x x 6 6(x + ) 6(1 x) 6x (x + ) (1 x) 6x x x 6x 7x + 6x 7x 6x 6x x c) r 8 + r + r + r r 8 + 8r + 8r + 8r 80 r + r + r + 8r 80 15r 80 : 15 r Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 50
51 187. a) x + x x 1 (x + ) x x x + x x x + x x x x Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) x x 1 x (x 1) 0 epätosi 1 6 x (x 1) 6 x x x x 5 Yhtälöllä on yksi ratkaisu. c) (x + ) x x + x + 6 x x + x + x + x x x 0 0 tosi Kaikki x:n arvot toteuttavat yhtälön, joten ratkaisuja on ääretön määrä a) x + 6x x 6x 6x 5x : ( 5) x 5 0,8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 51
52 b) (x ) 5 x 5x 10 x x x + 10 x x 10 x 10,5 c) 7x x x x + 1 x 6x 1 : 6 x 189. a) sijoitetaan x 8,8 + m(8 6,5) 5,6 b) sijoitetaan x 5 6k,8 + 1,5m 5,6,8 1,5m 1,8 : 1,8 m 1,8 1,5 1, k k 5 k 6 6 6(k 5) 6 6k k (k 5) 6k k k + 5 6k k + 5 6k 5 k 6k 5 6k 5k 5 : ( 5) k 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
53 Ongelmasta yhtälöksi 190. Merkitään palkan määrää x:llä. x 0,7x ,7x : 0,7 x 191,78 ( ) Vastaus: Palkan pitää olla 191, Merkitään x:llä vuokraa ennen korotusta. 1,08x 61 : 1,08 x 575 ( ) Vastaus: Vuokra oli ennen korotusta Merkitään suurempaa osuutta x:llä. x + 0,8x 900 1,8x 900 : 1,8 x 500 ( ) Pienempi osuus on 0, ( ) Vastaus: Osuudet ovat 500 ja Merkitään kysyttyä lainan suuruutta x:llä. x 0,01x ,99x ,99x : 0,99 x 15 5, ( ) Vastaus: Laina on Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
54 19. Merkitään Onnin osuutta x:llä. x + 1,5x + 0,75x x : x Onni: Voitto: 1, Toivo: 0, Vastaus: Onni saa 6 000, Voitto saa ja Toivo saa Merkitään lisättävän veden määrää x:llä. suolan määrä: 0,1 5 l 0,7 l 0,06 (5 + x) 0,7 0, + 0,06x 0,7 0,06x 0, : 0,06 x 6, ,7 (l) Vastaus: Vettä pitää lisätä 6,7 litraa Merkitään etikan määrää x:llä. Veden määrä on tällöin 8 x. Etikan määrän pitää olla alku- ja lopputilanteessa sama. 0,1x 0,0 8 0,1x 0, : 0,1 x, (l) Vettä käytetään 8, 5,6 (l) Vastaus: Etikkaa käytetään, litraa ja vettä 5,6 litraa Merkitään tarvittavan kivennäisveden määrää x:llä. 0,1 1,5 0,0 (1,5 + 0,5 + x) 0,18 0,0 ( + x) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 5
55 0,18 0,08 + 0,0x 0,0x 0,0x + 0,18 0,08 0,18 0,0x 0,1 : ( 0,0) 0,1 x,5 (l) 0,0 Vastaus: Kivennäisvettä lisätään 1,5 litraa a) 1 10 b) 1 c) f(5) Kuukausipalkka on d) Merkitään ylityötuntien määrää x:llä x x 180 : 1 x 15 (h) Vastaus: a) Normaalityöajan palkka on b) Ylityötunnilta saatava korvaus on 1. c) Kuukausipalkka on d) Ylityötunteja tarvitaan 15 tuntia Merkitään lyhyemmän sivun pituutta x:llä. Pidemmän sivun pituus on x + 8. (x + 8) + (x + 8) + x + x 6 x 8 : x 1 lyhyempi sivu: 1 cm pidempi sivu: 1 cm + 8 cm 0 cm Vastaus: Suorakulmion sivut ovat 1 cm ja 0 cm. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 55
56 00. Merkitään puheaikaa minuutteina x:llä. a) + 0,10x 15 0,10x 11 : 0,10 x 110 (min) b) + 0,1x + 0,10x 0,10x 0,1x 0,10x 0,0x 1 : 0,0 x 50 (min) Vastaus: Puheaika on a) 110 min, b) 50 min. 01. Merkitään vohvelien määrää x:llä. 0 +,0x 60 0,x 10 :, x 60,8 61 (kpl) Vastaus: Vohveleita on myytävä 61 kpl. 0. Merkitään kuukausipalkkaa x:llä. x ( 1 x + 1 x + 1 x) x 6x x x 00 x 00 ( ) Vastaus: Kuukausipalkka on Merkitään lyhimmän osan pituutta x:llä. 6 m 600 cm 600 x + (x + 0) + (x ) + (x ) + (x ) 600 5x x 00 : 5 x 80 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 56
57 Lyhimmän osan pituus on 80 cm. Muiden osien pituudet ovat 100 cm, 10 cm, 10 cm ja 160 cm. Vastaus: Metallitangon osat ovat 80 cm, 100 cm, 10 cm, 10 cm ja 160 cm. 0. Merkitään Teon osuutta x:llä. x + x + x x + 1x + 6x x + x + x Teo: 6 9,08 1x : 1 x 6 9, ,08 Leo : 1 6 9, ,5 Lea : 6 9,08 615,8 Vastaus: Teo sai 6 9,08, Leo 18 61,5 ja Lea 615, Merkitään kaikkien äänien määrää x:llä. 0,085x 1 77 : 0, x 0,085 x Vastaus: Ääniä annettiin a) 800 kpl b) vähenee 00 kpl c) 600 kpl d) Merkitään viikkojen määrää x:llä x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 57
58 00x 00 : ( 00) x 1 (viikon) e) Merkitään viikkojen määrää x:llä x 0 00x 800 : ( 00) x (viikkoa) Vastaus: a) Varaston koko on 800 kpl. b) Varasto vähenee 00 kpl. c) Varaston koko on 600 kpl. d) Varasto on puolittunut 1 viikon jälkeen. e) Varastoa riittää viikoksi. 07. x + x + 1,5x 10,5x 10 :,5 x x x 0 1,5x 1,5x 1, Vastaus: Kyljet 0 cm ja kanta 60 cm 08. Merkitään 60-prosenttisen alkoholin määrää x:llä. Varsinaisen alkoholin määrän tulee olla sama ennen sekoittamista ja sen jälkeen. 0,60x 0,16 0,60x 0, : 0,60 x 0,5 (l) 0,5 1,7 (l) Vastaus: 0,5 litraa alkoholia ja 1,7 vettä. 09. Merkitään x:llä euron rajan ylittävää palkan osaa. ( x) 0, ,9x ,9x ,61x 96 : 0,61 x 69,180 69,18 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 58
59 ,18 9,18 Vastaus: Palkan tulisi olla 9, Merkitään toiseksi sijoittuneen palkintosummaa x:llä. x + 1,5x + 0,x 1 000,9x :,9 x 17,910 17,9 ( ). sija: 17,9 1. sija: 1,5 17,9 6 06,90. sija: 0, 17, ,17 Vastaus: Palkintosummat ovat 17,9, 6 06,90 ja 1 655, Merkitään possujen määrää x:llä. Kanojen määrä on tällöin x. Muodostetaan jalkojen määrästä yhtälö. x + ( x) 9 x + 68 x 9 68 x : x 1 x 1 Vastaus: saparoja on 1 ja helttoja. 1. Merkitään ylityötuntien määrää x:llä. 7,5 1 0, 7, x 0,6 1x 500 1,x ,x 101 : 1, x 7,5 Vastaus: 8 ylityötuntia viikossa Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 59
60 1. Merkitään pullapitkojen määrää x:llä.,0x 1,0x ,9x 80 : 1,9 x,105,1 Vastaus: vähintään pullapitkoa 1. Merkitään 5-prosenttisen liuoksen määrää x:llä. 15-prosenttisen liuoksen määrä on tällöin 0 x. Varsinaisen lipeän määrät liuoksissa: 5-prosenttinen liuos: 0,5x 15-prosenttinen liuos: 0,15 (0 x) Määrän tulee olla sama ennen ja jälkeen sekoittamisen. 0,5x + 0,15 (0 x) 0,18 0 0,5x + 0,15x,6 0 x ,1x 0,6 : 0,1 x 6 Vastaus: 6 litraa 5 %:n liuosta ja 1 litraa 15%:n liuosta 15. Merkitään vuotuista sähkönkulutusta kilowattitunteina x:llä ,08x ,08x ,08x : 0,08 x 1 00 Vastaus: 1 00 kwh:n vuotuisella kulutuksella. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 60
61 Suhde ja verranto 16. a) b) c) dl 10 dl 1: 5 1 dl 1: 0 0 dl dl 5 dl : Merkitään tiivisteen määrää x:llä. x + 6x,5 7x,5 : 7 x 0,571 0,6,5 0,6,1 Vastaus: Mehutiivistettä 0,6 litraa ja vettä,1 litraa. 18. Merkitään Janin korttien määrää x:llä. Jonin korttien määrä on tällöin 7x. x + 7x x 788 : 11 x 71,66 71,6 71,6 86, 7 71,6 501, Vastaus: Janille 87 ja Jonille 501 korttia. 19. Merkitään pienintä osaa x:llä. x + x + 9x 0 1x 0 : 1 x,8571,86,86 97,1 97,1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 61
62 9,86 18,57 18,57 Vastaus:,9, 97,1 ja 18,57 0. Merkitään pienimmän alueen kalkkimäärää 00x:llä. Muiden alueiden määrät ovat tällöin 600x ja 700x. 00x + 600x + 700x ,0706 8, ,0706, ,0706 9, x 10 : 1700 Vastaus: 8 kg, kg ja 9 kg x 0, , Merkitään pienimmän paketin kustannuksia 5x:llä. Muiden pakettien kustannukset ovat tällöin 1x ja 0x 5x + 1x + 0x 98 58x 98 : ,6897 8,85 8,5 x 1, , ,6897 1,9661 1,97 0 1, ,588 67,59 Vastaus: 8,5, 1,97 ja 67,59 rahtikustannuksia.. a) x 6 9 x 6 9 x 5 : x 7 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
63 b) 9 x x 9 x 6 : x 1 c) 5 x 0 8 0x 5 8 0x 0 : 0 x a) x x 8 50x : 50 x 50 0,6 b) 15 x 100 x x : x 75. Merkitään veden määrää x:llä. 1 l 10 dl x x 100 x 5 (dl) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
64 5 dl,5 l Vastaus:,5 litraa vettä 5. Merkitään kysyttyä dollarimäärää x:llä ,60 x 10x 15, x : 10 x 1 80 Vastaus: 1 80 dollaria 6. a) x x + x (x + ) x x + x x : x b) x 1 x (x 1) 10(x + 1) 11x 11 10x x x 1 c) 8 7x 0 18 x 8(18 x) 7x 0 1 8x 80x + 8x 1 88x : 88 1 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 6
65 7. Merkitään suolan määrää x:llä. Liuoksen yhteismäärä kilogrammoina on tällöin 0,x, koska litra vettä painaa yhden kilogramman. x 0, + x x 6(0, + x) 100x, + 6x 6x 9x, : 9 x 0,0551 0,055 (kg) 0,055 kg 5,5 g Vastaus: 5,5 grammaa suolaa 8. a) x 9 10 x 9 10 x 90 : x 0 b) 10 0 x x 10 0 x 00 : x 75 c),6 x x, x 90 : 150 x kananmunat: 1 x 0 0,6 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 65
66 1x 0 1x 60 : 1 x 5 sokeri ja perunajauhot: 1 1 x 0 1x 1 0 1x 0 : 1 x,5 vehnäjauhot: 1 x 0 1x 0 1x 90 : 1 x 7,5 leivinjauhe: 1 1 x 0 1x 1 0 1x 0 : 1 x,5 margariini: 5 1 x 0 1x 5 0 1x 750 : 1 x 6,5 Vastaus: 5 kananmunaa,,5 dl sokeria,,5 dl perunajauhoja, 7,5 rkl vehnäjauhoja,,5 tl leivinjauhetta ja 6,5 g margariinia tai voita. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 66
67 0. Merkitään pienemmän osan suuruutta x:llä. Isomman osan suuruus on tällöin x. x + x x : 5 x Vastaus: 00 ja Merkitään kevyimmän osan painoa x:llä. Muiden osien painot ovat tällöin 5x ja 10x. x + 5x + 10x x 800 : 16 x Vastaus: 50 g, 50 g ja 500 g. Vettä tarvitaan laimennuksessa seitsemän kertaa niin paljon kuin tiivistettä. a) 7 0,5 l,5 l,5 l + 0,5 l l Vastaus: pienemmästä litraa b) 7 0,95 l 6,65 l 6,65 l + 0,95 l 7,6 l Vastaus: suuremmasta 7,6 litraa. a) Merkitään shampoon määrää x:llä. 1 x 16 16x : 16 x 0,15 (l) 0,15 l 15 ml Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 67
68 b) Merkitään veden määrää x:llä x 1 x 16 7 x (ml) 8 01 ml 8,01 l Vastaus: a) Shampoota lisätään 15 ml. b) Pesunestettä saadaan noin 8 litraa.. Merkitään Karlin osuutta 500x:llä. Brorin osuus on tällöin 00x ja Henrikin osuus ( ) x 6 00x 500x + 00x x x : x, ,17 Osuudet voitosta saadaan sentin tarkkuudella käyttämällä välituloksesta laskimen antamaa tarkkuutta. 500, , ,67 00, , , 6 00, Vastaus: Karl sai 7 916,67, Bror 10 1, ja Henrik euroa. 5. a) 10x x x 75 : 60 x 1,5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 68
69 b) 1 x (x ) 1 x + x 7 : x,5 c) x x + 6 x +1 x (x )(x ) (x + 6)(x + 1) x x x + 6 x + x + 6x + 6 x 5x + 6 x + 7x + 6 x 5x + 6 7x x 1x 0 : ( 1) x 0 6. Merkitään pienemmän osan suuruutta x:llä. Isomman osan suuruus on tällöin 1,x x + 1,x 500,x 500 :, x 1 58, , , 01,67 Vastaus: 1 58, ja 01,66 7. Erä kannattaa jakaa käänteisesti koko erän valmistamiseen kuluvien aikojen suhteessa. Merkitään nopeamman Pätkän osuutta 5x:llä. Hitaamman Pekan osuus on tällöin 5x. 5x + 5x x : 80 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 69
70 Vastaus: Pätkä ja Pekka kuusenjalkaa. 8. Kun matka pysyy samana, siihen kulunut aika ja keskinopeus muuttuvat käänteisessä suhteessa. Merkitään ensimmäisen päivän aikaa 95x:llä. Toisen päivän aika on tällöin 10x. 95x + 10x x 155 : 15 x 0, ,709 (min) 95 0,709 68,855 68,9 (min) 10 0,709 86,508 86,51 (min) 68,9 min 1 h 8,9 min 1 h 8 min + 0,9 60 s 1h 8 min 9, s 86,51 min 1 h 6,51 min 1 h 6 min + 0,51 60 s 1 h 6 min 0,8 s Vastaus: 1. päivänä aikaa kului 1 h 8 min 9 s ja. päivänä 1 h 6 min 1 s. Verrannollisuus 9. Määrä (kg) Hinta ( ),5 1 x Hinta ja määrä ovat suoraan verrannolliset.,5 1 x,5x 1,5x 6 :,5 x 1, Vastaus: 1,0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 70
71 0. Määrä (g) Hinta ( ) 0 1, x Rajahinta saadaan suoraan verrannollisuuden perusteella. 0 1, x 0x 1, x 0 : 0 x 10, ,09 Vastaus: 10,09 1. a) 5 1,5 6,65 6,6 b) 60 1,5 79,50 0 c) 15, ,09 (l) 1,5 50 d) 7, ,7 (l) 1,5 Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Vastaus: Bensiini maksaa a) 6,6, b) 79,50. Bensiiniä saa c) 15,09 litraa, d) 7,7 litraa.. Arvot saadaan suoraan verrannollisuuden perusteella x x 5 10 x 50 : x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 71
72 10 y 10y 10y 8 : 10 y,8. Merkitään kysyttyä tuottoa x:llä x x : x 1 98, ,1 Vastaus: 1 98,1. Merkitään Ullan viikkorahaa u:lla ja Kaarlon k:lla. Viikkoraha ( ) Ikä (v) u 1,70 9 k 7 u, u,70 1 9u, : 9 u,6,70 k 9 7 9k,70 7 9k 18,9 : 9 k,1 Vastaus: Ulla saa viikkorahaa,60 ja Kaarlo,10. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
73 5. Kun määräraha on sama, sauvojen hinta ja määrä ovat kääntäen verrannolliset x 0 1x x 50 : 1 x 7,5 Jos yksittäisiä sauvoja ei osteta, x y y y 50 : 50 y 9 6. Aika (min) Nopeus (l/min) x 190 Kun vesimäärä pysyy samana, pumpun nopeus ja tyhjentämiseen kuluva aika ovat kääntäen verrannolliset. 50 x x x : 190 x 6, Vastaus: 7 minuuttia Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
74 7. Opiskelijoiden määrä Kuluva aika (h) x Urakkaan kuluva aika ja siihen osallistuvien opiskelijoiden määrä ovat kääntäen verrannolliset. 8 x 5 1 5x 1 8 5x 96 : 5 x 19, (h) Vastaus: noin 19 tuntia 8. Hinta ( /100g) Määrä (g) 0, ,9 x Kun viikkoraha on sama, karkkien määrä ja hinta ovat kääntäen verrannolliset. 0,80 x 0, ,9x 0, ,9x 80 : 0,9 x 979, Vastaus: Marketista saa karkkeja 980 g. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 7
75 9. a) 0 6 0x b) 0 6 0x 0x 50 : 0 x 17, 17, ( ) 0x 50 : 0 x 1 c) kääntäen verrannollisia Vastaus: Kustannus on a) 17,, b) 1. c) Matkustajien lukumäärä ja kustannus matkustajaa kohti ovat kääntäen verrannollisia. 50. a) suoraan b) kääntäen c) suoraan d) ei kumpikaan e) kääntäen f) ei kumpikaan 51. Merkitään Jutan osuutta 1,8x:llä. Juuson osuus on tällöin,x. 1,8x +,x 00 5x 00 : 5 x 0 1,8 0 7, 0 18 Vastaus: Jutta sai 7 ja Juuso 18. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 75
76 5. Euroa Puntaa x Eurojen ja puntien määrä ovat suoraan verrannolliset x 00x x : 00 x 89,8 Vastaus: 89,80 puntaa. 5. Merkitään kaikkien vastaajien määrää x:llä. 0,6x 785 : 0,6 x 1 706, ,5 0, ,5 07,17 07 Vastaus: 07 vastaajaa 5. a) suoraan b) ei kumpikaan c) suoraan d) kääntäen 55. a) Kun nopeus on vakio, aika ja matka ovat suoraan verrannolliset. 0 x x 0 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 76
77 5x 00 : 5 x 96 (min) x 96 min 1 h 6 min h 10 min 10 min y 0y y 50 : 0 y 16,5 (km) b) Kun matka on vakio, nopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. 0 x x x : 0 x 50 (km/h) y y y : 110 y 9,09 9 (min) 56. Kävelijän nopeus:,7 km 0min 0,09 km/min 1, km a) 1,... min 0,09 km/min b) 9 km 100 min 0,09 km/min Vastaus: a) 1 minuuttia b) 1 h 0 min Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 77
78 57. Keskinopeus (km/h) Aika (min) m 0 p 6 k Kun matka pysyy samana, keskinopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. a) 80 m m m 000 : 0 m 1, 1 (min) b) 80 p p p 000 : 0 p 00 (min) c) 80 k k k 000 : 6 k 666, (min) Vastaus: a) Vastaus: h 1 min, b) Vastaus: h 0 min, c) 11 h 7 min 58. Öljyn osuus bensiinin määrästä 0,5 l 0,05,5% 10 l Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 78
79 a) 0,05 l 0,1 l b) Merkitään bensiinimääriä x:llä ja y:llä. 0,05x 1 : 0,05 x 0 0,05y : 0,05 y 160 Tehtävän voi ratkaista myös suoraan verrannollisuuden perusteella. Vastaus: a) Vastaus: 0,1 litraa öljyä b) 0 litraa ja 160 litraa 59. Koska menoille ei ole annettu mitään lukuarvoa, merkitään niitä kirjaimilla. Korko (%) Korkomenot ( ) 5 a 6 b Korkoprosentti ja korkomenot ovat suoraan verrannolliset. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä b. 5 a 6 b 5b 6a : 5 b 1,a Koron nousun jälkeiset menot ovat 10 % aiemmista menoista. Nousu on 10 % 100 % 0 %. Vastaus: 0 % 60. Hammasluku Pyörimisnopeus (kierrosta/min) x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 79
80 Hammasluku ja pyörimisnopeus ovat kääntäen verrannolliset. 6 8 x 180 8x x : 8 x 98,57 99 Vastaus: 99 kierrosta minuutissa Kertaustehtäviä 61. a) 1 x 19 11x x 10x 5 : 10 1 x 0,5 b) (6 1,1x) 1,7x 18,x 1,7x 18 1,7x 5x 0 : ( 5) x c) 8x (6 x) 5 (x 1) 8x 6 + x 5x 5 9x 6 5x x x 1 : 1 x 0,5 d) x + 7 x 5 5(x + 7) (x ) 5x + 5 x 1 5 x x 7 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 80
81 6. a) f( ) 1,5 ( ) + 6 1,5 b) f(5) 1, ,5 c) 1,5x ,5x 6 : 1,5 x d) y 1, x + (x +,9) + (x +,9) 16 x +,9 x +,9 x + 5,8 16 5,8 x 10, : x, +,9 6, x, Vastaus:, cm, 6, cm ja 6, cm 6. Merkitään Kaisan painoa x:llä. Matin paino on tällöin 1,5x ja Kallen 1,5x 8. x + 1,5x + (1,5x 8) 00 x x 08 : x 5 1, , Vastaus: Kaisa painoi 5 kg, Matti 78 kg ja Kalle 70 kg. 65. Paino (g) Hinta ( ) 50 1,60 x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 81
82 Paino ja hinta ovat suoraan verrannolliset. 50 1,60 x 5 1,60x ,60x 150 : 1,60 x 781,5 780 Vastaus: Makkaraa saa noin 780 g. 66. Keskinopeus (km/h) Aika (h) a 100 m Kun matka pysyy samana, keskinopeus ja aika ovat kääntäen verrannolliset. a) 90 a a a 50 : 70 a 7,718 7,71 (h) 7,71 h 7 h + 0,71 60 min 7 h,8 min 7 h min b) 90 m m m 50 : 100 m 5, h 5, h 5 h + 0, 60 min 5 h min Vastaus: Matka kestää a) 7 h min b) 5 h min. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
83 Koska keskinopeus ja aika on annettu toisiaan vastaavissa yksiköissä, tehtävän voi ratkaista myös laskemalla ensin matkan pituuden (km). 67. a) y 0x + 50 b) c) 7,5 kuutiota 68. Huoneistojen osuudet kustannuksista ovat 9x, 68x, 68x ja 115x. 9x + 68x + 68x + 115x 500 x 500 : x 68,51 68,5 Jotta osuudet saadaan sentin tarkkuudella oikein, välituloksena kannattaa käyttää laskimen antamaa tarkkuutta. 9 68,51 6 0, , ,51 658, , , , ,01 A:n osuus: 6 0,1 B:n ja C:n osuus: 658,89 D:n osuus: 7 879,01 Vastaus: Huoneistoille tulleet maksut ovat 6 0,1, 658,89, 658,89 ja 7 879,01. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
84 69. Sivujen määrä Lukuaika (min) x Sivujen määrä ja lukuaika ovat suoraan verrannolliset x 66x x : 66 x 1 001, ,8 (min) 1001, ,8 min h 16,697 h ,8 min min 1,8 min min Vastaus: Lukemiseen kuluu vielä 16 tuntia minuuttia. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 8
85 Toisen asteen yhtälö Toisen asteen polynomifunktio 70. a) x y 0,5x + 1 b) 0 1 0,5 1,15 0,5 1,15 1 1,5 1 1,5 1,5,15 1,5,15,5,15,5, Toisen asteen polynomifunktioita ovat g(x) ja h(x), koska niissä on x -termit. Muut eivät ole, koska f(x):ssä ei ole x -termiä, i(x):ssä x on jakajana ja j(x):ssä on x -termi. 7. a) f(x) x + x + 7 b) g(x) x c) h(x) x f(0) f( ) ( ) + ( ) f(5) f( 1 ) ( 1 ) a) f(1) b) f( 10) ( 10) ( 10) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 85
86 1 1 1 c) f ) 5) a) ( ) 16 Piste on kuvaajalla. b) 1 1 Piste ei ole kuvaajalla. 76. a) f( ) ( ) 16 b) f(6) ƒ(x) ax + 1 ƒ() a + 1 a + 1 a a 1 : a Siis f(x) x + 1. ƒ(5) Ratkaistaan ensin vakio k. ƒ(v) kv f(60) k k Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 86
87 600k 6 : 600 k 0,01 a) 0, (m) b) 0, (m) c) 0, (m) Vastaus: Jarrutusmatka on a) 6 m, b) 100 m ja c) 1 m. 79. a) x 0 ja x 5 b) ei nollakohtia c) x 0 d) x 80. a) x 1,0 tai x,0 b) f(),0 c) x, ja x 1, d) f( 1) 5,0 81. h(x) x x + a) h(1) b) h( ) ( ) ( ) + 1 c) h() + 8. a) f(x) x x + 1 b) f( 1) ( 1) ( 1) f(0) f(1) f() + 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 87
88 f() + 1 c) f() 1, f(5) 6 d) x 0, ja x,7 8. x f(x) 0,6x + 1,7x (x, y) 0 f(0) 0, ,7 0 0 (0, 0) 0,5 f(0,5) 0,6 0,5 + 1,7 0,5 0,7 (0,5; 0,7) 1 f(1) 0, ,7 1 1,1 (1; 1,1) 1,5 f(1,5) 0,6 1,5 + 1,7 1,5 1, (1,5; 1,) f() 0,6 + 1,7 1 (, 1),5 f(,5) 0,6,5 + 1,7,5 0,5 (,5; 0,5) a) kyllä b) n. 1 1,5 m ennen estettä Vastaus: a) Hevonen ylittää esteen. b) Hevosen on ponnistettava n. 1 1,5 m ennen estettä. 8. Kuvassa kaikki a:n arvot ovat positiivisia. Kun a on pieni, paraabeli on laakea. Kun a on suuri, paraabeli on terävä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 88
89 85. c:n arvon kasvattaminen nostaa paraabelia koordinaatistossa yhtä monta askelta ylöspäin, arvon pienentäminen vastaavasti laskee paraabelia. 86. Funktiot g(x) ja j(x) ovat toisen asteen polynomifunktioita, koska niissä on x -termit. h(x) on ensimmäisen asteen funktio, f(x) on neljännen asteen funktio ja i(x):ssä x on jakajana. 87. a) f(x) x + 10x 9 b) g(x) x + x + 10 g( 10) ( 10) + ( 10) g(x) x + 1 x g(0) x 0 g( 1) ( 1) + 1 ( 1) 6 1 g(10) g( 1 10 ) ( 1 10 ) , a) f( ) ( ) + ( ) b) g(10) 0, , a) x 0 f(0) Vastaus: piste (0, 1) on kuvaajalla b) x 1 f(1) Vastaus: piste (1, 0) ei ole kuvaajalla c) x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 89
90 f ( ) Vastaus: piste (, ) on kuvaajalla a) f( 1) 0, ( 1) +,7 b) x,6 tai x,6 f(,6) 0, (,6) + 0,97 1 f(,6) 0,,6 + 0, Kuvaajien piirtämistä varten on laskettava funktion arvoja eri x:n arvoilla. x f(x) x x + 1 f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( 1) ( 1) ( 1) f(0) f(1) f() + 1 f() Kuvaaja ei leikkaa x-akselia. Funktiolla ei ole nollakohtia. 9. a) n. 155 m b) n. 1 m c) n. 0 m ja 10 m Vastaus: a) Lyönti on 155 m. b) Pallon korkeus on 1 m. c) Pallo on 0 m:n ja 10 m:n päässä lyöjästä. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 90
91 9. f() a 9a 9a : 9 a 9 Siis 9 f ( x) x. f(6) a) 1 x x x 1 x b) A(x) x(1 x) c) A(0) 0 (1 0) 0 A(1) 1 (1 1) 10 A() (1 ) 16 A() (1 ) 18 A() (1 ) 16 A(5) 5 (1 5) 10 A(6) 6 (1 6) Etäisyyden neliö tarkoittaa sen toista potenssia. Painovoima (N) Etäisyys (km) Etäisyys x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 91
92 15 00 x x : x 685 x 15 18, (N) Vastaus: Paino on N. 97. p(x) x, A(x) x x x a) p(1) 1 p() 8 p() 1 p() 16 p(5) 5 0 A(1) 1 1 A() A() 9 A() 16 A(5) 5 5 b) x 10 : x,5 A(,5),5 6,5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
93 98. a) x y 0,08x + x +,0 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0,9,0 0,08,0 +,0 +,0,68,0 0,08,0 +,0 +,0,8,0 0,08,0 +,0 +,0,7 5,0 0,08 5,0 + 5,0 +,0 5 6,0 0,08 6,0 + 6,0 +,0 5,1 7,0 0,08 7,0 + 7,0 +,0 5,08 8,0 0,08 8,0 + 8,0 +,0,88 9,0 0,08 9,0 + 9,0 +,0,5 10,0 0,08 10,0 + 10,0 +,0 11,0 0,08 11,0 + 11,0 +,0, 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0,8 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0 1,8 1,0 0,08 1,0 + 1,0 +,0 0, 15,0 0,08 15,0 + 15,0 +,0 1 b) c) n. 1, m d) n. m e) n. 1,9 m tai 10,5 m Ratkaisukaava 99. a) x x a, b ja c 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
94 b) ( ) ± x ( ) ( 6) c) x ± ± 6 ± 8 x tai x 8 Vastaus: x 1 tai x a) x + x + 0 a 1, b ja c x ± 1 1 ± 16 1 ± ± x + 1 tai x Vastaus: x tai x 1 b) x + 8x x + 8x 0 a, b 8 ja c x 8 ± 8 ( ) x 8 ± tai x Vastaus: x tai x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 9
95 01. a) y + y a, b ja c 1 ± y ± Vastaus: 1 1 y ± b) 5x 1 x x 5x x 1 0 a 5, b ja c 1 ( ) ± ( ) ( 5) ( 1 x ) ( 5) ± ± 6 10 Vastaus: ei ratkaisua 0. a) TAPA x 000x a , b 000 ja c 100 x ( 000) ( 000) ± TAPA x 000x : x 0x a 100, b 0 ja c 1 x ( 0) ± ( 0) ± Vastaus: x 1 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 95
96 b) 10t + t 10t t + 10t 0t t 0 a 0, b ja c t ( ) ± ( ) 0 ( ) 0 ± 56 0 ±16 0 t tai t 16 0 Vastaus: t 1 tai t a) x x + 1 x(x + 1) x x + 1 x x + x + x x x 1 : ( 1) x 1 Vastaus: x 1 b) 0,1x + 0,x 0,1 0,1x + 0,1 0,1x 0,1 0,1x + 0,1x 0, 0 TAPA 1 a 0,1, b 0,1 ja c 0, x 0,1± 0,1 0,1 ( 0,) 0,1 0,1± 0, 0, 0,1 + 0, 0, 0,1 0, 0, x 1 tai x 0, 0, 0, 0, TAPA 0,1x + 0,1x 0, 0 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 96
97 x + x 0 a 1, b 1 ja c x 1± 1 1 ( ) 1 1± 1+ 1 x 1tai x Vastaus: x 1 tai x 0. a) r 9 5 r (r 9) ( r) 5 r + 9r 0 0 r + 9r 0 0 a 1, b 9 ja c 0 9 ± r 9 ± (9) ( 1) ( 0) ( 1) 1 9 ± r tai r 5 Vastaus: r tai r 5 b) 1 x x 8 x(x ) 1 8 9x 6x 8 8 9x 6x 8 0 a 9, b 6 ja c 8 ( 6) ± x ( 6) 9 ( 8) 9 6 ± 6 ± Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 97
98 x 1 tai x Vastaus: 1 x tai x a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x a, b 0 ja c 1587 x 0 ± 0 ( 1 587) ± ± x tai x 6 6 TAPA b) TAPA 1 x x : x 59 x ± 59 x ± Vastaus: x tai x x a 1, b 0 ja c 81 x 0 ± ei ratkaisua TAPA x ± x 81 aina epätosi, ei ratkaisua Vastaus: ei ratkaisua Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 98
99 06. a) x + x x + x + 15 x x 15 x 18 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 18 x 0 ± 0 ( 18) ± 1 ±1 1 1 x tai x TAPA x x 18 : x 9 x ± 9 x ± Vastaus: x tai x b) x(x + 10) 10x x + 10x 10x x 100 x TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c ± x 0 1 ( 100) 1 ± 00 ± x 10 tai x 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 99
100 TAPA x x 100 x ± 100 x ± 10 Vastaus: x 10 tai x a) TAPA 1 (ratkaisukaava) z + z 0 a, b 1 ja c 0 z 1± 1 ( ) 0 ( ) 1± z 0 tai x 6 6 TAPA z + z 0 z( z + 1) 0 1 z 0 tai z z 1 : ( ) 1 z 1 Vastaus: z 0 tai z 1 b) y + 5y 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 5 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 100
101 y 5 ± ± 5 5 ± y 0 tai y 5 TAPA y + 5y 0 y(y + 5) 0 y 0 tai y y 5 Vastaus: y 0 tai y a) x x x x x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 1 ja c 0 x ( 1) ± ( 1) ± 1 1± x 1 tai x 0 TAPA x x 0 x(x 1) 0 x 0 tai x Vastaus: x 0 tai x 1 x 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 101
102 b) x + 7x x + x x + x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 x ± ± 16 ± + 8 x 0 tai x TAPA x + x 0 x(x + ) 0 x 0 tai x + 0 x Vastaus: x 0 tai x 09. x + x + p 0 a) yhtälö toteutuu, kun x p 0 p 0 x + x a, b ja c 0 x ± 0 ± + 6 x 0 tai x 1 1 Vastaus: p 0, toinen ratkaisu on x 1 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
103 b) yhtälö toteutuu, kun x 1 ( 1) + ( 1) + p 0 + p p 0 p 1 x + x a, b ja c 1 x ± 1 ± 1 ± x tai x 1 Vastaus: p 1, toinen ratkaisu on x a) x + 9x a, b 9 ja c 5 x 9 ± 9 ( ) 5 ( ) 9 ± 11 9 ± x tai x 5 Vastaus: x 1 tai x 5 b) x x a 1, b ja c 108 x ( ) ± ± 1 ( ) 1 ( 108) 1 ± x 1 tai x 9 Vastaus: x 1 tai x 9 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
104 11. a) z z z + 10z 60 z 10z + 60 z 11z a 1, b 11 ja c 60 z ( 11) ± ( 11) ± 119 Vastaus: ei ratkaisua b) x 100 0x + 0x 100 x + 0x a 1, b 0 ja c 100 x 0 ± 0 ± 0 0 ( 1) ( 100) ( 1) a) (x 6)(x 8) 0x 10 x 6x 8x + 8 0x 10 x 1x + 8 0x x + 10 x + 16x a 1, b 16 ja c 168 x 16 ± ± 16 Vastaus: ei ratkaisua b) x 8x 1 x x x 1 ( 8x) x + 8x + 8x x 8x + 0 a, b 8 ja c x ( 8) ± ( 8) ( ) ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
105 8 ± ± x tai x Vastaus: x tai x 1 1. x x(x + x + ) 1 0 x x x x 1 0 x ( ) ± ± 0 x x 1 0 a 1, b ja c 1 1 Vastaus: x 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1. a) z z z + z z z z z 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 z ( ) ± ( ) ± + z tai z 0 TAPA z z 0 z(z ) 0 z 0 tai z 0 + Vastaus: z 0 tai z z Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 105
106 b) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 0 a, b 0 ja c 5 x 0 ± ± ( 5) ± x tai x 8 8 TAPA x x 5 : x 5 1 x ± 5 5 x ± Vastaus: x 1 tai a) TAPA x x a , b ja c x ± ± ei ratkaisua TAPA x x : x + 9x a 0, b 9 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 106
107 x 9 ± ± Vastaus: ei ratkaisua b) 0,000x 0,001x ,000x 0,001x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 0,000, b 0,001 ja c 0 x ( 0,001) ± ( 0,001) 0, ,000 0,001± 0, ,0006 0,001± 0,001 0,0006 0, , ,001 0,001 x tai x 0 0,0006 0,0006 TAPA 0,000x 0,001x 0 x(0,000x 0,001) 0 x 0 tai 0,000x 0, ,001 0,000x 0,001 : 0,000 x 0,001 0,000 1 Vastaus: x 0 tai x a) x(x + 1) x x x + x x + 00 x 00 x TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 107
108 x 0 ± 0 ( 100) ± ± x 5 tai x TAPA x x 100 : x 5 x ± 5 x ±5 Vastaus: x 5 tai x 5 b) (y + 1) (y + 7) (y + 1)(y + 1) x + 1 y + 1y + 1y + 1 y + 1 y + y + 1 y + 1 y 1 y + y 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b ja c 0 ± y ± 8 ± + y 0 tai y TAPA y + y 0 y(y + ) 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 108
109 y 0 tai y + 0 y Vastaus: y 0 tai y 17. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x(x + 0,5) 0 x 0,5x 0 a 1, b 0,5 ja c 0 x ( 0,5) ± ( 0,5) ( 1) 0 ( 1) 0,5 ± 0,5 0,5 ± 0,5 0,5 + 0,5 0,5 0,5 x 0,5 tai x 0 TAPA x(x + 0,5) 0 x 0 tai x + 0,5 0 0,5 x 0,5 Vastaus: x 0 tai x 0,5 b) x(x + 0,5) 1 x 0,5x 1 0 a 1, b 0,5 ja c 1 x ( 0,5) ± x ( 0,5) ± ( 0,5) ( 1) ( 1) ( 1) ( 0,5) ( 1) ( 1) ( 1) 0,5 ±,75 Vastaus: ei ratkaisua Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 109
110 18. ax + 6x 1 1 ax + 6x 1 0 a a, b 6 ja c 1 x 6 ± 6 a ( 1) a Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, jos neliöjuurimerkin sisällä olevan lausekkeen arvo on nolla. 6 a ( 1) a a 676 : 5 a 1 Ratkaisukaavan käyttö edellyttää, että yhtälön toisen asteen termin kerroin a 0. Jos a 0, yhtälö on 1. asteen yhtälö, jolla on yksi ratkaisu. 6x 1 : 6 x 1 Vastaus: a 1 tai a Ratkaistaan molemmat yhtälöt. Ensimmäisen yhtälön voisi ratkaista myös ilman ratkaisukaavaa. 5x 5 0 a 5, b 0 ja c 5 x 0 ± 0 5 ( 5) 5 ± 900 ± x 7 tai x 7 x x 5 5 x x 5 0 a 1, b ja c 5 x ( ) ± x ± 1 ( ) 1 ( 5) 1 ±1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 110
111 + 1 1 x 7 tai x 5 x 7 tai x 5 Vastaus: yhteinen juuri 7, toiset juuret 7 ja 5 0. x 5x 7x x + x 7x x x 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b ja c 0 x ( ) ± ( ) 0 ± ± 8 + x 8 tai x TAPA x x 0 x(x ) 0 x 0 tai x 0 + x : x 8 Vastaus: arvoilla x 8 ja x 0 Toisen asteen yhtälön sovelluksia 1. a) Piiri on 18 cm. x x Leveys on 18 x 9 x. b) x(9 x) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 111
112 c) x(9 x) 0 9x x 0 0 9x x 0 0 x + 9x 0 0 a 1, b 9 ja c 0 x 9 ± 9 ( 1) ( 0) ( 1) 9 ±1 x tai x 9 1 x tai x 5 Kun x, 9 x 9 5. Kun x 5, 9 x 9 5. Vastaus: Suorakulmion mitat ovat cm ja 5 cm.. x(x + 5) 750 x + 5x x a 1, b 5 ja c 750 x + 5 x 5 ± 5 1 ( 750) 1 5 ± 05 5 ± 55 x tai x 5 55 x 5 tai x 0 ei käy toinen sivu: Vastaus: pituus 5 cm ja leveys 0 cm Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
113 . (10 x)(15 x) x 0x + x x 50x x 75 cm x 10 cm a, b 50 ja c 75 x ( 50) ± ( 50) cm 50 ± ± 6,06 8 x tai x , ,06 8 Vastaus: 1,7 cm 10,76 ei käy, koska tulos on liian suuri 1,7. ( + x)(7 + x) x + 1x + x x + 18x 10 0 x x 7 m m a, b 18 ja c 10 x 18 ± 18 ( 10) 18 ± ± x tai x 8 8 x 1 tai x 5 ei käy Vastaus: 0,5 m Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
114 5. Ratkaistaan Pythagoraan lauseen avulla: a + b c x + (x + 5) 0 x + (x + 5)(x + 5) 00 x + x + 5x + 5x x + 10x 75 0 a, b 10 ja c 75 x x cm x 10 ± 10 ( 75) 10 ± ± 55, , ,68 x 11, tai x 16, ei käy toinen kateetti: 11, , Vastaus: 11, cm ja 16, cm 6. a) pienempi: x yhtä suurempi: x + 1 b) x(x + 1) 110 c) x(x + 1) x + x a 1 b 1 c 110 x 1± 1 1 ( 110) 1 1± 1 1± 1 x 1+ 1 tai x 1 1 x 10 tai x 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
115 Yhtä suuremmat luvut ovat 11 ja 10 Vastaus: 10 ja 11 tai 11 ja Merkitään pienempää luvuista x:llä, jolloin suurempi on x + 1. Luvun neliö on sen toinen potenssi. x + (x + 1) 85 x + (x + 1)(x + 1) 85 x + x + x + x x + x 8 0 a, b ja c 8 x ± ( 8) ± 676 ± 6 x + 6 tai x 6 x 6 tai x 7 Yhtä suuremmat kokonaisluvut ovat 7 ja 6. Vastaus: 6 ja 7 tai 7 ja 6 8. a) Kun pienempi parillinen luku on x, seuraava parillinen luku on x +. x(x + ) 6 6 x + x 6 0 a, b ja c 6 x ± ( 6) ± ±100 8 x Tapaus x 1: 1 tai x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 115
116 x 1 x Tapaus x 1: x ( 1) 6 x Vastaus: ja 6 tai 6 ja b) Kun pienempi kolmella jaollinen luku on x, sitä seuraava kolmella jaollinen luku on x +. x(x + ) x + 9x 68 0 a 9, b 9 ja c 68 x 9 ± 9 9 ( 68) 9 9 ± ±15 18 x Tapaus x 8: x 8 tai x x Tapaus x 9: x 7 x Vastaus: ja 7 tai 7 ja 9. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 5 x 5 0 a 1, b 0 ja c 5 x 0 ± 0 1 ( 5) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 116
117 ± 0 x 0 tai x 0 TAPA x 5 x ± 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x 0 5 tai x 0 5 b) TAPA 1 (ratkaisukaava) y + y y + y + 6 y y 6 y 6 0 a 1, b 0 ja c 6 0 ± y 0 1 ( 6) 1 ± y tai y TAPA y 6 0 y 6 y ± 6 y 6 tai y 6 Vastaus: y 6 tai y 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 117
118 0. a) x + x 1 0 a 1, b jac 1 x ± 1 ( 1) 1 ± 8 Vastaus: + 8 x tai x 8 b) s 6s + 6s + s + 6s + 0 a, b 6 ja c s 6 ± 6 6 ± 0 Vastaus: s tai s a) s s a, b ja c 1 s ( ) ± ( ) ( ) 1 ( ) ± 8 Vastaus: s + 8 tai s 8 b) x x 0 x 0 + x x 0 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 0 0 ± x 0 ( 0) ± 66 6 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 118
119 66 x tai x TAPA x x 0 : x 101 x ± 101 x 101 tai x 101 Vastaus: x tai x Vuonna 1980 syntynyt henkilö on x vuotta vanha vuonna x. x x x x x a 1, b 1 ja c 1980 ( 1) ± x 1± 791 1± 89 ( 1) 1 ( 1980) x 5 tai x ei käy Vastaus: vuonna 05, jolloin hän on 5-vuotias. x (500 0x) x + 500x a 0, b 500 ja c ± x 500 ( 0) ( 1000) ( 0) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 119
120 500 ± , ,1 x,195 tai x,80775 ei käy 0 0 Vastaus: Makkaran hinnaksi on pantava,0.. Nopeus (km/h) Nopeus Jarrutusmatka x x x x x : 8 x 71, Ratkaistaan neliöjuurella. x 71, , tai x 71, , ei käy Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Auton voi arvioida liikkuneen vähintään nopeudella 85 km/h. 5. Merkitään x:llä korkokerrointa, joka esim. %:n korolle olisi 1,0. Talletusten arvot vuoden 009 alussa: 007: x x x ( ) 008: x x ( ) 1 000x + 000x 0,50 0, x + 000x 0,50 0 a 1 000, b 000 ja c 0,50 x 000 ± ( 0,50) 1000 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
121 000 ± ± 100 x x 1,05 tai x,05 ei käy Korkokerroin on 1,05. Korko on 105 % 100 % 5 %. Vastaus: 5 %:n korko 6. x x + x(x + 1) x + x + x 7x + x 0 a 7, b ja c ± x 7 ( ) 7 ± x tai x 1 ei käy Vastaus: x 7 7. Merkitään ensimmäistä lukua x:llä. Sitä seuraava luku on x + 1. x(x + 1) 1 1 x + x 1 0 a 1, b 1 ja c 1 1 ± x 1 1 ( 1) 1 1± x 11tai x 1 Yhtä suuremmat kokonaisluvut ovat 1 ja 11. Vastaus: 11 ja 1 tai 1 ja 11 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
122 1 8. Merkitään pellon pituutta x:llä. Leveys on tällöin x. 1 x 1 x x x 500 x ± x ± leveys: (m) x Ratkaistaan neliöjuurella. Negatiivinen vastaus ei käy Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Pellon leveys on 50 m. 9. Paino (N) Jään paksuus (cm) Paksuus x x x 9 00x x : 9 00 x 1,06... x 1,06...,67...,6 tai x 1,06...,67...,6 Ratkaistaan neliöjuurella. Negatiivinen vastaus ei käy. Vastaus: Jään on oltava vähintään,6 cm paksu. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
123 0. Paino (N) Etäisyys (km) Etäisyys x x Etäisyydet mitataan Maan keskipisteestä. 85 x x : 8 x ,9 Ratkaistaan neliöjuurella. x ,9 681, ,7 tai x ,9 681, ,7 Negatiivinen vastaus ei käy. Korkeus Maan pinnasta: 6 81, ,7 11 (km) Vastaus: Mittaus tehtiin 11 km:n korkeudella. 1. Vajan alkuperäinen pinta-ala on,5 m,0 m 10 m. Uusi pinta-ala on 0 m. Merkitään sivun pituuden lisäystä x:llä. x x,5 m (,5 + x)( + x) 0,0 m 10 +,5x + x + x 0 0 x + 6,5x 10 0 a 1, b 6,5 ja c 10 6,5 ± x 6,5 1 1 ( 10) 6,5 ± 8,5 6,5 ± 9,069 x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
124 x x 6,5 + 9,069 1,85 tai 6,5 9,069 7,785 Negatiivinen vastaus ei käy.,5 + 1,85,785,8 + 1,85 5,85 5, Vastaus: Pituus 5, m ja leveys,8 m.. Merkitään lämmittelyalueen leveyttä x:llä. Pelikentän pinta-ala on 16 m 0 m 60 m. x x x Pelikentän ja lämmittelyalueen yhteenlaskettu 16 m pinta-ala on 60 m 180 m. 0 m (0 + x)(16 + x) 180 x x + x + x 180 x + 11x 60 0 a, b 11 ja c ± x 11 ( 60) 11 ± ± 150,9 8 8 x ,9 8,8675 tai x ,9, Negatiivinen vastaus ei käy Vastaus: Lämmittelyalueen leveys on,9 m.. a) y 1y a, b 1 ja c 15 y ( 1) ± 1 + y ( 1) 15 1 tai y 1 ± Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
125 b) x 70 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 70 x 0 ± 0 ( 70) ± 560 x 560 tai x 560 TAPA x x 70 : x 5 x ± 5 x 5 tai x Vastaus: a) y 1 tai y b) x 5 tai x 5. a) 5x 1x + 5x 1x + 0 a 5, b 1 ja c x ( 1) ± ( 1) 5 5 1± x tai x b) x x (5 x) x x 10 x 10 + x x 10 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
126 x 0 ± x ± 0 x 0 TAPA 0 1 ( 10) 1 tai x 0 x x 10 x ± 10 x 10 tai x 10 Vastaus: a) x tai x ,b) x 10 tai x a) y 5y y 5y a, b 5 ja c 1 y ( 5) ± 5 ± 7 6 y ( 5) ( ) 1 ( ) tai y b) x 5 x a 1, b 5 ja c 5 x ( 5) ± ( 5) ± Vastaus: a) y tai y 5 7 6, b) x 5 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16
127 6. y v 0 t 1 gt Sijoitetaan lausekkeeseen v 6 ja g 9,81. 0 y 1 6t 9,81 t Pallon korkeus on pompun alussa ja lopussa 0 m. 6t 1 9,81 t 0 6t,905t 0,905t + 6t 0 Voidaan ratkaista joko ratkaisukaavalla tai tulon nollasäännöllä. TAPA 1 (ratkaisukaava) a,905, b 6 ja c 0 t 6 ± 6 ( 905) 0 (,905) 6 ± 6 9, t 0 tai t 9, , 1, 9,81 TAPA 6t,905t 0 t(6,905t) 0 t 0 tai 6,905t 0 6,905t 6 : (,905) t 1, 1, Vastaus: Pallo on ilmassa 1, sekuntia 7. Etäisyys (m) Etäisyys Valaistusvoimakkuus (lx),5,5 00 x x 100 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17
128 ,5 x x, x 675 : 100 x 6,75 Ratkaistaan neliöjuurella. x 6,75 6, ,1 tai x 6,75 6, ,1 Negatiivinen vastaus ei käy. Yhtälön voi ratkaista myös ratkaisukaavalla. Vastaus: Etäisyys on 6,1 metriä 8. Merkitään x:llä korkokerrointa, joka esim. %:n korolle olisi 1,0. Talletusten arvot, kun Pyry täyttää 18 vuotta 16-vuotiaana saatu: x x x ( ) 17-vuotiaana saatu: x x ( ) 18-vuotiaana saatu: ( ) 1 600x x x x 55 0 a 1 600, b ja c ± x ( 55) ± ± 50, ± 50, ,80 x 1,055 tai x, Negatiivinen vastaus ei käy. Korkokerroin on 1,05. Korko on 10,5 % 100 %,5 % Vastaus:,5 %:n korko Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18
129 Kertaustehtäviä 9. a) f(5) ei ole nollakohta b) f( 15) ( 15) 5 0 on nollakohta 50. x f(x) x ( ) 1 ( 1) x g(x) 1 x 1 ( ) 1 1 ( 1) x h(x) x ( ) 8 1 ( 1) a) f(0) 0 f() 0 f() 5 b) Nollakohdat ovat x ja x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19
130 5. a) 0 m 1 m, x b) x( x) c) x + x x x f(x) x + x f( ) 8, f( 1), f(0) 0, f(1) 1, f() 0, f() ja f() 8 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
131 Nollakohdat ovat x 0 ja x. 5. a) 10x + 19x 0 a 10, b 19 ja c x 19 ± ( ) ± ± 1 0 x 19 ± tai x 0 b) x 8x 6x + 8 0x 1 + 0x + 1 x + 16x a 1, b 16 ja c 60 x 16 ± ± ± x 6 tai x 10 c) z z z + 10z + 60 z 10z 60 z 11z 60 0 a 1, b 11 ja c 16 z ( 11) ± ( 11) 1 ( 60) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
132 11± 61 11± z 15 tai z 1 Vastaus: a) x tai x, b) x 6 tai x 10, c) z 15 tai z a) 1 x + x + 0 a 1, b 1 ja c x 1± ± 5 1 ei ratkaisua b) x (x + 8) x x 56 + x + 56 x + x a 1, b ja c 56 x ± ± 0 16 Vastaus: a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) x a) TAPA 1 (ratkaisukaavalla) x 8 0 a, b 0 ja c 8 x 0 ± ± 6 0 ( 8) ±8 8 8 x tai x Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
133 TAPA x x 8 : x x ± x ± b) TAPA 1 (ratkaisukaavalla) 9x 1 1 9x 1 0 a 9, b 0 ja c 1 x 0 ± ± ( 1) 9 ± x tai x TAPA 9x 1 : 9 1 x 9 x ± x ± Vastaus: a) x tai x, b) x 1 tai x a) TAPA 1 (ratkaisukaava) 8x + 0 a 8, b 0 ja c x 0 ± Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
134 ± 6 16 ei ratkaisua TAPA 8x + 0 8x : 8 1 x aina epätosi, ei ratkaisua b) y(y 1) (9 y) y y 18 y 18 + y y 18 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 0 ja c 19 y 0 ± ± ( 9) 1 ±6 6 6 y tai y TAPA y y 18 : y 9 y ± 9 y ± Vastaus: a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) y tai y 58. a) TAPA 1 (ratkaisukaava) x + 5x 0 a 1, b 5 ja c 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
135 x 5 ± ± 5 5 ± x 0 tai x 5 TAPA x + 5x 0 x(x + 5) 0 x 0 tai x b) TAPA 1 (ratkaisukaava) x 5 x x 0 a, b ja c 0 x ( ) ± ( ) 0 x ± 16 6 ± x 1 tai x TAPA x x 0 x(x ) 0 x 0 tai x 0 + c) z(z 8) + (z + ) x : x 1 1 z 8z + z + z z 10z 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
136 TAPA 1 (ratkaisukaava) a, b 10 ja c 0 z ( 10) ± ( 10) 0 10 ± ± z 5 tai z 0 TAPA z 10z 0 z(z 10) 0 z 0 tai z z 10 : z 5 Vastaus: a) x 0 tai x 5, b) x 1 1 tai x 0, c) z 5 tai z Paraabeli sivuaa x-akselia, kun yhtälöllä x 6x + a 0 on vain yksi ratkaisu. Sijoitetaan ratkaisukaavaan yhtälön kertoimet. ( 6) ± x ( 6) a 6 ± 6 1a 6 Ratkaisuja on vain yksi, kun neliöjuurimerkin sisällä olevan lausekkeen arvo on nolla. 6 1a 0 6 1a 6 : ( 1) a 60. Merkitään luonnollista lukua x:llä. Seuraava luonnollinen luku on x + 1. Näiden neliöt ovat x ja (x + 1). x + (x + 1) 1 x + (x + 1)(x + 1) 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16
137 x + x + x + x x + x 0 0 a, b ja c 0 ± ( 0) ± 6 ± 58 x x 1 tai x ei ole luonnollinen luku, se ei käy. Vastaus: Luku on 1 ja sitä seuraava luku Merkitään lattian pituutta x:llä. Leveys on 0,75x. 0,75x x 8 0,75x 8 : 0,75 x 10 Ratkaistaan neliöjuurella. 0,75x x x 10,659..., tai x 10,659..., Negatiivinen vastaus ei käy. x, (m) 0,75x 0,75,66,95, (m) Vastaus: Lattian mitat ovat pituus, m ja leveys, m. 6. s 0,5v + 0,0v a) s 0, , ,5 116 (m) b) 0,5v + 0,0v ,0v + 0,5v 60 0 v 0,5 ± 0,5 0,0 ( 60) 0,0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 17
138 0,5 ±,865 0,5 ±,051 0,0 0,0 0,5 +,051 0,5,051 v 8, tai v 61, ei käy 0,0 0,0 Vastaus: a) 116 m b) 50 km/h 6. Merkitään jokea vastaan kohtisuorien sivujen pituutta x x x:llä. Joen suuntaisen sivun 0 x pituus on tällöin 0 x. x(0 x) 000 0x x x + 0x a, b 0 ja c ± x 0 ( ) ( 000) ( ) 0 ± ± x 15 tai x Toinen sivu: x 15 0 x x Vastaus: Alueen mitat ovat 15 m ja 00 m tai 100 m ja 0 m jokea vastaan kohtisuoran sivun pituus ensin mainittuna. 6. a) x 1 0 TAPA 1 (ratkaisukaava) a 1, b 0 ja c 1 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 18
139 0 ± x 0 1 ( 1) 1 ± 56 x 56 tai x 56 TAPA x 1 x 1 tai x 1 b) x + x 0 a 1, b 1 ja c x 1± 1 1 ( ) 1 1± Vastaus: a) x 1 tai x 1, b) x tai x T 1 R 1 T R R (km) T 1 1 (a) a) R (km) T x (a) 1 x x x ± x ± 8,55 ± 9 Negatiivinen vastaus ei käy. T 9 (a) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 19
140 b) R (km) T x 1 x x x ± x ±, ±,6 Negatiivinen vastaus ei käy. T,6 (a) Vastaus: a) 9 vuotta, b),6 vuotta Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 10
141 Harjoituskokeet Koe 1 1. a) x (x + 1) x x 1 x 1 b) (x )(x + ) x + x x 1 x + x 1 c) f( 5) ( 5) ( 5) Vastaus: a) x 1 b) x + x 1 c) f( 5) 5. a) (x + 1) 5x + 11 x + 5x x x 8 : ( ) x b) 7x + 7x 6 : 7 6 x 7 c) (x + ) 8x + 7 8x + 6 8x epätosi ei ratkaisua 6 8x Vastaus: a) x b) 6 x c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 7. a) TAPA 1 0, , , ,7 1 78,7 ( ) TAPA 1,05 1, ,7 ( ) Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 11
142 b) Alennus oli ( ) % 79 Vastaus: a) Korotusten jälkeinen palkka on 1 78,7. b) Hintaa oli alennettu 7 %.. a) x + 5x 6 0 a 1, b 5 ja c 6 5 ± x 5 1 ( 6) 1 5 ± 9 5 ± x 1 tai x b) 7x x x + x x x 0 a, b 1 ja c ( 1) ± ( 1) ( ) x x 1 tai x Vastaus: a) x 1 tai x 6 b) x 1 tai 5. a) f(x),7 +1,x b) f(1),7 + 1, 1 1,50 ( ) c) Merkitään matkan pituutta x:llä.,7 +1,x 50,7 1, x 5, : 1, x 7,75 (km) 1± ( x 5 6 1± 5 6 Vastaus: a) f(x),7 +1,x b) Matka maksaa 1,50. c) Matkan pituus on 7,75 km. 6. a) Pakkaajien määrä Työn kesto (h) 8 6 x Pakkaajien määrä ja työn kesto ovat kääntäen verrannollisia. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
143 8 x 6 x 8 6 x 8 : x 1 Pakkaajia tarvitaan lisää 1 8. b) Pysähtymismatka (m) Nopeus (km/h) Nopeus x x x x : 500 x 8, 8 (m) Vastaus: a) Pakkaajia tarvitaan lisää. b) Pysähtymismatka on 8 m. 7. x f(x) x + x f( 1) ( 1) + ( 1) f(0) f(1) f() f() f() Vastaus: Nollakohdat ovat x 0, ja x,. 8. Merkitään lisättävän suolan määrää x:llä. Suolaliuoksessa on ennestään suolaa 0, (g). Lisäyksen jälkeen suolan määrä grammoina on 1 + x ja koko liuoksen määrä 10 + x. Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
144 Suolan määrän tulee olla 8 % koko liuoksen määrästä. 1 + x 0,8(10 + x) 1 + x,6 + 0,8x 1 0,8x 0,7x 1,6 : 0,7 x 0 Vastaus: Suolaa tulee lisätä 0 g. 9. Merkitään x:llä navetan seinää vastaan kohtisuorassa olevien sivujen pituutta. Navetan suuntaisen sivun pituus on tällöin 0 x. x 0 x x x(0 x) 150 0x x x + 0x a, b 0 ja c ± 0 ( ) ( 150) 0 ± 00 x ( ) x 5 tai x 15 Lasketaan toisen sivun pituus. x 5: 0 x x 15: 0 x ± 0 Vastaus: Mitat ovat 0 m ja 5 m tai 10 m ja 15 m navetan suuntainen sivu ensin mainittuna. Koe 1. a) x 1 x x x 1 : x 7 b) ) x + 5 5) x x 5x x 10 c) g( ) 1 + ( ) 1 7x Vastaus: a) x 7 b) c) g( ) 1 10 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 1
145 . a) Torjuttuja laukauksia oli , % b) Merkitään alkuperäistä hintaa x:llä. 100 % 15 % 85 % 0,85x 50,15 : 0,85 x 59 ( ) Vastaus: a) Maalivahti torjui 91 % laukauksista. b) Alkuperäinen hinta oli 59.. x 1 x + 6 a) p (x 1) + (x + 6) x + x + 1 6x + 10 b) A (x 1)(x + 6) x + 1x x 6 x + 11x 6 Vastaus: Piirin lauseke on 6x + 10 ja pinta-alan lauseke x + 11x 6.. a) f(50) 5 0, ,5 (l) b) Täytyy olettaa, että auton bensatankki on aluksi täynnä. f(0) 5 0, (l) Tuloksen voi myös päätellä suoraan funktion f(x) lausekkeesta. c) Merkitään matkaa x:llä. 5 0,07x 0 5 0,07x 5 : ( 0,07) x 6,85 60 (km) Vastaus: a) Polttoainetta on 7,5 litraa. b) Bensatankin tilavuus on 5 litraa. c) Täydellä tankillisella voi ajaa 60 km. 5. a) x 8x a 1, b 8 ja c 16 ( 8) ± x ( 8) ± 0 8 ± 0 Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 15
146 b) x + x x + x a, b 1 ja c 6 1± 1 ( ) 6 1± x ( ) x 1,5 tai x Vastaus: a) x b) x 1,5 tai x 9 1± 7 6. x y x 5 0 y y 1 5 y 5 1 x y x y y y Vastaus: x 1,9 7. Merkitään Joelin kuukausipalkkaa x:llä. Annan kuukausipalkka on tällöin 1,10x ja Miikan 0,95x. x + 1,10x + 0,95x 880,05x 880 :,05 x , , Vastaus: Joelin kuukausipalkka on 1 600, Annan ja Miikan Summa 1 Opettajan materiaali Ratkaisut 16
Kertaustehtävien ratkaisut
Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0
LisätiedotProsenttilaskentaa. 32. Muunna desimaaliluvuksi. a) 70 % b) 15 % c) 3 % d) 106 % Ratkaisu. 33. Muunna prosenteiksi. a) 0,87 b) 0,05 c) 1,2 d) 0,004
Prosenttilaskentaa 32. Muunna desimaaliluvuksi. a) 70 % b) 15 % c) 3 % d) 106 % 70 a) = 0,7 100 15 b) = 0,15 100 3 c) = 0,03 100 106 d) = 1,06 100 33. Muunna prosenteiksi. a) 0,87 b) 0,05 c) 1,2 d) 0,004
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
LisätiedotFunktio Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. Ratkaisu. a) = 15 4 = 11 b) = 0 4 = 4
Funktio 138. Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. a) 5 3 4 = 15 4 = 11 b) 5 0 4 = 0 4 = 4 139. Banaanit maksavat 2 /kg. Kuinka paljon maksaa a) 4 kg b) 10 kg c) x kg banaaneja? a) 2 /kg 4
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotPolynomi ja yhtälö Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x. Ratkaisu a) 7a b) 12x c) 6x + 6
Polynomi ja yhtälö 103. Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x a) 7a b) 12x c) 6x + 6 104. Ratkaise yhtälöt. a) 2x + 3 = 9 b) 8x + 2 = 5x + 17 a) 2x + 3 = 9 3 2x = 6 : 2 x = 3 b) 8x + 2 = 5x + 17 2
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Lisätiedot6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt
6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (
LisätiedotMetallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?
1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa
Lisätiedotmatematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
LisätiedotLukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
LisätiedotVastaukset. 1. a) 5 b) 4 c) 3 d) a) x + 3 = 8 b) x - 2 = -6 c) 1 - x = 4 d) 10 - x = a) 4 b) 3 c) 15 d) a) 2x. c) 5 3.
Vastaukset. a) 5 b) 4 c) d) -. a) x + = 8 b) x - = -6 c) - x = 4 d) 0 - x =. a) 4 b) c) 5 d) 8 4. a) x 8 b) 5x 5 x c) 5 x d) 6 5. a) kyllä b) ei c) kyllä d) ei 6. a) x x x b) x x x 0 0 0 x c) x x x x 00
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotMerkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =
Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?
LisätiedotProsenteilla vertaaminen
Prosenteilla vertaaminen 61. Eevalla on 20 ja hän saa lisää toiset 20. Kuinka monta prosenttia Eevan rahasumma kasvaa? a) 20 % b) 50 % c) 100 % 20 a) 1 100% 20 62. Kuinka monta prosenttia a) 100 on suurempi
Lisätiedot1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 3.1 137. 138. a) Yhtiövastikkeesta on rahoitusvastiketta 40 % ja hoitovastiketta 60 %. Ilmaistaan 60 % desimaalilukuna. 60 % = 0,60 Lasketaan hoitovastikkeen määrä euroina. 0,60
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.
AMMATIKKA top 17.11.005 MATEMATIIKAN KOE. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu Nimi: Oppilaitos:. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
LisätiedotMAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT
MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Lisätiedot2. Luvut. 3 pullollista, joten Timo tarvitsee 25 pulloa litrasta saadaan 17 24, 186. a) 4
LISÄTEHTÄVÄT. Luvut. Kokonaisluvun n tekijät löydetään jakamalla n yksi kerrallaan kaikilla kokonaisluvuilla ykkösestä suurimpaan mahdolliseen kokonaislukuun, joka on korkeintaan n. Jos jakolasku menee
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT
MAA POLYNOMIFUNKTIOT JA YHTÄLÖT 17.11.017 Nimi: 1 3 Yhteensä Kokeessa on kolme osaa: A, B1 ja B. Aosa: Tehtävät tehdään ilman laskinta Tee kaikki neljä () tehtävää (jokainen max 6p) Kun palautat tämän
LisätiedotProsenttilaskentaa osa 2
Prosenttilaskentaa osa 2 % 1 9. Perusarvon laskeminen Perusarvo = alkuperäinen arvo Esimerkki 1. Mikä on a) luku, josta 72 % on 216 b) aika, josta 40 % on 38 min c) matka, josta 5 % on 400 m Esimerkki
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotKuutio % Kappaleet kertaus
Kuutio % Kappaleet 1-6 + kertaus % 1 1. Prosentti 1 % = 1 100 = 0,01 Prosentti on sadasosa. 2 % = = 20 % = = Alleviivattu muoto on 200 % = = nimeltään prosenttikerroin Esimerkki 1. Kuinka monta prosenttia
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
LisätiedotVastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3
Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)
LisätiedotOpettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9
LisätiedotOSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
Lisätiedot1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9
Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia 3 Peruslaskutoimitukset luvuilla 3 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5 Prosentti 7 Prosenteilla vertaaminen 9 Kuvaaminen koordinaatistossa 11 2 Lausekkeesta yhtälöksi
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotAluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö
Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä
Lisätiedot(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen
(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden
LisätiedotPitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
LisätiedotA-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää.
MAA Kurssikoe 9..0 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni A-osio: Laske ilman laskinta tälle paperille, aikaa maksimissaan 60 min. MAOL:ia saa käyttää. Nimi:. Kaikki kohdat ½ pisteen arvoisia. a) x x x (x ) b) 0
LisätiedotAMMATIKKA top 16.11.2006
AMMATIKKA top 16.11.2006 Toisen asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU Nimi Oppilaitos Koulutusala Luokka Sarjat: MERKITSE OMA SARJA 1. Tekniikka ja liikenne: O 2.
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!
Lisätiedot1.1 Funktion määritelmä
1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotSähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio
MAA2 2018 A-osio Laske molemmat tehtävät! Tee tehtävät huolellisesti. Muodosta vastaukset abitin kaavaeditoriin. Kysy opettajalta tarvittaessa neuvoa teknisissä ja ohjelmien käyttöön liittyvissä ongelmissa.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotAlgebran ja Geometrian laskukokoelma
Algebran ja Geometrian laskukokoelma A. Potenssien laskusäännöt Sievennä 1. (r 3 ) 4 2. (2a 3 ) 3 3. x 3 x 5 4. k11 k 5 5. 2a2 a 7 5a 3 6. (-3x 2 y 3 ) 3 7. ( 1 4 ) 3 8. (2 a2 Lisätehtäviä b 3)3 9. (a
LisätiedotMb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4
Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
LisätiedotKOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01
KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan
LisätiedotKORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotNumeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
Lisätiedot1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...
Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5
LisätiedotAihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa
Harjoituksia 9 Aihe: Yhtälön käyttö soveltamisessa ja ongelmanratkaisussa 1. Kirjoita yhtälö ja ratkaise x. a) lukujen x ja 6 summa on yhtä suuri kuin lukujen x ja 4 tulo. b) Kun luku x kerrotaan kolmella
LisätiedotMa9 Lausekkeita ja yhtälöitä II
Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotMATEMATIIKKAKILPAILU
Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 13.11.2008 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Lisätiedot